2 波的能量
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16-3波的能量 波的能量密度
10-6
10-10 10-11 10-12
60
20 10 0
正常
轻 极轻
16.4 波的能量
波的能量密度
小
一、波的能量
结
1 x 2 2 2 dEk dEp ( dV ) A sin (t ) 2 u x 2 2 2 二、波的能量密度 w A sin (t ) u 1 三、能流和能流密度 P uSw uSA2 2 2 1 2 2 I w u A u 2
I LI lg I0
贝尔（B）
I LI 10 lg I0
分贝（ dB ）
16.4 波的能量
波的能量密度
几种声音近似的声强、声强级和响度
声源 引起痛觉的声音 炮声 交通繁忙的街道 声强 W/m2 1 10-1 10-5 声强级dB 120 110 70 震耳 响 响度
通常的谈话
耳语 树叶的沙沙声 引起听觉的最弱声音
E ISt
1.58 10 4.0 10 60
5
4
3792 J
16.4 波的能量
波的能量密度
例：一平面简谐波，频率为300Hz，波速为340m/s， 在截面面积为0.03m2的管内空气中传播，若在10s内 通过截面的能量为0.027J，求： （2）波的平均能流密度； （1）通过截面的平均能流； （3）波的平均能量密度。
单位：W/m2
16.4 波的能量
波的能量密度
平面波的振幅
在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变。 因为
I1S1 I 2 S2
S1 S2 S
S1
u
S2
1 1 2 2 2 2 u A1 S1 u A2 S 2 2 2
大学物理-波的能量
能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布 能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）
由上式可知——波的能量密度是随介质的空间坐标 x 和时 波的能量密度是随介质的空间坐标 由上式可知 w = ρA2ω 2 sin 2 ω(t − x ) 而周期变化的。 间 t 而周期变化的。 u 讨论： ）确定的介质质点（ 一定），能量变化的时间 一定）， 讨论：1）确定的介质质点（x一定），能量变化的时间 x π x 周期为 π ω 2 2 2）在同一时刻（t一定），能量密度在空间上的周 ）在同一时刻（ 一定），能量密度在空间上的周 一定）， λ 期为波长的一半。 期为波长的一半。
二、波的衍射 衍射（绕射） 波动在传播过程中遇到障碍物时 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘继续前进的现象 能够衍射的条件： 能够衍射的条件：缝宽（对缝而言） 对缝而言）
a≤λ或Biblioteka 碍物的线度a≤λ三、波的反射和折射 1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射 、反射定律：波在媒质介面上传播时， 一平面内。 角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
10--3波的能量
一、波的能量
波动过程中介质的质点并不随波移动， 波动过程中介质的质点并不随波移动，而是能量随着波动 向外传播出去，即波动过程是能量的传播过程。 向外传播出去，即波动过程是能量的传播过程。 那么，为什么说波动的过程是能量传播的过程呢？ 那么，为什么说波动的过程是能量传播的过程呢？ 由于在波动时， 由于在波动时，任一介质元与周围的介质质点之间有 相互作用的弹性力作功，通过作功就发生了能量交换， 相互作用的弹性力作功，通过作功就发生了能量交换，使 能量随波向前传递（任一介质元的能量是不守恒的）。 能量随波向前传递（任一介质元的能量是不守恒的）。 在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动， 在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时， 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的， 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
波的功率和能量
波的功率和能量
汇报人：XX
目录
பைடு நூலகம்
波的功率
波的能量
波的功率和能量的 应用
波的功率和能量的 研究进展
波的功率
定义：单位时间内通过与波传 播方向垂直的单位面积的能量
单位：瓦特(W)
计算公式：P = W/t = Fs/t = Fv 影响因素：振幅、频率、波长、波速
功率越大，表示物体做功越 快
功率是描述物体在单位时间 内完成功的数量
放射性核素成像：利用放射性物质在 人体内的分布，显示器官功能和代谢 状态，对甲状腺、心脏等疾病诊断具 有重要价值。
波的功率和能量的 研究进展
激光干涉测量技术：利用激光干涉现象对波的相位进行高精度测量，具有高灵敏度和高分辨率的特 点。
光纤传感器技术：利用光纤对波的传输特性进行测量，具有抗电磁干扰、耐腐蚀、小型化等优点， 在复杂环境下有较好的应用前景。
军事领域：雷达 探测和隐形技术 的研发，以及声 呐在潜艇探测中 的应用。
环境监测：利用 微波遥感技术监 测地球气候变化 和环境质量。
感谢您的观看
汇报人：XX
超声波诊断：利用高频声波显示人 体内部结构，广泛应用于胎儿产前 检查和各种疾病诊断。
X射线成像：利用X射线穿透人体组 织，在计算机上重建图像，用于骨 折、肺部感染等疾病的诊断。
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核磁共振成像：利用磁场和射频脉 冲获取人体内部详细图像，对肿瘤、 脑部疾病等诊断具有重要意义。
波能驱动机械：利用波浪的能量驱动机械，如船舶、浮标等，用于海洋观测、救援等任 务。
波能驱动制冷机：利用波浪的能量驱动制冷机，用于海洋冷藏、运输等应用。
声波能量测量：利用声波能量测量环境中的温度、压力等参数 电磁波能量测量：利用电磁波能量测量环境中的湿度、气体浓度等参数 光学波能量测量：利用光学波能量测量环境中的水质、污染物等参数 遥感监测：利用卫星或无人机搭载的传感器，监测大范围的环境参数
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波的功率
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波的功率和能量的 应用
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波的功率
定义：单位时间内通过与波传 播方向垂直的单位面积的能量
单位：瓦特(W)
计算公式：P = W/t = Fs/t = Fv 影响因素：振幅、频率、波长、波速
功率越大，表示物体做功越 快
功率是描述物体在单位时间 内完成功的数量
放射性核素成像：利用放射性物质在 人体内的分布，显示器官功能和代谢 状态，对甲状腺、心脏等疾病诊断具 有重要价值。
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激光干涉测量技术：利用激光干涉现象对波的相位进行高精度测量，具有高灵敏度和高分辨率的特 点。
光纤传感器技术：利用光纤对波的传输特性进行测量，具有抗电磁干扰、耐腐蚀、小型化等优点， 在复杂环境下有较好的应用前景。
军事领域：雷达 探测和隐形技术 的研发，以及声 呐在潜艇探测中 的应用。
环境监测：利用 微波遥感技术监 测地球气候变化 和环境质量。
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X射线成像：利用X射线穿透人体组 织，在计算机上重建图像，用于骨 折、肺部感染等疾病的诊断。
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核磁共振成像：利用磁场和射频脉 冲获取人体内部详细图像，对肿瘤、 脑部疾病等诊断具有重要意义。
波能驱动机械：利用波浪的能量驱动机械，如船舶、浮标等，用于海洋观测、救援等任 务。
波能驱动制冷机：利用波浪的能量驱动制冷机，用于海洋冷藏、运输等应用。
声波能量测量：利用声波能量测量环境中的温度、压力等参数 电磁波能量测量：利用电磁波能量测量环境中的湿度、气体浓度等参数 光学波能量测量：利用光学波能量测量环境中的水质、污染物等参数 遥感监测：利用卫星或无人机搭载的传感器，监测大范围的环境参数
波的能量
A r y = cos ω (t − ) r u
例 2、 一列余弦波沿直径为 0.14 m 的圆柱形玻璃管前 、 进 , 波的平均强度为 18×10-3 J s -1 m –2 , 频率为 300 × Hz , 波速为 300 m s –1 。求 波中的平均能量密度和最大能量密度； ① 波中的平均能量密度和最大能量密度； 的相邻两个截面间的能量。 ② 位相差为 2π的相邻两个截面间的能量。 的相邻两个截面间的能量 解： ① 平均能量密度
单位:贝尔(bel) 单位:贝尔(bel)
单位:分贝(db) 单位:分贝(db)
波的吸收
波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量， 波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量，因而波的 强度将逐渐减弱，这种现象叫做波的吸收 波的吸收. 强度将逐渐减弱，这种现象叫做波的吸收. A 吸 收 A+dA
吸收 ∝ dx 吸收 ∝ A
6-3 波的能量
一、波动能量的传播 1、波的能量 、 动能
x y = A cos ω t − u
dy x v= = − Aω sin ω t − dt u
1 1 x 2 2 2 2 dE k = (dm )v = ( ρdV ) A ω sin ω t − 2 2 u
二、能流与能流密度 1、能流 、 定义： 定义：单位时间内通过介 质中某一面积的能量称为 通过该面积的能流
平均能流
x P＝w uS＝uSρ A ω sin t − u
2 2 2
1 P ＝w uS＝ uSρ A 2ω 2 2
2、平均能流密度——描述能流的空间分布和方向 、平均能流密度 描述能流的空间分布和方向 定义： 定义： 通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均 能流，称为平均能流密度，又称为波的强度 波的强度。 能流，称为平均能流密度，又称为波的强度。
波的能量(新)
§10-3 波的能量
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
波的能量
u S u
1 2 度（波的强度）:通过与波线垂直的单位 面积上的平均能流。
1 2 2 I w u uA 2
单位：W/m2
二、波的衰减
机械波在介质中传播时，其强度和振幅将随传播 距离的增大而减小，这种现象称为波的衰减。
1、衰减原因：
1 x 2 2 2 Ek E p VA sin t 2 u
该体积元的总机械能:
x E Ek E p VA sin t u
2 2 2
介质中单位体积的波动能量:
§5.3 波的能量
一、波的能量和强度
波的传播过程是能量的传播过程。 1、波的能量
x 设有一平面简谐波 y A cos t u 在任意 x 处取体积元 Δ V ，
体积元质量为
Δm
m V
V
可以证明，在时刻 t ，该体积元的动能和势能为
① 扩散衰减； ② 散射衰减； ③ 介质对波的吸收。 2、吸收衰减的规律
设平面波沿 x 轴正方向传播。
dx
u
通过 dx 薄层时，其强度 衰减了 dI ，实验表明
I0
I I dI
x
dI Idx
o
x
— 介质的吸收系数，与介质的性质和波的频率有关。
解这一微分方程，并利用边界条件： x=0, I=I0 得
I I 0e
∵ ∴ I ∝ A2
x
A A0 e
x 2
E x 2 2 2 w A sin t V u
能量密度在一个周期内的平均值:
1 T 2 x 1 ∵ 0 sin t u dt 2 T
2波的能量
2.平均能流密度----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向 的单位面积上的平均能量。
1 P 2 2 I wu A u 2 S
单位：J•s1•m2 ， W •m2
例：一球面波源的功率为 100W，则距波 源 10m 处，波的平均能流密度 I 是多少？
P 解： I S
P 2 4r
由于：
势能
u
Y
1 2 2 2 与动能相同 dEk ( dV ) A sin (t x / u) 2 当：ω(t-x/u)=(2k+1) π/2 k=0、±1、±2、…最大，
ω(t-x/u)=kπ
小。 Ek、EP
1 dEP ( dV ) A 2 2 sin2 (t x / u) 2
k=0、±1、±2……最
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
5
3.波动的能量
dE dEk dEP
( dV ) A sin (t x / u)
2 2 2
4.波动的能量与振动能量的区别
• 振动能量中Ek、EP相互转换，系统机械 能守恒。 •波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时 为零，总能量随时间周期变化。
100 1 2 2 8 10 W / m 2 4 10 4
12
例2、考虑介质不吸收能量的情况下，利用能流的概念 求球面波的波动方程。设波源的圆频率为ω。 解： 设振源的振动方程为 y=Acosωt ，波动传 到半径r处时位相为：ω(t -r/u) 波动方程 y=A(r)cos[ω(t -r/u)]
4
1 y 2 dE p YdV ( ) 2 x
计算出
y x x A cos[ (t )] A sin[ (t )] x x u u u 1 y 1 A 2 2 x dE p YdV ( ) 2 YdV ( ) sin ( (t )) 2 x 2 u u
物理波的能量
=
3
cos
4πt
(2)以距a点5m处的b点为坐标原 点写出波动方程。
b.
u .a 5m
x
解：(1)以a点为原点在x轴上任取一点P，坐标为x
ya = 3 cos 4πt y =3 cos 4πt +
x
20
(2)以b点为坐标原点
wk
wp
2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
平均能量密度（对时间平均)
w 1 T A2 2 sin 2[(t x)]dt
T0
u
w
=
1 2
ρAω2
2
三、波的强度
能流P :单位时间内垂直通过某一截面的 P = w S u 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
(t+
d u
)
π
2
]
y
=
A cos[ω
(
t
+
d u
x u
)
π
2
]
例6、波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。
{ 写出波动方程。
t= 0 (o点)
得：
y 0
=
2
=
A
2
v0
＞0 0=
π
3
2
o
y(m)
4 5
p
u
x (m)
{ t =0
(p点)
2π
=
y 0
=
0
v0＜ 0
p
0
d
λ
得：
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S w u 波的强度 I（能流密度）:
波的能量密度
波的能量密度一、引言波是自然界中广泛存在的物理现象，其能量密度是描述波能量分布的重要参数。
本文将介绍波的能量密度的概念、计算方法以及应用领域。
二、波的能量密度的概念1.定义波的能量密度是指单位体积内所包含的波动能量。
在电磁学中，电磁场中每个点上单位时间内通过单位面积传递的电磁能量称为辐射通量密度，而辐射通量密度除以光速就可以得到电磁场中每个点上单位体积内所包含的电磁辐射能量，即电磁场中的辐射能密度。
2.单位波的能量密度通常用J/m³或者W/m³来表示。
三、计算方法1.机械波对于机械波，其能量密度可以表示为：u = 1/2ρv²其中，u为机械波在介质中传播时所具有的单位体积内储存的总功率；ρ为介质的质量密度；v为机械波在介质中传播时所具有的速率。
2.电磁波对于电磁波，其能量密度可以表示为：u = εE²/2 + 1/2μB²其中，u为电磁波在介质中传播时所具有的单位体积内储存的总功率；ε为介质的介电常数；E为电场强度；μ为介质的磁导率；B为磁感应强度。
四、应用领域1.辐射治疗医学上常用的X射线、γ射线等电离辐射对人体组织产生伤害，而这些伤害与辐射通量密度和能量密度有关。
因此，在医学上，需要精确测量出辐射通量密度和能量密度，以便控制辐射剂量。
2.光学领域在光学领域中，波的能量密度是描述光强的重要参数。
例如，在太阳能电池中，需要精确测量出太阳光的能量密度以确定其转换效率。
3.声学领域在声学领域中，波的能量密度是描述声音强度的重要参数。
例如，在音频设备中，需要精确测量出声音波的能量密度以确定其音质和音响效果。
五、结论波的能量密度是描述波能量分布的重要参数，其计算方法不同于不同类型的波。
在医学、光学和声学领域中，波的能量密度被广泛应用于测量和控制波的强度和剂量。
波的能量
Y ，结合波动表达式 y x A sin t
x u u
2 最后得： 1 x 2 2 2 Wp pu (V ) A 2 sin t 2 u u
1 x 2 2 2 (V ) A sin t 2 u
_____________________________________________
波的能量
Energy in waves
生活中的波
波动学基础
机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。
电磁波：无线电波、光波、x射线等，其传播无需介 质。 物质波：近代物理发现实物粒子也具有波性，即物质 波。 各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生干涉、衍射等现象。以有限的速率传播。
3
一
波的能量
机械波在弹性媒质中传播时，各质点在其平衡位置 附近振动，因而各质点具有动能； 各质点之间的距离发生改变，媒质发生形变，因而 具有势能；
波的能量是指弹性媒质因波动而具有的动能 和势能的总和
波的能量 = 振动动能 + 形变势能
x x x
y
y y
x
波的能流和能流密度
1、能流 单位时间内沿波传播的方向通过 介质中某一截面积的能量称为该面 积的能流。 u
V udt s
udt
S
E P 瓦 t
如右图所示
wSudt P wSu dt
9
2、波的强度（平均能流密度)I：
单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的平均能量， 称为平均能流密度，或称为波的强度。
体积元的总能量为其动能和势能之和，即
x E (V ) A sin t u
波的能量
S1 = 4πr ; S2 = 4πr
2 1
2 2
∴A r = A r2 11 2
结论： 结论： （1）振幅与离波源的距离成反比 （2）与平面波类似，球面简谐波的波函数： 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
A r y = cos[ω( t − ) +ϕ0 ] r u
QI1S1T = I2S2T,
S1 = S2 = S
1 1 2 2 2 ρuω A S1T = ρuω2 A2 S2T 1 2 2 所以,平面波振幅相等。 1 所以,平面波振幅相等。 A = A 2
对球面波： 对球面波：
1 1 2 2 Q ρvω A S1T = ρvω2 A2S2T 1 2 2 2
2、质元的势能
二、波的能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。 1 定义 单位体积介质中所具有的波的能量。
dW x 2 2 2 = ρω A sin [ω(t − ) +ϕ0 ] w= dV u
2 平均能量密度
1 T 1 w = ∫ wdt = T 0 T
1 2 2 w = ρA ω 2
∫
T
0
x ρA ω sin [ω( t − ) +ϕ0 ]dt u
2 2 2
3 波的总能量
1 2 2 W = ∫ wdV = ∫ ρω A dV V V 2
三、波的能流和能流密度 波的能流和能流密度
1 能流 单位时间内通过介质中某一截面的能量
dW wபைடு நூலகம்Sdt p= = = wuS dt dt
2 平均能流
p = wuS = w uS
S
dt dt u
3 能流密度（波的强度） 能流密度（波的强度） 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量
7-1,2,3 波函数和波的能量
拉普拉斯算符
1 2 u t 2
2 2
平面波的波动微分方程
7-3 波的能量
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能 量的传播。
一、波的能量 以一个平面简谐纵波为例来说明 波动媒质中一体积元 V 中的能量
m V
1）体积元的动能
y x v A sin ( t ) t u
y
O
u
y0 A cos( t )
x t u
X
x
x u
p
b. 在波线上任取一点P，p处质点 的振动比原点处质点的振动落后x／v
则t时刻p处质点的振动位移等于 t
的振动位移 时刻O处质点的振动位移
时刻O处质点
x y( x , t ) A cos[( t ) ] u
Y
t=0时
2
yO A cos(t ) 2
x y A cos[( t ) ] u 2 x 0.1 cos[4( t ) ] 2 2
O
2 4
u 2m / s T
例3. 沿x轴传播的平面波,u=5m/s,=2m.原点处质点的振 动曲线如图. 求:波函数，分别作出t=0和t=0.1s时的 波形图 Y y 0.1 cos(x 2 ) Y t=0 0.1
2x0
为x0处质点落后于原点的相位
若x0= 则 x0处质点落后于原点的相位为2
是波在空间上的周期性的标志
同一质点在相邻两时刻的振动相位差 t 2 1 ( t 2 t 1 ) 2 T是波在时间上的 T 周期性的标志 2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) ] u u 表示给定时刻波线上各质 O x1 x2 X 点在同一时刻的位移分布, 即给定了t0 时刻的波形
波的能流密度
近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。 近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。
10
超声波、 • 超声波、次声波
* 次声波
特点一 频率在10 频率在 －4～20赫芝之间 赫芝之间 的机械波，人耳听不到。 的机械波，人耳听不到。 特点二 由于它具有衰减极小的特点， 由于它具有衰减极小的特点， 衰减极小的特点 具有远距离传播的突出特点。 具有远距离传播的突出特点。 已形成现代声学的一个新的 分支—次声学 次声学。 分支 次声学。 因为大气湍流、火山爆发、地震、 因为大气湍流、火山爆发、地震、 陨石落地、雷暴、 陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自 用途 然活动中，都有次声波产生，因此， 然活动中，都有次声波产生，因此， 它是研究地球、海洋、 它是研究地球、海洋、大气等大规 模运动的有力的工具。 模运动的有力的工具。
y
∆y
A B
o o
A
∆x
B
2
质元形变： 质元形变：
2
∂y 1 ∂y [(∆x) + (∆y) ] − ∆x = ∆x1+ − ∆x ≈ 2 ∂x ∂x 质元的形变势能： 质元的形变势能： 2 1 ∂y = 1 FdxA 2 k 2 sin 2 (ω t − kx ) dE p ≈ F × 2 ∂x 2 ∂x
1 ε = T
∫
T
0
εdt =
ρA2ω 2
T
∫
T
0
1 sin (ω t − kx)dt = ρA 2ω 2 2
2
4
二、波的能流密度 波的强度 单位时间内通过截面 单位时间内通过截面 S 的能量等于体积 uS中的 中的 能量，称为能流 能流。 能量，称为能流。 E = ε uS 单位时间内通过垂直于波的传播方向的 通过垂直于波的传播方向的单位面 单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面 上的能量叫做能流密度 能流密度。 积上的能量叫做能流密度。 r dE 写成矢量式： J= = ε u 写成矢量式： J = ε u dS 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度 波的强度。 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度。
10
超声波、 • 超声波、次声波
* 次声波
特点一 频率在10 频率在 －4～20赫芝之间 赫芝之间 的机械波，人耳听不到。 的机械波，人耳听不到。 特点二 由于它具有衰减极小的特点， 由于它具有衰减极小的特点， 衰减极小的特点 具有远距离传播的突出特点。 具有远距离传播的突出特点。 已形成现代声学的一个新的 分支—次声学 次声学。 分支 次声学。 因为大气湍流、火山爆发、地震、 因为大气湍流、火山爆发、地震、 陨石落地、雷暴、 陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自 用途 然活动中，都有次声波产生，因此， 然活动中，都有次声波产生，因此， 它是研究地球、海洋、 它是研究地球、海洋、大气等大规 模运动的有力的工具。 模运动的有力的工具。
y
∆y
A B
o o
A
∆x
B
2
质元形变： 质元形变：
2
∂y 1 ∂y [(∆x) + (∆y) ] − ∆x = ∆x1+ − ∆x ≈ 2 ∂x ∂x 质元的形变势能： 质元的形变势能： 2 1 ∂y = 1 FdxA 2 k 2 sin 2 (ω t − kx ) dE p ≈ F × 2 ∂x 2 ∂x
1 ε = T
∫
T
0
εdt =
ρA2ω 2
T
∫
T
0
1 sin (ω t − kx)dt = ρA 2ω 2 2
2
4
二、波的能流密度 波的强度 单位时间内通过截面 单位时间内通过截面 S 的能量等于体积 uS中的 中的 能量，称为能流 能流。 能量，称为能流。 E = ε uS 单位时间内通过垂直于波的传播方向的 通过垂直于波的传播方向的单位面 单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面 上的能量叫做能流密度 能流密度。 积上的能量叫做能流密度。 r dE 写成矢量式： J= = ε u 写成矢量式： J = ε u dS 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度 波的强度。 一个周期内能流密度大小的平均值称为波的强度。
波的能量能流
为恒量。
势能
dEp T (ds dx)
上式的物理意义就是弹性质元因振动而偏离平 衡位置可具有的弹性势能。
考察∶
因为 ds
dx2 dy2
1 ( dy )2 dx dx
按泰勒级数展开
（1 1 ( y )2 L L ）dx 2 x
略去高阶小量 dEp T (ds dx)
T ( 1 ( dy )2 dx dx) dx
周期性变化
交替变化 相位差π/ 2 总能量守恒
若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元） 上 下
形变最小 振速 v 最小
t 时刻波形 未起振的体积元
抖 动
形变最大
振速 v 最大
各体积元产生不同程度的弹性形变， 具有弹性势能 Ep
各体积元以变化的振动速率 v 上下振动，具有振动动能 Ek
波形顶端形变最小，故此处弹性势能最小。同时，因该处 质元已达偏离平衡位置最大点，速度最小，故动能最小；而在 平衡点，波形斜率最大，故势能最大，同时，过平衡点时动能 也是最大的。
二、弹性体中波的能量和能量密度
在 x 处取一体积元 dV 质量为dm dV
体积元内媒质质元动能为
dEk
1 2
A2 2 sin2 [ (t
x ) ]dV
u
体积元内媒质质点的弹性势能为
dE p
1 2
A2 2
sin2 [ (t
x ) ]dV
u
体积元内媒质质点的总能量为：
dE
dEk
dE p
A2 2
振动曲线与 波形图： y T
c x x0
oa b
d
t
振动曲线
u
y
c t t0
2机械波的能量
2.机械波的能量1.机械波与介质波是质点振动状态的传播，是质点振动相位的传播，外观上有波形在传播，但在传播过程中并不伴随物质传播，但伴随着能量迁移。
波是能量传递的一种方式。
对于“流动着”的能量，要用由能量密度和能流密度两个概念来描述。
当机械波在媒质中传播时,媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。
设在密度为P的介质中，有一列沿X轴传播的平面简谐波。
在波线上坐标为X处取一个体积元dV,其质量dm=pdV,其波方程y=Acosω(r--)该体积元的振动速度为V=—=—ωAsinω(Z——)∂t u该体积元dV的动能为] ]dE k=-d∕nv2=-pdV¼2ω2sin2ω(∕--)2 2 u介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。
可以证明，因为介质形变，体积元dV的势能与动能相等dE=dE k=—pd½42692sin26υ(r--)2 u结论：在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能和势能在任何时刻都是相等的，它们同时最大，同时为零。
dE=dE k+dE p=pdVA2ω2sin2ω(tu这一部分介质的能量是不守恒的，它随时间按正弦平方的函数关系而变化，沿波的传播方向各质点的振动相位依次落后。
所以能量是以波的形式沿着波的传播方向以速度U传播。
能量密度：单位体积介质中的波动能量称为波的能量密度，用W表示df .22,9/X、W=——=pAω~sιn~ω{t——)dV u平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度，用W表示vv=y∫JpA2ω2sin2ω(r--)dr=Bρ^ωλ波的能量不守恒，它随时间作周期性变化。
波中每个质元左右都和介质中相邻的质元有相互作用的弹性力,在波的传播过程中,通过弹性力做功,质元不断地从波源方向接受能量，又不断地向后传递能量，因此在这部分中，机械能是不守恒的。
将能量的传播与水的流动相比拟，称为能流。
能流：单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P表示。
波的能量公式推导
波的能量公式推导
嘿，咱今天来聊聊波的能量公式推导哈！波的能量可是很神奇的呢！
先来说说简谐波的能量公式，就是E=1/2ρω²A²S，这里的 E 就是能量啦，ω是角频率，A 是振幅，S 是波所通过的面积。
比如说波浪，那波浪的能量就可以用这个公式来算算呀！想象一下大海里的波浪，那起伏的样子，它可就蕴含着能量呢！
还有机械波的能量，它会随着波的传播而不断向前传递。
这就好像接力比赛，能量就是那个接力棒，从一个地方传到另一个地方。
你想想看，声音在空气中传播，它的能量不就是这样一路传过来的嘛！我们能听到声音，可多亏了这波的能量传递呢！
怎么样，是不是对波的能量有了更清楚的认识呀？是不是觉得很有趣呢！以后再看到各种波，你就可以自己琢磨琢磨它们的能量啦！。
第二章-3--波的能量
m V
x a )
y A cos( t
1）求动能：
质元 ab 在 t 时刻的速度 y 2 v A sin( t x a ) t 质元 ab 在 t 时刻的动能
1 W K mv 2 2
a o
● ●
b
u
x
S
x
●
x x
m V
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度
W 2 2 2 2 A sin (t x 0 ) V
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度
1 T 2 2 2 2 0 A sin (t x 0 )dt T 1 2 2 A 此式表明： 2 平均能量密度和媒质密度、 2 2 2 2 A
把这样的波称作行波
——既传播振动形式又传播振动能量
当媒质中有机械波传播时，媒质的质元具有机械能, 为了描述媒质中能量分布状况引入——能量密度 二．能量密度
波传播时 ，媒质中单位体积内的能量
——称作波的能量密度 记作 Ω
W 2 2 2 2 A sin (t x 0 ) V
三．能流密度 1. 能流 当媒质中有波传播时，任取一截面， 单位时间通过该截面的能量 ——称作通过该面积的能流
能流的计算
记作 P
能流的计算
以平面简谐波为例
设一平面简谐波沿 x 方向传播，如图
u
S
o
●
x
●
x
在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处 取一面积 ΔS ，考虑 dt 时间通过面积 ΔS 的能量
有波传播时媒质质元的能量以平面纵波在固体细长棒中的传播为例处附近取一长为x质元ab设有波函数为质元ab体积的平面简谐纵波在细棒中传播则质元ab时刻振动表达式由图上几何关系质元ab长度变化为y当有纵波传播时在应力作用下质元ab发生线变时刻质元ab正被拉长质元ab的应变为质元ab长度变化为y由胡克定律质元ab所受应力质元ab所受弹性力为质元ab长度变化为质元ab长度变化与弹簧比较kx时刻质元ab所受弹性力弹簧的弹性势能弹簧所以时刻质元ab的弹性势能对比而得的所以t时刻质元ab的弹性势能考虑t时刻所以所以t时刻质元ab的弹性势能所以t时刻质元ab的弹性势能时刻质元ab的动能和弹性势能质元的动能和势能都随时间作简谐振动而且它们具有相同的振幅角频率相位
波的势能公式推导
波的势能公式推导首先，波是一种传递能量的振动现象。
振动的物体在运动过程中具有动能，而波则通过传递振动能量来传播。
其次，波的幅度是指波的振动幅度或振动的最大位移。
振动的振幅越大，波的能量也越大。
在分析波的势能公式时，我们需要考虑波在传播过程中，振动带给周围介质的能量。
考虑一维机械波，假设波在沿x轴传播，在其中一时刻t，波的位移为y(x,t)，其中x为坐标，t为时间。
现在让我们来推导波的势能公式。
1.波的能量波的能量与波的振幅和波速有关。
能量可以用单位时间内的功率来表示。
单位时间内通过横截面A的功率可以用以下公式表示：P=ΔE/Δt其中，ΔE为单位时间内通过横截面A的能量变化量，Δt为单位时间。
2.单位时间内通过横截面A的能量单位时间内通过横截面A的能量变化量可以通过以下关系表示：ΔE=ΔU+ΔK其中，ΔE为单位时间内通过横截面A的能量变化量，ΔU为单位时间内通过横截面A的势能变化量，ΔK为单位时间内通过横截面A的动能变化量。
3.势能的变化量单位时间内通过横截面A的势能变化量可以用以下公式表示：ΔU = ∫F*dx其中，F为作用在波上的力，dx为位移的微元。
我们可以将力F表示为势能U对位置x的一阶导数：F = -dU/dx将作用在波上的力F替换到上述公式中，得到：ΔU = ∫(-dU/dx)*dx=-(U2-U1)=U1-U2其中，U1为初始位置的势能，U2为最终位置的势能。
4.动能的变化量单位时间内通过横截面A的动能变化量可以用以下公式表示：ΔK = ∫(1/2)ρA(dy/dt)^2*dx其中，ρ为介质的密度，A为横截面积，dy/dt为速度。
将速度替换为波速v，得到：ΔK=(1/2)ρA(v^2-v0^2)其中，v为波速，v0为初始速度。
5.将上述公式代入第2步的公式，得到：ΔE=ΔU+ΔK=U1-U2+(1/2)ρA(v^2-v0^2)6.波的势能公式根据能量守恒定律，单位时间内通过横截面A的能量变化量ΔE与单位时间内通过横截面A的能量变化量密切相关。
波 的 能 量
• 在这方面波动与振动的情况是完全不同的。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
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1 w= T
1 w = wmax 2
A2 ω2 2 1 2 2 ∫0 ρ ω sin θ ⋅ dθ = 2 ρA ω
π
∫
T
0
1 x 2 2 2 ρA ω sin [ω(t − )]dt = u T
2011-7-24
11
三、能流和能流密度：能量传播 能流和能流密度：
能量流动
能流：单位时间内垂直通过某一面积 的能量 能流：单位时间内垂直通过某一面积S的能量
结论
dWk = dW p ，即媒质元的动能和势能时时
相等！ 相等！媒质元的总能量为
dW = dWk + dW p
2
2011-7-24
x = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] u
2 2
8
x d W = ( ρ d V ) A ω sin [ω ( t − )] u
2 2 2
（对于横波，推导过程中只需用切变模量代替杨氏模 对于横波， 其结果相同） 量，其结果相同） 对于平面简谐波而言， 对于平面简谐波而言，波场中任一质元都在作 简谐振动，但从能量角度看， 简谐振动，但从能量角度看，它却与孤立谐振质点 的能量特征大不相同。 的能量特征大不相同。 1、 弹性质元总能量随时空作周期性的变化。对任 、 弹性质元总能量随时空作周期性的变化。 随时空作周期性的变化 意媒质元，机械能不守恒， 意媒质元，机械能不守恒，而孤立谐振质点在振动 过程中总能量不变。 过程中总能量不变。 原因在于孤立谐振质点作无阻尼自由振动，而波场 原因在于孤立谐振质点作无阻尼自由振动， 中的弹性质元形似谐振，但实际上作受迫振动。 中的弹性质元形似谐振，但实际上作受迫振动。
二、波的能量密度：单位体积介质中的波动能量。 波的能量密度：单位体积介质中的波动能量。
dW = ρ A2ω2 sin2 ωt − x w= dV u
* 能量密度周期为 波动周期的一半。 波动周期的一半。
能量密度是时间的函数。 能量密度是时间的函数。 平均能量密度： 平均能量密度：
x y = A cos ω( t − u )
体积元在平 衡位置时，动能、 衡位置时，动能、 势能和总机械能 均最大。 均最大。
x ) u
dW = ( ρ dV ) A 2 ω 2 sin
2
ω(t −
体积元的位移最 大时，三者均为零。 大时，三者均为零。
10
2011-7-24
对于某一媒质元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入 对于某一媒质元，它的能量从零达到最大， 过程；然后又从最大减到零，这是能量输出的过程。 过程；然后又从最大减到零，这是能量输出的过程。即媒质 中并不积累能量，因而它是一个能量传递的过程。 中并不积累能量，因而它是一个能量传递的过程。
1
2011-7-24
对更一般情形，若沿 轴正 轴正（ 方向传播的波， 对更一般情形，若沿OX轴正（反）方向传播的波， 距原点O为 距原点 为x0的Q点的振动方程已知为 点的振动方程已知为
yQ = A cos(ωt + ϕ )
A
y
u
Q
则，相应的波函数为
−A
x
O
x0
x − x0 y = A cos[ω (t m ) +ϕ] u
所以，平面波振1-7-24
强度不变
13
2) 证明球面波的振幅与离开
其波源的距离成反比， 其波源的距离成反比，并求 球面简谐波的波函数。 球面简谐波的波函数。 介质无吸收， 证 介质无吸收，通过两 个球面的平均能流相等。 个球面的平均能流相等。
s2
2
2
x ∂y ω x = A sin[ω (t − )] y = A cos[ω (t − )] 因为 ∂x u u u 1 x 2 2 2 所以 dW p = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] 2 u
2011-7-24 7
1 2 当波传到媒质元时， 当波传到媒质元时，其振动动能为 dWk = ( dm )v 2 ∂y x = − Aω sin[ω (t − )] 该媒质元的振动速度为 v = u ∂t 1 x 2 2 2 所以 dWk = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] 2 u 1 x 2 2 2 比较 dW p = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] 2 u
轴负向传播， （C）由于波沿 轴负向传播，任意点 比x0点的振动超 ）由于波沿x轴负向传播 任意点x比
4
§10-3 波的能量
一 、媒质元的能量 波动不但是状态的传播过程，而且是能量的传播过程。 波动不但是状态的传播过程，而且是能量的传播过程。 (以棒的纵波为例对波的能量传播进行分析。) 以棒的纵波为例对波的能量传播进行分析。 以棒的纵波为例对波的能量传播进行分析 有一行波在棒中传播： 设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 设棒的密度为ρ; 截面积为S， 截面积为 ，距原 点为x处取长为 处取长为dx 点为 处取长为 的媒质元： 的媒质元： dV=Sdx 很小—质点 （dV很小 质点） 很小 质点） 质量： ρ 质量：m=ρdV
2011-7-24 2
例1 一平面简谐波在波速 u = 300m / s 的媒质 轴负向传播， 中沿X轴负向传播，已知波的振幅为 A = 4 × 10 −4 m , 轴负向传播 质元的位移为 频率为 ν = 1000 Hz。t = 0时x0 = 3m处质元的位移为 并背离平衡位置运动， y0 = 2 ×10 m 并背离平衡位置运动，求: （1）x0点的振动初相位和振动方程 ） （2）该平面波的波动方程 ）
(B)
O
π
x0 x
π x − x 0， x 前，在时间上超前 0点的振动相位为 2000πt − 3 u x −3 π x点的振动相位为 2000π( t + 点的振动相位为 )− 300 3
(D) 平面简谐波振幅不变，波动方程为 平面简谐波振幅不变， x − x0 y = A cos[2πν( t + ) + ϕ] u x −3 π −4 = 4 × 10 cos[2000π( t + ) − ]( SI ) 300 3 2011-7-24
2011-7-24
A A(r) = r
14
由于球面波振动的相位随距离的增加而落后的关系， 由于球面波振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数： 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
A r y = cos[ω (t − )] r u
球面波的强度与半径的平方成反比。 球面波的强度与半径的平方成反比。
2011-7-24 9
2、质元势能和动能大小恒等，两者同相变化。而孤立谐振 、质元势能和动能大小恒等，两者同相变化。 质点在振动过程中动能、势能此消彼长，相互转化。 质点在振动过程中动能、势能此消彼长，相互转化。 原因在于孤立谐振系统中的势能为振动势能， 原因在于孤立谐振系统中的势能为振动势能，其大小取决 振动势能 1 E p = kx 2 于相对于平衡位置的位移。 于相对于平衡位置的位移。 2 而波场中弹性质元的势能为形变势能 形变势能， 而波场中弹性质元的势能为形变势能，其大小取决于弹性 2 dy 媒质元的相对形变。 媒质元的相对形变。 dWp ∝ dx
2011-7-24 5
当波传到该媒质元时，假定它左端的位移为 ， 当波传到该媒质元时，假定它左端的位移为y，右端 的位移为y+dy，即它被拉长了dy，发生了形变。 的位移为 ，即它被拉长了 ，发生了形变。 dW p = 1 k (dy ) 2 媒质元因形变而具有的弹性势能为 2 k为棒的劲度系数，因此 F=kdy, 又因为 为棒的劲度系数， 为棒的劲度系数 杨氏模量 F = Y ∆l
A 解（1） Q y0 = 且v0 > 0, ） 2 π 由旋转矢量图得 ϕ = −
x0点的振动方程为
−4
−4
A O 2
3
r A
y
y = Acos(2πν t + ϕ ) = 4 ×10 cos(2000π t − )(SI) 3 2011-7-24
π
3
(2) (A) x0点的振动方程为
−4
y = 4 ×10 cos(2000π t − )( SI ) 3 u
P = wuS
单位：瓦特（波功率） 单位：瓦特（波功率）
能流密度： 能流密度：单位时间内垂直通过单位面积的能量
I = wu
平均能流
单位： 单位：w/m2
平均能流(能流在一个周期内的平均值）： 平均能流 能流在一个周期内的平均值）： 能流在一个周期内的平均值
v u
P = I S = w ⋅ uS
平均能流密度 I = w ⋅ u = 1 ρA 2 ω 2 u udt 2 波强如声学 （波强如声学 中声强）： 中声强）： I与A2及ω2有关 媒质一定） (媒质一定）
S l
YS QF = ∆l = kdy l l = dx , ∆l = dy
O O
x
dx
y y + dy
x x
YS YS ∴k = = l dx
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YS YS k= = l dx
及波速 u =
Y
ρ
dW p = k (dy )
1 2
2
所以弹性势能为
1 dy 1 2 dy dWp = YSdx = ρu dV 2 dx 2 dx
s1
∴ I 1S1 = I 2 S 2 ,
S 2 = 4πr22 ∴ A1r1 = A2 r2 S1 = 4πr ;
2 1
1 1 2 2 ρ uω A1 S1 = ρ uω 2 A22 S2 2 2
因此，振幅与离波源的距离成反比。 因此，振幅与离波源的距离成反比。如果距波源 单位距离的振幅为A，则距波源r处的振幅为 单位距离的振幅为 ，则距波源 处的振幅为
1 w = wmax 2
A2 ω2 2 1 2 2 ∫0 ρ ω sin θ ⋅ dθ = 2 ρA ω
π
∫
T
0
1 x 2 2 2 ρA ω sin [ω(t − )]dt = u T
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三、能流和能流密度：能量传播 能流和能流密度：
能量流动
能流：单位时间内垂直通过某一面积 的能量 能流：单位时间内垂直通过某一面积S的能量
结论
dWk = dW p ，即媒质元的动能和势能时时
相等！ 相等！媒质元的总能量为
dW = dWk + dW p
2
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x = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] u
2 2
8
x d W = ( ρ d V ) A ω sin [ω ( t − )] u
2 2 2
（对于横波，推导过程中只需用切变模量代替杨氏模 对于横波， 其结果相同） 量，其结果相同） 对于平面简谐波而言， 对于平面简谐波而言，波场中任一质元都在作 简谐振动，但从能量角度看， 简谐振动，但从能量角度看，它却与孤立谐振质点 的能量特征大不相同。 的能量特征大不相同。 1、 弹性质元总能量随时空作周期性的变化。对任 、 弹性质元总能量随时空作周期性的变化。 随时空作周期性的变化 意媒质元，机械能不守恒， 意媒质元，机械能不守恒，而孤立谐振质点在振动 过程中总能量不变。 过程中总能量不变。 原因在于孤立谐振质点作无阻尼自由振动，而波场 原因在于孤立谐振质点作无阻尼自由振动， 中的弹性质元形似谐振，但实际上作受迫振动。 中的弹性质元形似谐振，但实际上作受迫振动。
二、波的能量密度：单位体积介质中的波动能量。 波的能量密度：单位体积介质中的波动能量。
dW = ρ A2ω2 sin2 ωt − x w= dV u
* 能量密度周期为 波动周期的一半。 波动周期的一半。
能量密度是时间的函数。 能量密度是时间的函数。 平均能量密度： 平均能量密度：
x y = A cos ω( t − u )
体积元在平 衡位置时，动能、 衡位置时，动能、 势能和总机械能 均最大。 均最大。
x ) u
dW = ( ρ dV ) A 2 ω 2 sin
2
ω(t −
体积元的位移最 大时，三者均为零。 大时，三者均为零。
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对于某一媒质元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入 对于某一媒质元，它的能量从零达到最大， 过程；然后又从最大减到零，这是能量输出的过程。 过程；然后又从最大减到零，这是能量输出的过程。即媒质 中并不积累能量，因而它是一个能量传递的过程。 中并不积累能量，因而它是一个能量传递的过程。
1
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对更一般情形，若沿 轴正 轴正（ 方向传播的波， 对更一般情形，若沿OX轴正（反）方向传播的波， 距原点O为 距原点 为x0的Q点的振动方程已知为 点的振动方程已知为
yQ = A cos(ωt + ϕ )
A
y
u
Q
则，相应的波函数为
−A
x
O
x0
x − x0 y = A cos[ω (t m ) +ϕ] u
所以，平面波振1-7-24
强度不变
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2) 证明球面波的振幅与离开
其波源的距离成反比， 其波源的距离成反比，并求 球面简谐波的波函数。 球面简谐波的波函数。 介质无吸收， 证 介质无吸收，通过两 个球面的平均能流相等。 个球面的平均能流相等。
s2
2
2
x ∂y ω x = A sin[ω (t − )] y = A cos[ω (t − )] 因为 ∂x u u u 1 x 2 2 2 所以 dW p = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] 2 u
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1 2 当波传到媒质元时， 当波传到媒质元时，其振动动能为 dWk = ( dm )v 2 ∂y x = − Aω sin[ω (t − )] 该媒质元的振动速度为 v = u ∂t 1 x 2 2 2 所以 dWk = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] 2 u 1 x 2 2 2 比较 dW p = ( ρ dV ) A ω sin [ω (t − )] 2 u
轴负向传播， （C）由于波沿 轴负向传播，任意点 比x0点的振动超 ）由于波沿x轴负向传播 任意点x比
4
§10-3 波的能量
一 、媒质元的能量 波动不但是状态的传播过程，而且是能量的传播过程。 波动不但是状态的传播过程，而且是能量的传播过程。 (以棒的纵波为例对波的能量传播进行分析。) 以棒的纵波为例对波的能量传播进行分析。 以棒的纵波为例对波的能量传播进行分析 有一行波在棒中传播： 设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 设棒的密度为ρ; 截面积为S， 截面积为 ，距原 点为x处取长为 处取长为dx 点为 处取长为 的媒质元： 的媒质元： dV=Sdx 很小—质点 （dV很小 质点） 很小 质点） 质量： ρ 质量：m=ρdV
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例1 一平面简谐波在波速 u = 300m / s 的媒质 轴负向传播， 中沿X轴负向传播，已知波的振幅为 A = 4 × 10 −4 m , 轴负向传播 质元的位移为 频率为 ν = 1000 Hz。t = 0时x0 = 3m处质元的位移为 并背离平衡位置运动， y0 = 2 ×10 m 并背离平衡位置运动，求: （1）x0点的振动初相位和振动方程 ） （2）该平面波的波动方程 ）
(B)
O
π
x0 x
π x − x 0， x 前，在时间上超前 0点的振动相位为 2000πt − 3 u x −3 π x点的振动相位为 2000π( t + 点的振动相位为 )− 300 3
(D) 平面简谐波振幅不变，波动方程为 平面简谐波振幅不变， x − x0 y = A cos[2πν( t + ) + ϕ] u x −3 π −4 = 4 × 10 cos[2000π( t + ) − ]( SI ) 300 3 2011-7-24
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A A(r) = r
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由于球面波振动的相位随距离的增加而落后的关系， 由于球面波振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数： 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
A r y = cos[ω (t − )] r u
球面波的强度与半径的平方成反比。 球面波的强度与半径的平方成反比。
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2、质元势能和动能大小恒等，两者同相变化。而孤立谐振 、质元势能和动能大小恒等，两者同相变化。 质点在振动过程中动能、势能此消彼长，相互转化。 质点在振动过程中动能、势能此消彼长，相互转化。 原因在于孤立谐振系统中的势能为振动势能， 原因在于孤立谐振系统中的势能为振动势能，其大小取决 振动势能 1 E p = kx 2 于相对于平衡位置的位移。 于相对于平衡位置的位移。 2 而波场中弹性质元的势能为形变势能 形变势能， 而波场中弹性质元的势能为形变势能，其大小取决于弹性 2 dy 媒质元的相对形变。 媒质元的相对形变。 dWp ∝ dx
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当波传到该媒质元时，假定它左端的位移为 ， 当波传到该媒质元时，假定它左端的位移为y，右端 的位移为y+dy，即它被拉长了dy，发生了形变。 的位移为 ，即它被拉长了 ，发生了形变。 dW p = 1 k (dy ) 2 媒质元因形变而具有的弹性势能为 2 k为棒的劲度系数，因此 F=kdy, 又因为 为棒的劲度系数， 为棒的劲度系数 杨氏模量 F = Y ∆l
A 解（1） Q y0 = 且v0 > 0, ） 2 π 由旋转矢量图得 ϕ = −
x0点的振动方程为
−4
−4
A O 2
3
r A
y
y = Acos(2πν t + ϕ ) = 4 ×10 cos(2000π t − )(SI) 3 2011-7-24
π
3
(2) (A) x0点的振动方程为
−4
y = 4 ×10 cos(2000π t − )( SI ) 3 u
P = wuS
单位：瓦特（波功率） 单位：瓦特（波功率）
能流密度： 能流密度：单位时间内垂直通过单位面积的能量
I = wu
平均能流
单位： 单位：w/m2
平均能流(能流在一个周期内的平均值）： 平均能流 能流在一个周期内的平均值）： 能流在一个周期内的平均值
v u
P = I S = w ⋅ uS
平均能流密度 I = w ⋅ u = 1 ρA 2 ω 2 u udt 2 波强如声学 （波强如声学 中声强）： 中声强）： I与A2及ω2有关 媒质一定） (媒质一定）
S l
YS QF = ∆l = kdy l l = dx , ∆l = dy
O O
x
dx
y y + dy
x x
YS YS ∴k = = l dx
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YS YS k= = l dx
及波速 u =
Y
ρ
dW p = k (dy )
1 2
2
所以弹性势能为
1 dy 1 2 dy dWp = YSdx = ρu dV 2 dx 2 dx
s1
∴ I 1S1 = I 2 S 2 ,
S 2 = 4πr22 ∴ A1r1 = A2 r2 S1 = 4πr ;
2 1
1 1 2 2 ρ uω A1 S1 = ρ uω 2 A22 S2 2 2
因此，振幅与离波源的距离成反比。 因此，振幅与离波源的距离成反比。如果距波源 单位距离的振幅为A，则距波源r处的振幅为 单位距离的振幅为 ，则距波源 处的振幅为