微分中值定理开题报告
微分中值定理的证明与应用开题报告
论文题目:微分中值定理的证明与应用
系别:数计系
专业:数学与应用数学
班级:数学0901
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学号:**********
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二〇一二年九月六日
五应收集的资料及主要参考文献1华东师范大学数学系数学分析高等教育出版社2徐森林薛春华数学分析清华大学出版社20053钱吉林数学解题精粹第二版崇文书局20094常敏慧关于微分中值定理的证明及思考j中国科技信息5韩应华姚贵平王振寰微分中值定理的推广及应用j内蒙古农业大学学报六毕业论文进度安排1选题2012年06月15日2012年08月26日2开题报告2012年08月27日2012年09月08日3收集资料及实施研究2012年09月09日2012年10月10日4完成初稿2012年10月11日2012年10月31日5完成修改稿2012年11月01日2012年11月25日6完成定稿2012年11月26日2012年12月06日7答辩2012年12月07日2012年12月16日学生签字指导教师
微分中值定理开题报告
3．本课题的研究内容
本课题拟从以下几个方面研究：
一、对微分中值定理的几点证明
1.微分中值定理的一种统一证法
2.微分中值定理的一种逆向分析证法
二、微分中值定理的推广
1.讨论微分中值定理的内在联系
2.讨论三个定理的推广形式，并给出简单证明
3.加强条件之后的深层阐述
三、微分中值定理的一些应用
第二阶段：中期（2011年10月22日——2011年11月21日）
第三阶段：结题（2011年11月22日——2011年12月23日）
预期效果：
1.研究微分中值定理的一些证法；2.研究微分中值定理在解题中的应用；3.形成论文
5．参考文献
[1]刘玉莲，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2003.
[2]同济大学应用数学系，高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2008.
2．本课题的研究现状
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
微分中值定理相关知识在高中数学中的应用及调查研究
微分中值定理相关知识在高中数学中的应用及调查研究微分中值定理在高中数学中有着重要的应用，一般应用于求函数在某点处的导数。
以下是相关调查研究：一、高中数学中微分中值定理的应用1、定义：微分中值定理是指，若在给定的[a,b]区间上存在f(x)的连续导数，则存在α∈(a,b)，使f'(α) = (f(b) - f(a))/(b - a)；2、具体应用：（1）高中数学中，通常用微分中值定理求函数f(x)在某给定点x=α处的导数；（2）运用微分中值定理，可以证明分段函数也是连续可导的；（3）运用微分中值定理，可以证明某些函数在某给定点处有极值点。
二、调查研究1、目的：研究高中学生对微分中值定理的认知情况，探索该定理的教学策略；2、调查对象：采用简单随机抽样的方法，从某高中抽取500名学生作为本次调查的对象；3、收集方法：采用问卷调查的方式收集学生对微分中值定理的掌握情况、对导数求法及应用的了解、对证明及计算题目的把握等信息；4、数据分析：Divided into gender, age, academic results, major and other categories to comparative analysis of statistics, obtain the application of the theorem the general cognition and understand the situation, making instruction more targeted and effective.三、结论本次调查研究表明，大部分高中学生基本能够理解微分中值定理，但遇到具体的实际应用问题时，仍存在不少准确的理解和熟练的掌握问题。
这一结果表明，微分中值定理的教学需要加强实际应用和技能训练。
本次调查研究，可为高中数学中微分中值定理的教学提出具体建议，指导教师在教学中重点强调把理论与实践结合，注重学生的实际操作能力。
微分开题报告
微分开题报告微分开题报告引言：微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化率和曲线的切线问题。
微分学的应用广泛，涉及到物理、工程、经济等领域。
本文将探讨微分学的基本概念和应用，并介绍一些相关的研究课题。
一、微分学的基本概念1.1 函数和导数函数是数学中的基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
而导数则是函数在某一点的变化率，它可以用来描述曲线的陡峭程度。
导数的计算方法有很多，包括极限、差商和微分等。
1.2 微分的几何意义微分可以理解为函数在某一点的线性近似，它可以用来求解曲线的切线方程。
切线是曲线在某一点的局部近似，它在几何学中有着重要的应用。
二、微分学的应用2.1 物理学中的微分学微分学在物理学中有着广泛的应用，例如描述物体的运动状态、求解力学问题、研究电磁场等。
微分学的概念和方法为物理学提供了强大的工具，使得我们能够更好地理解和解释自然现象。
2.2 工程学中的微分学工程学中的许多问题都可以通过微分学来求解，例如建筑物的结构分析、电路的设计和控制系统的优化等。
微分学的应用使得工程师能够更好地设计和改进各种工程系统，提高其性能和效率。
2.3 经济学中的微分学微分学在经济学中有着重要的应用，例如求解最优化问题、研究市场供求关系和分析经济增长等。
微分学的方法可以帮助经济学家理解和预测经济现象，为经济决策提供科学依据。
三、微分学的研究课题3.1 非线性微分方程非线性微分方程是微分学中的一个重要研究课题，它描述了许多复杂的现象和系统。
研究非线性微分方程可以帮助我们理解和解决许多实际问题，例如天气预测、生态系统的稳定性和人口增长等。
3.2 偏微分方程偏微分方程是微分学中的另一个重要研究课题，它描述了多变量函数的变化规律。
偏微分方程在物理学、工程学和金融学等领域都有着广泛的应用，例如描述热传导、流体力学和期权定价等问题。
3.3 微分方程的数值解法微分方程的数值解法是微分学中的一个重要研究领域，它研究如何用计算机来求解微分方程。
一元函数微分学的开题报告
一元函数微分学的开题报告研究背景微分学是数学中重要的分支之一，主要研究函数的变化率和极值问题。
而一元函数微分学则是微分学中的一个基础部分，研究的对象是只有一个自变量的函数。
一元函数微分学有着广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等领域中。
本报告将重点讨论一元函数微分学的基本概念和性质，以期对这一领域进行深入研究和探索。
目标和方法目标：通过研究一元函数微分学，掌握函数的变化率和极值问题的求解方法，进一步深化对微分学的理解，并为相关领域的应用提供支持。
方法：1.学习一元函数微分学的基本概念和性质；2.分析一元函数的导数和微分的意义及其计算方法；3.研究一元函数的极值问题和最值判定方法；4.进行实例分析和数学模型建立；5.总结研究成果并形成开题报告。
研究内容一元函数微分学的研究主要涵盖以下内容：1. 函数的基本概念•函数的定义和符号表示；•函数的定义域和值域；•函数图像的性质及绘制方法；•函数分类和常见函数类型。
2. 导数和微分•导数的定义和基本性质；•导数的几何和物理意义；•导数的计算方法和求导法则；•微分的定义和性质。
3. 函数的极值问题•极值的定义和判定条件；•函数极大值和极小值的求解方法；•函数最值的判定方法。
4. 实例分析和数学模型建立通过实例分析和数学模型建立，将一元函数微分学中的相关概念和方法应用到实际问题中，进一步加深对这些概念和方法的理解和运用能力。
预期成果通过本次研究，预期获得以下成果：1.对一元函数微分学的基本概念和性质有深入理解；2.掌握函数的变化率和极值问题的求解方法；3.提高数学建模和问题解决的能力；4.形成开题报告，为进一步研究和探索提供基础。
时间安排•第1周：熟悉一元函数微分学的基本概念和性质；•第2周：学习一元函数的导数和微分的定义、计算方法和性质；•第3周：研究一元函数的极值问题和最值判定方法；•第4周：进行实例分析和数学模型建立；•第5周：整理研究成果，撰写开题报告。
中值定理开题报告
中值定理开题报告一、引言中值定理是微积分中的重要概念之一，其应用广泛且深入。
它帮助我们理解函数的特性和性质，并在求解实际问题时提供了一种有力的工具。
本文将对中值定理进行探讨，分析其背景、定义和应用，并展示其在数学和实际问题中的重要性。
二、背景中值定理是由数学家菲尔雅克于17世纪初提出的，它是微积分的基石之一。
中值定理的提出，打破了以欧几里得几何学为基础的传统数学思维模式，引领了微积分的发展。
中值定理也是函数的重要特性之一，它描述了函数在某个区间内的变化情况，并提供了求解方程和不等式的方法。
三、中值定理的定义中值定理主要包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理，它们提供了函数在某个区间内的导数、积分及连续性的关系。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常用的一种形式。
它表明如果函数在某个区间上满足一定条件，那么在该区间内必然存在某个点，使得函数在该点处的导数等于函数在整个区间上的平均变化率。
具体表达式如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且(a, b)内的函数导数不恒等于零，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f(b) - f(a) = f’(c) * (b - a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式。
它表明如果两个函数在某个区间上满足一定条件，则存在某个点，使得这两个函数在该点处的导数之比等于这两个函数在整个区间上的函数值之比。
具体表达式如下：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且(a, b)内的函数导数不恒等于零，且g’(x)不为零，则存在一个介于a和b之间的数c，使得[f(b) - f(a)] * g’(c) = [g(b) - g(a)] * f’(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中最简单也最容易理解的一种形式。
它表明如果函数在某个区间上满足一定条件，则必然存在某个点，使得函数在该点处的导数等于零。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
中学微积分课程教学研究的开题报告
中学微积分课程教学研究的开题报告一、研究背景微积分是现代数学中最为重要的一部分，它广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等领域。
中学微积分课程作为初步学习微积分的重要环节，在数学教育中具有重要的地位。
然而，传统的微积分课程教学形式往往缺乏足够的活力和趣味性，不利于学生深入理解微积分的基本理论和应用技巧。
因此，对中学微积分课程教学进行深入研究，探索有效的教学方法和策略，有助于提高学生的学习兴趣和学习成绩，进一步促进数学教育的发展和创新。
二、研究目的和意义通过对中学微积分课程教学进行研究和探索，旨在实现以下目标：1. 总结和分析中学微积分课程的教学现状和问题，揭示教学中存在的困难和挑战。
2. 研究有效的中学微积分教学方法和策略，探索适合学生学习特点和需求的教学方式。
3. 通过教育教学实践，评估不同教学方法的效果和应用价值，提出改进和完善的建议。
通过实现以上目标，本研究对于推动中学微积分课程教学改革和提高教育教学质量具有重要的意义和价值。
三、研究内容和方法1. 研究内容(1) 中学微积分课程教学现状和问题的分析。
(2) 中学微积分教学方法和策略的研究与探索。
(3) 教育教学实践的开展和评估。
2. 研究方法(1) 文献资料法：通过文献调查和阅读相关的书籍、教材、论文等资料，了解中学微积分课程教学的基本情况和教育教学的发展趋势。
(2) 调查问卷法：通过向中学生、教师等目标对象发放问卷调查，了解他们对中学微积分教学的看法和建议，分析中学微积分教学存在的问题和需要改进的方向。
(3) 实验研究法：通过实验研究的方式，对不同的教学方法和策略进行比较和分析，评估不同教学方法的具体效果和应用价值。
四、预期成果通过本研究，预期可以取得以下成果：1. 深入了解中学微积分课程教学的现状和问题，提出针对性的改进建议和措施。
2. 提出一系列适合中学生学习特点和需求的微积分教学方法和策略，丰富课程内容，提高学生学习兴趣和效果。
3. 对教育教学实践进行科学评估和总结，得出中学微积分教学改革的经验和启示，为今后的教学工作提供有益的指导和参考。
微分中值定理研究报告和推广
渤海大学毕业论文<设计）题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙主修专业数学与应用数学所在院系数学系入学年度 2002年9月完成日期 2006年5月25日指导教师张玉斌目录引言 (1)一、中值定理浅析 (1)1、中值定理中的 (1)2、中值定理中条件的分析 (2)二、微分中值定理的推广 (4)1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4)2、中值定理矢量形式的推广 (7)3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9)4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12)5、高阶微分中值定理 (15)结束语 (19)参考文献 (19)微分中值定理的研究和推广张士龙<渤海大学数学系锦州 121000 中国）摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。
本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。
后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。
从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。
关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。
The Research and Popularization of The Differential MeanValue TheoremShilong Zhang(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem.Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order引言罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。
中值定理毕业设计题目
中值定理毕业设计题目中值定理是微积分中的重要定理之一，它在函数的连续性和导数性质的研究中起到了关键作用。
本文将探讨中值定理的概念、证明以及其在实际问题中的应用。
中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它是微积分中的一个基本定理。
中值定理包括了拉格朗日中值定理和柯西中值定理两部分。
首先，我们来介绍拉格朗日中值定理。
它的表述是：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)内存在一点c，使得f(b) - f(a) =f'(c)(b - a)。
这个定理的直观意义是：在一个连续可导的函数上，存在一个点c，使得函数在该点的切线与函数在区间[a, b]上的平均变化率相等。
为了更好地理解中值定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一辆汽车在某个时间段内行驶了100公里，我们可以通过中值定理得到，在这个时间段内，必然存在一个时刻，汽车的瞬时速度等于汽车在整个行驶过程中的平均速度。
接下来，我们来介绍柯西中值定理。
它的表述是：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则在(a, b)内存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的直观意义是：在两个连续可导的函数之间，存在一个点c，使得这两个函数在该点的导数之比等于它们在区间[a, b]上的函数值之比的导数。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，中值定理可以用来解释市场供需关系。
根据中值定理，如果市场上某种商品的供应和需求都是连续可导的函数，并且在某一时刻供应和需求相等，那么在该时刻市场上的价格将达到平衡。
此外，中值定理还可以应用于物理学中的运动问题。
例如，我们可以通过中值定理来证明物体在某一时刻的瞬时速度等于其在整个运动过程中的平均速度。
总结起来，中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在某个区间内的平均变化率与函数在该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。
中值定理的分析性质研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学中值定理的分析性质研究一、选题的背景、意义人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展至此是对微分中值定理和积分中值定理的讨论，人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展的过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性．微分中值定理的形成历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程，是一些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程．“数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边．数学科学发展的这种特点是根深蒂固的．”中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广。
拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。
微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地。
微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论.它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间,对它的研究时有山现.特别是近十年来,我国对中值定理的新证明进行了研究，如微分中值定理的推广、证明方法、中间点的渐近性及与定理有关的证明题中辅助函数的构造等问题。
中值定理开题报告
中值定理开题报告中值定理开题报告一、引言中值定理是微积分中一个重要的定理，它在数学分析和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将对中值定理进行探讨和研究，分析其数学原理和实际应用。
二、中值定理的数学原理中值定理是微积分中的一个基本定理，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理都是基于函数在闭区间上连续和可导的条件下成立的。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最基本的定理之一。
它表明，如果一个函数在闭区间上连续并在开区间上可导，那么在这个闭区间内，至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于函数在该区间的平均变化率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理中的另一个重要定理。
它是拉格朗日中值定理的推广，适用于两个函数在闭区间上连续且可导的情况。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间上连续并在开区间上可导，那么在这个闭区间内，存在一个点，使得两个函数在该点的导数之比等于两个函数在该区间的函数值之差的比值。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的另一个重要定理。
它是拉格朗日中值定理的特殊情况，适用于函数在闭区间上连续且可导的情况。
罗尔中值定理表明，如果一个函数在闭区间的两个端点的函数值相等，并在开区间上可导，那么在这个闭区间内，至少存在一个点，使得函数在该点的导数等于零。
三、中值定理的实际应用中值定理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
下面将介绍中值定理在物理学和经济学中的应用。
1. 物理学中的应用中值定理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在运动学中，中值定理可以用来证明平均速度和瞬时速度之间的关系。
在力学中，中值定理可以用来证明牛顿第二定律。
中值定理还可以应用于电磁学、光学和热力学等领域的问题中。
2. 经济学中的应用中值定理在经济学中也有着重要的应用。
例如，在经济学中，中值定理可以用来证明供需曲线的交点处存在市场均衡价格和数量。
中值定理还可以应用于经济增长模型、投资分析和市场竞争等问题中。
微积分在中学数学中的应用开题报告
目前，探究微积分在中学数学中有哪些应用的文章非常之多。研究的范围也是相当广泛的，无论从代数方面还是几何方面。
其中，杜忠芬在他的《浅谈微积分在初等数学中的应用》一文中，从导数中值定理定积分等方面应用都有研究。利用定积分研究弧长、旋转体体积、旋转曲面面积做了较为全面分析。郑玉琳在他的《微积分在初等数学解题中的应用》主要探究了微积分在代数方面的应用，选取了历年来的一些高考试题，尤其在不等式及恒等式的证明这块，通过构造函数利用函数单调性来证，简单新颖。微分中值定理是微分学的理论基础，它是研究函数整体性态一个分析工具。在初等数学中又是用来研究不等式及根的存在性的一个有力工具。天津师范大学数学院的杨旭婷在《浅析微分中值定理的应用》中系统总结了中值定理及定理间相互联系。并利用Roll中值定理证明根存在性。在中学数学中组合恒等式证明也一直是个难点，但适当利用微积分知识该问题也可较易得到解决。对于此问题吴琼杨在他一篇《浅谈微积分在组合恒等式证明中的应用》作了较详细的介绍。将恒等式的一侧归结为和式幂函数在某区间的定积分形式，用积分法来证明。本文主要在一些学者研究的基础上对微积分在中学数学中最典型和应用最多的几个方面进行研究讨论，如不等式证明、恒等式证明、方程根的存在性及中学几何公式证明等。通过具体的实例加以分析。
<1>、2012年12月15日—12月31日：论文选题、查阅资料。
<2>、2013年1月1日—1月20日：开题、撰写开题报告。
<3>、2013年2月1日—3月25日：撰写论文、提交初稿。
<4>、2013年4月2日—4月11日：修改初稿、提交第二稿。
<5>、2013年4月20日—4月30日：修改第二稿、定稿。
有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告
有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告开题报告有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究一、选题的背景、意义1.辅助函数构造法背景当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时,可根据题设条件和结论特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式??构造辅助函数。
辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
通过查阅现有的大量资料发现,现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多,其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路,但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。
通过构造辅助函数,可以解决数学分析中众多难题,尤其是在微积分学证明题中应用颇广,且可达到事半功倍的效果。
2.研究现状及发展趋势辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具,对它的研究从没中断过,众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究,也取得了很多学术成果。
辅助函数构造法在数学的发展过程中,有着非常重要的地位,许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决,所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中,它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。
本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路,现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。
相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。
二、相关研究的最新成果及动态本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用,而其中主要分三部分内容,一是通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导,尤其是其中辅助函数的构造思想;二是讨论有关中值命题证明中辅助函数构造的方法,归纳罗列出几种常见的方法,从而方便的解决有关中值命题的证明;三是在具体的题目中运用所罗列的构造法,体味构造法的思想。
微分中值定理开题报告
- 1 - 附件10：论文（设计）管理表一昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目微分中值定理的若干推广及其应用系（院）数学与应用数学专业班级07 级数本（2）班学科理科学生姓名李娜指导教师姓名黄永峰学号0725809061 职称助教一、选题的根据（1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主要参考文献等。
2、撰写要求：宋体、小四号。
） 1.选题的来源及意义微分中值定理是数学分析课程中的重要内容，同时也是微积分学的基本定理，是研究函数性质的有力工具。
函数与其导函数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理正好起到了这种作用。
它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微积分学理论应用的桥梁与基石。
但其理论性较强，内容抽象，在许多的教材中定理的形式单一，导致学生的兴趣不大，同时理解和应用起来比较困难，甚至容易得出错误结论。
本文针对这一情况，着重论述微分中值的内涵以及相互联系，希望能运用多种方法给出证明，同时对定理的形式和结论做一些推广，并给出一些比较好的应用. 2.国内外研究状况人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。
1637 年，法国著名数学家费马（Fermat，1601—1665）在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，在许多教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。
罗尔于1691 年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。
一百多年后，即1846 年，尤斯托.伯拉维提斯将这个定理推广到可微函数，并把此命题命名为罗尔定理。
1797 年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。
对微分中值定理进行系统研究的是法国的数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，其三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》及《微分计算教程》以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。
微分中值定理应用之中值点存在性研究报告
微分中值定理的应用之中值点存在性的研究1引言微分中值定理 <罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）是微分 学的基本定理，在微积分中占有非常重要的地位，有着广泛的应用，其中证明某区间上满足 一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试卷中经常出 现的题型之一 •利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证 明思路，解决此类问题的关键是构造辅助函数，而构造辅助函数技巧性较强，本文通过一些 典型题目的求解，全面总结了证明此类问题的技巧与方法2 一个中值点的情形 <1）原函数法在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造辅助函 数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论 不同而不同•①直接法这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数 例1函数 一 在 一 上连续，在_I 内可导，证明：在_I 内至少存在一点-I ，分析：结论等号左侧显然是函数一在区间一两端点函数值的差与区间长度例2 函数I 一在 “I 上连续，在-I 内可导 _________ I ，试证：存在 _________IE 之商,于是联想到对函数—:使用拉格朗日中值定理证明：令 ---------- 1，显然 "在I 上满足拉格朗日中值定理条件 •于是知：在二内至少存在一点注，使得 ，而，即得结论.证毕.证明：令 I ，易知.p , 在“上满足柯西中值定理的条件，于是可得：存在 1 = 1 ，使1 = 1，即X ]，亦即\ X][X ■ .证毕•②因值法此方法的解题思路是： 把常数部分设为 T ，然后作恒等变形使等式一端为 巴与回构成的代数式，另一端为与 — 构成的代数式，分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，则把 ＜或匸）改为，相应的函数值 一 ＜或一）改为一，则替换变量 后的表达式就是所求的辅助函数 —.例3＜拉格朗日中值定理） 如果函数 “ 满足：＜1）在闭区间 —上连续； ＜2 ）在开区间 _I 内可导，则在开区间 —I 内至少存在一点 ，使得 ----------- : .分析:结论可变形为 [K ■ ，令 EHJ ，则_______ :，显然这是一个对称式，故可令 ______ I .证明：作辅助函数 _________________ I ，显然在一上连续，在—I 内可导，且，因此一 一上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点 一I 使得 一I ，即| ，亦即: .证毕.注：例1、例2也可以用此方法证明. ③积分法这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的 换成，通过恒等变形将结论化成____ I的形式，然后用观察或直接积分＜如果不易通过使得分析：将结论变形为理，辅助函数显然可取为IrJ，等式左端的形式很容易联想到柯西中值定观察得到）求得原函数―，积分常数取为0.例4设函数M在IV上连续，在I内可导，且厂一.证明：至少存在一点，使分析：结论即要证明函数在=!内有根，而，即证明函数在E内有零点•因结论中含有函数导数,可考虑利用罗尔定理•通过观察易发现，于是辅助函数可取为证明：令一在一上连续，在—内可导于是由罗尔定理知:至少存在注：例1,例例5设函数，故，即2,例3也可使用这种方法证明一一在一上连续，在_I内可导，且证明：至少存在一点，使分析：结论即要证明函数」在口内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函数的原函数通过观察可能感到有点困难•将变形为，即要证明函数EE1 在一内有相同的零点，于是可取原函数为证明：令,显然一在—I内可导，且，于是由罗尔定理知：至少存在一点一I当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明例6设函数-I在IV上有二阶导数，且.“ II , ________ I ，证明：在n内至少存在一点，使得_______ I .分析：结论即要证明函数—在n 内有零点，可考虑对函数ri 使用罗尔定理，关键是要找到使得厂I函数值相等的两个点.而一^ ij ，易知___ ，而由题设知一显然在一上满足罗尔定理条件，故必存在点___ I ,使得L-，在IV上对函数_1使用罗尔定理即得结论•证明：—显然在____________ 满足罗尔定理的条件，故存在点―I ,使得―I .因为______________ I ，由条件易知_:在一上连续，在—内可导，且-II ，于是由罗尔定理知：在- 内至少存在一点-I，使得___ : .证毕.例7 设函数「—在上二阶可导.且1 — 1 1-1 1-1 冋试证：＜1）在—1 内-------- 1；＜2）至少存在一点--- 1 ，使____ 1 .分析：＜1）类似_______ 1___ 1 或_______ 多用反证法证明.＜2）仍可考虑使用罗尔定理，关键是寻找辅助函数，结论可变形为即证函数__________ I 在一内有零点.由故可取为原函数.证明：＜1）假设存在一点I 使 ________ ，显然口在_______________ :上满足罗尔定理条件.于是存在.：-：丨，I 使得-：I , .而.、I在丨上又满足罗尔定理条件，于是存在_______ II ，使得___________ I ，与题设条件矛盾.故在.、I内：* I .<2）令—__________ : ，显然"在" 上连续，在—I内可导，且I ________ I ，由罗尔定理知至少存在一点g I ，使得L-，又| .证毕.<2）泰勒公式法当题设中出现高阶导数<三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性例8 若函数一在和上有三阶导数，且______ ，设______________ f 试证：在E 内至少存在一个点-I，使〔“II分析：由题设显然函数I-JI在IV上有三阶导数，故考虑利用I-JI的泰勒展开式证明：—在3处的二阶泰勒展开式为：至少存在一个点―I，使得因为----------- f ，I ,所以—，于是得.而 _________ | ，故 ___ .证毕.注：此题也可使用三次罗尔定理证明.例9设函数一在闭区间—:上具有三阶连续导数，且 ___ : ， :——I .试证：在开区间一I内至少存在一点，使——:.证明：由一I ，得—在二处的二阶泰勒公式为，故.由（1>知―I，即得<・|介于0与「之间，I_______ I ）由题设知两式相减，可得I •又一I在区间 _:连续，从而在l：T|上也连续，故八1在区间I「T|上有最大值和最小值一.从而有由介值定理知，至少存在一点_ _______ ' ，使得 ___________ :.证毕.3两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理例io已知函数M在口上连续，在n内可导，且.沃II ，—I ，证明：<i）存在—I ，使<2）存在不同的两个点__________ I ，使得_______________分析：<1）即证函数 __________ I 在一内有零点，可用零点定理证之.<2）要证满足条件的两个不同点，可考虑在不同区间上使用中值定理.而（1>中点即把区间一分为两个区间 _____________ I ，对一在两个区间上分别使用拉格朗日中值定理，再寻求两个结论之间的关系即可.证明：（1>令 __________________ I ，显然I—II在IV上连续，且II_______________ 一，则由零点定理知，至少存在一点―I，使―I，即________ :.<2）显然一在区间------------------ 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在一点•FI ，使得--------- 1 ，即;存在一点___ I ，使得___________ I ，即.从而______ I .证毕.例11函数一在一上连续，在—I可导，二_ ，试证:存在---------- 1分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的II 二部分可看作函数—与在点处的导数之商，故联想到柯西中值定理•再对"I 使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系存在 I ，使得 __________ I______ : .由以上两式得：存在 __________ I ， 使即 M || .证毕.4含中值点的积分等式的证明这种命题的基本思路是：将题设中的定积分转化为变限积分的函数，这一函数通常即可 作 为辅助函数，再结合微分中值定理得到证明分析：<1）可用连续性及极限的相关知识证明证明：令，易知 一 与一在一上连续，在可导，且由柯西中值定理知，存在 _________________________ ，使得.而由拉格朗日中值定理知,例12设函数一在一上连续，在若极限存在，证明 <2 ）在 一I 内存在一点 ，使<3）在一1内存在与<2）中不同的点，使内可导，且<1 ）在 "I 内证明：设由积分中值定理知存在 --- 1 ，使得 .而 一I 时,<3）结论中出现了—，联想到对函数— 在区间 上利用拉格朗日中值定理证明：<1）由存在及函数—在区间—上连续，知、」内可导，又.--II ，故满足柯西中值定理的条件，所以存在一点注：将题设中的定积分转化为变限积分的函数是定积分证明题中的常用方法例13设函数 "I 在 "I 上连续，且亠|I .证明：在.I--'内至少存在两个不同的点 ,使 ______________ J分析：直接证明函数 I-JI 在一 内至少存在两个不同的零点比较困难，若令，而1 ，故可证— 在.上^内至少存在两个不同的零点<2）将结论变形为 ，则左侧 可看作函数X H 在”.|端点函数值之差，而.再由等式特点可知对函数在 H 上利用柯西中值定理即可内单调增加，故当―I 时,<2）令显然 ________ I 在"上连续，在___ I ，使得（3>对函数— 在区间 _J 上利用拉格朗日中值定理知存在 ____ I ，使得，即 ______________ I ，代入<2）的结论，即得.又因知"在_I，则______________口，故.X II .在区间J - 上分别使用罗尔定理知：存在I ，使得I 3 II ，.:-:丨•即I •证毕•例14设函数口在上连续，且〔，试证：至少存在一点」，使工分析：将结论变形为，容易看出对函数1，X 1 在回上使用柯西中值定理即可•1I，显然回，回在回上满足柯证明：设西中值定理的条件, 于是知至少存在一点使得| ，即.证毕•。
中值定理及两类函数的高阶优化条件的开题报告
中值定理及两类函数的高阶优化条件的开题报告一、题目中值定理及两类函数的高阶优化条件二、文献综述1.中值定理中值定理是高等数学中的基本定理之一，它在实际应用中具有广泛的重要性。
中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
拉格朗日中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)=f'(c)/g'(c)。
这些定理在求解函数的极值、方程的根、恒等式及近似计算中有广泛的应用。
2.两类函数的高阶优化条件在最值问题的研究中，一般需要求函数的导数，进而求出导函数的一些性质，以此来确定函数取极值的位置，得到函数的最值。
对于单峰函数和凸函数，我们可以使用它们的二阶导数来确定它们的极值位置和最大值。
对于单峰函数：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]的内部有一点c，使得f(c)是f(x)的最大值，则f(x)在c处存在第一阶导数和第二阶导数，f'(c)=0，f''(c)<0。
对于凸函数：设函数f(x)在开区间(a,b)上有定义，且在(a,b)内是凸函数，则f(x)在(a,b)内存在的最小值点c处，f(c)存在一阶导数和二阶导数，f'(c)=0，f''(c)>0。
三、选题意义与研究目的中值定理在实际应用中有着广泛的应用，研究了解它们的定理和应用，对于提高数学知识的系统性和完整性有着重要的意义，同时也为解决实际问题提供较为可靠的数学方法。
微分中值定理开题报告
微分中值定理开题报告微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
微分中值定理主要用于研究函数的性质和求解问题，它在数学和物理学等领域有广泛的应用。
微分中值定理是建立在导数的基础上的，导数是函数在某一点处的变化率。
微分中值定理主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三种定理都是通过函数在一个闭区间上的性质来得到的。
首先介绍拉格朗日中值定理。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)等于f(b)-f(a)除以b-a。
这个定理的几何意义是：若函数在一个闭区间上连续并且在开区间上可导，那么在这个闭区间内总有一点，它的切线与割线平行。
接下来是柯西中值定理。
该定理是在拉格朗日中值定理的基础上发展而来的。
柯西中值定理的条件是函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)不等于0。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)等于f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的几何意义是：在一个闭区间上的两个函数的切线之比等于这两个函数在开区间上的导数之比。
最后是罗尔中值定理。
该定理是在拉格朗日中值定理的基础上发展而来的。
罗尔中值定理的条件是函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)等于f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)等于0。
罗尔中值定理的几何意义是：在一个闭区间上的函数在开区间上的导数存在至少一个零点。
微分中值定理的证明可以通过利用导数的定义和中间值定理来完成。
其中，拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数来完成，柯西中值定理的证明可以通过应用洛必达法则来完成，罗尔中值定理的证明可以通过利用零点定理来完成。
微分中值定理证明与应用分析报告
本科生毕业论文（设计）题目微分中值定理的证明与应用分析姓名马华龙学号2009145154 院系电气与自动化学院专业测控与仪器技术指导教师春玲职称教授2012 年5月20日曲阜师大学教务处制目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (1)2 微分中值定理及其相关概念................................................ 错误!未定义书签。
3 微分中值定理的证明方法 (2)3.1 费马定理 (2)3.2 罗尔定理 (3)3.3 柯西中值定理 (5)4 定理的推广 (5)5 定理的应用 (7)5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式 (7)5.2 利用微分中值定理证明不等式 (8)5.3 讨论根的存在性 (9)6 总结 (10)致 (11)参考文献 (11)微分中值定理的证明与应用分析测控与仪器专业学生马华龙指导教师春玲摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中值定理，最后有介绍了中值定理的推广和应用。
详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的应用。
关键词：微分中值定理推广应用Differential Mean Value Theorem Proof and ApplicationAnalysisStudent majoring in Measurement and control technology and instrumentMa HualongTutor Wei ChunlingAbstract：T his paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem. The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.Key Words : differential mean value theorem Promotion application.1引言在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。
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一、微分中值定理的内容是什么？
1、 Rolle 定理
若)(x f 在],[b a 上连续，在内),(b a 可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点()b a ,∈ξ使0)(='ξf 。
2、 Lagrange 定理
若)(x f 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使)
()()()(a b a f b f f --='ξ 3、 Cauchy 定理
设)(x f ，)(x g 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得)
()()()()()(ξξg f a g b g b f a f ''=-- 二、三个中值定理之间有什么关系？
观察和类比这三个定理，从中可以发现，如果把罗尔定理中的)()(b f a f =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。
相反，如果在拉格朗日定理中添加)()(b f a f =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。
由此可知，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。
看拉格朗日定理和柯西定理这两者之间的关系，我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的x x g =')(的话，发现定理成为了拉格朗日定理。
所以他们二者之间的联系是： 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。
三、微分中值定理的应用有哪些？
1、利用定理证明方程根（零点）的存在性
2、利用定理求极限
3、利用定理证明不等式。