利用三边关系判定三角形相似
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4.4第3课时利用三边判定三角形相似(教案)
a.根据已知三边长度判断两个三角形是否相似。
b.在已知一个三角形的三边长度和另一个三角形两边长度及它们之间的比例关系时，求解第三个边的长度。
c.运用相似三角形的性质，解决实际应用问题，如求物体的高度、距离等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和比较三角形，让学生理解并掌握三边判定三角形相似的条件，提高空间想象力和几何图形感知能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用三边判定三角形相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否相似的情况？”比如，在建筑设计中，我们可能需要通过三角形的相似性来计算建筑物的比例。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形相似的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尽力通过案例分析和图示来解释三边判定法，但似乎有一部分学生仍然感到困惑。我考虑在下一节课中增加一些互动环节，比如让学生自己尝试在纸上画出相似三角形，并实际测量边长比例，这样他们可以更直观地感受到相似三角形的性质。
在实践活动和小组讨论中，我看到学生们积极参与，这让我感到很高兴。他们通过讨论和实验操作，不仅加深了对三角形相似的理解，还学会了如何将理论知识应用到实际问题中。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能过于依赖组内的一两个学生，而其他成员参与度不高。我计划在接下来的课程中，鼓励每个学生都积极参与讨论，确保每个人都有机会表达自己的观点。
-通过典型题目，如已知两个三角形用。
-以实际问题为例，如求建筑物的高度，引导学生运用相似三角形的性质进行求解。
2.教学难点
b.在已知一个三角形的三边长度和另一个三角形两边长度及它们之间的比例关系时，求解第三个边的长度。
c.运用相似三角形的性质，解决实际应用问题，如求物体的高度、距离等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和比较三角形，让学生理解并掌握三边判定三角形相似的条件，提高空间想象力和几何图形感知能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用三边判定三角形相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否相似的情况？”比如，在建筑设计中，我们可能需要通过三角形的相似性来计算建筑物的比例。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形相似的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尽力通过案例分析和图示来解释三边判定法，但似乎有一部分学生仍然感到困惑。我考虑在下一节课中增加一些互动环节，比如让学生自己尝试在纸上画出相似三角形，并实际测量边长比例，这样他们可以更直观地感受到相似三角形的性质。
在实践活动和小组讨论中，我看到学生们积极参与，这让我感到很高兴。他们通过讨论和实验操作，不仅加深了对三角形相似的理解，还学会了如何将理论知识应用到实际问题中。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能过于依赖组内的一两个学生，而其他成员参与度不高。我计划在接下来的课程中，鼓励每个学生都积极参与讨论，确保每个人都有机会表达自己的观点。
-通过典型题目，如已知两个三角形用。
-以实际问题为例，如求建筑物的高度，引导学生运用相似三角形的性质进行求解。
2.教学难点
用三边比例关系判定三角形相似
2 易错小结
【中考·东营】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，
另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x
的值( B )
A．只有1个
B．有2个
C．有3个
D．有无数个
易错点：易因考虑问题不全面而致错.
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边
长的和是( C )
A．19
B．17
C．24
D．21
7 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三 角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形 框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为
( D) A．2.5，3 C．1.6，2.4
B.
4，5 33
D．2.5，3或
17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。——马克 思
B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC
≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′.
如图，在△ABC和△A'B'C'中， AB = BC AC ， AB BC AC
求证： △ABC∽△A'BA′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D
作 DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得
相似三角形的判定(三边对应成比例)
(2)△ABC与△DEF相似 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
A
B C F
D
E
4.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD 下列结论正确的是（ C ） A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
F
B
AB BC CA DE EF FD
∴ △ABC ∽△ DEF
D E
根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个 B 三角形是否相似。
(1)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF DE=6，EF=8，DF=12 (2)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF F DE=6，EF=8，DF=12
？
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
B
C
C’
A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
在纸上画两个三角形△ABC 和 △A'B'C' ,使AB =4厘米， AC =6厘 米， BC =8厘米，A'B' =2厘米， A'C' =3厘米 ，B'C' =4厘米. 回答下面的问题： A A' B' B' C' A' C' , , (1)分别计算 ，
A 证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
1 1 1 ∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB 2 2 2
DE DF EF ∴ BC AC AB
A
B C F
D
E
4.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD 下列结论正确的是（ C ） A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
F
B
AB BC CA DE EF FD
∴ △ABC ∽△ DEF
D E
根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个 B 三角形是否相似。
(1)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF DE=6，EF=8，DF=12 (2)AB=3，BC=4，AC=6； △ABC∽△DEF F DE=6，EF=8，DF=12
？
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
B
C
C’
A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
在纸上画两个三角形△ABC 和 △A'B'C' ,使AB =4厘米， AC =6厘 米， BC =8厘米，A'B' =2厘米， A'C' =3厘米 ，B'C' =4厘米. 回答下面的问题： A A' B' B' C' A' C' , , (1)分别计算 ，
A 证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
1 1 1 ∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB 2 2 2
DE DF EF ∴ BC AC AB
27.2.1 相似三角形的判定--三边
D B 分析： 分析： DE∽△ △A′DE∽△A′B′C′ DE≌△ △A′DE≌△ABC C B′
E C′
} ?
△ABC∽△A′B′C′ ABC∽△
相似三角形的判定 简称：三边） 3、(简称：三边）：如果两个三角形的三组对 应边的比相等，那么这两个三角形相似. 应边的比相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定
对应角相等, 1、 对应角相等,三组对应边的比也相等的两 个三角形是相似三角形 相似三角形. 个三角形是相似三角形. A′符号语言： △ABC和△A´B´C´中， ′ 符号语言： 在 ABC和 A
∵ ∠ A = ∠ A ′, ∠ B = ∠ B ′, ∠ C = ∠ C ′ B C B′ C′
D B E C
∴△ADE∽△ABC ∽
探究： 探究：
任意画一个△ABC中 再画一个△ 任意画一个△ABC中, 再画一个△ A´B´C´, 使它 的各边长都是△ABC各边长的 各边长的k 的各边长都是△ABC各边长的k倍. 度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？ （1）度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？ ABC与 有什么关系? （2） △ABC与△ A´B´C有什么关系? A′ A
B
C B′ C′
结论：如果两个三角形的三组对应边的比 结论： 相等，那么这两个三角形相似. 相等，那么这两个三角形相似.
推理论证： 推理论证：
已知: 已知:在△ABC和△A′B′C′中 ABC和 求证: ABC∽△ 求证:△ABC∽△A′B′C′ A
AB BC AC , = = A′B′ B′C′ A′C′ A′
4cm
5cm
3cm
小结： 小结：
与同桌交流一下你这节课的收获! 与同桌交流一下你这节课的收获 相似三角形判定方法
相似直角三角形三边比例关系
相似直角三角形三边比例关系相似直角三角形是指具有相同形状但尺寸不同的直角三角形。
在相似直角三角形中，三条边的比例关系是一个重要的性质。
在本文中，我们将探讨相似直角三角形的三边比例关系，并解释其几何意义。
在直角三角形中，两条边与直角的夹角为90度，而第三条边则是斜边。
我们可以用a、b、c来表示直角三角形的三边，其中a和b 分别为直角的两条边，c为斜边。
在相似直角三角形中，如果两个直角三角形的对应边长之比相等，那么这两个三角形就是相似的。
假设有两个相似直角三角形，它们的边长分别为a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下关系：a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂其中a₁/a₂表示a₁与a₂的比值，b₁/b₂表示b₁与b₂的比值，c₁/c₂表示c₁与c₂的比值。
这个比值可以用任意单位来表示，如厘米、米等，因为比值是一个无量纲的数。
可以看出，相似直角三角形的三边比例关系是固定的，在同一个相似直角三角形中，任意两边之比都等于另一对相似直角三角形相应边之比。
这个比例关系可以帮助我们计算未知边长或角度。
例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，我们可以根据三边比例关系计算出斜边的长度。
设斜边的长度为c，则根据三边比例关系有：3/c = 4/3通过交叉相乘得到：3 * 3 =4 * c化简得到：9 = 4c解方程得到：c = 9/4 = 2.25cm因此，斜边的长度为2.25cm。
除了计算边长，三边比例关系还可以帮助我们计算角度。
在相似直角三角形中，两个角度之比等于两个对边之比。
例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，我们可以通过三边比例关系计算出斜边与直角的夹角。
设直角的两边分别为a和b，斜边为c，直角的两个角分别为A和B。
根据三边比例关系有：a/b = A/B代入已知边长得到：3/4 = A/B通过交叉相乘得到：3B = 4A通过解方程得到：B = (3/4)A因此，斜边与直角的夹角B等于直角的夹角A的三分之四。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
27.2相似三角形1相似三角形的判定用三边比例关系判定三角形相似(教案)
然而，我也注意到在小组讨论中，有些学生过于依赖同伴，自己思考不足。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们独立思考，提高问题解决能力。此外，对于教学难点，我可能需要设计更多有针对性的练习和解释，以帮助学生克服困难。
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
在总结回顾环节，学生们对今天所学的知识有了整体的认识，但仍有个别学生表示对某些部分理解不够透彻。这提醒我，在后续的教学中，要关注学生的个体差异，尽量让每个学生都能跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三边比例关系判定相似的两个重点：三组对应边的比例相等和两组对应边的比例相等且夹角相等。对于难点部分，我会通过具体的图形和例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何通过测量边长和角度来判断两个三角形是否相似。
b.如果两个三角形中有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，即a/ b = c/ d，且∠A = ∠C或∠B = ∠D，则这两个三角形相似。
二、核心素养标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.空间观念：通过探究相似三角形的判定，使学生能够理解和运用空间图形的性质，发展空间想象力和直觉思维能力。
2.抽象概括能力：引导学生从具体实例中抽象出相似三角形的判定方法，提高他们的逻辑推理和概括能力。
3.数据分析观念：培养学生通过观察、分析三角形边长数据，运用三边比例关系解决问题的能力，增强数据分析观念。
4.数学应用意识：将相似三角形的判定应用于解决实际问题，让学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
-重点知识点举例：
a.如果两个三角形的三组对应边的比例相等，即a/ b = c/ d = e/ f，则这两个三角形相似。
三边对应成比例的两个三角形相似
解：（1）相似. 设小方格边长为1，
则AB=2, BC=2 2，AC=2 5, EF=2，ED= 2 , DF= 10 .
∵ DE EF DF
AB BC AC
2 2
∴△DEF∽△ABC.
（2）求图2中x和y的值.
解：（2）∵ AC BC 1.5
EC DC
∠ACB=∠ECD ∴△ACB∽△ECD ∴∠B=∠D=98°， x 1.5
两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似.
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm， 在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说 是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
∵ AB AC
A' B' A' C '
又∠A=∠A' ∴ △ABC∽△A'B'C'
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是 否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm, ∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
相似，因为两边成比例，夹角相等. （2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
• 学习重、难点：
重点：三角形相似的判定1和判定2.
难点：两判定定理的证明.
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形， 再画一个三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角， 他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与 同学交流一下，看看是否有同样的结论.
利用三边判定三角形相似
△ ABC与△ ABC相似.
例4 图4-4-3,图4-4-4中小正方形的边长均为1,则图4-4-4 中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形?
图4-4-3
图4-4-4
课堂练习
1.已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9. (2)AB=4， BC=8， AC＝10.
复习
A A′
B
C B′
C′
△ABC∽△A′B′C′的判断方法：
B B' , C C' B B' , AB BC
ABC ∽ A' B' C'
A' B' B'C' ABC ∽ A' B' C'
导入新课
想一想
A A′
B
C B′
C′
如果： AB AC BC A' B' A'C' B'C'
是否有△ABC∽△A′B′C′？
黄金分割： A CB
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC = BC
AB
AC
AC2=AB ∙ BC
ห้องสมุดไป่ตู้那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
AC 与 AB 的比叫做黄金比.
记法：
做一做
1.计算黄金比.
解：由 AC BC ，得AC2 = AB·BC.
求证：三边成比例的两个三角形相似
已知：△ABC和△A′B′C′中， AB AC BC
例4 图4-4-3,图4-4-4中小正方形的边长均为1,则图4-4-4 中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形?
图4-4-3
图4-4-4
课堂练习
1.已知△ABC和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6.
DE＝6， EF＝8， DF＝9. (2)AB=4， BC=8， AC＝10.
复习
A A′
B
C B′
C′
△ABC∽△A′B′C′的判断方法：
B B' , C C' B B' , AB BC
ABC ∽ A' B' C'
A' B' B'C' ABC ∽ A' B' C'
导入新课
想一想
A A′
B
C B′
C′
如果： AB AC BC A' B' A'C' B'C'
是否有△ABC∽△A′B′C′？
黄金分割： A CB
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC = BC
AB
AC
AC2=AB ∙ BC
ห้องสมุดไป่ตู้那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,
AC 与 AB 的比叫做黄金比.
记法：
做一做
1.计算黄金比.
解：由 AC BC ，得AC2 = AB·BC.
求证：三边成比例的两个三角形相似
已知：△ABC和△A′B′C′中， AB AC BC
三角形的相似性质及证明
三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。
其中之一便是相似性质。
本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。
一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。
记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。
因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。
因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。
1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。
三角形相似的判定条件
三角形相似的判定条件：三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。
二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。
反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。
2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
由此，所有的等边三角形都相似。
22.2.4相似三角形判定(三边)
A’
AC BC A' C ' B' C ' 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取 B’ A
AD=A’B’过点D作DE∥BC交AC于点E.
C’
AB AC BC ∴△ADE∽△ABC AD AE DE AB AC BC 又 AD=A’B’, A' B' A' C' B' C' ∴ AE=A’C’,DE=B’C’.
与同桌交流一下你这节课的收获!
相似三角形判定方法
1、相似三角形定义: 对应边成比例且对应角相等的两个三角形；
2、预备定理:
平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似。 3、定理1（AA)；定理2(SAS)；定理3(SSS)
A D E O E D B
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC (△ ODE ∽ △ OCB)
CB
C
相似三角形的判定定理1：两角对应相等的两个三 角形相似 相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且夹角 相等的两三角形相似
自学提纲1
已知:如图△ABC和△A’B’C’中 AB 求证:△ABC∽△A’B’C’. A' B'
相等 对应边的比相等 1. 对应角_______, ————— 的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 , 各对应边—————— 的比相等。 2. 相似三角形的————————— 3.如何识别两三角形是否相似?
相似三角形的定义 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长 线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
△ABC∽△A’B’C’
抢答题：在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成 立，试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明由．
27.2.1 相似三角形的判定 课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似
第二十七章 相似
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2.掌握三边关系、边角关系判定三角形相似的方法，并能进行相 关计算.（重点、难点）
新课讲解
结论
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB AB
BC B C
CA C A
，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
新课讲解
典例分析 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
例
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
P D
P C
B
△ADP 和 △ABC 相似．
拓展与延伸
4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证： △ABC∽△EFD．
新课导入
情景导入
证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证 明三角形相似的启发吗？
A
D
E
SSS，SAS，AAS， ASA，HL
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2.掌握三边关系、边角关系判定三角形相似的方法，并能进行相 关计算.（重点、难点）
新课讲解
结论
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB AB
BC B C
CA C A
，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
新课讲解
典例分析 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
例
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
P D
P C
B
△ADP 和 △ABC 相似．
拓展与延伸
4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证： △ABC∽△EFD．
新课导入
情景导入
证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证 明三角形相似的启发吗？
A
D
E
SSS，SAS，AAS， ASA，HL
用三边比例关系判定两三角形相似
解： ∵ ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′.
知1－讲
总结
这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定 方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定 方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边的对应 关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
知1－讲
知1－练
1 已知△ABC的三边AB＝ 5 cm，AC＝10 cm，BC＝ 12 cm， △A′B′C′的三边A′B′＝3 cm， A′C′ ＝ 6 cm， B′C′ ＝ 7.2 cm.判断△ABC与△A′B′C′是否相似.
知3－练
，AD＝2.当AB的长为多
（来自《点拨》）
知3－练
2 在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，EF＝6，如果 Rt△ABC和Rt△DEF相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是( )
A．∠A＝∠D＝90° B．∠B＝∠E＝90° C． D．∠A＝∠E＝90°
（来自《典中点》）
1.学习时采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角 形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关 两个三角形相似的判定方法.
2.利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”： (1)排序：将三角形的边按大小顺序排列； (2)计算：分别计算它们对应边的比值； (3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似．
用三边比例关系判定两 三角形相似
2020/8/17
1 课堂讲解 2 课时流程
三边成比例的两个三角形相似 网格上相似三角形的判定 直角三角形相似的条件
逐点 导讲练
课堂小结
作业提升
判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似 地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法 呢?
知识点
相似三角形找对应边关系的诀窍
相似三角形找对应边关系的诀窍主要有以下三种：
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似。
这种方法下，顶点之间的对应关系比较好找，只需将两个角的顶点写在对应的位置上，第三个顶点就自然确定了。
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这
两个三角形相似。
此时可以用三点定型法：确定三角形和夹角的思路。
先根据两边所在的三角形和两边夹角来确定一个顶点，然后结合数据将短边对应短边写在相应位置，长边对长边写在相应位置即可确定另外两个顶点。
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这种
情况下，可以随意找三个顶点作为起始点，然后按照边的比例关系找到另外三个顶点。
相似三角形的判定(边边边)
点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移
动.如果P，Q同时出发，用t（s）表示移 B
动的时间（0≤t≤6），那么：
Q
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函
数解析式；
OP A
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点 C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为何值是，△POQ与△AOB相 似？
B
C B'
C'
方法3：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相
似
A
AB AC A A'
A'
A' B' A'C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
B
C B'
C'
判定方法4 ：如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简记为：三边对应成比例的两个三角形相似.
C
符号语言：
方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角行与原三角形相似AD源自EB （图1） C
D
E
A
B
（图2）
C
• 两个三角形全等判别方法：SSS
•
SAS
•
ASA
•
AAS
方法1：·定义： 三个角分别相等，三边成比例
方法2：有两角对应相等的两三角形相似
A
A A' B B'
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
在△ABC与△DEF 中
∵
A
F
B
∴ △ABC ∽△ DEF
27.2.3 用三边关系判定三角形相似
B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC
≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′.
知1－讲
如图，在△ABC和△A'B'C'中， AB = BC AC ， AB BC AC
求证： △ABC∽△A'B'C'.
知1－讲
证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D
作 DE//B′C′，交A′C′于点E.根据前面的定理，可得
△A′DE∽△A'B'C'. ∴ AD = DE AE .
AB BC AC
又 AB = BC AC ，AD AB， AB BC AC
∴ DE BC ，AE = AC . BC BC AC AC
△A′DE是证 明的中介，它把 △ABC与△A′B′C′ 联系起来.
知1－练
1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似， 并说明理由: AB= 10 cm，BC = 8 cm，AC = 16 cm, A′B′= 16 cm，B′C′= 12. 8 cm，A′C′= 25. 6 cm.
解：相似
∵ AB = 10 5，BC 8 5，AC = 16 5， AB 16 8 BC 12.5 8 AC 25.6 8
9 B′C′＝6 cm，A′C′＝ 2 cm C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ 6 cm，B′C′＝ A′C′＝ 5 cm D．AB＝1 cm，BC＝ 5 cm，AC＝3 cm；A′B′＝ 15 cm， B′C′＝ 2 3 cm，A′C′＝ 6 cm
知1－练
5 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三 角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形 框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为
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分析：从图中可以看出，在△ABC与△ADE中，∠A=∠A,根据三 角形相似的判定定理，只要∠B=∠D或AC:AE=AB:AD,都 有△ABC∽△ADE.
解：（1）∵ ∠A=∠A，∴当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. （2） ∵ ∠A=∠A，∴当 AC:AE=AB:AD 时，
△ABC∽△ADE.
总结
分别为OA，OB，OC的中点，
求证：△DEF∽△ABC.
知识点 2 网格上的相似三角形的判定
【例3】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形， △ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上，判断 △ABC与△A′B′C′是否相似，为什么？
解：由于△ABC与△A′B′C′的顶点均在格点上， 根据勾股定理，得
（2）当AP:AC满足什么条件时， △ACP∽△ABC？
2 如图，AE=4cm,AD=3cm,DE=2.4cm, BD=2cm,
CE=
8 3
cm,求BC的长.
3 若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与
△A′B′C′相似的是( )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B′＝3 cm，
B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B′＝3 cm，
9
B′C′＝6 cm，A′C′＝2 cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ 6 cm， B′C′＝A′C′＝ 5 cm
D．AB＝1 cm，BC＝ 5 cm，AC＝3 cm；A′B′＝ 15
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第4课时 利用三边关系判定 两三角形相似
1.全等三角形与相似三角形有怎样的关系? (全等三角形是特殊的相似三角形,相似比k=1)
2.如果要判定△ABC与△A′B′C′相似,是不是一定需要 一一验证所有的对应角和对应边的关系? (不需要)
知识点 1 相似三角形判定定理3
要找三角形相似的条件，关键抓住两点： (1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到
一对对应角相等，判断相等的角的两夹边是否对 应成比例； (2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例． 除此之外也可考虑平行线分线段成比例定理及相 似三角形的“传递性”．
1 在△ABC中，∠C>∠B,P是边AB上的一点，连接CP. (1)当∠ACP满足什么条件时， △ACP∽△ABC？
相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单 说成：三边成比例的两个三角形相似)． 数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中， ∵ AB BC CA k,
AB BC CA ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点精析：由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对 应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为 三边对应成比例即可．
AB 12 12 2，AC 2，AB 12 32 10，
AB 12 22 5，AC 12 32 10，BC 5. AB 2 10 ，AC 2 10 , BC 10 , AB 5 5 AC 10 5 BC 5
cm， B′C′＝2 3 cm，A′C′＝ 6 cm
4 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的
一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个
三角形相似( )
A．2 cm，3 cm
B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm
D．6 cm，7 cm5 如图 NhomakorabeaO为△ABC内一点，点D，E，F
3 AB 2 2， AC 10 2，
AB 2
AC 5
BC 2 2, BC 1 AB AC BC ，
AB AC BC
△ABC∽△ABC.
【例2】 如图，BC与DE相交于点O.问： （1）当∠B满足什么条件时， △ABC∽△ADE? （2）当AC:AE满足什么条件时， △ABC∽△ADE?
3 (中考·菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网 格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4， P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
AB AC BC , AB AC BC
△ABC∽△ABC.
1 如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方 形边长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形 ”(三角形顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角 形的为( )
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
2 (中考·荆州)下列4×4的正方形网格中，小正方 形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上， 则与△ABC相似的三角形 所在的网格图形是( )
解：1 AB 5 1， AC 3 1，
AB 10 2 AC 6 2
AB AC , AB AC A A 45,△ABC∽△ABC.
2∠B 180－（∠A ∠C） =180－38+97 45,
∠B ∠B 45. ∠A ∠A 38, △ABC∽△ABC.
由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角 形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那 么能否判定这两个三角形相似呢?
探究: 任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边 长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角 形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗? 与同学交流一下,看看是否有同样的结论.
【例1】 在△ABC和△A ′B ′C ′中，已知下列条件成立，判断这两个 三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3,∠A=45°， A ′B ′=10， A ′C ′=6， ∠A ′=45°； (2) ∠A=38°, ∠C=97°， ∠A ′ =38°，∠B ′ =45°； （3）AB=2，BC= 2 ,AC= 10 , A ′B ′= 2 ， B′C ′=1, A ′C ′= 5 .
解：（1）∵ ∠A=∠A，∴当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. （2） ∵ ∠A=∠A，∴当 AC:AE=AB:AD 时，
△ABC∽△ADE.
总结
分别为OA，OB，OC的中点，
求证：△DEF∽△ABC.
知识点 2 网格上的相似三角形的判定
【例3】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形， △ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上，判断 △ABC与△A′B′C′是否相似，为什么？
解：由于△ABC与△A′B′C′的顶点均在格点上， 根据勾股定理，得
（2）当AP:AC满足什么条件时， △ACP∽△ABC？
2 如图，AE=4cm,AD=3cm,DE=2.4cm, BD=2cm,
CE=
8 3
cm,求BC的长.
3 若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与
△A′B′C′相似的是( )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B′＝3 cm，
B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B′＝3 cm，
9
B′C′＝6 cm，A′C′＝2 cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ 6 cm， B′C′＝A′C′＝ 5 cm
D．AB＝1 cm，BC＝ 5 cm，AC＝3 cm；A′B′＝ 15
第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第4课时 利用三边关系判定 两三角形相似
1.全等三角形与相似三角形有怎样的关系? (全等三角形是特殊的相似三角形,相似比k=1)
2.如果要判定△ABC与△A′B′C′相似,是不是一定需要 一一验证所有的对应角和对应边的关系? (不需要)
知识点 1 相似三角形判定定理3
要找三角形相似的条件，关键抓住两点： (1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到
一对对应角相等，判断相等的角的两夹边是否对 应成比例； (2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例． 除此之外也可考虑平行线分线段成比例定理及相 似三角形的“传递性”．
1 在△ABC中，∠C>∠B,P是边AB上的一点，连接CP. (1)当∠ACP满足什么条件时， △ACP∽△ABC？
相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单 说成：三边成比例的两个三角形相似)． 数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中， ∵ AB BC CA k,
AB BC CA ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点精析：由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对 应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为 三边对应成比例即可．
AB 12 12 2，AC 2，AB 12 32 10，
AB 12 22 5，AC 12 32 10，BC 5. AB 2 10 ，AC 2 10 , BC 10 , AB 5 5 AC 10 5 BC 5
cm， B′C′＝2 3 cm，A′C′＝ 6 cm
4 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的
一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个
三角形相似( )
A．2 cm，3 cm
B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm
D．6 cm，7 cm5 如图 NhomakorabeaO为△ABC内一点，点D，E，F
3 AB 2 2， AC 10 2，
AB 2
AC 5
BC 2 2, BC 1 AB AC BC ，
AB AC BC
△ABC∽△ABC.
【例2】 如图，BC与DE相交于点O.问： （1）当∠B满足什么条件时， △ABC∽△ADE? （2）当AC:AE满足什么条件时， △ABC∽△ADE?
3 (中考·菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网 格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4， P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
AB AC BC , AB AC BC
△ABC∽△ABC.
1 如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方 形边长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形 ”(三角形顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角 形的为( )
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
2 (中考·荆州)下列4×4的正方形网格中，小正方 形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上， 则与△ABC相似的三角形 所在的网格图形是( )
解：1 AB 5 1， AC 3 1，
AB 10 2 AC 6 2
AB AC , AB AC A A 45,△ABC∽△ABC.
2∠B 180－（∠A ∠C） =180－38+97 45,
∠B ∠B 45. ∠A ∠A 38, △ABC∽△ABC.
由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角 形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那 么能否判定这两个三角形相似呢?
探究: 任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边 长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角 形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗? 与同学交流一下,看看是否有同样的结论.
【例1】 在△ABC和△A ′B ′C ′中，已知下列条件成立，判断这两个 三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3,∠A=45°， A ′B ′=10， A ′C ′=6， ∠A ′=45°； (2) ∠A=38°, ∠C=97°， ∠A ′ =38°，∠B ′ =45°； （3）AB=2，BC= 2 ,AC= 10 , A ′B ′= 2 ， B′C ′=1, A ′C ′= 5 .