四川省巴中市龙泉外国语学校2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(重点班)(解析版)

2015-2016学年四川省巴中市龙泉外国语学校高二（上）期中数学试卷（重点班）一、选择题．1．设集合A={x |x +2=0}，集合B={x |x 2﹣4=0}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣2}B ．{2}C ．{﹣2，2}D ．∅2．已知sin α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3．若直线l 1：ax +2y ﹣8=0与l 2：x +2y +4=0平行，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．1或2C ．1D ．1或﹣24．等比数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ）A ．﹣24B ．0C ．12D ．245．已知向量=（1，），=（3，m ），若向量，的夹角为，则实数m=（ ）A ．2B ．C ．0D ．﹣6．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A ．21+B ．18+C ．21D ．188．直线2xcos α﹣y ﹣3=0（α∈[，]）的倾斜角的变化范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，） D ．[，] 9．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l10．如图：在三棱锥A ﹣BCD 中，P ∈AC ，Q ∈BD ，若V A ﹣BPQ =6，V B ﹣CPQ =2，V Q ﹣PCD =8，则三棱锥A ﹣BCD 的体积V A ﹣BCD 为（ ）A ．22B ．34C ．32D ．4011．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个12．已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，）C ．（0，）D ．（，2）二、填空题．13．过原点与（﹣3，）的直线的倾斜角α=______．14．点A （a ，6）到直线3x ﹣4y=2的距离等于4，a=______．15．已知P （﹣2，1），Q （2，t ）．点M 为直线y +1=0上的动点．若存在以PQ 为直径的圆过点M ，则实数t 的取值范围为______．16．棱长为3的正方体内部有一个半径为1的小球．当小球在正方体内部自由运动时，则在正方体内部小球所不能到达的空间的体积为______．三、解答题.（书写规范，字迹清楚，易于辨认．）17．已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC ．18．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，0），C（3，4）．（1）求过点A且与直线BC垂直的直线方程．（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．20．如图：AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°．∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC（2）作BG∥CD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线．21．已知直线l：y=3x和点P（8，3），点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求△OMQ的面积S的最小值．（O为坐标原点）．22．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥平面A1ABB1，且AA1=AB=BC=2．M、N分别为A1B、B1C1中点．（1）求三棱锥A1﹣MNC的体积．（2）求证：AB⊥BC（3）（文科做）求AC与平面A1BC所成角的大小．（理科做）求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．2015-2016学年四川省巴中市龙泉外国语学校高二（上）期中数学试卷（重点班）参考答案与试题解析一、选择题．1．设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A2．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A3．若直线l1：ax+2y﹣8=0与l2：x+2y+4=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．1或2 C．1 D．1或﹣2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用平行线与斜率、截距的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣8=0与l2：x+2y+4=0平行，∴=﹣，解得a=1．故选：C．4．等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0 C．12 D．24【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．【解答】解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．5．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．6．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线（）A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．【解答】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上，手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线垂直．故选D．7．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A ．21+B ．18+C ．21D ．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S 正方体﹣2S 棱锥侧+2S 棱锥底==21+．故选：A ．8．直线2xcos α﹣y ﹣3=0（α∈[，]）的倾斜角的变化范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，） D ．[，] 【考点】直线的倾斜角．【分析】找出直线的斜率为2cos α，由α的范围确定出斜率的范围，设倾斜角为θ，tan θ即为下来范围，求出θ的范围即可．【解答】解：因为直线2xcos α﹣y ﹣3=0的斜率k=2cos α，由于α∈[，]，所以≤cos α≤，因此k=2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]，由于θ∈[0，π），所以θ∈[，]，即倾斜角的变化范围是[，]．故选B9．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m ⊥平面α，直线l 满足l ⊥m ，且l ⊄α，所以l ∥α，又n ⊥平面β，l ⊥n ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n ，与m ，n 异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．10．如图：在三棱锥A ﹣BCD 中，P ∈AC ，Q ∈BD ，若V A ﹣BPQ =6，V B ﹣CPQ =2，V Q ﹣PCD =8，则三棱锥A ﹣BCD 的体积V A ﹣BCD 为（ ）A ．22B ．34C ．32D ．40【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由==，得出V A ﹣DPQ ，则V A ﹣BCD 为四个小棱锥的体积和．【解答】解：设P 到平面BCD 的距离为h ，则V B ﹣CPQ =V P ﹣BCQ =，V Q ﹣PCD =V P ﹣CDQ =，∴==，∴==，∴=，∴V A ﹣DPQ =4V P ﹣ABQ =24，∴V A ﹣BCD =6+2+8+24=40．故选：D ．11．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据题意，构造关于M ，N 的方程组，表示M ，N ，K 的关系，进而由8分钟后不出现排队现象，可得不等式，由此可得结论．【解答】解：设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则由（1）、（2）得KK=2.5M ，N=60M代入（3）得60M +8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4．故至少同时开放4 个窗口才能满足要求．故选A ．12．已知函数f （x ）=，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，）C ．（0，）D ．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f （x ）﹣g （x ）的表达式，构造函数h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ），作出函数h （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣b +f （2﹣x ），由f （x ）﹣b +f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=b ，设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ），若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x +x 2，若0≤x ≤2，则﹣2≤﹣x ≤0，0≤2﹣x ≤2，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2﹣x +2﹣|2﹣x |=2﹣x +2﹣2+x=2，若x ＞2，﹣x ＜﹣2，2﹣x ＜0，则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=（x ﹣2）2+2﹣|2﹣x |=x 2﹣5x +8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题．13．过原点与（﹣3，）的直线的倾斜角α=120°．【考点】直线的倾斜角．【分析】求出直线的斜率，然后求解倾斜角的大小即可．【解答】解：过原点与（﹣3，）的直线的斜率：﹣．设直线的倾斜角为：α，则tanα=，可得：α=120°．故答案为：120°．14．点A（a，6）到直线3x﹣4y=2的距离等于4，a=2或．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵=4， 化为|3a ﹣26|=20，解得a=2或，故答案为：2或15．已知P （﹣2，1），Q （2，t ）．点M 为直线y +1=0上的动点．若存在以PQ 为直径的圆过点M ，则实数t 的取值范围为 t ≤1 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】以PQ 为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径为，点M 为直线y +1=0上的动点，存在以PQ 为直径的圆过点M ，可得圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出实数t 的取值范围．【解答】解：以PQ 为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径为， ∵点M 为直线y +1=0上的动点，存在以PQ 为直径的圆过点M ，∴|+1|≤，∴t ≤1．故答案为：t ≤1．16．棱长为3的正方体内部有一个半径为1的小球．当小球在正方体内部自由运动时，则在正方体内部小球所不能到达的空间的体积为 20﹣ ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在正方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，在棱长处对应的正方体中，其体积等于这些小正方体体积的和减以球的直径为底面直径，以正方体和的高为高的圆柱，其他空间小球均能到达，综合后即可得到结果．【解答】解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8（1﹣×）=8﹣，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×1的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为12×[13﹣（×π×12×1）]=12﹣3π．其他空间小球均能到达．故小球不能到达的空间体积为：8﹣+12﹣3π=20﹣．故答案为：20﹣．三、解答题.（书写规范，字迹清楚，易于辨认．）17．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】取PC的中点M，连结FM，EM，则可证四边形AEMF是平行四边形，得出AF ∥EM，于是AF∥平面PEC．【解答】证明：取PC的中点M，连结FM，EM．∵F，M是PD，PC的中点，∴FM CD，∵四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，∴AE CD，∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，又AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC．18．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，0），C（3，4）．（1）求过点A且与直线BC垂直的直线方程．（2）求△ABC的面积．【考点】直线的两点式方程．【分析】（1）利用斜率计算公式可得k BC=﹣2，可得与直线BC垂直的直线斜率为，利用点斜式即可得出．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|=2．直线BC的方程为：2x+y﹣10=0．求出点=即可得出．A到直线BC的距离d，利用S△ABC【解答】解：（1）k BC==﹣2，∴与直线BC垂直的直线斜率为．∴过点A且与直线BC垂直的直线方程为y﹣2=（x﹣1），化为：x﹣2y+3=0．（2）|BC|==2．直线BC的方程为：y﹣0=﹣2（x﹣5），化为2x+y﹣10=0．∴点A到直线BC的距离d==，==×=6．∴S△ABC19．已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣ [1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣20．如图：AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°．∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC（2）作BG∥CD，求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线．【考点】平面与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论．【分析】（1）要证明面面垂直，可以证明线面垂直，则过这条直线的平面与直线垂直的平面垂直．（2）AB⊥面BCD，BCD=90°，采用补形法，利用中点的连线成中位线，平行底边即可证明．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AC，AD的中点，∴AE=EC，AF=FD；∴EF∥CD又∵AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，⇒CD⊥平面ABC，∵⇒EF∥平面ABC⇒平面BEF⊥平面ABC得证解：（2）连接GD，作AB的平行线，连接AM，MD（如图所示），延长EF交MD于N．∵E，F分别是AC，AD的中点，∴AE=EC，AF=FD；BG∥CD∥AM∴EF∥CD，FN∥AM．N必为MD的中点，∵EN∥BG，EN=BG．∴BGNE是平行四边形．同理：BGCD是平行四边形．∴平面BGDC∩平面BGEN=BG∴作BG∥CD，BG是平面BEF与平面BCD的交线．证毕．21．已知直线l ：y=3x 和点P （8，3），点Q 为第一象限内的点，且在直线l 上，直线PQ 交x 轴正半轴于点M ，求△OMQ 的面积S 的最小值．（O 为坐标原点）．【考点】直线的一般式方程．【分析】设点Q （a ，3a ），a ＞0，点M 坐标为（b ，0），b ＞0，则直线PQ 的斜率为，解得b 的值，求得M 的坐标，表示出△OMQ 的面积，利用判别式大于或等于零求出S 的最小值即可．【解答】解：设点Q （a ，3a ），a ＞0，点M 坐标为（b ，0），b ＞0，则直线PQ 的斜率为，解得b=，∴M 的坐标为（，0），故△OMQ 的面积S=××3a=，即21a 2﹣2Sa +2S=0．由题意可得方程21a 2﹣2Sa +2S=0有解，故判别式△=4S 2﹣168S ≥0，即S ≥42，故△OMQ 的面积S 的最小值等于42．22．在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，且AA 1=AB=BC=2．M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1中点．（1）求三棱锥A 1﹣MNC 的体积．（2）求证：AB ⊥BC（3）（文科做）求AC 与平面A 1BC 所成角的大小．（理科做）求锐二面角A ﹣A 1C ﹣B 的大小．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连结AB 1，由四边形ABB 1A 1为正方形可得AB 1⊥A 1B ，根据面面垂直的性质得出AB 1⊥平面A 1BC ，故而AB 1⊥BC ，结合BC ⊥BB 1得出BC ⊥平面ABB 1A 1，故而V =V B ﹣MNC =V M ﹣BCN =V =V =•BC ；（2）由BC ⊥平面ABB 1A 1可得BC ⊥AB ；（3）（文）连结CM ，则∠ACM 为AC 与平面A 1BC 所成角；（理）以B 为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，则法向量的夹角（或补交）即为二面角的大小．【解答】解：（1）连结AB 1，∵直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB=AA 1=BC ，∴四边形ABB 1A 1，BB 1C 1C 是正方形，∴AB 1⊥A 1B ，BC ⊥BB 1，又平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，平面A 1BC ∩平面A 1ABB 1=A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BC ，又BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AB 1⊥BC ，又BB 1⊂平面ABB 1A 1，AB 1⊂平面ABB 1A 1，BB 1∩AB 1=B 1， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∵M 为A 1B 的中点，∴V=V B ﹣MNC =V M ﹣BCN =V =V =•BC==． （2）由（1）得BC ⊥平面ABB 1A 1，又AB ⊂平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥AB ．（3）（文科）连结CM ．由（1）可得AB 1⊥平面A 1BC ，∴∠ACM 为AC 与平面A 1BC 所成角．∵AB=BC=AA 1=2，∴AM==，AC=2，∴sin ∠ACM=， ∴∠ACM=30°，即AC 与平面A 1BC 所成角为30°．（理科）以B 为原点，以BC ，BB 1，BA 为坐标轴建立空间直角坐标系B ﹣xyz ， 则B （0，0，0），A （0，0，2），C （2，0，0），A 1（0，2，2），B 1（0，2，0）．∴=（2，﹣2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），∵AB 1⊥平面A 1BC ，∴=（0，2，﹣2）是平面A 1BC 的一个法向量，设平面A 1AC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，∴，令z=1得=（1，0，1），∴cos ＜，＞===﹣．∴＜，＞=120°，∵锐二面角A ﹣A 1C ﹣B 的大小为60°．。