第三章 第一节 中值定理
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第三章第一节微分中值定理
f (a)
f ( )
.
g(b) g(a) g( )
当 g(x) x, g(b) g(a) b a, g(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
f (b) f (a) f ( ).
ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
证 作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)].
g(b) g(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0.
即 f ( ) f (b) f (a) g( ) 0,
g(b) g(a)
f (b)
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
五、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
六、设函数 y f ( x) 在x 0 的某邻域内且有n 阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明： f ( x) f (n) (x)，（0 1 ）.
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
成立. 注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
同济七版NUAA高数课件 第三章 中值定理及导数的应用 第一节 微分中值定理
在(0, )内至少有一点，使 f ()=0， 即: cos =0, 故=/2。
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
注：要证明存在性和唯一性两部分
由零点定理证明存在性，由罗尔定理证 明唯一性.
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. பைடு நூலகம்另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
f (b) f (a) f (). ba
Lagrange中值公式
例8 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M . 由费马定理知: f () 0.
证法三 F( x) f ( x) f (b) f (a) x
ba
证法四
f (b) f (a) K , ba
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
注：要证明存在性和唯一性两部分
由零点定理证明存在性，由罗尔定理证 明唯一性.
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. பைடு நூலகம்另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
f (b) f (a) f (). ba
Lagrange中值公式
例8 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M . 由费马定理知: f () 0.
证法三 F( x) f ( x) f (b) f (a) x
ba
证法四
f (b) f (a) K , ba
第三章 1. 中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中
在微积分学, 复变函数和微分方程方面 .
一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯
西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学
校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
y
o
y
1
1
x y o
1
o
1
x
x
例1. 证明方程 正实根 .
有且仅有一个小于1 的
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f (x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点
a
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba
费马(fermat)引理
且
存在
(或 )
y
o
x0
x
罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f (x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
使 f ( ) 0.
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 令 则
第三章中值定理
3) lim f (x) x a g '( x)
存在 (或为)
limf(x) limf(x) xa g(x) xa g'(x)
(洛必达法则)
二、
型未定式
定理 2.
1 )lifm (x ) liF m (x )
x a
x a
2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 ,且 导 F(x)0
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0 )f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中
R2m(x)
s(1i)n mxc (o2m 2 s x1 ( )) x2m1
(2m 1) !
(01)
(3) f(x)co xs
类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
第三章 微分基本定理及其应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 导数应用
第一节 中值定理 第三章
一、罗尔( Rolle )中值定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
一、罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
yf(x) 在(x0)有定,义
①
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
高等数学 第3章 第一节 中值定理
6 6
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
高中物理课件-第三章-微分中值定理、导数的应用
lim x3 1 . x x 1
一、 0 0 型不定式 定理：设函数 f (x) 与 F (x) 满足：
0
（１）在点 a 的某去心邻域U (a) 内可导且 F(x) 0;
（２）
lim
xa
f
(x)
0,
lim
x a
F ( x)
0;
f (x)
（３）
lim
xa
F
(
x)
存在（或
）．
则
lim
xa
f F
(x) (x)
提示： f (2) f (1) f (0) f (1) 0, 且 f (x) 在三个区间 [2,1], [1,0] 和[0,1] 上都满足 Rolle 定理的条件．
在 (2,1), (1,0), (0,1) 内分别至少存在一点1, 2, 3 使 f (1) 0, f (2) 0, f (3 ) 0 ．即 f (x) 0 至少有三个实根．
F( )
f
( ) 2
f
( )
由 F ( ) 0 得 f ( ) f ( ).
【例】设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a, b) 内可导且 f (a) f (b) 0,
证明：在(a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) f ( ). 提示：令 F(x) ex f (x) ，可验证 F (x) 在[a,b] 上满足 Rolle
g(x) 0, f (a) f (b) g(a) g(b) 0.
证明：（１）在(a,b)内 g(x) 0;
（２）在(a,b)内至少存在一点, 使得
f ( ) g( )
f ( ) . g( )
提示：（１）假设c (a,b) 使 g(c) 0, 则由 Rolle 定理，
第三章1中值定理
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f()0.
注意:
定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
y
f(x)x0,,
0x1 x1
ห้องสมุดไป่ตู้
o
1x
y
f (x) x
f (x) x y
x [1,1]
x [0,1]
1 o 1 x
o
1x
例1. 证明方程 x55x10有且仅有一个小于1 的 正实根 .
d y f (t) d x F(t)
y f (b)
f (a)
o F(a)F()
F (b) x
例4. 设 f(x)在 [0,1]上连 ,在 (0,续 1)内可 ,证明导
至少存在一点(0,1),使 f() 2[f( 1 ) f(0 )].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
在 I 上必为常数.
例2.
证明等式
arx c a srix c n c ,x o [ s 1 ,1 ]. 2
注意:
定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
y
f(x)x0,,
0x1 x1
ห้องสมุดไป่ตู้
o
1x
y
f (x) x
f (x) x y
x [1,1]
x [0,1]
1 o 1 x
o
1x
例1. 证明方程 x55x10有且仅有一个小于1 的 正实根 .
d y f (t) d x F(t)
y f (b)
f (a)
o F(a)F()
F (b) x
例4. 设 f(x)在 [0,1]上连 ,在 (0,续 1)内可 ,证明导
至少存在一点(0,1),使 f() 2[f( 1 ) f(0 )].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
在 I 上必为常数.
例2.
证明等式
arx c a srix c n c ,x o [ s 1 ,1 ]. 2
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节
柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.
第三章 微分中值定理、导数的应用资料
分析：要证明 f ( ) f ( ), 只需证明 f ( ) f ( ) 0,
只需证明 x f (x) f (x) x 0, 只需证明 x f (x) (x) f (x) x 0,
xf (x) (x) f (x)
只需证明
当 x 0时，则在(x,0) 内至少存在一点 ，使
F(0) F(x) F ( )
0x
ex (1 x) x F( ) x (e 1) 0 ex 1 x
综上可得：当 x 0 ，有 e x 1 x .
四、柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 和 F(x) 满足: （1）在[a,b] 上连续； （2）在(a,b) 内可导且 F(x) 0. 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
提示： f (x) 0, f (x) 在 x 0处可导， f (x) 在 x 0处
连续， f (0) lim f (x) x0
lim x f (x) lim x lim f (x)
x0
x
x x0 x0
0.
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) 1.
f (x) . F (x)
【例】计算：(1) lim x x cosx x0 x sin x
提示：原式 lim 1 cosx xsin x lim sin x sin x x cosx
1 4
满足定理的结论．
推论 1：若在(a,b) 内 f (x) 0, 则在 (a,b) 内 f (x) 为一常数．
推论２：若在(a,b) 内 f (x) g(x), 则 f (x) g(x) C. （常数）．
只需证明 x f (x) f (x) x 0, 只需证明 x f (x) (x) f (x) x 0,
xf (x) (x) f (x)
只需证明
当 x 0时，则在(x,0) 内至少存在一点 ，使
F(0) F(x) F ( )
0x
ex (1 x) x F( ) x (e 1) 0 ex 1 x
综上可得：当 x 0 ，有 e x 1 x .
四、柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 和 F(x) 满足: （1）在[a,b] 上连续； （2）在(a,b) 内可导且 F(x) 0. 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
提示： f (x) 0, f (x) 在 x 0处可导， f (x) 在 x 0处
连续， f (0) lim f (x) x0
lim x f (x) lim x lim f (x)
x0
x
x x0 x0
0.
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) 1.
f (x) . F (x)
【例】计算：(1) lim x x cosx x0 x sin x
提示：原式 lim 1 cosx xsin x lim sin x sin x x cosx
1 4
满足定理的结论．
推论 1：若在(a,b) 内 f (x) 0, 则在 (a,b) 内 f (x) 为一常数．
推论２：若在(a,b) 内 f (x) g(x), 则 f (x) g(x) C. （常数）．
高数第三章第一节 中值定理
微 积 分
安徽职业技术学院公共教学部
二零零八年九月
1
第三章
导数的应用 导数为 工具
函数的单调性 与极值
函数的最大 值与最小值 曲线的凹凸 性与拐点
函数图形 的描绘
微分中值定理
罗必达法则
2
课堂练习
题1 验证函数 f ( x ) = 2 x 2 x 3 在区间 [ 1,1.5] 上满足罗尔 定理， 定理，并求出定理中的 ξ 值。 解 上连续， 内可导， 因为函数在 [ 1,1.5] 上连续，在 ( 1,1.5) 内可导，且
例6 解
1 1 求lim( ). x→0 sin x x x sin x 原式 = lim x→0 x sin x
( ∞∞ )
1 cos x = lim = 0. x→0 sin x + xcos x
28
3. 0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 00
0 ln0 取对数 ∞ 1 → ∞ ln1 0 ∞. 0 ln∞ 0 ∞
1 即 1 = 1 ln 2 1+ ξ 1 1 即为所求。 即为所求。 所以 ξ = ln 2
求 f ( x ) 在 [ a, b] 上满足 拉格朗日定理中的 ξ， 就 f (b) f ( a ) 是求 f ′(ξ ) = ba 在（a, b）内的根。
15
第二节 罗必达法则
16
罗必达(1661 – 1704)
30
1 ln x
内容小结
0 ∞ 0 0 ∞ 型及 型 ( 0 ∞ , ∞ ∞ , 0 ,1 , ∞ 型 ) 0 ∞
方 法
导 数 在 求 极 限 中 的 应 用 ----洛 比 达 法 则
31
内容小结
安徽职业技术学院公共教学部
二零零八年九月
1
第三章
导数的应用 导数为 工具
函数的单调性 与极值
函数的最大 值与最小值 曲线的凹凸 性与拐点
函数图形 的描绘
微分中值定理
罗必达法则
2
课堂练习
题1 验证函数 f ( x ) = 2 x 2 x 3 在区间 [ 1,1.5] 上满足罗尔 定理， 定理，并求出定理中的 ξ 值。 解 上连续， 内可导， 因为函数在 [ 1,1.5] 上连续，在 ( 1,1.5) 内可导，且
例6 解
1 1 求lim( ). x→0 sin x x x sin x 原式 = lim x→0 x sin x
( ∞∞ )
1 cos x = lim = 0. x→0 sin x + xcos x
28
3. 0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤 00
0 ln0 取对数 ∞ 1 → ∞ ln1 0 ∞. 0 ln∞ 0 ∞
1 即 1 = 1 ln 2 1+ ξ 1 1 即为所求。 即为所求。 所以 ξ = ln 2
求 f ( x ) 在 [ a, b] 上满足 拉格朗日定理中的 ξ， 就 f (b) f ( a ) 是求 f ′(ξ ) = ba 在（a, b）内的根。
15
第二节 罗必达法则
16
罗必达(1661 – 1704)
30
1 ln x
内容小结
0 ∞ 0 0 ∞ 型及 型 ( 0 ∞ , ∞ ∞ , 0 ,1 , ∞ 型 ) 0 ∞
方 法
导 数 在 求 极 限 中 的 应 用 ----洛 比 达 法 则
31
内容小结
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
第三章第一节微分中值定理
§3.1 微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理定理3.1(罗尔定理) 如果函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.图罗尔定理的几何意义是：函数()y f x =的曲线上至少存在一点，使得过该点的切线平行x 轴.证明：()y f x = 在[,]a b 上连续 ()f x ∴在[,]a b 上有最大值M 和最小值m(1)若M m =，则()()f x M m =为常数 ()0f x '∴=.(,)a b ξ∴∀∈，都有()0f ξ'=(2)若M m >，则M 和m 中至少有一个不等于()f a .设()M f a ≠，()M f ξ=，其中(,)a b ξ∈ M 是()f x 最大值，[,]x a b ξ∴∀+∆∈有()()f x f ξξ+∆≤， 即()()0f x f ξξ+∆-≤()()0f f ξξ+-''∴==，即()0f ξ'=.证毕0()()()lim 0x f x f f xξξξ++∆→+∆-'=≤∆ . 0()()()lim 0x f x f f xξξξ--∆→+∆-'=≥∆. ()f x 在(,)a b 可导，则在点ξ处可导 ()()()f f f ξξξ+-'''∴==例1 函数3()3f x x x =-在[3,3]-上满足罗尔定理条件，求符合罗尔定理结论的ξ. 解：2()33f x x '=-令()0f x '=，即2330x -=解得1x =或1x =- 而1、1-(3,3)∈- 取1(3,3)ξ=±∈-即为所求.二、拉格朗日(Lagrange)定理定理3.2(拉格朗日定理)如果函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 或()()()()f b f a f b a ξ'-=- 图拉格朗日定理的几何意义是：f x上至少存在一点，使得过曲线()A a f a，该点的切线平行于连结(,())B b f b两点的弦.(,())证明：设置辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，[,]x a b ∈ 显然()F x 满足罗尔定理的前两个条件()()()()()()f b f a bf a af b F a f a a b a b a--=-=--. ()()()()()()f b f a bf a af b F b f b b b a b a--=-=--.又()()()()f b f a F x f x b a-''=-- 所以()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=- 所以()()()f b f a f b aξ-'=-. 定理证毕 所以()()F a F b = 由罗尔定理知 在(,)a b 内至少存在一点ξ使得()0F ξ'=例2 函数3()f x x =在[0,3]上满足拉格朗日定理条件，求符合拉格朗日定理结论的ξ.解：2()3f x x '=，从而2()3f ξξ'= 由拉格朗日定理 2(3)(0)330f f ξ-=- 即33230330ξ-=-，解得3ξ=-或3ξ= 因为3(0,3)∈，所以3ξ=即为所求.三、相关结论在拉格朗日定理中，若令()()f a f b =，则结论变为()0f ξ'=.可见罗尔定理是拉格朗日定理特例.推论1 如果函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点的导数都等于零，则函数()f x 在(,)a b 内为一常数.推论2 若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内的每一点的导数()f x '和()g x '都相等，则这两个函数在区间(,)a b 内最多只能差一个常数.。
1 中值定理
所以, | sin x2 sin x1 || cos || x2 x1 || x2 x1 |
10
例3. 证明 当 x 0 时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (x) ln(1 x), x 0
对 f (t) ln(1 t) 在 [0, x] 上应用拉氏中值定理,
ba
易见 ( x)在 [a, b]上连续，在(a, b)内可导， 且
(a ) f(a ) (b) f (a )
即 (a )(b) 根据罗尔定理知， (a,b), 使 ( ) 0
即 f ( ) f ( b ) f ( a ) 0
ba
即 f ( b ) f ( a ) f ( )
)0
3
说明 1）罗尔定理的三个条件缺一不可
2）f (x0 ) 0, 称 x0为函数 f ( x) 的驻点.
例1. 不用求函数 f (x) (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数, 说明方程 f (x) 0 有几个实根,并指出它们所在的区间.
解 f ( x ) 在 [1,2 ] 上连续，(1,2)内可导 f ( 1 ) f ( 2 ) 0
证 设 f (x) sin x, f ( x)在 [x1, x2 ]或 [x2, x1]上满足拉氏定理条件, 由定理知,
(x1, x2 )或 (x2, x1) , 使 f (x2) f (x1) f ( )( x2 x1)
即 sin x2 sin x1 cos (x2 x1)
且g( x ) 0, 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
f ( b ) f ( a ) f ( ) 成立. g( b ) g( a ) g( )
10
例3. 证明 当 x 0 时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (x) ln(1 x), x 0
对 f (t) ln(1 t) 在 [0, x] 上应用拉氏中值定理,
ba
易见 ( x)在 [a, b]上连续，在(a, b)内可导， 且
(a ) f(a ) (b) f (a )
即 (a )(b) 根据罗尔定理知， (a,b), 使 ( ) 0
即 f ( ) f ( b ) f ( a ) 0
ba
即 f ( b ) f ( a ) f ( )
)0
3
说明 1）罗尔定理的三个条件缺一不可
2）f (x0 ) 0, 称 x0为函数 f ( x) 的驻点.
例1. 不用求函数 f (x) (x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 的导数, 说明方程 f (x) 0 有几个实根,并指出它们所在的区间.
解 f ( x ) 在 [1,2 ] 上连续，(1,2)内可导 f ( 1 ) f ( 2 ) 0
证 设 f (x) sin x, f ( x)在 [x1, x2 ]或 [x2, x1]上满足拉氏定理条件, 由定理知,
(x1, x2 )或 (x2, x1) , 使 f (x2) f (x1) f ( )( x2 x1)
即 sin x2 sin x1 cos (x2 x1)
且g( x ) 0, 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
f ( b ) f ( a ) f ( ) 成立. g( b ) g( a ) g( )
第三章微分中值定理资料
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有 一点C(F (), f ()),在 该点处的切线平行于 A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
F (2 )F (b)
x
证 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
以上两个都可说明问题.
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ =_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4 、微 分中 值定 理精 确地 表 达 函 数 在 一 个区 间上 的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间I 上是一个常数.
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有 一点C(F (), f ()),在 该点处的切线平行于 A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
弦AB.
o F(a) F(1) F(x)
F (2 )F (b)
x
证 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
以上两个都可说明问题.
练习题
一、填空题： 1、函数 f ( x) x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ =_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0 有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4 、微 分中 值定 理精 确地 表 达 函 数 在 一 个区 间上 的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间I 上是一个常数.
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f (a ) f (b) f ' ( ) 成立. F (a ) F (b) F ' ( )
几何解释:
f (b ) f (a ) 斜率kAB , F (b) F (a )
Y
f '( ) F '( )
dY k 过M或D点红线 , dX
C
X F ( x) Y f ( x)
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即
柯西（Cauchy）中值定理
若函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足：
（1） 在闭区间[a , b]上连续； （2） 在开区间 ( a , b ) 内可导； （3） F ' ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零， 那末 在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,使等式
第三章 微分中值定理
§3.1 中值定理 0 洛尔定理 0 拉格朗日中值定理 0 柯西中值定理
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费马 引理 设函数 f (x)在[a , b]上有定义，并且在点 x0(a , b)取到最值， f (x)在点x0 可导，则 f (x0 )=0。
y
o
x0
y
x o
x0
x
证: 设 f(x0)值最大, 则
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例2. 证明方程
正实根 .
有且仅有一个小于1 的
证: 1) 存在性 . 存在 x0 (0 ,1) , 使 f ( x0 ) 0, 2) 唯一性 . 假设另有
使f ( x1 ) 0,
f ( x ) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
注意 : 结论亦可写成
y f ( b) f ( a ) f ( ). ba 思考: f (b) f (a ) 表示什么? A ba
C
y f ( x)
D
B
表示直线AB的斜率. o a
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1
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2 b
x
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
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柯西（Cauchy）中值定理
若函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足：
（1） 在闭区间[a , b]上连续； （2） 在开区间 ( a , b ) 内可导； （3） F ' ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零， 那末 在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,使等式
若M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设 证毕 则由费马引理得 f ( ) 0 .
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注: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o
y
1
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1
x y o
1
o
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1
x
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x
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例1 : 求证4ax
3bx 2 2cx a b c 0在(0，内 1) 至少有一个根。
M N
D
B
在曲线弧AB上至少有一点 A C ( F ( ), f ( )), 在该点处的 F (a ) o 切线平行于弦AB .
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F ( 1 ) F ( x )
F ( 2 )F ( b )
X
下页
结束
柯西（Cauchy）中值定理
若函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足：
由x1, x2的任意性知: f (x)=常数, x∈(a, b) . 证毕!
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例3P134-6
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2
1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f (b) f (a ) f ( ) 0 证2:问题转化为证 a b f (b ) f (a) ( ) x 作辅助函数 ( x) f ( x) ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 证毕 即定理结论成立 .
在 x0 , x1 之间 至少存在一点
但 故假设不真!
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矛盾, 证毕
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足：
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b)内可导； 那么 在(a, b) 内至少存在一点( a<<b),使得 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
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1 1 1, 1 x 1
证毕
结束
[ x0 , x0 x] (a, b), 上的拉格朗日定理，
拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：
设 f ( x )在 在(a , b)内可导, [ x0 , x0 x] (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
（1） 在闭区间[a , b]上连续； （2） 在开区间 (a , b ) 内可导； （3） F ' ( x ) 在 (a , b ) 内每一点处均不为零， 那末 在(a , b ) 内至少有一点 (a b ),使等式
f (a ) f (b) f ' ( ) ' 成立. F (a ) F (b) F ( )
即 ln(1 x ) xf ( ), (0 x ) 1 又 f ( x ) , 1 x
又0 x
x ln(1 x ) , 1
1 1 1 x
x x x, 1 x 1
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x 即 ln(1 x ) x . 1 x
A
C
y f ( x)
D
B
o a
1
2 b
x
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结束
证明分析 (1)比较L-定理与R-定理不同?
y
M
A
y f ( x)
B
N
(2)曲线 f ( x ) 减去弦线 AB , o a
x
b
x
所得曲线在a, b两端点的函数值相等.
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证1: 直线AB方程:
LAB
0 0
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证毕
一、罗尔(Rolle)定理 P128 罗尔(Rolle)定理 如果函数 f(x)满足： （1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b)内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b), 那么在(a, b) 内至少存在一点( a<<b),使得函数 f(x)在该点的导数等于零，即： f '()= 0.
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柯西（Cauchy）中值定理
若函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足：
（1） 在闭区间[a , b]上连续； （2） 在开区间 ( a , b ) 内可导； （3） F ' ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零， 那末 在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,使等式
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
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证毕
例2. 证明方程
正实根 . 证: 1) 存在性 . 设 f ( x) x 5 5 x 1, 则 f ( x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
有且仅有一个小于1 的
由零点定理知存在 x0 (0 ,1) , 使 f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根 x0 .
也可表示成 y f ( x0 x) x (0 1).
而 y dy f x0 x
增量y的精确表达式 .
拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 微分中值定理
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 若函数 f ( x )及 F ( x ) 满足：
F ( x ) ax 4 bx 3 cx 2 (a b c ) x
? !
F ( x )在[0,1]上连续, (0,1)内可导, F (0) F (1) 0,
由Rolle定理知，至少 (0， 1), 使F ( ) 0,
即 : 4a 3 3b 2 2c a b c 0.
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推论
如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
证明：设区间I为 (a,b)，x1,x2是(a, b)内任意两点，
由拉格朗日中值定理,
f ( x 2 ) f ( x1 ) f ()( x2 x1 ) 0 ，(在x1,x2之间) f ( x2 ) f ( x1 )