11.1.3 三角形的稳定性 练习
11.1.3三角形的稳定性 2
用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个 三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的 三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了. 在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生活中 有广泛的应用 ，你能举 出一些例子吗？
四边形的不稳定性有广泛的应用
7.如图， ABC 中，AB= 2cm，BC=4cm. ABC的高AD与CE 的比是多少？
A 解：∵
SABC
1 1 E = = AB × CE BC × AD 2 2 B D C
∴BC×AD=AB×CE ∴4AD=2CE ∴ AD与CE 的比是
1 2
解：∵DE∥AC ∴∠1=∠DAC ∵DF∥AB ∴∠2=∠BAD ∵AD是ABC 的角平分线 ∴ ∠BAD= ∠DAC ∴ ∠1= ∠2
四边形不具有稳定性，人们往往通过改造， 将其变成三角形从而增强其稳定性
做一做：P74
议一议：P76
n边形呢？
ห้องสมุดไป่ตู้
9.解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条； 要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条； 要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；
小结：
这一节课你最大的收获是什么？
轻轻的, 我走了, 正如我轻轻的来, 我轻轻地点击鼠标,
解：有6个三角形，它们是ABD, ABE, ABC , ADE, ADC, AEC
CE
BC
∠CAD ∠AFC
1 BC•AF 2
∠CAB
6.一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三 角形的一边长4cm，求其他两边长.
解：此题有两种情形： （1）三角形的三边长分别为4cm， 4cm， x cm. 则X+2×4=18 解得 X=10 因为4+4<10，所以长度为4cm，4cm，10cm的 三条线段不能组成三角形. （2）三角形的三边长分别为4cm， x cm， x cm. 则2X+4=18 解得 X=7. 长度为4cm，7cm，7cm的三条线段能组成三角形. 所以这个三角形其他两边长都是7cm.
《11.1.3三角形的稳定性》练习题
自我小测1．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了()．A．节省材料，节约成本B．保持对称C．利用三角形的稳定性D．美观漂亮2．下列不是利用三角形稳定性的是( )．A．伸缩晾衣架B．三角形房架C．自行车的三角形车架D．矩形门框的斜拉条3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )．A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短4．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架．如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上( )根木条？A．0 B．1 C．2 D．35．如图，要使四边形木条框架ABCD变“活”(具有不稳定性)，应将木条______拆除．6．伸拉铁门能自由伸拉，主要是应用了四边形的______．7．我们所用的课桌和所坐的凳子，时间长了总是摇摇晃晃的，这是什么原因？要使自己用的桌凳不晃动应该怎么办？如果有六边形木框，如图所示，要使它不变形，应该怎么办？8．如图所示，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条呢？参考答案1．答案：C2．答案：A3．答案：A4．答案：B5．答案：AC6．答案：不稳定性7．解：这是因为桌凳的四个侧面都是四边形木架，当交接处松动后就具有不稳定性．解决这类问题的方法是加上一根木条(或木板)，使之成为三角形；六边形至少要加3根木条才能使之稳定．8．解：要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；要使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；要使n边形木架不变形，至少要钉(n－3)根木条．。
11.1.3 三角形的稳定性 练习
11.1.3 三角形的稳定性基础知识一、选择题1.如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性答案：D2.王师 傅用 4 根木 条 钉成 一个 四 边形 木 架 ，如图．要使 这 个木 架 不 变 形，他 至少 还 要再钉上几根木条？（ ）A．0 根B．1 根C．2 根D．3 根答案：B3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短答案：A 4．下列图形中具有稳定性的是（ ） A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 答案：A 5.下列图中具有稳定性的是（ ）D．平行四边形A．B．C．D．答案：C6.如 图 小 明 做 了 一 个 方 形 框 架 ， 发 现 很 容 易 变 形 ， 请 你 帮 他 选 择 一 个 最 好 的 加 固 方 案（）1A．B．C．D．答案：B 7.．用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（ ） A．3 根 B．4 根 C．5 根 D．6 根答案：C6．下列图形中，不具有稳定性的是（ ）A．B．C．D．答案：B 7．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 （） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等答案：C 8.不是利用三角形稳定性的是（ ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条 答案：C28．用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（ ）A． 1个B．2个答案：A9．如图所示，具有稳定性的有（ ）C．3个D．4个A． 只 有 （ 1），（ 2）B． 只 有 （ 3），（ 4）C． 只 有 （ 2），（ 3）D．（ 1），（ 2），（ 3）答案：C 10．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的 5 根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果 用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能 少，那么需要添加螺栓（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个答案：A 二、填空题1． （2012•茂名 ）如 图所 示 ，建 高楼 常 需要 用 塔吊 来 吊建 筑 材料 ，而 塔 吊的 上 部是 三 角形 结 构 ，这 是 应 用 了 三 角 形 的 哪 个 性 质 ？ 答 ：．（ 填 “ 稳 定 性 ” 或 “ 不 稳 定 性 ” ）答案：稳 定 性2.在 生 活 中 ， 我 们 常 常 会 看 到 如 图 所 示 的 情 况 ， 在 电 线 杆 上 拉 两 根 钢 筋 来 加 固 电 线 杆 ，这样做的依据是.答案：三角形具有稳 定 性33.空 调 安 装 在 墙 上 时 ，一 般 都 会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上 ，这 种 方 法 应 用 的 数 学 知识是.答案：三角形具有稳 定 性人站 在 晃动 的 公共 汽 车上 ．若 你分 开 两腿 站 立，则 需伸 出 一只 手 去抓 栏 杆才 能站 稳，这是利用了.答案：三角形的稳 定 性4．如图，是边长为25cm 的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的．答案：四边形的不稳定性.三、解答题 答案： 答案：能力提升 答案：答案： 答案：45。
初中数学人教版八上11.1.3三角形的稳定性 同步评测
2019-2019学年初中数学人教版八上11.1.3三角形的稳定性一、单项选择题〔共9题；共18分〕1.如图 ,工人师傅砌门时 ,常用木条EF固定长方形门框ABCD ,使其不变形 ,这样做的根据是〔〕A. 两点之间的线段最短 B. 长方形的四个角都是直角C. 长方形是轴对称图形 D. 三角形有稳定性2.用五根木棒钉成如下四个图形 ,具有稳定性的有〔〕A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个3.以下图形中不具有稳定性是〔〕A. B.C. D.4.工人师傅要将边长为4m和3m的平行四边形框架固定 ,现有以下长度的木棒 ,在木棒的两端钉上到达固定平行四边形的目的 ,不符合要求的是〔〕A. 2mB. 3mC. 4mD. 8m5.以下不是利用三角形稳定性的是〔〕A. 在门框上斜钉一根木条B. 高架桥的三角型结构C. 伸缩衣挂D. 屋顶的三角形钢架6.在现实的生产、生活中有以下四种情况：①用“人〞字梁建筑屋顶；②自行车车梁是三角形结构；③用窗钩来固定窗扇；④商店的推拉防盗铁门．其中用到三角形稳定性的是〔〕A. ①②B. ②③C. ①②③D. ②③④7.如图 ,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD ,E、F、G、H分别是四条边上的中点 ,为了使它稳固 ,需要在窗框上钉一根木条 ,这根木条不应钉在〔〕A. A ,C两点之间B. E ,G两点之间 C. B ,F两点之间 D. G ,H两点之间8.手工课上 ,小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条 ,首尾连接制作了一个五角星 ,他发现五角星的形状不稳定 ,稍微一动五角星就变形了．于是他想在木条交叉点处再加上假设干个螺栓 ,使其稳定不再变形 ,他至少需要添加的螺栓数为〔〕A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个9.用八根木条钉成如下图的八边形木架 ,要使它不变形 ,至少要钉上木条的根数是〔〕A. 3根B. 4根 C. 5根 D. 6根二、填空题〔共3题；共3分〕10.图中具有稳定性的有________．11.屋顶钢架、大桥钢架多采用三角形结构 ,这是根据________ ．12.如图 ,6根钢管交接成六边形钢架ABCDEF ,要使钢架稳定且不能活动 ,最少还需________ 根钢管．三、综合题〔共3题；共21分〕13.根据要求答复以下问题：〔1〕工程建筑中经常采用三角形的结构 ,如屋顶的钢架 ,输电线的支架等 ,这里运用的三角形的性质是________ ；〔2〕以下图形具有稳定性的有________ 个：正方形、长方形、直角三角形、平行四边形〔3〕要使五边形木架〔用5根木条钉成〕不变形 ,工人准备再钉上两根木条 ,如图的两种钉法中正确的选项是：________ ；〔4〕要使四边形木架〔用4根木条钉成〕不变形 ,至少需要加1根木条固定 ,要使五边形木架不变形 ,至少需要加2根木条固定 ,要使六边形木架不变形 ,至少需要加3根木条固定,… ,如果要使一个n边形木架不变形 ,至少需要加________ 根14.根据图片答复以下问题〔1〕以下图中具有稳定性是________ 〔填序号〕〔2〕对不具稳定性的图形 ,请适当地添加线段 ,使之具有稳定性．15.如以下图a是一张可折叠的钢丝床的示意图 ,这是展开后支撑起来放在地面上的情况.如果折叠起来 ,床头局部被折到了床面之下〔这里的A、B、C、D各点都是活动的〕.其折叠过程可由图b的变换反映出来.〔1〕活动床头的固定折叠是根据什么设计的？〔2〕假设图中的四边形ABCD的边AB=6 ,BC=30 ,CD=15.当AD长为多少时 ,才能实现上述的折叠变化？。
11.1.3_三角形的稳定性
在窗框上斜钉一根木条原因。
答：斜钉一根木条后，四边形变成两个 三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根 木条的四边形木架的形状不会改变。
想一想
四边形的不稳定性是我们常 常需要克服的，那么四边形的不 稳定性在生活中有没有应用价值
呢？如果有，你能举出实例吗？
练习 下列图形中哪些具有稳定性？
（1）
√
（2）
×
（3）
×
√ （4）
（5）
×
√ （6）
练一练
1、下列图形中具有稳定性的是（
（A）正方形 （C）直角三角形 （B）长方形 （D）平行四边形
C ）
2、要使下列木架不稳定各至少需要多少根木棍？
要使n边形木架不变形，至少要再钉上 (n-3) 根木条；
3、下列图中具有稳定性有（ C
）
A 1个
思考
如图，盖房子时，在 窗框未安装好之前，木工 师傅常常先在窗框上斜钉 一根木条，为什么要这样 做呢？ 观察下面的图片，有什么共同点？
讨论
观察上面这些图片，你发现了 什么？发现这些物体都用到了三角形， 为什么呢？ 这说明三角形有它 所独有的性质，是什么呢？我们通 过实验来探讨三角形的特性。
探究
B 2个
C 3个 D 4个
练习
4.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说 法正确的是( C ) A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B、稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C、稳定性和不稳定性均有利用价值 D、以上说法都不对
பைடு நூலகம்
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架， 然后扭动它，它的形状会改变吗？ 2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然 后扭动它，它的形状会改变吗？ 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对 顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三角形的稳定性练习题
11.1.3 三角形的稳定性练习题班别：姓名：一、单选题.1．下列图形中具有稳定性的是（）A．梯形B．长方形C．三角形D．四边形2．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒3．如图所示，∠BAC的对边是(）A．BD B．DCC．BC D．AD4．下列图形不具有稳定性的是（）A．B．C．D．5．下面图形中具有稳定性的是（）A．B．C．D．二、填空题6．如图，6根钢管交接成六边形钢架ABCDEF，要使钢架稳定且不能活动，最少还需根钢管．7．木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是，其中所涉及的数学道理是．三、解答题8．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？9．要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？10．如图图形中哪些具有稳定性？四、作图题11．如图是由边长为1的小正方形构成的4×4的网格，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图(画出一个即可).（1）在图①中以AB为边画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且该四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）在图②中以AB为对角线画一个四边形，使它的另外两个顶点在格点上，且所画四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】37．【答案】构成三角形；三角形的稳定性8．【答案】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；五边形木架，至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；六边形木架，至少要再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使多边形变成（n﹣2）个三角形9．【答案】解：图①四边形木架至少需要钉上1根木棍；图②五边形木架至少需要钉上2根木棍；图③六边形木架至少需要钉上3根木棍10．【答案】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（1）、（4）、（6）3个．11．【答案】（1）解：如图①，四边形ABCD即为所求（2）解：如图②，四边形AEBF即为所求。
11.1.3三角形的稳定性（教学设计课后练习）
11.1.3三角形的稳定性班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题(每小题6分，共30分)1.下列图形中具有稳定性的是（）A.平行四边形B.等腰三角形C.长方形D.梯形2.下列图形中，不具有稳定性的是（）A.B.C.D.3.如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（）两点上的木条．A.A、FB.C、EC.C、AD.E、F第3题图第4题图第5题图4.图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A.11根B.10根C.9根D.8根二、填空题(每小题6分，共30分)6.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是________．7.如图，电动大门栅是应用了四边形的________ 性质．8.1976年7月28日，我国河北唐山市发生了里氏7.8级地震，房屋大部分倒塌，24万人蒙难．事后发现，房屋破坏最轻的是那些有三角形房顶的木结构房子，如图，这是________ 的作用，在机械制造和建筑工程中处处用到这个性质．第6题图第7题图第8题图第9题图9.如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添________根木条．10.图中具有稳定性的有________．三、解答题(每小题20分，共40分)11.如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．12.小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理参考答案1.B【解析】分析：三角形不容易产生变化，因此三角形是最稳定的．解：根据三角形具有稳定性，可知四个选项中只有等腰三角形具有稳定性的．故选B．2.B【解析】分析：根据三角形具有稳定性解答即可.解：三角形具有稳定性，选项A是三角形，选项C、D图形中含有三角形，故都具有稳定性.故选B.3.D【解析】分析：根据三角形具有稳定性选择不能构成三角形的即可．解：A、A、F与D能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；B、C、E与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；C、C、A与B能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；D、E、F不能与A、B、C、D中的任意点构成三角形，不能固定形状，故本选项正确．故选D．4.A【解析】分析：用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．解：如图：A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．故选A．5.C【解析】分析：根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可．解：过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要12﹣3=9根木条固定．故选：C．6.利用三角形的稳定性【解析】分析：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．7.不稳定性【解析】分析：根据四边形具有不稳定性解答．解：它应用了四边形的不稳定性．故答案为：不稳定性．8.三角形具有稳定性【解析】分析：根据三角形具有稳定性解答．解：如图，都是三角形形状，主要利用了三角形具有稳定性的作用．故答案为：三角形具有稳定性．9.3【解析】分析：根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．解：根据三角形的稳定性，得如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．10.①④⑥【解析】分析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然①、④、⑥三个．故答案为：①④⑥．11.小明的做法正确，理由见解析【解析】分析：利用三角形的稳定性可得出答案．解：小明的做法正确，理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不在变形．12.答案见解析【解析】分析：根据三角形具有稳定性进行画图即可．解：如图所示：根据三角形具有稳定性．。
11.1.3三角形的稳定性练习题
第3课时 三角形的稳定性
1．下列图形中具有稳定性的是 （ ）
A ．梯形
B ．长方形
C ．三角形
D ．正方形
2．大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形结构，这是根据．
3．生活中的活动铁门是利用平行四边形的．、
4．在下列多边形上画一些线段，使之稳定：
5．举出生活中利用三角形的稳定性的例子：
____________________________________________________________________ 举出生活中利用四边形的不稳定性的例子：
____________________________________________________________________
6．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，CF ⊥AD 于H ．下面判断：①AD 是△AB E 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△A CD 的边AD 上的高；④A H 是△AC F 的角平分线和高．其中正确的有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，已知△ABC ，先画出△ABC 的中线AM ，再分别画出△ABM 、△ACM 的高BE 、CF ，试探究BE 与CF 的位置关系怎样？大小关系呢？（不妨量量看）能说明为什么吗？
A C H F G
（第6题） B D 1 2 E A
（第7题）
C
B。
《三角形的稳定性》练习题
17．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中
点，且S△ABC＝8 cm2 ，求阴影部分的面积S阴影．
1 1 解：∵D 是边 BC 的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝2S△ABC＝2×8＝4(cm2)，∵ 1 1 2 E 是 AD 的中点，∴S△BDE＝2S△ABD＝2 cm ，S△CDE＝2S△ACD＝2 cm2，∴S△BEC 1 ＝S△BDE＋S△CDE＝4 cm ，又∵F 是 CE 的中点，∴S 阴影＝2S△BEC＝2 cm2
知识点1：三角形的高 1．以下是四位同学在钝角△ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是 ( B )
AD 2．如图，△ABC中BC边上的高是______，△ACD中CD边上的高是 AD ，△BCE中BC边上的高是__________ BE ________ ，以CF为高的三角形是 △ABC，△BCF和△AFC _______________________________ ．
一条在三角形的内部；④在△ABC中，如果点P是AC边的中点，则PB是
△ABC的中线．其中正确的是( A．①②④ B．①②③④ C．①④ D．①②
A )
11．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于 B 点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列说法正确的有( ) ①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是 △ACD的边AD上的高． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E.若BC 4 ． ＝10，AC＝8，BE＝5，则AD的长为____
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AF平分
∠BAC，且∠BAF＝40°，AE＝5 cm，AF＝4 cm，AD＝3 cm，BE＝3
11.1.3 《三角形的稳定性》测试题练习题常考题试卷及答案
11.1.3 三角形的稳定性一、单选题（共20题；共40分）1.在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（）A. 电动伸缩门B. 升降台C. 栅栏D. 窗户2.下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是（）A. 三角形的房架B. 由四边形组成的伸缩门C. 斜钉一根木条的长方形窗框D. 自行车的三角形车架3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )A. 两点之间的线段最短B. 长方形的四个角都是直角C. 三角形有稳定性D. 长方形是轴对称图形4.下列图形具有稳定性的是（）A. B. C. D.5.下列图形中具有稳定性的是（）A. 钝角三角形B. 四边形C. 五边形D. 平行四边形6.如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，这样做的数学原理是（）A. 全等三角形对应角相等B. 三角形内角和为180°C. 三角形的稳定性D. 两直线平行，内错角相等7.下列图形中不具有稳定性的是（）A.锐角三角形B.长方形C.直角三角形D.等腰三角形8.如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是（）A. 两点之间的所有连线中线段最短B. 三角形具有稳定性C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆D. 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短9.下列图形中具有稳定性的是（）A.平行四边形B.等腰三角形C.长方形D.梯形10.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理（）A.三角形的稳定性B. 两点之间钱段最短C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短11.如图，用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，至少要再钉上木条的根数是（）A. 0B. 1C. 2D. 312.下列图形具有稳定性的是（）A. 正五边形B. 正方形C. 梯形D. 等腰三角形13.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( )A. B. C. D.14.如图所示，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，其原因是（）A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.垂线段最短D.对顶角相等15.下列图形中，具有稳定性的是（）A. 平行四边形B. 三角形C. 梯形D. 菱形16.下列图形具有稳定性的是（）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形17.下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A. 人能直立在地面上B. 校门口的自动伸缩栅栏门C. 古建筑中的三角形屋架D. 三轮车能在地面上运动而不会倒18.下列图形不具有稳定性的是（）A. B. C. D.19.如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（）两点上的木条.A. A和FB. C和EC. C和AD. E和F20.下列各图形中，具有稳定性的是（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）21.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是________．22.在生活中，我们常常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是________.23.如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．24.空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是________.25.在门框钉一根木条能固定住门框，不易变形，这里利用的数学原理是______26.埃及金字塔、屋顶、埃菲尔铁塔等建筑中都能找到三角形的形状，这是由于三角形具有________.27.王师傅在做完门框后，常常在门框上斜钉两根木条，这样做的数学原理是___28.三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有________．29.桥梁上的拉杆，电视塔的底座都是三角形结构，这些都是利用三角形的_____30.工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是________ ．31.在三角形，四边形中，具有稳定性的是________ ，举一个这类图形稳定性应用的实例________ ．32.杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是________ ．三、解答题（共1题；共5分）33.要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各至少需要钉上多少根木棍？答案解析部分一、单选题1. C2. B3. C4. A5. A6. C7. B8. B9. B10. A11. B12. D13. C14. A15. B16. A17. C18. A19. D20. A二、填空题21.三角形的稳定性22.三角形具有稳定性23.稳定24.三角形具有稳定性25. 三角形的稳定性26. 稳定性27.三角形具有稳定性28.稳定性29. 稳定30.三角形的稳定性31.三角形；在门的后面沿对角线钉一根木条32.三角形的稳定性三、解答题33.解：图①四边形木架至少需要钉上1根木棍；图②五边形木架至少需要钉上2根木棍；图③六边形木架至少需要钉上3根木棍。
11.1.3++三角形的稳定性++同步练习++++2024—2025学年人教版数学八年级上册
11.1.3三角形的稳定性一、单选题1．下列图形中，具有稳定性的是（）A．三角形B．梯形C．四边形D．五边形2．如图，工人师傅门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（）A．三角形的稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．四边形的不稳定性3．下列说法错误的是（）A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性4．我们用如图的方法来修理一条摇晃的凳子是根据（）A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形具有稳定性5．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（）A．B．C．D．6．如图，要让由5根木条钉成的五边形木架不变形，至少要再钉上（）根木条A．2B．3C．4D．57．意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短8．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）．A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．长方形对边相等D．三角形具有稳定性9．下列生活实物中没有用到三角形的稳定性的是（）A．B．C．D．10．下列图形中不具有稳定性的是( )A．B．C．D．二、填空题11．人站在公交车上，若两腿分开站立，还要用手抓紧栏杆才能站稳，这一现象是利用了．12．港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是．13．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为．14．下列图形具有稳定性的有．（填序号）15．如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，DE=3AE，若S△ABC=48，则S△ABE= ．16．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称．如图，线段是BC边上的高．三、解答题17．举出两个应用三角形稳定性的实际例子．18．凸六边形钢架ABCDEF由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个．19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c−2a|+(b+c−6)2=0，求b的取值范围．20．如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？21．如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6，AC=4，求DE的值．DF22．三角形的三边长是三个连续的整数，且三角形的周长小于20，求满足条件的三角形的三边的长．。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线_11.1.3三角形的稳定性(可用)
三角形的稳定性
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接
起来,然后再扭动它,这时木架的形状会改变吗?为什么？
不会改变.钉上的木条将四边形分成两个三角形， 而三角形具有稳定性.
三角形的稳定性
斜 梁 斜 梁
直
梁
如图，工人师傅砌门时，常用木条EF，EG固定门框ABCD，
三角形的稳定性 使其不变形，这种做法根据的是_______________.
E
G
④CH是△ ACD边AD上的高( √ )
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.三角形的三条重要线段：高、中线、角平分线.
2.三角形的稳定性.
作
业
B
A
D
C
∵∠BAD=∠CAD， 角平分线 ∴线段AD是△ABC的_____
B
A
D
A
C
∵∠ADC=90°， 高 ∴线段AD是△ABC的___
B D C
2.下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC 的高( D )
C A B D C
A
D
A
B
B
C A
B
D
C
B
C
D
D
A
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点， 那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.任意三角形
4、如图，AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中 线、高。 （1）∵AD是△ABC的角平分线，
1 ∴∠ BAD =∠ DAC = ∠ BAC 。 2
A
(2) ∵AM是△ABC的中线，
1 BC ∴ BM = CM = 。 2
【教育资料】11.1.3三角形的稳定性学习专用
11.1.2三角形的高、中线与角平分线11．1.3三角形的稳定性关键问答①如何用数量关系描述三角形的高、中线与角平分线？②由三角形的高、中线与角平分线可得到什么样的数量关系？1．①如图11－1－12，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法正确的是()图11－1－12A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的角平分线C．BD是△EBC的中线D．∠EBD＝∠A2．②如图11－1－13，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()图11－1－13A．AB＝2BF B．∠ACE＝12∠ACB C.AE＝BE D．CD⊥BE3.如图11－1－14所示，一扇窗用窗钩AB即可固定，这所用的原理是()图11－1－14A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性命题点1三角形的高、中线与角平分线[热度：90%]4．③④在△ABC中，画出边AC上的高，下面4个图中画法正确的是()图11－1－15方法点拨③在三角形中，画三角形已知边上高的方法：把直角三角尺一条直角边放在已知边上，且直角三角尺与三角形位于已知边的同侧，沿已知边推动直角三角尺，使已知边所对的顶点落在直角三角尺的另一条直角边上，沿这条直角边画直线，顶点与交点之间的线段即三角形的一条高．易错警示④钝角三角形中，钝角两条边上的高在钝角三角形的外部．5.如图11－1－16，在△ABC中，∠BAD＝∠DAE＝∠EAF＝∠F AC，则△ABC的角平分线是()图11－1－16A．AD B．AE C．AF D．AC6．如图11－1－17，△ABC的角平分线AD及中线BE交于点O，有下列结论：①AO 是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．则()图11－1－17A．①②都正确B．①②都不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确7.如图11－1－18，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H.下列判断正确的是()图11－1－18A．AD是△ABE的角平分线B．BE是△ABD的边AD上的中线C．CH为△ACD的边AD上的高D．AH为△ABC的角平分线命题点2交点问题[热度：80%]8．⑤有下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高必交于一点；③三角形的三条角平分线必交于一点；④三角形的三条高必在三角形内．其中正确的是()A．①②B．①③C．②④D．③④方法点拨⑤三角形三条中线相交于一点，且相交于三角形的内部；三条角平分线相交于一点，且相交于三角形的内部；三条高所在的直线相交于一点，锐角三角形的三条高相交于三角形内部，直角三角形三条高相交于直角顶点，钝角三角形三条高所在的直线相交于三角形的外部．9．三角形的三条中线的交点的位置为()A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上命题点3与三角形的中线、高、角平分线相关的计算与证明问题[热度：90%]10．⑥已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3 cm，则AB与AC的差为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm方法点拨⑥三角形一边上的中线分得的两个三角形的周长差实际上是另外两边的差．11．⑦如图11－1－19，在△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝________．图11－1－19方法点拨⑦已知三角形一边及这一边上的高的问题，常常利用面积相等建立方程求解．12．如图11－1－20，在△ABC中，∠ABC＝72°，BD是△ABC的角平分线，∠BDC＝76°，DE∥BC，则∠ADE＝________°.图11－1－2013．⑧如图11－1－21，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE 于点N.求证：AM＝AN.图11－1－21解题突破⑧证明两个三角形的高相等，可以通过证明这两个三角形的面积相等以及高所对应的底边相等.14．⑨佳佳用7根木条钉成一个七边形的木架，她为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你分别在图11－1－22中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学依据．图11－1－22模型建立⑨本题的实质是加若干条线段，把多边形分成多个三角形，利用三角形的稳定性解决问题．详解详析1．A 2.C 3.D 4.C5．B [解析] 由题意得∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAF ＋∠F AC ，即∠BAE ＝∠CAE ，所以AE 是△ABC 的角平分线．6．C [解析] 因为AD 为△ABC 的角平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ，由于点O 在AD 上，所以∠BAO ＝∠CAO ，所以AO 是△ABE 的角平分线．由BE 是△ABC 的中线，能得到AE ＝CE ，不能得到AO 和OD 相等，因此“BO 是△ABD 的中线”不正确．7．C [解析] 由题意可得AD 是△ABC 的角平分线，BG 是△ABD 的边AD 上的中线，CH 为△ACD 的边AD 上的高，AH 为△ACF 的高．8．B9．A10．B [解析] 由题意得△ABD 的周长为AB ＋AD ＋BD ，而△ACD 的周长为AC ＋AD ＋CD .由于AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝CD ，所以△ABD 的周长－△ACD 的周长＝AB －AC ＝3 cm.11．2 [解析] 由于AD 是△ABC 的中线，所以S △ADB ＝S △ADC ，所以12×AB ×DE ＝12×AC ×DF ，所以DE ＝4×1.53＝2.12．68 [解析] ∵∠ABC ＝72°，BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°.∵DE ∥BC ，∴∠BDE＝∠CBD＝36°.∵∠BDC＝76°，∴∠CDE＝112°，∴∠ADE＝180°－∠CDE＝68°.13．证明：∵BE，CF均是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ACF＝12S△ABC.∵AM⊥CF，AN⊥BE，∴12AM·CF＝12AN·BE.又∵BE＝CF，∴AM＝AN.14．解：如图所示(答案不唯一)．依据：三角形具有稳定性．【关键问答】①过三角形顶点的直线，若与对边所在直线的交角为直角，则顶点与交点之间的线段是三角形的高；过三角形顶点的直线，若与对边的交点恰好是对边的中点，则顶点与交点之间的线段是三角形的中线；过三角形顶点的直线，若恰好平分此角，则顶点与直线和对边的交点之间的线段是三角形的角平分线．②三角形的高与底边所在直线的夹角为直角；三角形的中线平分对边，三角形的角平分线平分三角形的一个内角．。
人教版数学八年级上册第11章三角形的稳定性同步练习(精品测试卷)
(2)画出此函数的图像．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-- x＋8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长和点C的坐标；
(2)求直线CD的表达式．
23.如图是平面直角坐标系及其中的一条直线,该直线还经过点C（3,﹣10）．
17.一次函数y=x+2的图象经过点A（a，b），B（c，d），那么ac﹣ad﹣bc+bd的值为 __．
18.如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要________s能把小水杯注满.
3.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）
A 两点之间，线段最短B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性D. 两直线平行，内错角相等
4.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．
A.0根B.1根C.2根D.3根
三、解答题:
19.已知正比例函数图象经过点(-1，2).
(1)求此正比例函数的表达式;
(2)画出这个函数图象;
(3)点(2,-5)是否在此函数图象上？
(4)若这个图象还经过点A(a，8)，求点A的坐标.
20.已知直线y=(5-3m)x+ m－4与直线y=0.5x+6平行，求此直线 解析式.
21.在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)
课堂反馈
课堂反馈(三)
3．如图 D－3－2，王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，
要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
图 D－3－2
课堂反馈(三)
4．如图 D－3－3 所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，
而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？ 答：____三_角__形_具__有__稳_定__性_____．
课堂反馈(三)11.1.3 角形的稳定性课堂反馈(三)
1．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不 变形，这样做的根据是( B )
A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形具有稳定性 D．长方形的四个角都是直角
课堂反馈(三)
2．下列图形中，不具有稳定性的是( B )
图 D－3－1
图 D－3－3
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11.1.3 三角形的稳定性
基础知识
一、选择题
1.如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根
据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
答案：D
2.王师 傅用 4 根木 条 钉成 一个 四 边形 木 架 ，如图．要使 这 个木 架 不 变 形，他 至少 还 要再
钉上几根木条？（ ）
A．0 根
B．1 根
C．2 根
D．3 根
答案：B
3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
答案：A 4．下列图形中具有稳定性的是（ ） A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 答案：A 5.下列图中具有稳定性的是（ ）
D．平行四边形
A．
B．
C．
D．
答案：C
6.如 图 小 明 做 了 一 个 方 形 框 架 ， 发 现 很 容 易 变 形 ， 请 你 帮 他 选 择 一 个 最 好 的 加 固 方 案
（）
1
A．
B．
C．
D．
答案：B 7.．用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（ ） A．3 根 B．4 根 C．5 根 D．6 根
答案：C
6．下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B 7．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 （） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等
答案：C 8.不是利用三角形稳定性的是（ ） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条 答案：C
2
8．用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（ ）
A． 1个
B．2个
答案：A
9．如图所示，具有稳定性的有（ ）
C．3个
D．4个
A． 只 有 （ 1），（ 2）
B． 只 有 （ 3），（ 4）
C． 只 有 （ 2），（ 3）
D．（ 1），（ 2），（ 3）
答案：C 10．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的 5 根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果 用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能 少，那么需要添加螺栓（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案：A 二、填空题
1． （2012•茂名 ）如 图所 示 ，建 高楼 常 需要 用 塔吊 来 吊建 筑 材料 ，而 塔 吊的 上 部是 三 角
形 结 构 ，这 是 应 用 了 三 角 形 的 哪 个 性 质 ？ 答 ：
．（ 填 “ 稳 定 性 ” 或 “ 不 稳 定 性 ” ）
答案：稳 定 性
2.在 生 活 中 ， 我 们 常 常 会 看 到 如 图 所 示 的 情 况 ， 在 电 线 杆 上 拉 两 根 钢 筋 来 加 固 电 线 杆 ，
这样做的依据是
.
答案：三角形具有稳 定 性
3
3.空 调 安 装 在 墙 上 时 ，一 般 都 会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上 ，这 种 方 法 应 用 的 数 学 知
识是
.
答案：三角形具有稳 定 性
人站 在 晃动 的 公共 汽 车上 ．若 你分 开 两腿 站 立，则 需伸 出 一只 手 去抓 栏 杆才 能站 稳，这
是利用了
.
答案：三角形的稳 定 性
4．如图，是边长为25cm 的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的
．
答案：四边形的不稳定性.
三、解答题 答案： 答案：
能力提升 答案：
答案： 答案：
4
5
。