刚架结构静力分析的传递矩阵法
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结构力学10第十章.矩阵位移法
2
6 EI F 2 l
1e 1 e M e 2 EI y 2
l
x
19
F EA / l 1
e x1
EI l
Fxe2 EA / l 2
y
e
x u 1
e 2
12 EI M e 6 EI 1 Fye1 3 l2 l l EI 1
2
e 2
12 EI F 3 l
F
e
M 1e e M 2
e
1e e 2
连续梁单元的杆端无线位移。
6
2）平面刚架单元
F
e x1
Fye 1
F
e y1
Fxe 1 1e M 1e M 1
x
e
2
v1e 1
1
u1e
v
e 1
x
e 2
y
y
单元杆端力
同理有
{}e [T ]{}e
[T ]称为单元坐标转换矩阵。14对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：
cos sin [T ] 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
单元局部坐标系
结构整体坐标系
8
3）桁架单元
F
e
Fxe 1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e
u1e e v1 e u2 v e 2
F
e
Fxe1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e e e e Fxe , Fye1 , u1 , v2 , Fxe2 , Fye2 , u2 , v2 1
《动力学分析中的传递矩阵法》
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
横向振动微分方程：
直管横向运动的单元传递矩阵
4 4矩阵
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
同时考虑直管单元的轴向振动和横向振动，则单元的场 传递矩阵为：
8 8矩阵
三、传递矩阵法应用举例
3.2 输液管道的传递矩阵法
弯曲处的点传递矩阵为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
分离变量，将偏微分方程转化为常微分方程，求其通解
u( x, t ) U ( x)e it
U ( x) C cos x D sin x
由通解求出状态矢量中其他状态矢量。
Fu ( x) ES dU ( x) CES sin x DES cos x dx
三、传递矩阵汇报提纲
一、传递矩阵法原理 二、传递矩阵法计算步骤
三、传递矩阵法应用举例
一、传递矩阵法原理
传递矩阵法属于一种半解析数值方法。基本思想是把整体结 构离散成若干个子单元的对接与传递的力学问题，建立单元 两端之间的传递矩阵，利用矩阵相乘对结构进行静力及动力 分析。 其应用领域涵盖结构的静力分析、动力特性分析（模态分析 、稳定性分析）。 传递矩阵法具有力学概念清晰，逻辑性强，建模灵活，计算效 率高，无需建立系统的总体动力学方程等优点，尤其是可以方 便地进行输流管道系统受迫振动响应的计算。
对于管单元i左侧节点而言，x=0。
U ( x) C [ B ( x 0)]1 D Fu ( x) L
对于管单元i右侧节点而言，x=l。
U ( x) C [ B( x l )] F ( x) R D u
《动力学分析中的传递矩阵法》教学文案
汇报人：杨行
汇报提纲
一、传递矩阵法原理 二、传递矩阵法计算步骤 三、传递矩阵法应用举例
一、传递矩阵法原理
传递矩阵法属于一种半解析数值方法。基本思想是把整体结 构离散成若干个子单元的对接与传递的力学问题，建立单元 两端之间的传递矩阵，利用矩阵相乘对结构进行静力及动力 分析。 其应用领域涵盖结构的静力分析、动力特性分析（模态分析 、稳定性分析）。
传递矩阵法具有力学概体动力学方程等优点，尤其是可以方 便地进行输流管道系统受迫振动响应的计算。
一、传递矩阵法原理
核心在于传递，传递矩阵指的是每个单元的左右两端状态矢量 之间的关系，实则是一个线性方程组。传递矩阵包括场矩阵和 点矩阵（集中质量、分支点、坐标转换点）。
2u t2
a2
2u x2
分离变量，将偏微分方程转化为常微分方程，求其通解
u(x,t)U(x)eit
U (x ) C c o x sD six n
由通解求出状态矢量中其他状态矢量。
F u (x ) Ed d S (x U )x C E sS ix n D EcS o xs
写成矩阵形式。
U (x )c o sx s inx C C F u (x ) E S s inxE S c o sx D [B (x )] D
则场传递矩阵为：
JXB(x)B1(0)
cosx E Ssinx
sinx 1 E Scosx 0
0 E S 1 E cS ossinxx
c 1 E o S s sin xx
三、传递矩阵法应用举例
3.1 管柱结构的传递矩阵法
边界条件：一端固定，一端自由
Z1,00
FT u1,0
Z(x)B(x)a
消去未知参数a， 总的关系式为： 得出传递矩阵：
汇报提纲
一、传递矩阵法原理 二、传递矩阵法计算步骤 三、传递矩阵法应用举例
一、传递矩阵法原理
传递矩阵法属于一种半解析数值方法。基本思想是把整体结 构离散成若干个子单元的对接与传递的力学问题，建立单元 两端之间的传递矩阵，利用矩阵相乘对结构进行静力及动力 分析。 其应用领域涵盖结构的静力分析、动力特性分析（模态分析 、稳定性分析）。
传递矩阵法具有力学概体动力学方程等优点，尤其是可以方 便地进行输流管道系统受迫振动响应的计算。
一、传递矩阵法原理
核心在于传递，传递矩阵指的是每个单元的左右两端状态矢量 之间的关系，实则是一个线性方程组。传递矩阵包括场矩阵和 点矩阵（集中质量、分支点、坐标转换点）。
2u t2
a2
2u x2
分离变量，将偏微分方程转化为常微分方程，求其通解
u(x,t)U(x)eit
U (x ) C c o x sD six n
由通解求出状态矢量中其他状态矢量。
F u (x ) Ed d S (x U )x C E sS ix n D EcS o xs
写成矩阵形式。
U (x )c o sx s inx C C F u (x ) E S s inxE S c o sx D [B (x )] D
则场传递矩阵为：
JXB(x)B1(0)
cosx E Ssinx
sinx 1 E Scosx 0
0 E S 1 E cS ossinxx
c 1 E o S s sin xx
三、传递矩阵法应用举例
3.1 管柱结构的传递矩阵法
边界条件：一端固定，一端自由
Z1,00
FT u1,0
Z(x)B(x)a
消去未知参数a， 总的关系式为： 得出传递矩阵：
结构力学矩阵位移法
k的单位转角引起的j端弯矩用
k jk 表示，k端弯矩用 k kk 表示，放在劲度矩阵第二列；
k(1)k(2)k(3) k kk jjj
k kk jk k 2 4ii
2i 4i
21
K1是 1 1自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K1
1.位移法作结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图 矩阵位移法将结点位移引起的杆端力放在单元劲度 矩阵中。
2.位移法从结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图中取出结点作为脱离体，由脱离体的力平衡条件 求得附加约束反力，即整体劲度系数。
矩阵位移法由单元劲度矩阵集合成整体劲度矩阵。
10
位移法和矩阵位移法求自由项系数的方法有何不同？
11
背：位移法矩阵位移法整体结点位移正负号规定？
整体结点位移，矩阵位移法中与整体坐标方向一 致为正。位移法中角位移顺钟向为正，线位移无 规定。
12
第二专题： 只有转角未知量的连续梁的矩阵位移法
13
用位移法和矩阵位移法求图示连续梁的杆端弯矩
FP1 FP FP2 2FP ql FP
14
背：位移法和矩阵位移法的基本系-结点转角处附加刚臂
K21kk(2j) 2i
23
K12是2自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K12的形成
矩阵位移法：与1和2自由度都 有关的单元单元只有(2)单 元，1自由度对应(2)单元的 j端，2自由度对应(2)单元 的k端，故：
K12k(j2k) 2i
24
K22是2自由度发生单2自 位由 转度 角引 在起的刚
5
背：为什么矩阵位移法比位移法可能有更多的独立的 结点线位移作为基本未知量?
k jk 表示，k端弯矩用 k kk 表示，放在劲度矩阵第二列；
k(1)k(2)k(3) k kk jjj
k kk jk k 2 4ii
2i 4i
21
K1是 1 1自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K1
1.位移法作结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图 矩阵位移法将结点位移引起的杆端力放在单元劲度 矩阵中。
2.位移法从结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图中取出结点作为脱离体，由脱离体的力平衡条件 求得附加约束反力，即整体劲度系数。
矩阵位移法由单元劲度矩阵集合成整体劲度矩阵。
10
位移法和矩阵位移法求自由项系数的方法有何不同？
11
背：位移法矩阵位移法整体结点位移正负号规定？
整体结点位移，矩阵位移法中与整体坐标方向一 致为正。位移法中角位移顺钟向为正，线位移无 规定。
12
第二专题： 只有转角未知量的连续梁的矩阵位移法
13
用位移法和矩阵位移法求图示连续梁的杆端弯矩
FP1 FP FP2 2FP ql FP
14
背：位移法和矩阵位移法的基本系-结点转角处附加刚臂
K21kk(2j) 2i
23
K12是2自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K12的形成
矩阵位移法：与1和2自由度都 有关的单元单元只有(2)单 元，1自由度对应(2)单元的 j端，2自由度对应(2)单元 的k端，故：
K12k(j2k) 2i
24
K22是2自由度发生单2自 位由 转度 角引 在起的刚
5
背：为什么矩阵位移法比位移法可能有更多的独立的 结点线位移作为基本未知量?
《结构力学》第9章矩阵位移法.
3.结点位移整体编码
对结构整体建立坐标系oxyz，则每个结点都有确定的位置坐标。
下标I表示结点编号，上标T表示矩阵转置。
结构力学
对结构所有的结点位移，统一用矢量Δ表示，称为结构整体位 移，简称结构位移或整体位移。Δ中各分量的顺序首先是结点 编号，然后是每个点本身的x,y,z顺序，即
对应结点载荷用矢量F表示，它的排序与位移排序相同
整体坐标系下单元杆端力与杆端位移间的关系—刚度方程： 简写为 其中Ke称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
结构力学
9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵
上式称为结构的整体刚度方程，其中K称为结构的整体刚度 矩阵。
总体刚度矩阵是一个方阵，其阶数与结构结点位移分量总 数相同。它的分量是由单元刚度矩阵的系数叠加构成的。叠加 规律是：单元刚度矩阵的元素，按照它所处的局部行和列号， 对应单元的定位向量，在总刚度矩阵中落到新的行和列上。 总刚度矩阵的特点： (1)刚度矩阵的系数是物理量，由结构本身的长度、截面尺寸、 材料性质、连接方式等决定，与载荷、变形等量无关。 (2)总刚度系数kij表示结构沿第j个整体结点位移方向产生单位 位移Δj=1，其他所有结点位移等于0时，在第i结点位移方向所 需要施加的力(与传统位移法相同)。
结构力学
9.5 非结点荷载的等效化
计算步骤： 1. 在局部坐标系下计算单元的等效载荷 2. 将固端力转换到结构(整体)坐标系 3. 等效结点载荷FP
结构力学
9.6 计算步骤和算例
矩阵位移法的基本步骤如下：
(1)整理原始数据，对结点位移进行整体编码，得到单元定位向量等。 直接的结点载荷按它对应的结点位移编码，直接计入整体结点载荷向量 F中。 (2)单元分析，先形成局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，用式(9-10)。 再形成整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke，用式(9-24)。 (3)整体分析，依定位向量，将单元刚度矩阵“对号入座”集成总刚度 矩阵K。
对结构整体建立坐标系oxyz，则每个结点都有确定的位置坐标。
下标I表示结点编号，上标T表示矩阵转置。
结构力学
对结构所有的结点位移，统一用矢量Δ表示，称为结构整体位 移，简称结构位移或整体位移。Δ中各分量的顺序首先是结点 编号，然后是每个点本身的x,y,z顺序，即
对应结点载荷用矢量F表示，它的排序与位移排序相同
整体坐标系下单元杆端力与杆端位移间的关系—刚度方程： 简写为 其中Ke称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
结构力学
9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵
上式称为结构的整体刚度方程，其中K称为结构的整体刚度 矩阵。
总体刚度矩阵是一个方阵，其阶数与结构结点位移分量总 数相同。它的分量是由单元刚度矩阵的系数叠加构成的。叠加 规律是：单元刚度矩阵的元素，按照它所处的局部行和列号， 对应单元的定位向量，在总刚度矩阵中落到新的行和列上。 总刚度矩阵的特点： (1)刚度矩阵的系数是物理量，由结构本身的长度、截面尺寸、 材料性质、连接方式等决定，与载荷、变形等量无关。 (2)总刚度系数kij表示结构沿第j个整体结点位移方向产生单位 位移Δj=1，其他所有结点位移等于0时，在第i结点位移方向所 需要施加的力(与传统位移法相同)。
结构力学
9.5 非结点荷载的等效化
计算步骤： 1. 在局部坐标系下计算单元的等效载荷 2. 将固端力转换到结构(整体)坐标系 3. 等效结点载荷FP
结构力学
9.6 计算步骤和算例
矩阵位移法的基本步骤如下：
(1)整理原始数据，对结点位移进行整体编码，得到单元定位向量等。 直接的结点载荷按它对应的结点位移编码，直接计入整体结点载荷向量 F中。 (2)单元分析，先形成局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，用式(9-10)。 再形成整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke，用式(9-24)。 (3)整体分析，依定位向量，将单元刚度矩阵“对号入座”集成总刚度 矩阵K。
结构力学 矩阵位移法课件
3
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
土木工程专业系列教材—结构力学
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矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
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确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
矩阵位移法和位移法的异同
矩阵位移法和位移法的异同引言矩阵位移法和位移法是结构力学中常用的分析方法，用于计算结构的变形和应力。
它们在工程领域广泛应用，可以帮助工程师设计和优化各种结构。
本文将介绍矩阵位移法和位移法的基本原理、计算步骤以及它们之间的异同。
矩阵位移法矩阵位移法是一种基于刚体平衡原理和弹性力学理论的结构分析方法。
它通过建立结构的刚度矩阵和载荷向量的关系方程组，求解未知节点位移，从而得到结构的变形、应力等参数。
原理矩阵位移法基于以下两个基本原理： 1. 刚体平衡原理：结构在平衡状态下，任何一个节点受力的合力为零。
2. 弹性力学原理：结构内部材料满足胡克定律，即应力与应变成正比。
计算步骤矩阵位移法主要包括以下几个步骤： 1. 建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料性质，通过积分或近似方法计算出单元的刚度矩阵。
2. 组装整体刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照节点自由度的顺序组装成整体刚度矩阵。
3. 施加边界条件：根据实际情况，确定某些节点的位移或受力边界条件。
4. 求解位移向量：根据结构的平衡方程和边界条件，建立节点位移与载荷之间的关系方程组，并求解未知节点位移。
5. 计算应力和变形：根据已知位移和单元刚度矩阵，计算结构中各个点的应力和变形。
优点矩阵位移法具有以下优点： 1. 精确性高：通过建立精确的刚度矩阵和载荷向量关系方程组，可以得到精确的结构变形和应力分布。
2. 适用范围广：适用于各种结构类型，包括梁、板、壳等。
3. 可扩展性强：可以通过增加单元数量或自由度来提高计算精度。
位移法位移法是一种基于虚位移原理的结构分析方法。
它通过假设结构发生微小位移，建立虚位移与内力的关系，从而求解结构的变形和应力。
原理位移法基于以下两个基本原理： 1. 虚位移原理：假设结构发生微小位移，使得结构内部势能函数最小。
2. 弹性力学原理：结构内部材料满足胡克定律，即应力与应变成正比。
计算步骤位移法主要包括以下几个步骤： 1. 建立虚位移场：根据虚位移原理，建立虚位移场，并将其表示为一组未知系数乘以已知基函数的形式。
传递矩阵法在悬浮隧道纵向静力分析中的应用
０ ０ ｌ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ｌ ｌ
（ ｌ＋／）／Ｅ ／ ｇ６ ￣ Ｉ ３ Ｌ（ ）
（ １＋／）／ Ｉ ／ ｑ２ ￣Ｅ） ２ Ｌ（
０ ｌ
图 ２ 锚 链 式 定 位 系统
２ 传 递矩 阵法 的基本 原 理
２ １ 状 态 矢 量 ．
３ 算
例
悬浮 隧道结构体 系 的静力计 算可 按横 向和竖 向分别进 行 ：管段 横向 ，稳 定 流 的作用 可按 静力 考虑 ；竖 向 主要 有
重力 和浮 力。限 于篇 幅 ，仅列 出竖 向分 析 的内容 ，其 过程 与结论对 横向分析同样适用 。
一
。。
弹 性 铰
假设 ：悬 浮隧道总长 １ ０ ０ｍ，１ ０ ０节管段 ，每节 １０ｍ； ０
如图 １将结构 离散 为 ｎ个单 元 （ ， 单元 划 分 的依据 为约 束 和接头处 ） 。单元之 间通过 节点 联系 ， 节点 处 的状态参 数
四川建 筑
第２ ７卷 ４期
２０ 。８ ０ ７０
维普资讯
式中： ” “ 右边为按式 （） ２ 无量纲化 的传递矩阵 ， 下同 。
弹性支撑
管段抗弯 刚度 Ｅ ＝１５ １Ｘ１ ｋ ｍ ；管段 接 头弯 曲刚度 １ ３ ． ０ Ｎ・ ｋ ＝ ． ０ Ｎ・ ／ａ ；按 式 （ ）计 算 的 Ｆ ＝６ ． Ｎ， ０ ５Ｘ１ ｋ ｍ ｒｄ １ ９３ｋ
法 的 累积 误 差 。
【 关键词 】 悬浮隧道 ； 传递矩 阵； 弹性铰 【 中图分 类号】 Ｕ ５． ４９９
悬 浮隧道是一种 尚在研究 探索 中 的穿越水 域 的交通新 概念 。它一般 由悬 浮在 水 中一 定深 度 的用 于满 足交 通功能 要求 的管状结 构 、 防止过 大位移 的水 上或水 下 的定 位 系统 、 管段间接头 以及 和两 岸相连 的驳岸 结构 组成 。这 样 的结构
（ ｌ＋／）／Ｅ ／ ｇ６ ￣ Ｉ ３ Ｌ（ ）
（ １＋／）／ Ｉ ／ ｑ２ ￣Ｅ） ２ Ｌ（
０ ｌ
图 ２ 锚 链 式 定 位 系统
２ 传 递矩 阵法 的基本 原 理
２ １ 状 态 矢 量 ．
３ 算
例
悬浮 隧道结构体 系 的静力计 算可 按横 向和竖 向分别进 行 ：管段 横向 ，稳 定 流 的作用 可按 静力 考虑 ；竖 向 主要 有
重力 和浮 力。限 于篇 幅 ，仅列 出竖 向分 析 的内容 ，其 过程 与结论对 横向分析同样适用 。
一
。。
弹 性 铰
假设 ：悬 浮隧道总长 １ ０ ０ｍ，１ ０ ０节管段 ，每节 １０ｍ； ０
如图 １将结构 离散 为 ｎ个单 元 （ ， 单元 划 分 的依据 为约 束 和接头处 ） 。单元之 间通过 节点 联系 ， 节点 处 的状态参 数
四川建 筑
第２ ７卷 ４期
２０ 。８ ０ ７０
维普资讯
式中： ” “ 右边为按式 （） ２ 无量纲化 的传递矩阵 ， 下同 。
弹性支撑
管段抗弯 刚度 Ｅ ＝１５ １Ｘ１ ｋ ｍ ；管段 接 头弯 曲刚度 １ ３ ． ０ Ｎ・ ｋ ＝ ． ０ Ｎ・ ／ａ ；按 式 （ ）计 算 的 Ｆ ＝６ ． Ｎ， ０ ５Ｘ１ ｋ ｍ ｒｄ １ ９３ｋ
法 的 累积 误 差 。
【 关键词 】 悬浮隧道 ； 传递矩 阵； 弹性铰 【 中图分 类号】 Ｕ ５． ４９９
悬 浮隧道是一种 尚在研究 探索 中 的穿越水 域 的交通新 概念 。它一般 由悬 浮在 水 中一 定深 度 的用 于满 足交 通功能 要求 的管状结 构 、 防止过 大位移 的水 上或水 下 的定 位 系统 、 管段间接头 以及 和两 岸相连 的驳岸 结构 组成 。这 样 的结构
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
结构力学 矩阵位移法
K
e
1
e
K 2） 是对称矩阵 K 的对称性是指其元素有如下关系：
e e
k
e ( i )( j )
k
e ( j )(i )
（11－7）
这实际上是根据反力互等定理得 出的结论。
3）K 一般单元的是奇异矩阵 K的奇异性是指其行列式等于零，即
e e
K 0
e
（11－8）
直接计算式（11－6）的矩阵行列 式，便可验证上述结论。
（11－9）
此时单元刚度矩阵为
4 EI l e K 2 EI l 2 EI l 4 EI l
（11－10）
返回
在结构矩阵分析中，我们着眼于计 算过程的程序化、标准化和自动化。 因此只采用一种标准化形式—一般 单元的刚度矩阵（11－6），关于 单元刚度矩阵的各种特殊形式将由 计算机程序去自动形成。
图11—4
返回
u1 v1 u 2 v2 0
（a）
将式（a）代入式（11－4），即自动得出此特 殊单元的刚度方程如下：
M 1 M 2
e
4 EI 2 EI e l l 1 2 EI 4 EI 2 l l
K 由此可知， 不存在逆矩阵。也就是 说，根据单元刚度方程（11－5）， e 可以由杆端位移 推算出杆端力 F 且 F 的解是唯一解；但不能由杆端 力 F 反推出杆端位移 ， 可能无解， 如有解，则为非唯一解。
e e e e e e
为了避免混淆，我们把正反两个问 题再从数学提法、力法模型、解的 性质等方面作一对比。见下表：
首先，由杆端轴向位移 u1
e EA e F (u 1 u 2 ) l e e EA e F x2 (u 1 u 2 ) l e x1
e
1
e
K 2） 是对称矩阵 K 的对称性是指其元素有如下关系：
e e
k
e ( i )( j )
k
e ( j )(i )
（11－7）
这实际上是根据反力互等定理得 出的结论。
3）K 一般单元的是奇异矩阵 K的奇异性是指其行列式等于零，即
e e
K 0
e
（11－8）
直接计算式（11－6）的矩阵行列 式，便可验证上述结论。
（11－9）
此时单元刚度矩阵为
4 EI l e K 2 EI l 2 EI l 4 EI l
（11－10）
返回
在结构矩阵分析中，我们着眼于计 算过程的程序化、标准化和自动化。 因此只采用一种标准化形式—一般 单元的刚度矩阵（11－6），关于 单元刚度矩阵的各种特殊形式将由 计算机程序去自动形成。
图11—4
返回
u1 v1 u 2 v2 0
（a）
将式（a）代入式（11－4），即自动得出此特 殊单元的刚度方程如下：
M 1 M 2
e
4 EI 2 EI e l l 1 2 EI 4 EI 2 l l
K 由此可知， 不存在逆矩阵。也就是 说，根据单元刚度方程（11－5）， e 可以由杆端位移 推算出杆端力 F 且 F 的解是唯一解；但不能由杆端 力 F 反推出杆端位移 ， 可能无解， 如有解，则为非唯一解。
e e e e e e
为了避免混淆，我们把正反两个问 题再从数学提法、力法模型、解的 性质等方面作一对比。见下表：
首先，由杆端轴向位移 u1
e EA e F (u 1 u 2 ) l e e EA e F x2 (u 1 u 2 ) l e x1
结构力学讲义ppt课件
x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法
用数字描述体系的位置，单元的属性。
10 / 105
第六章
例如
单元 FP
矩阵位移法
3(5,6)FP
2
1
2
2
结点
1
1(1,2) 单元方向 1
1
2(3,4)
2
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
11 / 105
9 / 105
第六章
矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干 个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用 此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。 模型和原结构是有差别的，这个差别可以通 过单元的适当选取给予降低。 主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的 变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构 划分成一系列只在结点相连的单元集合。
EA l e
矩阵位移法
0
6 EI l2 4 EI l
0
12 EI l3 6 EI l2
EA l
0 12l EI 3 6lEI 2 0
12 EI l3 6 EI l2
0 0
EA l
0 12l EI 3
6 EI l2
0 6lEI 2
2 EI l
0 0
0 1 6 EI l2 2 2 EI 3 l 0 4 6lEI 5 2 4 EI 6 l
单元刚度方程
F k
e e
e
结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法解析
FP 结点
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
1
1
3(5,6)FP
2 2
2
1
1(1,2)
2(3,4)
单元方向 1 2
11 / 105
第六章 矩阵位移法 §6-2 单元刚度方程
建立单元的结点力和结点位移之间关系的过 程称单元分析，形成的方程称单元刚度方程。
6EI l2 2 EI l
12EI l3
6EI l2 12 EI l3
6EI l2
6 EI l2 2 EI l
6EI l2 4 EI l
1 2 3 4
e
刚度方程
18 / 105
第六章 矩阵位移法
12 EI
l3 6EI
k
e
l2
12EI l3
6 EI l2
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计 算自动化和通用性强，目前广为采用。
6 / 105
第六章 矩阵位移法
二、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
三、结构矩阵分析的基本思路
化整为零
（单元分析）
集零为整
（结点力平衡、位移协调）
7 / 105
第六章 矩阵位移法
四、拟解决的问题
6EI l2
1
4EI l
2
6EI l2
3
2EI l
4
F3e
12EI l3
1
6EI l2
2
12EI l3
3
6EI l2
4Hale Waihona Puke F4e6EI l2
结构力学 4静定结构受力分析-刚架
P
Ph Ph a
P
h Ph a
集中力偶作用处无变化发生突变两直线平行集中力偶作用点弯矩无定义荷载不符注意这个铰该处支座反力沿着杆件轴线方向不产生弯矩铰上无弯矩集中力偶处弯矩有突变弯矩图正误判断作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件
静定结构受力分析
几何特性： 无多余联系的几何不变体系 几何特性： 静力特征： 仅由静力平衡条件可求全部反力、内力。 静力特征： 求解一般原则: 求解一般原则:从几何组成入手，按组成的相反 顺序进行逐步分析即可 本章内容： 静定梁；静定刚架 静定刚架； 三铰拱；静定 本章内容： 静定刚架 桁架；静定组合结构；静定结构总论 学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是 学习中应注意的问题： 后面学习的基础，十分重要, 要熟练掌握！
几点说明 刚架内力仍然可以利用q、Q、M微分关系。 微分关系。 内力符号规定： 内力符号规定： N —— 拉力为正 Q —— 使杆段顺时针转动为正 M —— 绘在受拉一边 内力记号： 内力记号： NAB ——AB杆A端的轴力。 端的轴力。 杆 端的轴力 QAB——AB杆A端的剪力。 端的剪力。 杆 端的剪力 MAB ——AB杆A端的弯矩。 端的弯矩。 杆 端的弯矩
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处
M
集中力作用 力无
集中力偶作用点 无
判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。 判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。
P D ↓↓↓↓↓↓↓↓ P D q ↓↓↓↓↓↓↓↓
×
B
C
×
E （a）
弯矩 图与 荷载 不符
B
C
q
A
A （b）
E
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×
刚架结构振动特性分析的精细传递矩阵法
ｒ ，、
（） ８
（） ９
舞＝ 训
（） ３
如全 梁划分成 段 ， 则有 ：
Ｓ ＝ １ Ｔ Ｌ Ｓ ＝Ｔ ０ Ｌ Ｔ１ ｏ Ｓ
将式 （） ２ 写成 矩 阵 的 形 式 为 ：
：
其中， Ｔ为梁 的总体传递 矩阵。
将结 构 的 两 端 边 界 条 件 引入 式 （ ） 到 频 率 方 程 ： （ ） ， ９得 ｆ ＝０
３ 自振频 率 的求解
图 １ 直 梁 横 向 自 由振 动 图
各段梁的传 递矩 阵确定之后 ， 任一段 的状态 向量可 由式 （ ） ８ 求
得：
由 结 构 的 几 何 、 理条 件 ｌ 得 ： 物 ４ ｊ
ｄｕ ｄ ｘ ｄ Ｍ ｄ Ｅ１ ｘ
＝ Ｅ１
Ｓ ＝ ＴＴｉ１ ＴＬ Ｓ ｉ 一 Ｌ Ｔ１ ０
第 ３ ６卷 第 １ ２期 ２０ １ ０ 年 ４ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖ０ ３ Ｎｏ １ １ ６ ．２
Ａｐ． ２ １ ｒ ００
・６ ・ １
文 章 编 号 ：０ ９６ ２ （０ ０ １ —０ １０ １ ０ —８５ ２ １ ）２０ ６ —２
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣｒＵＲＩ
Ｖｌ． ０ ３６Ｎｏ １ 】 ．２
Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０１
Ａ Ｓ
运用 频率搜索法 即可求 出各 阶振 动频 率 ，Ｊ ： 。 （ ＝ｌ ｎ）
Ｆ＇ ， Ｅ， ， Ａ ，
ｌ ７ ｒ ０ １ ０ ｏ Ｊ
０ Ａ ０
ｒ ｌｕ
１ ０
０ 。 ０ １ｌ
ｌ ０ ２ ０
＿ Ｑ
（） ４
（） ８
（） ９
舞＝ 训
（） ３
如全 梁划分成 段 ， 则有 ：
Ｓ ＝ １ Ｔ Ｌ Ｓ ＝Ｔ ０ Ｌ Ｔ１ ｏ Ｓ
将式 （） ２ 写成 矩 阵 的 形 式 为 ：
：
其中， Ｔ为梁 的总体传递 矩阵。
将结 构 的 两 端 边 界 条 件 引入 式 （ ） 到 频 率 方 程 ： （ ） ， ９得 ｆ ＝０
３ 自振频 率 的求解
图 １ 直 梁 横 向 自 由振 动 图
各段梁的传 递矩 阵确定之后 ， 任一段 的状态 向量可 由式 （ ） ８ 求
得：
由 结 构 的 几 何 、 理条 件 ｌ 得 ： 物 ４ ｊ
ｄｕ ｄ ｘ ｄ Ｍ ｄ Ｅ１ ｘ
＝ Ｅ１
Ｓ ＝ ＴＴｉ１ ＴＬ Ｓ ｉ 一 Ｌ Ｔ１ ０
第 ３ ６卷 第 １ ２期 ２０ １ ０ 年 ４ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣＴＵＲＥ
Ｖ０ ３ Ｎｏ １ １ ６ ．２
Ａｐ． ２ １ ｒ ００
・６ ・ １
文 章 编 号 ：０ ９６ ２ （０ ０ １ —０ １０ １ ０ —８５ ２ １ ）２０ ６ —２
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣｒＵＲＩ
Ｖｌ． ０ ３６Ｎｏ １ 】 ．２
Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０１
Ａ Ｓ
运用 频率搜索法 即可求 出各 阶振 动频 率 ，Ｊ ： 。 （ ＝ｌ ｎ）
Ｆ＇ ， Ｅ， ， Ａ ，
ｌ ７ ｒ ０ １ ０ ｏ Ｊ
０ Ａ ０
ｒ ｌｕ
１ ０
０ 。 ０ １ｌ
ｌ ０ ２ ０
＿ Ｑ
（） ４
结构力学讲义_图文
三、 荷载
1. 按荷载作用时间长短可分为： 恒载——永久作 用在结构上的荷载。如自重等。 活载——荷载有时作用在结构上，有时又不作 用在结构上。如：楼面活荷载，雪荷载。
36
固定荷载——作用位置不变的荷载，如自重等。 移动荷载——荷载作用在结构上的位置是移动 的，如吊车荷载、桥梁上的汽车和火车荷载。
III
A 刚片II,III——用铰C连接
II
4. 规律4—— 两个刚片之间的连接
C
两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则
组成几何不变体系且无多余约束。 A
I 被约束对象：刚片 I，II
提供的约束：链杆1，2，3
12
3
II
14
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2
II
a)
A
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
数x、y、φ 。 4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
y
y
x
φ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2 ,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
1. 按荷载作用时间长短可分为： 恒载——永久作 用在结构上的荷载。如自重等。 活载——荷载有时作用在结构上，有时又不作 用在结构上。如：楼面活荷载，雪荷载。
36
固定荷载——作用位置不变的荷载，如自重等。 移动荷载——荷载作用在结构上的位置是移动 的，如吊车荷载、桥梁上的汽车和火车荷载。
III
A 刚片II,III——用铰C连接
II
4. 规律4—— 两个刚片之间的连接
C
两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则
组成几何不变体系且无多余约束。 A
I 被约束对象：刚片 I，II
提供的约束：链杆1，2，3
12
3
II
14
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2
II
a)
A
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
数x、y、φ 。 4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
y
y
x
φ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2 ,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
门式钢架的受力分析实例
门式钢架的受力分析实例一、分析种类：结构力学静力分析二、基本理论：结构矩阵分析是结构力学的一种分析方法。
结构矩阵分析方法认为：结构整体可以看作是由有限个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的力学性能可以比作建筑物中的砖瓦，装配在一起就提供整体结构的力学特性。
有限元法的基本思想是：1.假想把连续系统分割成数目有限的单元，单元只在数目有限的节点相连。
在节点引进等效载荷，代替实际作用与系统的外载荷2.对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则建立求解未知量与节点相互作用之间的关系3.把所有单元的这种特性关系按一定条件集合起来，引入边界条件，构成一组以节点变量为未知量的代数方程组，求解就得到有限个节点处的待求变量所以，有限元法实质上是把具有无限个自由度的联系系统，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合于数值求解的结构型问题静力分析用于求解静力载荷作用下结构的位移和应力等。
静力分析包括线性和非线性分析。
而非线性分析涉及塑性，应力刚化，大变形，大应变，超弹性，接触面和蠕变。
本次分析为结构线性静力分析静力分析计算在固定不变的载荷作用下结构的效应，它不考虑惯性和阻尼的影响，如结构受随时间变化载荷的情况。
可是，静力分析可以计算那些固定不变的惯性载荷对结构的影响（如重力和离心力），以及那些可以近似为等价静力作用的随时间变化载荷。
静力分析用于计算由那些不包括惯性和阻尼效应的载荷作用于结构或部件上引起的位移，应力，应变和力。
固定不变的载荷和响应是一种假定；即假定载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢。
静力分析所施加的载荷包括：l.外部施加的作用力和压力2.稳态的惯性力（如中力和离心力）3.位移载荷4.温度载荷线性静力分析的求解步骤1.建模2.施加载荷和边界条件，求解3.结果评价和分析三、有限元方法及软件：利用位移函数—虚功原理推导梁单元的有限元计算公式第一步：写出单元位移、节点力向量应用软件ansys10.0在ansys产品家族中有七种结构分析的类型。
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