福州大学第四届数学建模竞赛题目

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第四届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准

1
∫ f ( x )dx ≤ C
0
∫ ∫ ∫ 解由于
1
| f(
x ) | dx =
1
1
| f (t) | 2tdt ≤ 2 | f (t) | dt = 2,
………………………（4 分）
0
0
0
∫ ∫ 另一方面, 取 fn (x) = (n + 1)xn , 则
1
|
0
fn (x) | dx
=
1 0
fn
(−1)k−1 e−2x sin xdx
……………………………………（3 分）
k =1 (k −1)π
应用分部积分法
所以
∫kπ
(−1) k −1 e −2x
sin
1 xdx =
e −2kπ
(1 + e2π
)
(k −1)π
5
………………………………（2 分）
∫ ∑ e nπ −2x 0
| sin x | dx = 1 (1 + e2π ) n e−2kπ
dθ rdr
t2 −r2
f(r 2
( ) 2π
⎛⎜⎝1 −
g (t ) t
⎞ ⎟⎠
t2
f
(t 2
)
=
π
2t +1−
1+ 4t 2
t f (t2 ) .
………………（4 分）
当 Δt < 0 , 考虑 F(t) − F(t + Δt) 可以得到同样的左导数. 因此
( ) F '(t) = π 2t +1− 1+ 4t 2 t f (t 2 ) .………………………（2 分）

2011福州大学数学建模竞赛题目

福州大学第七届数学建模竞赛题目注意：1、请在A题和B题中任选一道题作答；2、答卷以论文方式提交，书写格式参照正式发表的论文，包括论文名、作者姓名、中文摘要、内容（问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型验证等方面）、参考文献（如果是引用互联网上的文章也要注明网址）和附录（例如计算过程中编写的程序）；3、答卷统一使用WORD编排，用A4规格的复印纸打印好交来。

4、请在论文中注明学院、专业、学号、联系电话、电子邮箱。

A题个税改革方案的制定在我国，个人所得税（以下简称个税）的征收主体是城镇工薪收入人员，按月征收。

目前采用的是九级累进税率，详见下表：个税起征点从解放初开始一直是800元，自2006年1月1日起上调到1600元，自2008年3月1日起又由1600元提高到2000元。

有关专家呼吁，近年来随着经济结构的变化和人民收入水平的大幅提高，现行的个税征收制度存在着明显的问题：起征点过低、级数过多、级距没有拉开，其中最明显的弊病是起征点过低。

现行税收政策使得中低收入者成为个税的纳税主体，无法发挥个税应有的调节贫富悬殊的作用。

为此，新一轮个税征收方案改革已势在必行。

国务院于3月2日召开常务会议，原则上通过个税修改议案，交由有关部门进一步完善细则。

据媒体披露，新的个税征收办法最快将于今年下半年开始实施。

近来，许多人大代表、政协委员、专家学者纷纷献计献策，提出各种各样的修改个税方案（特别是起征点）。

有关业内权威人士指出，适当提高工薪所得费用扣除标准（即个税起征点），需要根据城镇在岗职工年平均工资、按人均负担率（比如全家3口人，有2人工作，则人均负担率为1.5）计算的城镇在岗职工年人均负担家庭消费支出（具体包括衣、食、住、行等方面的开支）等因素，还要兼顾东部和中、西部地区的差异，综合统筹考虑来决定。

而级数和级距的制定主要与高收入者、中等收入者在个税纳税人群体中所占的比重有关，原则是中等收入者少交税，高收入者多交税，需要根据具体的统计数据来进行测算。

第四届东兴证券杯福州大学研究生数学建模竞赛

参赛密码（由组委会填写）第四届“东兴证券杯”福州大学研究生数学建模竞赛学院专业数计学院应用数学专业参赛题号A或B队员信息1.姓名学号2.3.参赛密码（由组委会填写）第四届东兴证券杯福州大学研究生数学建模竞赛题目人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究摘要：（宋体，小四，倍行间距）关键词：宋体，小四，倍行间距目录摘要 (2)1 问题重述 (4)人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究1 问题重述（宋体，小四，倍行间距）2 问题分析（宋体，小四，倍行间距）3 模型假设（宋体，小四，倍行间距）4 符号说明（宋体，小四，倍行间距）5 模型建立与求解问题一水果蔬菜筛选模型（宋体，小四，倍行间距）问题二水果蔬菜筛选模型（宋体，小四，倍行间距）。

6 模型的评价与改进模型的创新点与优势：（宋体，小四，倍行间距）模型的不足和改进参考文献[1] 胡召音. 灰色理论及其应用研究[J]. 武汉理工大学学报：交通科学与工程版, 2003.[2] 郭爱明, 肖玉秀, 不详. 食品营养平衡质量灰色综合评价方法的探讨与实践[J]. 食品科学, 1994, (10):12-16.[3] Peng Z, Zhu W. An Alternating Direction Method for Nash Equilibrium of Two-Person Games with Alternating Offers[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2013,157(2):533-551.[4]附录(有证明的加证明)1、证明1、代码2、图3、表。

全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析

B题：高等教育学费标准探讨
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
2009年
A题：制动器试验台的控制方法分析
工业问题
方沛辰、刘笑羽
问题具体、专业性强，要花时间读懂、理解清楚问题
出版社的资源配置
孟大志
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
边馥萍
易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）
叶其孝
煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
韩中庚
2007年
中国人口增长预测
唐云
乘公交，看奥运
方沛辰、吴孟达
手机“套餐”优惠几何（C题）
韩中庚
体能测试时间安排（D题）
刘雨林
2008年
数码相机定位
谭永基
高等教育学费标准探讨
叶其孝、周义仓
地面搜索（C题）
肖华勇
NBA赛程的分析与评价（D题）
姜启源
2009年
制动器试验台的控制方法分析
方沛辰、刘笑羽
眼科病床的合理安排
吴孟达、毛紫阳
卫星和飞船的跟踪测控（C题）
周义仓
会议筹备（D题）
王宏健
2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
韩中庚
2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11

全国大学生数学建模竞赛福建区获奖名单

2014年全国大学生数学建模竞赛福建赛区获奖名单（本科组）
191
闽江学院陈丹云朱霞陈铠鹏范振成二等奖192
闽江学院陈宇丽刘圣熔廖燕真张宋传二等奖193
三明学院杨燕冬杨灵惠黄春燕指导组二等奖194
三明学院张丽梅黄绍真潘巧玲指导组二等奖195
三明学院李文玲戴婷婷沈炎国指导组二等奖196
三明学院黄珍燕王婷王平章指导组二等奖197
三明学院陈明月刘宏徐文海指导组二等奖198
龙岩学院陈永宽郑巧妙唐吉花指导组二等奖199
龙岩学院黄顺发蔡雅娟周明玉指导组二等奖200
龙岩学院陈哲苏禄娥王建学指导组二等奖201
龙岩学院吕秀珍林婉花苏银珠指导组二等奖202
武夷学院何秋红李娜雯黄玲玲关清元二等奖203
武夷学院陈容罗陈香李金亮赵其领二等奖204
武夷学院朱岑斐林凤张曼怡陈文斌二等奖205
武夷学院吴琼蔡弋黄丽丽陈文斌二等奖206
宁德师范学院曾梦莹陈静童森邱淦俤二等奖207
宁德师范学院陈艳尤清陈明伟许爱珠二等奖208
宁德师范学院罗惠芬胡志鹏兰丽华陈省江二等奖209
福建江夏学院杨荣昌陈淑君许佳靖王锦成二等奖210
福建江夏学院糜洋吴美双沈静楠赵春二等奖211
福建江夏学院张天凤陈美懿邱蓉蓉谢明芳二等奖
212福建师范大学福清
分校
谢婧薇阮君嘉陈培俊林娟二等奖
213福建师范大学福清
分校
余启盛柳松标涂晓玲纪岗二等奖
214
仰恩大学陈芳芳谢丽红李巧凤指导组二等奖。

福建师范大学2020年秋作业《数学建模》期末考试A卷答案

《数学建模》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：一、判断题（每题3分，共15分）1、模型具有可转移性。

------------------------------（对）2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

----（对）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。

-------------------------------------------（对）4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。

------（对）5、数学模型是原型的复制品。

----------------- （错）二、不定项选择题（每题3分，共15分）1、下列说法正确的有AC 。

A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。

B、模型误差是可以避免的。

C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。

D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。

2、建模能力包括ABCD 。

A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。

A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。

A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AB 。

A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。

（10分）答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：四、建模题（每题15分，共60分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？解：4条腿能同时着地（一）模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

2022华数杯全国大学生数学建模竞赛A、B、C题

2022华数杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“华数杯数学建模竞赛论文格式规范与提交说明”）A 题环形振荡器的优化设计芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，是高端制造业的核心基石。

芯片的制造工艺非常复杂，要经历上千道工序经过复杂工艺加工制造。

尤其是数字芯片，随着工艺尺寸的不断缩小，数字芯片的优化设计变得尤为重要。

而环形振荡器是数字时钟芯片中的一种重要的结构，其设计中有三个重要的指标需要考虑：速度、面积和功耗。

速度是指电路运行的时钟频率，一般来说，速度越快，能处理的数据量就越多，性能越好。

面积是指电路的物理实现需要占用硅片的面积，占用的面积越小，芯片成本越低。

功耗是指电路工作所消耗的能量，功耗越低，发热量也越低，设备工作的时间更长，使用寿命越久。

速度、面积、功耗是互相牵制的，在相同的制造工艺（制程）以及相同的电路条件下，一般来说，速度越快，晶体管尺寸越小，功耗也越高，反之亦然。

相关概念与参数介绍见附录1。

请阅读相关文档说明，回答下列问题。

1.环形振荡器的频率公式为1/(2)pd f n t =⨯，其中n 为反相器的个数，pd t 为单级反相器的延迟时间。

反相器的负载电容与下一级的反相器的栅极面积成正比，为2nF/μm 2。

反相器工作时的电流公式可以分为以下两个阶段：饱和区和线性区。

两个阶段的公式为：221[()]21()2gs th ds ds ds gs th d gs th ds gs thWK V V V V V V V L I W K V V V V V L⎧--<-⎪⎪=⎨⎪->-⎪⎩，，式中，V gs 表示栅源之间的电压，V ds 表示漏源之间电压，V th 表示阈值电压。

请根据以上内容，计算表1中不同设计方案的环形振荡器的输出频率。

表1环形振荡器输出频率计算表序号反相器个数PMOS 宽长比NMOS 宽长比电源电压/V输出频率111400n/100n 200n/100n 1.2211800n/200n 400n/200n 1.23111.6u/0.4u 0.8u/0.4u 1.2431200n/100n400n/100n 1.2531400n/200n800n/200n 1.26310.8u/0.4u 1.6u/0.4u 1.2751500n/100n500n/100n 1.28511000n/200n1000n/200n 1.2951 1.8u/0.3u 1.8u/0.3u 1.210992u/0.5u1u/0.5u 1.22.环形振荡器的版图见附录1。

高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目(四套ABCD)

高教社杯全国高校生数学建模竞赛题目（四套ABCD）当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个伴侣;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老伴侣重逢。

我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。

让我们一起到学习啦一起学习吧!2021年高教社杯全国高校生数学建模竞赛题目A题 CT系统参数标定及成像CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的状况下，利用样品对射线能量的吸取特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此猎取样品内部的结构信息。

一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。

X射线的放射器和探测器相对位置固定不变，整个放射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。

对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸取衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。

CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品(称为模板)标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。

请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸取强度，这里称为“吸取率”。

对应于该模板的接收信息见附件2。

请依据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。

(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。

利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何样子和吸取率等信息。

另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸取率，相应的数据文件见附件4。

2008福大数学建模竞赛题目参考答案

福州大学第四届数学建模竞赛题目参考解答A 题供水问题某城市拟建A 、B 两个水厂。

从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。

由于水资源的原因，A 、B 两个水厂日进水量总和不超过80万吨。

A 、B 两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。

(1)总成本最低；(2)若A 、B 两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低； (3)如果该城市要在平直河岸L(设L 位于横坐标轴)上建一抽水站P ，供应同岸的A 、B 两个水厂。

考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA 、OB 、OP 三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。

水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。

试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA 、OB 、OP 三段管道投资费用的最优方案。

A 题参考解答：本问题是一个数学规划问题。

i x 1—A 厂到第i 个居民点的供水量 )6,,2,1( =i i x 2—B 厂到第i 个居民点的供水量 )6,,2,1( =ii c —第i 个居民点的用水量 )6,,2,1( =i z —供水总成本问题（1）方案1（A 小厂，B 大厂）∑∑==-+-+-+-=6122261122))2()4()4()1((05.1min i i i i i i i i x y x x y x z （1）S.T)6,,2,1(,21 ==+i c x x i i i （2） ∑∑==≤≤61261150,30i ii i xx （3）)6,,2,1(,0,021 =≥≥i x x i i （4）方案2（A 大厂，B 小厂）只要将方案1中的约束条件（3）改成∑∑==≤≤61261130,50i ii i xx 。

福建省福州市部分校2024届中考数学四模试卷含解析

福建省福州市部分校2024届中考数学四模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．已知二次函数y=x 2 + bx +c 的图象与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点为P ，若S △APB =1，则b 与c 满足的关系是（） A ．b 2 -4c +1=0B ．b 2 -4c -1=0C ．b 2 -4c +4 =0D ．b 2 -4c -4=02．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（）A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根3．如图，在⊙O 中，弦AB=CD ，AB ⊥CD 于点E ，已知CE•ED=3，BE=1，则⊙O 的直径是（）A ．2B ．5C ．25D ．54．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②a-b+c<0； ③当x 0<时，y 0<；2a b 0+=④，其中错误的结论有( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④5．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO 的O 点是坐标原点，A 的坐标是（﹣4，0），直角顶点B 在第二象限，等腰直角△BCD 的C 点在y 轴上移动，我们发现直角顶点D 点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A ．y=﹣2x+1B ．y=﹣12x+2 C ．y=﹣3x ﹣2 D ．y=﹣x+26．我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（）米．A．42.3×104B．4.23×102C．4.23×105D．4.23×1067．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（）A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE8．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大B．S的值减小C．S的值先增大，后减小D．S的值不变9．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为A．75 B．89 C．103 D．13910．若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范图是（）A．1＜m＜32B．1≤m＜32C．1＜m≤32D．1≤m≤32二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A 的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB的高度为______米（结果保留根号）．12．从﹣2，﹣1，2，0这四个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点不在第三象限的概率是_____．13．A．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有_____条．B．用计算器计算：7•tan63°27′≈_____（精确到0.01）．14．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8m，小华的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是___．15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD CD=．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．16．比较大小：．（填“>”，“<”或“=”）1712+3．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数kyx=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．求k和b的值；求△OAB的面积．19．（5分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：成绩频数频率优秀45 b良好 a 0.3合格105 0.35不合格60 c（1）该校初三学生共有多少人？求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．20．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥AB于点E．（1）依题意补全图形；（2）猜想AE与CD的数量关系，并证明．21．（10分）解分式方程：33x-1=13-x22．（10分）如图，△ABC 是等边三角形，AO ⊥BC ，垂足为点O ，⊙O 与AC 相切于点D ，BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E ，与⊙O 相交于G 、F 两点．（1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若等边三角形ABC 的边长是4，求线段BF 的长？23．（12分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：232212+=+（），善于思考的小明进行了以下探索：设()2a b 2m n 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2mn 2+=++．∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若()2a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝，b ＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空：＋＝( ＋ 3)2；（3）若()2433a m n +=＋，且ab m n 、、、均为正整数，求a 的值．24．（14分）已知抛物线F ：y=x 1+bx+c 的图象经过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F 的解析式；（1）如图1，直线l ：y=x+m （m ＞0）与抛物线F 相交于点A （x 1，y 1）和点B （x 1，y 1）（点A 在第二象限），求y 1﹣y 1的值（用含m 的式子表示）；（3）在（1）中，若m=，设点A′是点A 关于原点O 的对称点，如图1． ①判断△AA′B 的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P ，使得以点A 、B 、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、D 【解题分析】抛物线的顶点坐标为P （−2b ，244c b -），设A 、B 两点的坐标为A （1x ，0）、B （2x ，0）则AB ＝12x x -，根据根与系数的关系把AB 的长度用b 、c 表示，而S △APB ＝1，然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b 、c 的等式．【题目详解】解：∵1212,x x b x x c +=-=，∴AB ＝12x x -=∵若S △APB ＝1∴S △APB ＝12×AB×244c b - ＝1，214124c b -∴-=∴−12×2414b c -=，∴(248b ac-=，s ，则38s =，故s ＝2，2，∴2440--=．b c故选D．【题目点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性比较强．2、C【解题分析】解：由题意可知4的算术平方根是2，4<2, 8的算术平方根是2<，8的立方根是2，故根据数轴可知,故选C3、C【解题分析】作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA，根据相交弦定理求出EA，根据题意求出CD，根据垂径定理、勾股定理计算即可．【题目详解】解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA，由相交弦定理得，CE•ED=EA•BE，即EA×1=3，解得，AE=3，∴AB=4，∵OH⊥AB，∴AH=HB=2，∵AB=CD，CE•ED=3，∴CD=4，∵OG⊥CD，∴EG=1，由题意得，四边形HEGO是矩形，∴OH=EG=1，由勾股定理得，∴⊙O的直径为故选C ．【题目点拨】此题考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；根据图形作出相应的辅助线是解本题的关键． 4、C 【解题分析】①根据图象的开口方向，可得a 的范围，根据图象与y 轴的交点，可得c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案； ②根据自变量为-1时函数值，可得答案； ③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案； ④根据对称轴，整理可得答案．【题目详解】图象开口向下，得a ＜0，图象与y 轴的交点在x 轴的上方，得c ＞0，ac ＜，故①错误； ②由图象，得x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确； ③由图象，得图象与y 轴的交点在x 轴的上方，即当x ＜0时，y 有大于零的部分，故③错误； ④由对称轴，得x=-2ba=1，解得b=-2a ， 2a+b=0 故④正确；故选D ．【题目点拨】考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 5、D抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．【题目详解】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示．∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=12OA=1，OF=DG=BG=CG=12BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=1，即D（0，1），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），将两点坐标代入得：32k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩．则这条直线解析式为y=﹣x+1．故选D．【题目点拨】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键．6、C【解题分析】423公里=423 000米=4.23×105米．故选C．7、C【解题分析】利用旋转的性质得BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，再通过判断△ABD为等边三角形得到AD=AB，∠BAD=60°，则根据平行线的性质可判断AD∥BC，从而得到∠DAC=∠C，于是可判断∠DAC=∠E，接着利用AD=AB，BE=BC可判断AD+BC=AE，利用∠CBE=60°，由于∠E的度数不确定，所以不能判定BC⊥DE．∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E，∴△ABD为等边三角形，∴AD=AB，∠BAD=60°，∵∠BAD=∠EBC，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠C，∴∠DAC=∠E，∵AE=AB+BE，而AD=AB，BE=BC，∴AD+BC=AE，∵∠CBE=60°，∴只有当∠E=30°时，BC⊥DE．故选C．【题目点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．8、D【解题分析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=12|k|，所以S=2k，为定值．【题目详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【题目点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．9、A【解题分析】观察可得，上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，所以b=26=64，又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，所以a=11+64=75，故选B．10、B【解题分析】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；【题目详解】∵一次函数y=（2m-3）x-1+m的图象不经过第三象限，∴230 10 mm＜-⎧⎨-+≥⎩，解得1≤m＜32．故选：B．【题目点拨】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1002【解题分析】解：如图，连接AN，由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，∴AN=MN=200米，在Rt△ABN中，∠ANB=45°，∴AB=22AN=1002（米），故答案为1002．点睛：此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．12、5 6【解题分析】列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．【题目详解】如图：共有12种情况，在第三象限的情况数有2种，故不再第三象限的共10种，不在第三象限的概率为105= 126，故答案为56．【题目点拨】本题考查了树状图法的知识，解题的关键是列出树状图求出概率．13、20 5.1【解题分析】A、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B、利用计算器计算可得．【题目详解】A、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8，则这个正多边形对角线的条数一共有8(83)2⨯-=20，故答案为20；B、7•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.1，故答案为5.1．【题目点拨】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．14、4m【解题分析】设路灯的高度为x(m)，根据题意可得△BEF∽△BAD，再利用相似三角形的对应边正比例整理得DF=x﹣1.8，同理可得DN=x﹣1.5，因为两人相距4.7m，可得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可.【题目详解】设路灯的高度为x(m)，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，即，解得：DF=x﹣1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴，即，解得：DN=x﹣1.5，∵两人相距4.7m，∴FD+ND=4.7，∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，解得：x=4m，答：路灯AD的高度是4m．15、25°连接BC，BD, 根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD，从而可得到∠BAD的度数．【题目详解】如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵AD CD，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．【题目点拨】本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.16、＞【解题分析】试题分析：根据二次根式的性质可知，被开方数越大，所对应的二次根式就越大，因此可判断与=1的大小为＞1．考点：二次根式的大小比较17、3【解题分析】12化成23.【题目详解】原式3+3=33故答案为33本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行然后合并同类二次根式．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）k=10，b=3；（2）15 2.【解题分析】试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积.试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=kx，得k==2×5=10把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3，∴OB=3 ∴S=12×3×5=7.5考点：一次函数与反比例函数的综合问题.19、（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）1 6【解题分析】分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初三学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示：（3）画树形图得：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.20、(1)见解析;(2)见解析.【解题分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质得∠A＝45∘．则∠ADE＝∠A＝45°，所以AE＝DE，再根据角平分线性质得CD＝DE，从而得到AE＝CD．【题目详解】解：（1）如图：（2）AE与CD的数量关系为AE＝CD．证明：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠A＝45°．∴AE＝DE，∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE，∴AE＝CD．【题目点拨】此题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键在于根据题意作辅助线.21、7【解题分析】根据分式的性质及等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可.【题目详解】33 x--1=13x-3-(x-3)=-13-x+3=-1x=7【题目点拨】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是正确去掉分母.22、（2）证明见试题解析；（2【解题分析】（2）过点O作OM⊥AB于M，证明OM=圆的半径OD即可；（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，得到四边形OMBN是矩形，在直角△OBM中利用三角函数求得OM 和BM的长，进而求得BN和ON的长，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．【题目详解】解：（2）过点O作OM⊥AB，垂足是M．∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．∵△ABC是等边三角形，∴∠DAO=∠MAO，∴OM=OD，∴AB与⊙O相切；（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．∵O是BC的中点，∴OB=2．在直角△OBM中，∠MBO=60°，∴∠MOB=30°，BM=12OB=2，∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形，∴ON=BM=2，∵，由勾股定理得．∴BF=BN+NF=32+．考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题．23、（1）22m 3n +，2mn ；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝1．【解题分析】(1)∵23(3)a b m n +=+，∴223323a b m n mn +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝1，b ＝2mn ＝2．故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵2＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝1．24、（1）y=x 1+x ；（1）y 1﹣y 1=；（3）①△AA′B 为等边三角形，理由见解析；②平面内存在点P ，使得以点A 、B 、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为（1，）、（﹣ ）和（﹣，﹣1）【解题分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F 的解析式；（1）将直线l 的解析式代入抛物线F 的解析式中，可求出x 1、x 1的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y 1、y 1的值，做差后即可得出y 1-y 1的值；（3）根据m 的值可得出点A 、B 的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB 、AA′、A′B 的值，由三者相等即可得出△AA′B 为等边三角形； ②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），分三种情况考虑：（i ）当A′B 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；（ii ）当AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；（iii ）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【题目详解】（1）∵抛物线y=x1+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x1+x．（1）将y=x+m代入y=x1+x，得：x1=m，解得：x1=﹣，x1=，∴y1=﹣+m，y1=+m，∴y1﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）=（m＞0）．（3）∵m=，∴点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，1）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（，﹣）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣，），B（，1），A′（，﹣），∴AA′=，AB=，A′B=，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得，∴点P的坐标为（1，）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣，）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣，﹣1）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（1，）、（﹣）和（﹣，﹣1）．【题目点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（1）将一次函数解析式代入二次函数解析式中求出x1、x1的值；（3）①利用勾股定理（两点间的距离公式）求出AB、AA′、A′B的值；②分A′B为对角线、AB为对角线及AA′为对角线三种情况求出点P的坐标．。

2025届福建省福州第四中学高考仿真卷数学试卷含解析

2025届福建省福州第四中学高考仿真卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能3．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<4．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（）A ．3B ．3-C ．3D ．3-5．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 6．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒7．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（）A ．25B ．2C ．72D ．38．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值9．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种10．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（） A ．35B ．45-C ．45D ．3511．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（） A ．3πB 3πC ．12πD ．24π12．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C 5D 7 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届福建省泉州市高考数学四模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数21,0()2ln(1),0x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0,1)D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，3．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-4．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A 32b B ．12b C ．32b D ．12b -7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-10．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（） A ．23B ．1C ．43D ．211．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( ) A．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B．12⎛-⎝⎭C．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛- ⎝⎭或1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ 12．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国大学生数学建模竞赛D题会议筹备问题PPT学习教案

以宾馆总数最少为目标的优化模型其最优解一般不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、客房价格等因素，从几个解中选出相对较好的一个。
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问题分析和解决方法
问题3主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
租车要考虑多少代表参加哪个分组会议, 题目中没有这方面的信息, 可以按照平均的、随机的方式处理。
• 有的先确定在哪些宾馆租借会议室，再预订客房。
• 还有的将宾馆总数最少和宾馆间的距离最短结合起来，建立双目标规划模型。
• 一些同学用分析方法先排除一些宾馆, 或是依次在某些宾馆安排代表(先安排容纳人多的), 虽然得到的结果不错, 但偏向于经验, 从数学建模的角度来说不提倡。 • 给出客车在宾馆之间接送代表的具体办法, 如行车路线、始发地和目的地, 中途经什么宾馆等，值得鼓励。
根据附表2数据中本届会议的代表所需要6种类型的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客房的数量。
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问题分析和解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法
问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意，如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。
与会代表数量 N=638
400 350
确定预订客房的总量
300 250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用”

重庆工商大学第四届大学生数学建模竞赛试题

重庆工商大学第四届大学生数学建模竞赛试题参赛说明1. 数学建模竞赛试题共有三道（A、B、C、D），请选择一道与熟悉的题目回答，不必做其他题目。

2. 请按规定的时间内 ( 5月15号下午5：00以前) 上交论文，过期无效。

试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。

3. 论文请交到南实验楼403，交论文时间：5月15号上午9：00——下午5：00。

4. 由于竞赛题目有一定的难度，因此不必做完上一个问题，才能回答下一个问题，而是需要完整地把解题的思想表达出来。

由于有些题目中的问题较多，很可能在竞赛期间做不完，你可以对某些问题不作回答，有兴趣的同学可以在竞赛后再作深入研究。

5. 由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。

A题：阅卷方案的确定在确定数学建模竞赛的优胜者时，常常需要评阅大量的论文。

某次竞赛有两个题目，组委会共收到744个队完成的竞赛论文，其中A题有343份论文，由12位阅卷人组成的小组来完成评阅任务；B题有401份论文，由14位阅卷人组成的小组来完成评阅任务。

最理想的评阅方法是每位阅卷人评阅所有的论文，并且最终给所有论文排序，不过，这种评阅方法工作量太大，花费时间过长。

目前评阅论文是采用筛选方式，在一次筛选中，每位阅卷人只评阅一定数量的论文，并给出分数，论文满分为100分；阅卷人的任务是从中选出1/3的优胜者；每份论文最多有3个阅卷人评阅。

在这次数学建模竞赛中，A题和B题采用以下两种不同的评阅方案：（1）A题评阅方案第一轮：阅卷人随机抽取论文进行评阅，当每份论文都由两位不同的阅卷人进行过评阅后，阅卷结束。

对每份论文，当两位阅卷人给分相近时，将两个评阅成绩累加作为该答卷的总分；当两位阅卷人给分相差大于10分时，进入第二轮。

第二轮：对进入第二轮的论文，阅卷人随机抽取自己没有评阅过的论文进行评阅；从每份论文的三个评阅成绩中取两个相近的分数之和作为该论文的总分。

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题电力市场的输电阻塞管理我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。

2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。

可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。

我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。

电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。

电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。

如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。

当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。

电力市场交易规则：1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。

各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。

在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。

2. 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注释），直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二(下)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=e iπ2，则z的虚部为（）A．i B．1C．22i D．223．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）A．y＝0B．4x﹣3y＝0C．x-2y+5=0D．x+2y-5=04．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（）A．3B．2C．22D．235．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+a n+1sin x﹣（2a n+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A．1021B．1022C．1023D．10246．（5分）△ABC中，sin(π2―B)=cos2A，则AC―BCAB的取值范围是（）A．(-1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axe x﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x―1)x图象上的动点，若对任意a ＞0，有|PQ |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．3B ．322C ．2D ．52二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量→a =(1，3)，→b =(2x ，2―x)，其中x ∈R ，下列说法正确的是（）A ．若→a ⊥→b ，则x ＝6B ．若→a 与→b 夹角为锐角，则x ＜6C ．若x ＝1，则→a 在→b 方向上投影向量为→b D ．若|→a |=4（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），则下列说法正确的是（）A ．若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，则a ＝﹣3B ．当c ＝0时，函数f （x ）过原点的切线有且仅有两条C ．函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a ﹣b ≥3D ．若实数x 1，x 2是f （x ）的两个不同的极值点，且满足x 1+x 2＝x 1x 2，则a ＞0或a ＜﹣6（多选）11．（5分）已知函数f （x ）＝2sin x +|sin2x |，则（）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于x =π2对称C ．f （x ）在[0，2π]上有四个零点D ．f （x ）的值域为[-2，332]（多选）12．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，y 1＞2，E 与F 关于原点对称，直线AB 与直线AE 的倾斜角分别是α与β，则（）A ．sin α＞tan βB ．∠AEF ＝∠BEFC ．∠AEB ＜90°D ．α＜2β三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）(2x ―y )5展开式中x 2y 3的系数为　（用数字作答）14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N （25.40，σ2），且P （ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X 表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D （X ）＝　　．15．（5分）已知f （x ）为奇函数，当x ∈（0，1]，f （x ）＝lnx ，且f （x ）关于直线x ＝1对称．设方程f （x ）＝x +1的正数解为x 1，x 2，⋯，x n ，⋯，且任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得|x n +1﹣x n |＜M 成立，则实数M 的最小值为．16．（5分）在平面四边形ABCD 中，∠ADB ＝90°，∠ABC ＝90°，BD ＝BC ＝2，沿对角线BD 将△ABD 折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A ﹣BCD ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球表面积的最小值为　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足S n =(a n +12)2．（1）求a n ；（2）设b n =1(a n +1)(a n +1+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，若m ―24＜T n ＜m 5对一切n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ―B)cosB=sin(A ―C)cosC．（1）求证：B ＝C ；（2）若a sin C ＝2，求1a2+1b 2的最大值．19．（12分）如图4，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，侧面ACC 1A 1为等腰梯形，且A 1C 1＝AA 1＝1，D 为A 1C 1的中点．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）记二面角A 1﹣AC ﹣B 的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值的取值范围．20．（12分）已知函数f （x ）＝e x +cos x ﹣2，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）当x ≥0时，求f '（x ）的最小值；（2）当x ≥-π2时，xe x +x cos x ﹣ax 2﹣2x ≥0恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若P i（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{P i+1﹣P i}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1k1+1k2)⋅k3=―6，求△PQE周长的取值范围．2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，集合B为函数y＝x2图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以A∩B的元素个数为3个．故选：C．2．（5分）欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=e iπ2，则z的虚部为（）A．i B．1C．22i D．22【解答】解：z=e iπ2=eπ4i=cosπ4+sinπ4i=22+22i，其虚部为22．故选：D．3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）A．y＝0B．4x﹣3y＝0C．x-2y+5=0D．x+2y-5=0【解答】解：如图，圆心M（2，1），N（﹣2，﹣1），半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线．两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线l：y＝kx，则圆心到直线的距离|2k―1|1+k2=1，解得k＝0或k=43，另两条切线与直线MN平行且相距为1，l MN：y=12 x，设切线l：y=12x+b，则|b|1+14=1，解得b=±52（或通过斜率排除）．所以D项不正确．故选：D．4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（）A．3B．2C．22D．23【解答】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，∴△PAB是等腰三角形，由余弦定理可得A B2=AP2+BP2―2AP⋅BP⋅cos120°=12⇒AB=23=2OA，PO=PA2―OA2=1，由圆锥的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，取AC中点D，连接PD、OD，显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O为∠PDO＝45°，∴PO=OD=1，PD=2，则AC=2AD=2PA2―PD2=22，∴S△PAC=12AC⋅PD=2．故选：B．5．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+a n+1sin x﹣（2a n+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A．1021B．1022C．1023D．1024【解答】解：f′（x）＝5x4+a n+1cos x﹣（2a n+3），易知函数f′（x）为偶函数，又f′（x）有唯一零点，则必有f′（0）＝a n+1﹣（2a n+3）＝0，即a n+1＝2a n+3，则有a n+1+3＝2（a n+3），所以数列{a n+3}是以2为公比的等比数列，又a1＝1，则a n+3=4×2n―1，所以a9=4×28―3=1021．故选：A．6．（5分）△ABC中，sin(π2―B)=cos2A，则AC―BCAB的取值范围是（）A．(-1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)【解答】解：由题意，sin(π2―B)=cosB=cos2A，在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B＞π，不合要求，舍去，所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π2 )，因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π3 )，由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，故AC―BCAB=sinB―sinAsinC=sin2A―sinAsin(π―3A)=2sinAcosA―sinAsin(2A+A)=2sinAcosA―sinAsin2AcosA+cos2AsinA，因为A∈（0，π），所以sin A≠0，故AC―BCAB=2cosA―12cos2A+cos2A=2cosA―14cos2A―1=2cosA―1(2cosA―1)(2cosA+1)，因为A∈(0，π3)，所以2cos A﹣1＞0，故AC―BCAB=12cosA+1，因为A∈(0，π3)，所以cosA∈(12，1)，2cos A∈（1，2），2cos A+1∈（2，3），故AC―BCAB=12cosA+1∈(13，12)．故选：B．7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|＝β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的动点，c为椭圆的半焦距，此时F1（﹣c，0），所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1―x2 a2)=(x+c)2+b2(1―x2a2)=c2x2a2+2cx+a2=|a+cax|，不妨设直线l：x=-a2 c，则点M到直线l的距离为d=|x+a2c |，所以|MF1|d=ca=e，设直线MF1的倾斜角为γ，过M作l的垂线，垂足为S，此时|MF1||MF1|cosγ+a2c―c=e，所以|MF1|=e×b2c1―ecosγ，不妨设p=b2 c，此时|MF1|=ep1―ecosγ，同理的|MF2|=ep1+ecosγ，设AF1的倾斜角为θ，可得|MF1|=ep1―ecosθ，|MF2|=ep1+ecosθ，因为AF1∥BF2，所以|BF2||AF1|=|F2P||AP|，此时|BF2||AF1|+|BF2|=|F2P||AP|+|F2P|=|F2P||AF2|=|F2P|2a―|AF1|，则|F2P|=|BF2|(2a―|AF1|) |AF1|+|BF2|，同理，|F1P|=|AF1|(2a―|BF2|) |AF1|+|BF2|，所以|F2P|+|F1P|=2a―2|BF2|×|AF1||AF1|+|BF2|=2a―ep，则P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为(a2+c2)24a2―c2=a2―c22a，则P的轨迹方程为x2(a2+c22a )2+y2(a2―c22a)2=1，其中y＞0，令α=π2，|PS|2|PT|2=(y S―y P)2(y S+y P)2=(y Sy P―1)2(y Sy P+1)2，因为a2≠a4+2a2c2+c44a2，所以|PS|2|PT|2不是定值，即即β不是定值，故“当α取定值，β是定值”不符合条件，又直线ST 的参数方程为{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα，设S （x 0+t 1cos α，y 0+t 1sin α），T （x 0+t 2cos α，y 0+t 2sin α），因为(x 0+tcosα)2a 2+(y 0+tsinα)2b 2=1，整理得(cos 2αa 2+sin 2αb 2)t 2+2(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)t +x 20a2+y 02b 2―1=0，由韦达定理得{t 1+t 2=―2(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)(cos 2αa 2+sin 2αb 2)t 1t 2=x 20a 2+y 02b 2―1(cos 2αa 2+sin 2αb 2)，因为|PS |＝β|PT |，此时{(1―β)t 2=―2(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)(cos 2αa 2+sin 2αb 2)―βt 22=x 20a 2+y 02b 2―1(cos 2αa 2+sin 2αb 2)，整理得(1―β)2―4β=(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)2(cos 2αa 2+sin 2αb 2)(x 20a 2+y 02b 2―1)，若β为定值，则(1―β)2―4β为定值，因为(1―β)2―4β(cos 2αa 2+sin 2αb 2)=(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)2x 20a 2+y 02b 2―1，所以当P （x 0，y 0）变化时，(x 0cosαa 2+y 0sinαb2)2x 20a 2+y 02b 2―1始终为定值，又(x 0cosαa 2+y 0sinαb 2)2(x 20a 2+y 02b 2―1)=x 20cos 2αa 4+2x 0y 0cosαsinαa 2b 2+y 02sin 2αb2x 20a 2+y 02b 2―1=x 20[cos 2αa 4―b 2sin 2α(a 2+c 2)2]+2x 0y 0cosαsinαa 2b 2+b 2sin 2α4a 2x 20[1a 2―b 2(a 2+c 2)2]+b 24a 2―1 则cos 2αa 4―b 2sin 2α(a 2+c 2)21a 2―b 2(a 2+c 2)2=b 2sin 2α4a 2b 24a2―1且cosαsinαa 2b2=0，但α≠0，α∈（0，π），解得α=π2，所以(1―β)2―4β=(y 0b 2)21b 2(x 20a 2+y 02b 2―1)=y 02b 2x 20a 2+y02―1=y 02b 2×(a 2+c 2)24a 2(1―y 02b 24a 2)a 2+y 02―1=y 02b 2×(a 2+c 2)24a 2a 2―1+[1―(a2+c 2)2a 2]y 02，但此时(1―β)2―4β随y 02的变化而变化，不是定值，则“当β取定值，α是定值”是错误的．故选：D ．8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P ，Q 分别是函数f （x ）＝axe x ﹣ln （ax ）和g(x)=2ln(x ―1)x图象上的动点，若对任意a ＞0，有|PQ |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．3B ．322C ．2D ．52【解答】解：因为点P ，Q 分别是函数f （x ）＝axe x ﹣ln （ax ）和g(x)=2ln(x ―1)x图象上的动点，不妨设P （k ，ake k ﹣ln （ak ）），（a ，k ＞0），Q （t ，2ln(t ―1)t)，（t ＞1），可得|PQ |2＝（t ﹣k ）2+[（ake k ﹣ln （ak ））-2ln(t ―1)t]²≥[t ―2ln(t ―1)t+ake k ―ln(ak)―k ]22，不妨设h （t ）＝t -2ln(t ―1)t ，函数定义域为（1，+∞），可得h'(t)=1-2[t t ―1―ln(t ―1)]t 2=t 2―2t t ―1+2ln(t ―1)t 2，不妨设u （t ）＝t ²-2t t ―1+2ln （t ﹣1），函数定义域为（1，+∞），可得u'(t)=2t -―2(t ―1)2+2t ―1=2t(t 2―2t +2)(t ―1)2＞0，所以函数u （t ）在定义域上单调递增，因为u （2）＝0，所以函数h （t ）在t ＝2时取得极小值即最小值，此时h （2）＝2，不妨设v （k ）＝ake k ﹣ln （ak ）﹣k ，函数定义域为（0，+∞），可得v'(k)=a(k +1)e k ―1k ―1=(k +1)(a e k ―1k)，易知函数y =ae k―1k在区间（0，+∞）上单调递增，所以存在 k 0＞0，使得ae k 0―1k 0=0，即e k 0=1ak 0，解得k 0＝﹣ln （ak 0），所以函数v （k ）在k ＝k 0 时取得极小值即最小值，此时v （k 0）＝1+k 0﹣k 0＝1，则|PQ|2≥(2+1)22=92，解得|PQ|≥322，因为对任意a ＞0，都有|PQ |≥m 恒成立，所以m≤322，即m 的最大值为322．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量→a =(1，3)，→b =(2x ，2―x)，其中x ∈R ，下列说法正确的是（）A ．若→a ⊥→b ，则x ＝6B ．若→a 与→b 夹角为锐角，则x ＜6C ．若x ＝1，则→a 在→b 方向上投影向量为→b D ．若|→a |=4【解答】解：→a =(1，3)，→b =(2x ，2―x)，若→a ⊥→b ，则→a ⋅→b =2x +3(2―x)=0，解得x ＝6，故A 正确；若→a 与→b 夹角为锐角，则→a ⋅→b =2x +3(2―x)＞0，解得x ＜6，又当x =27，→b =(47，127)，此时→a =74→b ，→a 与→b 夹角为0，故x 的取值范围为（﹣∞，27）∪(27，+∞)，故B 错误；若x ＝1，则→b =(2，1)，因为→a 在→b 方向上投影为→a ⋅→b |→b |=2+35=5，与→b 同向的单位向量为→b|→b |=(255，55)，所以→a 在→b 方向上投影向量为5→b |→b |=(2，1)=→b ，C 正确；∵→a =(1，3)，∴|→a |=12+32=10，故D 错误．故选：AC ．（多选）10．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），则下列说法正确的是（）A ．若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，则a ＝﹣3B ．当c ＝0时，函数f （x ）过原点的切线有且仅有两条C ．函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a ﹣b ≥3D ．若实数x 1，x 2是f （x ）的两个不同的极值点，且满足x 1+x 2＝x 1x 2，则a ＞0或a ＜﹣6【解答】解：A ．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，f ″（x ）＝6x +2a ，令f ″（x ）＝6x +2a ＝0，解得x =-a3，∵函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，∴-a3=1，解得a ＝﹣3，因此A 正确．B ．c ＝0时，原点（0，0）在函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx 的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为P （x 0，f （x 0））（x 0≠0），则切线方程为y ﹣（x 30+a x 20+bx 0）＝（3x 20+2ax 0+b ）（x ﹣x 0），把（0，0）代入可得：x 0=-a2，若a ＝0，则函数f （x ）过原点的切线有且仅有一条；若a ≠0，则函数f （x ）过原点的切线有两条．因此B 不正确．C ．函数f （x ）在[﹣1，1]上单调递减⇔f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝3(x+a3)2+b -a 23=g （x ）≤0（不恒等于0）在[﹣1，1]上恒成立，其对称轴为x =-a3．分类讨论：{-a 3≥1g(―1)=3―2a +b ≤0或{-a 3≤―1g(1)=3+2a +b ≤0或{-1＜-a3＜1g(―1)=3―2a +b ≤0g(1)=3+2a +b ≤0⇔2a ﹣b ≥3，因此C 正确．D ．f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，由实数x 1，x 2是f （x ）的两个不同的极值点，则Δ＝4a 2﹣12b ＞0，即a 2﹣3b＞0，∴x1+x2=-2a3，x1x2=b3，∵x1+x2＝x1x2，∴-2a3=b3，化为b＝﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a＞0或a＜﹣6，因此D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sin x+|sin2x|，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于x=π2对称C．f（x）在[0，2π]上有四个零点D．f（x）的值域为[-2，33 2]【解答】解：对于A，函数y＝2sin x的最小正周期为2π，函数y＝|sin2x|的最小正周期为π2，所以函数f（x）＝2sin x+|sin2x|的最小正周期为2π，选项A正确；对于B，f（﹣x+π）＝2sin（﹣x+π）+|sin2（﹣x+π）|＝2sin x+|sin（﹣2x）|＝2sin x+|sin2x|＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x=π2对称，选项B正确；对于C，当0≤x≤π2时，f（x）＝2sin x+sin2x＝2sin x+2sin x cos x＝2sin x（1+cos x），易知此时f（x）有唯一零点x＝0；当π2＜x≤π时，f（x）＝2sin x﹣sin2x＝2sin x﹣2sin x cos x＝2sin x（1﹣cos x），易知此时f（x）有唯一零点x＝π；当π＜x≤3π2时，f（x）＝2sin x+sin2x＝2sin x+2sin x cos x＝2sin x（1+cos x），易知此时f（x）无零点；当3π2＜x≤2π时，f（x）＝2sin x﹣sin2x＝2sin x﹣2sin x cos x＝2sin x（1﹣cos x），易知此时f（x）有唯一零点x＝2π，所以f（x）在[0，2π]上有三个零点，选项C错误；对于D，当x=3π2时，y＝2sin x取得最小值﹣2，此时y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值为﹣2；由选项C的分析可知，当x∈（π，2π]时，f（x）＜0，当x∈[0，π]时，f（x）＞0，而f（x）关于直线x=π2对称，故可考虑0≤x ≤π2时，f （x ）＝2sin x +sin2x 的取值情况，f ′（x ）＝2cos x +2cos2x ＝2（2cos 2x ﹣1）+2cos x ＝4cos 2x +2cos x ﹣2，令f ′（x ）＝0，解得cos x ＝﹣1（舍）或cosx =12，则x =π3，易知当0＜x ＜π3时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当π3＜x ＜π2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以此时，f(x )max =f(π3)=2sin π3+sin 2π3=3+32=332，综上，函数f （x ）的值域为[-2，332]．故选：ABD ．（多选）12．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 的直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，y 1＞2，E 与F 关于原点对称，直线AB 与直线AE 的倾斜角分别是α与β，则（）A ．sin α＞tan βB ．∠AEF ＝∠BEFC ．∠AEB ＜90°D ．α＜2β【解答】解：作AD ⊥x 轴于D ，作BC ⊥x 轴于C ，所以D （x 1，0），C （x 2，0），抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），因为y 1＞2，所以x 1＞1，即α＜90°，所以直线l 的斜率存在设为k ，可得直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线方程联立{y =k(x -1)y 2=4x ，整理得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，所以x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2＝1，y 21=4x 1，对于A ，sin α=|AD||AF|=y 1x 1+1，tan β=|AD||ED|=y 1x 1+1，所以sin α＝tan β，故A 错误；对于B ，因为k AE =y 1x 1+1，k BE =y 2x 2+1，所以k AE +k BE =y 1x 1+1+y 2x 2+1=k(x 2―1)(x 1+1)+k(x 1―1)(x 2+1)(x 2+1)(x 1+1)=k ×2x1x2―x1+x2+x1―x2―2(x2+1)(x1+1)=0，所以直线AE与BE的倾斜角互补，即∠AEF＝∠BEF，故B正确；对于C，因为x1＞1，所以tanβ=|AD||ED|=y1x1+1=2x1x1+1＜2x12x1=1，即∠AED＜45°，因为∠AEF＝∠BEF，所以∠AEB＜90°，故C正确；对于D，因为∠AEB＜90°，所以0°＜2β＜90°，tanα=|AD||FD|=y1x1―1，tanβ=|AD||ED|=y1x1+1，所以tan2β=2tanβ1―tan2β=2y1x1+11―(y1x1+1)2=2y1(x1+1)(x1―1)2，所以tanα﹣tan2β=y1x1+1―2y1(x1+1)(x1―1)2=y1x1―y1―2y1x1―2y1(x1―1)2=―y1x1―3y1(x1―1)2＜0，所以tanα＜tan2β，即α＜2β，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）(2x―y)5展开式中x2y3的系数为　﹣20　（用数字作答）【解答】解：(2x―y)5的展开式的通项为T r+1=C r5(2x)5―r⋅(―y)r=C r5(2)5―r⋅(―1)r⋅x5―r y r，取r＝3得到T4=C35(2)2⋅(―1)3⋅x2y3=―20x2y3．故答案为：﹣20．14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝　0.48　．【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.35＜ξ＜25.45）＝1﹣2P（ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，故1件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的概率P＝0.2，则X～B（3，0.2），故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48．故答案为：0.48．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f （x）＝x+1的正数解为x1，x2，⋯，x n，⋯，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|x n+1﹣x n|＜M成立，则实数M的最小值为　2　．【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0，又f （x ）关于直线x ＝1对称，所以f （1+x ）＝f （1﹣x ），所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （4+x ）＝﹣f （2+x ）＝f （x ），所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出函数y ＝f （x ）和y ＝x +1的图像如图所示：由f （x ）＝x +1的正数解依次为x 1，x 2，⋯，x n ，⋯，则lim n→∞(x n +1―x n )的几何意义为函数f （x ）两条渐近线之间的距离为2，所以lim n→∞(x n +1―x n )=2．所以得任意的n ∈N ，|x n +1﹣x n |＜2，已知任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得|x n +1﹣x n |＜M 成立，可得M ≥2，即M 的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）在平面四边形ABCD 中，∠ADB ＝90°，∠ABC ＝90°，BD ＝BC ＝2，沿对角线BD 将△ABD 折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A ﹣BCD ，则三棱锥A ﹣BCD 外接球表面积的最小值为 (25+2)π　．【解答】解：在平面四边形中，设∠CBD ＝θ（0＜θ＜π2），∠ABD=π2―θ，在Rt △ADB 中，可得∠BAD ＝θ，AD =2tanθ．在△BCD 中，CD ＝2BC sin θ2=4sin θ2．设△BCD 外接圆圆心为M ，外接圆半径为r ，由正弦定理可得2r =CD sinθ=4sinθ22sin θ2cosθ2=2cos θ2，即r =1cos θ2．设三棱锥A ﹣BCD 外接球球心为O ，则OM ⊥平面BCD ．又∵平面ADB ⊥平面BDC ，平面ADB ∩平面BDC ＝BD ，∠ADB ＝90°，∴AD ⊥平面BDC ，则AD ∥OM ，得四边形OMDA 为直角梯形．设外接球的半径为R ，在平面四边形OMDA 中，过O 作OE ⊥AD 于E ，在△AOD 中，AO ＝DO ＝R ，E 为AD 的中点，OM ＝DE =12AD =1tanθ，由DO 2＝DE 2+OE 2，得R 2＝DE 2+r 2=1tan 2θ+1cos 2θ2，∴R 2=cos 2θsin 2θ+21+cosθ=cos 2θ+2―2cosθ1―cos 2θ=-1+3―2cosθ1―cos 2θ．令3﹣2cos θ＝t ，1＜t ＜3，则cos θ=3―t2，∴R2=―1+4t―t 2―5+6t =-1+4―(t +5t)+6，∵t +5t≥25，当且仅当t =5t，即t =5时（满足1＜t ＜3）等号成立．∴R 2=―1+4―(t +5t)+6≥5+12．∴外接球表面积的最小值为4πR 2=4π×5+12=(25+2)π．故答案为：(25+2)π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足S n =(a n +12)2．（1）求a n ；（2）设b n =1(a n +1)(a n +1+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，若m ―24＜T n ＜m 5对一切n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当n ＝1时，a 1=S 1=(a 1+12)2，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n =S n ―S n―1=(a n +12)2―(a n―1+12)2=a 2n ―a 2n―1+2(a n ―a n―1)4，即a 2n ―a 2n―1―2(a n +a n―1)=0，∴（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，由已知，数列{a n }各项均为正数得a n ﹣a n ﹣1＝2，∴{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，a n＝2n﹣1，则b n=1(a n+1)(a n+1+1)=12n(2n+2)=14(1n―1n+1)，∴T n=14(1―12+12―13+...+1n―1n+1)=14(1―1n+1)=n4(n+1)，∴T n+1―T n=n+14(n+2)―n4(n+1)=14(n+1)(n+2)＞0，∴{T n}单调递增，∴T n≥T1=1 8，∵T n=n4(n+1)＜14，∴18≤T n＜14，要使m―24＜T n＜m5恒成立，只需{14≤m5m―24＜18，解得54≤m＜52．所以实数m的取值范围是[54，52)．18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A―B)cosB=sin(A―C)cosC．（1）求证：B＝C；（2）若a sin C＝2，求1a2+1b2的最大值．【解答】解：（1）证明：由于sin(A―B)cosB=sin(A―C)cosC，所以sinAcosB―cosAsinBcosB=sinAcosC―cosAsinCcosC，整理的cos A（sin B cos C﹣cos B sin C）＝0，即cos A sin（B﹣C）＝0，因为A为锐角，所以cos A＞0，故sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；（2）由（1）得b＝c，因为a sin C＝2，且由正弦定理得a sin C＝c sin A＝b sin A＝a sin B＝2，所以a=2sinB，b=2sinA，则1a2+1b2=14(sin2A+sin2B)=14[sin2B+sin2(B+C)]=14[sin2B+sin22B]=14(1―cos2B2+sin22B)=―14cos22B―18cos2B+38(∗)，因为{0＜B ＜π20＜π―2B ＜π2，所以π4＜B ＜π2，则π2＜2B ＜π，所以﹣1＜cos2B ＜0，根据二次函数的性质可知，当cos2B =-14时，（*）取得最大值2564．19．（12分）如图4，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，侧面ACC 1A 1为等腰梯形，且A 1C 1＝AA 1＝1，D 为A 1C 1的中点．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）记二面角A 1﹣AC ﹣B 的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值的取值范围．【解答】（1）证明：如图，作AC 的中点M ，连接DM ，BM ，在等腰梯形ACC 1A 1中，D ，M 为A 1C 1，AC 的中点，∴AC ⊥DM ，在正△ABC 中，M 为AC 的中点，∴AC ⊥BM ，∵AC ⊥DM ，AC ⊥BM ，DM ∩BM ＝M ，DM ，BM ⊂平面BDM ，∴AC ⊥平面BDM ，又BD ⊂平面BDM ，∴AC ⊥BD ．（2）解：∵AC ⊥平面BDM ，在平面BDM 内作Mz ⊥BM ，以M 为坐标原点，以→MA ，→MB ，→Mz ，分别为x ，y ，z ，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵DM ⊥AC ，BM ⊥AC ，∴∠DMB 为二面角A 1﹣AC ﹣B 的平面角，即∠DMB ＝θ，A （1，0，0），B(0，3，0)，C （﹣1，0，0），D(0，32cosθ，32sinθ)，C 1(―12，32cosθ，32sinθ)，A 1(12，32cosθ，32sinθ)，设平面BB 1C 1C 的法向量为→n =(x ，y ，z)，→CB =(1，3，0)，→C C 1=(12，32cosθ，32sinθ)，则有，{→n ⋅→CB =0→n ⋅→CC 1=0，即{x +3y =012x +32ycosθ+32zsinθ=0，可得令y =3，x ＝﹣3，z =3(1―cosθ)sinθ，即→n =（﹣3，3，3(1―cosθ)sinθ），又→A A 1=(―12，32cosθ，32sinθ)，∴sin α=|cos ＜→AA 1，→n ＞|=34+1―2cosθ+cos2θsin 2θ=33+21+cosθ，∵θ∈[π3，2π3]，∴cos θ∈[―12，12]，∴sin α∈[217，31313]．20．（12分）已知函数f （x ）＝e x +cos x ﹣2，f '（x ）为f （x ）的导数．（1）当x ≥0时，求f '（x ）的最小值；（2）当x ≥-π2时，xe x +x cos x ﹣ax 2﹣2x ≥0恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）f '（x ）＝e x ﹣sin x ，令g （x ）＝e x ﹣sin x ，x ≥0，则g '（x ）＝e x ﹣cos x ．当x ∈[0，π）时，g '（x ）为增函数，g '（x ）≥g '（0）＝0；当x ∈[π，+∞）时，g '（x ）≥e π﹣1＞0．故x ≥0时，g '（x ）≥0，g （x ）为增函数，故g （x ）min ＝g （0）＝1，即f '（x ）的最小值为1．（2）令h （x ）＝e x +cos x ﹣2﹣ax ，h '（x ）＝e x ﹣sin x ﹣a ，则x≥-π2时，x •h （x ）≥0恒成立．当a ≤1时，若x ≥0，则由（1）可知，h '（x ）≥1﹣a ≥0，所以h （x ）为增函数，故h （x ）≥h （0）＝0恒成立，即x •h （x ）≥0恒成立；若x ∈[―π2，0]，则h ''（x ）＝e x ﹣cos x ，h '''（x ）＝e x +sin x在[―π2，0]上为增函数，又h'''（0）＝1，h″'(―π2)=e―π2―1＜0，故存在唯一x0∈(―π2，0)，使得h'''（x0）＝0．当x∈(―π2，x0)时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又h″(―π2)=e―π2＞0，h''（0）＝0，故存在唯一x1∈(―π2，0)使得h''（x1）＝0．故x∈(―π2，x1)时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又h'(―π2)=eπ2+1―a＞0，h'（0）＝1﹣a≥0，所以x∈[―π2，0]时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若P i（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{P i+1﹣P i}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．【解答】解：（1）X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.5，P（X＝4）＝0.3，则X的分布列为：X234P0.20.50.3E（X）＝2×0.2+3×0.5+4×0.3＝3.1．（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，其概率为：C23⋅0．32⋅0.5⋅0.3=0.0405．当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，其概率为：C23⋅0．22⋅0.5⋅0.2=0.012，所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012＝0.0525．（3）因为P i（i＝0，1，2，3，4，5，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，根据全概率公式得P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，所以P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，变形得0.3（P2﹣P1）＝0.2（P1﹣P0），因为P1﹣P0＞0，所以P2―P1P1―P0=23，同理可得P3―P2P2―P1=P4―P3P3―P2=P5―P4P4―P3=P6―P5P5―P4=23，所以{P i+1﹣P i}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1k1+1k2)⋅k3=―6，求△PQE周长的取值范围．【解答】解：（1）因为直线x﹣y＝0、x+y＝0相互垂直，所以四边形OAMB为矩形，设M（x，y），且{x-y＜0x+y＜0，可得x＜0，则点M到直线x﹣y＝0、x+y＝0的距离分别为2|x―y|2、2|x+y|2，可得2|x―y|2×2|x+y|2=2，整理得x2﹣y2＝4（x＜0），所以C 的方程为x 2﹣y 2＝4（x ＜0）．（2）设直线PQ ：y ＝kx +m ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程{y =kx +mx 2―y 2=4，消去y 得（1﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣（m 2+4）＝0，由题意可得：{1-k 2≠0Δ=4k 2m 2+4(1―k 2)(m 2+4)=4(m 2―4k 2+4)＞0x 1+x 2=2km1―k2＜0x 1x 2=―m 2+41―k 2＞0，①因为(1k 1+1k 2)⋅k 3=―6，则(x 1―22y 1+x 2―22y 2)⋅k =(x 1―22kx 1+m +x 2―22kx 2+m)⋅k =―6，整理得8k 2x 1x 2+(7km ―22k 2)(x 1+x 2)+6m 2―42km =0，即-8k 2(m 2+4)1―k 2+2km(7km ―22k 2)1―k 2+6m 2―42km =0，整理得3m 2―22km ―16k 2=0，解得m =-423k 或m =22k ，若m=-423k ，则直线PQ ：y =kx -423k =k(x ―423)，过定点F(423，0)，此时①式为{1-k 2≠0Δ=169(9―k 2)＞0x 1+x 2=―82k 23(1―k 2)＜0x 1x 2=―m 2+41―k 2＞0，无解，不符合题意；当m=22k 时，则直线PQ ：y =kx +22k =k(x +22)，过定点F(-22，0)，此时①式为{1-k 2≠0Δ=16(k 2+1)＞0x 1+x 2=42k 21―k 2＜0x 1x 2=―8k 2+41―k 2＞0，解得k 2＞1，即k ＞1或k ＜﹣1，则|PQ|=1+k 2(42k 21―k 2)2+4(8k 2+4)1―k 2=4(k 2+1)k 2―1=4(1+2k 2―1)，因为k 2＞1，则k 2﹣1＞0，可得1k2―1＞0，所以|PQ|=4(1+2k2―1)＞4，又因为E，F为双曲线x2﹣y2＝4的左、右焦点，则|PE|﹣|PF|＝4，|QE|﹣|QF|＝4，即|PE|＝|PF|+4，|QE|＝|QF|+4，可得△PQE周长为|PE|+|QE|+|PQ|＝|PF|+4+|QF|+4+|PQ|＝2|PQ|+8＞16，所以△PQE周长的取值范围（16，+∞）．。