09渐进法与近似法
物理学中的渐近行为与渐近分析方法
物理学中的渐近行为与渐近分析方法物理学中的渐近行为是指在某些极限情况下，物理系统呈现出的特殊性质。
例如，在极高速度下运动的质点会呈现出相对论效应，而在低温环境下的材料会表现出超导等奇特现象。
由于渐近行为具有重要的科学意义和应用价值，因此物理学家们一直在努力研究这个领域，并发展了一系列渐近分析方法来处理这些特殊情况。
一、渐近行为的定义与分类渐近行为可以定义为物理系统随着某些参数趋向于某个特殊值时，呈现出的特殊性质和规律。
例如，当电子在高能量下运动时，会产生相对论效应，如长度收缩、时间膨胀等等。
这种特殊情况可以用Lorentz变换来描述。
根据研究对象的不同，渐近行为可以分为两类：1.单个物理系统的渐近行为。
这类渐近行为主要研究一个系统随某些参数趋近于某个特殊值时，呈现出的特殊性质。
例如，当一只二维布朗粒子以无限小角速度旋转时，它的随机漫步会产生完全不同的行为，这种情况是通过求解涨落定理来研究的。
2.多个物理系统的统计渐近行为。
这类渐近行为主要研究一群系统随某些参数趋近于某个特殊值时，呈现出的统计规律。
例如，当大量无规则孔洞随机分布在一个物体中时，这个物体中微小缺陷的分布将呈现出泊松分布。
这种情况是通过求解一组随机过程的均值函数来研究的。
二、渐近分析方法的基本思想渐近分析方法的基本思想是利用物理系统随某些参数趋向于某个特殊值时的特殊性质来揭示物理规律。
这种方法的优点在于，它可以简化问题的复杂性，减少计算难度，同时还可以发掘出问题的本质结构，从而更好地理解物理现象。
其中，渐近分析方法主要包括：1.渐进展开法。
渐进展开法是一种分析物理系统在某些参数趋近于某个特殊值时的行为的方法。
该方法通过将物理量展开成一些无穷级数的形式，然后利用渐进计算技巧来求解这些级数，从而得到物理系统在渐近情况下的行为。
例如，在流体力学中，我们经常使用渐进展开法来求解涡旋强度在边界层附近的渐近表达式。
2.渐进分析法。
渐进分析法是一种研究微小量的行为的方法。
数学中的近似算法
数学中的近似算法近似算法是指通过一系列计算步骤，近似地求解某个数学问题。
在数学领域中，我们经常会遇到一些难以精确求解的问题，这时候，近似算法就能帮助我们在可接受的误差范围内获得近似的解。
一、近似算法简介近似算法通常是在充分利用已知信息和资源的情况下，通过适当的逼近和调整，得出一个接近于准确解的结果。
它的优势在于其可行性和实用性，虽然无法保证完全准确，但却能在较短的时间内给出一个比较好的解。
二、常见的近似算法1. 近似求解函数极值的方法在数学中，我们经常会面临求函数的极值问题，通常可以通过近似求解的方法得到一个较优的解。
例如，梯度下降法、模拟退火算法等都是常用的近似求解函数极值的方法。
这些算法通过调整函数的自变量，以逐步优化目标函数的值，最终得到一个极值点。
2. 近似计算积分的方法计算复杂函数的积分往往是一项具有挑战性的任务，而近似计算积分的方法可以大大简化计算过程。
例如，辛普森法则、梯形法则等都是常用的近似计算积分的方法。
这些方法通过将区间分割为若干个小段，并在每个小段上做线性或非线性逼近，从而得到整个区间上的近似积分值。
3. 近似求解方程的方法求解非线性方程在数学中也是一项困难的任务，而近似求解方程的方法可以提供一个接近准确解的答案。
例如，牛顿迭代法、二分法等都是常用的近似求解方程的方法。
这些方法通过不断迭代的方式，逐步逼近方程的根，从而得到一个近似解。
4. 近似计算特殊函数值的方法特殊函数在数学中广泛应用，但其计算常常十分复杂。
而近似计算特殊函数值的方法可以在保证一定精度的情况下，大大简化计算。
例如，泰勒展开、二项式展开等都是常用的近似计算特殊函数值的方法。
这些方法通过将函数在某一点展开为幂级数或多项式，再仅计算有限项，从而得到特殊函数的近似值。
三、近似算法的应用案例1. 图像压缩图像压缩是一种常见的应用场景。
在图像压缩中，我们可利用近似算法，通过降低图像色彩的精度或其他方法，以减少图像文件的大小，同时尽量保留图像的质量。
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法
数字的逼近与近似认识数的逼近和近似计算方法在现实生活中，我们经常遇到需要准确计算数值的情况，然而有些复杂的运算可能会让我们陷入困境。
为了解决这个问题，人们提出了数的逼近和近似计算方法，以帮助我们更方便地处理数字。
一、数的逼近方法数的逼近是指通过无穷个有理数逐渐靠近某个数的过程。
常见的数的逼近方法有以下几种：1. 分数逼近法分数逼近是指通过有限小数或无限小数的形式来逼近一个数。
例如，要逼近圆周率π，我们可以使用3.14或3.14159等有限位数的近似值。
这种方法在实际应用中非常常见，它可以有效地满足我们对数值精度的要求。
2. 牛顿逼近法牛顿逼近法是一种用多项式逼近函数的方法。
它通过选取一个初始值，并利用切线的斜率逐步逼近函数的根。
这种方法在数学和物理领域被广泛应用，可以高效地求解函数的零点。
3. 数列逼近法数列逼近法是指通过数列的极限来逼近一个数。
例如，要逼近自然常数e，我们可以使用以1为首项，n趋于无穷大时的极限值。
这种方法可以直接将数的逼近问题转化为数列极限的计算问题。
二、近似认识数的近似计算方法近似计算方法是指通过一定的近似规则和技巧，对于复杂计算或无法准确进行的计算，进行近似求解。
常见的近似计算方法有以下几种：1. 舍入法舍入法是一种常见的近似计算方法，它根据一定的规则将数值进行近似。
最常见的舍入规则有四舍五入、向下取整和向上取整等。
例如，我们可以使用舍入法将3.14159近似为3.14或3.142。
2. 位数法位数法是一种将数值限制在一定位数以内进行近似计算的方法。
例如，当我们要计算π的前100位小数时，由于无法直接计算出确切的值，我们可以使用近似计算方法来获得前100位的近似值。
3. 同类项相消法同类项相消法是一种通过将数值中相近的项进行相消，从而简化计算过程的方法。
例如，在求和时，我们可以将一些项进行合并，从而减少计算的复杂度。
这种方法在数列求和、积分等领域中广泛应用。
通过数的逼近和近似计算方法，我们可以更方便地处理数字，解决实际生活中存在的计算问题。
第9章 渐近法和近似法
C
求和反号后 分配
-0.9
④最后杆端弯矩
M AB 28.2kN m , M AD 26.4kN m , M AC 1.8kN m , M BA 0
-0.9 MCA
M DA 34.8kN m M CA 0.9kN m
例3
B q i A l i C l
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
练习2
5m 100kN 5m B
100kN 结点 C 杆端 分配 系数 D 5m 固端 弯矩 分配
-125
A AB BA
0.5 125
B BC
0.5
C
D
CB CD DC
0.5 0.5
M
D
A
A
B
C
传递系数 远端弯矩称传递弯矩 M远= C · M近
远端弯矩 传递系数 近端弯矩
远端约束 固定 滑动 简支 近端弯矩
MAB=4iABA MAC=iACA MAD=3iADA
M
D
A
A
B
C
远端弯矩
MBA=2iABA MCA= - iACA MDA= 0
传递系数 C 1/2 -1 0
另：自由端传递系数为0
2. 单结点的力矩分配
计算目标：确定各杆端弯矩 计算目标：
P A MAB MBA P A MFAB MFBA B MBC MB 阻止转动约束 C (b) B MFBC=0 C
(a)
力矩分配法基本结构
P A MAB MBA P A MFAB A M’AB M’BA MFBA
渐近法
§9—1概述 §9—2力矩分配法的原理
§9—3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9—4无剪力分配法 §9—5剪力分配法
1
§9—1概述
计算超静定结构，力法或位移法要解算联立方程，当未知量较 多时，工作量大。为简化计算，自1930年以来，陆续出现了各 种渐进法。如弯矩分配法，剪力分配法，迭代法等。
3）将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后，按分配系数、传
递系数进行分配、传递。
4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得
各杆的最后弯矩。
10
例9—1 解：
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
30kN/m A C 50kN 2EI D
32.2
60
(1)计算各杆端分配系数 B EI =0.445 AB= AB AC=0.333 (a) =0.222 AC= AD 4m (2)计算固端弯矩 AD据表 = (10—1） qL2 BA = B -40 12 +7.8 qL2 + 12 = -32.2 3PL (3)进行力矩的分配和传递 = + 8 结点A的不平衡力矩为 PL = 8 (4)计算杆端最后弯矩并作矩图。
绘出结构的
图（见图c)， 计算系数为：
r11= 4i12+3i13+i14 =S12+S13+S14
=∑S1j
汇交于结点1的各杆端转动刚度的总和
2
4i12 2i12 3i13
1 3
Z1 1
4
i14
解典型方程得
M1图
Z1=
然后可按叠加法M= 弯矩。
(c)
计算各杆端的最后弯
6
结点1的各近端弯矩为： M12= M13= M14=
第七章 渐近法与近似法
表6.1求得，即
Fa2b 120 22 3 M 2 57.6kN m 2 l 5 2 2 Fab 120 2 3 F M BA 2 86.4kN m 2 l 5 ql2 20 42 F M AD 40kN m 8 8 R F M DA 0
3i12Z1
C μ M 21 M 12 C12 0
4 2 4i13Z1 1 i14Z1 i14Z1
1 μ C μ M 31 M 13C13 M 13 2 C μ μ M 41 M 14 C14 M 14
C μ M ki Cik M ik
3 2i13Z1
基本运算中杆端弯矩的计算方法归纳为:当集中力 偶 M 作用于结点 1 时 , 按分配系数分配给各杆的近 端即为分配弯矩；分配弯矩乘以传递系数即为远 端的传递弯矩。
【例7.3】 试用力矩分配法计算图7.6(a)所示连续梁 ， 绘制弯矩图和剪力图，并求支座反力。
A 4m F B i=1 4m i=1 8m C q=20kN/m i=1 8m D
图7.6
分配系数
A －80.00
-31.42
0.5 80.00
B
0.5 45.68
0.571
C
0.429 －160.00
BC
3 1 4 1 4 1 0.57 3 1 4 1
2）计算各杆端的固端弯矩。由表6.1得
F M AB 0 2 ql 1 F M BA 30 62 kN m 135kN m 8 8 Fl 80 6 F M BC kN m 60 kN m 8 8 Fl F M CB 60 kN m 8
二、单结点力矩分配法
1) 固定结点。先在本来是发生角位移的刚结点i处假 想加入附加刚臂，使其不能转动，计算汇交于i点各
第九章 渐进法
(successive appoximation method)
渐进法又称为力矩分配法是基于位 移法的逐步逼近精确解的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。 力矩分配法单独使用时只能用于无 侧移（线位移）的结构。
力矩分配法基本思想
以图示具体例子加以说明 按位移法求解时，可得下页所示结果
解: 3 EI S BA = 3 × = EI 10 10 EI S BC = 5 0.3 EI μ BA = = 0.6 (0.3 + 0.2) EI 0.2 EI μ BC = = 0.4 (0.3 + 0.2) EI
100kN .m
A
100kN .m
EI
B
EI
C
10m
5m
100
50
μ
M F − 100
M
A
EI1 l1
C
EI 2 l2
B
r11 = 4i1 + 3i2
R1P = − M
M
i1 = EI1 / l1 i2 = EI 2 / l 2 B A C l2 l1
Z 1 = M /( 4i1 + 3i2 )
M CA = M × 4i1 /( 4i1 + 3i2 ) M CB = M × 3i2 /( 4i1 + 3i2 ) M AC = M CA × 2i1 / 4i1
M
例3
20kN / m 40kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20kN / m
4m
40kN .m
60
A
60
B
40kN.m
u MB
渐进法知识详解
取EI=8
A
24kN/m i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
i=2
50kN D
μBA=0.6 μBC=0.4
2EI 8m
EI
i=1
8m
2EI
4m
4m
μCB=0.4 μCD=0.6
MB=－128
24kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MC=53 50kN
－128
128 －75
分配系数 2482
－0M.6B 0.4
固端m弯矩
128 －128
逐点次进B放行Am松分B3C结配32224411822
0.6
1
7766..88 －15.7
28
515.12.2 －15.7
与传递CB
4112 0.4
9.4 －61.53.7
BA 32341508 15.7 －0.7
CBmC0D.4 16 705.4 0.3
0.4 M0C.6=78.6
μCD=3/9=0.333
μCF=2/9=0.222
2）求固端弯矩
mBA
ql2 8
40kN.m
m ql2 41.7kN.m BC 12
mCB
ql2 12
41.7kN.m
28
A
40－41.7－9.3=－11
BA BE BC
0.3 0.3 0.4
40 B －41.7
CB CF CD
0.445 0.222 0.333
它们都属于位移法的渐近解法。
kij
kii
kir
kis
3
力矩分配法的基本概念 力矩分配法 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
算法渐进表达式的求法
算法渐进表达式的求法算法渐进表达式是用来描述算法时间复杂度的一种数学表示方法，通常使用大O记号表示。
算法渐进表达式可以帮助我们分析和比较不同算法的时间效率，从而选择最优解决方案。
求解算法渐进表达式需要考虑以下几个因素：1.基本操作数量在分析算法的时间复杂度时，需要确定一个基本操作的数量。
基本操作是指执行一次运算所需的最小单位操作数。
例如，在排序算法中，比较两个元素就是一个基本操作。
2.输入数据规模输入数据规模也是影响算法时间复杂度的重要因素。
通常情况下，输入数据规模越大，算法所需的时间就越长。
3.最坏情况下的执行次数在分析算法时间复杂度时，需要考虑最坏情况下执行次数。
这是因为在实际应用中，我们需要保证算法总是能够在最坏情况下保证正确性和效率。
4.运行时间增长率运行时间增长率是指随着输入数据规模n增加，算法所需运行时间的增长速度。
通常情况下，我们关注最高次项系数即可。
根据以上因素，可以使用以下步骤求解算法渐进表达式：1.确定基本操作数量首先需要确定算法中的基本操作数量。
这通常需要对算法进行逐行分析，找出执行次数最多的操作。
例如，在冒泡排序算法中，比较两个元素是一次基本操作，交换两个元素是两次基本操作。
2.确定最坏情况下的执行次数在分析算法时间复杂度时，需要考虑最坏情况下执行次数。
这可以通过对算法进行逐行分析并计算每行代码的执行次数来得出。
例如，在冒泡排序算法中，最坏情况下需要比较n-1轮，每轮比较n-i-1次，因此总共需要比较(n-1)+(n-2)+...+1 = n*(n-1)/2 次。
同时还需要进行交换操作，最坏情况下也需要进行(n-1)*(n-2)/2 次交换。
3.计算运行时间增长率根据基本操作数量和最坏情况下的执行次数，可以计算出运行时间增长率。
通常情况下，我们只关注最高次项系数即可。
例如，在冒泡排序算法中，总共需要进行约(n^2)/2 次基本操作（比较和交换），因此时间复杂度为O(n^2)。
数学物理方法概论之——渐进方法
§ 3 渐近方法
3) 量级小于
若x x0时，f (x) / g(x) 0，则记f (x) o(g(x))
例： x 0, tan(x3) o(x2 ),
x , 对n 0, xn o(ex )
f (x) O(1) 的意义是说 f (x)有界，而f (x) o(1) 义是说f (x)趋于零。
§ 3 渐近方法
获得积分 渐近展式的
一、 逐项积分法： 瓦特森引理：设
方法有两种 (1)F (t) f (ta )tb , a 0,b 1;
(1)把被积函数 (2) f (x)对 | x | 有麦克劳林展式；
的一部分展 （3）t 时, 存在常数M 和C,| F (t) | Mect ;
§ 3.2 渐近展开
§ 3 渐近方法
六、 幂函数的展
式
wn (z) (z z0 )n, n 0,1, 2, , 在D 中，
若当z → z0,对每一个N 有：
N
f (z) an (z z0 )n o[(z z0 )n ]
N
n0
则： an (z z0 )n 是D中，z z0 时，f (z)
的
n0
一个渐近
幂级数展式，f (z记) 为 N an (z z0 )n z z0 n0
其中一种重要的特殊情形是在D中，当z0 时，如
果
f (z)
N n0
an zn
o(zn )
则在D中，当 z 时
f
(z)
~
N n0
an zn
§ 3.3 渐近展式的运算
例： n , Pn (x) O(xn ),
一、近似分析方法
一、近似分析方法近似分析方法(Approximate Analysis) 是一种在大型及复杂系统领域中普遍使用的数学工具，主要是用来分析系统的性能特征，同时简化系统模型，使其更易于分析。
这里讲述一些近似分析方法的基本概念以及优缺点，以及近似方法如何应用于实际问题的案例。
一、近似分析方法的基本概念1.1近似分析方法的种类近似分析方法根据实际情况的不同，可以分为多种方法，如：①渐进分析法：当问题规模增大时，通过研究系统的增长趋势，推导出系统的特征；②组合分析法：将系统分为几个部分，将各部分的效能进行组合，得到整体特征的近似值；③随机分析法：利用随机变量的性质，对系统的特性及其分布进行分析；④模拟分析法：以实际系统为基础，以模拟的形式观察系统的特征，从而获得推导规律。
1.2近似分析方法的基本步骤总体上，近似分析方法的基本步骤主要包括以下内容：①建立系统模型：根据系统环境及其特性，建议一个适当的数学模型；②确定分析的指标：根据实际需求及问题规模，选取合适的性能指标；③选择近似分析方法：通过分析系统的特点及其模型，对近似分析方法进行选择，以求得近似解或近似性能特征；④评估近似分析结果：对于得到的近似解或近似性能特征，进行评估和对比，以判定其可信度、准确性和适用性。
1.3近似分析方法的优缺点近似分析方法是一种快速、高效的分析方法，它可以用于大型的和复杂的系统分析问题，而且比精确分析方法要简便许多。
但这种方法也有它自身的缺点，需要看情况而定。
优点：(1)比精确分析方法更为简便，可适用于大型及复杂系统；(2)能够从定量及定性的角度对系统性能特性进行全面的评估；(3)快速得到近似解，能够在实际工作中帮助决策的制定。
缺点：(1)近似值可能会出现偏差，不够准确，得到的结果需要评估可信度；(2)对于某些特殊的分析问题，近似分析方法可能会非常复杂，在这些情况下，应当谨慎地使用该方法；(3)近似分析方法应该与精确分析方法相结合，以获得更加准确的结果。
算法渐进表达式的求法
算法渐进表达式的求法算法渐进表达式是用来描述算法时间复杂度的一种形式化表示方法。
在计算机科学中，算法的时间复杂度是指执行算法所需的时间与输入规模之间的关系。
通常用大O符号来表示，表示算法的最坏情况下的运行时间。
求算法渐进表达式的方法有多种，下面将介绍其中的几种常用方法。
1. 基本操作计数法：通过对算法中基本操作的计数来求解算法的时间复杂度。
基本操作是指算法中执行一次所需的时间是固定的。
例如，对于一个循环，每次执行的时间是固定的，那么循环的执行次数乘以每次执行的时间就是算法的时间复杂度。
2. 循环法：对于包含循环结构的算法，可以通过循环的次数来求解算法的时间复杂度。
对于一个循环，可以通过分析循环的条件和循环体中的操作来确定循环的执行次数，进而求解时间复杂度。
3. 递归法：对于递归算法，可以通过递归的深度和每层递归的操作数量来求解时间复杂度。
递归的时间复杂度一般通过递推关系式来表示，然后通过求解递推关系式来得到时间复杂度。
4. 分析法：对于复杂的算法，可以通过对算法的整体结构进行分析来求解时间复杂度。
例如，可以通过分析算法中各个部分的时间复杂度，然后取最大值作为算法的时间复杂度。
在实际应用中，求解算法渐进表达式一般需要根据算法的具体实现和输入规模进行分析。
可以通过手工计算、代码分析或者利用工具进行求解。
在求解过程中，需要注意算法中各个部分的执行次数、循环的条件和循环体中的操作、递归的深度等因素，以及它们与输入规模之间的关系。
通过求解算法渐进表达式，可以对算法的时间复杂度进行评估和比较。
时间复杂度越小，算法的效率越高。
因此，在设计和实现算法时，需要尽量选择时间复杂度较低的算法，以提高算法的执行效率。
求解算法渐进表达式是一项重要的任务，可以帮助我们评估和比较不同算法的效率。
通过合理选择求解方法和仔细分析算法的执行过程，可以准确求解算法的时间复杂度，从而为算法的设计和优化提供指导。
希望本文对读者对算法渐进表达式的求法有所帮助。
循环渐进法
循环渐进法循环渐进法，又称迭代法或递推法，是一种求解复杂问题的数学方法。
它的基本思想是将问题分解成一个个简单的子问题，逐步求解，最终得到整个问题的解。
循环渐进法适用于一些数学上的求解问题，如差分方程、递推序列等。
这些问题通常可以用一个递推公式来表示，即当前状态与前面状态之间的关系。
通过迭代计算，逐步推进，最终得到问题的解。
循环渐进法的核心在于迭代过程。
假设要求解某个问题的解，那么首先需要确定一个初始状态，即问题的起点。
然后根据问题的递推公式，计算出下一个状态，即问题的下一步。
重复这个过程，直到得到问题的最终解。
以求解斐波那契数列为例，其递推公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1。
从初始状态开始，依次计算出后续的状态，如下所示：f(0)=0f(1)=1f(2)=f(1)+f(0)=1f(3)=f(2)+f(1)=2f(4)=f(3)+f(2)=3f(5)=f(4)+f(3)=5f(6)=f(5)+f(4)=8……通过不断迭代计算，可以得到斐波那契数列的所有项。
这种方法的优点在于简单易懂，容易实现。
缺点则在于计算量较大，在求解复杂问题时会比较耗时。
除了递推序列外，循环渐进法还可以应用于求解一些几何问题，如曲线拟合、图形变形等。
在这些问题中，可以通过不断迭代，调整图形的形状，逐渐接近目标状态。
总体来说，循环渐进法是一种非常有用的数学工具，可以用于求解多种问题，并广泛应用于科学、工程等领域中。
对于掌握该方法的学生和研究人员，将有助于提高问题解决的能力和效率，从而更好地应对实际问题。
近似算法总结
近似算法总结近似算法：在计算中寻找近似解的艺术近似算法是一种在计算机科学和数学领域中常用的算法设计技术。
它的目标是在给定的时间限制内，找到一个“近似解”，即不一定是精确解，但足够接近问题的最优解。
这种算法在实际应用中非常有用，因为很多复杂问题的精确解往往难以计算或需要耗费巨大的计算资源。
近似算法可以应用于各种问题，如图论、优化问题、组合问题等等。
它们的设计思想可以归纳为两种主要方法：启发式算法和近似理论。
启发式算法是一种基于经验和直觉的算法设计方法。
它通过不断试探和优化，逐步接近最优解。
其中，贪心算法是最简单和常用的启发式算法之一。
它每次选择当前看起来最好的解决方案，然后继续迭代下去，直到找到一个接近最优解的解决方案。
虽然贪心算法很容易实现和理解，但它并不能保证找到最优解，只能找到一个近似解。
近似理论是一种通过数学分析问题的算法设计方法。
它通过数学模型和理论证明，给出一个近似解的上界或下界。
其中，近似比是衡量近似算法性能的重要指标。
近似比越接近1，表示算法的近似解越接近最优解。
近似理论的好处是可以提供对算法性能的理论保证，但缺点是有时证明复杂且困难。
在实际应用中，近似算法被广泛使用。
例如，在路由问题中，寻找最短路径是一个经典的优化问题。
由于计算所有可能路径的成本太高，人们常常使用近似算法，如迪杰斯特拉算法或A*算法，来找到一个近似最短路径。
在图像处理中，人们也常常使用近似算法来进行图像压缩，以减少存储和传输成本。
值得一提的是，近似算法并不是万能的，它有时可能会给出错误的结果或者无法保证结果的质量。
因此，在使用近似算法时，我们需要根据具体问题的特点和要求，权衡算法的效率和准确性，选择合适的算法。
近似算法是一种在计算中寻找近似解的重要方法。
它通过启发式算法和近似理论，能够在有限的时间内找到一个接近最优解的解决方案。
虽然近似算法不能保证找到精确解，但在实际应用中具有广泛的适用性和实用性。
通过合理选择和设计近似算法，我们能够在计算中更高效地解决复杂问题，提高计算机的性能和效率。
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A
C
§9-4
4kN A i 4kN i C i B E i D
无剪力分法
图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的， 因此可以采用无剪力分配法计算，即把AB BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。
A
AD AB BA
例1：用力矩分配法计算图示刚架。
其中：
AB
i 3i i i 0.25
§9-2
FP A
单结点的力矩分配法
q
FP A
在前面的基础上，主要解决节间荷载的问题。
q
=
原结构
-M
A状态
在A点加了一 刚臂，阻止它 的转动，相当 于加了一个结 点力矩。
+
B状态
在结点上加一个 反向的力矩。
A状态的内力——固端弯矩 查表计算
B状态的内力——分配弯矩 用力矩分配法计算
§9-2
单结点的力矩分配法
无剪力分配法
FP FP
FP
FP
FP
FP
FP FP
=
（b）正对称
+
（c）反对称 可取半刚 架计算。
取
（d）半刚架
C
C’
（a）原结构
分解为正、 反对称问题
弯矩等于零， 不必计算
有侧移的柱剪力是 静定的，可用无剪 力分配法计算。
§9-4
无剪力分配法
对图示有侧移刚架，则不能直接应用无剪力分配法。 因竖柱AB、CD既不是两端无线位移杆件，也不是剪力静 定杆件，不符合无剪力分配法的应用条件。
例1：用力矩分配法计算图示连续梁。 FP=2kN q=1kN/m q FP L=4m
EI EI L A L/2 L/2 B C
分配系数 固端弯矩 分配弯矩 最后弯矩
4/7
-1 2/7 -5/7 1 4/7 11/7
2
3/7
-2 3/7 -11/7
11/7
0 0 0
5/7
2
§9-2
单结点的力矩分配法
§9-4 无剪力分配法
2、无剪力分配法的应用条件
1）两种杆件的概念 无侧移杆件——杆件两端没有相对线位移（即没 有垂直杆轴的相对位移）的杆件；
剪力静定杆件—— 杆件两端虽有侧移， 但剪力是静定的， 即可根据静力平衡 条件直接求出剪 力的杆件。
FP D FP C FP B FP C 2FP B A 3FP D
远端弯矩 近端弯矩 0 3i 0
2。传递系数：C A B
一端固定一端滑动梁 ：
A 1
i A B
远端弯矩 近端弯矩 i i 1
其中：
-i
i——近端弯矩
-i——远端弯矩
传递系数：C A B
§9-1
力矩分配法的基本概念
未知量： 1 杆端弯矩：
L
L M
用位移法求解该结构。
0.5 0.5
0.25
0.08
0.33
-0.31 -0.625 -0.625 -0.31 分配与传递 0.08 0.155 0.155 -0.04 -0.04 0.655 -0.655 -0.655 -0.655 -0.31 最终弯矩
§9-3
i 4m
多结点力矩分配法
6 kN/m i 2m 2m 2 kN/m i 4m 2 kN
2）传递系数 C ——远端弯矩与近端弯矩的比值。 两端固定梁：
A 1
4i A B 2i
其中： 4i——近端弯矩 2i——远端弯矩
2i 4i 1 2 远端弯矩 近端弯矩
传递系数：C A B
§9-1
A 1
3i A
力矩分配法的基本概念
其中：
一端固定一端铰结梁 ：
3i——近端弯矩
B
0 ——远端弯矩
FP M EI A L/2 L/2 B
例2：用力矩分配法计算图示连续梁。
q
EI L C
FP=2kN q=1kN/m M=1kN· m L=4m
分配系数 固端弯矩 分配弯矩 最后弯矩
-1 -4/7 -11/7
4/7 3/7 1 -2 -8/7 -6/7 -1/7 -20/7
0 0 0
错在哪里？
§9-3
4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常 宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算（放松）。
§9-4
无剪力分配法
1、概述 1）两类刚架的区别 在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移 刚架两类，它们的区别在位移法的基本未知量。 无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移；
有侧移刚架——基本未知量既含结点角位移，也 含结点线位移。 2）两类解法的用途 力矩分配法——求解无侧移刚架的逝近法； 无剪力分配法——求解符合某些特定条件的有侧 移刚架的渐近法。
s
s14
+
M 14 3i1 s121
s
M 14 M
M
S
ij
1
M
L
§9-1
力矩分配法的基本概念
3）分配系数 ——结点处，某杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件 转动刚度之和的比值。 计算公式： ij
S ij
i
S ij
● 求各杆的分配系数
12
i 3i i 4 i 4i 3i i 4 i 3i 3i i 4 i 1 8 4 8 3 8
（a）
（b）
A
§9-4
2）应用条件
无剪力分配法
——此法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆 件（无侧移杆）外，其余杆件都是剪力静定杆件的有 侧移刚架。 可以解只有一根竖柱的刚架，且横梁端部的链杆应 与柱平行的问题。但也可以推广到单跨多层对称刚架 等问题。
§9-4
例：
2FP A 2FP B A’ B’ FP FP
2
+
-MB
1
2
+
-MC 1
用单结点的力矩分配 法，对1结点的不平衡 力矩进行分配。
+
…
2
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
§9-3
i
4m
多结点力矩分配法
2kN
例1：用力矩分配法计算图示连续梁。
i
4m
i
4m
0.5 0.5 -1 0.25
0.5 0.5 1
分配系数 固端弯矩
例2：用力矩分配法计算图示连续梁。
2m
0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.57 -1.65 -3.29 -3.28 0.47 -0.12 -0.23 -0.24
0.57 0.43 0.0 -2.0 4.0 -4.0 1.14 0.86 -1.64 0.94 0.70 -0.12 0.07 0.05 -1.77 -3.52 -2.48 0.39 -0.39 4.0 -4.0
B
BE BC
C CB
0.75
BC
g
3i i i
2 FP L 2
0.2
FB C
16 kN
9.6
0.25 -8.0 -4.8 3.2
0.2 -8.0 4.8 -3.2
0.6 14.4
0.2 -16.0 -16.0 4.8 -4.8
…
2 EI 1 EI EI 4
M 12 i1 s121
M 13 4i1 s131
3 L
M M12 M14 M13
+
M 14 3i1 s141
M
S
ij
1
建立方程：
M 1 0 M 12 M 13 M 14 M
(3i i 4 i ) 1 M
现再来做前面的例题。
M 2 EI 1 EI EI 4
L
显然
i
ij
1
13 14
3 L L
§9-1
力矩分配法的基本概念
M 2 EI 1 EI EI 4
回代，得：
M
31
2 i1
8i i 8i
2
M 13
M M
21
i 1 0
M M 12
3 L L
把两个铰支座固定，使其 变成3个独立的单跨梁。
把1号支座放松，相当于 释放了支座处的不平衡 力矩。 把1号支座所住，放松2 号支座。如此反复进行， 结构的变形越来越接近 原结构。
FP 1 2
FP 1
FP 1 2
2
§9-3
多结点力矩分配法
FP
把刚才的实验过程体现在解题上： 原结构
2 1
=
FP 1
把结点固定起来，求 固端弯矩。
分配系数 固端弯矩
分配与传递
最终弯矩
§9-3
q
多结点力矩分配法
q
A
例3：用力矩分配法计算图示对称刚架。
q
B C
L
q
L
qL
2
取半刚架
2
取1/4刚架 A
原结构
qL
qL
2
qL
24
2
24
C CA
AC 0.5
12
12
qL
2
qL
2
24
24
0.0 0.0 -qL2/24 qL2/24 -qL2/24 qL2/24
（2）将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩； （3）将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力 矩，直到传递弯矩小到可忽略为止； （4）把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的
固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。
§9-3
多结点力矩分配法
FP
下面做一个薄钢片的试验：