八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定同步训练 新人教版

全等三角形的判定一．选择题（共10小题）1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．（2015春•南京校级期末）下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③3．（2015•宁波）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE ≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠24．（2015•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对5．（2015•滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS7．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组8．（2015•漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（）A．① B．② C．③ D．①和②9．（2015春•陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL10．（2014•厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF二．填空题（共10小题）11．（2015•南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有对全等三角形．12．（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）13．（2015•永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．14．（2015•怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．15．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是度．16．（2015•姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC 上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= ．17．（2015春•锡山区）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=°．18．（2015春•揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是．19．（2015春•瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是．20．（2015春•苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为时，△PEC 与△QFC全等．三．解答题（共10小题）21．（2015•云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．22．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．23．（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．24．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．25．（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．26．（2015•金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，．求证：△ABE≌△CDF．证明：27．（2015•大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．28．（2015•西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．29．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．30．（2015春•鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．人教版八年级数学上册12.2《全等三角形的判定》同步训练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC【考点】全等三角形的判定．【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．【解答】解：∵AE∥FD，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=BD，在△AEC和△DFB中，，∴△EAC≌△FDB（SAS），故选：A．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2015春•南京校级期末）下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③【考点】全等三角形的判定．【分析】熟练综合运用判定定理判断，做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证．【解答】解：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确．故选C．【点评】AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2015•宁波）如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．4．（2015•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．5．（2015•滨湖区一模）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质求出AC边的最短值，然后选择即可得解．【解答】解：如图，AC⊥BC时，∵∠ABC=30°，AB=4，∴AC=AB=×4=2，∵垂线段最短，∴AC≥2，∴在1、2、3、4、5中可取的值有2、3、4、5，当AC=2时可以作1个三角形，当AC=3时可以作2个三角形，当AC=4时可以作1个三角形，当AC=5时可以作1个三角形，共1+2+1+1=5，所以，三角形的个数是5个．故选C．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，求出AC边的最小值是解题的关键．6．（2015•沂源县校级模拟）如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．【分析】由作图可得CO=DO，CE=DE，OE=OE，可利用SSS定理判定三角形全等．【解答】解：在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】全等三角形的判定．【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．8．（2015•漳州一模）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（）A．①B．②C．③D．①和②【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．9．（2015春•陕西校级期末）如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是（）A．SSS B．AAS C．SAS D．HL【考点】全等三角形的判定．【分析】根据垂直定义求出∠AEC=∠BFD=90°，根据平行线的性质得出∠A=∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出即可．【解答】解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC=∠BFD=90°．∵AC∥DB，∴∠A=∠B．在△AEC和△BFD中，∴Rt△AEC≌Rt△BFC（AAS），故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，垂直定义的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，直角三角形全等的判定定理除了具有以上定理外，还有HL定理．10．（2014•厦门）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．二．填空题（共10小题）11．（2015•南昌）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有 3 对全等三角形．【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE=PF，∠1=∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP=BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．12．（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC=EF或∠BAC=∠EDF．（只填一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC=EF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．13．（2015•永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．14．（2015•怀化）如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．15．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是60 度．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．【解答】解：∵等边△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60．【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．16．（2015•姜堰市一模）如图，E为正方形ABCD边CD上一点，DE=3，CE=1，F为直线BC 上一点，直线DF与直线AE交于G，且DF=AE，则DG= 或．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况：①由正方形的性质得出∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=4，由勾股定理求出AE，由HL证明Rt△ADE≌Rt△DCF，得出∠AED=∠DFC，证出∠DGE=90°，由△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，即可求出DG的长；②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，得出CF=DE，DF=AE，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；证出△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，得出比例式，，设GM=4x，则FM=3x，GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，解方程求出x，得出GF，即可得出DG的长．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC=3+1=4，AD∥BC，∴AE===5，在Rt△ADE和Rt△DCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴∠AED=∠DFC，∵∠DFC+∠CDF=90°，∴∠AED+∠CDF=90°，∴∠DGE=90°，∵△ADE的面积=AE×DG=AD×DE，∴DG==；②如图2所示：同①得：Rt△ADE≌Rt△DCF，∴CF=DE=3，DF=AE=5，作GM⊥BC于M，作GN⊥DC于N；则GM∥DC，GN∥AD，∴△GMF∽△DCF，△GNE∽△ADE，∴=，=，设GM=4x，则FM=3x，∴GF=5x，GN=MC=3+3x，EN=4x+1，∴，解得：x=，∴GF=，∴DG=DF+GF=5+=；综上所述：DG的长为或；故答案为：或．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论，特别是②中，需要证明三角形相似才能得出结果．17．（2015春•锡山区期末）如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=50 °．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠1=∠CAD，即可解题．【解答】解：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC均为直角三角形，在RT△ABC和RT△ADC中，，∴RT△ABC≌RT△ADC（HL），∴∠1=∠CAD，∴∠2=90°﹣∠CAD=50°．故答案为50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC≌RT△ADC是解题的关键．18．（2015春•揭西县期末）如图所示，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，则∠DCE的度数是105°．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根据CE=CA，∠CAD=15°，求出∠ACE=150°即可利用角的和差求解．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CAD=15°，CE=CA，∴∠CED=∠CAD=15°，∴∠ECA=150°，∴∠DCE=∠ECA﹣∠ACD=150°﹣45°=105°．故答案为：105°．【点评】此题主要考查等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的性质等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．19．（2015春•瑶海区期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，G在AD上，且DF=BE．①CE=CF；②EC⊥CF；③△ECG≌△FCG，④若∠GCE=45°，则EG=BE+GD，以上说法正确的是①②④．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，可判断①②；当∠GCE=45°时可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD 成立，可判断③④．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=90°，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD=90°，∴∠ECF=90°，∴CE⊥CF，故①②正确；当∠GCE=45°时，则∠BCE+∠DCG=45°，∵∠BCE=∠DCF，∴∠DCF=∠DCG+∠DCF=45°=∠GCE，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE=GF=DF+GD=BE+GD，故③不一定正确，④正确；综上可知正确的为：①②④，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即对SSS、SAS、ASA、AAS和HL的灵活运用．20．（2015春•苏州期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为1或时，△PEC与△QFC全等．【考点】全等三角形的判定．【专题】动点型．【分析】首先根据题意画出图形，然后由三角形全等可知PC=QC，从而得到关于t的方程，然后解得t的值即可．【解答】解：如图1所示；∵△PEC与△QFC全等，∴PC=QC．∴6﹣t=8﹣3t．解得：t=1．如图2所示：∵点P与点Q重合，∴△PEC与△QFC全等，∴6﹣t=3t﹣8．解得：t=．故答案为：1或．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意画出图形是解题的关键．漏解是本题的易错点．三．解答题（共10小题）21．（2015•云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．【解答】解：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．22．（2015•通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【解答】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．23．（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．25．（2015•温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB=CD；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF，∵AB=CF，∠B=30°，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D=．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．26．（2015•金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD，已知：AB∥CD，BE=DF，AB=CD ．求证：△ABE≌△CDF．证明：【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用全等三角形的判定加以证明．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF．【点评】本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．27．（2015•大兴区一模）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC．求证：DE=FB．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】从题目的已知条件DE∥AB，FG∥AC，我们可以得到∠B=∠DEC，∠FGB=∠C；BE=GC ⇒BG=EC；根据推出的结论可以得出△FBG≌△DEC，即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AB∴∠B=∠DEC（1分）又∵FG∥AC∴∠FGB=∠C∵BE=GC（2分）∴BE+EG=GC+EG即BG=EC（3分）在△FBG和△DEC中∴△FBG≌△DEC（4分）∴DE=FB（5分）【点评】主要考查全等三角形的判定定理，全等三角形的性质，平行线的性质，如果熟练掌握有关性质和定理，本题很容易得出结论．28．（2015•西安模拟）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB=BC=AC，∠BAC=∠C=60°，就可以得出△ADC≌△BEA；（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC=∠EBA，AD=BE．既可以得出∠BPQ=60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAE=60°，﹣在△ADC与△BEA中，，∴△ADC≌△BEA（SAS）；（2）∵△ADC≌△BEA，∴∠DAC=∠EBA，AD=BE．∵∠BPQ=∠BAP+∠ABP，∴∠BPQ=∠BAP+∠DAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°．∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ．∵PQ=4，∴BP=8．∵PE=1，∴BE=BP+PE=9，∴AD=BE=9．答：AD=9．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．29．（2015•铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，∴AF⊥AQ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．30．（2015春•鄄城县期末）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）BD=DE+CE成立吗？为什么？（2）若直线AE绕点A旋转到如图2位置时，其他条件不变，BD与DE，CE关系如何？请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）BD=DE+CE成立，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；（2）BD=DE﹣CE，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE﹣CE．【解答】解：（1）BD=DE+CE成立，∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；（2）BD=DE﹣CE；∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵DE=BD+CE，∴BD=DE﹣CE．【点评】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．。