吉林省东北师范大学附属中学高中数学 5.1.2解三角形应用举例教案2 文新人教版必修5

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吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮专题复习三角函数的图象与性质教案理

专题二—三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则sin α＝y ，co s α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在kπ2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k ∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k ∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k ∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k ∈Z)；对称轴：x ＝π2＋kπ(k ∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x ＝kπ(k ∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k ∈Z)3．三角函数的两种常见变换考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x ，y)．若初始位置为P0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为________．(2)(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 (2)(2－sin 2,1－cos 2) 解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. (2)利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P(x ，y)，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin 2， y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2 ＝1－cos 2，∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝________. 答案－a解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－a.(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45. 求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值．解由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. 考点二三角函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 如图，它是函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，由图中条件，写出该函数的解析式．本题考查已知图象上的点，求三角函数的解析式，解题的关键是正确理解参数A ，ω，φ的含义，以及它们对函数图象的作用，抓住两者联系解决问题．解由图知A ＝5，由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23，此时y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 下面求初相φ.方法一 (单调性法)：∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈⎣⎡⎦⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k ∈Z)．由sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0得2π3＋φ＝2kπ＋π(k ∈Z)， ∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3. 方法二 (最值点法)：将最高点坐标⎝⎛⎭⎫π4，5代入y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x3＋φ，得5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝5， ∴π6＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)， ∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．又|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3.(1)已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 ∵34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，又2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2kπ－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3. (2)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79.①求a ，c 的值；②求sin(A －B)的值．解 ①由余弦定理得：cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－42ac ＝79，即a2＋c2－4＝149ac.∴(a ＋c)2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. ②在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos2B ＝1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝asin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A<π2，∴cos A ＝1－sin2A ＝13，∴sin (A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝223×79－13×429＝10227.考点三三角函数的性质例3 (2012·北京)已知函数f(x)＝sin x －cos x sin 2xsin x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．先化简函数解析式，再求函数的性质．解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．因为f(x)＝sin x －cos xsin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)．由2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k ∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫kπ－π8，kπ和⎝⎛⎦⎤kπ，kπ＋3π8(k ∈Z)．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，g(x)＝sin x －cos x ，有下列四个命题：①将f(x)的图象向右平移π2个单位可得到g(x)的图象；②y ＝f(x)g(x)是偶函数；③f(x)与g(x)均在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增； ④y ＝f xg x的最小正周期为2π. 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 f(x)＝2sin(x ＋π4)，g(x)＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，显然①正确；函数y ＝f(x)g(x)＝sin2x －cos2x ＝－cos 2x ，其为偶函数，故②正确；由0≤x ＋π4≤π2及－π2≤x －π4≤0都可得－π4≤x≤π4，所以由图象可判断函数f(x)＝2sin(x ＋π4)和函数g(x)＝2sin(x －π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确；函数y ＝f xg x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．(2)(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解 ①f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx·cos ωx ＋22cos2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx)＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．1．求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(或y ＝Acos(ωx ＋φ)，或y ＝Atan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝ymax －ymin 2，B ＝ymax ＋ymin 2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f(x)＝sin x －cos x ；②f(x)＝2(sin x ＋cos x)； ③f(x)＝2sin x ＋2；④f(x)＝sin x.则其中属于“互为生成函数”的是________．(填序号) 答案 ①②2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx ＋3cos2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x1，x ＝x2是y ＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f(x)＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g(x)＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x≤π2，∴－π6≤t≤5π6.g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k<12或－k ＝1.∴－12<k≤12或k ＝－1.(推荐时间：60分钟) 一、填空题1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32解析记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知， Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos 2π3＝－12， y ＝sin α＝sin2π3＝32. 2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案－8解析因为sin θ＝y 42＋y2＝－255，所以y<0，且y2＝64，所以y ＝－8. 3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于________．答案－53解析因为sin α＋cos α＝33，两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－23.由于sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝33>0，且α为第二象限角，所以2kπ＋π2<α<2kπ＋3π4，k ∈Z ，所以4kπ＋π<2α<4kπ＋3π2，k ∈Z ，所以cos 2α＝－1－sin22α＝－1－49＝－53. 4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数的解析式为________．答案 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变5．若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A·ω 等于________．答案7π6解析由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2. 则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A·ω＝7π6. 6．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．答案 2解析由f ⎝⎛⎭⎫π12＝0知⎝⎛⎭⎫π12，0是f(x)图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>02πω≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2.7． (2012·课标全国改编)已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2<x<π， ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ωπ≤54. 8．函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．答案 34解析依题意得，当sin πx －cos πx≥0，即sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即si n πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x2－x1|的最小值是34. 9．已知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围为________．答案 [1,2)解析函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，等价于方程m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间[0，π2]上有两解．作出如图的图象，由于右端点的坐标是⎝⎛⎭⎫π2，1，由图可知，m ∈[1,2)．10．关于函数f(x)＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f(x)的周期为π；②x ＝π4是y ＝f(x)的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f(x)的一个对称中心；④将y ＝f(x)的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f(x)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对； f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f(x)的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故④错．故填①③.二、解答题11．已知函数f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－12·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解 (1)∵f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12sin π3sin φ＋cos2π6cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ. 化简得32sin φ＋12cos φ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1. ∵0<φ<π，∴π6<φ＋π6<7π6. 因此φ＝π3. (2)由(1)知f(x)＝34sin 2x ＋12cos2x －14 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得函数y ＝g(x)的图象， ∴g(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∵0≤x≤π4，∴π6≤4x ＋π6≤76π. 因此当4x ＋π6＝π2时，g(x)有最大值12；当4x ＋π6＝76π时，g(x)有最小值－14. 故g(x)的最大值、最小值分别为12与－14. 12． (2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2. 因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上，所以Asin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤kπ－π12，kπ＋5π12，k ∈Z.13．已知函数f(x)＝3sin 2x －2sin2x ＋2，x ∈R.(1)求函数f(x)的最大值及对应的x 的取值集合；(2)画出函数y ＝f(x)在[0，π]上的图象．解 (1)f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，当2x ＋π6＝2kπ＋π2 (k ∈Z)时，f(x)取最大值3，此时x 的取值集合为{x|x ＝kπ＋π6，k ∈Z}．(2)列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π2x ＋π6 π6 π2 π 3π2 2π 13π6y 2 3 1 －1 1 2图象如下：。

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2.2解三角形应用举例授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。

另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。

只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验●教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目●教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。

在 ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinBh b =csinA=asinCh c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.讲授新课[范例讲解]例1、在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.6三角函数模型的简单应用教案文新人教A版必修4

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.6三角函数模型的简单应用教案文新人教A 版必修4【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。

应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。

关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。

【例题选讲】：一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（） A.t v y 0= B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（）A ．2π B.0 C.π D.π32 3.某人向正东方向走x 千米后向右转ο150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为（）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为ο30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成ο60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.。

高中数学第二章解三角形的实际应用举例教案2 北师大版必修5

§3 解三角形的实际应用举例教学目标1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

教学重点难点1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

教学过程一、复习引入1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab c b a C 2cos 222-+= 二、例题讲解引例：（课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km ）.例1 曲柄连杆机构当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复直线运动。

当曲柄在0CB 时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在0A 处。

设连杆AB 长为lmm ，曲柄CB 长为rmm ，r l >（1）当曲柄自0CB 按顺时针方向旋转θ度时，其中003600<≤θ，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A A 0）。

（2）当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，求A A 0的长（结果精确到mm 1）分析：不难得到，活塞移动的距离为AC C A A A -=00易知r l BC AB C A +=+=0所以，只要求出AC 的长即可，在ABC ∆中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC 的长解：（1）设x AC =，若00=θ，则00=A A ，若0180=θ，则rmm A A 20=若001800<<θ，在ABC ∆中，由余弦定理得：C BC AC BC AC AB cos 2222⨯-+=即：0)()cos (2222=---r l x r x θ 解得：mm r l r r l r r x )sin cos ()cos (cos 2222221θθθθ-+=-++=0)cos (cos 2222<-+-=r l r r x θθ（不合题意，舍去）AC BC AB AC C A A A -+=-=00 )(sin cos (222mm r l r r l θθ---+若00360180<<θ则根据对称性，将上式中的θ改为θ-0360即可有：)(sincos (2220mm r l r r l A A θθ---+= 总之，当003600<≤θ时，)(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=（2）当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，利用计算器得： )(8180sin 8534080cos 8585340022200mm A A ≈---+=答：此时活塞移动的距离约为mm 81例2：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点C B ,分别在A 的正东方km 20和km 54处，某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，s 8后监测点A ，s 20后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是s km /5.1（1）设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示C B ,到P 的距离，并求x 的值（2）求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到km 01.0）分析：（1）PC PB PA ,,长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来（2）作a PD ⊥，垂足为D ，要求PD 的长，只需要求出PA 的长和APD ∠cos ，即PAB ∠cos 的值，由题意，PB PC PB PA --,都是定值，因此，只需要分别在PAB ∆和PAC ∆中，求出PAB ∠cos ，APC ∠cos 的表达式，建立方程即可解：（1）依题意，km PB PA 1285.1=⨯=-，km PB PC 30205.1=⨯=-因此：km x PB )12(-=，km x PC )18(+=，在PAB ∆中，km AB 20= xx x x x AB PA PB AB PA PAB 5323202)12(202cos 222222+=⨯--+=⨯-+=∠ 同理：xx PAC 372cos -=∠ 由于：PAC PAB ∠=∠cos cos即：xx x x 3725323-=+ 解得：km x 7132= （2）作a PD ⊥，垂足为D ，在PDA Rt ∆中，PAB PA APD PA PD ∠=∠=cos cos )(71.17532713235323km x x x ≈+⨯=+⨯= 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为km 71.17练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。

高中数学必修5《解三角形应用举例》教案(4)

《解三角形应用举例》教案（4）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力4．让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验.教学重点难点1．重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2．难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教法与学法1．教法选择：教学形式采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作交流得出转化问题方法.2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流 3AB AC ⋅=．（II ）若b c +=，253AB AC ⋅=cos 3,A =bc ∴1sin 2bc A ==）对于5bc =，又5,1b c∴==或1,5b c==，由余弦定理得2222cos20a b c bc A=+-=，25a∴=四、归纳小结，课堂延展教学环节教学过程设计意图师生活动归纳小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.回顾解斜三角形的一般题型，便于学生在复习中更深入的思考,更广泛的研究解三角形.由学生谈体会，师生共同归纳总结.巩固创新课堂延展1 .△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：A2．某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)答案：当AB分别在OA、OB上离O点既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.学生课下通过练习，巩固正余弦定理的理解.1．教材地位分析解三角形应用举例(4)是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，是在学习了测量距离、高度、角度问题后，有了解三角形方法的初步体验，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在计算三角形面积、判断三角形形状、证明恒等式中的应用.本节课是解三角形应用举例第四阶段，为前面学习测量距离、高度、角度问题做了总结，是前面问题的进一步深化.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理应用范围、应注意的问题缺乏清晰的概念.因此，本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型.另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点.。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.1 任意角的三角函数教案(1) 新人教A版必修4

任意角的三角函数教学目的：知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

德育目标：（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=；（5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r xα=；（6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc r yα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、r x 、r y 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。

吉林省东北师范大学附属中学2020年高中数学 5.1.2解三角形应用举例教案2 文新人教版必修5

课题: §2.2解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解]例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。

已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD.Ⅲ.课堂练习课本第17页练习第1、2、3题Ⅳ.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 5.1.1.3解三角形的进一步讨论教案新人教版必修5

课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况（解答过程详见课本第9 10页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x <<例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学第一章解三角形复习小结文新人教版必修5

课题: §5.1.3解三角形小结复习高中数学必修5一、知识点总结【正弦定理】 1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论：222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A . 例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sinsin =-+，求ABC ∆的面积．题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？。

吉林省东北师范大学附属中学2015年春高中数学理科人教A版必修五教案：5.1.2解三角形应用举例1

●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。

吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮专题复习三角变换与解三角形教案理

第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题一般为1～2题，其中，填空题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝si n αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C. sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C. 5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A ，a2＋c2－b2＝2accos B ， a2＋b2－c2＝2abcos C. 6．面积公式S △ABC ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝12absin C.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．考点一三角变换例1 (2013·广东)已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos2 θ－1＝－725，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦．(1)(2013·四川)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．(2)(2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案 (1) 3 (2)17250解析 (1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－231－－32＝ 3.(2)∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.考点二正、余弦定理例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B. (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin Bcos C ＋sin Csin B ， ①又A ＝π－(B ＋C)，故sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ． ②由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径；(3)sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c)cos A ＝3acos C. (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2b －3c)cos A ＝3acos C ， ∴(2sin B －3sin C)cos A ＝3sin Acos C. 即2sin Bcos A ＝3sin Acos C ＋3sin Ccos A. ∴2sin Bcos A ＝3sin B. ∵sin B≠0，∴cos A ＝32，∵0<A<π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x.又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcos C＝AM2，即x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x·x2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x2sin 2π3＝ 3.考点三正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C) ＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t ＋50)，由于0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB. 设EB ＝x ，则BC ＝4x.由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°.在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，所以sin C ＝AE·sin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x .在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝ABsin C ，∴AB ＝BC·sin Csin 120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos 30° ＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. 所以船速v ＝BEt ＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h. 【规律总结】1．求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C 2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等. 【押题精练】1．在△ABC 中，已知tan A ＋B 2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan A tan B＝1； ②1<sin A ＋sin B≤2； ③sin2A ＋cos2B ＝1； ④cos2A ＋cos2B ＝sin2C. 其中正确的序号为________．答案 ②④解析依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cosA ＋B2＝2sin A ＋B 2cosA ＋B 22cos2A ＋B 2＝sin A ＋B1＋cos A ＋B＝sin C1＋cos A ＋B＝sin C. ∵sin C≠0，∴1＋cos(A ＋B)＝1，cos(A ＋B)＝0. ∵0<A ＋B<π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin2A ＋cos2B ＝sin2A ＋sin2A ＝2sin2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos2A ＋cos2B ＝cos2A ＋sin2A ＝1＝sin2C ，故④正确． 2．已知函数f(x)＝3sin x 4cos x 4＋cos2x4.(1)若f(x)＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足acos C ＋12c ＝b ，求f(B)的取值范围．解 (1)f(x)＝3sin x 4cos x 4＋cos2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.由f(x)＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos[π－(π3＋x)]＝－cos(π3＋x)＝2sin2(x 2＋π6)－1＝－12.(2)由acos C ＋12c ＝b ，得a·a2＋b2－c22ab ＋12c ＝b ，即b2＋c2－a2＝bc ，所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0<B<2π3，所以π6<B 2＋π6<π2，所以f(B)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(推荐时间：60分钟)一、填空题1．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________．答案 2525解析根据α、β都是锐角，且cos α＝55，sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝255⇒π4<α<π2，又∵sin(α＋β)＝35，∴cos(α＋β)＝－45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝2525.2．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．答案－45解析∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos α＋32sin α＝453， 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.3． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于________．答案 π6解析由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12，依正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12，∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.4．锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则ABAC 的范围是________．答案 (2，3)解析设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B.又∵C ＝2B<π2，∴B<π4.又A ＝π－(B ＋C)＝π－3B<π2，∴B>π6，即π6<B<π4，∴22<cos B<32，2<2cos B< 3.5．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a2－b2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于________．答案 2－3解析由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝accos B ＝12，即cosB ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝12ac ⇒a2＋c2－b2＝1，所以tan B ＝2－3a2－b2＋c2＝2－ 3.6． (2013·重庆改编)计算：4cos 50°－tan 40°＝________. 答案3解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 50°＋30°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.7． (2013·福建)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案3解析 sin ∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD)＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD ＝223.BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD2＝3，BD ＝ 3. 8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案－255解析由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.9．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC＝________.答案 11解析依题意，利用三角形面积相等有： 12AB×h＝12AC·BCsin 60°， ∴12×3×43＝12ACBC·sin 60°， ∴AC·BC＝83.利用余弦定理可知cos 60°＝AC2＋BC2－AB22ACBC ，∴cos 60°＝AC2＋BC2－32×83，解得：AC2＋BC2＝173.又因(AC ＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC ＝173＋163＝11，∴AC ＋BC ＝11. 二、解答题10．已知函数f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos2x －1(x ∈R)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f(A)＝12，2a ＝b ＋c ，bc ＝18，求a 的值．解 (1)f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k ∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z)．(2)由f(A)＝12，得sin(2A ＋π6)＝12.∵π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6.∴A ＝π3.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b ＋c)2－3bc. 又2a ＝b ＋c ，bc ＝18，∴a2＝4a2－3×18，即a2＝18，a ＝3 2.11．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得[cos(A －B)＋1]cos B －sin(A －B)sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A<π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA→|cos B ＝22.12．(2013·福建)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos 45°，得MP2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin 45°＋α，同理ON ＝OPsin 45°sin 75°＋α. 故S △OMN ＝12×OM×ON×sin∠MON ＝14×OP2sin245°sin45°＋αsin 75°＋α ＝1sin45°＋αsin 45°＋α＋30° ＝1sin45°＋α[32sin 45°＋α＋12cos 45°＋α] ＝132sin245°＋α＋12sin 45°＋αcos 45°＋α ＝134[1－cos 90°＋2α]＋14sin 90°＋2α ＝134＋34s in 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin 2α＋30°. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN的面积取到最小值，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4 3.。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.1任意角的三

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.2.1任意角的三角函数（2）学案理新人教A 版必修4一、复习：1。

什么是向量？数轴上向量的坐标或数量是如何定义的？如图：A （x ）是数轴上一点，则的坐标OA= ；AO= 2。

设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r ，(r=22y x +，r＞0)则：sin α= ;cos α= ;tan α= . 当r=1时sin α= ;cos α= 。

3. 2sinπ= ; 2cos π= ; πsin = ; πcos = ; πtan = ; 23sinπ= ; 23cos π= ; 4。

三角函数在各象限的符号如何？二、自主学习：自学19P -20P 完成下面的填空： 1。

单位圆：半径为的圆叫单位圆。

2。

正射影：如图示：单位圆的圆心在坐标原点O ，设角α的顶点在圆心O ，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P （x,y ）过点P 作P Ｍ⊥x 轴于点Ｍ，作PN ⊥y 轴于点N ，则点Ｍ、N 分别是点P 在x 轴、y 轴上的（简称）α)A α)由三角函数定义可知：sin α= ;cos α= 。

又r=1，所以sin α= ;cos α= 。

即P 点的坐标为（，），其中OM= ；ON= 。

由此可得：角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的坐标和坐标。

3。

三角函数线：在上面图2中，向量、、分别叫做角α的余弦线、正弦线和正切线。

思考：当α=x(rad)且0<x<2π, 则α、sin α、tan α的大小关系是。

三、典型例题：1。

自学20P 例，完成练习A 、B 2。

补充例1。

在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：（1）sin α≥23；（2）cos α≤21-.四、小结：五、作业：1.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（）A.在x 轴上B.在y 轴上C.在直线y=x 上D.在直线y=－x上2.下列判断中错误的是（）A.α一定时，单位圆中的正弦线一定B.单位圆中，有相同正弦线的角相等C.α和α+π具有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上3.角α（0＜α＜2π）的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为（）A.4π或43πB.43π或47πC.4π或45πD.4π或47π 4.已知x ∈(45,4ππ)，则sinx 与cosx 的大小关系是（）A.sinx ≥cosxB.sinx ≤cosxC.sinx ＞cosxD.sinx ＜cosx5.若2sin θ=－3cos θ，则θ的终边可能在（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限6.如图所，∠POx 的正弦线为，余弦线为，正切线为。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学5.3.2一元二次不等式及其解法教案1新人教版必修5

课题: §3.2一元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->；当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系(2)学案理新人教A版必修4

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）学案理新人教A 版必修4学习目标：知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；重点：同角三角函数的基本关系式难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。

一、复习引入：1．同角三角函数的基本关系式。

（1）倒数关系：（2）商数关系：（3）平方关系：（练习）已知tan α43=，求cos α2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（）=1二、新课：例1．例2例3、已知α=αcos 2sin ，求的值。

及αα+αα+αα-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2例4、已知33cos sin =α+α，求的值。

及α-αα+αcos sin cot tan 例5、已知,1225cot tan =α+αα+αα+αα-αα-αcos sin ,cot tan ,cot tan ,cot tan 3322求例6、已知)0(51cos sin π<θ<=α+α，求的值。

及θ-θθ33cos sin tan例7、已知是第四象限角，α+-=α+-=α,53cos ,524sin m m m m 求的值。

αtan三、巩固与练习1：已知12 sin α+5 cos α=0，求sin α、cos α的值.2.已知sec α—tg α=5，求sin α。

3.已知1sin sin 2=+θθ，求θθ62cos cos +值；四、小结：本节课学习了以下内容：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等五、课后作业：习题4.4 第5，7，8题思考:已知sin α=2sin β，tan α=3tan β，求α2cos 的值. 解：sin β=2sin α tan β=3tan α又1+ tan 2β=β2cos 1，∴1+αααα222cos 336cos 184sin 119tan +=+-=，即。

吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮专题复习三角函数的图象与性质教案理

专题二—三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以客观题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在kπ2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋在[－π＋2kπ，2kπ](k ∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k ∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k ∈Z)上单调递增2kπ，3π2＋2kπ](k ∈Z)上单调递减对称性对称中心：(kπ，0)(k ∈Z)；对称轴：x ＝π2＋kπ(k ∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x ＝kπ(k ∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k ∈Z)3．三角函数的两种常见变换考点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x ，y)．若初始位置为P0⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，12，当秒针从P0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为________．(2)(2012·山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6(2)(2－sin 2,1－cos 2)解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.(2)利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P(x ，y)，则x ＝2－1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝________. 答案－a 解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－a.(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值．解由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.考点二三角函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式例2 如图，它是函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，由图中条件，写出该函数的解析式．本题考查已知图象上的点，求三角函数的解析式，解题的关键是正确理解参数A ，ω，φ的含义，以及它们对函数图象的作用，抓住两者联系解决问题．解由图知A ＝5，由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23，此时y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ.下面求初相φ.方法一 (单调性法)：∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k ∈Z)．由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0得2π3＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3.方法二 (最值点法)：将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5代入y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ，得5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝5，∴π6＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3(k ∈Z)．又|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3.(1)已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 ∵34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，又2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2kπ－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.(2)(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79.①求a ，c 的值； ②求sin(A －B)的值．解 ①由余弦定理得：cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－42ac ＝79，即a2＋c2－4＝149ac.∴(a ＋c)2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3.②在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝asin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A<π2，∴cos A ＝1－sin2A ＝13，∴sin (A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝223×79－13×429＝10227. 考点三三角函数的性质例3 (2012·北京)已知函数f(x)＝sin x －cos x sin 2xsin x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．先化简函数解析式，再求函数的性质．解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠kπ，k ∈Z}．因为f(x)＝sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)．由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ－π8，kπ和⎝⎛⎦⎥⎤kπ，kπ＋3π8(k ∈Z)．函数y ＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．(1)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，g(x)＝sin x －cos x ，有下列四个命题：①将f(x)的图象向右平移π2个单位可得到g(x)的图象；②y ＝f(x)g(x)是偶函数；③f(x)与g(x)均在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④y ＝f xg x 的最小正周期为2π.其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 f(x)＝2sin(x ＋π4)，g(x)＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，显然①正确；函数y ＝f(x)g(x)＝sin2x －cos2x ＝－cos 2x ，其为偶函数，故②正确；由0≤x＋π4≤π2及－π2≤x－π4≤0都可得－π4≤x≤π4，所以由图象可判断函数f(x)＝2sin(x ＋π4)和函数g(x)＝2sin(x －π4)在[－π4，π4]上都为增函数，故③正确；函数y ＝f x g x ＝sin x ＋cos x sin x －cos x ＝1＋tan x tan x －1＝－tan(x ＋π4)，由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确． (2)(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值； ②讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解①f(x)＝4cos ωx·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝22sin ωx·cos ωx＋22cos2ωx ＝2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．1．求函数y ＝Asin(ωx＋φ)(或y ＝Acos(ωx＋φ)，或y ＝Atan(ωx＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝ymax －ymin 2，B ＝ymax ＋ymin2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.1．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①f(x)＝sin x －cos x ；②f(x)＝2(sin x ＋cos x)； ③f(x)＝2sin x ＋2；④f(x)＝sin x.则其中属于“互为生成函数”的是________．(填序号) 答案 ①②2．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋3cos2ωx－32(ω>0)，直线x ＝x1，x ＝x2是y ＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为π4.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f(x)＝12sin 2ωx＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx＋32cos 2ωx＝sin(2ωx＋π3)，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.(2)将f(x)的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g(x)＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x≤π2，∴－π6≤t≤5π6.g(x)＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k<12或－k ＝1.∴－12<k≤12或k ＝－1.(推荐时间：60分钟) 一、填空题1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．答案⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，32 解析记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知， Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos 2π3＝－12，y ＝sin α＝sin 2π3＝32.2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案－8解析因为sin θ＝y 42＋y2＝－255，所以y<0，且y2＝64，所以y ＝－8.3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于________．答案－53解析因为sin α＋cos α＝33，两边平方得1＋2sin αcos α＝13，所以sin 2α＝－23.由于sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝33>0，且α为第二象限角，所以2kπ＋π2<α<2kπ＋3π4，k ∈Z ，所以4kπ＋π<2α<4kπ＋3π2，k ∈Z ，所以cos 2α＝－1－sin22α＝－1－49＝－53.4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数的解析式为________．答案 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4解析y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 5．若函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A·ω 等于________．答案7π6解析由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A·ω＝7π6.6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为________．答案 2 解析由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f(x)图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧ω>02πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2.7． (2012·课标全国改编)已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析由π2<x <π，ω>0得ωπ2＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ωπ≤54.8．函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________．答案 34解析依题意得，当sin πx－cos πx≥0，即sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx；当sin πx－cos πx<0，即sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x2－x1|的最小值是34.9．已知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围为________．答案 [1,2)解析函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－m在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，等价于方程m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上有两解．作出如图的图象，由于右端点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，由图可知，m ∈[1,2)．10．关于函数f(x)＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f(x)的周期为π；②x ＝π4是y ＝f(x)的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f(x)的一个对称中心；④将y ＝f(x)的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f(x)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f(x)的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 二、解答题11．已知函数f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．解(1)∵f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，∴12＝12sin π3sin φ＋cos2π6cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ. 化简得32sin φ＋12cos φ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1.∵0<φ<π，∴π6<φ＋π6<7π6.因此φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝34sin 2x ＋12cos2x －14＝34sin 2x ＋14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得函数y ＝g(x)的图象，∴g(x)＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.∵0≤x≤π4，∴π6≤4x＋π6≤76π.因此当4x ＋π6＝π2时，g(x)有最大值12；当4x ＋π6＝76π时，g(x)有最小值－14.故g(x)的最大值、最小值分别为12与－14.12． (2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以Asin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g(x)＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12，k ∈Z. 13．已知函数f(x)＝3sin 2x －2sin2x ＋2，x ∈R.(1)求函数f(x)的最大值及对应的x 的取值集合；(2)画出函数y ＝f(x)在[0，π]上的图象．解 (1)f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，当2x ＋π6＝2kπ＋π2(k ∈Z)时，f(x)取最大值3，此时x 的取值集合为{x|x ＝kπ＋π6，k ∈Z}． (2)列表如下：图象如下：。

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