4.1.2圆的一般方程课件[1]
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4.1.2圆的一般方程课件
(x-a)2+(y-b)2=r2 圆的标准方程:
y
M(x,y)
O
C
x
圆的一般方程
将下列方程配方整理成形如 (x-a)2+(y-b)2=c 这样的 方程，并判断是否表示圆？
（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0 （3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3
（2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示 圆呢？
配方可得：
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 E 2 4F 2
D E , ） 2 2
2 2 2 2
因为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)都在圆上
所以
F=0 12+12+D+E+F=0 42+22+4D+2E+F=0
解得 D=－8
E=6 F=0
所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0．
所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r= 5。
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0 （1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只 D E 2+E2-4F>0时，方程表示圆心 ， 为半径为 有D 2 2
1 r 2 D2 E 2 4F
的圆。
y
M(x,y)
O
C
x
圆的一般方程
将下列方程配方整理成形如 (x-a)2+(y-b)2=c 这样的 方程，并判断是否表示圆？
（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0 （3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3
（2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示 圆呢？
配方可得：
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 E 2 4F 2
D E , ） 2 2
2 2 2 2
因为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)都在圆上
所以
F=0 12+12+D+E+F=0 42+22+4D+2E+F=0
解得 D=－8
E=6 F=0
所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0．
所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r= 5。
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0 （1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只 D E 2+E2-4F>0时，方程表示圆心 ， 为半径为 有D 2 2
1 r 2 D2 E 2 4F
的圆。
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件
未知量 是什么？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
课件8：4.1.2 圆的一般方程
跟踪训练 3 (1)已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0) 距离的比为21的点的轨迹，求出曲线的方程； (2)已知点 A(－1,1)，B(3,3)是圆 C 的一条直径的两个端点， 又点 M 在圆 C 上运动，点 N(4，－2)，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．
解：(1)设点 M(x，y)是曲线上任意一点，则由题意知||MMOA||＝12. 由两点间的距离公式知，上式用坐标表示为 (x－x23＋)2y＋2 y2＝12， 两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0， 将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
D＝－2
∴E＝2 F＝－23，
∴△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
3．若 l 是经过点 P(－1,0)和圆 x2＋y2＋4x－2y＋3＝0 的 圆心的直线，则 l 在 y 轴上的截距是________． 【解析】圆心 C(－2,1)，则直线 l 的斜率 k＝－12－＋01＝－1， 所以直线 l 的方程是 y－0＝－(x＋1)，即 y＝－x－1， 所以 l 在 y 轴上的截距是－1. 【答案】－1
25
4
C. 3
D.3
【解析】设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋D＋F＝0，
则3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2， 解得E＝－4 3 3，
F＝1.
∴△ABC
4.1.2《圆的一般方程》课件1
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy这样的项。
思考：上述结论反之成立吗？
(1) x y 2 x 4 y 1 0 2 2 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
(2) x y 2 x 4 y 6 0
2 2
( x 1) ( y 2) 1
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D E - , 2 2
D2 E 2 4F 0
不表示任何图形 时，
2 2
D E 4F r 2 D E 2 2 （2）当 D E 4F 0时，表示点 - ,
2 2
D E 圆心 - , 2 2
2
2
（3）当 D2 E 2 4F 0 时，不表示任何图形
题组一 1.判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0 2 2 ( x 2) ( y 3) 9
小 结
x y Dx Ey F 0
2 2
2 2 D E D E 4F x y 2 2 4 2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
r
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E 圆心 - , 2 2
y
M .
.
（-1，0）
O
A(3,0) x
.
1 3. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 2
的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点， | OM | 1 也就是点M属于集合 {M | } | AM | 2 y 由两点间的距离公式，得 M x2 y2 1 A x C O ( x 3) 2 y 2 2 化简得 x2+y2+2x3＝0 ① 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
思考：上述结论反之成立吗？
(1) x y 2 x 4 y 1 0 2 2 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
(2) x y 2 x 4 y 6 0
2 2
( x 1) ( y 2) 1
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D E - , 2 2
D2 E 2 4F 0
不表示任何图形 时，
2 2
D E 4F r 2 D E 2 2 （2）当 D E 4F 0时，表示点 - ,
2 2
D E 圆心 - , 2 2
2
2
（3）当 D2 E 2 4F 0 时，不表示任何图形
题组一 1.判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0 2 2 ( x 2) ( y 3) 9
小 结
x y Dx Ey F 0
2 2
2 2 D E D E 4F x y 2 2 4 2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
r
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E 圆心 - , 2 2
y
M .
.
（-1，0）
O
A(3,0) x
.
1 3. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 2
的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点， | OM | 1 也就是点M属于集合 {M | } | AM | 2 y 由两点间的距离公式，得 M x2 y2 1 A x C O ( x 3) 2 y 2 2 化简得 x2+y2+2x3＝0 ① 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
4.1.2 圆的一般方程PPT课件
例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法
数学4.1.2《圆的一般方程》课件
与 x2 y2 2x 4 y 6 0 表示的图形
都是圆吗？为什1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式，但方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D2 E2 4F 0 时，方程表示圆心为 ( D , E ) ，半径 为 1 D2 E2 4F 的圆. 2 2
思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
都是圆吗？为什1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y2 Dx Ey F 0 的形式，但方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D2 E2 4F 0 时，方程表示圆心为 ( D , E ) ，半径 为 1 D2 E2 4F 的圆. 2 2
思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
4.1.2圆的一般方程 课件
（4) 3） x
2 2
(0,b),r= b
若a 2 b 2 0，则表示一个点（0， 0） 若a 2 b 2 0，则表示以（a,0）为圆心，a 2 b 2 为半径的圆
2.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出 圆心坐标及半径
(1) 1) (2)
x y 2x 4 y 2 0 2 2 4x 4 y 8x 16y 5 0
四、作业 课本124页习题4.1
A组1、2 B组 1
2 2
D 2 E 2 D E 4F 配方可得： ( x ) ( y ) 2 2 4 D E 2 2 （1）当D +E -4F>0时，表示以（ 2 , 2 ） 1 2 2 D E 4F ) 为半径的圆 为圆心，以( 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝ 02 2
一、知识பைடு நூலகம்顾：
（1）圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
（2）指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
二、新课学习： （1）思考：
方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？
2、[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 3、给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法或带 入公式求解) 4、要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
2 2
(0,b),r= b
若a 2 b 2 0，则表示一个点（0， 0） 若a 2 b 2 0，则表示以（a,0）为圆心，a 2 b 2 为半径的圆
2.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出 圆心坐标及半径
(1) 1) (2)
x y 2x 4 y 2 0 2 2 4x 4 y 8x 16y 5 0
四、作业 课本124页习题4.1
A组1、2 B组 1
2 2
D 2 E 2 D E 4F 配方可得： ( x ) ( y ) 2 2 4 D E 2 2 （1）当D +E -4F>0时，表示以（ 2 , 2 ） 1 2 2 D E 4F ) 为半径的圆 为圆心，以( 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝ 02 2
一、知识பைடு நூலகம்顾：
（1）圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
（2）指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
二、新课学习： （1）思考：
方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？
2、[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 3、给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法或带 入公式求解) 4、要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
课件1 ：4.1.2 圆的一般方程
的半径．
跟 踪 训 练
(1)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
+ (−) + + − + =
(−) +(−) + − + − + =
− −∙ −
−=
= ,
∴ቐ = ,
= −,
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形.
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
(− , − )
表示一个点____________
F＝0
D2＋E2－4F>0
(− , − )
表示以____________为圆心，以
第四章
圆与方程
§4.1.2 圆的一般方程
高中数学必修2·精品课件
学习目标
1．正确理解圆的一般方程及其特点．
2．会求圆的一般方程．
3．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
预习导学
基 础 梳 理
1．圆的一般方程的定义．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________________
它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
跟 踪 训 练
2．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心
在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．
4.1.2 圆的一般方程(共25张PPT)
【解析】 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
－D＝－E，
则圆心是(－D2 ，－E2)，由题意知，
22 2－D＋E＋F＝0，
10＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0
栏目 导引
第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、C 三点不共 线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)．
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第四章 圆与Байду номын сангаас程
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第四章 圆与方程
解：(1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
F＝－ 4.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
法二：直线 AB 的垂直平分线的方程为 y＝2(x－1)，令 y＝
0，得 x＝1，即圆心坐标是(1,0)，半径 r＝ 5，故所求圆的
方程为(x－1)2＋y2＝5.即一般方程为 x2＋y2－2x－4＝0.
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第四章 圆与方程
题型三 有关圆的轨迹问题
(3)当 _D_2_＋__E_2_－__4_F__>_0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐 标
人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件
(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ，表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心， 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正 值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M， 且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的 圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
4.1.2圆的一般方程 (共12张PPT)
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 2 2 在圆 ( x 1) y 4 上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 2 x 4 y0 3 x0 4 所以 y 即: x 2 2 y0 2 y 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 1) y0 4 (2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x ) ( y ) 1 2 2 轨迹方程求法
1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
圆心: (1, 2)
半径: r 2
2) x y 0
2 2
3) x y : (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6 和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并 3 求这个圆的圆心坐标和半径长. ( 2,3) (2,3) 解:设圆的方程为: 2 2 x y Dx Ey F 0 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 ( 3,0) (3,0) 都满足圆的方程,即 4 2 2 9 3 D F 0 圆的方程: x y y 9 0 3 9 3 D F 0 2 2 85 2 即: x ( y ) 13 4 D 3 E F 0 3 9 4 85 2 D 0, E , F 9 圆心: (0, ) 半径: 3 3 3
2
2) x y 2 x y 1 0
4.1.2圆的一般方程课件人教新课标
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
4.圆 x2 y2 8x10y F 0 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是（ A ） A.6 B.5 C.4 D.3
5.点A（3，5）是圆 x2 y2 4x8y80 0 的一条弦
的中点,则这条弦所在的直线方程是
结论：任何一个圆方程可以写成下面情势：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
方程 x2 y2 2x 4y1 0 表示什么图形？
对方程 x2 y2 2x 4y1 0 配方，可得
(x 1)2 (y 2)2 4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
方程 x2 y2 2x4y 6 0 表示什么图形？
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
展开
标准方程(圆心,半径)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 用配方法求解
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程情势:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 的标准方程较简单。
4.1.准方程: (x a)2 (y b)2 r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2), 2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2), 5
半径为4，则D= 4，E=
-6，F= -3
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
4.圆 x2 y2 8x10y F 0 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是（ A ） A.6 B.5 C.4 D.3
5.点A（3，5）是圆 x2 y2 4x8y80 0 的一条弦
的中点,则这条弦所在的直线方程是
结论：任何一个圆方程可以写成下面情势：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
方程 x2 y2 2x 4y1 0 表示什么图形？
对方程 x2 y2 2x 4y1 0 配方，可得
(x 1)2 (y 2)2 4, 此方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆.
方程 x2 y2 2x4y 6 0 表示什么图形？
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
展开
标准方程(圆心,半径)
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 用配方法求解
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程情势:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 的标准方程较简单。
4.1.准方程: (x a)2 (y b)2 r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2), 2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2), 5
半径为4，则D= 4，E=
-6，F= -3
高中数学4.1.2《圆的一般方程》课件
展开得 x 2 y 2 - 2 a x - 2 b y a 2 b 2 r 2 0 x 2y2D xE yF 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
结论：任何一个圆方程可以写成下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式：
x2y2D xE yF0
2.是不是任何一个形如 x2y2D xE yF0
方程表示的曲线都是圆呢？
(1 )x 2y22x4y 10
解 设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵xy＝ ＝20＋ ＋22 xy00， ，
∴xy00＝ ＝22xy－ . 2，
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)假设∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
教材P124-B组-3：
已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为 1 的点
的轨迹，求出曲线的轨迹.
2
【解析】在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，
点M在曲线上的条件是
| MO | MA
| |
1 2
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3) 2 2
通过例1进一步用圆的一般方程研究三角形的外接圆并与标 准方程比照计算量，通过动画演示讲解例2，探究动点的轨迹方 程的求法，让学生体会用方程研究曲线的方法。运用几何画板 让学生感受到一个点随着另一个点在运动，感受到动点形成的 轨迹。运用方程思想、转化思想、数形结合思想，会用代入法 求轨迹，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和待 定系数法和代入法求圆方程。
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； (3)解出 a,b,r或D,E,F ，代入标准方程或一般方程。
任何一个圆的方程都是二元二次方程
结论：任何一个圆方程可以写成下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式：
x2y2D xE yF0
2.是不是任何一个形如 x2y2D xE yF0
方程表示的曲线都是圆呢？
(1 )x 2y22x4y 10
解 设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵xy＝ ＝20＋ ＋22 xy00， ，
∴xy00＝ ＝22xy－ . 2，
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)假设∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
教材P124-B组-3：
已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为 1 的点
的轨迹，求出曲线的轨迹.
2
【解析】在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，
点M在曲线上的条件是
| MO | MA
| |
1 2
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3) 2 2
通过例1进一步用圆的一般方程研究三角形的外接圆并与标 准方程比照计算量，通过动画演示讲解例2，探究动点的轨迹方 程的求法，让学生体会用方程研究曲线的方法。运用几何画板 让学生感受到一个点随着另一个点在运动，感受到动点形成的 轨迹。运用方程思想、转化思想、数形结合思想，会用代入法 求轨迹，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和待 定系数法和代入法求圆方程。
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； (3)解出 a,b,r或D,E,F ，代入标准方程或一般方程。
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2 2
（3） x y 2 a x b 0
2 2 2
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x y D x E y F 0( D E 4 F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
圆的一般方程
2+y2+Dx+Ey+F=0 x M(x,y) O C
复习回顾:
圆的标准方程？
x a
2
y b r
2
2
其中,圆心的坐标是
半径大小是
2 2
a , b
r
2 2 2
将标准方程展开会得到怎样的式子呢？
x y 2 ax 2 by a b r
其中a，b，r均为常数 思 考
1 2 D E 4F )
2 2
）为圆心，
为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2 D E y=-E/2，表示一个点（ , ）
2 2
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解， 所以不表示任何图形。
1.圆的一般方程: 2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） x (x-a)2+(y-b)2=r2 2.圆的标准方程:
方程（1）并不一 定表示圆
（2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
思 考
方程x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1) 在什 么条件下表示圆？
D 2 ) (y
2
配方可得： x (
E 2
)
2
D E 4F
2 2
4
D 2 , E 2
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 以(
x y Dx Ey F 0
2 2
（1）
探 究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？
尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0 （3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3
2 2
( A ) 4 , 6 ,3
( B ) 4 , 6 ,3
(C ) 4 ,6 , 3
( D ) 4, 6 , 3
2 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是， 请求出圆的圆心及半径。
（1） x y 2 4 x 4 y 6 0
2 2
（2） 4 x 4 y 4 x 1 2 y 1 1 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=
D 2
，b=
E 2
，r=
1 2
D E 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
应 用 1 已知圆 x y Dx Ey F 0 的圆心坐 标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 D
P
y
M
OM AM
1 2
1 2
2
即：
x y
2 2
2
.
C -1
o
( x 3) y
2
x
整理化简得： x y 2 x 3 2 2 配方得： ( x 1) y 4
2
0
所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图）
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0 （1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只 E D 2+E2-4F>0时，方程表示圆心 ， 为半径为 有D 2 2
列关于a，b，r （或D，E，F）的方程组
(或x y Dx Ey F 0)
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
2.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
2 2
即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r (r 0)
2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) (1 b ) r a 2 2 2 2 (7 a ) ( 3 b ) r b 3 (2 a )2 (8 b)2 r 2 r 5
2 2 2
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在 圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程，
相关点法
相关点法步骤：
1 设 被 动 点 M （ x , y ） , 主 动 点 Q （ x 0 , y 0） I
x f1 x 0 , y 0 2求 出 点 M与 点 Q坐 标 间 的 关 系 （ II ） y f 2 x0 , y0 x0 g1 x , y 3 从 I 中 解 出 y0 g 2 x, y
r 1 D E 4F
2 2
2
配方
2.一般方程
展开
标准方程
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业
A组1、6，B组1、2、3
0
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
x y 2 ax 2 by a b r
2 2 2 2
2
0
由于a,b,r均为常数
令 2 a D , 2 b E , a b r
2 2 2
F
x y Dx Ey F 0
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
5 1 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7 D E F 0 22 82 2 D 8E F 0
2 2
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4 x 6 y 12 0
2 2
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三： 几何方法
O
y
A(5,1)
x
E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
【归纳 ) ( y b) r
2 2 2 2 2
4 将 （ II ） 代 入 主 动 点 Q 的 轨 迹 方 程 （ 已 知 曲 线 的 方 程 ） ，
化简得被动点的轨迹方程。
例题3 已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离
之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线.
解：设M（x，y）是曲线上的任意一点, 则点M所属集合为：
（3） x y 2 a x b 0
2 2 2
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x y D x E y F 0( D E 4 F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
圆的一般方程
2+y2+Dx+Ey+F=0 x M(x,y) O C
复习回顾:
圆的标准方程？
x a
2
y b r
2
2
其中,圆心的坐标是
半径大小是
2 2
a , b
r
2 2 2
将标准方程展开会得到怎样的式子呢？
x y 2 ax 2 by a b r
其中a，b，r均为常数 思 考
1 2 D E 4F )
2 2
）为圆心，
为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2 D E y=-E/2，表示一个点（ , ）
2 2
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解， 所以不表示任何图形。
1.圆的一般方程: 2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） x (x-a)2+(y-b)2=r2 2.圆的标准方程:
方程（1）并不一 定表示圆
（2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
思 考
方程x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1) 在什 么条件下表示圆？
D 2 ) (y
2
配方可得： x (
E 2
)
2
D E 4F
2 2
4
D 2 , E 2
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 以(
x y Dx Ey F 0
2 2
（1）
探 究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？
尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0 （3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3
2 2
( A ) 4 , 6 ,3
( B ) 4 , 6 ,3
(C ) 4 ,6 , 3
( D ) 4, 6 , 3
2 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是， 请求出圆的圆心及半径。
（1） x y 2 4 x 4 y 6 0
2 2
（2） 4 x 4 y 4 x 1 2 y 1 1 0
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=
D 2
，b=
E 2
，r=
1 2
D E 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
应 用 1 已知圆 x y Dx Ey F 0 的圆心坐 标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 D
P
y
M
OM AM
1 2
1 2
2
即：
x y
2 2
2
.
C -1
o
( x 3) y
2
x
整理化简得： x y 2 x 3 2 2 配方得： ( x 1) y 4
2
0
所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图）
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0 （1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只 E D 2+E2-4F>0时，方程表示圆心 ， 为半径为 有D 2 2
列关于a，b，r （或D，E，F）的方程组
(或x y Dx Ey F 0)
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
2.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
2 2
即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r (r 0)
2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) (1 b ) r a 2 2 2 2 (7 a ) ( 3 b ) r b 3 (2 a )2 (8 b)2 r 2 r 5
2 2 2
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在 圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程，
相关点法
相关点法步骤：
1 设 被 动 点 M （ x , y ） , 主 动 点 Q （ x 0 , y 0） I
x f1 x 0 , y 0 2求 出 点 M与 点 Q坐 标 间 的 关 系 （ II ） y f 2 x0 , y0 x0 g1 x , y 3 从 I 中 解 出 y0 g 2 x, y
r 1 D E 4F
2 2
2
配方
2.一般方程
展开
标准方程
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业
A组1、6，B组1、2、3
0
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
x y 2 ax 2 by a b r
2 2 2 2
2
0
由于a,b,r均为常数
令 2 a D , 2 b E , a b r
2 2 2
F
x y Dx Ey F 0
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
5 1 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7 D E F 0 22 82 2 D 8E F 0
2 2
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4 x 6 y 12 0
2 2
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三： 几何方法
O
y
A(5,1)
x
E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
【归纳 ) ( y b) r
2 2 2 2 2
4 将 （ II ） 代 入 主 动 点 Q 的 轨 迹 方 程 （ 已 知 曲 线 的 方 程 ） ，
化简得被动点的轨迹方程。
例题3 已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离
之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线.
解：设M（x，y）是曲线上的任意一点, 则点M所属集合为：