数值分析第四章数值积分

n
求积系数，与被 积函数无关
f (x)dx
a
Ak f(xk)
k0Байду номын сангаас
求积节 点
像这样，将积分用若干节点上被积函数值的线性组合来表示
的数值积分公式称为机械求积公式。
求积误差
b
n
R[f] f(x)dx a
Akf(xk)
k0
机械型求积公式的构造归结为，确定求积节点xk和求积系
数Ak，使在某种意义下精确度较高。总之，要解决三个问 题：
§1 Newton-Cotes Formulae
例：对于[a, b]上1次插值，有 L 1 (x ) a x b bf(a ) b x a af(b )
b
A 1 A 2 b 2 a af(x )d x b 2 a[f(a ) f(b )]
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
90
2
n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3,
R[f]3h5f(5)()
80
n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5,
R[f] 8 h7f(6)()
945
a b f( x ) d x b 9 0 a [ 7 f( x 0 ) 3 2 f( x 1 ) 1 2 f( x 2 ) 3 2 f( x 3 ) 7 f( x 4 ) ]
代数精度与误差的关系：代数精度越高，求积误差越小。
结论：
问题2
要使求积公式具有m阶代数精度，则它对1,x,…,xm均准确成立，
即
n
Ak b a
k0
m+1个方程， 2n+2个未知数
n
k0
Ak xk
1 2
b2 a2
M
n k0
Ak
x
m k
1 m 1
b m 1 a m 1
由上面代数精度条件确定求积公式可分两种情形：
n
Th1.形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该 k0 公式为插值型（即：Ak ablk(x)dx）
§2 Newton--Cotes 公式
❖
当节点等距分布时：
b a x iaih ,hn,
i0 ,1 ,..,n .
Ai
xn x0 ji
(xxj
) d
x
(xi xj)
代入 P0 = 1：ab1/*dtxra梯pbe形zoa公id=a式lbr2ual[e1*/ 1] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
§1 Newton-Cotes Formulae
第四章 数值积分与数值微分
/* Numerical Integration and differentiation*/
§1 引言
近似计算 I
b
f (x)dx
a
对f( )采用不同的近似计算方法，从而得到各
种不同的求积公式。
以上三种方法都是用被积函数值的线性组合来表示积
分值。推广，一般地有 b
偶数阶N-C公式具 有n+1阶代数精度
Cotes公式是 用不同节点 的函数值 （高度）的 加权平均来 近似区间的 平均高度
对称节点的系数相同
注：当n 8时，Cotes系数有负，造成公式不稳定，因此常 用低阶Cotes公式。
Th2. n为偶数时， N-C公式至少具有n+1阶代数精度。
证明：只需证明n为偶数时， N-C公式对f(x)=xn+1的余项 R(f)=0即可。
插值型积分公式
/*interpolatory quadrature*/
思 路
利用插值多项式
Pn(x)f(x)则积分易算。
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值多
n
项式 Ln(x) f(xk)lk(x，)即得到 k0
b
n
b
f(x)dx
a
f(xk)alk(x)dxAk
1h 3f(), [a ,b ],h b a
12
1
n = 2: C 0 (2)1 6, C 1 (2)3 2, C 2 (2)1 6
Simpson’s Rule
a bf(x )d x b 6 a [f(a ) 4f(a 2 b)f(b )]代数精度 = 3
R [f] 1 h 5 f(4 )(), ( a ,b ),h b a
令 xath
n
(tj)h h d t(b a ) (1 )n i n
(tj)dt
0i j(ij)h
n i!(n i)!0i j
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
Cotes系数
C
(n) i
a bf(x)dxbanC k (n)f(x0kh) k0
1. 精确度的度量标准；
2. 如何构造具体的求积公式；
3. 具体求积公式构造出来后，误差如何估计？
问题1
定义：代数精度
若某个求积公式对次数 m 阶的多项式准确成立，而对 m+1 阶 的 多 项 式 不 一 定 准 确 成 立 。 即 对 应 的 误 差 满 足 ： R[ Pk ]=0 对任意 k m 阶的多项式成立，且 R[ Pm+1 ] 0 对某 个 m+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 m 。
误差 R[ f ]
b
Ak a
k0
b
n
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
f ( x )dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
b
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
a Rn ( x )dx
b a
f ( n1) ( x (n 1)!
)
n k0
(x
xk
) dx
Newton—Cotes formula
n = 1:
C0(1) 1 2,
C1(1)
1 2
§1 Newton-Cotes Formulae
Trapezoidal Rule
bf(x)d xba[f(a)f(b)]
a
2
代数精度 = 1
R [f]abf2 (!x)(xa)x (b)dx/值* 定令理x =*/a+th, h = ba, 用中
1. 若事先给定求积节点xk(k=0,…,n),例如被积函数以表的形式 给出时xk确定，可令m=n,由上式确定n+1个系数Ak即可---待定系数法和插值法。
2. 若xk和Ak都可选择，令m=2n +1，确定xk和法Ak ---Gauss法
Case 1---方法1
Case 1---方法2 §1 插值型求积 公式