信号与系统习题解答4

信号与系统习题解答44.3 对下列周期信号，求傅氏变换解：a ) ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+--t j j tj j e e e e j t ππππππ2424214/2sin()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---=-πωδπωδπωππ2244jj e e j j X b ） []tj j t j j ee e e t ππππππ6868212118/6cos 1--++=++ ()()()()πωδππωδπωπδωππ66288++-+=-jjee j X4.4 求下列信号的傅氏反变换解：a ） ()()()()πωπδπωπδωπδω4421++-+=j X()()t e e t x tj t j πππ4cos 121211441+=++=-b) ()⎪⎩⎪⎨⎧><≤--≤≤= 000222022ωωωωj X()()()()222242+---='ωδωδωδωj X ()()[][]t e e t x jt t j t j 2cos 1222421222-=--=--ππ ()[]12cos 22-=t tj t x π4.11 已知 ()()()t h t x t y *= ()()()t h t x t g 33*=若 ()()ωj X t x FT−−→← ()()ωj H t h FT−−→← 利用傅氏变换性质证明：()()Bt Ay t g =，并确定A 和B 的值。

解： 根据时域卷积性质 ()()()ωωωj H j X j Y =根据尺度变换性质()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=391331331ωωωωj Y j H j X j G所以 ()()()t y t g j G FT331=−−→←ω 31=A ，3=B 。

4.15 已知 ()()ωj X t x FT−−→←，对下列条件，确定()t x 的函数形式。

1、 ()t x 为实函数；2、 0≤t 时，()0=t x ；3、(){}ttj et d ej X -∞∞-=⎰ωωπωRe 21解：根据1，(){}(){}t x Ev j X FT−−→←ωRe ； 根据2，(){}()()t x t u t x Ev 21=；综合3个条件：()(){}()()t u e t t u t x Ev t x t-==22所以： ()()t u te t x t-=24.24 确定图示实信号满足下列哪些性质：1 (){}0Re =ωj X ；2 (){}0Im =ωj X ；3 存在实数a 使()ωωj X e ja 为实数；4()0=⎰∞∞-ωωd j X ; 5 ()0=⎰∞∞-ωωωd j X ;6 ()ωj X 为周期信号 解：各性质的含义为：1 信号为奇；2 信号为偶；3 信号可以通过时移成为偶函数；4 x(0)为0；5 x ’(0)为0；6 含有冲激信号；满足 1，3，4 满足3，4，5，6满足 4，5 满足1，4满足 2，3，5 满足2，3，4，54.25 已知()()ωj X t x FT−−→←， ()t x 如图所示。

解：a ）求()ωj X ∠：因为 ()1+t x 为实偶，其频谱相位为0； 所以 ()ωωj j X -=∠ ； b ）求()0j X ：根据定义， ()()70==⎰∞∞-dt t x j X （图形面积）； c ）求()ωωd j X ⎰∞∞-：根据定义 ，()()ππωω402==⎰∞∞-x d j Xd ） 求()ωωωωωd e j X j 2sin 2⎰∞∞-： ()()t x j X FT−−→←ω()t P FT 2sin 2−−→←ωω设 ()()()()ωωωωωd ej X t P t x t g tj sin 22⎰∞∞-=*=则 原式()ππ722=⋅=ge ）()()ππωω376222==⎰⎰∞∞-∞∞-dt t x d j Xf) 画出(){}ωj X Re 的反傅氏变换因为 ()t x 为实函数，所以 (){}(){}t x Ev j X FT−−→←ωRe4.21 对下列信号，求付氏变换。

（a ）()[]()t u t e t x t 01cos ωα-=解：()αωα+−→←-j t u e FTt1()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-−→←⋅-αωωαωωωα0001121cos j j t u e t FTt（b ） ()t et x t2sin 3-=解：9623+−→←-ωFTte()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++−→←-921921292sin 223ωωj t eFTt（d ）()()10<-=∑∞=a kT t a t x k k δ解：()ωωωjT k jkT k ae ea j X-∞=--==∑110（j ）()∑∞-∞=--=k nt et x 2解：212ω+−→←-FTte22212ωω+−→←---n j FTnt e e∑∑∞-∞=-∞-∞=--+−→←n n j FTn nt e eωω22212 另解：()()ωδωπδπ*+−→←*=-∞-∞=--∑22212FTtn nt t ee4.23 已知信号()⎩⎨⎧≤≤=-others t e t x t100，确定下列图中信号的付氏变换。

解：()()()[]10--=-t u t u e t x t()[]ωωωj e j j X ---+=10111(a)()()()t x t x t x -+=001 ()()()ωωωj X j X j X -+=001(b)()()()t x t x t x --=002 ()()()ωωωj X j X j X --=002(c)()()()1003++=t x t x t x()()()ωωωj e j X j X +=103(d)()()t tx t x 04=()()ωωωj X d dj j X 04=4.10 求下列信号的傅氏变换解：a ）()t t t t t t t x πππsin sin 1sin 2⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 因为 ()ωπ2s i n P tt FT−−→←所以()()()[]1121sin sin 122+--−−→←⋅⋅=ωωπππP P j t t t t x FT b ） 利用能量关系和a ）的结果，求下列积分322242212121s i n πωπππ=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰-∞∞-d dt t t tA4.28 已知 ()()ωj X t x FT−−→← ，()∑∞-∞==n tjn ne a t p 0ω为周期信号解：a)求 ()()()t p t x t y ⋅= 的傅氏变换 因为 ()()()∑∞-∞=-=−−→←n n FTn a j P t p 02ωωδπω所以 ()()()()()∑∞-∞=-=*=n n n j X a j P j X j Y 021ωωωωπωb ）设 ()ωj X 如图所示，对于下列不同的()t p ，画出对应()t y 的频谱。

1 ()⎪⎭⎫⎝⎛=2cos t t p 21±=ω2 ()t t p cos = 1±=ω3 ()t t p 2cos = 2±=ω4 ()[]jt jt t j tj e e e e t t t p ----+-=⋅=33412sin sin 5 ()[]jt jt t j tj e e e e t t t p ----+=-=2221cos 2cos6 ()()∑∞-∞=-=n n t t p πδπωπ120===n a T7 ()()∑∞-∞=-=n n t t p πδ2πωπ21120===n a T8 ()()∑∞-∞=-=n n t t p πδ4πωπ412/140===n a T9 ()()()∑∑∞-∞=∞-∞=---=n n n t n t t p πδπδ21210 ()t p 如图所示：π=T 20=ω 3/10=a()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+='66πδπδππt t t p⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-n j e e na j n j n j n 6sin 21266πππππ⎪⎭⎫⎝⎛==n n a n 6sin 1ππ4.37 信号()t x 如图所示 解：a ）求()ωj X()()()()t t t t x δδδ211--++=''()()1cos 222-=-+=--ωωωωωj j e e j X()()2222sincos 12ωωωωω=-=j Xb) 画出信号()()()∑∞-∞=-*=k k t t x t x 4~δc ）求另一个信号()()t x t g ≠，但()()()∑∞-∞=-*=k k t t g t x 4~δ在()t x ~中任意取一个与()t x 不同的单 周期信号即可，如图所示d ）证明：尽管()ωj G 与()ωj X 不同，但对所有常数k ，⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k j X k j G 22ππ 证：因为()()()()()ωδωωωδωωωωω0000~⋅=⋅=j G j X j X即有()()()()0000ωωδωωωδωk jk G k jk X k k -=-∑∑∞-∞=∞-∞=在上式中，220ππω==T 对比等式双方对应冲激信号的系数可得 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k j X k j G 22ππ4.43 设()()ttt t x t g πsin cos 2*=，()t x 为实函数，对于1≥ω，()0=ωj X 。

证明存在一个LTI 系统s ，使得()()t g t x s −→−。

证：因为()ωπ2sin P tt FT−−→←为理想低通滤波器，()t x 为带限信号，两次乘以t cos 可以看作对()t x 的调制和解调（频谱移动1±）。

令()()t t x t x 21cos =，则其频谱为()()()()()()[]222411-+++=ωωωωj X j X j X j X所以 ()()()()ωωωωj X P j X j G 2121=⋅=，即()()t x t g 21=显然，这就是一个LTI 系统。

4.14 已知()()ωj X t x FT−−→←，在下列已知条件下，确定()t x 的函数形式。

1 ()t x 为正实函数；2 ()(){}()t u Ae j X j F t 211--=+ωω3()πωω22=⎰∞∞-d j X解： 因为 ()22+−−→←-ωj At u Ae FTt根据2： ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=++=211121ωωωωωj j A j j Aj X 所以 ()[]()t u e e A t x t t2---=根据 3： ()11222==⎰∞∞-A dt t x 根据1：12=A4.32 某系统s 的单位冲激响应为()()[]()114sin --=t t t h π，求s 对下列输入信号的响应。