4-3电路定理
电分第4章-3,4节等效电源定理
6Ω
I + 4V -
U OC ∴ RO = = 8Ω I SC
③一步法求解 (直接求端口VAR)
例：试求图示电路的戴维南等效电路。 解：法一：U OC
⎧U ' = (4 + 8) I 1 ⎪ ⎨U ' = 4 I 2 − 12 I ' ⎪I + I = I ' U ' = −6 I ' 2 ⎩ 1
-
－
方法六：实验测量法（限于直流电路）： ①测开路电压UOC ； ②允许短路时测ISC ，则RO =UOC／ISC ; 否则用一R作为外电路并测其U、I，
U OC − U RO = I
I a + U b
N
R
例：用等效电源定理求图示电路中的I。考虑 R = 2.14Ω 和 R = 4.14Ω 两种情况。 a 法一：戴维南定理 + 60V
§4-3 戴维南定理和诺顿定理（等效电源定理）
一. 二端网络及其等效电路 二端网络：互连的一组元件可看作一个整体，当这 个整体只有两个端钮与外部电路相连接时，称 之为二端网络。 又因从一端钮流进的电流必然等于另一端钮流出 的电流，故也可称为一端口(单口)网络。 有源二端网络 ：内部含电源的二端网络。 无源二端网络 ：内部不含电源的二端网络。
U=6－6I
+ 4Ω U 12 I −
+
a
b
+
－
a
6V
b
−6Ω
例：用戴维南定理求图示电路中的电流 I 。 R2 解：1) R1 + US
－
I A IS B R
电气基础知识：第四章 线性电路基本定理
i 52 2.6A 12 8
+
- UocRo
16
例4：图示电路，用戴维南定理求电流I。
+ Uoc -
解：移去待求支路求：Uoc 40V
Ro
除去独立电源求： Ro =7
I 40 10 A 75 3
画出戴维南等效电路，并接入待求支路求响应。 17
3、含受控源电路分析
例5：图示电路，用戴维南定理求电流I2。
Us
I0
Us R1
Is
R0
R1R2 R1 R2
R1 R2
Is Isc
Ro Io
Uo
Ro
Us R1
U0
Io Ro
(U s
/ R1 ( R1
I s )R1R2 R2 )
(Ro :除源输入电阻)
+
R1
Uoc
-
(Io : 短路电流Isc )
(Uo : 开路电压Uoc )
10
二、定理：
1、线性含源单口网络对外电路作用可等效为一
30
三、定理应用： 例1：求图示电路中电流I。
I
I4
I0
解：I0 =1A I4 = -0.25A
I1
I3
I2
I1 =0.5A
I2 =0.5A
I= -Io -I4 = -0.75A
31
例2：已知条件如图所示，求图（b)的电压源电压us。
4A
us
(a)
10A ++
U2o0cV --
4A
us
(b)
Ro = 2 Uoc = 20V us = 100V
Ro
u i
=6
画出等效电路，有 R=Ro =6
§4-3 戴维南定理和诺顿定理
§4-3 戴维南定理与诺顿定理二端网络：对外具有两个端钮的网络，又称单口网络、一端口网络。
负载R L 分别取2Ω和4Ω时，求流过该负载的电流。
当R L ＝2Ω时，AI 522.326=+=当R L ＝4Ω时，AI 75.342.326=+=戴维南定理：任何一个含有独立电源的线性电阻二端网络，对外电路来说，总可以等效为一个电压源串电阻的支路，该电压源等于原二端网络的开路电压u oc ，电阻R o 等于该网络中独立电源置零后在端口处的等效电阻。
u oc R oR o 戴维南定理的证明：端口a 、b 处的电压为u ，电流为i替代定理ii s =i+-u oc+-oc u ′叠加定理i s =i＋N 0 —N 中独立电源为零后的网络。
当网络N 中的电源作用时：oc u u ='0'=i 当电流源i s 作用时：0''''iR R i u ab −=−=i i =''叠加定理：iR u u u u oc 0'''−=+=u ocR b诺顿定理：任何一个含有独立电源的线性电阻二端网络，对外电路来说，总可以等效为一个电流源并电阻的电路，其中电流源等于原二端网络端口处的短路电流i sc ，电阻R o 等于该网络中独立电源置零后在端口处的等效电阻。
诺顿定理的证明：替代定理u s =u′叠加定理u s =u ＋网络N 中电源作用：sc i i ='(短路电流)0'=u u s 作用时：00''R u R u R u i s ab s −=−=−=uu =''所以0'''R ui i i i sc −=+=ai sc一、电路中不含受控源的情况：例4－4：求a 、b 端的戴维南及诺顿等效电路。
33解：（1）求开路电压u ocAi 5.433621=++=Vi u oc 5.176352=−+×=3Ωb（2）求R 0将独立电源置零戴维南等效电路如图17.5V3.5ΩabΩ=+×+=5.333332o Ri sc321V0=u 等效电阻R o 的求法同前a5A536321)213131(−−=++u Aui sc 552=+=（3）例4－5：问R L 取何值可获最大功率？最大功率是多少？2A5Ω5ΩL解：先求R L 左侧电路的戴维南等效电路。
戴维南定理和诺顿定理
解：
Req + Uoc -
U OC 2 PR I R ( ) R f ( R) R Req
R
dPR 0 dR
R Req
Pmax
2 U OC
4 Req
解1
第一步: 求uoc u1 10 u210
，断开所求支路。
+
20 + 15V -
20 + 5V -
5 2A u R OC + 85V _ -
R
a
N0
Req
b
Req + _uOC
i
R
b
五、应用举例
例1
试求图示线性含源二端网络的戴维南等效电路。
a 1Ω 1A 1Ω 1Ω + _ 1V 1Ω b 2Ω
解
第一步：求开路电压Uoc。
1Ω 1A 1Ω + _ 2Ω
a + Uoc
方法：叠加定理
1Ω
1V
1Ω
_ b
解
第一步：求开路电压Uoc。
1Ω 1A 1Ω + _ 2Ω
1Ω
1V
1Ω
_ b
U OC
6
V
2、电流源单独作用， 求U”oc。
U
'' OC
1 1 7 7 '' UOC 1 2 1 1 V V 1 2 6 11 6
解
第一步：求开路电压Uoc。
1Ω 1A 1Ω + _ 2Ω
a + Uoc
方法：叠加定理
1、电压源单独作用， 求U’oc。 1 ' U OC V 6 2、电流源单独作用， 求U”oc。
电路分析基础第四章4-4,5,6
例 例4-6-2 如图所示电路，试问当电阻 R 等于何值时？它可获
4 6
得最大功率， 最大功率等于多少。
2
i
2 2
2i 4 I
4i
U
解：
Uoc = 2i-2i+6 = 6V
R0
R R0 4Ω
Uoc
R
P
UOC 2
62
4R0 4 4
2.25W
4i 2I 8i 0
2i 6I 10i U
dP dRL
d dRL
(
uS2 RL RS RL
)
2
uS2
(
RS
RL )2 2RL (RS ( RS RL )4
RL
)
uS2 ( RS (RS
RL ) RL )3
0
RS RL 0， RL RS
最大功率传递定理的表述
若一个实际电源模型为一个可变负载电阻RL提供
能量。只有当负载电阻RL等于电源内电阻Rs时,负
Uoc' R 0 'R 3
R 3 rm R 0 'R 3
Uoc'
I sc
R
R3 3 (R
rm 0 'rm
)
U
oc
'
R0
Uoc I sc
R 3 (R 0 'rm ) R0 'R 3
I2
U2 Uoc R0 r0 R2
(R0'R3 )U2 (R 3 rm )Uoc' R3 (R0'rm ) (r0 R2 )(R 0'R3 )
I a 3I1 6I3 I1 2I3
I 6Ω
8 3
A
戴维宁定理
在电子设备中，输入信号被放大处理后最终被传输到负载， 负载不同，负载上获得的功率就不同。那么在什么条件下，负 载能获得最大功率呢？这就是最大功率传输问题。
RO ＋
UOC
－
I
PL
I
2 RL
( Uoc RO RL
)2 RL
RL
dPL dRL
U
OC
2
(
RO
RL )2 2(RO (RO RL )4
求解最大功率传输问题的关键是求电路的戴维宁 等效电路。
I 2Ω
＋
6V －
－ 2I
＋ 4Ω
a
2Ω
R
4I
b
（a）
I 2Ω
＋
6V －
－＋ 2I
4Ω
a
2Ω
4I
b
（b）
a
I
－＋ 2I
4Ω
＋
2Ω
2Ω
4I
U
IS
－
（c）
b
解：先将a、b端断开，求a、b端的戴维宁等效电路：
Uab 2I 2I 6 6V
外加电流源，求a、b端的戴维南等效电阻：
U 4IS 2I 2I 4IS
§4-3 诺顿定理和含源单口的等效电路
一、诺顿定理
诺顿定理：含独立源的线性电阻单口网络N，就端口特 性而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联[图(a)]。
isc称为短路电流。Ro称为诺顿电阻，也称为输入电阻 或输出电阻。电流源isc和电阻Ro的并联单口，称为单口网 络的诺顿等效电路。
在端口电压电流采用关联参考方向时，单口的 VCR方
RO
U IS
4
解：先将a、b端断开，求a、b端的戴维南等效电路：
电路4-3替代定理
中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M O OC中国大学M O OC中国大学MO O C中国大学M O O Cku _+Su _+Nki Si NkR N在线性和非线性电路中，若第k 条支路的电压u k 和电流i k 已知，则该支路可用下列任一元件组成的支路替代:（1）电压为u k 的理想电压源；（2）电流为i k 的理想电流源；（3）电阻为R k =u k /i k 的电阻元件。
替代前后，电路响应不变。
k路支_+N（1）（2）（3）或或学MOO C 中国大学MOO C中国大学MO OC 学MOOC中国大学MOOC中国大学M OO C学MOOC中国大学MOOC中国大学MO OC学MOOC中国大学MOOC中国大学MO OC学MOO C 中国大学MOOC中国大学MO OC学MOOC中国大学MOO C 中国大学M O O Cki ku替代前后KCL 、KVL 关系（方程）相同，其余支路的元件（u 、i 关系）不变。
用u S 替代后，第k 条支路u k 不变，其余支路电压、支路电流不变；用i S 替代后，第k 条支路i K 不变；用R k 替代后，第k 条支路支路电流、电压关系不变。
原因⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（n-1)个KCL 方程[b-(n-1)]个KVL 方程(b-1)个元件方程替代后替代前⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（n-1)个KCL 方程[b-(n-1)]个KVL 方程(b-1)个元件方程第k 条支路方程第k 条支路方程方程不变解不变替换前后方程组解不变；电路响应不变方程不变方程不变或或学MOOC中国大学MOO C 中国大学MO OC学MOOC中国大学MOOC中国大学MO OC学MOOC中国大学MOOC中国大学MO OC学MOOC中国大学MOOC中国大学MO OC学MOOC中国大学MOOC中国大学MO OC学MOO C中国大学MO O C中国大学M O OC1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
第4章 电路的基本定理
i 1.2A
u 2(2 i) 1.6V
i i i 1.4 1.2 0.2A u u u 7.2 1.6 5.6V
【例4-4】图示N为线性含源网络。已知：当iS1=8A， iS2=12A 时，响应ux＝80V；当iS1=－8A， iS2=4A时，响应ux＝0V；当 iS1 =iS2 =0A时，响应ux＝－40V。当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？ 解 设网络N内所有独立源作为一组， 所产生的响应分量为ux(3)， iS1和 iS2产 生的响应分量为AiS1与B iS2 。则
uk 为原值
(b)
ik 可以是任意值（电压源特点）
原电路[图（a）]的所有支路电压和电流将满足图(b)的全 部约束关系。若电路只有惟一解，则所有电压和电流保持原 值。
替代定理不适用：
⑴ 电路在替代前后，具有多解；
⑵ 被替代支路中，含有网络N中受控源的控制量， 且替代将使控制量消失。
【例4-6】图a电路中，i1＝4A， i2＝6A， i3＝10A，u1＝80V，
uS u Rin i iS
iS
u
i
uS
N
输入电阻
【例4-5】已知U=68V,求各支路电流。
A
U
I1
1
I3
1
I5
1
I7
1
U2
1
U4
1
U6
1
1
B
I2
I4
I6
I8
解 设 I8＝1A，则
I 7 I 8 1A
Chapter4电路定理
a
c
a
R1 Rab R2 i3i3 R3
R5
+ ++
uS1 uab uS2
R4RRcd6
– ––
b
b
d
例2 求图示电路的等效发电机。
解：
iSc
40 20
40 40
60 20
3
1A
Req 20 // 40 // 20
1
1 1
1
8
20 40 20
20Ω
40Ω
20Ω 3A
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
＋ 8 I ＋1
4A
32V
－
U
－
1'
I ＋1
8 U
－
1'
i
ia
a +
Req
+
uoc=Reqisc
Nu
+
-b
uoc
-
u isc -
3.定理的应用
（1）开路电压uoc和短路电流iSc的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。诺顿等效 电路中电流源电流等于将外电路短路时的短路电流iSc，电流源 方向与所求短路电流的方向有关。计算uoc、 iSc的方法视电路 形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
电路学 第四章
第4章电路定理(Circuit Theorems)¨重点:1、熟练掌握叠加定理；2、熟练掌握戴维南和诺顿定理；3、掌握替代定理，特勒根定理和互易定理；Un Re gi st er ed§4-1 叠加定理(Superposition Theorem)定义：对于线性电路，任何一条支路中的电流(或电压)，都可以看成是由电路中各个独立电源(电压源或电流源)分别单独作用时，在此支路中所产生的电流(或电压)的代数和。
所谓电源的单独作用，即是在电路中只保留一个电源，而将其它电源置零。
电源置零：电流源置零，则是电流源断路电压源置零，则是电压源短路一、定义Un Re gi st er ed二、叠加定理的应用B原电路U 1单独作用B''''''BU 2单独作用+I 1=I 1′+I1〞I 2=I 2′+I 2〞I 3=I 3′+I 3〞Un Re gi sU S1R 1S1US1R 1R 1S1+例：2121R R R U U S +´=¢22111R R R R I U S ´+´=¢¢221112121R R R R I R R R U U U U S S ´+´++´=¢¢+¢=Un e gi st er e应用叠加定理要注意的问题:1、叠加定理只适用于线性电路（电路参数不随电压、电流的变化而改变），不适用于非线性电路。
2、叠加时电源分别考虑，电路的结构和参数不变。
置零的恒压源短路，置零的恒流源开路3、叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；不能用叠加定理求功率。
4、叠加时注意参考方向下求代数和。
Un Re gi st er ed5、含受控源电路亦可用叠加，参加叠加的是独立源，受控源应始终保留。
要注意每个分图中受控源控制量的区别6、运用迭加定理时也可以把电源分组求解，每个分电路的电源个数可以不止一个。
第四章：电路定理
ik
+
A uk
–
支 路 k
A
+
– uk
A
ik
例： 图a电路，可求得：
U = 8V
6
+
I3 = 1A , I2 = 1A , I1 = 2A
20V -
用 U=S 8V代替支路３ 得图b电路，可求得：
6
I3 = 1A , I2 = 1A , I1 = 2A
43;
8
U
-
4
+
4V -
解(1) 电压源单独作用时,
+ 10V
电流源开路,如图b)所示， –
+
4 u 4A (a)
–
u 10 4 4V
6
46
(2) 电流源单独作用时，电压源
+ 10V
+ 4 U '
(b)
短路，如图c)所示,
–
–
u 4 6 4 9.6V 10
6 +
(3) 共同作用时：
4 U ''
4A
u u u 4 9.6 5.6V
–
(C)
例4.2 求图中电压U。
'
解 (1)10V电压源作用时，4A电流源开路，
受控源保留。
I1
10 64
1A
U' = -10I1' + 4I'1 = (-10 + 4) 1 = -6V
(2) 4A电流源作用时,10V电压源短路,受控源保留
U
10
I
'' 1
6
I
'' 1
I 1
电路 第四版 答案(第四章)
第四章 电路定理电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。
因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。
应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。
需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。
4-1 应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。
解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a ）和（b ）所示。
对（a ）图应用结点电压法可得1sin 5)121311(1tu n =+++ 解得 15sin 3sin 53n tu t V == (1)111113sin sin 2133n ab n u u u t t V =⨯==⨯=+对（b ）图，应用电阻的分流公式有1132111135tt e i e A --+=⨯=++所以 (2)110.25t t abu i e e V --=⨯== 故由叠加定理得 (1)(2)s i n 0.2ta b a b a b u u u t e V -=+=+4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。
解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。
对（a ）图应用结点电压法有105028136)101401281(1++=+++n u 解得 (1)113.650.10.0250.1n u u +==++18.624882.6670.2253V ===对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得10402(8)32161040331040183(8)21040si u V ⨯⨯++=⨯=⨯=⨯+++ (2)16182323si u u V -==-⨯=- 所以，由叠加定理得原电路的u 为(1)(2)24888033u u u V =+=-= 4-3 应用叠加定理求图示电路中电压2u 。
电路原理(邱关源)习题答案第四章 电路定理练习
第四章 电路定理电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。
因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。
应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。
需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。
4-1 应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。
解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a ）和（b ）所示。
对（a ）图应用结点电压法可得1sin 5)121311(1t u n =+++ 解得 15sin 3sin 53n t u t V== (1)111113sin sin 2133n ab n u u u t t V=⨯==⨯=+对（b ）图，应用电阻的分流公式有1132111135t t e i e A--+=⨯=++所以 (2)110.25t t ab u i e e V--=⨯==故由叠加定理得(1)(2)sin 0.2t ab ab ab u u u t e V -=+=+4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。
解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。
对（a ）图应用结点电压法有105028136)101401281(1++=+++n u解得(1)113.650.10.0250.1n u u +==++ 18.624882.6670.2253V===对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得10402(8)32161040331040183(8)21040si u V ⨯⨯++=⨯=⨯=⨯+++ (2)16182323si u u V-==-⨯=-所以，由叠加定理得原电路的u 为(1)(2)24888033u u u V =+=-=4-3 应用叠加定理求图示电路中电压2u 。
(电路分析)常用电路定理 习题和答案解析
习题和习题答案第 4 章必做习题习题 4-1 电路如图题 4.1 所示，求 6 Ω电阻吸收的功率。
习题 4-2 电路如图题 4.2 所示，试用叠加定理求电流 I 。
习题 4-3 电路如图题 4.3 所示，用戴维南定理计算 5 Ω电阻吸收的功率。
习题 4-4 电路如图题 4.4 所示，求 a 、 b 两端的诺顿等效电路。
习题 4-5 电路如图题 4.5 所示，用戴维南定理求电流 I 。
习题 4-6 电路如图题 4.6 所示，试问电阻 R 为何值时获得最大功率？并求最大功率。
第 4 章选做习题选做题 4-1 电路如图题 4.1 所示， N 是线性电阻网络，三个独立源 uS1 、uS2 和 iS 同时对 N 激励时，测得电流 i= 12A ；若将电压源 uS2 短路时，测得电流 i= 20A ；若将电压源 uS1 短路时，测得电流 i= － 5A 。
试问：将电流源 iS 和电压源 uS2 同时反向，而电压源 uS1 保持不变，电流 i 为多少？选做题 4-2 图题 4.2 所示电路中，已知 Uab=0 ，试用替代定理求电阻 R 。
选做题 4-3 电路如图题 4.3 所示，求 a 、 b 两端的戴维南等效电路。
选做题 4-4 图题 4.4 所示电路中， RL 可调，问 RL 为何值时获得最大功率？最大功率是多少？选做题 4-5 图题 4.17 所示电路中， Ns 是线性含源二端网络，电流表 A 和电压表 V 均是理想的，当开关 S 处于位置 1 时，电流表的读数为 2A ，当开关S 处于位置 2 时，电压表的读数为 4V ，求开关 S 处于位置 3 时， 5 Ω电阻吸收的功率。
选做题 4-6 求图题 4.6 所示电路中，电阻 R 获得最大功率时的电流 I 。
第 4 章必做习题精解习题 4-1解：为了求6 Ω电阻吸收的功率，就要先求出流过 6 Ω电阻的电流。
下面，用叠加定理计算电流 I 。
图题 4.1 电路中有两个独立源共同激励。
线性网络的几个定理
1(
0.5
2 )U2
0.5U1
I SC
2 2
1,
RS
UOC I SC
5Ω
当RL=Rs=5时RL获得最大功率
Pmax
UO2C 4RS
52 45
1.25W
要点：求最大功率时通常要应用戴维南定理对问题进行
化简，再应用最大功率传输定理得出问题的解。
例题3 图示电路中，已知当R=2Ω时，I1=5A，
I2=4A。求当 R = 4Ω时，I1 和I2 的值。
=IS2=1A, R1=2Ω,R2=R3=R4=R5=
R6=1Ω, 用网孔分析法求I1, I2。
解：
3I2 I1 0 I1 0.75A
I2 3I1 2
I2 0.25A
第四章 总结
戴维南等效电路
U UOC R0 I
诺顿等效电路
I
I SC
U R0
等效电源定理的应用： 对已知结构和参数的复杂二端网络进行化简； 计算二端网络中某一支路的电压和电流，或当二端网络
1
2
i i' i'' 2 6 8 A
2
2
2
pR2 i22 R2 826 384 W
p'R2 22 6 24 W
p''R2 62 6 216 W p'R2 p''R2 240 W 384 W（错）
结论：电阻的功率不能用叠加定理直接求得。
例 接续上例，试求两电源对该电路提供的总功率。并
0
RS RL 0， RL RS
最大功率传递定理的表述
若一个实际电源模型为一个可变负载电阻RL提供
能量。只有当负载电阻RL等于电源内电阻Rs时,负
§4-3 戴维南定理
u b
u、i为关联参考方向下
u a bi
i
a
R0 + u uoc -b
X
例题
求图示电路中的电流 i。
2
A
u1 4
暂时断开负载电阻 4， 解：
求AB左边的等效电路。 (1) 求开路电压 uoc
2A
2
i
4
u1
u1 3 uoc 2 u1 u1 4 2 u1 u1 2 2 4 u1 8 V uoc 12 V
§4-3 戴维南定理
北京邮电大学电子工程学院 2008.3
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内容提要
回忆等效问题 戴维南定理
uOC和R0的计算
几点注意事项
X
1.回忆等效问题
电阻等效 电源等效 实际电压源模型与实际电流源模型之间的等效 简单含源单口网络的等效 复杂含源单口网络能否等效？如何等效？
返回
X
2.戴维南定理
任何含源线性单口网络N（指含有电源、线性电阻及 受控源的单口网络），不论其结构如何复杂，就其端 口来说，均可等效为一个电压源与电阻的串联支路。 其中电压源的电压等于网络N的开路电压uoc ，串联电 阻R0等于该网络除源后（即所有独立源均为零值，受 控源要保留），所得网络N0的等效电阻。
X
3. uoc 和 R0 的计算
3.1 开路电压 uoc的计算：可以用以前介绍的各 种方法。 3.2 戴维南等效电阻 R0 的计算
简单电阻电路情况，用串并联。
外加电源法 含受控电源的情况 短路电流法
X
3.uoc 和 R0 的计算
Ⅰ.外加电源法 在网络N除源后的无源网络N0（含受控源）的两 端点外接一个电压源或一个电流源。
《电路原理导论》第四章习题解答
习题四4-1用叠加定理求图示电路中的电流I 。
答：A 2=I解：（1）电流源单独作用时如图4-1′A 12131621224//42=⨯⨯=⨯++='sI I（2）电压源单独作用时如图4-1″A 12144//412=⨯+=''I（3）当两电源同时作用时A 2=''+'=I I I4-2用叠加定理求图示电路中的I 1、U 4 。
答：V 3;A 5.141-==U I解：（1）当电压源单独作用时如图4-2′()A 166//24311==++='R R R R U I sA 5.02114=⨯='I ；V 14='U （2）当电流源单独作用时如图4-2″A 5.0//212432141=+⨯++⨯=''R R R R R R RR I I s()[]()[]V 432//24//4////43214-=⨯+=+=''s I R R R R U 图4-1 习题4-1题图图4-2 习题4-2题图2Ω图2Ω图图4-2′图4-2″（3）当两电源同时作用时A 5.15.01111=+=''+'=I I I V 341444-=-=''+'=U U U 4-3利用叠加定理求图4-3电路中的电压U 。
答：V 6=U解：（1）当电压源单独作用时如图4-3′V 11516=+⋅='U （2）当电流源单独作用时如图4-3″A 51556=+⨯=''I ，V 551=⨯=''U （3）当两电源同时作用时V 651=+=''+'=U U U4-4利用叠加定理求图示电路的电压U ab 。
答：V 9=ab U解：（1）当电流源单独作用时如图4-4′V 5.46241866186A 3-=⨯-=Ω⨯+⨯-='abU （2）当电压源单独作用时如图4-4″A 875.12.1936181218121236==+⨯+=''us IV 5.1312875.15312181218=⨯⨯=Ω⨯''+=''usabI U （3）当两电源同时作用时V 95.135.4=+-=''+'=ab abab U U U 4-5图4-5电路中已知Ω=11R ，Ω=22R ，Ω=33RΩ=44R ，Ω=55R ，V 6=s U ，A 7=s I ，试用叠加定理求电路中的I 。
电路分析基础第四章
开路电压
等效电阻
二、戴维南定理证明：
置换
叠加
线性含源
线性或非线性
u ' = uoc
N中所有独立源产生的电压 电流源开路
' ''
u '' = − Rabi
电流源产生的电压 N0中所有独立源为零值
u = u + u = uoc − Rabi
u = uoc − Rabi
含源线性单口网络N可等效为 电压源串联电阻支路
Rab = 6 + 15 //(5 + 5) = 6 + 6 = 12Ω
Rcd = 5 //(15 + 5) = 4Ω
例3：试求图示电阻网络的Rab和Rcd。
Rab = 8 + {4 //[2 + 1 + ( 2 // 2)]} = 8 + {4 // 4} = 10Ω
Rcd = ( 2 // 2) + {1 //[4 + 2 + ( 2 // 2)]} = 1 + (1 // 7) = 1.875Ω
例5：求图中所示单口网络的等效电阻。
u R i = = ( μ + 1) R i
例6：求图所示单口网络的等效电阻。
u R Ri = = i 1+α
例7：求图示电路输入电阻Ri，已知α =0.99。
1. 外施电源法 2. 电源变换法
Ri = 35Ω
三、含独立源单口网络的等效电路：
1. 只含独立源、电阻，不含受控源 只含独立源、电阻不含受控源的网络，端口 VCR为u=A+Bi，u和i关联时，B为正。 2. 含受控源的有源单口网络 含受控源、独立源、线性电阻的网络，端口 VCR为u=A+Bi，B可正可负。 等效为电压源串联电阻组合或电流源并联电阻组合。
实验4-3---叠加定理和齐次定理的验证
实验4-3---叠加定理和齐次定理的验证
叠加定理和齐次定理是电路分析中的重要定理，它们理解了特定的电路运行的原理和
类型，本文旨在验证它们的正确性。
首先，让我们来证明叠加定理，它规定，两个电压源可以被放在一起以形成一个总电
压源，其值等于它们之和。
对于证明，我们将考虑一个简单的电路，由两个电池和一个放
电灯泡组成，如图1所示。
图1
我们以另一个简单电路作为对照，如图2所示。
该电路由单个电池和一个放电灯泡组成，电池电势与图1中所示的两个等电势的电池的输出之和相同。
然后，我们测量了两个
电路中的灯泡的明亮度，结果发现，两者的亮度是相同的。
由此可见，我们可以得出结论，两个电路中的灯泡得到的总电量是相同的，这也就证实了叠加定理的正确性。
图2
接下来，让我们来证明齐次定理，它规定，具有相同电势的两个电源的输出的总电量
是相同的。
为了证明这一点，我们将比较两个不同电路，分别由两个电池组成，但它们的
电势不同，情况一如图3所示，电池的电势分别为27V和13V；情况二如图4所示，电池
的电势分别为27V和27V。
图3
图4
以上证明叠加定理和齐次定理的正确性。
叠加定理规定，两个电压源可以被放在一起
以形成一个总电压源，其值等于它们之和；而根据齐次定理，具有相同电势的两个电源的
输出的总电量是相同的。
因此，叠加定理和齐次定理是正确的，为电路分析提供了有力支持。
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二、诺顿定理
—含源线性二端网络，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来等效置换，电流源的电流等于该二端网络的短路电流，电导等于把该二端网络的全部独立源置零
Ω
解：① 求短路电流i SC （用叠加原理）：102020
10
2010202051020201020102020152+⨯
+⨯+
++⨯+⨯++
=SC i （15V 电压源单独作用时） （5V 电压源单独作用时）
维南等效电路对应的等效电阻为零时，等效电路成为一个电压源，这时，对应的诺顿等效电路就不存在；同样，若输入电导等于0，诺顿等效电路成为一个电流源，这时，对应的戴维南等效电路就不存在。
戴维南定理和诺顿定理统称为等效发电机定理。
oc
20
2020202020+⎦⎢
⎣+⎭⎝+ （电流源单独作用时）（15V 电压源单独作用）（5V 电压源单独作用） 等效电阻：
20Ω
Ω=20eq R 原电路等效为：
最大功率为：W R U R R R U P eq
oc
eq eq eq
oc R 25.314)(2
22
max
==+= 实际上，上例证明了一个电路分析中的重要定理：
最大功率传输定理：设参数为固定的实际信号源，与一电阻负载相接，当负载电阻等于信号源内阻时，则负载能从信号源中吸收最大的功率。
最大功率为S S L R U P 42max
=。
满足上述条件的电路叫做负载与信号源相匹配，或叫做
R
R R
R
R R i i eq eq +
-=+∆-=∆1 ∴
R
R S eq i R
+
-
=11
§4-4 特勒根定理（Tellegenis Theorem ）
特勒根定理是对任何电路都普遍成立的一个定理，仅仅用基尔霍夫电流定律和电压定律就可以作出它的证明，所以它具有与基尔霍夫定律同等的普遍意义。
特勒根定理1
对节点1、2、3列KCL 方程：
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=++-=++-=-+000643532421i i i i i i i i i （2）
将（1）代入
∑=6
1
k k
k i
u 并整理，得
)()()(6433532242116
1
i i i u i i i u i i i u i
u n n n k k
k ++-+++-+-+=∑=
0= （将（2）代入后）
同理可证明
01
=∑=b
k k
k i
u
#
评述：特勒根定理1实际上就是功率平衡定理。
它表明，在任一瞬间，任一电路中所有支路所吸收的瞬时功率的代数和为零。
或者说，任何一电路在工作时一定是有的支路吸收功率，另一些支路发出功率（即吸收的功率为负值）。
最常见的情形是电源发出功率，它与负载吸收的功率相等，满足功率平衡定理。
特勒根定理2
如果有两个具有n 个节点和b 条支路的电路，它们由不同的二端元件所组成，但它们的图完全相同。
假设各支路电流和电压取关联参考方向，并分别用),,,(21b i i i ，
),,,(21b u u u 和)ˆ,,ˆ,ˆ(21b i i i ，
)ˆ,,ˆ,ˆ(21b u u u 来表示两者的b 条支路的电流和电压，则对任何时间t ，有
0ˆ
1
=∑=b
k k
k i u
0ˆ1
=∑=b
k k
k i u
证明：设两个电路的图相同如上页，
同理可证明
0ˆ6
1
=∑=k k
k i u
该证明可推广到任何具有n 个节点、b 条支路的两个图相同的电路。
#
评述：定理2不能用功率守恒来解释。
它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流；或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压和电流，所必须遵循的数学关系。
不过它仍具有功率之和的形式，所以有时又称为“拟功率定理。
”
上述两定理，适用于一切线性、非线性、定常、时变含源、无源网络。
特勒根定理的应用： ① 功率守恒的证明 ② 互易定理的证明
§4-5 互易定理
互易定理是体现线性网络重要性质的另一个定理。
一、陈述一
给定任一仅由线性电阻构成的网络（不含独立电源和受控源），设置于支路j 中的电压源u sj 在支路k 中产生的电流
为i k ，置于支路k 中的电压源sk u
ˆ在支路j 中产生的电流为j i ˆ，则
sk j sj k
u
i u i ˆˆ
（注意参考方向）
如上式中使sk sj u
u ˆ=，则j k i i ˆ=。
即：在线性电阻网络中，在支路j 中接一电压电源，它在支路k 中产生的电流等于在支路k 中接一电压与之相等的电压源在支路j 中产生的电流。
证明：（用特勒根定理），设图（a ）（b ）中的电流、电压
分别记为i, u 和i
ˆ,u ˆ。
由特勒根定理
ˆˆˆ,1
=++∑≠=b
k j k k j sj i u i u i
u αα
αα （1）
ˆˆˆ,1
=++∑≠=b
k
j k sk j j i u i u i u
αα
αα （2）
由于方框内部的(b －2)条支路均为相同的线性电阻，所以 ααRi u =
ααi R u
ˆˆ=，k j b , ;,,2,1≠=αα 代入（1）、（2）得
j
i j
i k
j
ˆˆˆ,1
=++∑≠=b
k j k k j sj i Ri i u i
u αα
αα （3）
ˆˆˆ,1
=++∑≠=b
k
j k sk j j i i R i u i u
αα
αα （4）
sk sj
i j
i sk
j
若在两种情况下所接入的电流源电流相等，即sk sj i
i ˆ=，则
j k u
u ˆ= 三、陈述三
假设在任一线性电阻网络的一对节点j, j '间接入一电
i
例1 互易网络如图所示，V u s 11=，A i 22=，V u
s 2ˆ2-=，试求电流1ˆi 。
1
1
R 3
R 4
R i 1’
22R 3
R 4
u 1’
由互易定理 56ˆi
i = A
R R R R R R R R R u i
s 625.085
3232414165ˆ3
232414
1656==+⨯++⨯+=++
++=
k。