2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
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人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
高中数学人教A必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1 2
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
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HISHI SHULI
Z 重难聚焦
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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D典例透析
IANLI TOUXI
-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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D典例透析
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共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
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������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
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2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
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共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.
人教A版高中数学必修4课件：2-2-3向量数乘运算及其几何意义
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第二章·2.2·
系列丛书
向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
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向量共线基本定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有 唯一一个 数λ，使b＝λa.
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【解】
(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a；
3 1 3 (2)原式＝2 2a＋2b －a－4b 3 3 ＝a＋ b－a－ b＝0； 4 4 (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
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统称为向量的线性运
(2)任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2恒有 λ(μ1a± μ2b)＝λμ1a± λμ2b.
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4．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运 算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？ 答：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公 因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．
实
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3．定理中条件a≠0能漏掉吗？ 答：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存 在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实 数λ，使b＝λa.
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推荐-高中数学人教A版必修4课件2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(1)
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
解:∵M,N 分别是 DC 和 BC 的中点, ∴MN������12 ������������.
∵ ������������ =e2-e1,∴ ������������ = 2������������ = 2e2-2e1.
=0·a+0·b=0+0=0.
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Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 用已知向量表示未知向量
【例 2】 已知▱ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 的中点.若 ������������ =e1, ������������ =e2,试用 e1,e2 表示������������, ������������.
(3)
2 5
(a-b)−
1 3
(2a+4b)+
2 15
(2a+13b)
2 2 2 4 4 26
= 5 ������ − 5 ������ − 3 ������ − 3 ������ + 15 ������ + 15 ������
22 4
2 4 26
= 5 - 3 + 15 ������ + - 5 - 3 + 15 ������
−a−
3 4
������
=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
题型一 题型二 题型三 题型四
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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量
第二章 章末归纳总结
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
人教A版必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件(41张)
[变式训练] 如图，在△OBC 中，点 A 是 BC 的中点， 点 D 是将向量O→B分为 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交于 点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用向量 a，b 表示O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
解：(1)因为O→A＝12(O→B＋O→C)，所以O→C＝2O→A－O→B＝ 2a－b，
2.2 平面向量的线性运算 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
[学习目标] 1.掌握向量数乘运算及其几何意义，掌 握向量数乘的运算律(重点)． 2.掌握向量共线定理及其 证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线 (重点、难点)． 3.能熟练地运用数乘运算的定义、运算 律进行有关计算(重点)．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要 多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[变式训练] 计算下列各式： (1)4(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)； (3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)． 解：(1)原式＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b. (2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.
(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝λμ_a； ② (λ ＋ μ)a ＝ λ_a ＋ μ_a ； ③λ(a ＋ b) ＝ λ_a ＋ λ_b( 分 配 律)． 特别地，(－λ)a＝－λ a＝λ(－a)，λ( a－b)＝λ_a－λ_b． 温馨提示 要清楚数乘向量与数乘数的区别，前者结
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定 如下： ①|λ a|＝|λ||a|； ②当 λ>0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反．
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
基 础 巩 固一、选择题1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( ) A ．a －2b B ．－2b C ．0 D ．b －a[答案] B[解析] (2a －b )－(2a ＋b )＝2a －b －2a －b ＝－2b . 2．已知λ、μ∈R ，下面式子正确的是( ) A ．λa 与a 同向 B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a | [答案] C[解析] 对A ，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a 是向量而非数0；对D ，若b ＝λa ，则|b |＝|λa |.3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB →B.13AB → C ．－13AB → D ．2AB → [答案] D[解析] BC →＝AC →－AB →＝3AB →－AB →＝2AB →.4．已知向量a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或e 1＝0[答案] D[解析] 当e 1＝0时，显然有a ∥b ； 当e 1≠0时，b ＝2e 1≠0，又a ∥b ，∴存在实数μ，使a ＝μb ，即e 1＋λe 2＝2μe 1， ∴λe 2＝(2μ－1)e 1，又λ≠0，∴e 1∥e 2.5．已知a 、b 是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为( )(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25； (3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] (1)真命题．因为2>0，所以2a 与a 的方向相同．又|2a |＝2|a |，所以命题①是真命题．(2)真命题．因为5>0，所以5a 与a 方向相同，且|5a |＝5|a |，而－2<0，所以－2a 与a 的方向相反，|－2a |＝2|a |，所以－2a 与5a 的方向相反，且模是5a 的模的25.故(2)是真命题．(3)真命题．依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．(4)假命题．因为a －b 与b －a 是一对相反向量．所以a －b 与－(b －a )是一对相等向量，故(4)是假命题．正确命题个数为3，答案C 。
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标
3．若点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝4e1，B→C＝
6e2，则 3e2－2e1 等于( )
→ A.AO
→ B.CO
→ C.BO
→ D.DO
[答案] C
4．e1、e2 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量
中，不能作为一组基底的是( )
A．e1 和 e1＋e2
B．e1－2e2 和 e2－2e1
若点 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00 ， λ<－1
∴λ<－47 ，∴λ<－1. 即当 λ<－1 时，点 P 在第三象限内．
解法二：O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋A→B＋λA→C ＝O→B＋λA→C＝(5,4)＋λ(5,7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)，∴P(5＋5λ，4＋7λ)， ∵点 P 在第三象限内，∴54＋ ＋57λλ<<00 ，∴λ<－1.
自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相__垂__直____的向量，叫做 平面向量的正交分解．
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
A.A→B＝O→B－O→A C.A→D＝A→B＋B→D
B.B→D＝A→D－A→B D.A→B＝A→C＋C→B
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．所谓的共线(平行)向量是指________，向量共线定理的 内容是________．
人教A版高中数学必修4课件2.2向量数乘运算及其几何意义课件
讲授新课
注意：
实数与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
讲授新课
结 论：
向
量b与
非零向
量a共
线,当且
仅当
有唯
一一个
实数，使
得b
a
.
讲授新课
例
3.
向量a
e1
e2
,
b
2e1
2e2
是否共线？
试用m, n表示DE, EF , FD.
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请作出a
a
a和(a
)
人教A版高中数学必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
(1)由→a ，→b 共线，得→a ＝m→b ，建立等式求 λ. (2)A、B、D 三点共线，设A→B＝λB→D，建立等式求 k .
类型三 用已知向量表示其他向量
例 3 如图，ABCD 是一个梯形，A→B∥C→D且|A→B|＝2|C→D|，M， N 分别是 DC，AB 的中点，已知A→B＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示 下列向量．
只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， 所以 k＝±1.
(1)欲证三点 A，B，D 共线，即证存在实数 λ，使A→B＝λB→D， 只要由已知条件求出 λ 即可．
(2)由两向量共线，列出关于→e 1、→e 2 的等式，再由→e 1 与→e 2 不 共线知，若 λ→e 1＝μ→e 2，则 λ＝μ＝0.
又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点，所以M→D＋M→C＝0，A→N ＋B→N＝0.
所以 2M→N＝D→A＋C→B，所以M→N＝12(－A→D－B→C)＝－12e2－12e1. 结合图形，在梯形 ABCD 中，M→N＝M→D＋D→A＋A→N，再用→e 1, →e 2 表示M→N.
【解析】 (1)证明：因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2 ＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B.
所以A→B，B→D共线，且有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线． (2)因为 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线，
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考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
向量的数乘运算
c
c
向量数乘运算的几何意义
b
b
知识导图
类型三 用已知向量表示其他向量
例 3 如图，ABCD 是一个梯形，A→B∥C→D且|A→B|＝2|C→D|，M， N 分别是 DC，AB 的中点，已知A→B＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示 下列向量．
只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， 所以 k＝±1.
(1)欲证三点 A，B，D 共线，即证存在实数 λ，使A→B＝λB→D， 只要由已知条件求出 λ 即可．
(2)由两向量共线，列出关于→e 1、→e 2 的等式，再由→e 1 与→e 2 不 共线知，若 λ→e 1＝μ→e 2，则 λ＝μ＝0.
又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点，所以M→D＋M→C＝0，A→N ＋B→N＝0.
所以 2M→N＝D→A＋C→B，所以M→N＝12(－A→D－B→C)＝－12e2－12e1. 结合图形，在梯形 ABCD 中，M→N＝M→D＋D→A＋A→N，再用→e 1, →e 2 表示M→N.
【解析】 (1)证明：因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2 ＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B.
所以A→B，B→D共线，且有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线． (2)因为 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在实数 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与 e2 不共线，
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考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
向量的数乘运算
c
c
向量数乘运算的几何意义
b
b
知识导图
【人教A版】必修4配套课件;高一数学必修4课件：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课堂典例讲练
第二章
2.2 2.2.3
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2.2 2.2.3
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第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
思路方法技巧
第二章
2.2 2.2.3
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第二章
2.2 2.2.3
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第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
建模应用引路
第二章
2.2 2.2.3
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第二章
2.2 2.2.3
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第二章
2.பைடு நூலகம் 2.2.3
人教A版高中数学必修四课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)
实数与a向量的积的运算律：
2a
3(2a)
6a
3(2a) 6a
讲授新课
实数与a向量的积的运算律：
2a
3(2a)
6a 3(2a) 6a
(
a
)
(
)a
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
5a
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
反过来，如果 共线向量，那么b
a
与
b是
a？
讲授新课
思考
反过来，如果 共线向量，那么b
a
与
b是
a？
结论那：么如b 果aa，. b是共线向量，
结论：
讲授新课
向量b与非零向量a共线,当且仅当
有唯一一个实数
，使得b
a
.
讲授新课
例
3.
向量a
5a
2a
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
5a
2a
3a
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
5a
2a
3a
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
5a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
讲授新课
实数与向a量的积的运算律：
5a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
(a)
(a
)
向量，并指出相加后和 的长度和方向有
什么变化？
a
a a a
OA B C
复习回顾
请作出a
a
高一数学必修4课件：2-2-3向量数乘运算及其几何意义
→ → 1→ PN ，则选项A，C，D不正确，很明显MP ＝ 2 MN ，则选项B正 确．
第二章
2.2
2.2.3
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4．向量的线性运算
加、减、数乘 向量的________________运算统称为向量的线性运算，
对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a± 2b)＝ μ λμ1a± 2b. λμ
第二章
2.2
2.2.3
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已知非零向量a，b满足a＝4b，则( A．|a|＝|b| C．a与b的方向相同 B．4|a|＝|b|
)
D．a与b的方向相反
[答案] C
第二章
2.2
2.2.3
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[解析]
∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
第二章
2.2
2.2.3
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定义 长度 方 向 λ>0 λ＝0 λ<0
向量 一般地，实数λ与向量a的积是一个____，
这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ|a λa的方向与a的方向______ 相同 λa＝0 λa的方向与a的方向_____ 相反
第二章
第二章 平面向量
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第二章
2.2
2.2.3
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课前自主预习
第二章
2.2
2.2.3
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人教A版高一数学必修四课件：2.2.3向量数乘运算及其几何意义 (共21张PPT)
AC 与AE 共线且有公共点A. A、C、E三点共线
例 如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
E C
解： AE AD DE
3AB 3BC
A B
D
变式二：求证：BC // DE
3( AB BC) 3AC ， AC 与AE 共线
a与b共线。
例如图，已知 AD 3AB，DE 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线.
E 解： AE AD DE
C
A B
3AB 3BC 3( AB BC)
3AC ，
变式一：
D AC 与AE 共线
如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 试判断 A、C、E三点的位置关系。.
b 1 a e 3a
2
2
b 8a 9
e 4a 3
思考
a与a有何关系？(a
0)
结 论：
a, a共线向量 .
思考
如果
a
与
b 是共线向量，那么b
a？
结 论： 如果a，b是共线向量，
那么b
a
.
共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
课本P90 4
4、判断下列各小题中向量a与b是否共线：
(1)a 2e,b 2e; (2)a e1 e2,b 2e1 2e2;
解：a b
a与b共线。
解：b 2a
向量的减法(三角形法则)
高一数学人教A版必修4课件2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3.解读运算律 λ(a+b)=λa+λb 的几何意义 (1)当 a,b 中有一个等于 0,或 λ=0 或 1 时,等式显然成立. (2)当 a,b 都不等于 0,且 λ≠1,λ≠0, 当 λ>0,且 λ≠1 时,如图, ������������=a,������������ =b,������������1 =λa,������1 ������1 =λb,������������=a+b,������������1 =λa+λb, 由作法知������������ ∥ ������1 ������1 , 所以|������1 ������1 |=λ|������������ |, 所以|������������1 |=λ|������������|,且������������1 与������������方向也相同, 故有 λ(a+b)=λa+λb 成立. 当 λ<0 时,同理可证. 综上,λ(a+b)=λa+λb 成立.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 计算:(1)3(6a+b)-9 ������ + ������ ; (2) (3������ + 2������)- ������ + ������ -2 ������ + ������ ; 2 2 2 8 (3)2(5a- 4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 思路分析 :可综合运用向量数乘的运算律求解 . 解:(1)原式=18a+3b- 9a- 3b=9a; (2)原式 =
1 2 1 1 1 3 3
1
2������ + ������ -a- b=a+ b-a- b=0;
高一数学人教A版必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1234
明目标、知重点
1234
→
→
→
3.已知 e1 与 e2 不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，
求证：A、B、D 三点共线. 证明 ∵A→B＝e1＋e2， →→→ BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)
＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5A→B.∴A→B，B→D共线.
令1－λ＝α，λ＝β，则
→→→ OC＝αOA＋βOB，且 α＋β＝1.
明目标、知重点
思考 3 已知 O 为平面 ABC 内任一点，若存在 α，β∈R，使O→C＝
αO→A＋βO→B，α＋β＝1，那么 A、B、C 三点是否共线？ 答 共线，因为存在 α、β∈R,使O→C＝αO→A＋βO→B，且 α＋β＝1. ∴β＝1－α，∴O→C＝αO→A＋(1－α)O→B， ∴O→C＝αO→A＋O→B－αO→B
明目标、知重点
小结 由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件： 如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.对 此定理的证明，是两层来说明的： 其一，若存在实数λ，使b＝λa，则由实数与向量乘积定义可知b 与λa平行，即b与a平行.
其二，若b与a平行，且不妨令a≠0，设||ab||＝μ(这是实数概念).接 下来看a、b方向如何：①a、b同向，则b＝μa，②若a、b反向， 则记b＝－μa，总而言之，存在实数λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b＝λa.
解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
k－λ＝0， 只能有
∴k＝±1.
λk－1＝0，
明目标、知重点
高中数学人教A版必修4课件：2.2.3向量数乘运算及其几何意义
4.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λ a,则λ 的
值等于________.
【解析】因为b=λ a,所以|b|=|λ ||a|. 又a与b反向,所以λ=- .R
r
答案:- R
r
5.下列各式中成立的是________. ①|λ a|=λ a; ②0·a=0; ③(λ +μ )a=λ a+μ a; ④λ (a+b)=λ b+λ a. 【解析】①中|λ a|=|λ ||a|,错误;②中,0·a=0,错误; 答案:③④
【解析】1.选D.因为E是BC的中点, 所以 C E ＝ 1C B ＝ 1A D ＝ 1b，
22 2
所以 D E ＝ D C C E A B C E ＝ a 1b .
2
2.选C.由 a b＝知2 PQ， PQ①＝正3a确3; b，
3
22
由 PT＝3a从3而b，②错误;
(2)关于向量共线 ①向量共线定理中规定向量a≠0,因为如果a=0, 当b=0时,0=λ 0,λ 可以是任意实数; 当b≠0时,b=λ 0,λ 值不存在. ②当向量a,b同向时,λ >0,当向量a,b反向时,λ <0.
【自我检测】
1.已知λ ∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.|λ a|=λ |a|
应有 BD1BC或 BD2BC.解题时条件转化要全面准确.
3
3
【自我纠正】因为D为BC的三等分点,
当BD=1 BC时,如图1,BD 1 BC，
3
3
所以 A DA BB DA B1B C
3 AB 1（AC AB）
3
2 AB 1 AC 2 a 1 b.
3
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第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
→ → → 已知 AB ＝a＋5b， BC ＝－2a＋8b， CD ＝3(a－b)，则 ( ) A．A、B、C三点共线 C．A、C、D三点共线 B．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线
[答案] B
第二章
2.2 2.2.3
第二章
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
第二章
平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.2.3
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课前自主预习
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
)
[答案]
[解析]
B
1 1 原式＝ 12 (4a＋16b－16a＋8b)＝ 12 [(4－16)a＋(16
1 ＋8)b]＝12(－12a＋24b)＝2b－a
第二章 2.2 2.2.3
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3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝ λa. [总结](1)向量共线的条件：当向量a＝0时，a与任一向量b 共线；当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数λ，使b＝ λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．
[解析]
把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立
3 2 3m＋2n＝a， m＝11a＋11b， 方程组 解得 m－3n＝b， n＝ 1 a－ 3 b. 11 11
第二章
2.2 2.2.3
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规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积 以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的 方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
命题方向2
向量共线定理的应用
→ 已知两个非零向量e1、e2不共线，若 AB ＝2e1＋
→ → 3e2， BC ＝6e1＋23e2， CD ＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共 线．
第二章
2.2 2.2.3
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[分析]
第二章
2.2 2.2.3
→
第二章
2.2 2.2.3
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规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到 一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向 量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共 点，证得三点共线．
第二章
2.2 2.2.3
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[证明]
→ → → → ∵AD＝AB＋B C ＋CD
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A B ， → → ∴AD∥AB. 又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．
[解析]
∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
∵4b与b的方向相同， ∴a与b的方向相同．
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
2．向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则
(λμ)a (1)λ(μa)＝________； λa＋μa (2)(λ＋μ)a＝__________； λa＋λb (3)λ(a＋b)＝____________ (分配律)． －(λa)＝λ(－a) 特别地，我们有(－λ)a＝__________________，λ(a－b)＝ λa－λb __________.
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已知向量e1、e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋ 2e2，求证：a∥b.
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[证明]
若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，
所以a与b共线，即a∥b； 若e1、e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝ λe1(λ∈R)，且a＝(1－λ)e1， b＝2(1＋λ)e1，所以a∥e1，b∥e1. 因为e1≠0，所以a∥b. 综上可知，a∥b.
[解析]
已知在▱ABCD中，F为DC的中点，E为AF与BD
的交点，求证：E为BD的一个三等分点．
→ → → → 证明：如图，设实数λ、μ满足AE＝λAF，BE＝μBD.
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
→ → → → → ∴AE＝AB＋BE＝AB＋μBD， → → → ∴λAF＝AB＋μBD. → → → ∵BD＝AD－AB， → → → → 1 → → 1→ AF＝AD＋DF＝AD＋ DC＝AD＋ AB， 2 2 → 1→ → → → ∴λ(AD＋2AB)＝AB＋μ(AD－AB)． 1 → → ∴(λ－μ)AD＝(1－μ－2λ)AB.
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[解析]
→ → ∵BC＋CD＝a＋5b，
→ → → 即BC＋CD＝AB， → → → → ∴BD＝AB，即存在λ＝1使BD＝λAB. → → ∴BD、AB共线． 又∵两向量有公共点B， ∴A、B、D三点共线．
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
平面向量
第二章
平面向量
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2．2 平面向量的线性运算
第二章
平面向量
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
新课引入
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
某小学在一条长150米的笔直跑道上做一次体力和智力结 合的游戏．从设在最北端的A点向南跑50米到达B点处做一组 数学练习题，做对后再向正南跑50米到达C处做一组语文练习 题，做对后又向正南方向跑50米到达终点D处做一组“自然” 题，做对后原路跑回到起点A.用时少者为优胜者．我们把A到 → B看作向量a，观察向量 AD 的方向、长度与a的方向、长度之 → 间有何关系？向量DA的方向、长度和向量a的方向、长度之间 有何关系？
[答案] A
)
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
3．若a表示向东走8 km，b表示向北走8 km，则|a＋b|＝ ________km，a＋b的方向是________．
[答案] 8 2 东北方向
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
4．向量的线性运算 向量的________________运算统称为向量的线性运算， 加、减、数乘 对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a± 2b)＝ μ
λμ1a± 2b λμ ____________
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
1 2 若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则( 3 a－b)－3(a＋ 3 b)＋(2b －a)＝________.
[答案] 32 －16i＋ 3 j
第二章
2.2 2.2.3
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第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长 度的λ倍，即|b|＝λ|a|，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反 方向时b＝－λa. (2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0. [拓展]已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，则 → → → 有OC＝λOA＋mOB，其中λ＋m＝1.
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 向量在平面几何中的探究应用
平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此 平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不 能，请说明理由．
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
温故知新 1．若非零向量a、b互为相反向量，则下列说法中错误的 是( ) A．a∥b C．|a|≠|b|
[答案] C
B．a≠b D．b＝－a
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
2．若a与b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b无论什么关系均可
第二章
2.2 2.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[破疑点]①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个 向量，不是实数；但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋ a，λ－a是错误的． a ②对任意非零向量a，则向量 |a| 是与向量a同向的单位向 量． ③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大 或缩小|λ|倍．