湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学文试题及答案

湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数为A．3 B．4 C．7 D．82．设a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝ln(x2＋2)的图象大致是4．某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是A．45B．50C．55D．605．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是A．4B．7C．11D．166．若关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)7．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°8．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺9．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为A ．1116B ．34C ．1316D ．7810．抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝ A ．316 B ．38 C ．233 D ．433二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．下图是某公司10个销售店某月销售某品牌 电 脑数量（单位：台）的茎叶图，则数 据落在区间[19，30)内的频率为 ．12．若复数z ＝(m 2－7m ＋15)＋(m 2－5m ＋3)i （m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y ＝－x 上，则m ＝ ．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为 ．14．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －2|与y ＝1所围成的封闭区域内， 则2x ＋y 的最小值为 ． 15．如下图①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则 （Ⅰ）f (5)＝ ；（Ⅱ）f (2014)的个位数字为．16．过点P (－10，0)引直线l 与曲线y ＝－50－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面D 1C 1 B 1A1 ABCDE GF H正视图 俯视图侧视图积取最大值时，直线l 的斜率等于 ．17．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝ ；（Ⅱ）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若a ＝32，b ＝10，求c ．19．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足0＜a 1＜2，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *． （Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）若P A ＝1，AD ＝2，求三棱锥E -BCD 的体积．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝e x －1－x ． （Ⅰ）求f (x )的最小值； （Ⅱ）设g (x )＝ax 2，a ∈R ．（ⅰ）证明：当a ＝12时，y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有唯一的公共点；（ⅱ）若当x ＞0时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．武汉市2014届高三2月调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．D 10．D 二、填空题11．0.6 12．3 13．33π 14．3 15．（Ⅰ）21；（Ⅱ）316．－33 17．（Ⅰ）0；（Ⅱ）28π3三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ①又A ＋B ＋C ＝π， ②由②－①，得B ＝π4．………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4，即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．…………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵0＜a 1＜2，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|＝2－(2－a 1)＝a 1． ∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22＝a 1a 3，即(2－a 1)2＝a 21，解得a 1＝1．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝2a 1， 解得a 1＝1．从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；因此，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．……………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．∵PC ⊥平面BDE ， ∴PC ⊥BD ．又P A ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面P AC ．………………………………………………6分 （Ⅱ）如图，设AC 与BD 的交点为O ，连结OE ．∵PC ⊥平面BDE ，∴PC ⊥OE ．由（Ⅰ）知，BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥AC ， 由题设条件知，四边形ABCD 为正方形．由AD ＝2，得AC ＝BD ＝22，OC ＝2．在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝12＋(22)2＝3． 易知Rt △P AC ∽Rt △OEC ，∴OE P A ＝CE AC ＝OC PC ，即OE 1＝CE 22＝23，∴OE ＝23，CE ＝43． ∴V E -BCD ＝13S △CEO ·BD ＝13·12OE ·CE ·BD ＝16·23·43·22＝827．………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝e x －1．令f ′(x )＝0，解得x ＝0．当x ＜0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0．……………………………………………4分 （Ⅱ）设h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －ax 2，则h ′(x )＝e x －1－2ax ．（ⅰ）当a ＝12时，y ＝e x －1－x 的图象与y ＝ax 2的图象公共点的个数等于h (x )＝e x －1－x －12x 2零点的个数．∵h (0)＝1－1＝0，∴h (x )存在零点x ＝0． 由（Ⅰ），知e x ≥1＋x ，∴h ′(x )＝e x －1－x ≥0，∴h (x )在R 上是增函数，∴h (x )在R 上有唯一的零点．故当a ＝12时，y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有唯一的公共点．………9分（ⅱ）当x ＞0时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝g (x )的图象的上方⇔当x ＞0时，f (x )＞g (x )，即h (x )＝e x －1－x －ax 2＞0恒成立． 由（Ⅰ），知e x ≥1＋x （当且仅当x ＝0时等号成立）， 故当x ＞0时，e x ＞1＋x ．h ′(x )＝e x －1－2ax ＞1＋x －1－2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，h ′(x )≥0（x ＞0），∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数，又h (0)＝0， 于是当x ＞0时，h (x )＞0．由e x ＞1＋x （x ≠0），可得e －x ＞1－x （x ≠0），从而当a ＞12时，h ′(x )＝e x －1－2ax ＜e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，h ′(x )＜0，此时h (x )在(0，ln2a )上是减函数，又h (0)＝0， 于是当x ∈(0，ln2a )时，h (x )＜0．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，12]．……………………………14分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)． 又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ①直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ② 由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………6分（Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1．∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1．∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0． 由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0， ∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）． (14)。