立体几何文10份
文科数学高考立体几何考点总结学习资料
【例 8】 [2013·安徽卷理]如图，圆锥顶点为 P ，底面圆心为 O ，其母线与底面所成的角为 22.5 。 AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦，轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60 。
（Ⅰ）证明：平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求 cos COD 。
C
B
D
A
【例 7】如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的，其
中 AB 4, BC 2,CC1 3, BE 1. （Ⅰ）求 BF 的长； （Ⅱ）求点 C 到平面 AEC1F 的距离.
F D
A
C1
C E B
【例 8】 P ABCD中，ABC BAD 90 ，BC 2AD, PAB与PAD 都是边长为 2 等边三角
【例 5】如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF // AB ,
EF 3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 ，则该多面体的体积为（
）
2
A． 9 Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 15
2
2
E
D A
F
C B
【例 6】在三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球 的表面积为________．
E
A
D
B
C
2、 探究线面垂直与面面垂直： 【例 1】如图，在四棱锥 S -ABCD 中，平面 SAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，且 P 为 AD 的中点，Q 为 SB 的中点，M 为 BC 的中 点． (1)求证：CD⊥平面 SAD； (2)求证：PQ∥平面 SCD； (3)若 SA＝SD，在棱 SC 上是否存在点 N，使得平面 DMN⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
高三文科数学复习之立体几何部分
立体几何（文）一、知识要点：1、能识别三视图所表示的空间几何体；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
2、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（三个推论）.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．4、垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：平行转化： 垂直转化：二、基础训练：1、(2009年广东卷文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】D2、（2009浙江卷文）设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．3、（2008安徽卷4）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） DA ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖4、(2009山东卷文)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 答案:B.5、（2009湖南卷文）平面六面体1111ABCD A B C D -中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6解:用列举法知合要求的棱为：BC 、CD 、11C D 、1BB 、1AA ，故选C6、(2009山东卷)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 232π+ D. 2343π+ 【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为()21232333⨯⨯= 所以该几何体的体积为2323π+. 答案:C 三、典型例题：例1：（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.求证：平面AEC PDB ⊥平面.【解法】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面.例2：（2009广州一模）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，6CD =．求证：//AF 平面PCE ；解：取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，则 F G //CD 21. 又由已知有.//,21//AE FG CD AE ∴ ∴四边形AEGF 是平行四边形..//EG AF ∴ 2 2 侧(左)视2 2 2 正(主)视俯视图= =F E A D B C P FE A D B C P AF 又⊄平面PCE ，EG .PCE 平面⊆PCE AF 平面//∴例3：如图6，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是直角梯形，BC AD //，BAD ∠90º，AD BC 2=．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ，若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AB ．∵ AB ⊥AD ，PA AD A =，∴ AB ⊥平面PAD ，∵ PD ⊂平面PAD ，∴ AB ⊥PD ．（2）法1: 取线段PB 的中点E ，PC 的中点F ，连结DF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 中位线．∴EF ∥BC ，BC EF 21=， ∵ BC AD //，BC AD 21=，∴EF AD EF AD =,//． ∴ 四边形EFDA 是平行四边形， ∴ DF AE //．∵ AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ， ∴ AE ∥平面PCD ．∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点．法2: 取线段PB 的中点E ，BC 的中点F ，连结AF EF AE ,,,则EF 是△PBC 的中位线．∴EF ∥PC ，BC CF 21=， ∵⊄EF 平面PCD , ⊂PC 平面PCD ,∴//EF 平面PCD ． ∵ BC AD //，BC AD 21=，∴CF AD CF AD =,// ∴ 四边形DAFC 是平行四边形， ∴ CD AF //∵ AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ AF ∥平面PDC ．∵F EF AF = ,∴平面//AEF 平面PCD ．∵⊂AE 平面AEF ,∴AE ∥平面PCD ． ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点．四、习题选练：1、（2009东莞一模）若l 为一条直线,γβα,,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:① βαγβγα⊥⇒⊥⊥, ② βγα,⊥∥βαγ⊥⇒ ③ l ∥βαβα⊥⇒⊥l , . 其中正确的命题有（ C ）A.0个B.1个C.2个D.3个2、（2009江苏卷）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；图6（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
(完整word版)文科立体几何平行、垂直加体积
1、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1。
求证:（1）AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D，E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A 1C1⊥A1B1.求证：（1）直线DE∥平面A1C1 F；(2)平面B1D E⊥平面A1C1F。
3、如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E,F ，P,Q,M,N 分别是棱AB ，AD,DD 1,BB 1,A 1B 1，A 1D 1的中点。
求证:(1)直线BC 1∥平面EFPQ; （2）直线AC 1⊥平面PQMN 。
4、如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD,EF 的中点。
(1)求证：BE∥平面DMF; (2）求证:平面BDE∥平面MNG 。
中点, 5、如图，在三棱柱111ABC A B C -中,D 是AC 的于点E ．1A D ⊥平面ABC ,=AB BC ，平面1BB D 与棱11AC 交（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥;（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ； (Ⅲ）求证:1B B DE ∥．EABCB 1C 1A 1D6、如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD,BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A,D不重合）分别在棱AD，BD上,且EF⊥AD。
求证:（1)EF∥平面ABC;（2)AD⊥AC。
7、如图①所示，已知直角△ABC,其中∠ABC=90°,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将△ADE 翻折，使得A与平面ABC外一点P重合，得到如图②所示的几何体.(1)证明:平面PBD⊥平面BCED；（2）记平面PDE与平面PBC的交线为l，探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.8、如图,四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.（1）证明:平面AEC⊥平面BED；（2)若∠ABC=120°,AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.9、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD。
高中文科数学立体几何知识点总结材料
高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理（文科）l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一． 直线和平面的三种地点关系：αm 不重合，则 l // m 。
1. 线面平行l2. 线面平行：α 符号表示：方法一：用线线平行实现。
lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示：方法二：用面面平行实现。
3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示：二． 平行关系：1. 线线平行：方法三：用平面法向量实现。
方法一：用线面平行实现。
若 n 为平面的一个法向量，n l 且 l,则ll //l // 。
ll // mmm方法二：用面面平行实现。
lβ//3. 面面平行：γl l // mαmm方法一：用线线平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l // l 'm // m'//若 l, m，则 l // m 。
l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
C方法二：用线面平行实现。
βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二：计算所成二面角为直角。
α3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
lC AαBlllmmmα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PPOlOAl PA三．垂直关系：A Ol1. 线面垂直：αl方法一：用线线垂直实现。
l AC 方法三：用向量方法：lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ，则 lm 。
AC lAB A AC,AB三． 夹角问题。
(一 )异面直线所成的角：方法二：用面面垂直实现。
(1) 范围： (0 ,90 ](2) 求法：Pβlnmlmlm, lα方法一：定义法。
αAθO步骤 1 ：平移，使它们订交，找到夹角。
步骤 2 ：解三角形求出角。
(常用到余弦定理 )余弦定理：aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二：向量法。
高考立体几何知识点和例题(文科学生用)
高考立体几何知识点总结整体知识框架：一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式chS=直棱柱侧（c是底周长，h是高）S直棱柱表面= c·h+ 2S底V棱柱= S底·h2 、棱锥的结构特征（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch=正棱椎（c为底周长，'h为斜高）体积：13V Sh=棱椎（S为底面积，h为高）正四面体：对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为a22的正方体问题。
对棱间的距离为a22（正方体的边长）正四面体的高a36（正方体体对角线l32=）正四面体的体积为3122a（正方体小三棱锥正方体VVV314=-）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：ll2161=）棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱A BCDPO H正四面体的外接球半径为a 46，外接球半径为a 126，外接球半径a 423 、棱台的结构特征定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
高考立体几何文科大题及答案
（III）设平面 的一个法向量为 ，并设 ＝（
即
取 ，则 ， ，从而 ＝（1，1，3）
取平面 D的一个法向量为
故二面角 的大小为
9、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC BD。
SD 平面ＡＢＣＤ， BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC BE.
(II)解法1： SD 平面ABCD，ＣＤ 平面ＡＢＣＤ， SD CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
连接cqdp分别是abae的中点所以所以dcpqpq平面acddc平面acd所以pq平面acdbqaqbcac所以abcq而dc平面abcdcebeb平面abceb平面abe所以平面abe平面abc所以cq平面abe由知四边形dcqp是平行四边形所以cqdp所以dp平面abe所以直线ad在平面abe内的射影是ap所以直线ad与平面abeapdrtdcacadcaqcqdp所以addpdap4解法1四边形abcd是正方形acbdpdabcd底面pdacac平面pdb平面aecpdb平面设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角分别为dbpb的中点oepdoepd又pdabcd底面oe底面abcdoeao在rtaoeoepdabao45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45解法2如图以d为原点建立空间直角坐标系dxyzacdpacdbacdpacdbac平面pdb平面aecpdb平面pdab设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角eaeoaeoeaeo45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45edabcd在线段ad的垂直平分线上同理点f?在线段bc的垂直平分线上
立体几何(文科专用)(解析版)
专题09 立体几何1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．3．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ． （2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧 几何 体表 面积 与体 积1、空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量。
立体几何(文科)
第16讲：立体几何一、基础知识1、平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2、直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围： 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．7、平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．8、直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a ⊂α⇒a ∥β.9、直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l .10、两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝M ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β；(3)推论：a ∩b ＝M ，a ，b ⊂α，a ′∩b ′＝M ′，a ′，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.11、两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a ⊂α⇒a ∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.12、与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.13、直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．13、斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．14、平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解题技巧1、证明线面与面面平行技巧（1）找中位线（见中点找中点）（2）构造平行四边形（对边平行且相等）（3）利用相似比（边与边成比例关系）（4）利用面面平行转化为线面平行2、证明线面与面面垂直技巧（1）找等腰三角形（作高，三线合一）（2）构造直角三角形（利用三边的平方关系）（3）利用特殊四边形的性质（正方形，菱形对角线互相垂直平分）（4）利用面面垂直的关系（只需要找一条直线垂直于它们的交线）三类证法(1)证明线线垂直的方法。
(word完整版)高中文科数学立体几何部分整理
图第1页高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图1•投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2•三视图一一是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图一一光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图一一光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图一一光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。
（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” •（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3•直观图：3.1直观图一一是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
3.2斜二测法：stepl:在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取xoy 90 ）；step2:画直观图时，把它画成对应的轴o'x',o'y'，取x'o' y' 45 （or 135 ），它们确定的平面表示水平平面；step3:在坐标系x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的—倍•4解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2 ）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示A, B, C分别是A GHI三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）B. C. D.1.3棱柱的性质：① 侧棱都相等，侧面是平行四边形；② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
(完整版)高考文科立体几何证明专题
立体几何专题1．如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 边上的点， AD AE ，F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF 沿 AF 折起，获取如图5 所示的三棱锥A BCF ，其中 BC2 ．2(1) 证明： DE // 平面 BCF ；(2) 证明： CF 平面 ABF ；(3) 2时，求三棱锥 FDEG 的体积 V F DEG ．当 AD3ADGEBFC图 4【剖析】（ 1）在等边三角形ABC 中， ADAEAD AE ,A BCF 中DB在折叠后的三棱锥EC也成立， DE / / BC ,Q DE平面 BCF ，BC 平面 BCF ，DE / / 平面 BCF ；AGEDFCB图 5（2 ）在等边三角形ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AFBC 1 ①， BF CF.2Q 在三棱锥 ABCF 中， BC2， BC 2 BF 2 CF 2 CF BF ②2Q BF CF F CF 平面 ABF ；（ ）由（ ）可知 GE / /CF ，结合（ 2）可得 GE平面 DFG.3 1VF DEGV E1 11 1 1 1 3 13 DFG3 DG FG GF2 3 3 2332423【剖析】 这个题是入门级的题，除了立体几何的内容， 还观察了平行线分线段成比率这个平面几何的内容 .2．如图 5 所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB平面PAD,AB CD,PD=AD,E是PB的中点，F是 DC 上的点且 DF= 1AB,PH 为PAD 中 AD 边上的高．2（1）证明： PH 平面 ABCD ；（2）若PH=1，AD= 2 ,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF平面PAB．解： (1)PH 为PAD中的高PH AD又 AB面PAD，PH平面PADPH ABAB AD A所以PH平面ABCD(2):过 B 点做 BG BG CD ，垂足为 G ；连接 HB, 取 HB 中点 M ，连接 EM ，则 EM 是BPH 的中位线由(1)知： PH平面ABCDEM平面 ABCDＥＭ平面 BCF即 EM 为三棱锥E - BCF底面上的高ＥＭ＝1PH1 22SBCF 1FC ? BG =11 22 222 1V E BCF? S BCF ? EM1 2 13 2 2212.（3）：取 AB 中点 N， PA 中点 Q，连接 EN ， FN ，EQ， DQ AB // CD , CD平面PADAB平面PAD，PA平面PADAB PA又EN 是 PAB 的中位线EN // PAAB EN1又DF AB四边形NADF是距形AB FNEN FN NAB平面NEF又 EF平面NEFEF AB四边形NADF是距形AB NF 3、如图，已知三棱锥 A —BPC 中，AP ⊥ PC ， AC ⊥ BC ，M为 AB 中点， D 为 PB 中点，且△ PMB 为正三角形。
2022年高考 立体几何 (文科)
2022年高考立体几何·模拟试题（文）一、解答题1．（2021·四川南充·一模（文））如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE ． （1）设F 为1CD 的中点，若M 为线段AB 上的一点，满足14AM AB =．求证：MF ∥平面1D AE ； （2）求点B 到平面1CD E 的距离．2．（2021·四川雅安·模拟预测（文））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AA AB BC ===，点F 是1BB 的中点，P 在1CC 上，且3PC =.若过FP 的平面α交1AA 于E ，交1DD 于Q . （1）求证：EF ∥平面PBQ ； （2）求多面体PQEFB 的体积.3．（2021·四川达州·一模（文））如图，AB AC =，AB AC ⊥，D 为BC 中点，1B B ⊥平面ABC ，111B B C C A A ∥∥，111A A C C ==，12BC BB ==.（1）证明：1BC ⊥平面1ADB ； （2）求点C 到平面1ADB 的距离.4．（2021·四川宜宾·模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面,90ABC ABC ∠=，1130,2,BAC A A A C AC E ∠====是AC 的中点．（1）证明：1B E BC ⊥； （2）求三棱锥11B A BC -的体积．5．（2021·四川·绵阳中学模拟预测）如图所示，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，（1）证明：//MN 平面P AD ； （2）若PA AD =，证明：MN ⊥平面PCD .6．（2020·四川成都·一模（文））如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝4，点E 、F 、M 、N 分别为棱CC 1、BC 、BB 1、AA 1的中点．（1）求三棱锥E ﹣AFM 的体积； （2）求证：平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．7．（2021·四川成都·模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，//DC AB ，BC AB ⊥，E 为棱AP 的中点，4AB =，2PA PD DC BC ====． （1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，试求三棱锥P BDE -的体积．8．（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △和BCD △都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，23BC =．（1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．9．（2021·四川省绵阳南山中学模拟预测（文））如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD DC ⊥，22AD DC BC ==，（1）求证：点D 不在平面CEF 内：（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，且2AD =，求点D 到平面CEF 的距离．10．（2021·四川德阳·二模（文））已知在空间儿何体ABCDE 中，ABC 、BCD △、ECD 都是边长为2的正三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .（1）A 、E 、B 、D 四点是否共面？说明理由； （2）求点C 到平面ABE 的距离.11．（2021·四川船山·三模（文））如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为梯形，点O 为AB 上一点，且1122AD DC BC CO CC AB ======，//AB CD ，()12CO CA CB =+． （1）求证：1//C O 平面1ADA ； （2）求点C 到平面1DBC 的距离．12．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD 、直角三角形ABE 和直角三角形CDF 组成的平面图形，其中AB ＝AE ＝DF ＝2，将图形沿AB 、CD 折起使得E 、F 重合于P ，如图2． （1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）判断图2中平面P AB 和平面PCD 的交线l 与平面ABCD 的位置关系，并说明理由．13．（2021·四川宜宾·三模（文））已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，AD ⊥平面PEC . （1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若2AE ED =，在线段PB 上是否存在一点F ，使得//AF 平面PEC ，请说明理由.14．（2021·四川·仁寿一中二模（文））如图所示，ABC 是等边三角形，//DE AC ，//DF BC ，面ACDE ⊥面ABC ，22AC CD AD DE DF =====．（1）求证：EF BC ⊥； （2）求四面体FABC 的体积．15．（2021·四川·石室中学一模（文））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点.（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点； （2）求三棱锥11D A FC -的体积.16．（2021·四川攀枝花·三模（文））如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，且14PA PA =，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，6AB =，8PA =．（1）求证：//DE BC ； （2）求几何体111ABC A B C -的体积．17．（2021·四川·仁寿一中模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1,90,2,3ABC ACB CA CB AA ∠====，D 是棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，且1AD EC ⊥.（1）求三棱锥1E ADC -的体积；（2）在棱BC 上是否存在点F ，满足EF //平面1ADC ，若存在，求出BF 的值.18．（2021·四川·宜宾市翠屏区天立学校模拟预测（文））如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，1,12PD ABCD PD AD AB ⊥===平面，E 为CD 中点． （1）线段PC 上是否存在一点F ，使得BE AF ⊥； （2）在（1）的条件下，求点E 到平面ADF 的距离．19．（2021·四川凉山·三模（文））如图，在圆锥PO 中，AC 为O 的直径，点B 在AC 上，//OD BC ，π6CAB ∠=. （1）证明：AB ⊥平面POD ；（2）若直线PA 与底面所成角的大小为π4，且底面圆的面积为4π，求三棱锥C POD –的体积.20．（2021·四川眉山·三模（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AC AA ==，2BC =，60ACB ∠=，D ，E 分别是11A C ，BC 的中点.（1）判断直线1C E 与平面ABD 的位置关系，并证明你的结论； （2）设F 是BD 的中点，求四棱锥11F B C EB -的体积.21．（2021·四川德阳·三模（文））如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，EC ⊥平面ABCD ､FA ⊥平面ABCD ，G 为BF 的中点.若//EG 平面ABCD .（1）求证：EG ⊥平面ABF ； （2）若2AF AB ==，求多面体ABCDEF 的体积.22．（2021·四川内江·三模（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =. （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）设点G 在PB 上，且23PG PB =，证明：//AG 平面PCD ； （3）在（2）的条件下，判断直线AG 是否在平面AEF 内，并说明理由.23．（2021·四川攀枝花·二模（文））如图，ABC 的外接圆O 的直径2,AB CE =垂直于圆O 所在的平面，//,2,1BD CE CE BC BD ===.（1）求证：平面AEC ⊥平面BCED . （2）若13DM DE =，求三棱锥D ACM -的体积.24．（2021·四川攀枝花·一模（文））如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为3的等腰三角形，E ､F 分别为AB ､PC 的中点. （1）证明：//BF 平面PDE ； （2）求三棱锥E BDF -的体积.25．（2021·四川达州·二模（文））如图的三棱台111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，1111A B B C ⊥，111222AA AB A B BC ====．（1）求证：平面11BCC B ⊥平面11ABB A ；（2）若E ，F 分别为AB ，1CC 的中点，求三棱锥1A AEF -的体积．26．（2021·四川成都·三模（文））如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，EB ED =，//EF AC .（1）求证：平面⊥BDF 平面ACFE ；（2）若2EB =，EA EC =，14EF AC =，求多面体ABCDEF 的体积.27．（2021·四川资阳·二模（文））在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A ，D ，E ，F 四点共面，AF ∥面CDE ．（1）求证：BF ∥面CDE ；（2）若AD =DE =3，AF =1，13EF =，求证：AD ⊥平面CDE ．28．（2021·四川成都·三模（文））如图，三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，其中2AB AC ==，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，F ，M ，N 分别是AB ，AC ，PC ，BC 的中点． （1）证明：平面EMN ⊥平面PAB ； （2）当PF 与平面ABC 所成的角为3π时，求四棱锥A PMNB -的体积．29．（2021·四川泸州·三模（文））在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为BC ，1AB 的中点． （1）证明：//MN 平面11ACC A ；（2）若15AB AC AA ===，2BC =，且1A 在底面ABC 上的正投影恰为点M ，求点A 到平面11BCC B 的距离．30．（2021·四川绵阳·三模（文））如图，四棱锥 B ACDE -中，//AE CD ，AC CD ⊥，222CD CB AE AC ====，平面BCD ⊥平面ACDE ，点F 为BD 的中点.（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）若EF CD ⊥，求四棱锥B ACDE -的体积.31．（2021·四川·树德中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112,AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点. （1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.32．（2021·四川成都·二模（文））如图①，在等腰三角形PBC 中，35PB PC ==，6BC =，D ，E 满足2BD DP =，2CE EP =．将PDE △沿直线DE 折起到ADE 的位置，连接AB ，AC ，得到如图②所示的四棱锥A BCED -，点F 满足2BF FA =．（1）证明：//DF 平面ACE ； （2）当29AB =时，求三棱锥A DEF -的体积．33．（2021·四川·一模（文））已知四边形,2,60,30ABCD AB AD BAD BCD ︒︒==∠=∠=.现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面,BCD AD CD ⊥.点P 在线段AD 上，平面BPC 将三棱锥A BCD -分成两部分，:1:2A BPC A BCD V V --=.（1）求证：BP ⊥平面ACD ； （2）若M 为CD 的中点，求M 到平面BPC 的距离.34．（2021·四川遂宁·二模（文））在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A ，D ，E ，F 四点共面，//AF 面CDE .（1）求证：//BF 面CDE ；（2）若3AD DE ==，1AF =，13EF =，求证：AD ⊥平面CDE .35．（2021·四川省绵阳南山中学模拟预测（文））如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，上、下底面均为菱形，点G ，H ，M 分别为AC ，11B C ，BC 的中点. （1）求证：//GH 平面11CDD C ； （2）若3ABC π∠=，求证：11B C ⊥平面1A AM .36．（2021·四川泸州·二模（文））如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，14AA =，E 、F 分别为1A A 、AB 的中点．（1）求证：直线1D E 、CF 、DA 交于一点； （2）求多面体1BCD EF 的体积．37．（2021·四川·成都七中二模（文））在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 与底面成的角是45︒，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求三棱锥M PBC -的体积.38．（2020·四川眉山·一模（文））如图，在四棱锥M ABCD -中，,AB AD AM ⊥⊥平面,ABCD AB AM AD ==． （1）证明：BDM 是正三角形﹔（2）若//,22CD AB AB CD ==，三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 在同一球面上，求该球的表面积．39．（2020·四川泸州·一模（文））如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点(不含,A B )，在平面SGD 内过点G 作GP //平面SBC 交SD 于点P . （1）写出作点P ､GP 的步骤(不要求证明)； （2）若3BAD π∠=，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中点，求三棱锥S PBC -的体积.40．（2021·云南·昆明一中模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，点D 在以AP 为直径的圆上，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA =，7PB =，平面PBC 平面PAD m =. （1）证明：直线m ⊥平面PDC ；（2）当三棱锥P ABD -体积最大时，求直线m 与直线PB 所成角的正弦值.41．（2021·云南·昆明一中模拟预测（文））如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且AB =AD =12CD = 1，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD . （1）证明:平面BCE ⊥平面BDE ; （2）求六面体ABCDEF 的体积.42．（2021·云南师大附中模拟预测（文））如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，12QA AB PD ==. （1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值.43．（2021·贵州遵义·模拟（文））如图1，等腰梯形ABCD ，,,33,1BC AD CE AD AD BC CE ⊥===//．CDE △沿CE 折起得到四棱锥F ABCE -（如图2），G 是AF 的中点．（1）求证//BG 平面ECE ； （2）当平面FCE ⊥平面ABCE 时，求三棱锥F BEG -的体积．44．（2021·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BD ⊥平面1AB C ，其垂足D 落在直线1B C 上． （1）求证：1AC B C ⊥；（2）若P 是线段AB 上一点，3BD =，2BC AC ==，三棱锥1B PAC -的体积为33， 求APPB的值．45．（2021·四川·石室中学模拟预测（文））如图已知PCD 为直角三角形，PD CD ⊥，A ，B 分别为PD ，PC 的中点，22PD DC ==，将PAB △沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD '-，E 为P D '的中点. （1）证明：平面P CD '⊥平面ABE ；（2）当正视图方向与向量BA 的方向相同时，P ABCD '-的正视图的面积为34，求四棱锥P ABCD '-的体积.2022年高考立体几何·模拟试题（文） 参考答案1． （1）证明见解析；（2）263d =（1）证明：如图所示：取1D E 的中点N ，连AN 、NF ，则12NF EC =，//NF EC ， ∵122EC AB ==，当114AM AB ==时，12AM EC =，//AM EC ，是NF AM =且//NF AM ，所以AMFN 是平行四边形，则//AN MF ．又MF ⊄平面1D AE ，AN ⊂平面1D AE ，所以//MF 平面1D AE ； （2）如图所示：取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ． 易知1EF D C ⊥，OQ CB ⊥．因为11D A D E =，AO EO =， 所以1D O AE ⊥，平面1D AE平面AECB AE =，平面1D AE ⊥平面AECB ，1D O ⊂平面1AD E ，所以1D O ⊥平面AECB ．设点B 到平面1CD E 的距离为d ．在1Rt D OC △中，223110OC =+=，12D O =，所以2211||||23D C OC D O =+=． 在1D EC △中，因为12EC D E ==，123D C =，所以2211||(||)12EF EC D C =-=．由11D BCE B CED V V --=，得1111113232CB CE D O CD EF d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．即11112222313232d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，解得263d =． 2．（1）证明见详解；（2）83（1）因为几何体为长方体，所以平面1AB //平面1DC ，α交长方体于,EF PQ ， 所以//EF PQ ，又EF ⊄平面PBQ ，PQ ⊂平面PBQ ，所以EF ∥平面PBQ ； （2）连接FQ ，由面面平行性质，同理可证//EQ FP ，四边形EFPQ 为平行四边形，所以1AE =，且Q 为1DD 中点，连接FQ ，将多面体PQEFB 分割成两个四棱锥Q EFB -和Q BFP -， 由几何关系知，114323Q EFB V BF AB AD -=⋅⋅⋅⋅=，114323Q BFP V BF BC AB -=⋅⋅⋅⋅=，所以多面体83PQEFB V =.3．（1）证明见解析；（2）255（1）证明：∵1B B ⊥平面ABC ，1B B ⊂平面11B BCC ，∴平面11B BCC ⊥平面ABC ，∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11B BCC .∵1BC ⊂平面11B BCC ，∴1AD BC ⊥. ∵11B B C C ∥，1B B ⊥平面ABC ，∴1C C ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC ，∴1C C BC ⊥，1B BBC ，∴1BCC 与1B BD 都为直角三角形，又∵1BC BB =，1BD CC =，∴11BCC B BD △△≌，11B DB BC C ∠=∠，112CBC BC C π∠+∠=.∴112CBC B DB π∠+∠=，11BC B D ⊥.∵AD ⊂平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，1AD DB D ⋂=，∴1BC ⊥平面1ADB ，∵1AB ⊂平面1ADB ，11AB BC ⊥.（2）解：设点C 到平面1ADB 距离为h ，即为三棱锥1C ADB -的高，∵11C ADB B ACD V V --=，∴111133ADB ACD S h S BB =△△，∵AD ⊥平面11BCC B ，1DB ⊂平面11BCC B ，∴1AD DB ⊥，∴1ADB △为直角三角形，111522ADB S AD DB =⋅=. ∵ADC 为直角三角形，11122ADB S AD DC =⋅=， ∴255h =，即点C 到平面1ADB 的距离为255. 4．（1）证明见解析；（2）12.（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，连接1A E ，AB BC ⊥，11//A B AB ，11BC A B ∴⊥，E 是等边1△ACA 的边AC 的中点，1A E ∴⊥AC ，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC AC =，所以1A E ⊥平面ABC ，1A E ∴⊥BC ，又1111A EA B A =∴BC ⊥平面11EB A ，∴BC ⊥1B E .（2）由（1）知1A E ⊥平面ABC ，1111111113B A BC A BCB A BCB B ABC A ABC ABCV V V V V SA E -----∴=====⋅111133322=⨯⨯⨯⨯=.5．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】证明：（1）取PD 的中点为E ，连接NE ，因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点， 所以//AM CD ，//NE CD ，且12AM NE CD ==，∴AM 与NE 平行且相等，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，//MN 平面P AD ； （2）PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又底面ABCD 为矩形，AD CD ⊥，AD 与CD 是平面P AD 内两条相交直线 ∴CD ⊥平面P AD ，AE ⊂平面P AD ，所以CD AE ⊥∵PA AD =，所以AE PD ⊥，CD 和PD 是平面PCD 内两条相交直线， ∴AE ⊥平面PCD ，∵//MN AE ，∴MN ⊥平面PCD . 6．（1）43；（2）证明见解析. 【详解】解：（Ⅰ）因为AB ⊥侧面BCC 1B 1，所以AB ⊥平面EFM ， 又M 、E 分别为BB 1、CC 1的中点，所以四边形MBCE 为正方形， 所以△MEF 的面积为S △MEF ＝12ME •MB ＝12×2×2＝2． 所以三棱锥A ﹣EFM 的体积为V 三棱锥A ﹣EFM ＝13S △MEF •AB ＝13×2×2＝43 . （Ⅱ）证明：长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形， 因为E 、M 分别为棱CC 1、BB 1的中点，且BB 1＝4，B 1C 1＝2， 所以四边形MEC 1B 1是正方形，所以C 1M ⊥B 1E ，又N 、M 分别为棱AA 1、BB 1的中点，所以NM ⊥平面BCC 1B 1， 又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，所以NM ⊥B 1E ，又因为NM ∩C 1M ＝M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，所以B 1E ⊥平面C 1MN ， 又B 1E ⊂平面B 1D 1E ，所以平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ． 7．（1）证明见解析；（2）223. 【详解】 （1）如图，取PB 中点H ，连接EH ，HC ． 在PAB △中，E 为AP 的中点，H 为PB 的中点， EH ∴为PAB △的中位线，//EH AB ∴，12EH AB =又//DC AB ，12DC AB =，//EH DC ∴且EH DC =． ∴四边形CDEH 为平行四边形．//DE CH ∴．又DE ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ． （2）//DC AB ，BC AB ⊥，BC DC ∴⊥在Rt BCD 中，2DC BC ==，2222BD DC BC ∴=+= 在直角梯形ABCD 中，易得22AD =，在ABD △中，22AD =，4AB =，222AD BD AB ∴+=，BD AD ∴⊥．平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD AD ⊥，BD ⊂平面ABCD ．BD ∴⊥平面PAD 在PAD △中，2PA PD ==，22AD =，222PA PD AD ∴+=，PA PD ∴⊥，11212PDE S ∴=⨯⨯=△，1122122333P BDE B PDE PDE V V S BD --∴==⋅=⨯⨯=△．（1）证明：由等边三角形BCD 可得60CDB ∠=︒，在ABD △中，2AB =，4=AD ，23BD =，222AB BD AD +=，可得AB BD ⊥，30ADB ∠=︒， 所以306090CDA ∠=︒+︒=︒，即CD AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，可得CD ⊥平面PAD ； （2）取AD 的中点O ，连接PO ，如图所示：由等边三角形PAD ，可得PO AD ⊥，224223PO =-=. 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 可得PO ⊥平面ABCD ， 所以四棱锥P ABCD -的体积为 11113=23223+2323=1033222ABCD PO S ⎛⎫⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭四边形． 9．（1）证明见解析；（2）105． 【详解】 （1）证明：（反证法）假设点D 在平面CEF 内．设C ，D ，E ，F 四点确定的平面为α．因为四边形ABEF 为正方形， 所以//EF AB ．因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合，所以EF ⊄平面ABCD ， 又AB 平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ．因为EF ⊂平面α， 平面α平面ABCD CD =，所以//EF CD ；所以//AB CD ．AB ，CD 为直角梯形ABCD 的两腰，不可能平行，故假设不成立．点D 不在平面CEF 内．（2）取AD 中点H ，连接HF ，HC ，由2AD BC =，所以AH BC =， 且//AH BC ，所以AHBC 为平行四边形，∴//HC AB 且HC AB = ∵//AB EF ，且AB EF =，∴C ，H ，E ，F 共面，111122CHDS=⨯⨯=，2FA =，3FH =，2CH =，227CF FA CA =+= 所以2221cos 210FH CH CF CHF FH CH +-∠==-⋅，∴15sin 22CHF S FH CH CHF ∆=⋅∠=．由D CHF F CHD V V --=得1133CHF CHD hS FA S ∆∆⨯=⋅，∴105h = 故D 到平面CEF 的距离是105． 10．（1）A 、E 、B 、D 四点共面，理由见解析；（2）2155. 【详解】 （1）取CD 、BC 的中点M 、N ，连接EM 、AN 、MN ， 则//MN BD ，223EM AN AC CN ==-=.ECD 为等边三角形，M 为CD 的中点，则EM CD ⊥，因为平面ECD ⊥平面BCD ，平面ECD 平面BCD CD =，EM ⊂平面ECD ， 故EM ⊥平面BCD ，同理可证AN ⊥平面BCD ，//EM AN ∴，又EM AN =，故四边形AEMN 为平行四边形，所以，A 、E 、B 、D 四点共面；（2）由（1）知A 、E 、B 、D 四点共面，则点C 到平面ABE 的距离等于C 到平面BDE 的距离.因为三棱锥E BCD -的体积为11141332E BCD BCD V S EM -=⨯⨯=⨯⨯=△.设点C 到平面BDE 的距离为h ，故三棱锥C BDE -的体积113C BDE BDE V S h -=⨯⨯=△，所以，3BDE h S =△，在BDE 中，2BD DE ==，BE 1122BDES BE ===△所以，3BDEh S =△C 到平面ABE .11．（1）证明见解析；（2． 【详解】 （1）因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以11//AA CC ， 又已知()12CO CA CB =+，所以点O 为AB 的中点， 又12CD AB =，且//AB CD ，所以CD OA =且//CD OA ，所以四边形AOCD 为平行四边形，所以AD //OC ， 又在平面1A AD 中，1AA AD A =，在平面1C OC 中，1CC CO C =，由面面平行的判定定理得平面1//A AD 平面1C OC ，又1C O ⊂平面1C OC ，所以1//C O 平面1ADA ；（2）由（1）知点O 为AB 的中点，又在梯形ABCD 中，1122AD DC BC CO CC AB ======， 所以BOC 为等边三角形，所以3CBO π∠=，又AB //CD ，所以23DCB π∠=，所以DCB 的面积1222sin 23DCBSπ=⨯⨯⨯=1111233C DCB V CC -===，又在1DBC 中，11DC BC ==又在DBC △，由余弦定理得DB ==，所以1DBC 的面积为112DBC S=⨯设点C 到平面1DBC 的距离为h ，由等体积法有11C DBC C DBC V V --=，则113DBC S h ⨯⨯=13h =h =12．（1）433；（2）l ∥平面ABCD ；答案见解析． 【详解】 解：（1）由图1可知，AB ⊥AE ，CD ⊥DF ，则图2中，AB ⊥P A ，AB ⊥PD ， ∵P A ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面P AD ，而AB ⊂平面ABCD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD ，又PAD △是边长为2的正三角形，则P 到AD 的距离3即为四棱锥P ﹣ABCD 的高，∴14322333P ABCD V -=⨯⨯⨯=；（2）平面P AB 和平面PCD 的交线l ∥平面ABCD ．理由如下：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ， AB ⊂平面P AB ，平面P AB ∩平面PCD ＝l ，∴AB ∥l ， 而AB ⊂平面ABCD ，l ⊄平面ABCD ，∴l ∥平面ABCD ． 13．（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【详解】 （1）∵AD ⊥面PEC ，PC ⊂面PEC ，∴AD PC ⊥， ∵四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，∴//AD BC ，∴PC BC ⊥，又面PBC ⊥面ABCD 且面PBC 面ABCD BC =，PC ⊂面PBC ，∴PC ⊥平面ABCD . （2）存在，F 为PB 上靠近B 的三等分点，取PB 上靠近B 的三等分点为F ，取PC 上靠近C 的三等分点为G ，连接EG 、FG 、AF ； ∵F 、G 分别为PB 、PC 上的三等分点，∴//FG BC 且23FG BC =， ∵2AE ED =且四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，∴//AE FG 且AE FG =， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF //EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴//AF 平面PEC . 14．（1）证明见解析；（2）1． 【详解】（1）证明：//DE AC ，//DF BC ，又ABC 是等边三角形，60EDF ACB ∴∠=∠=︒，又22AC DE BC DF ====，在EDF 中，由余弦定理可得，2221212cos603EF =+-⨯⨯⨯︒=，222EF DF DE ∴+=，故EF DF ⊥，又//DF BC ，EF BC ∴⊥； （2）解：取AC 的中点O ，连接DO ，由AD DC =，得DO AC ⊥， 又平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE 平面ABC AC =，DO ∴⊥平面ABC ，且求得22213DO =-=．由//DE AC ，DF ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ， 可得//DF 平面ABC ，则F 与D 到底面ABC 的距离相等， 则四面体FABC 的体积1132231322V =⨯⨯⨯⨯⨯=．15．（1）证明见解析；（2）2. 【详解】（1）证明：因为,E F 分别是1,B B BC 的中点，所以1//EF B C ， 又因为11//B C A D ，所以1//EF A D 且1EF A D ≠，1A E ∴，DF 共面，∴设1A EDF P=，则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B B ，P ∴∈面11AA B B ，同理可得P ∴∈面ABCD ，∴点P 在平面ABCD 与平面11AA B B 的公共直线AB 上， 即1A E ，AB ，DF 三线共点； （2）连接AC 交DF 于点P ，因为CF//AD ，所以由相似比可知::2:1DP PF AD FC ==，所以1111111111111322D A C D A C F A C D A C D A F P P P P P C D A C V V V V V V ------=+=+=，连接DB 交AC 于点Q ，因为1AA ⊥平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ，所以1AA QD ⊥，AC QD ⊥，1AC AA A =∩， 所以DQ ⊥平面11AA CC ，2DQ =，111222222A PC S =⨯⨯=， 所以11111133131222222323D A C D A C A PC F P V V SDQ --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.16．（1）证明见解析；（2）4532． 【详解】 证明：（1）∵1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，∴11//B C BC ， ∵11B C ⊄平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴11//B C 平面BCDE ，∵11B C ⊂平面11B C DE ，平面BCDE ⋂平面11B C DE DE =，∴11//B C DE ，则//DE BC ； （2）∵△ABC 为正三角形，且边长为6，PA ⊥面ABC ，8PA =， ∴113668243322P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=，又14PA PA =，∴12PA =，1B 到PA 的距离为132AB =，则1112332PA B S =⨯⨯=△， 1C 到平面11PA B 的距离为C 到平面PAB 距离的一半，为332．∴111133333322C PA B V -=⨯⨯=，则1111111113345324322ABC A B C P ABC P A B C P ABC C PA B V V V V V -----=-=-=-=． 17．（1）证明见解析；（2）存在，223BF =. 【详解】 （1）由题意知：11112C A CA C B CB ====，D 是棱AB 的中点，即111C D A B ⊥， 由1AA ⊥面ABC 且面//ABC 面111A B C ，即1AA ⊥面111A B C ， 又1AA ⊂面11ABB A ，则面11ABB A ⊥面111A B C ，而面11ABB A 面11111A B C A B =，∴1C D ⊥面11ABB A ，即1C D ⊥面ADE ，又,AD DE ⊂面ADE ，∴1C D DE ⊥且1C D AD ⊥，又1AD EC ⊥且 111C D EC C ⋂=，AD ∴⊥面1DEC ，DE ⊂面1DEC ，AD DE ∴⊥，而1C D DE ⊥，1AD C D D =，DE ∴⊥面1ADC ，又190,3ACB AA ∠==，易得12323BE EB ==， ∴11,2C D AD ==，233DE =， 1111123232133239E ADC ADC V SDE -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. （2）由（1）知：12BE EB =，在AB 上取点G ，使13BG BA =，连接EG ，∴//EG 平面1ADC ，在BC 上取点F ，使23BF BC =，连EF 、GF ，∴//GF 平面1ADC ， 而EG GF G =，∴面//EGF 面1ADC ，EF ⊂面EGF ，即//EF 面1ADC ， 综上，此时有22.3BF =18．（1）存在；（2）55． 【详解】 （1）PC 上存在一点F ，此点是PC 的中点， 取PC 中点F ，连接EF 、AE 、DF 、AF ，如图， ∵PD ⊥平面ABCD ，PD //EF ．∴EF ⊥平面ABCD ，又BE ⊂平面ABCD ，∴EF BE ⊥．而ABCD 为矩形，1AD =，2AB =，故2BE AE ==， ∴在△ABE 中，222AE BE AB +=，即AE BE ⊥．又AE EF E ⋂=，则BE ⊥平面AEF ，又AF ⊂面AEF ，∴BE AF ⊥ （2）E ADF F ADE V V --=，因为11111332212F ADE ADE V EF S -=⋅=⨯⨯=△211511+()=224ADFS=⨯⨯,设点E 到平面AEF 的距离为h ， 所以11312ADF V hS ==△，解得h =55，所以h =55 19．（1）证明见解析；（2）33. 【详解】 （1）∵在圆锥PO 中，PO ⊥平面ABC ，∴PO AB ⊥， 又AC 为O 的直径且点B 在AC 上，∴AB BC ⊥，∵//OD BC ，∴AB OD ⊥而PO OD O =，∴AB ⊥平面POD . （2）∵底面圆的面积为4π，∴底面圆的半径为2，即4AC =，设4AC =，因为直线PA 与底面所成角的大小为π4∴2PO AO ==，又π6CAB ∠=，∴2BC =，23AB =， ∴1112π312sin 233233C POD P COD OCD V V S PO --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以三棱锥C POD -的体积为33. 20．（1）1//C E 平面ABD ，证明见解析；（2）3. 【详解】 （1）1//C E 平面ABD ，证明如下：取AB 中点G ，连接,EG DG ， ,E G 分别为,BC AB 中点，1//,2EG AC EG AC ∴=； 由三棱柱特点知：四边形11ACC A 为平行四边形， 又D 为11A C 中点，111//,2C D AC C D AC ∴=，11//,EG C D EG C D ∴=， ∴四边形1EGDC 为平行四边形，1//C E DG ∴，又1C E ⊄平面ABD ，DG ⊂平面ABD ，1//C E ∴平面ABD . （2）取11B C 中点H ，连接DH ，114A C AC ==，112B C BC ==，11160A C B ACB ∠=∠=，在111A B C △中，由余弦定理得：22211111111111112cos 12A B A C B C A C B C A C B =+-⋅∠=， 222111111A B B C A C ∴+=，1111A B B C ∴⊥，1AA ⊥平面ABC ，平面//ABC 平面111A B C ，1AA ∴⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，111A B AA ∴⊥，又11//BB AA ，111A B BB ∴⊥，111,BB B C ⊂平面11BCC B ，1111BB B C B =，11A B ∴⊥平面11BCC B ，,D H 分别为1111,AC B C 中点，11111,//2DH A B DH A B ∴=，DH ∴⊥平面11BCC B ， 又F 为BD 中点，F ∴到平面11BCC B 的距离11113242h DH A B ===， 又四边形11BEC B 面积()112462S =⨯+⨯=，1111363332F B C EB V Sh -∴==⨯⨯=.21．（1）证明见解析；（2）23. 【详解】（1）证明：取AB 的中点M ，连接GM ､MC ，又G 为BF 的中点，∴//GM FA . ∵EC ⊥平面ABCD ，FA ⊥平面ABCD ，∴//EC FA ，∴//EC GM .∵平面CEGM 平面ABCD CM =，//EG 平面ABCD ，∴//EG CM .连接AC ，在正三角形ABC 中，CM AB ⊥， 又FA CM ⊥，∴EG AB ⊥，EG FA ⊥ 又∵AB FA A ⋂=，∴EG ⊥平面ABF . （2）解：由（1）知//EC GM ，//CE CM ∴四边形CEGM 为平行四边形，∴112CE GM AF ===. 依题意可得四棱锥B ACEF -与D ACEF -的体积相等，则多面体ABCDEF 的体积B ACEF D ACEF V V V --=+13ACEF S BD =⋅四边形()11122232332=⨯⨯+⨯⨯=.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）直线AG 在平面AEF 内，理由见解析. 【详解】 （1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又AD CD ⊥，PA AD A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . （2）取FC 的中点H ，则23PH PC =， 因为23PG PB =，所以PH PG PC PB=，则//GH BC 且223GH BC ==， 又//AD BC ，且2AD =，所以//AD GH ，且2==AD GH ， 所以四边形ADHG 为平行四边形，从而//AG DH ， 又AG ⊄平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，所以//AG 平面PCD . （3）直线AG 在平面AEF 内.理由如下：因为F ，H 分别为线段PC 的两个三等分点，所以F 为PH 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EF DH ，由（2）可知，//DH AG ，所以//EF AG ， 因为EF ⊂平面AEF ，A ∈平面AEF ，所以G ∈平面AEF ，从而直线AG ⊂平面AEF . 23．（1）证明见解析；（2）39. 【详解】 （Ⅰ）证明：∵ABC 的外接圆O 的直径AB ，∴AC BC ⊥. 又因为EC ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以EC BC ⊥ 又∵ACEC C =∴BC ⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）∵13DM DE =,∴1122D ACM E ACM M ACE V V V ---==∵平面AEC ⊥平面BCDE ，过M 作MN 垂直于CE ，交CE 于N ，则MN BC ，由（1）知BC ⊥平面ACE ，故MN ⊥平面ACE ，则MN 为锥体的高， 且2233MN BC ==，∴1122333232399M ACE D ACM V V --=⋅⋅⋅=⇒=.24．（1）证明见解析；（2）16. 【详解】证明：（1）取CD 的中点为H ，连BH HF 、，ABCD 为正方形，E 为AB 的中点，//BE DH ∴且BE DH =，四边形BEDH 是平行四边形，//BH DE ∴，BH ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BH 平面PDE ，F 为PC 的中点，//FH PD ∴，FH ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ，所以//FH 平面PDE ，且=BH HF H ，∴平面//BHF 平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，BF ⊂平面BHF ， //BF ∴平面PDE .（2）ABCD 为正方形，且PA PB PC PD ===，P ABCD ∴-为正四棱锥，P ∴在平面ABCD 的射影为AC 的中点O ， F 为PC 的中点，14BDEABCD SS =正方形，18E BDF F BDE P ABCD V V V ---∴==， 3,2,1PA OA OP ==∴=， 2142133P ABCD V -∴=⋅⋅=，16E BDF V -∴=.25．（1）证明见解析；（2）14. 【详解】 解：（1）∵三棱台111ABC A B C -，1111A B B C ⊥，∴AB BC ⊥．∵1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥． ∵1AA AB A =且都在平面11ABB A 内，∴BC ⊥平面11ABB A ．又∵BC 在平面11BCC B 内，∴平面11BCC B ⊥平面11ABB A ． （2）如图，过点E 作EG AC ⊥，EG AC G ⋂=．∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AA C C ⊥平面ABC ．又平面11AAC C 平面ABC AC =∴EG ⊥平面11AAC C ，∴EG 为三棱锥1E AA F -的高，且11113A AEF E AA F AA FV V SGE --==⋅．∵1354AA FS=，55GE =，∴1135513454A AEF V -=⨯⨯=． 26．（1）证明见解析；（2）52. 【详解】 （1）如图，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且O 为BD ，AC 的中点.EB ED =，BD EO ∴⊥.AC ，EO ⊂平面ACFE ，AC EO O =，BD ∴⊥平面ACFE .又BD ⊂平面BDF ，∴平面⊥BDF 平面ACFE .（2）四边形ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，则2BD =.1OB OD ∴==.在Rt EOB 中，1BO =，2EB =，则3EO =.又2323AC AO AB ===，14EF AC =，32EF ∴=. //EF AC ，∴四边形ACFE 是梯形.O 为AC 的中点，EA EC =，EO AC ∴⊥.∴梯形ACFE 的面积1315233224S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.又由（1）知BD ⊥平面ACFE . 2ABCDEF B ACFE D ACFE B ACFE V V V V ---∴=+=111552213342S OB =⨯⋅=⨯⨯⨯=.∴多面体ABCDEF 的体积为52. 27．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】 （1）因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ，又因为AB ⊄面CDE ，CD ⊂面CDE ，所以AB ∥面CDE ，因为AF ∥面CDE ，AF ∩AB =A ，AF ，AB ⊂平面ABF ，所以面ABF ∥面CDE ， 又BF ⊂面ABF ，所以BF ∥面CDE .（2）在平面ADEF 中，作FG ∥AD 交DE 于点G ，因为AF ∥面CDE ，AF ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面CDE =DE ，所以AF ∥DE ， 又因为FG ∥AD ，所以四边形ADGF 为平行四边形， 所以DG =AF =1，FG =AD =3，EG =DE -DG =2，因为13EF =，所以EF 2=FG 2+EG 2，所以∠FGE =90°，所以FG ⊥DE ，所以AD ⊥DE ， 又由AD ⊥DC ，DE ∩DC =D ，DE ，DC ⊂平面CDE ， 所以AD ⊥平面CDE . 28．（1）证明见解析；（2）62． 【详解】 解：（1）证明：由题意可得，AB AC ⊥，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点， 故EN ∥AC ，故EN AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB 故EN ⊥平面PAB ，EN 在平面EMN 内，故平面EMN ⊥平面PAB ； （2）连结PE ，由PA PB =，点E 是AB 的中点，可知PE AB ⊥， 再由平面PAB ⊥平面ABC ，可知PE ⊥平面ABC ， 连结EF ，可知PFE ∠就是直线PF 与平面ABC 所成的角， 于是tan 3PEPFE EF=∠=，22336PE EF AE AF ==⋅+= 因为PA PB =，E 是AB 中点，故PE AB ⊥， 又平面PAB ⊥平面ABC ，故PE ⊥平面ABC ， 即点P 到平面ABC 的距离为6PE =．点M 是PC 中点，故点M 到平面ABC 的距离为62d =， 1133A PMNB P ABC M ANC ABC ANC V V V PE S d S ---∆∆=-=⋅-⋅111616222132322=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯2666362=-=即四棱锥A PMNB -的体积为62． 29．（1）证明见解析；（2）255. 【详解】 解：（1）如图，连接1NA ，1A C ，因为N 为1AB 的中点，且四边形11ABB A 是平行四边形， 所以N 为1AB 的中点，又M 为BC 的中点，所以1//MN AC ， 又因为MN ⊄平面11ACC A ，且1CA ⊂平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A ； （2）如图连接AM ，1A M 和1B C ．在ABC 中，222AM AB BM =-=．在1AMA 中，190AMA ∠=︒，2AM =，15AA =，故11A M =．所以三棱锥1B ABC -的体积为111233B ABC ABC V S A M -=⨯⨯=△． 因为1A M ⊥平面ABC ，故1A M BC ⊥．又因为AB AC =，且M 为BC 中点， 所以BC AM ⊥，所以BC ⊥平面1A MA ，故1BC AA ⊥． 因为11//AA BB ，故1BC BB ⊥．从而11152BB C S BB BC =⨯⨯=△．假设A 到平面11BCC B 的距离为h ，因为三棱锥1A BB C -的体积与三棱锥1B ABC -的体积相同，故11233BB C S h ⨯⨯=△， 解得255h =．即A 到平面11BCC B 的距离为255．30．（1）证明见解析；（2）1. 【详解】 （1）证明：取BC 的中点G ，连接GF ，GA .点F 为BD 的中点，//GF CD ∴，且12GF CD =. 又//CD AE ，2CD AE =，//GF AE ∴，且GF AE =，∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC . （2）EF CD ⊥，CD AG ∴⊥，又AC CD ⊥，,AC AG A ⋂=CD 平面ABC ，CD BC ∴⊥.又平面BCD ⊥平面ACDE ，平面BCD 平面ACDE CD =，BC ∴⊥平面ACDE ，BC ∴为四棱锥B ACDE -的高，222CD CB AE AC ====，()()111112213326B ACDE ACDE V S BC AE CD BC -∴=⋅=⨯+⨯=⨯+⨯=梯形.31．（1）证明见解析；（2）36. 【详解】 （1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA A C AC ===，O 是AC 的中点，1A O AC ∴⊥， 又平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 利用三角形中位线定理易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36. 32．（1）证明见解析；（2）89. 【详解】解：（1）如图，在棱AC 上取点G 满足2CG AG =，连接EG ，FG ．∵2BF FA =，∴//FG BC 且13FG BC =．又2BD DP =，2CE EP =，可得//DE BC 且13DE BC =．∴DE FG =且//DE FG ．∴四边形DEGF 为平行四边形．∴//DF EG ．又∵DF ⊂平面ACE ，EG ⊂平面ACE ，∴//DF 平面ACE ．（2）如图，分别取DE ，BC 的中点M ，N ，连接AM ，MN ，BM ，BE ． 由题意，知MN BC ⊥，2AM =，4MN =，3BN =． 在Rt BMN △中，2222345BM BN MN =+=+=．在ABM 中，∵29AB =，∴222222529AM BM AB +=+==．∴AM BM ⊥． 又∵AM DE ⊥，BM DE M ⋂=，BM ，DE ⊂平面BCED ，∴AM ⊥平面BCED ． ∵2BF AF =，∴三棱锥A DEF -的体积1133A DEF F ADEB ADE A BDE V V V V ----===．又∵11182423663A BDE BDE V S AM DE MN AM -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=△，∴三棱锥A DEF -的体积11883339A DEF A BDE V V --==⨯=．33．（1）证明见解析；（2）3913. 【详解】 （1）,60AB AD BAD =∠=︒，即ABD △为等边三角形，由:1:2A BPC A BCD V V --=知：P 为AD 中点， BP AD ∴⊥，取BD 中点E ﹐连接,AE 则AE BD ⊥，平面ABD ⊥平面,BCD 平面ABD ⋂平面,BCD BD =AE ∴⊥平面,BCD CD ⊂面,BCD ,AE CD ∴⊥又,CD AD AD AE A ⊥⋂=，CD平面,ABD BP ⊂平面,ABD,CD BP ∴⊥又,CD AD D ⋂=BP ∴⊥平面,ACD()2E 为BD 的中点，△ABD 的边长为2,3AE ∴=.由()1知AE ⊥平面,BCD 又P 为AD 的中点﹒P ∴到平面BCD 的距离为32h =， 连接BM .由()1知：,30CD BD BCD ⊥∠=︒， 223,4,13CD CM BC BP ∴====，∴1132322BCMSCM BD =⨯=⨯⨯=， 由()1知，BP ⊥平面,ACD CP ⊂面,ACD ,BP CP ∴⊥则1139313222BCPSBP CP =⨯=⨯⨯=设M 到平面BPC 的距离为d ，由M BCP P BCM V V --=，得1133BCP BCMSd S h ⋅=⋅，即3339213392BCMBCPShd S⨯⋅===，M ∴到平面BPC 的距离为3913. 34．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由ABCD 是正方形，可知//AB DC ，而AB ⊄面CDE 所以//AB 面CDE ，又//AF 面CDE ，ABAF A =，所以面//ABF 面CDE ，又BF ⊂面ABF ，所以//BF 面CDE . （2）因为//AF 面CDE ，AF ⊂面ADEF ，面CDE ⋂面ADEF DE =，所以//AF DE .如图，在线段ED 上取点G ，使得2EG =，于是1DG AF ==，而//AF DG ，所以ADGF 是平行四边形.所以3FG AD ==，又13EF =， 于是222EF EG FG =+，即FG EG ⊥，则AD ED ⊥.因为ABCD 是正方形，有AD DC ⊥， 而DC DE D =，所以AD ⊥平面CDE .35．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】 （1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，G 为AC 的中点，//GE AD ∴，且12GE AD =， 在直四棱柱中1111B C A D AD ，H 为11B C 中点，1GE C H ∴，故四边形1GEC H 为平行四边形，1//GH C E ∴，GH ⊄平面11CDD C ，1C E ⊂平面11CDD C ，∴//GH 平面11CDD C ；（2）四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，ABC ∴为等边三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥， 1AM AA A ⋂=，BC ∴⊥平面1A AM ，11//B C BC ，∴11B C ⊥平面1A AM .36．（1）证明见解析；（2）2． 【详解】 （1）连接EF 、1A B ，因为E 、F 分别为1AA 、AB 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =． 因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，且底面是正方形，所以11////BC AD A D ，且11BC AD A D ==，即四边形11A BCD 是平行四边形， 所以11//A B D C 且11A B D C =，所以1//EF D C ，且1EF D C ≠， 所以四边形1EFCD 为梯形，所以1D E 与CF 交于一点，记为P ，因为P ∈平面ABCD ，P ∈平面1ADD A ，又因为平面ABCD 平面11ADD A AD =， 所以P ∈直线AD ，即直线1D E 、CF 、DA 交于一点P ；（2）11111111112212423232BCD EF B EFD B CD F D BEF D BCF V V V V V ----=+=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．37．（1）证明见解析；（2）112. 【详解】 证明：（1）取PD 的中点Q ，连结QN 、AQ ，∵N 是PC 的中点，∴//QN CD ，且12QN CD =，∵底面四边形ABCD 是边长是１的正方形，又M 是AB 的中点，∴//AM CD ，且∴12AM CD =，∴//QN AM ，且QN AM =，∴四边形AMNQ 是平行四边形，∴//MN AQ ，又AQ ⊂磁面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PAD ∠是侧棱PA 与底面成的角， ∴45PAD ∠=︒，∴PAD △是等腰直角三角形，则1PD AD ==，∴111133412M PBC P MBC MBC V V S PD AB BC --==⋅=⋅⋅⋅=△.38．（1）证明见解析；（2）9π． 【详解】解：()1由已知，AM ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的定义，有,AM AB AM AD ⊥⊥， 又,AB AM AD AB AD ==⊥，所以222,BD AB AD =+222,BM AB AM =+222DM AD AM =+， 则,BD BM DM ==所以BDM 是正三角形．()2由()1的可知，,AB AD AB AM ⊥⊥，根据直线与平面垂直的判定定理，有AB ⊥平面,ADM由线面垂直的定义，有,AB DM ⊥因为//,CD AB 所以，CD DM ⊥，即MCD △为直角三角形．又MAC △是直角三角形，所以，MC 的中点О到顶点,,,M A C D 的距离都等于1322MC =，所以，三棱锥M ACD -的四个顶点,,,M A C D 所在球是以О为球心，32为半径的球，所以，球的长面积为23492ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.39．（1）答案见解析；（2）23. 【详解】 解：（1）第一步：在平面ABCD 内作//GH BC 交CD 于点H ； 第二步：在平面SCD 内作//HP SC 交SD 于P ； 第三步：连接GP ，点P ､GP 即为所求.（2）因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点，而//GH BC ，所以G 是AB 的中点， 所以13sin12022GBCSBC GB ︒=⋅⋅=， 连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ，因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD △的外心，所以M 与O 重合， 因为233OD =，2SD =，所以263SO =，所以1233S GBC GBC V S SO -=⋅⋅=△，因为GP //平面SBC ，所以23S PBC P SBC G SBC S GBC V V V V ----====. 40．（1）证明见解析；（2）357. 【详解】 解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.因为点D 在以AP 为直径的圆上，所以AD DP ⊥，CD DP D =，,CD DP ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC . 因为//AD BC ，AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .。
高中简单立体几何体(附例题 详解)
2. 简单几何体知识网络 简单几何体结构简图画龙点晴概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。
两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为:斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性质：(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.公式棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C与高的乘积, 即, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C1与侧棱长的乘积,即, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.[活用实例][例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=，(1)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的表面积.[题解](1) 如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON. ∴点O在∠BAD的平分线上.(2),侧面AB1和侧面DC1的面积都等于4=6,侧面AD1和侧面BC1的面积都等于5=7.5,又ABAD，两底面面积都等于4=20，平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2] 如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作.(1)判定直线A1C1和的位置关系,并加以证明;(2)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线的距离.[题解](1)根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有∥A1C1.(2)解法一:过点A1作A1E⊥于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又 在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又∥A1C1, ∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,从而AE=BD=在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,故点A1到直线的距离为.解法二:同解法一得∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,, 以下同解法一.[例3] 如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[题解](1)∵A1B1C1-ABC是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.又平面DBC1, DE平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.(2)作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角.设AC=1, 则DC=∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,CF=取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC. 在Rt△BEF中,AC=1,又BF=BC-FC=, GF=,, 即EF=.∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.概念棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.棱锥的分类: 按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的表示法: 棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示.例如,棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(2)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；(3)棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。
立体几何(文科)
立体几何（文科）1、如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12. (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．516图1-42、四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；23. (2)证明：四边形EFGH 是矩形．3、如图1-5，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图1-5(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ABC 的体积．33. 4、如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．31313图1-3.5、如图1-6所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．112图1-66、如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．图1-4(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．12.7、如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.8、如图,在四棱锥P ABCD-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠=.(1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面;(3)求三棱锥D PBC -的体积.9、如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 10、如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥;(Ⅱ)若2AB CB ==,1AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积. 11、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.(1)证明: BC 1//平面A 1CD; (2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C 一A 1DE 的体积.12、如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求点.A PCD 到平面的距离13、如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=.已知2,PB PD PA === .(Ⅰ)证明:PC BD ⊥(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.14、如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE ⊥平面BB 1C 1C; (2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离 15、如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点。
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立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【高考会这样考】1．考查空间几何体三视图的识别与判断．2．三视图和其他的知识点结合在一起命题．考点梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形．②棱锥：棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台：棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．(2)旋转体①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥到．③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．2．三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半两个重要概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．三个规则(1)画法规则：长对正、高平齐、宽相等．(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．(3)线条的规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见轮廓线和棱用虚线画出．考点自测1．下列说法正确的是()．A．有两面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( )A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()．A圆柱B圆锥C球体D圆柱、圆锥、球体的组合体4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5.如图，过BC的平面截去长方体的一部分，所得的几何体________棱柱(填“是”或“不是”)．考向一空间几何体的结构特征【例1】►给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3【训练1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．考向二空间几何体的三视图【例2】►某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()．考向三空间几何体的直观图【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()．A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2【训练3】如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_____．热点突破17——快速突破空间几何体三视图的判断【真题探究】►如图所示，长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图，俯视图如图．其中真命题的个数是()．A．3 B．2 C．1 D．0【试一试】已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()．限时训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆3．将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()．4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．三、解答题(共25分)7．(12分)已知：图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图b是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．8．(13分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD －A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()．2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．二、填空题(每小题5分，共10分)3．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．4．左图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由____块木块堆成；右图中的三视图表示的实物为___．三、解答题(共25分)5．(12分)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？6．(13分)(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC 两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？第2讲空间几何体的表面积与体积【高考会这样考】1．以三视图为载体，考查空间几何体的表面积与体积．2．利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积．考点梳理1．柱体、锥体、台体的侧面积和表面积(1)旋转体的侧面展开图的形状名称侧面展开图形状侧面展开图圆柱矩形圆锥扇形圆台扇环(2)因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和． (3)旋转体的侧面积和表面积①若圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )②若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S 侧＝πrl ，S 表＝πr (r ＋l )③若圆台的上下底面半径分别为r ′、r ，则S 侧＝π(r ＋r ′)l ，S 表＝π(r ′2＋r ′l ＋rl ＋r 2)④若球的半径为R ，则它的表面积 S ＝4πR 2. 2．几何体的体积公式(1)柱体的体积公式为V 柱＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高． (2)锥体的体积公式为V 锥＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．(3)台体的体积公式为V 台＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ，其中S ′、S 分别为上、下底的底面积，h 为高． (4)球的体积公式为V ＝43πR 3.两点提醒 (1)关于公式要注意几何体的表面积公式和体积公式中各个数据的准确性，不能用错公式． (2)关于组合体转化对于生产生活中遇到的物体，可以转化为由简单的几何体组合而成，它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几何体的表面积的和与体积的和． 两个关注点与球有关问题的关注点(1)“切”“接”问题一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)特殊图形可以用补图的方法解答． 考点自测1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )．A ．4πSB ．2πSC ．πS D.233πS2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π 3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是__．4．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．5．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________． 考向一 几何体的表面积【例1】►某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )．A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．58＋12 5D ．60＋12 5例1图 训练1图【训练1】 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．280 考向二 几何体的体积【例2】►如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的一点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．【训练2】如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()．A．4 3 B．4C．2 3 D．2考向三与球有关的组合体【例3】►某几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图与侧视图相同，则该几何体的体积为________ cm3.【训练3】已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．方法优化10——巧妙求解空间几何体的表面积和体积【真题探究】►某几何体的三视图如图所示，它的体积为()．A．12π B．45πC．57π D．81π【试一试】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为____，_____.限时训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋ 3 B．1＋ 3 C．2＋2 3 D．4＋ 32．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为() A.92π＋12 B.92π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18第1题图第2题图3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为()．A．48 B．64C．80 D．1204．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()．A.26 B.36 C.23 D.22二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于__．6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．8．(13分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，求CP ＋P A 1的最小值．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )．A.()95－π2cm 2B.()94－π2cm 2C.()94＋π2cm 2D.()95＋π2cm 22．如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( )．A.312B.34C.612D.64 二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________． 4．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为顶点，以平面AB 1D 1截正方 体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．第3题图 第4题图三、解答题(共25分) 5．(12分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．6．(13分)如图 (a)，在直角梯 形ABCD 中， ∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使 平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图(b)所示． (1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求几何体D －ABC 的体积．第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【高考会这样考】1．考查空间线面平行、垂直关系的判断． 2．考查空间线面平行、垂直关系． 考点梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：(]0，π2. (3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 一个理解异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． 两种判定方法(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面． 考点自测1．下列命题是真命题的是( )．A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形2．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．1或34．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )．A ．60°B ．120°C ．30°D ．60°或120°5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 考向一 平面的基本性质及其应用 【例1】►如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．考向二 空间中两直线的位置关系【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【训练2】 在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．考向三 异面直线所成角【例3】►如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小； (2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．【训练3】如图，A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．热点突破18——准确判断空间点、线、面的位置关系【真题探究】►设l是直线，α，β是两个不同的平面() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l ⊥β【试一试】设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.其中正确命题的序号是()．A．①③B．①②C．③④D．②③限时训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交3．以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是() A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为______三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綉12AD，BE綉12F A，G、H分别为F A、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？8．(13分)在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈(]0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()．A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°2.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA 1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F 分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()．A．45°B．60°C．90°D．120°二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH是正方形．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．三、解答题(共25分)5．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC 的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．6．(13分)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．第4讲直线、平面平行的判定及其性质【高考会这样考】1．考查判定线面的位置关系．2．以多面体为载体，考查线面平行、面面平行的判定考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b ⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()．A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α4．下列命题正确的是()．A．若两直线和同一平面所成的角相等则这两直线平行B．平面内有三点到另一平面距离相等则这两个平面平行C．一直线平行于两相交平面则该直线与这两平面交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．考向一线面平行的判定及性质【例1】►如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．【训练1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AD；(2)求三棱锥E－ABC的体积．【例2】►如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.【训练2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H 分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【例3】►如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【训练3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．规范解答12——平行关系证明题的规范解答【真题探究】►如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【试一试】如图，在几何体ABCD－EFG中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG为等腰直角三角形，其中EF⊥FG，且EF∥AD，FG∥AB，AF⊥面ABCD，AB＝2FG＝2，BE ＝BD，M是DE的中点．(1)求证：FM∥平面CEG；(2)求几何体G－EFC的体积．A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面2．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；C．α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．6．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.8．(13分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l22．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.4．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α；l∥β，m∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．三、解答题(共25分)5．(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、。