电磁场理论课件 Chapter 1 矢量分析

由矢量不变特性，可得下列恒等式：
F 2 = Fx + Fy + Fz = Fr + Fα + Fz = Fr + Fθ + Fϕ
例 1.2.1 、例 1.2.1 见教材 P3~P4 § 1.3 矢量场的通量与散度 一、通量 矢量 E 沿有向曲面 S 的面积分 Φ = E idS
s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∫
空间一点 P ( x, y, z ) 能够用它在三轴线上的投影唯一的确定。
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位置矢量 (position vector 简称位矢) 位置矢量是一个从原点指向点 P 的矢量（如图示） ，能够用它的分量表示为：
r = ex X + eyY + ez Z
z
Z P(X,Y,Z) ez ex X x r ey
?F F(u) F(u+?u) P
dF ΔF F (u + Δu ) − F (u ) = lim = lim Δ u → 0 Δ u → 0 du Δu Δu
一般 （1）矢量的增量不一定与原矢量方向相同；
dF （2）对常量 =0 du
3）若 f 为标量函数， F 为矢量函数，则
d ( fF ) du
r = 常数 （球面） ， θ = 常数 （正圆锥面，即极角） ， ϕ = 常数 （半平面，即方位角）
体积元 面元
dτ = r 2sinθ drdθ dϕ dsr = er r 2sinθ dθ dϕ ， dsθ = eθ rsinθ drdϕ ， dsϕ = eϕ rdrdθ
其余见附录（教材 P242） §1.1 标量场和矢量场
三维场
dx dy dz = = Fx (r ) Fy (r ) Fz (r )
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§1.2 矢量与矢量场的不变特性 不变 ---------即与坐标系无关，而只与两矢量的数值及它们之间的夹角有关。 描绘物理状态空间分布的标量函数 Φ (r ) 和矢量函数 F (r ) ，在时间为一定值的情况下，它 们是唯一的，其大小或方向与所选择的坐标系无关。 即对于坐标系的变换， Φ (r ) 和 F (r ) 的大小与方向保持不变。 常用的正交坐标系有三种： 直角坐标系 ( x, y, z; ex , ey , ez ) 柱坐标系 ( r , α , z; er , eα , ez ) 球角坐标系 ( r , θ , ϕ ; er , eθ , eϕ ) 这三种坐标系的坐标及单位矢量之间的转换关系见附录 1 矢量函数在上述三种坐标系内应有的关系为：
y x
圆柱坐标的微分元： 线元 面元 体积元
dl = dR = er dr + eϕ rdϕ + ez dz
dSr = er rdϕ dz ， dSϕ = eϕ drdz ， dS z = ez rdrdϕ
dτ = rdrdϕ dz
圆柱坐标单位矢量之间的关系：
er × eϕ = ez ， eϕ × ez = er ， ez × er = eϕ
∫ ∫
2π 0
2π
0
er dϕ ≠ er ∫ dϕ = er 2π
0 2π
2π
而应将柱坐标的单位矢量变换成直角坐标的单位矢量后来求：
er dϕ = ∫
0
(e
x
cos ϕ + e y sin ϕ )dϕ = ex ∫ cos ϕ dϕ + e y ∫ sin ϕ dϕ = 0
2π 2π 0 0
这是因为单位矢量 er 是变矢，而 ex 和 e y 是常矢。 场线(图)--形象描绘场分布的工具 标量场--等值线(面)，其方程为：
矢量的叉积（矢积） 两个矢量的叉积定义为：
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C = A× B
矢量的叉积还是一个矢量， 叉积得到的新的矢量方向垂直于由叉积矢量构成的平面， 方向满足右 手螺旋法则，其模值为：
C = A B sin θ
在直角坐标系下，叉积可以表示为：
ex A × B = Ax Bx
ey Ay By
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场的概念 若某一个物理量在全部空间或一部分空间的每一点有确定的值,这样就确定了这个量的一个 场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理状态作为空间和时间的函数来描述。 标量场(scalar field)：按上述场的定义,若给定的量是数量,则这个场叫做标量场,又称为数量场。 温度场、密度场、电位场、高度场等是标量场。 矢量场(vector field)：若给定的量是矢量,则它确定的场叫做矢量场。流速场、涡流场、电场、磁 场等是矢量场。 静态场(static field)：如果场的变化与时间无关，这样的场我们就称为静态场，简称静场。 时变场(time-varying field)：场的物理状态随时间变化的场称为时变场。一个矢量场可以用它沿 坐标轴的三个分量来表示。例如在直角坐标系中有：
ez Az Bz
补充 ：坐标系及单位矢量 矢量的单位矢定义为：
eA =
A = A
A
2 Ax2 + Ay + Az2
1. 直角坐标 直角坐标系由三互相垂直的直线形成。 此三直线称 x 、 y 和 z 轴。三轴线的交点是原点。用单位矢量： ex ， e y ， ez 表征矢量分别沿 x 、
y 和 z 分量的方向。
Φ(r ) = Φ( x, y, z ) = const
图1 1 3 等值线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 矢量场 F ( r ) ——矢量线（或力线、流线）
F (r ) = ex Fx (r ) + e y Fy (r ) + ez Fz (r )
（以直角坐标表示）
图 矢量线
如图 1.1.4 所示。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即
图 0.3.1 矢量场的通量 若 S 为闭合曲面 Φ =
∫ E idS ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:
S
Φ = 0 (无源)
二、散度
Φ < 0 (有负源)
图0 矢量场的通量
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Φ > 0 (有正源)
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如果包围点 P 的闭合面 ΔS 所围区域 ΔV 以任意方式缩小为点 P 时, 通量与体积之比的极限存在， 即 divA = lim
O
Y
y
其中 X ，Y 和 Z 是 r 在 x 、 y 和 z 轴上的投影。如果 A x 、 A y 和 A z 是 A 的坐标投影，则 A 可 写成： A = ex Ax + e y Ay + ez Az 在直角坐标系中体微分元为：
dτ = dxdydz
在直角坐标系中线微分元为：
dl = ex dx + ey dy + ez dz
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第1章
矢量分析
——工欲善其事，必先利其器
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 标量场和矢量场 矢量与矢量场的不变特性 矢量的通量——散度 矢量的环量——旋度 标量场的梯度 亥姆霍兹定理
本章学习基本要求
理解标量场与矢量场的概念，并了解标量场的等值面和矢量的矢量线的概念； 深刻理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的重要概念，并掌握散度、旋度和梯度的计算公式 和方法； 熟练掌握和应用散度定理和斯托克斯定理； 理解亥姆霍兹定理的意义。 本章重点和难点 （1）矢量场散度和旋度描述了矢量场的不同性质，注意它们的区别。 （2）亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质。 （3）标量场的性质可由它的梯度来描述。 本章习题： P17~18： 1.1；1.9；1.12; 1.13; 1.15; 1.16; 1.23 补充： 矢量的表示及运算 矢量：既有大小，又有方向的量称为矢量。 选用适当的坐标系，一个矢量可以由它在各坐标轴上的投影来表示，如图所示：
1 AidS Δτ → 0 Δτ ∫S ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z
（1.3.6）
散度（divergence）计算公式 divA = ∇i A =
其中 ∇ ≡ ex
∂ ∂ ∂ + ey + ez 为哈密顿算符。 ∂x ∂y ∂z
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dr × F (r ) = 0 dl
其中：力线上的微分段弧长
dl = ex x + ey dy + ez dz
力线上切向上的一段微分矢量为 dr = ex dx + ey dy + ez dz 则可得
dr × F (r ) = 0
在直角坐标下力线方程为：二维场
dx dy = Fx (r ) Fy (r )
5 4π ⎡( x − l ) + ( y + 2 ) + z 2 ⎤ ⎣ ⎦
2 2
为标量场，
A( x, y, z ) = ex 2 xy 2 + e y x 2 z + ez xyz 为矢量场
矢量函数及微积分 常矢量----- 模和方向都保持不变的矢量； 变矢量------模和方向或其中之一会改变的矢量； 矢量函数-------由一个或几个（标量）变量的函数表示的矢量。例如 静电场的电场强度一般是空 间坐标（位置）的函数 E ( x, y, z ) 或 E ( r ) ， 其三个坐标分量一般也是 x ， y ， z （或 r ）的函 数，即
F ( x, y, z ) = ex Fx ( x, y, z ) + e y Fy ( x, y, z ) + ez Fz ( x, y, z )