福建省2016届高三基地校总复习综合卷数学试题(福州一中、福州三中、福安二中理科)

2016届高三数学（理科）模拟试卷
（完卷时间120分钟 满分150分） 福州一中（执笔） 福州三中 福安二中
注意事项： （满分：150分 考试时间120分钟）
1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷
3至5页。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）若复数12a i
z i
+=
-（a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则2a i +等于（ ）
（A ） 2 （B ） （C ）4 （D ）8 （2）已知集合}06|{2≤--∈=x x x X
Z ，},1|{2R ∈-==x x y y Y ，则X Y =
（ ）
（A ）{3,2,1,0}--- （B ）{2,1,0}--
（C ）{3,2,1,0,1}---
（D ）{2,1,0,1}--
（3）已知命题R ∈∀x p :，1e >x ；命题R ∈∃0:x q ，020log 2x x >-，则下列命题中
为真命题的是（ ） （A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝
（C ）q p ⌝∧
（D ）q p ⌝∧⌝
（4）()()3
4
121x x +-展开式中x 项的系数为（ ）
（A ）10
（B ）10- （C ）2 （D ）2-
（5）《张丘建算经》是我国古代数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，
初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织五尺，一个月（按30天计）共织390尺，问：每天多织多少布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，估算出每天多织的布约有（ ） （A ）055.尺 （B ）053.尺 （C ）052.尺 （D ）050.尺 （6）某程序框图如下图所示，若输出的57S =，则判断框内为( )
（A ）4?k > （B ）5?k > （C ）6?k > （D ）7?k >
（7）（7
）
设12,F F 分别是双曲线22
221x y a b
-=(a ﹥0,b ﹥0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一
点P ，使得()
022=⋅+F OF ，其中O 为坐标原点，且122PF PF =，则该双曲线的
离心率为( )
A.
3
1
C.2
（8）在ABC ∆中，6=⋅，7=⋅BA BC ，那么=BC （ ） （A ）13
（B ）6 （C ）7
（D ）13
（9）已知正三棱锥P －ABC 中，E ，F 分别是AC ，PC 的中点，若EF ⊥BF ，2=AB ，
则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为（ ）
（A ）4π （B ）6π （C ）8π （D ）12π （10）已知函数()()2f x sin x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对
x R ∈恒成立，()f x 的单调递增区间是（
）
（A
（B （C ）()26
3k ,k k Z π
πππ⎡
⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
（D （11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某四面体的三视图，则
该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）
（A ）52
（B ）24
（C ）6
（D ）34
（12）已知定义在()0,+∞上的函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=(e 为自然对数的
底数)且()13f =-，()20f =，则函数()y f x =（ ） （A ）有极小值，无极大值 （B ）有极大值，无极小值 （C ）既有极小值又有极大值 （D ）既无极小值，又无极大值
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）点(,)M x y
是不等式组03,x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，则21x y -+的
最大值是 .
（14）已知直线043=++c y x 与圆心为C 的圆2)1(2
2
=-+y x 相交于A ，B 两点，且
∆ABC 为直角三角形，则实数c 等于____________．
（15）已知△ABC 的内角A ，C 满足
sin cos()sin C
A C A
=+,则tan C 的最大值为 . （16）若数列}{n a 前n 项和为n S ，221==a a ，且满足563221++=++++n n S S S n n n ，
E
D
C
B
A
则47S 等于_________．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 如图,在△ABC 中,3
B π
=
,2BC =,点D 在边A B 上,A
D D C =, D
E A C ⊥,E 为垂足.
(Ⅰ)若△BCD
求CD
的长;
(Ⅱ)若D E =
,求角A 的大小.
（18）（本小题满分12分）
某校为选拔参加“某谜语大会”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图(如下图所示)．
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数； （Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为
34，乙队猜对前两条的概率均为4
5
，猜对第3条的概率为
1
2
．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪一队？
（19）（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB CF ====，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ． （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（II ）若点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB
所成二面角的平面角为
(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
O 为坐标原点，直线l 与圆222=+y x 相切．
（Ⅰ）若直线l 分别与x ，y 轴正半轴交于A ，B 两点，求AOB ∆面积的最小值及面积取得最小值时的直线l 的方程；
（Ⅱ）设直线l 交椭圆13
62
2=+y x 于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，求OM 的取值范围．
（21）（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x x =+． （Ⅰ）证明：当0x >时，()f x x ≤； （Ⅱ）设()()1
1ln 1g x ax a x x
=+-⋅
--，若()0g x ≥对0x >恒成立，求实数a 的 取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分。

做答时，请写清题号．
（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，梯形ABCD 内接于圆O ，//AD BC ，过点C 作圆O 的切线，交BD 的延长线于点F ，交AD 的延长线于点E ． （Ⅰ）求证：2
AB DE BC =⋅；
（Ⅱ）若9,6,9BD AB BC ===，求切线FC 的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已
知曲线1C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，曲线2C 的极坐标方程为()sin 0a a ρθ=>，射线θϕ=，4
π
θϕ=+
，4
π
θϕ=-
，2
π
θϕ=+
，与曲线1C 分别交
异于极点O 的四点A 、B 、C 、D ．
（Ⅰ）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 曲线化成直角坐标方程； （Ⅱ）求OA OC OB OD ⋅+⋅的值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()f x x m =+.
(Ⅰ) 解关于m 的不等式()()125f f +-≥； (Ⅱ)当0x ≠时，证明：()12f f x x ⎛⎫
+-≥
⎪⎝⎭
． 2016届高三理科数学综合模拟试卷答案
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【答案】B 【解析】因为()212125
a a i
a i z i -+++=
=-是纯虚数，所以2a =，
222a i i +=+=（2）【答案】D
【解析】集合}3,2,1,0,1,2{--=X ，集合|}1|{≤=y y Y ，所以Y X ={2,1,0,1}--． （3）【答案】B
【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以q p ∧⌝是真命题．
（4）【答案】C
【解析】展开式中x 项的系数为()1143122C C ⋅-+⋅=
【解析】第一步：21242S ,k =⨯+==；第二步：243113S ,k =⨯+==； 第三步：第四步：2265575S ,k =⨯+==，此时输出S ；故填4k >？，选A ． （7）【答案】D
【解析】依题意12PF PF ⊥，从而12
1
2
2P F P F F F =：：，所以离心率
2
2c e a =
==，故选D ． （8）【答案】D
【解析】13)(2
==+⋅=⋅+⋅，所以13=BC ． （9）【答案】 B
【解析】连接BE ，则BE 设PA =PB =PC =x ，则EF =12x ，BF 因为EF ⊥BF ，
所以2211
3(8)44
x x =
++，解得x =2+222=，故侧棱PA ，PB ，PC
两两垂直，从而正三棱锥P －ABC
，故外接球的半径为2
R =，所求表面积2
46S R ππ==． （10）【答案】C
对x R ∈恒成立，则
C ． （11）【答案】C
【解析】三视图对应的直观图为三棱锥BCD A -，如图所示最长棱长为=CD 6．
D
C
B
A
（12）【答案】A 【解析】构造函数()()f x h x x =，()()()220x x
xf x f x xe e h x x x x
'-'=
==> 由()()x xf x f x xe '-=得()()x
f x f x e x
'=
+， 所以()()()0x x x
f x e f x e e x x '⎡⎤'''=+=+>⎢⎥⎣⎦
，即()f x '在()0,+∞上单调递增，
又()13f =-，()20f =，得()130f e '=-<，()2
20f e '=>，
所以根据零点存在定理知，必有()012x ,∈使得()00f x '=. 当()00x ,x ∈时，()0f x '<；当()0x x ,∈+∞时，()0f x '>， 故0x x =为极小值点，无极大值点，故选A
第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）【答案】32
【解析】平面区域Ω如图阴影所示，设y x z -=2，则经过)13(，时，12+-y x 最大值为
32．
3
（14）【答案】1或9-
【解析】依题意∆ABC 为等腰直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以
15
4=+c ，所以=c 1或9-
（15）【答案】
4
【解析】因为
sin cos()sin C
A C A
=+，所以sin sin cos()C A A C =+， 即sin[()]sin cos()A C A A A C +-=+，
则tan()2tan A C A +=，因为sin cos()sin C
A C A
=+0>，所以A 为锐角，则tan 0A >，又2
tan()tan tan tan tan[()]1tan()tan 12tan A C A A C A C A A C A A
+-=+-==-+⋅
+=1
1
2tan tan A A
+ 4
=
，
当且仅当
12tan tan A A =时等号成立，所以tan C 的最大． （16）【答案】949
【解析】由563221++=++++n n S S S n n n ，5)1(6)1(3211+-+-=+++-n n S S S n n n ， 相减得：3621+=++++n a a a n n n
所以数列}{21++++n n n a a a 是公差为6的等差数列，令3=n 知21543=++a a a 所以
)()(4746455432147a a a a a a a a S ++++++++= =⨯⨯+
⨯+=62
14
1521154949 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）
(3)
分
,
由余弦定理得
CD =
=
……………………………
.6分
…………
.8分
,
…………….12分
（18）解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20
(140)0x +
⨯+-⨯=，
解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段比赛的学生人数为200(0.0030.0015)2018⨯+⨯=人．……………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，
则3
(3,)4B ξ～，……………………………6分
∴39
344
E ξ=⨯
=．……………………………7分 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99
[(3)]203044
--⨯=，………………………8分
∵2111
(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2
411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，
2
4141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2
4116
(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
，
∴9121621
012350255010
E η=+⨯
+⨯+⨯=， …………………………………………11分 ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121
[(3)]20241010--⨯=．
∵1203012024+>+，
∴支持票投给甲队．．……………………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ， 则ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．
3
31(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 2
13339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-= ⎪
⎝⎭， 223
3327(20)14464P C ξ⎛⎫
⎛⎫==-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，3
327(60)464
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ∴192727602020603064646464
E ξ=-⨯
-⨯+⨯+⨯=．……………………………8分 设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，则η所有可能的取值为60-，20-，20，60． ∵2
111
(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2
411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，
2
4141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2
418
(60)5225P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
，
∴19128
602020602450502525
E η=-⨯
-⨯+⨯+⨯=， ∵1203012024+>+，
∴支持票投给甲队．…………………………………………12分 （19）（本题满分12分） （I ）证明：在梯形ABCD 中， ∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，
∠ABC ＝60，∴ 2AB =
∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=o BC AB BC AB AC ∴ 222BC AC AB +=
∴ BC ⊥AC ………………… 2分
∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD ∴ BC ⊥平面ACFE ……………4分
（II ）由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴、y 轴、z 轴的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤
≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B
∴ ()
()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB …………6分 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，
由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011BM n AB n 得⎩⎨⎧=+-=+-0
03z y x y x λ 取1=x ， 则()
λ-=3,3,11n ， ………8分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量…………9分 ∴
1212||cos
||||
n n n n θ⋅=
=
=⋅
∵ 0λ≤≤∴ 当0λ=
时，θcos ， 当λ=
时，θcos 有最大值1
2
.
∴ 1cos 2θ⎤
∈⎥⎦
……………12分 （20）【解析】（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为
1=+b
y
a x ，其中0>a ，0>
b 即 0=-+ab ay bx ．
因为直线l 与圆22
2
=+y x 相切，所以
22
2=+-b a ab ，即)(22222b a b a +=，
所以ab b a b a 22)(22222⋅≥+=，整理得042
2≥-ab b a ，所以4≥ab ．
又AOB ∆的面积ab S 2
1
=
，所以2≥S ，当且仅当2==b a 时等号成立． 所以AOB ∆的面积的最小值为2．
（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2±=x ，此时2=
OM .
若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x Q y x P ， 联立⎩⎨
⎧=++=6
22
2y x m
kx y ，得：0624)21(222=-+++m kmx x k ， ∴221214k km
x x +-=+，2
2212162k
m x x +-=， ∴2
21212122)(k
m
m x x k y y +=++=+， ∴)212,212(2
2k
m
k km M ++-
. ∵直线l 与圆O 相切，∴
212
=+k m ，即1222+=k m ，
∴)1
441(2144)154(2)21(42
42
2424222222
+++=++++=++=k k k k k k k k m m k OM ， 当0=k 时，2=
OM ；
当0≠k 时，4
9)41
411(2222
≤
++
+
=k
k OM ， 其中等号成立，当且仅当2
2
14k k =
，即212
=k ,
∴OM
的取值范围是3
]2
．
（21）【解析】（Ⅰ）（ⅰ）构造函数()()1m x f x x ln x x =-=+-，
()()11100x m x x x x
-'=
-==>得1x =， 当()01x ,∈时，()0m x '>；当()1x ,∈+∞时，()0m x '<； 所以()()10max m x m ==⎡⎤⎣⎦，由()()10m x m ≤=，
所以()f x x ≤（当且仅当1x =时取得等号）；……………………5分 （Ⅱ）法一：()()()1
110g x ax a ln x x x
=+-⋅
--> ()()()2
11ax a x g x x +-⋅-'=
……………………………6分
（1）当0a =时，()()
2
1x g x x --'=
， 当()01x ,∈时，()0g x '>；当()1x ,∈+∞时，()0g x '<；()()10g x g <<，不合题意； …………………………………………7分 （2）当0a <时，由()()()2
110ax a x g x x +-⋅-'=
=得，11
10x
a
=
-<，21x = 所以情况同（1），不合题意；…………………8分 （3）当0a >时，由()()()2
110ax a x g x x +-⋅-'==得，11
1x
a
=
-，21x = ①若1a ≥时，则11
10x a
=
-≤， 当()01x ,∈时，()0g x '<；当()1x ,∈+∞时，()0g x '>；()()10g x g ≥≥， 满足题意；……………9分 ②若102a <<
时，则11
11x a
=->， 当()01x ,∈时，()0g x '>，此时()()10g x g ≤<，不合题意；………10分 ③若
112a ≤<时，则()11
101x ,a
=-∈， 当()10x ,x ∈时，()0g x '>；当()11x x ,∈时，()0g x '<；当()1x ,∈+∞时，()0g x '>； 则函数极大值()111112112g x g a ln a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=---≤<
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 函数极小值()()112112g a a ⎛⎫
=-≤<
⎪⎝⎭
；注意到()()1210g a =-<，不合题意；…11分 综上，所求实数1a ≥.………………………………………………12分 法二：(分离变量法) ()()()1
110g x ax a ln x x x
=+-⋅
-->
若()0g x ≥对0x >恒成立等价于1
11ln x x a x x
++≥
+对0x >恒成立…………7分
记()1
11ln x x G x x x
++=
+，问题等价于()max
a G x ≥…………8分
由（Ⅰ）知1ln x x +≤（当且仅当1x =时取得等号），
所以()11
1111ln x x x x h x x x x x
++
+=
≤=++（当且仅当1x =时取得等号），…………11分 故()1max h x =，所以1a ≥为所求. …………12分 法三：(充要条件法) ()()()1
110g x ax a ln x x x
=+-⋅
--> 若()0g x ≥对0x >恒成立，则必有()10g ≥，可得1a ≥；………7分 下证：当1a ≥时，()0g x ≥对0x >恒成立即可 由()()()211ax a x g x x +-⋅-'=
，令
()0g x '=得11
1x a
=
-，21x =……9分 当1a ≥时，11
10x a
=
-≤ 当()01x ,∈时，()0g x '<；当()1x ,∈+∞时，()0g x '>；()()10g x g ≥=，满足题意； …………………………………………………………………………11分 所以1a ≥为()0g x ≥对0x >恒成立的充要条件，故1a ≥……12分 （22）（本小题满分10分）选修4—1几何证明选讲 解：（Ⅰ）因为CF 与圆O 相切，所以DBC DCE ∠=∠， 又BC DE //，所以DCB CDE ∠=∠， 所以BCD CDE ∆∆~，可得DC
DE
BC DC =， 所以BC DE DC ⋅=2
，
又DC AB =，所以BC DE AB ⋅=2
……………5分
（Ⅱ）DBC DCE ∠=∠，BFC ∠是公共角，所以BCF CDF ∆∆~，
所以
69===CD BC FC FB DF FC ，所以FD FC 3
2
6+=， 又FB FD FC ⋅=2
)9(+⋅=FD FD ，所以5
54=FC ．……………10分
（23）【解析】（Ⅰ）1C ：2
2222sin sin cos ρθθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
化为直角坐标方程为()()22
112x y -+-=．
把2C 的方程化为直角坐标方程为y a =，因为曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线y a =经过圆心()11,，解得1a =，故2C 的直角坐标方程为1y =． ……………5分 （Ⅱ）由题意可得，
4OA πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2OB πϕϕ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，
OC ϕ=， 344OD ππϕϕ⎛
⎫⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
888444OA OC OB OD sin sin cos cos cos πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛
⎫⋅+⋅=+++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
………………………………………………10分 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
【解析】(Ⅰ)不等式()()125f f +-≥等价于125m m ++-≥
可化为()()1
125m m m <-⎧
⎨
-+--≥⎩，解得2m ≤-；
或()()12125m m m -≤≤⎧⎨+--≥⎩，无解； 或()()2125m m m >⎧
⎨++-≥⎩
，解得3m ≥；
综上不等式解集为(][)23,,-∞-⋃+∞…………………5分 (Ⅱ) 当0x ≠时，
1
0x
>，0x > ()()111112f f x m x m m x m x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
+-=++-+≥+--+≥+=+≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…………………………………………………………………10分。