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指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结.docx

(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。

2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。

(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。

高三第一轮复习数学指数式与对数式.doc

高三第一轮复习数学 --- 指数式与对数式一、教学目标： 1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．二、教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明三、教学过程：（一）主要知识： 1．幂的有关概念n 个(1) 正整数指数幂 a na a aa (n N )(2)零指数幂 a 01 (a 0)(3) 负整数指数幂 a n1 a0, n Na nmna m(4) 正分数指数幂 a na 0,m, n N , n 1 ；m1 1(5) 负分数指数幂 ana0, m, n N , n 1mna ma n(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .2．有理数指数幂的性质1 a r a s a r s a 0, r , s Q2 a rsa 0, r , s Qa rs3abra 0b,0r , Qa rb r3．根式的内容x na（）根式的定义一般地，如果，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1, n N ，1 :na 叫做根式，n 叫做根指数， a 叫被开方数。

(2) 根式的性质 : ①当 n 是奇数，则n ana ；当 n 是偶数，则 n a naaaaa 0②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零4．对数的内容 (1) 对数的概念如果 a bN ( a 0, a 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数 ,记 blog a N (a 0, a1)(2) 对数的性质：①零与负数没有对数 ② log a 1 0③ log a a 1(3)对数的运算性质① log a MN log a M log a N②Mlog a M log a NlogaN③ log a M nn log a M 其中 a>0,a ≠ 0,M>0,N>0(4) 对数换底公式： log a N log m N0, a 0且 a 1, m 0且 m 1)( Nlog m a（二）主要方法：1．重视指数式与对数式的互化；2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．（三）例题分析：例 1 计算下列各式① (1)21( 1) 3 46 63 2 (1.03)0 ( 6 )3 3224 1a 3 8a 3 b(1 23b 3a (a0, b 0)②22)4b 3 23 ab a 3a③2(lg 2) 2 lg2 lg 5(lg 2 )2 lg 2 1④ lg 5(lg 8lg1000) (lg 2 3 )2lg1lg 0.066思维分析：式子中既有分数指数、又有根式，可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算。

高一数学(必修1)专题复习三--指数函数和对数函数.doc

高一数学(必修1〉专题复习三指数函数和对数函数一.基础知识复习(一)指数的运算：1.实数指数幕的定义:肴理指数籌实数指数需整数指数鬲分数指数需V「正整数指数需,零指数需，负整数指数需,，正分数指数需,负分数指数需.正整数指数幕:(3) 负整数指数幕:(4) 正分数指数幕:(5) 负分数指数幕:无理指数籌g-a••…a (GW/?) (2)零指数幕：tz° = 1 (GH O)片个d ci n = —( a H 0 )a"m __a n =( a H 0,%〃w TV*,心1)- 1” =—j=(( a H 0w W TV / H 1 •a n2.指数的运算性质:log/ nj(3) log“” 护=—log, (4) log /( b n = log f/b (5) log a m Z*T① a x -a y=ax+y ②—=aa③(/)〉’=泸④(ab)x = a x b x(二)对数的运算：1.定义：如果a" = N(G >0且QH1),那么数b 就叫做以G 为底N 的对数，记作 b = ]og a N (a是底数，N 是真数，log“N 是对数式).即：a h =N^log a N = b.(1)(2) (3) (4) 2. 3. 由于N = a h>O f 故log, N 中N 必须大于0 当N 为零和负数时对数不存在1的对数是零，log“ 1 = 0 底数的对数等于1, log“ 0 = 1=N (2) 对数恒等式：(1) a'呱“ 对数的运算法则：① log“ (MTV ) = log“ M + log “ Nlog. a b =b (3)加呃"=/恨4.③ log“(N")=〃log“NM② Sg “刁_= k)g“M -log“N④ \o Sa ^[N =-\o Sa Nn对数换底公式:log /?N = ^-^呃b由换底公式推出一些常用的结论: (1) log“b= —或 log, • log /; a = 1 (2) \og a b - log /? c = log^ c（一）指数函数的图象和性质1. y = a\ a > 0且GH I ）的定义域为/?,值域为（0,-HX ））.2. y = a x （a > 0且GH I ）的单调性：当。

必修一：指数函数、对数函数、幂函数综合

必修一：指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）．【知识框图】【要点梳理】要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质：（1）当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩（2）na =3．分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1mnm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈（1）r s r sa a a+= （2）()r srsa a = （3）()rr r ab a b =要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2要点三：对数与对数运算 1．对数的定义（1）若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．（2）负数和零没有对数．（3）对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．2．几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．3．常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 4．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四：对数函数及其性质 1．对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞． 2要点五：反函数 1．反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x yϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．2．反函数的性质（1）原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．（2）函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．（3）若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．（4）一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．要点六：幂函数 1．幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数． 2．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．【典型例题】类型一：指数、对数运算例1．化简与计算下列各式（1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--．【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．【答案】（1）1615；（2）100；（3）2a ．【解析】（1）原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1+11610-=1615；（2）原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =5937100331648++-+=100 （3）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=．【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：（1）133241116()()8()100481----+⋅；（2．【答案】（1）-27；（2【解析】（1）1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯ 344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=- ⎪⎝⎭；（2133⎫=1)1)==⨯=例2．已知：4x =，求：111244311422111x x xx x xx -+⋅⋅+++的值．【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法．【答案】2 【解析】111244311422111x x x x x x x -+⋅⋅+++11441411122411111x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=⋅⋅+⎛⎫++ ⎪⎝⎭1111442211122211111111x xx x x x xx x --=⋅⋅+=+=-+=++∴ 当4x =时，111112442231142211421x x xx x x xx -+⋅⋅+===++．【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算．解题时，要注意运用下列各式．11112222a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2111122222a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭;112112333333a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3．计算（1）2221log log 12log 422-；（2）33lg 2lg 53lg 2lg 5++；（3）222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++．【答案】（1）12-；（2）1；（3）3；（4）14．【解析】（1）原式=122221log 12log log 22-⎫===-；（2）原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++ =()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1（3）原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++=()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．【变式1】552log 10log 0.25+=（）A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==．【变式2】（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+．【答案】（1）2；（2）54．【解析】（1）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 4．（2015年山东高考）设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b=（）A ．1B ．78C ．34D ．12【答案】D【解析】由题意，555()3662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得， 51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224b b -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D ．【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值．举一反三：【变式1】已知函数221,1,(),1,x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（）．A ．12B ． 45 C ． 2 D ． 9 【答案】C ．【解析】1,()21x x fxf <=+∴=，由((0)f f a=，则有(2)4f a =．21,(),442x f x x ax a a ≥=+∴=+，2a ∴=，选C ．例5．（2016 湖南岳阳模拟）若函数y =f （x ）的定义域是[2，4]，则12(log )y f x =的定义域是（） A ．1[,1]2 B ．[4，16] C ．11[,]164D ．[2，4] 【思路点拨】令12log x t =，使t 满足y =f （x ）的定义域中x 的取值范围相同，求出12(log )y f x =的定义域即可．【答案】C【解析】∵12(log )y f x =，令12log x t =，∴12(log )()y f x f t ==，∵函数y =f （x ）的定义域是[2，4]， ∴y =f （t ）的定义域也为[2，4]，即2≤t ≤4， ∴有122log 4x ≤≤，解得：11164x ≤≤， ∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围， ∴12(log )y f x =的定义域为11164x ≤≤，即：11[,]164．故选C ．【总结升华】本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，运用整体代换（换元法）即可迎刃而解．【高清课堂：幂指对综合377495 例4】1-xA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出2(0)xy x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||2x y =的图象，再把||2x y =的图象右移一个单位，得到12-=x y 的图象，故选B【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】例7．函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

高中数学指数与对数问题解析实例

高中数学指数与对数问题解析实例在高中数学中，指数与对数是一个非常重要的概念和工具，它们广泛应用于各个数学领域以及实际生活中的问题求解。

本文将通过具体的例题，深入分析指数与对数的相关概念、性质和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、指数问题解析实例1. 指数的基本性质考虑以下例题：已知2^x = 8，求x的值。

解析：根据指数的基本性质，我们知道2^x = 8可以转化为2^x = 2^3。

由此可得x = 3。

这个例题展示了指数的基本性质，即若a^x = a^y，则x = y。

2. 指数的运算法则考虑以下例题：已知2^x = 8，求2^(x+1)的值。

解析：根据指数的运算法则，我们知道2^(x+1) = 2^x * 2^1 = 8 * 2 = 16。

这个例题展示了指数的运算法则，即a^(x+y) = a^x * a^y。

3. 指数方程的解法考虑以下例题：解方程2^(x+1) = 4^x。

解析：首先，我们可以将4^x转化为(2^2)^x = 2^(2x)。

然后，根据指数方程的解法，我们知道2^(x+1) = 2^(2x)，所以x + 1 = 2x。

解方程得到x = 1。

这个例题展示了指数方程的解法，即将指数转化为同底数的幂，然后通过等式关系求解。

二、对数问题解析实例1. 对数的基本概念考虑以下例题：已知log2(8) = x，求x的值。

解析：根据对数的基本概念，我们知道log2(8) = x可以转化为2^x = 8。

由此可得x = 3。

这个例题展示了对数的基本概念，即loga(b) = c可以转化为a^c = b。

2. 对数的运算法则考虑以下例题：已知log2(8) = x，求log2(64)的值。

解析：根据对数的运算法则，我们知道log2(64) = log2(8 * 8) = log2(8) + log2(8) = 2 * log2(8) = 2 * x = 6。

这个例题展示了对数的运算法则，即loga(b * c) = loga(b) + loga(c)。

指数与对数总结

指数与对数专题初步一.指数与指数运算1、指数式：形如ba N =，a 叫做底数，b 叫做指数，N 叫做幂. 2、 0指数幂与分数指数幂：(1)01(0)a a =≠；(2)1(0)nnaa a -=≠. 3、根式性质：(1)n a =；(2) ||a n a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数.4、分数指数幂：(1) 正分数指数:10)m nna a a =>=，*(0,,)m a m n N n>∈、为既约分数.(2) 负分数指数幂：1m nmna a-=*(0,,)ma m n N n>∈、为既约分数. 5、指数幂运算法则：(1)mnm na a a+⋅=；(2)m m n n a a a-=；(3)()m n m n a a ⋅=；(4)()n n nab a b =⋅.二.对数与对数运算1.对数定义：若(0,1)b a N a a =>≠且，则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a b N =，a 叫做底，N 叫做真数. (2)对数恒等式：log (0,10)a Na N a a N =>≠>且， (3)对数换底公式：log log log ab a NN b=(4)对数的性质：①负数与零没有对数；②log 1a a =，log 10a =；③log log 1a b b a ⋅= (5)常用对数：以10为底的对数10log N 叫做常用对数，简记作lg N ；自然对数：以e 为底的对数log e N 叫做自然对数，简记作ln N 。

2.对数的运算性质若0,1a a >≠且，0,0M N >>；则(1)log ()log log a a a MN M N =+；(2)log log log aa a MM N N=-； (3)log log n a a M n M =； (4)log log m na a nM M m=.lg 0.01= ；13log 9= ；21log 32. 【变式1】已知log 2,log 3a a m n ==，求2m na+.三. 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝a log x 的比较：a>10<a<12. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系①②3. 几个注意点（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

高一指数与对数知识点

高一指数与对数知识点在高中数学的学习中，指数和对数是非常重要的知识点，尤其是高一阶段。

这两个概念都与数的幂密切相关，虽然听起来有些抽象，但是其实它们在我们生活中随处可见。

本文将在不涉及政治的前提下，详细介绍高一阶段指数和对数的基本概念和应用。

首先，我们先来看看指数的基本概念。

指数是一种表示数的幂的方法，通常用一个上标数字来表示。

比如，2的3次方可以写作2³，其中2为底数，3为指数。

指数告诉我们一个数需要连乘几次，例如2³=2×2×2=8。

这是一个非常常见的概念，比如在计算某些规律的数列时，指数就能派上用场。

指数也有一些常见的性质。

首先，任何数的0次方都等于1，比如3⁰=1。

其次，任何数的1次方都等于它本身，比如5¹=5。

另外，指数的乘法法则是，同一个底数的指数相乘等于底数不变，指数相加。

例如，2²×2³=2^(2+3)=2⁵=32。

指数还有一个重要的性质是对数的概念。

对数是指数的逆运算。

具体来说，如果aⁿ=b，那么n就是以a为底，b的对数。

对数运算的定义是，如果aⁿ=b，那么logₐb=n。

在这个定义中，a叫做底数，b叫做真数，n叫做对数。

对数运算常用的底数有10、自然对数e等。

比如，log(100)=2，表示以10为底，100的对数等于2。

对数运算也有一些基本的性质，比如logₐa=1，logₐ1=0等。

指数和对数在很多实际问题中都有重要的应用。

举个例子，它们在生物学中用来描述物种的增长速度。

比如，如果一种细菌每分钟分裂成两个，那么它的增长速度可以用指数函数来描述。

又如在经济学中，指数增长可以用来描述物价的上涨速度。

对数函数在物理学问题中也有重要应用，比如用来描述震级和声音的强度等。

此外，指数和对数在计算机科学中也有广泛的应用。

计算机中的存储容量、数据传输速度、算法复杂度等问题，都可以用指数和对数来分析和解决。

比如，在计算机内存的扩展中，指数函数可以用来描述存储容量的增长速度。

指数与对数知识点总结

指数与对数知识点总结一、指数（一）指数的定义指数是数学中的一个重要概念，表示一个数自乘若干次的形式。

一般地，对于正整数 n，aⁿ表示 n 个 a 相乘，即aⁿ ＝ a × a ×× a（n 个 a）。

（二）指数的运算性质1、 aᵐ×aⁿ ＝ aᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）例如：2³×2²＝ 2³⁺²＝ 2⁵＝ 322、（aᵐ）ⁿ ＝ aᵐⁿ （幂的乘方，底数不变，指数相乘）比如：（2³）²＝ 2³×²＝ 2⁶＝ 643、（ab）ⁿ ＝aⁿbⁿ （积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）例如：（2×3）²＝ 2²×3²＝ 4×9 ＝ 364、 aᵐ÷aⁿ ＝ aᵐ⁻ⁿ（a ≠ 0，m ＞ n，同底数幂相除，底数不变，指数相减）比如：2⁵÷2³＝ 2⁵⁻³＝ 2²＝ 4（三）指数函数1、定义：一般地，函数 y ＝aˣ（a ＞ 0 且a ≠ 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。

2、图像特征：当 a ＞ 1 时，函数图像单调递增，过点（0，1）。

当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数图像单调递减，过点（0，1）。

（四）指数方程形如aˣ ＝ b 的方程，其解法通常是将其转化为对数形式求解。

二、对数（一）对数的定义如果aˣ ＝ N（a ＞ 0 且a ≠ 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（二）对数的运算性质1、logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN （正数积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和）例如：log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN （正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数）比如：log₃(9/3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、logₐMⁿ ＝nlogₐM （幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）例如：log₅2⁵＝ 5log₅2（三）换底公式logₐb ＝logₑb ／logₑa （其中 e 为自然对数的底数，约等于 2718）（四）常用对数与自然对数1、常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lgN。

高中数学中的指数与对数问题解析与解题技巧

高中数学中的指数与对数问题解析与解题技巧在高中数学中，指数与对数问题是一个重要且常见的话题。

指数与对数是描述数的幂运算与反运算的工具，广泛应用于科学、工程和经济等领域。

掌握指数与对数的解析与解题技巧，对于提高数学能力和解决实际问题具有重要作用。

一、指数的基本概念与性质指数是用于表示幂运算的一个数。

在指数运算中，指数表示幂的次数，底数表示被乘的数。

例如，2³中的2是底数，3是指数，表示将2连乘3次。

在解决指数问题时，常用到以下几个基本性质：1. 指数相同，底数相乘。

例如，2² × 2³ = 2⁵。

2. 底数相同，指数相加。

例如，2³ × 2² = 2⁵。

3. 乘方的乘法法则。

例如，(2²)³ = 2⁶。

掌握这些基本概念与性质，对于解决指数问题是非常重要的。

二、对数的基本概念与性质对数是指数运算的反运算。

在解决对数问题时，常用到以下几个基本概念与性质：1. 对数的定义。

设a为正实数，b为正实数且不等于1，若满足a = b^x，则称x为以b为底a的对数，记作log_b⁡a。

2. 对数的换底公式。

log_b⁡a = log_c⁡a / log_c⁡b，其中c为任意正实数且不等于1。

3. 对数的性质。

log⁡(a × b) = log⁡a + log⁡b，log⁡(a / b) = log⁡a - log⁡b，log⁡(a^x) = x × log⁡a。

掌握这些基本概念与性质，对于解决对数问题是至关重要的。

三、解析与解题技巧在解析指数与对数问题时，可以运用以下几个常见的解题技巧。

1. 化简。

将复杂的指数或对数式子化简为简单形式，以便于后续计算。

例如，将2⁴ × 2²化简为2⁶。

2. 转化。

将指数问题转化为对数问题，或将对数问题转化为指数问题，利用对数与指数的互逆关系求解。

例如，将2⁴ = 16转化为log⁡2⁡16 = 4。

高中数学中的指数与对数

高中数学中的指数与对数指数和对数是高中数学课程中非常重要的概念，它们具有广泛的应用和深刻的数学原理。

本文将从理论和实际应用两个角度来探讨高中数学中的指数与对数。

一、指数指数是数学中描述乘方运算的概念。

对于正整数n和实数a，定义a 的n次方（记作a^n）为连乘n个a。

指数运算有以下基本性质：1. a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的幂相乘，底数保持不变，指数相加。

2. (a^m)^n = a^(m*n)，即幂的乘方，指数相乘。

3. a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。

指数的运用可以帮助解决很多实际问题，例如在复利计算、科学记数法、几何图形的面积和体积计算等方面。

指数运算对于数学建模和科学研究有着重要作用。

二、对数对数是指数的逆运算。

对于正数a和正整数n，如果a^n = b，则称n为以a为底b的对数，记作n = loga(b)。

对数运算有以下基本性质：1. loga(b * c) = loga(b) + loga(c)，即对数的乘法，底数保持不变，对数相加。

2. loga(b^n) = n * loga(b)，即对数的乘方，对数相乘。

3. loga(1) = 0，任何底数以自身为底的对数都等于1。

对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域中。

它可以帮助简化复杂的指数运算，提供了一种便捷的方式来解决指数方程和指数函数的相关问题。

三、指数与对数的应用指数和对数作为数学工具，应用于各个领域，下面以几个具体的例子来说明：1. 复利计算：复利是指在每个计息周期内将利息加入本金的计息方式。

复利的计算涉及指数运算，可以使用指数的概念来描述每个计息周期的本金增长。

2. 科学记数法：科学记数法是将一个数表示为一个系数和一个基数为10的指数的乘积。

科学记数法的使用可以简化大数或小数的表达和计算。

3. 几何图形的面积和体积计算：在计算几何图形的面积和体积时，经常需要使用指数和对数来处理图形的边长、体积和面积之间的关系。

高中数学指数与对数问题解析实例剖析及解题方法探究与讲解

高中数学指数与对数问题解析实例剖析及解题方法探究与讲解在高中数学学习中，指数与对数是一个重要且常见的题型。

掌握了指数与对数的基本概念和解题方法，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。

本文将通过具体的例子，对指数与对数问题进行解析实例剖析，并探究解题方法。

一、指数问题解析实例剖析指数问题是高中数学中常见的一类问题，它涉及到幂运算和指数运算。

下面我们通过一个实例来解析指数问题。

例题1：已知2^x = 8，求x的值。

解析：这个问题可以通过观察指数与底数之间的关系来解决。

我们知道，2^3= 8，因此可以得到2^x = 2^3。

由指数的相等性质可知，x = 3。

所以，x的值为3。

这个例题中，我们通过观察指数与底数之间的关系，找到了x的值。

这种方法在解决指数问题中非常实用，可以帮助学生更好地理解指数运算的规律。

二、对数问题解析实例剖析对数问题是指数问题的逆运算，它涉及到对数运算和指数运算的关系。

下面我们通过一个实例来解析对数问题。

例题2：已知log2x = 4，求x的值。

解析：这个问题可以通过对数的定义来解决。

我们知道，log2x = 4等价于2^4= x。

因此，x的值为16。

在解决对数问题时，我们可以利用对数的定义，将对数方程转化为指数方程，从而求得未知数的值。

这种方法在解决对数问题中非常常见，对于高中数学学习十分重要。

三、解题方法探究与讲解在解决指数与对数问题时，除了通过观察和运用定义进行转化外，还可以运用一些常见的解题方法。

下面我们通过例题来探究这些解题方法。

例题3：已知2^x + 2^y = 12，求x和y的值。

解析：这个问题可以通过运用指数的运算性质来解决。

首先，我们观察到12可以分解为2的幂次之和，即12 = 2^2 + 2^3。

因此，我们可以得到2^x + 2^y =2^2 + 2^3。

由指数的运算性质可知，x = 2，y = 3。

所以，x和y的值分别为2和3。

在解决这个问题时，我们通过运用指数的运算性质，将2^x + 2^y转化为2的幂次之和，从而得到x和y的值。

高一数学指数对数综合

单调性，并证明。
； / 硅藻泥十大品牌
拜の偶像，则完全是由于她自身の魅力。壹各能让皇子小格心甘情愿听命于她の诸人，壹定是最有能力，最有魅力の诸人。第壹卷第253 章秋婵秋婵壹听说这次塞外行围有德妃娘娘，心中暗叫壹声“不好”。她不是第壹次来草原，当她四年前第壹次来到草原の时候，也如塔娜那样，兴奋、激动、新奇。可是当她到咯草原之后才发现，作为随行宫女，她是多么の背运！在宫里の时候，娘娘有壹大群宫女，每各人の分工格外细致，连库房管理都有壹各人专门负责，因此相应地，每各人都相对轻闲许多，这也是宫女们宁可花银子、走门路，千方百计、削尖咯脑袋也要到各各宫里服侍娘娘，也不愿意在针线房、茶水房等公共部门当差の原因。可是随行就完全不壹样咯！再得宠の娘娘也不可能把所有の宫女都带上，只有四各名额，吃喝拉撒睡，全靠四各宫女负责。那些在宫里不用她们负责の事情，来到咯塞外，都要责无旁贷地全部承担起来。而秋婵是德妃娘娘の贴身宫女，饮食起居、嘘寒问暖、事无巨细、面面俱到，累得是腰酸腿疼、筋疲力尽。壹次塞外行围，简直就像是要咯秋婵の小命似の。相反，那些没有随行の宫女们，因为主子不在宫里，全都像放咯长假壹样，轻轻闲闲、舒舒服服地养咯三各月身子，待秋婵随德妃娘娘回到宫中の时候，许多人都胖咯壹圈，秋婵几乎都要认不出来她们咯。因此，这壹次，当壹听说自家主子又能随行伴驾の时候，秋婵简直是痛心疾首，而那些不用随行の宫女们则都是长长地出咯壹口气，继而欢欣鼓舞地盼着德妃年年伴驾才好。但是，这壹次，秋婵万万没有想到，她竟是如此地幸福至极！因为雍亲王爷の侧福晋成咯娘娘の第五各“宫女”，而且还是“近侍宫女”，另外还有吟雪这第六各“宫女”の加盟，让秋婵史无前例地轻松下来。轻松下来の秋婵总算是有机会领略壹下塞外の风光，看壹看沿途の美景，感慨壹下幸福の生活。但是另外三各负责外围事务の宫女，却没有因为年侧福晋の到来而工作量有所减轻。同样是宫女，为啥啊会有这么不公平の待遇？对于秋婵の意外“享福”，她们又是眼热又是嫉妒，可是除咯气恨不平，发发牢骚，却是壹点儿办法都没有。自从来到草原，壹切步入正轨之后，德妃有足够の时间，享受儿媳妇の孝道。特别是随着水清和吟雪这两各人成为她の“免费宫女”，再加上秋婵三各人整日里围着她团团转，娘娘得以继续享受着与宫里差不多の养尊处优の生活，这让她の心理得到咯极大の满足。水清背运还在于，费力还不讨好。从赐婚圣旨下来の那壹天起，德妃就对她又怒又恼，先入为主の原因使得娘娘打心眼儿里看水清啥啊都不顺眼。原本就烦这各儿媳妇，现在又天天在她の眼跟前儿立

(word完整版)高一数学(必修1)专题复习三指数函数和对数函数

高一数学(必修1)专题复习三1(3) 负整数指数幕：a 』 n ( a = 0)a nm(4) 正分数指数幕：a n = n a m ( a 0,m, n • N ., n = 1)一 - 1(5)负分数指数幂：a n (( a = 0,m, n • N ., n = 1 .^a m2 •指数的运算性质：xxyxyax _yx 、yxyx x x① a a y =a② 亍二a③(a)=a y ④(ab)二 a ba(二)对数的运算 _______________________1 •定义：如果|a =N(a>0且a 式1)那么数b 就叫做以a 为底N 的对数，记作b=log a N ( a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式).即：a b=N=log a N=b .(1) 由于N _=a 、0，故log a N 中N 必须大于0 (2) 当N 为零和负数时对数不存在 (3) 1的对数是零，log a 1=0 (4)底数的对数等于1, log a a =1 2.对数恒等式：(1) |a log aN = N |(2) log a a^b (3) m log an = n log am3 •对数的运算法则：① log a MN l=log a M log a N ② log a M = log a M - log a N N③ log a (N n)= n log a N④ log a 老 N = — log a Nnlog a N 4•对数换底公式：log b N a•由换底公式推出一些常用的结论：log a b一•基础知识复习(一)指数的运算： 1 •实数指数幕的定义:(1)正整数指数幕: 指数函数和对数函数［整数指数幕出理指数幕=实数指数壽［分数指数爲扫里指数箒=a a a ( a R ) (2)零指数幕：n 个a'正整数指数壽零指数幕, '正分数指数幕*貝分数指数鬲.(1)log a b 二log b a 或log ab(2) log a b log b c = log a c(一)指数函数的图象和性质 1. y =a x (a 0且a=1)的定义域为R ，值域为0, 2.y =a x (a 0且a=1)的单调性：当a 1时，y =：a x 在R 上为增函数；当0 ：：： a ：：：1时，y = a 在R 上是减函数.3. y=a x (a 0且a^1)的图像特征：当a 1时，图象像一撇，过点0,1 ,且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近 y 轴；当0 ：：：a ：：：1时，图象像一捺，过点0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴.4. y=a x 与y=a»的图象关于y 轴对称. (二)对数函数的图象和性质 1. y=log a x(a - 0且 a")的定义域为 2.y = log a x(a - 0且a=1)的单调性：当a 1时，在0单增，当0 ： a ： 1时，在0,：：单减. 3.y=log a x(a - 0且a^1)的图象特征：当a 1时，图象像一撇，过 1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴；当0 ：：：a ：：：1时，图象像一捺，过 1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴.4. log a b 的符号规律(同正异负法则)：给定两个区间 0,1和1,匸：，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零. 5. y=log a X 与y=log ]X 的图像关于x 轴对称.a6. 指数函数y =a x 与对数函数y ^log a x 互为反函数. (1)互为反函数的图像关于直线y = x 对称 (2)互为反函数的定义域和值域相反(3) 一般地，函数y = f (x)的反函数用y = f '(X )表示，若点(a,b)在y = f (x) 的图像上，则点(b,a)在y 二f 4(x)的图像上，即若f (a)二b ，贝y f '(b)二a .(4)求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ；②求原函数的值域； ③x 与y 互换，并标明定义域.(3).mm .1叫b s logab(4) 1og a n b n= log a b(5) log a n a m=mnR '，值域为 y=iogiXRy=log | xy-lcgy=iog ;x二.训练题目(一)选择题1 .设a > 0，则y a V a^V a =( )7.设函数 f (x^log a (x b)(a 0,^=1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则 a b 等于() A . 3B . 4C . 5D . 6&已知函数y 二e x 的图象与函数 y 二f x 的图象关于直线 y =x 对称，则( )A . f 2x i ； = e 2x (x ・ R)B . f(2x)=ln2 lnx(x 0)C . f 2x =2e x (x R)D . f 2x = ln x In 2(x 0)9.已知函数f(x)=2x 七,f 4(x)是f (x)的反函数，若 mn = 16 ( m, n e R +)，则 f J (m) f J (n)的值为( )A . -2B . 1C . 4D . 1010 .若函数 y = f(x-1)的图像与函数y=ln ；x ，1的图像关于直线y =x 对称，则f (x)=()2x42x2x Ht2x 七A . eB . eC . eD . e(二)填空题2x41 .函数f(x)=2a -3 ( a 0,^=1 )的图象恒过定点 _______________________________2. _______________________________________________________________________ 函2.已知 log a X = 2 , log b x =1 , log c4，贝V log abc X 二()42 7 7A . —B .C .D .—772 4log 9 x log 4 3 =(log 3 4 log 4 3) —(——)，贝yxlog 3 4 log 4 3B . 16C . 256 x,(2)y =b x,(3)y =c x,(4)y 二d x,)4.如图为指数函数(1)y =a 则a,b,c,d 与1的大小关系为(a ::b :: 1 ：：c ::d 1 ：： a b ： c . dA . C .5.已知 0 :: a :: 1， log a m . log a n ：： 0 ,则6.设a,b, c 均为正数，且2aA . a :: b c 1b2 2 c : b ：： a二 log i a ,b . a : : 1 ： d :: c::b :: 1 ：： d :: c)C . m ：：n ：： 1 [1于-i =log i b ,2C . c ： a ：： bD. n :: m ：： 1 log 2 c 则(A • 12界B • 1肓C . 6孑D •盲3•若()数f (x) =2 -log a(2x2-3x 2) ( a 0,^-1 )的图象恒过定点______________________________ .e* x 兰0 13.设g(x)= i ,门则g(g(;))=—__________ .Jn x,x=0. 226.对于函数f (x) =log 1 (x -2ax 3)，解答下述问题:2(1) 若函数的定义域为 R ，求实数a 的取值范围； (2) 若函数的值域为 R ，求实数a 的取值范围；(3) 若函数在［-1,匸：)内有意义，求实数a 的取值范围; (4) 若函数的值域为(-：：，-1］，求实数a 的值.117. (1)已知9X-10 3X，9_0，求函数y =(—)X4 —4(—)x2的最大值和最小值.424•已知 log a X = m, log a y 二 n ，贝V log a5.已知 log 310=a , log 6 25 =b ，则用 a 、b 表示 log 4 45 _________(三)解答题1 .比较下列各组数的大小1 22 31 3032(1)(2)3，(-)3( 2)log 2 0.3，2'，0.33 32.计算：(1) lg 32 lg 3 5 3lg2lg5( 2)1 1 1(4) 2三,3? , 6®2lg2 lg31」lg 0.36」lg8 2 9 3 y3.化简:(2)x —1 x 31 -14.求下列函数的值域2x 」(1) y =3匸 (2) y 二阳(-x 2 2x 3)2(3)5.判断下列函数的奇偶性 (1) f (x) =(”3x '! ；3x 1(2) f(x)=lg( .1 x 2-x)_xX e - e y x x e + e(3) f(x)丄12X -12(2)设不等式2(log 0.5 x) - 9(log 0.5 x) ^0的解集为M ,求当x • M时函数x xy =(log2 —)(log 2 一)的最大和最小值.2 8&已知f (x) = log a (a -1) ( a 0,a = 1)(1)求f(x)的定义域；(2 )讨论f(x)的单调性; (3)解方程f(2x)二f _1(x).。

高考数学指数与对数运算

第七讲指数与对数运算知识点回顾与方法指导：一、指数 1.指数运算法则：n m n m a a a += mn n m a a =)( m m m b a ab =)(2.分数指数幂的意义 n m n m a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 二、对数1.对数的定义： b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2.对数中几个常用的恒等式：（1）01log =a ；（2）1log =a a （3）1log =a a（4）对数恒等式：如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log3.常用对数和自然对数：（1）常用对数.以10为底的对数叫做常用对数。

记作lgN.（2）自然对数：以e （e=2.71828……）为底的对数叫自然对数，记作lnN.4.积、商、幂的对数运算法则：如果0,0,10 n m a a ≠且,则有： )()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 5. 对数换底公式：aN N m m a log log log = 6.常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1,m ≠0）b b n m a n a n log log ==时， ③当1=mn 时，0log log =+n m a a一．选择题1、计算lg lg lg lg 3325325++= （）A. 1B. 3C. 2D. 02、若()y x x y lg lg 2lg 2+=-，那么（）A ．x y =B ．x y 2=C ．x y 3=D ．x y 4= 3、对数()12log12-+的值为（） A ．1B ．-1C ．1/2D ．-1/2 4、已知，则x 的值是（） A. B. C. 或 D. 或5、若23=a ，则6log 28log 33-用a 的代数式可表示为（）A ．2-aB ．()213a a +-C ．25-aD ．23a a - 6、已知，则是（） A.B. C. D. 7、已知，则的值为（） A. 3B. 8C. 4D. 二．填空题 8、求值：(222ab )÷(-____________)()43273=-⨯-a b a b 9、计算：=+50lg 2lg 5lg 2__________________10、满足等式()()2lg 2lg 1lg =-+-x x 的∈x __________________11、已知2lg =a ，3lg =b ，试用b a ,表示75lg ＝__________________三．解答题12、求值（1）6113175.0231729)95()27174(256)61(027.0------+-+--2）)]81(log [log log 34613、若a lg 、b lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，求()2lg lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ab 的值 14、若()()y x y x y x lg lg 2lg 2lg lg ++=++-，求y x 的值．15、若c b a 236632==，求证：c b a 321=+．。

新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升课件苏教版必修第一册

所以a＝4b，log2ba＝log24＝2．
24
解简单的指数和对数方程
解简单的指数和对数方程的三种方法 (1)化同底：将指数方程变形为am＝an⇔m＝n．形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝ N，且M>0，求解．
N>0
25
(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．
21
【例3】若lg a＋lg b＝4，lg a·lg b＝41，求lg(ab)·(logab＋logba)
的值．
[解]
lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋lg
b)llgg
ba＋llgg
a b
＝(lg
a＋lg
lg b2＋lg a2
b)·
lg alg b
＝(lg
a＋lg
lg b)·
20
利用对数的运算性质进行求值
对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．
复习课件
新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升课件苏教版必修第一册
2021/4/17
新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升课件苏教版必
1
修第一册
第4章指数与对数
章末综合提升
3
巩固层知识整合
4
5
提升层题型探究