八年级数学竞赛例题专题讲解：从地平面到脚手架--分式的运算

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人教版八年级上《152分式的运算》例题与讲解

15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d. (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1； (3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．解：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ＝4a 4b 2·9x 15x 2·8a 4b ＝3b 10x； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）2·a ＋1a （a －1）＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）a （a ＋1）2（a －1）＝1a ； (3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4＝（a ＋2）（a －2）（a ＋2）2·2a （a －2）2 ＝2a （a ＋2）（a －2）（a ＋2）2（a －2）2＝2a a 2－4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y ÷(4x 2－y 2) ＝（2x ＋y ）22x ＋y·1（2x ＋y ）（2x －y ）＝12x －y . 2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a nb n .解技巧分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34；(2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23. 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 34＝（a 2）4（－b 3）4＝a 8b 12； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －z 23＝（x 2y ）3（－z 2）3＝x 6y 3－z 6＝－x 6y 3z 6. 3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减；②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y2； (4)12m 2－9＋23－m； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2. 解：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab＝（a －b ）2＋（a ＋b ）22ab＝a 2－2ab ＋b 2＋a 2＋2ab ＋b 22ab ＝2a 2＋2b 22ab＝a 2＋b 2ab； (2)a a 2－1－11－a 2＝a a 2－1＋1a 2－1＝a ＋1a 2－1＝a ＋1（a ＋1）（a －1）＝1a －1； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y2 ＝1x ＋y －1x －y ＋2x （x ＋y ）（x －y ）＝（x －y ）－（x ＋y ）＋2x（x ＋y ）（x －y ）＝2x －2y（x ＋y ）（x －y ）＝2（x －y ）（x ＋y ）（x －y ）＝2x ＋y；(4)12m2－9＋23－m＝12（m＋3）（m－3）－2m－3＝12（m＋3）（m－3）－2（m＋3）（m＋3）（m－3）＝12－2（m＋3）（m＋3）（m－3）＝－2（m－3）（m＋3）（m－3）＝－2m＋3；(5)x－3x2－1－2 x＋1＝x－3（x＋1）（x－1）－2（x－1）（x＋1）（x－1）＝x－3－2（x－1）（x＋1）（x－1）＝－（x＋1）（x＋1）（x－1）＝－1x－1；(6)4a＋2－a－2＝4a＋2－(a＋2)＝4 a＋2－（a＋2）1＝4a＋2－（a＋2）2a＋2＝4－（a＋2）2a＋2＝4－a2－4a－4a＋2＝－a2＋4a a＋2.4．整数指数幂一般地，当n是正整数时，a－n＝1a n(a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是a n的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，a m÷a n＝a m－n，a m·a－n＝a m＋(－n)＝a m－n，因此a m÷a n＝a m·a－n.特别地，ab＝a÷b＝a·b－1，所以⎝⎛⎭⎫abn＝(a·b－1)n，即商的乘方⎝⎛⎭⎫abn可以转化为积的乘方(a·b－1)n.这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为： (1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.解：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2＝1⎝⎛⎭⎫－232＝149＝94； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1＝a 2b －3·a －3b 3·ab ＝a 0b ＝b .5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000；(2)－36 900 000；(3)0.000 002 1；(4)－0.000 006 57.解：(1)650 000＝6.5×105；(2)－36 900 000＝－3.69×107；(3)0.000 002 1＝2.1×10－6；(4)－0.000 006 57＝－6.57×10－6.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧分式混合运算的技巧分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1. 分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式．解：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1 ＝（1＋x ）（1－x ）（x ＋2）2·1（x －1）2·（x ＋1）（x ＋2）x －1＝－（x ＋1）2（x ＋2）（x －1）2.【例7】计算：⎣⎡⎦⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2·2a 2－b 2＋2ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ·（ab ）2（a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab （a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2（a ＋b ）2＋2ab （a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab ＝a 2－b 2＋2ab （a ＋b ）2·2a 2－b 2＋2ab＝2（a ＋b ）2. 【例8】先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.解：原式＝3x （x ＋1）－x （x －1）（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x ＝3x 2＋3x －x 2＋x 2x ＝2x 2＋4x 2x ＝2x ·（x ＋2）2x＝x ＋2. 当x ＝－3时，原式＝－3＋2＝－1.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．解：4x ＋y －x ＋y xy ＝4xy －（x ＋y ）2xy （x ＋y ）＝－（x －y ）2xy （x ＋y ）. 因为x ≠y ，x ＞0，y ＞0.所以－（x －y ）2xy （x ＋y ）＜0，即4x ＋y＜x ＋y xy . 【例9】甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？解：设甲每小时生产这种零件x 个，则乙每小时生产这种零件(x －8)个，甲完成任务需要时间为168x 小时，乙完成任务需要时间为144x －8小时． 168x －144x －8＝168（x －8）－144x x （x －8）＝24（x －56）x （x －8）. ∵x ＞8，∴x －8＞0，∴x (x －8)＞0.故当x ＞56时，168x －144x －8＞0；当x ＝56时，168x －144x －8＝0；当x ＜56时，168x －144x －8＜0. 所以若甲每小时生产零件多于56个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于56个且多于8个，则甲先完成任务．10．分式混合运算的开放型题运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.解：选一：(A －B)÷C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2－2x 2－4÷x x ＋2＝x （x ＋2）（x －2）×x ＋2x ＝1x －2，当x ＝3时，原式＝13－2＝1. 选二：A －B÷C ＝1x －2－2x 2－4÷x x ＋2＝1x －2－2（x ＋2）（x －2）×x ＋2x ＝1x －2－2x （x －2）＝x －2x （x －2）＝1x，当x ＝3时，原式＝13.。

八年级下分式的运算专题讲解(含答案)

分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd⋅=； a b c d a b d c ad bc ÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则a cbc a b c±=± （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则()a b a bn nn =（n 为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算x xx xx xx x22222662----÷+-+-的结果是（）A. xx--13B.xx+-19C.xx2219--D.xx2213++分析：原式=-+-+÷+-+-()()()()()()()() x xx xx xx x21323221=-+-+⋅+-+-=+-+-=--()()()()()()()() ()()()()x xx xx xx xx xx xxx21322132 11331922故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知abc=1，求aab abbc bcac c++++++++111的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

【八年级数学代数培优竞赛专题】专题8 分式的运算技巧【含答案】

专题8 分式的运算技巧知识引入一天，数学家觉得自己受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。

消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试.”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭.”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着.”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。

”这则笑话看起来很荒谬，但却道出了解决数学问题的重要思想，那就是转化思想，转化思想在数学中有着广泛的应用，比如在进行分式除法运算的时候，首先要运用除法法则，将除法运算转化为乘法运算，然后再解决。

知识解读1.分式乘除法运算的一般步骤：（1）利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；（2）运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；（3）把分式的分子、分母分别写成它们的公因式与另一因式的积的形式，如果分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；（4）约分，得到最后的结果.2.异分母分式加减法的步骤：（1）正确地找出各分式的最简公分母；（2）准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；（3）通分后，进行同分母分式的加减运算；（4）公分母保持积的形式，将各分子展开；（5）将得到的结果化成最简分式。

3.正确进行分式的混合运算，需弄清以下各要点：（1）分清运算级别，按照“从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；（3）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算；（4）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（5）最后结果要注意化简；（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。

八年级数学(竞赛)因式分解

第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

八年级下册数学分式的加减法

八年级下册数学分式的加减法摘要：一、分式的基本概念1.分式的定义2.分式的组成部分3.分式的基本性质二、分式的加减法1.分式加法的规则2.分式减法的规则3.分式加减混合运算的顺序三、分式的加减法实际应用1.实际问题中的分式加减法2.利用分式的加减法解决实际问题正文：一、分式的基本概念分式是数学中一种常见的表达形式，它由分子和分母组成，用斜杠“/”表示。

分式的定义是：如果A 和B 是两个整式，并且B 不等于零，那么我们用A 除以B 所得到的商A/B 就叫做分式。

分式的组成部分包括分子、分母和分数线，其中分子和分母都是整式，分数线表示分式的开始和结束。

分式的基本性质有：分子和分母同时乘以或除以一个非零数，分式的值不变；分子和分母同时加上或减去一个相同的数，分式的值不变。

二、分式的加减法分式的加减法是数学中常见的运算，其规则如下：1.分式加法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的和就是(A+C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相加，分母保持不变。

2.分式减法：对于两个分式A/B 和C/D，如果它们的分母相同，那么它们的差就是(A-C)/B；如果分母不同，需要将它们通分，然后将分子相减，分母保持不变。

3.分式加减混合运算的顺序：在没有括号的情况下，先进行乘除运算，再进行加减运算。

如果有括号，先进行括号内的运算。

三、分式的加减法实际应用分式的加减法在实际问题中有很多应用，例如在物理、化学、地理等学科中，常常需要用分式的加减法来解决问题。

例如，在化学中，可能会遇到需要将两种物质的摩尔质量相加或相减的问题，这时候就需要用到分式的加减法。

在解决实际问题时，我们需要先将问题抽象成数学模型，然后根据问题中给出的条件，选择合适的数学方法，包括分式的加减法，来解决问题。

以上就是八年级下册数学分式的加减法的内容。

分式的加减法是数学中重要的基本概念和基本运算，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

八年级数学下册10.3分式的加减例析分式运算的解题技巧素材苏科版

例析分式运算的解题技巧在近几年的中考试题和各类数学竞赛中，常出现有关分式运算的问题,为了帮助同学们更好地学习这部分内容，现以今年各地中考试卷中的分式运算为例分类进行说明。

一、分式的加减例1 化简：222242x x x x +--- 解析：分式的加减运算，一般是先通分，再加减。

若分子、分母可以分解因式的,应先分解因式；若分子的次数不小于分母的次数时，可以先降低分子的次数，再进行运算，这样会简捷一些.解：原式=()()()22222x x x x x +-+-- =222x x x --- =1．二、分式的乘除例2 先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷++++其中a = 解析：在进行分式的乘除运算时，先化除为乘，然后依据法则计算,结果要化为最简分式或整式。

另外，注意因式分解在分式乘除法中的运用。

解：原式2(6)(6)2(5)5(5)6(6)a a a a a a a a +-++=+-+ 2a=．当a =2=．三、分式的混合运算例3 先化简再求值：22111a b b a a a a b ⎛⎫-+--÷⨯ ⎪+⎝⎭,其中12a =-，2b =-．解析:分式的混合运算应按照先乘除后加减的运算顺序及式子的特点，选择灵活简便的方法进行计算或化简. 解：22111a b b a a a a b ⎛⎫-+--÷⨯ ⎪+⎝⎭=2221a a b a -+-11a b a b⨯⨯-+ =(1)(1)11b b a a b a b+-⨯-+· =1b a b++ 将122a b =-=-，代入得：原式=12552-=- 四、分式的化简求值例4 先化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+- 解析:这是一道开放型试题,首先要将所给的式子化简，然后选取一个使原式有意义且计算简便的数代入求值即可。

北师大版八年级数学上册竞赛讲义-分式方程(组)及其应用

分式方程（组）及其应用竞赛热点１.分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程称为分式方程。

２.解分式方程的方法：解分式方程的基本思想是转化思想,即把分式方程转化为整式方程来解；转化的基本方法是；去分母,换元法等。

分式方程在转化过程中会产生增根或漏根,因此解分式方程必须验根。

３.分式方程应用题：列分式方程应用题与列整式方程应用题的思路相同,首先要注意审题,弄清未知数与已知数之间的关系,并把它们表示出来,从而转化成数学模型,要善于运用列表,画图等辅助手段帮助分析问题；但与解整式方程应用题不同的是：对所求的结果既要验根又要检验方程的根是否符合实际意义,二者缺一不可。

解题示范例１.解方程9182716x x x x x x x x -+-+=+----。

思考题１.解下列方程： ⑴13217219211211215217292x x x xx x x x ----+=+----；⑵1321121111x x x++=+++。

例２.解方程组1034331522x y x y x y x y -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪-=-⎪+⎩。

思考题２. .解方程组 ⑴4955210x y y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ； ⑵345xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩。

例３.一只虫子从Ａ处爬到Ｂ处,如果它的速度每分钟增加１米,可提前１０分钟到达；如果它的速度每分钟再增加２米,则可又提前１０分钟到达,求Ａ,Ｂ之间的路程。

思考题３.甲、乙两人做一项工程,合做４小时后,甲另有任务被调走,余下部分由乙单独做,又用了６小时才完成这项工程。

已知甲独做６小时的工作量,由乙单独做要７小时３０分钟,问甲、乙单独完成这项工程各需多少小时？例４.如图,在矩形ＡＢＣＤ中,甲、乙二人分别从Ａ、Ｂ两点同时出发,甲、乙速度分别为６５米/分,７４米/分,沿矩形Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｂ→……顺序前进,乙至少跑第几圈时才可能第一次追上甲？又乙至少在跑第几圈时一定又追上甲？请说明理由。

八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案

八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案第四讲：分式的概念、性质及运算分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。

从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”。

在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理。

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具。

分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1.化整为零，分组通分；2.步步为营，分步通分；3.减轻负担，先约分再通分；4.裂项相消后通分等。

例题求解例1】要使分式 $\frac{1}{1-x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是？思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密。

注：在新事物面前，人们往往惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比。

研究分式时，应注意：1) 分式与分数的概念、性质、运算的类比；2) 整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；3) 分式需要讨论分母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在。

例2】已知 $\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$，其中 $A$、$B$ 为常数，则 $4A-B$ 的值为（）。

思路点拨：对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出$A$、$B$ 的值。

例3】计算下列各式：1) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a^2+b^2}$；2) $\frac{x^2+yz}{x+(y-z)x-yz^2}+\frac{y^2-zx}{y+(z+x)y+zx^2}+\frac{z^2+xy}{z-(x-y)z-xy^2}$；3) $\frac{x^3-1}{32x+2x^2+2x+1x-2x+2x-1x-1}$；4) $\frac{(y-x)(z-x)(z-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}+\frac{x^3+1}{3^2}-\frac{2(x^2+1)}{2}$。

人教版数学八年级培优及竞赛教程10、分式运算

10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法那么a c ac ；b d bda c a d adb d bc bc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（ 1〕通分的根据是分式的根本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法那么是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母〔或含有字母的式子〕为底的幂的因式都要取；③相同字母〔或含有字母的式子〕的幂的因式取指数最高的。

（ 2〕同分母的分式加减法法那么a b a b c cc（ 3〕异分母的分式加减法法那么是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法那么a ) n a n( b n 〔 n 为正整数〕b4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：〔 1〕注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；〔 2〕整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1〞的分式；（ 3〕运算中及时约分、化简；（ 4〕注意运算律的正确使用；（ 5〕结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四那么运算【分类解析】例 1：计算x 2 x 2 x 2 x 6 的结果是〔〕x 2x6 x2x 2x 1B.x 1 C.x 2 1 x 2 1 A.3x 9x 29D.2 3xx 分析：原式( x 2)( x 1) ( x 3)( x 2)(x 3)( x 2)( x 2)( x 1)(x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) (x 1)( x 1) ( x 3)( x 3) x 2 1 x 2 9应选 C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例 2： abc1，求 a bcac 的值。

ab a 1 bc b 1 c 1分析：假设先通分，计算就复杂了，我们可以用 abc 替换待求式中的“ 1〞，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案

八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案分式方程是含有未知数的方程，其中分母含有未知数。

解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，可以通过直接去分母或换元法等方法实现。

有时，在解分式方程时可能会出现增根的情况。

虽然增根必须舍去，但有时也可以利用增根，挖掘隐含条件。

例如，对于一个关于x的方程2x+a/(x-2)=-1，如果其解为正数，则a的取值范围需要注意增根的隐含制约。

另一个例子是已知2/(x(x-1))+A/(x-1)+B/x=C，其中A，B，C为常数，需要求出A+B+C的值。

可以将右边通分，然后比较分子，建立A，B，C的等式。

对于一些复杂的分式方程，不宜直接去分母。

需要运用解分式问题、分式方程相关技巧和方法来解决。

例如，对于方程5x-9/(x-19)+6x-8/(x-9)+4/(x-6)+2/(x-8)=0，或者方程x^2+3x/(x^2+x-4)+11/2=0，或者方程x/(x+1)+1/(x+1)^2=3，需要仔细观察分子、分母间的特点，寻找解题的突破口。

有时，解分式方程需要对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题。

例如，对于方程2kx/(kx+1)-2/(x-1)=0，如果该方程只有一个解，则需要化分式方程为整式方程，并利用增根解题。

对于一些复杂的不定方程，可以通过转化为一元不等式，逐步缩小未知数的取值范围，求出结果。

例如，对于方程1115/(xyz)=1，且x≤y≤z，≥111，然后通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果。

最后，需要注意格式错误和明显有问题的段落，进行删除和小幅度改写，以提高文章的可读性。

1.当$x=\frac{1}{y}$时，原方程变为$\frac{y^2-1}{y}=2$，即$y^2-2y-1=0$。

因此，这个整式方程是$y^2-2y-1=0$。

2.将方程$x^2-3x+4=0$移项得$x^2=3x-4$，代入原方程得$\frac{2x(3x-4)}{x-1}=2x^2-2x-4=0$。

八年级数学上册 15.2《分式的运算》分式运算新题型赏析素材新人教版(2021年整理)

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分式运算新题型赏析一、自编算式型例1．已知2222222xy x yM Nx y x y+==--、，用“+”或“-”连接M N、，有三种不同的形式：M N M N N M+--、、，请你任选其中一种进行计算,并化简求值，其中x∶y=5∶2．分析：要求从三个代数式中任选两个构造一个代数式，这三种组合，只要任选一种即可．解：选择一：22222222()()()xy x y x y x yM Nx y x y x y x y x y+++ +=+==--+--，当x∶y=5∶2时，52x y=，原式=572532y yy y+=-．选择二：22222222()()()xy x y x y y xM Nx y x y x y x y x y+----=-==--+-+，当x∶y=5∶2时,52x y=，原式=532572y yy y-=-+．选择三：22222222()()()x y xy x y x y N Mx y x y x y x y x y+---=-==--+-+当x∶y=5∶2时，52x y=，原式=532572y yy y-=+．点评:本题是一道根据条件组合型的自编自解题，答案不唯一,它重点考查学生的创新意识和能力，不但要编还得要解，这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题多解"来考察学生的发散思维能力．二、自选数值型例2．先化简：121a aaa a--⎛⎫÷-⎪⎝⎭，并任选一个你喜欢的数a代入求值．分析：这类题原本是化简求值题，但一改往常形式，给了我们“自主"的空间,解它时，一是按常规先化简，二是在取值时既要注意使运算更简，同时又要考虑到“隐含条件”的约束（x取不等于O，1的其他值）．解：原式=2121a a aa a--+÷=()211a aa a--·=11a-，当a=2时，原式=1评注：这种题型答案不唯一，主要考查的知识有分式的意义、分式的加减、分式的乘除等，对字母自主取值体现了对考生的人文关怀，又考查了学生思维的缜密性．三、数形结合型例3．“五·一”期间，九年一班同学从学校出发,去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中,骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）求步行同学每分钟．．．走多少千米?(2）右图是两组同学前往水洞时的路程y（千米与时间x（分钟）的函数图象．完成下列填空:①表示骑车同学的函数图象是线段；②已知A点坐标(300)，，则B点的坐标为( ）．（1）解:设步行同学每分钟走x千米，则骑自行车同学每分钟走3x千米．根据题意,得：66403x x=+,110x=．经检验，110x=是原方程的解答:步行同学每分钟走110千米．(2）①②(500)，．四、表格信息型例4．面对全球金融危机的挑战,我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的．．．．．13%．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元,求冰箱、电视机各购买多少台?（1）设购买电视机x 台，依题意填充下列表格：（2）列出方程(组）并解答．解：（1）（2）解:依题意得2x —65x=，解得10x =，经检验10x =是原分式方程的解，220x ∴=．答：冰箱、电视机分别购买20台、10台．五、最优决策型例5．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算:甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？(2）甲队施工一天，需付工程款3。

人教版数学八年级培优竞赛分式方程的解专题课件

＝1
得
y＝ 10＋a
2
，∵y≠2，∴a≠－6，又
y＝
10＋a 2
有
整数解，∴a＝－8 或一 4，所有满足条件的整数 a 的值之和为－12.
1．分式方程 x 1 4 的解为（ B）
x 1 (x 1)(x 2)
A．x＝1
B．x＝2
C．x＝－1
D．x＝－2
2．若分式方程 6 x 5 有增根，则增根是（ A ）
x
（2）x＋ n n＋1 ＝n＋（n＋1）得 x＝n 或 x＝n＋1；
x
（3）解 x＋ n2＋n ＝2n＋4，则（x－3）＋ n2＋n ＝2n＋1，（x－3）＋ nn＋1 ＝n＋
x－3
x－3
x－3
（n＋l），由（2）得 x－3＝n 或 x－3＝n＋1，故原方程的解为 x＝n＋3 或 x＝n
＋4.
谢谢观赏
x 1
10．若解关于 x 的分式方程 2 mx 3 会产生增根，则 m 的值为
x 2 x2 4 x 2
_____－__4__或__．6
11．若分式方程 1 3 ax 无解，求 a 的值．
x2
x2
去分母得 1＋3（x－2）＝ax，整理得（a－3）x＝－5，当 a＝3 时，该方程无解；
当 a≠3 时，若 x＝2，则分式方程也无解，此时 a＝ 1 ，综上，a＝3 或 a＝ 1 .
≠－3
时，方程的解为负数，解得
m＜4
或
m≠2.
13.阅读材料：
关于 x 的方程：
x
1 x
c
1 c
的解为：
x1
c
，x2
=
1 c
；
x
1 x
c

八年级数学竞赛例题专题讲解6：从地平面到脚手架(含答案)

专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等．分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营；2．分组通分，化整为零；3．减轻负担，先约分再通分；4．拆项相消后通分；5．恰当换元后通分，学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．分式问题比起整式问题，增加了几个难点；(1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；(3)需要考虑字母的取值范围，例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111a b c b c a c a b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23-（太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+-- （赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+- （漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于b a 或a b 的代数式，考虑设b x a =，a y b=，则1xy =，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

初中数学奥赛专题复习知识梳理例题精讲第三讲分式方程及其应用(基础篇,适合八年级使用)

分式方程及其应用【知识梳理】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

4. 较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化。

【例题精讲】【例1】解方程：（1）311(1)(2)xx x x-=--+（2）xx x--+=1211【例2】解方程：6124444442222yy yyy yyy+++---++-= 2【例3】解方程：11112 10(1)(2)(2)(3)(9)(10)x x x x x x x+++= +++++++…【例4】解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356【巩固】解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--【例5】解方程：224727218014x x x x x x+-+-=-+【拓展】解方程：222111011828138x x x x x x ++=+-+---【例6】m 为何值时，关于x 的方程22432x m x x x -+-=+2会产生增根？【巩固】若解分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（） A. --12或 B. -12或C. 12或D. 12或-【例7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过点P 跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”，根据图文信息，请问哪位同学获胜？【巩固】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

八年级数学下册10.3分式的加减《分式的加减》典型例题1素材苏科版

《分式的加减》典型例题例1．分式4412+-x x ，412-x ，421+x 的最简公分母是（） A ．)2)(44(2++-x x x B ．2)2)(2(2-+x xC ．42-xD ．422-x例2．轮船顺流航行40千米由A 地到达B 地,然后又返回A 地，已知水流速度为每小时2千米，设轮船在静水中的速度为每小时x 千米,则轮船往返共用的时间为( ）A ．x 80小时 B ．4802-x 小时 C ．4802-x x 小时 D ．2802-x x 小时例3．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，则所有符合条件的x 的值的和为 A ．12 B ．15 C ．18 D ．20例4．计算：=++++++-4214121111x x x x ______。

例5．计算：=+---++-21121221x x x x _______.例6．计算：=----1123a a a a ________.例7．通分(1）c b a 254，b a c 2103，225ac b - （2）2312+-x x ，112-x参考答案例1．分析把3个分母分解因式，顺次为2)2(-x ，)2)(2(-+x x 和)2(2+x 。

解答 B说明考查因式分解。

例2．说明轮船顺、逆流航行用的时间分别为240-x 小时和240+x 小时，它们的和为4802-x x 小时. 解答 C例3．分析918232322-++--+x x x x 9182962962222-++-+---=x x x x x x 918262622-++---=x x x x .329622-=-+=x x x 于是3-x 为2的约数, 13±=-x ,2±。

.1,5,2,4=x故.121524=+++解答 A说明本例通过化简，然后用整除知识求解。

例4．解答原式422141212xx x ++++-=844181414x x x -=++-= 说明逐步合并，简化计算。