新北师大版初中九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明1强化练习

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北师大版九年级数学《相似三角形判定定理的证明》创新训练(含答案)

5 相似三角形判定定理的证明1.下面是一份试卷，要求学生对所列命题作出判断，认为是正确的，在括号里打上“√”；认为是错误的，打上“×”．现在请你对一个学生的答卷评分，答对的给“＋1”分，答错的给“－1”分，未答的给“0分”．（1）有两个角对应相等的两个三角形相似．（√）（2）有两条边对应成比例的两个三角形相似．（×）（3）有一个角对应相等而且两条边对应成比例的两个三角形相似．（√）（4）两个等边三角形不一定相似．（×）（5）两个等腰三角形一定相似．（×）（6）两个等腰直角三角形一定相似．（√）（7）两个矩形一定相似．（√）（8）两个正方形不一定相似．（×）（9）全等多边形一定是相似多边形．（√）（10）有一个角是40°的两个等腰三角形一定相似．（√）请你帮这位同学判断一下，他能得多少分呢？你能说说他答错的理由吗？2.我方侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员立即将食指竖直举起在右眼前，并将食指前后移动，使食指恰好将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离为40厘米，食指长8厘米，你能根据上述条件求出敌方建筑物的高度吗？请写出推理过程．3．请你设计三种不同的方案，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使每个小三角形都与原直角三角形相似．4.平行四边形ABCD中，M为对角线AC上一点，BM交AD于N，交CD 延长线于E。

试问图中有多少对不同的相似三角形？请尽可能多地写出来。

5.如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形。

（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PBD；（2）当△ACP∽△PBD时，试求∠APB的度数。

参考答案1.得2分．2.40米．3．4.△AMN ∽△CMB, △ABM ∽△CEM, △END ∽△EBC, △ABN ∽△DEN 等5.（1）由△PCD 为等边三角形，故∠PCD ＝∠PDC ＝60 o ，从而∠ACP ＝∠PBD=120 o ,若要△ACP ∽△PDB ，必要DBPD PC AC .从而 A C·DB ＝PC·PD ，又PC ＝PD ＝CD ，故CD 2＝AC·DB ；（2）由△PDB ∽△ACD ，所以∠A ＝∠DPB ，∠APC ＝∠B ，又因为∠A ＋∠APC ＋ACP ＝180o ，故∠A ＋∠APC ＝60o ，又∠CPD ＝60o ，故∠APB ＝∠APC+∠BPD+∠CPD=120o。

北师大版九年级上册数学学案4.5相似三角形判定定理的证明

4.5 相似三角形判定定理的证明学习目标：1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.【预习案】一、链接回忆相似三角形的判定定理的内容：定理1可简单说成： .定理2可简单说成： .定理3可简单说成： .直角三角形相似的特殊判定定理： .二、导读1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？【探究案】1、如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（）．A.∠ADC=∠ACBB.∠ACD=∠BC..DC ADAD AC D BC AC AC AB==2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．3、已知△ABC ，△DCE ，△EFG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG•在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF ，分别交AC ，DC ，DE 于P ，Q ，R ．求证：△BFG ∽△FEG ，尝试用不同的方法证明.【训练案】1、下列图形不一定相似的是（）．A、有一个角是120°的两个等腰三角形B、有一个角是60°的两个等腰三角形C、两个等腰直角三角形D、有一个角是45°的两个等腰三角形2、如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？3、顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？试证明.。

九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明学案 (新版)北师大版

相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理．【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研生成能力知识模块一相似三角形判定定理的证明先阅读教材P99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．知识模块二相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C)A．1组B．2组C．3组D．4组2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC 公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE 和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD，∠BCE ＝∠BAD，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BE BD ，即：BC BE ＝AB BD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝AB BD，∴△DBE ∽△ABC.对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF ＝EF.△EDF 为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB，∠ABE ＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB ＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD ＝∠C，∠A ＝∠A，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝AD AB .∵AB ＝AE ，∴AE AC＝AD AE，即AE 2＝AD·AC. 交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一相似三角形判定定理的证明知识模块二相似三角形判定定理的应用检测反馈达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD∽△CBA.证明：∵AB＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BD BA.而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ ∽△CBA ，BP BC ＝BQ BA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

秋九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明课后作业1 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中

相似三角形判定定理的证明一、教材题目：P102，T1-T41．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是三边上的点，AE=BF=CD,那么△ABC 与△DEF 相似吗？请证明你的结论。

2．已知：如图，.AD DE AE AC AB BC==求证：AB=AE 。

3．已知：如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的一点，∠CBD 的平分线交AC 于点E, 且AE=AB 。

求证：AE 2=AD ·AC.4.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？二、补充题目：部分题目来源于《典中点》2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在AB上，F，G分别在BC，AC上．(1)证明：△ADG∽△FEB；(2)若AD＝4，BE＝2，求正方形DEFG的边长．(第2题)5．(2015·某某)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．(1)求证：△BDE∽△BAC；(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．(第5题)答案教材1．解：相似．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.又∵AE ＝BF＝CD，∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CD，即BE＝FC＝AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE＝EF＝FD.∴△DEF 是等边三角形．∴△ABC∽△DEF.2．证明：在△ADE 和△CAB 中，∵AD AC ＝DE AB ＝AE CB，∴△ADE∽△CAB(三边成比例的两个三角形相似)．∴∠AED＝∠B.∴AB＝AE.3．证明：∵AE＝AB ，∴∠AEB＝∠ABE，即∠EBC＋∠C＝∠ABD＋∠DBE.又∵BE 平分∠CBD，∴∠DBE ＝∠EBC.∴∠ABD ＝∠C.又∵∠A ＝∠A ，∴△ABD∽△ACB.∴AB AC ＝AD AB.∴AB 2＝AD·AC.∵AE＝AB ，∴AE 2＝AD·AC.4．解：设t s 时△QBP 与△ABC 相似．此时AP ＝2t cm ，BQ ＝4t cm ，则PB ＝(8－2t)cm .①当△PBQ∽△ABC 时，PB AB ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2，∴当运动2 s 时，△QBP 与△ABC 相似；②当△QBP∽△ABC 时，PB BC ＝BQ AB ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8，∴当运动0.8 s 时，△QBP 与△ABC 相似．典中点2．(1)证明：∵四边形DEFG 是正方形，∴∠ADG ＝∠FEB ＝90°.∵∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠AGD ＝90°，∴∠B ＝∠AGD.∴△ADG ∽△FEB.(2)解：设正方形DEFG 的边长为x ，则DG ＝EF ＝x.∵△ADG ∽△FEB ，∴DG BE ＝AD EF. ∴x BE ＝AD x. 即x 2＝AD·BE＝4×2＝8，易知x ＞0，∴x ＝2 2.即正方形DEFG 的边长为2 2..5．(1)证明：∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，∴∠C＝∠AED＝90°. ∴∠DEB＝∠C＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC.(2)解：由勾股定理得，AB＝10.由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°.∴BE＝AB－AE＝10－6＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2，即CD2＋42＝(8－CD)2，解得：CD＝3，∴AD＝AC2＋CD2＝3 5.。

2022学年北师大版九年级数学上册《4-5相似三角形判定定理的证明》寒假自主提升训练1(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》寒假自主提升训练1（附答案）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，且，则的值为（）A．B．C．D．2．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15B．20C．25D．304．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．255．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（）A．25B．9C．21D．166．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．7．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝cm．8．已知△ABC，∠C＝90°，点E为AB中点，EF⊥AF，∠BAC＝∠CAF，若BC＝2，AF＝1，则EF＝．9．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D2E3∥BC；…，D2021E2021∥BC，则＝．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC 的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为．11．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③AE2＝AD•AF；④AF＝AB+CF．其中正确结论为是．（填写所有正确结论的序号）12．在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2，AD＝4，求CE的长．13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE 是等腰三角形，求此时BD的长．14．如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝4，AB＝9，BC＝6．（1）求证：△BCD∽△BAC．（2）若CD＝5，求AC的长．15．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若△ABC的边长为9，BD＝3，求CE的长．16．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，∠BEF＝90°且CF ＝3FD．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求CG的长．17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，CE＝5．求证：（1）△ADE∽△ACB；（2）求AE的长．18．如图，△ABC为等边三角形，点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC的延长线上，连接AD，DE，∠ADE＝∠ABC．（1）求证：△ADB∽△DEC；（2）若BC＝4，DB＝2，求CE的长．19．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．21．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．22．如图，正方形ABCD，∠EAF＝45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2＝BG•DH；（2）求证：CE＝DG；（3）求证：EF＝HG．23．如图，△ABC中，点D在AC边上，且∠BDC＝90°∠ABD．（1）求证：DB＝AB；（2）点E在BC边上，连接AE交BD于点F，且∠AFD＝∠ABC，BE＝CD，求∠ACB 的度数．（3）在（2）的条件下，若BC＝16，△ABF的周长等于30，求AF的长．24．如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．（1）若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．当时，求x 的值．（2）如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，求的值．参考答案1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，故选：A．2．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴AB：CE＝BE：CF，∵E是BC的中点，BC＝6，∴BE＝CE＝3，∵AB＝4，∴4：3＝3：CF，解得CF＝，∴DF＝CD﹣DF＝4﹣＝．故选：B．3．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴＝，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．4．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．5．解：因为EF∥AB，DE：AE＝2：3，所以，所以S△DEF：S△ABD＝4：25，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以△ABD≌△BDC，△BDC的面积为25，所以△ABD的面积为25，所以△DEF的面积为4，则四边形AEFB的面积为21．故选：C．6．解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案为3．7．解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，∵AE＝AD，AG∥BC，∴△AEG∽△DEC，∴＝＝，又∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2CD，∴＝，∵AG∥BC，∴△AFG∽△BFC，∴＝＝，∴BF＝4AF＝8cm，∴AB＝AF+BF＝10cm，故答案为：10．8．解：如图，设AC与EF交于点D，过点E作EM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AB于点N，∵∠BAC＝∠CAF，∴DN＝DF，∵EM⊥AC，BC⊥AC，∴EM∥BC，∵点E为AB中点，∴M是AC的中点，∴EM＝BC＝，∵∠F＝∠DME＝90°，∠ADF＝∠EDM，∴△ADF∽△EDM，∴＝，∴＝，设DF＝x，则DM＝x，∴DE＝＝，AD＝＝，∵S△AED＝AE•DN＝AD•EM，∴AE•DN＝AD•EM，∴AE•x＝×，∴AE＝，在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴＝12+（+x）2，解得x＝，∴AE2＝＝9，∴AE＝3，∴EF＝＝＝2．故答案为：2．9．解：∵D1E1∥BC，∴△AD1E1∽△ABC，∴＝＝，∴D1E1＝BC；∵D1D2＝D1B，∴AD2＝AB，同理可得：D2E2＝BC＝（1﹣）BC＝[1﹣（）2]•BC，D3E3＝BC＝[1﹣（）3]•BC，∴D n E n＝[1﹣（）n]•BC，∴＝1﹣（）2021，故答案为：1﹣（）2021．10．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝，AD＝＝＝，∵FH∥EC，∴＝，∵EC＝EB＝2，∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，∵tan∠FCH＝＝，∴＝，∴k＝，∴FH＝，CH＝3﹣＝，∴CF＝＝＝，∴DF＝﹣＝，解法二：过E做EM⊥AB，利用平行线等分线段解决问题．故答案为．11．解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB＝BC，BE＝AB，∴tan A＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝2CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，∴AE＝2a，EF＝a，tan∠CFE＝2，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵BE＝CE，∴＝，∵∠B＝∠AEF＝90°，∴△ABE∽△AEF，∴＝，∴AE2＝AD•AF；故③正确；作EG⊥AF于点G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG+GF，∴AF＝AB+CF，故④正确，由上可得，②③④正确，故答案为：②③④．12．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，又△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠D＝∠AFE＝90°，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∠EFC+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵AB＝2，AD＝4，∴BC＝AD＝AF＝4，在Rt△ABF中，BF＝＝＝2，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，根据（1）中的结论△ABF∽△FCE，∴，即，解得CE＝，故CE长为．13．解：（1）∵∠B＝∠ADE＝∠C，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED；（2）当AD＝AE时，∴∠1＝∠AED，∵∠1＝45°，∴∠1＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°，∴点D与B重合，不合题意舍去；当EA＝ED时，如图1，∴∠EAD＝∠1＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3；当DA＝DE时，如图2，∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴DA：AC＝DE：DC，∴AC＝DC，∵∠B＝45°，∴∠C＝45°，∠BAC＝90°，∵BC＝6，∴，∴，综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为3或．14．解：（1）△BCD∽△BAC．理由如下：∵BD＝4，AB＝9，BC＝6，∴，，∴，而∠DBC＝∠CBA，∴△BCD∽△BAC；（2）∵△BCD∽△BAC，∴，即，∴．15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴∠BAD+∠ADB＝120°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝120°．∴∠BAD＝∠EDC．∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴．∵AB＝9，CD＝9﹣3＝6，∴，∴CE＝2．16．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90o，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD＝4，AD∥BG，∵CF＝3FD，∴DF＝1，设DE＝x，∵△ABE∽△DEF，∴，即，解得：x＝2，∴DE＝2，∵AD∥BG，∴∠DEF＝∠G，∵∠DFE＝∠CFG∴△CGF∽△DEF，∴，∵CF＝3FD，∴∴CG＝6．17．（1）∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，则，∵AB＝3，AD＝2，CE＝5，∴，解得：AE1＝1，AE2＝﹣6（舍去），∴AE的长是1．18．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°．∵∠ADE＝∠ABC＝60°，即∠ADB+∠CDE＝60°，又∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠E．∴△ADB∽△DEC；（2）∵BC＝4，DB＝2，∴DC＝BC+DB＝6，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝4，由（1）知△ADB∽△DEC，∴，即，∴EC＝3．19．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴＝＝，（）2＝•，∴．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EF A；（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EF A，∴，即，∴AE＝16.9，∴DE＝AE﹣AD＝4.9．21．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴，∴．22．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD，∵∠EAF＝45°∴∠BAG＝45°+∠BAH，∠AHD＝45°+∠BAH，∴∠BAG＝∠AHD，又∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴△ABG∽△HDA，∴，∴BG•DH＝AB•AD＝AD2；（2）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形∴∠ACE＝∠ADB＝∠CAD＝45°，∴AC＝AD，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠CAD，∴∠EAF﹣∠CAF＝∠CAD﹣∠CAF，∴∠EAC＝∠GAD，∴△EAC∽△GAD，∴，∴CE＝DG；（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，∴，同理得：△AFC∽△AHB，∴，∴，∴，∵∠GAH＝∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴，∴EF＝GH．23．（1）证明：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝90°﹣∠ABD，∵∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣（90°+∠ABD）＝90°﹣∠ABD，∴∠A＝∠BDA，∴DB＝AB；（2）在BC上截CH＝CD，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD+∠BAE，∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC，由（1）知∠BAD＝∠BDA，∵∠EAC＝∠BAD﹣∠BAE，∠C＝∠BDA﹣∠DBC，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE，∵BE＝CD，CH＝CD，∴BE＝CH，∴BE+EH＝CH+EH，∴BH＝GE＝AE，∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE，∴BE＝DH，∵BE＝CD，BE＝CH，∴DH＝CD＝CH，∴三角形CDH是等边三角形，∴∠ACB＝60°；（3）作AO⊥BC于点O，由（2）知∠EAC＝∠C，三角形CDH是等边三角形，∴∠CDH＝∠C＝60°，∴∠CDH＝∠EAC＝60°，∴DH∥AE，∵AE＝CE，∴三角形ACE是等边三角形，设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16﹣x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH，∴，∴BF＝＝AB，EF＝HD＝，∵△ABF的周长等于30，∴AB+BF+AF＝AB+AB+x﹣＝30，解得：x＝16﹣，∵三角形ACE是等边三角形，AO⊥BC∴Rt△ACO中，OC＝，AO＝，∴BO＝16﹣，在Rt△ACO中，AO2+BO2＝AB2，即+x2+（16﹣）2＝（16﹣）2，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴AF＝AE﹣EF＝x﹣＝﹣＝11．24．解：（1）如图1，过点G作GH⊥BF于H，则GH＝y，∵∠GHF＝∠C＝90°，∴GH∥EC，∵点G为EF的中点，∴FG＝GE，∴FH＝HC，∴EC＝2GH＝2y，∵DE+EC＝CD＝AB＝20，∴x+2y＝20，∴y＝﹣x+10（0＜x＜20），∵，∴设EC＝24k，BG＝13k，∵EC＝2GH，∴GH＝12k，由勾股定理得：BH＝5k，∴FH＝CH＝5k+10，∴FB＝10k+10，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABF＝∠D＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，∴∠F AB＝∠DAE，∵∠ABF＝∠D＝90°，∴△ADE∽△ABF；∴＝，∵y＝﹣x+10，x＝20﹣24k，∴＝，∴k＝，∴x＝20﹣24k＝；（2）如图2，连接BE，设DE＝a，CD＝BC＝b．∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，设DE＝a，CD＝BC＝b，∵∠F AB＝∠EAD，AD＝AB，∠D＝∠ABF，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴BF＝DE＝a，∴S1＝S△EBG+S△ECB＝S△BFE+S△EBC＝a（b﹣a）+b（b﹣a）＝b2﹣a2﹣ab，∵S＝b2，S＝4S1，∴b2＝2b2﹣a2﹣ab，∴a2+ab﹣b2＝0，∴（）2+﹣1＝0，解得＝或＝（舍去），∴的值为：．。

新版九年级数学(上)中考题同步试卷：相似三角形判定定理的证明

北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（01）一、选择题（共9小题）1．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m＝时，n的值为（）A．4﹣2B．2﹣4C．﹣D．2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．3．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA：O1A1＝k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③＝k；④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2．成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：15．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015．若h1＝1，则h2015的值为（）A．B．C．1﹣D．2﹣6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD 于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH 上．若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为何？（）A．10B．11C．D．二、填空题（共10小题）10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是．11．如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC＝2，则EF的长是．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1＝2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为．14．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+＝．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是．16．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为．17．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④BC﹣BF＝EH其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）．18．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n 为正整数）19．如图，正方形ABCB1中，AB＝1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015＝．三、解答题（共11小题）20．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4＝0，求△ABC的面积．21．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．（1）求证：P A•PB＝PD•PC；（2）若P A＝，AB＝，PD＝DC+2，求点O到PC的距离．22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．23．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若＝，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．24．如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM＝DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE＝BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD＝1：2，且CM ＝2，则线段DG＝．25．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．26．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB＝90°，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′＝BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立？请说明理由．27．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．28．如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝．（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．29．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（01）参考答案一、选择题（共9小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．D；6．C；7．C；8．C；9．D；二、填空题（共10小题）10．6；11．5；12．；13．3.6；14．1；15．18；16．5；17．①③；18．；19．2（）2014；三、解答题（共11小题）20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（06）一、选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（）A．B．C．D．2．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（）A．B．C．2D．33．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：54．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝，则△CEF的面积是（）A．B．C．D．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC＝（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：27．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，AD＝CD，CE 平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF＝AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM＝AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD ＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（）A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae9．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙10．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN 的面积比为（）A．B．C．D．11．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．B．C．D．12．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a13．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（）A．1B．2C．3D．414．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．815．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD 相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC 于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共9小题）16．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝．17．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝．18．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．19．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．20．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．21．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形，且A1、A2、A3…在AC边上，B1、B2、B3…在AB边上．则线段B n∁n的长用含n的代数式表示为．（n为正整数）23．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝..24．如图，AB是⊙O的直径，，AB＝5，BD＝4，则sin∠ECB＝．三、解答题（共6小题）25．如图l，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BE，BF．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．27．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究∠ABC 与∠ACN的数量关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．29．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F 在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．30．如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD＝AE．（1）求证：AB＝AC（2）若BD＝4，BO＝2，求AD的长．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（06）参考答案一、选择题（共15小题）1．B；2．B；3．A；4．C；5．A；6．D；7．D；8．A；9．D；10．B；11．A；12．C；13．D；14．D；15．B；二、填空题（共9小题）16．5；17．3：5；18．16；19．；20．5；21．；22．（）n；23．；24．；三、解答题（共6小题）25．；26．；27．；28．；1.8或2.5；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（07）一、选择题（共1小题）1．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共9小题）2．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为．3．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD＝，BP＝，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF＝．4．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若＝2，则＝．6．正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE＝DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB＝3，AG＝，则线段EH的长为．7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．8．如图所示，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP＝．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为cm．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共7小题）11．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．12．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．13．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．14．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．15．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE 面积的最大值．16．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．17．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．（1）求证：AC＝AD+CE；（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（07）参考答案一、选择题（共1小题）1．D；二、填空题（共9小题）2．7；3．；4．2.4cm或cm；5．或；6．或；7．（2，4﹣2）；8．12；9．5；10．①②④；三、解答题（共7小题）11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；。

九年级数学上册第四章图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版

﹡5 相似三角形判定定理的证明
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
39
在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
9
3
【想一想】在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题及答案

2019-2019 北师大版数学九年级上册第四章图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题1. 如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE ∽△ACB 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB 2. 下列命题中是真命题的是( ) A ．有一个角相等的直角三角形都相似 B ．有一个角相等的等腰三角形都相似 C ．有一个角是120°的等腰三角形都相似 D ．两边成比例且有一角相等的三角形都相似3. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长，与BA 的延长线交于点F ，若AE ＝2ED ，CD ＝3 cm ，则AF 的长为( ) A ．5 cm B ．6 cm C ．7 cm D ．8 cm4. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5. 在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1； ②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1； ③若∠A ＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1； ④若AC ＝A 1C 1，CB ＝C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的为( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③7. 相似三角形的判定定理：_______________的两个三角形相似；两边_________且夹角_______的两个三角形相似；三边__________的两个三角形相似．8. 证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据平行于三角形__________________与其他两边相交，截得的对应线段__________进行证明．9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝4，DB＝2，则DEBC的值为__________．10. 如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝____．11. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是_______．12. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝________时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．13. 在△ABC中，点P是AB上的动点(P异于点A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有____条．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE. 15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，点B ，D ，E 在一条直线上．能得到△ABD ∽△ACE 吗？16. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．17. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q. (1)求线段PQ 的长；(2)问：点P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．参考答案： 1---6 CCBBB D7. 两角分别相等成比例相等成比例 8. 一边的直线成比例 9. 2310. 10311. 1.8 12. 55或25513. 314. ∵在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE15. 能．由AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，得△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△ABD ∽△ACE 16. (1)∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝ADAC，∴AC 2＝AB ·AD(2)∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴CE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠EAC ，又∵∠EAC ＝∠DAC ，∴∠ECA ＝∠DAC ，∴CE ∥AD(3)∵CE ∥AD ，∴△CEF ∽△ADF ，∴CF AF ＝CE AD ，∵AB ＝6，∴CE ＝3，∴CF AF ＝CE AD ＝34，∴AC AF ＝7417. (1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°，在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝EP ，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ ＝AD ＝1(2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PDPF ，∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF ，∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12，∴当PA ＝12时，△PFD∽△BFP。

4.5相似三角形判定定理的证明-北师大版九年级数学上册假期同步测试

北师大版九年级数学上册第四章4.5相似三角形判定定理的证明同步测试一．选择题1.下列语句正确的是( )A.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则⊿ABC和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（）A．一定相似 B．当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D．无法判断3．已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）6．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是（）A．5 B．7 C．8 D．107．如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）2AC AP AB=（4）AB•CP=AP•CB，其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.如图，在△ABC中，∠A=78∘，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A. B.C. D.9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90︒，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠C=∠F=90︒，∠A=55︒，∠D=35︒B．∠C=∠F=90︒，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C．∠C=∠F=90︒，BC AC EF DF＝D．∠B=∠E=90︒，AB DF EF AC=二．填空题11．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．12. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=14．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对相似三角形．（不添加任何辅助线）15.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为______ 时，△ADP和△ABC相似．16.如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD，AB= 3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：______，可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)17.在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=______时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．18.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点p在BD 上移动，当PB= ______ 时，△APB和△CPD相似．三．解答题19．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△'''A B C，求△A BC'''中的第三边长．20．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF 交于点M．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90︒，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB 上的点E处．（1）问：△BDE 与△BAC 相似吗？（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．22.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AE =4，AB =6， AD ：AC =2：3，△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．(1)请你直接写出图中所有的相似三角形；(2)求AG 与GF 的比．23.如图所示，∠C =90∘，BC =8cm ，AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CA 向点A 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发，过多少时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似？答案提示1.B2.A.3.C4.B5.B ；6．D ．7．C ．8. C 9．C ．10．D ．11．一定相似； 12.72 13．6． 14．3 15. 4或916. DF//AC ，或∠BFD =∠A 17. 125或53 18. 8.4cm 或12cm 或2cm19．解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△'''A B C的两边长分别为1，1.5，可以看出，△'''A B C的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△'''A B C需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．20.（1）证明：∵ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°．∵CE=DF，∴AD﹣DF=CD﹣CE．∴AF=DE．∴△ABF≌△DAE（SAS）．（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，∵△ABF≌△DAE，∴∠FBA=∠EAD．∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠AFM．∴△ABM∽△FAM．同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．21．解：（1）相似．理由如下：∵∠C=90︒，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，∴∠C=∠AED=90︒，∴∠DEB=∠C=90︒，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理，得==10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90︒．∴BE=AB-AE=10-6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，222DE BE BD+=，即22248CD CD+=-（），解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得222AC CD AD+=，即22236AD+=，解得：AD=322. 解：(1)△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；(2)∵AEAB =46=23，ADAC=23，∴AEAB =ADAC，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE ∴△ADG∽△ACF，∴AGAF =ADAC=23，∴AGGF=2．23. 解：设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．∵CP=BC−BP=8−2y，CB=8，CQ=y，CA=6．∵△CPQ∽△CBA，∴CPCB =CQCA，∴8−2y8=y6∴y=2.4设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．∴CP=BC−BP=8−2y．∵△CPQ∽△CAB，∴CPCA =CQCB∴8−2y6=y8∴y=3211所以，经过2.4秒或者经过3211后两个三角形都相似。

135.北师大版九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明1(同步练习)

4.5 相似三角形判定定理的证明一、选择题1.下列语句正确的是( )A.在 △ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°,则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C ′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（）A.△AED ∽△BEDB.△AED ∽△CBDC.△AED ∽△ABDD.△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm5.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是（）A.∠A=∠'C =∠'BB.''''C A B A ACAB =，且∠A=∠'C C.''''C A AC B A AB =且∠A=∠'BD.以上条件都不对二、填空题6. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形（填相似或不相似）7. 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________8.四边形ABCD ∽四边形A ,B ,C ,D , ∠A=70度，∠B ,=108度，∠C ,=92度则∠D=_______9.在平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使⊿CBF ∽⊿CDE ，则BF 的长________为三、计算题10.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：⊿ADQ∽⊿QCP．11. ⊿AB C中,AD、CE是中线, ∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.AED CB参考答案一、选择题1.B2.B3.C4.B5.D二、填空题6.相似7.728.∠D=9009.1.8三、10.证明（主要步骤）有正方形性质及已知得PC=BC=CD，DQ=CD，即：DQ:PC=2:1QC:AD=2:1 加上直角相等可证相似。

北师大版数学九年级上册同步课时练习：4.5 相似三角形判定定理的证明 (word版含答案)

*5相似三角形判定定理的证明知识点相似三角形判定定理的证明和应用1.如图在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是()A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.ADAE =ACABD.ADAB=AEAC2.如图在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC等于()A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.1∶23.如图示,已知AD⊥BD,AE⊥BE.求证:AD·BC=AC·BE.4.三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图AD,CE为△ABC的中线,G是△ABC的重心.求证:AD=3GD.5.如图已知直线l的函数表达式为y=-4x+8,且l与x轴、y轴分别交于A,B两点,动点Q从点3B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.设点Q,P移动的时间为t秒.(1)求点A,B的坐标;(2)当t为何值时,以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?(3)求出(2)中当以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似时,线段PQ的长度.答案1.D2.D3.证明:∵AD ⊥BD ,AE ⊥BE ,∴∠ADC=90°,∠BEC=90°.在△ACD 和△BCE 中,∵∠ACD=∠BCE ,∠ADC=∠BEC ,∴△ACD ∽△BCE ,∴AD BE =AC BC ,∴AD ·BC=AC ·BE.4.证明:如图图,连接DE.E 和D 分别是AB 和BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥AC 且DE=12AC ,则易得△DEG ∽△ACG ,∴DE AC =GD GA ,∴12=GD GA ,∴GD AD =13,即AD=3GD.5.解:(1)在y=-43x+8中,当x=0时,y=8;当y=0时,x=6.故点A 的坐标为(6,0),点B 的坐标为(0,8).(2)在△AOB 中,∠AOB=90°,OA=6,OB=8,由勾股定理,得AB=10. 由题意易知BQ=2t ,AQ=10-2t ,AP=t.在△AOB 和△AQP 中,∠BAO=∠P AQ.第一种情况:若AQ AB =AP AO ,则△APQ ∽△AOB ,即10-2t 10=t 6,解得t=3011; 第二种情况:若AQ AO =AP AB ,则△AQP ∽△AOB ,即10-2t 6=t 10,解得t=5013. 故当t 的值为3011或5013时,以A ,P ,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似.(3)∵以A ,P ,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似,∴当t=3011时,PQ 8=30116,解得PQ=4011; 当t=5013时,PQ 8=501310,解得PQ=4013. 故(2)中当以A ,P ,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时,线段PQ 的长度是4011或4013.。

北师大版九年级数学《相似三角形判定定理的证明》创新训练(含答案)

试问图中有多少对不同的相似三角形？请尽可能多地写出来。

5.如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形。

（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PBD；（2）当△ACP∽△PBD时，试求∠APB的度数。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.5相似三角形判定定理的证明同步练习及答案

5 相似三角形判定定理的证明知识点 1 证明相似三角形判定定理图4－5－11．如图4－5－1，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则DE BC的值为( )A.12B.13C.14D.192．如图4－5－2，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶24－5－24－5－33．2017·恩施州如图4－5－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．知识点 2 相似三角形判定的综合应用5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC 的延长线上找到一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为( )A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m4－5－44－5－56．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.图4－5－68．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．图4－5－79．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有( )A．DE2＝AD·AE B．AD2＝AF·ABC．AE2＝AF·AD D．AD2＝AE·AC4－5－84－5－910．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．图4－5－1012．教材习题4.9第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ECF＝∠A.(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF 的长．图4－5－1113．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．图4－5－1214．如图4－5－13，已知直线l 的函数表达式为y ＝－43x ＋8，且l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q ，P 移动的时间为t 秒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？(3)求出(2)中当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时线段PQ 的长度．图4－5－13详解1．B 2.D3．C [解析] 由DE ∥BC 可得出∠ADE ＝∠B ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出∠B ＝∠EFC ，进而可得出BD ∥EF ，结合DE ∥BC 可证出四边形BDEF 为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE ＝BF ，由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出BC ＝85DE ，再根据CF ＝BC －BF ＝35DE ＝6，所以DE ＝10.4．解：已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，并分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证：△ADE 与△ABC 相似．证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . 过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，又∵DE ∥BC ，∴四边形DFCE 是平行四边形， ∴DE ＝FC ， ∴FC BC ＝DE BC ＝ADAB ，∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC.而∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC . 5．C. 6．4.4 m7．证明：∵AD ⊥BD ，AE ⊥BE ， ∴∠ADC ＝90°，∠BEC ＝90°. 在△ACD 和△BCE 中，∵∠ACD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠BEC ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC， ∴AD ·BC ＝AC ·BE .8．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠AMB ＝∠EAF .又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°， ∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA . (2)∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5， ∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝AB ＝12. ∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM ∽△EFA ，∴BM FA ＝AM EA，即56.5＝13EA，∴EA ＝16.9， ∴DE ＝EA －AD ＝4.9. 9．B 10．7.11．解：∠ABD ＝∠ACE .理由如下： ∵AB ∶AD ＝BC ∶DE ＝AC ∶AE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB ∶AD ＝AC ∶AE ，即AB ∶AC ＝AD ∶AE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE . 12．解：(1)证明：∵AC ＝BC ， ∴∠A ＝∠B .∵∠BEC ＝∠ACE ＋∠A ，∠ACF ＝∠ACE ＋∠ECF ，∠ECF ＝∠A ， ∴∠ACF ＝∠BEC ，∴△ACF ∽△BEC ，∴AC BE ＝AF BC， ∴AC 2＝AF ·BE .(2)∵∠A ＝60°，AC ＝BC ， ∴△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°＝∠ECF ， ∴∠ACE ＝∠FCB .又∵∠ECB ＝∠ACB －∠ACE ，∠F ＝∠ABC －∠FCB ，∴∠ECB ＝∠F . 又∵∠ABC ＝∠A ， ∴△ACF ∽△BEC ，∴AC BE ＝AF BC ，∴AF ＝163， ∴BF ＝AF －AB ＝43.13．解：存在．①若△PCD ∽△APB ，则CD PB ＝PD AB ，即414－PD ＝PD6，解得PD ＝2或PD ＝12；②若△PCD ∽△PAB ，则CD AB ＝PD PB ，即46＝PD14－PD，解得PD ＝5.6.∴当PD 的长为2或12或5.6时，△PCD 与△PAB 相似．14．解：(1)在y ＝－43x ＋8中，当x ＝0时，y ＝8；当y ＝0时，x ＝6.故点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(0，8)．(2)在△AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝6，OB ＝8，由勾股定理，得AB ＝10. 由题意易知BQ ＝2t ，AQ ＝10－2t ，AP ＝t . 在△AOB 和△AQP 中，∠BAO ＝∠PAQ ，第一种情况：当AQ AB ＝AP AO时，△APQ ∽△AOB ，即10－2t 10＝t 6，解得t ＝3011；第二种情况：当AQ AO ＝AP AB时，△AQP ∽△AOB ，即10－2t 6＝t 10，解得t ＝5013. 故当t 为3011或5013时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．(3)∵以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似， ∴当t ＝3011时，PQ 8＝30116，解得PQ ＝4011；当t ＝5013时，PQ 8＝501310，解得PQ ＝4013.故当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时，线段PQ 的长度是4011或4013.。

2023学年北师大版九年级数学上册《4-5相似三角形判定定理的证明》填空题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》填空题专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD＝1，AB＝4，则＝．2．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若BE＝3，EC＝2，则＝．3．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是．4．如图，在△ABC中，点D在AB边上，且BD＝2AD，过D作DE∥BC，交AC于点E，若△ADE的周长为7，则△ABC的周长为．5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则BC的长为．6．如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF：S△ABC的值为．7．如图，DE∥BC，EF∥AB，若AE：AC＝1：3，则DE：FC＝．8．如图，矩形DEFG的一边GF在△ABC的边BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC 交DE于M，DG：DE＝1：2，BC＝12cm，AH＝8cm，则DE的长．9．如图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，若AD •BC的值为10，则DE的长为．10．如图，在▱ABCD中，E是边BC的中点，连接AE、BD交于点F，若AE＝6，则AF的长是．11．如图，在△ABC中，点D在AB上，连接CD，过点B作直线BE⊥CD于点E，交AC 于点F，若∠BCD＝2∠ABF，∠BDE+∠CFE＝135°，AD＝7，BC＝17，则线段EF ＝．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD平分∠ABC，AD∥BC，则AD 的长是．13．如图，▱ABCD中，E是AD中点，BE与AC交于点F，则△AEF与△CBF的面积比为．14．如图，在△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，已知S△ABC＝1，那么S△AED＝．15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分S1、S2，若S1：S2＝1：4，则AD：AB＝．16．边长为1的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为．17．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA＝∠C，若AD＝2cm，AB＝4cm，那么CD的长等于cm．18．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝PC．其中正确的是．19．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，正方形的边长是，那么△ABC的面积是．20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则＝．21．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AE＝4，CE＝2，则＝；＝．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D 为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．23．如图，△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设△ABC的面积为S1，△BEF的面积为S2，则S1：S2＝．24．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点B在x轴的正半轴上，且OA＝AB，将△OAB沿x轴向右平移得到△ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF＝3：1，则点D的坐标为．参考答案1．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．2．解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝BE+CE＝5，∴∠DAF＝∠BEF，∠ADF＝∠EBF，∴△DAF∽△BEF，∴，故答案为：．3．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，DE＝1，∴BC＝，故答案为：．4．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD＝2AD，∴相似比＝＝，∵相似三角形的周长比等于相似比，△ADE的周长为7，∴△ABC的周长＝21，故答案为：21．5．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴BC＝6．故答案为：6．6．解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE2＝22+22，EF2＝22+42，∴DE＝2，EF＝2；同理可求：AC＝，BC＝，∵DF＝2，AB＝2，∴＝，∴△EDF∽△BAC，∴S△DEF：S△ABC＝DF2：AC2＝2，故答案为2．7．解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE＝∠B，∠AEC＝∠C，∠EFC＝∠B，∴∠ADE＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC，∵AE：AC＝1：3，∴AE：EC＝1：2，∴DE：FC＝AE：EC＝1：2．故答案为：1：2．8．解：设DG＝xcm，则DE＝2xcm，∵四边形DEFG是矩形，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AH⊥BC交DE于M，∴四边形DGHM是矩形，∴DG＝MH＝x，∵AH＝8cm，∴AM＝AH﹣MH＝8﹣x，∵AM，AH分别是△ADE，△ABC的对应高，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴DE＝2x＝cm，故答案为cm．9．解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，即AD•BC＝AB•DE，∵AB＝5，AD•BC＝10，∴DE＝2．故答案为：2．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴AF：EF＝AD：BE，∵E是边BC的中点，即BE＝CE，∴AD：BE＝2：1，∴AF：EF＝2：1，即AF：AE＝2：3，∵AE＝6，∴AF＝4，故答案为：4．11．解：过点D作DP⊥AC于P，∵BE⊥CD，设∠BCD＝2x，则∠ABF＝x，∴∠BDC＝90°﹣x，∵∠BDE+∠CFE＝135°，∴∠CFE＝135°﹣90°+x＝45°+x，∴∠ACD＝90°﹣∠CFE＝45°﹣x，∴∠ACB＝2x+∠ACD＝45°+x，则∠ACB＝∠CFE，∴BC＝BF＝17，∵∠EBC＝90°﹣2x，∴∠ABC＝90°﹣2x+x＝90°﹣x＝∠BDC，∴BC＝CD＝17，设EF＝x，则BE＝BF﹣EF＝17﹣x，在Rt△BCE中，EC＝＝，在Rt△CEF中，CF＝＝，∵∠ABC+∠ACB＝90°﹣x+45°+x＝135°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°，即AP＝DP，∴在Rt△ADP中，AD2＝AP2+DP2，AD＝7，∴AP＝DP＝，∵∠DPC＝∠FEC＝90°，∠DCP＝∠FCE，∴△DPC∽△FEC，∴＝，∴＝，＝，x＝，即EF＝，故答案为：．12．解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠D，∴∠D＝∠ABD，∴AD＝AB＝5，故答案为：5．13．解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AE＝BC，∴∠F AE＝∠FCB，∠FEA＝∠FBC，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（AE：BC）2，∵E为AD中点，∴AE：AD＝1：2，∴AE：BC＝1：2，∴S△AEF：S△CBF＝1：4，故答案为：1：4．14．解：∵CE：EB＝1：2，设CE＝k，则EB＝2k，∵DE∥AC，∴BE：BC＝2k：3k＝2：3，∴，∴S△BDE＝，∵DE∥AC，∴，∴，则S△ADE＝S△BDE＝．故答案为：．15．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵S1：S2＝1：4，∴S△ADE：S△ABC＝1：5，∴AD：AB＝＝，故答案为：．16．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴＝，即＝，∴CE＝或CE＝．故答案为：或．17．解：∵∠DBA＝∠C，∠A是公共角，∴△ABC∽△ADB，∴＝，即＝，解得AC＝8，∴CD＝8﹣2＝6cm．故答案为：6．18．解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM＝BC，PN＝BC，∴PM＝PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM＝∠ACN＝30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM＝PN＝PB＝PC，∴∠BPN＝2∠BCN，∠CPM＝2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM＝2（∠BCN+∠CBM）＝2×60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，正确；④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，∴BN＝CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形∴BN＝PB＝PC，正确．故答案为：①②③④．19．解：如图所示，过A作AH⊥BC，交GF于点M，交BC于点N，∴MN＝DE＝，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，AM⊥GF，∴，设AM＝x，则AN＝x+，∴，解得x＝，∴AN＝2，∴S△ABC＝．故答案为：4．20．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，∴EF＝CE＝2，AB＝BC＝3，BE＝2+3＝5，CH∥EF，GH∥AB，∴△CEH∽△BEA，△CHP∽△FEP，∴，即，CH＝，＝．故答案为：．21．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴＝（）2＝．故答案为：；．22．解：如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．23．解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD＝S△ABC，S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，∵F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△BEF：S△ABC＝1：4，∴S1：S2＝4：1故答案为：4：1．24．解：如图，作AG⊥x轴于点G，∵A（4，3），∴G（4，0），∵OA＝AB，∴BG＝OG＝4，∴B（8，0），由平移得AB∥CD，ED＝OB＝8，∴＝＝，∴BD＝ED＝×8＝6，∴OD＝OB+BD＝14，∴D（14，0），故答案为：（14，0）．。

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