2015届高考数学(文)一轮复习知能训练第8章第3讲《平面向量的应用举例》
4-3第三节 平面向量数量积与平面向量应用举例2015年高考总复习)
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第三节
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4．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a· b＝________.
3 解析 a· b＝2× 3× 2 ＝3.
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高考这样考 1.直接利用数量积进行平面向量的运算． 2.利用平面向量的数量积计算两个向量的夹角问题． 3.利用平面向量的数量积解决垂直问题.
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备考这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法． 2.理解数量积的运算性质． 3.利用数量积解决向量的几何问题.
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D 读教材· 抓基础
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【答案】
(1)－25
5 (2) 2
【规律方法】 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义； 利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度 创造性地解题，充分利用了已知条件．
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→ → 方法 2：由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投 影都是 CB＝1，
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路
第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例预习设计 基础备考知识梳理1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．3．平面向量数量积的重要性质=⋅=⋅e a a e )1((2)非零向量⇔⊥b a b a ,,(3)当a 与b 同向时，=⋅b a当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a=θcos )4(||)5(b a ⋅.|||b a4．平面向量数量积满足的运算律=⋅b a )1( （交换律）；=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；=+c b a ).)(3(5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a(2)设),,(),,(2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||(3)设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a典题热身1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )①若,0=⋅b a 则;b a ⊥②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③.)(222b a b a ⋅=⋅④4.A 2.B 0.c 3.D答案：C2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )23.-A 32.-B 32.c 23.D 答案：D3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )1.-A 1.B2.-c 2.D答案：A4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )13.A 513.B 565.c 65.D答案：C5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )6π⋅A 4π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：C课堂设计 方法备考题型一 平面向量的数量积运算和向量的模【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，题型二 利用向量的数量积求其夹角【例2】已知,21)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；(2)求||c b +的最大值；(3)若,16tan tan =βα求证：.//b a题型四 平面向量数量积的应用【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π⋅=C 求△ABC 的面积．技法巧点1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,||||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证,CD AB =可转化证明22CD =或.||||=(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60随堂反馈1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,43cos ,3==+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 23.-B 3.c 3.-D答案：B2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )7.A 6.B 5.C 4.D答案：A3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )4.π-A 6π⋅B 4π⋅c 43.πD 答案：C4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,21-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D答案：B5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：45 高效作业 技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )0.A 22.B 4.C 8.D答案：B3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D答案：C4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 222)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）21.A 21.-B 61.c 61.-D 答案：A6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )0.A 4.B 8.c 4.-D答案：B二、填空题7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为答案：58．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120则||a 的取值范围是答案：)332,0(9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为,21则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ三、解答题10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ(1)若a∥b，求θtan 的值；(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且).(n OA m -⊥(1)求向量;(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=-求).2cos(βα-。
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例
【解】 (1)证明：由|a－b|＝ 2得(a－b)2＝2， 即|a|2－2a· b＋|b|2＝2. 又∵|a|2＝|b|2＝1 ∴a· b＝ 0 因此，a⊥b. (2)由 a＋b＝c
cos α＋cos β＝0 得 sin α＋sin β＝1
，
由 cos α＝－cos β，0＜β＜α＜π 得 α＋β＝π. 又 sin α＋sin β＝1， 1 ∴sin α＝sin β＝2. 5π π ∴α＝ 6 ，β＝6.
第3课时
平面向量的数量积及应用举例
• • • • •
(一)考纲点击 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系．
• •
|x|2 1 当 x≠0 时， 2＝ ； y |b| y2 ＋ 3 ＋1 x x
y ∵x2＋ y 1 3x＋1≥ ， 4
|x|2 ∴|b|2≤4. |x| ∴|b|≤2. 答案：2
易错易混：向量综合运算的问题 → → 【典例】 (2014· 衡阳模拟)已知向量AB＝(2－k，－1)，AC＝(1， k)． (1)若△ABC 为直角三角形，求 k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求 k 值．
1．两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a， → OB＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向 ；如果 a 与 b 的夹角是 90° ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
b＝0 ； (2)a⊥b⇔ a· －|a||b| ， (3)当 a 与 b 同向时， a· b＝|a|· |b|； 当 a 与 b 反向时， a· b＝
2015高考数学一轮配套课件：3-8 应用举例
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
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第二十八页，编辑于星期五：十四点 三分。
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【解】 (1)依题意，在△ABD 中，∠DAB＝45°，由余弦定理得， DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB ＝(14 2)2＋162－2×14 2×16× 22＝200， 所以 DB＝10 2. 即此时该外国船只与 D 岛的距离为 10 2海里．
试题深度研析
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2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方 位角为α，(如图②)．
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试题深度研析
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3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)
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对点演练
如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设 α 为坡角，那么 cos α
等于
3
4
A.5
B.5
()
3
4
C.4
D.3
解析：因为 tan α＝34，所以 cos α＝45.
答案：B
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对点演练
一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°
距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，
则这只船的航行速度为
()
17 A. 2
6海里/小时
2015高考数学一轮复习课件：05-4平面向量应用举例
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3) 同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个 力f4，则f4＝( ) B．(1，－2) D．( 1 2 ,)
A．(－1，－2 ) C．(－1,2)
[答案] D
第五章
第四节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
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考向预测 1．以向量为载体考查平面几何、三角函数、解析几何等 问题是高考考查的热点与重点． 2．题目多以解答题形式出现，此时注意两个问题，一个 是数形结合思想、函数与方程思想的应用，另一个是实际问 题，要考虑实际的背景及其意义．
第五章
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于 是2 s n i x＋
≥2 s n i x
1
2 s n i x· ＝2 2， s n i x
1
2 当2 s n i x＝s 即s n i x＝ 2 时 取 等 号 ． n i x， 故 函 数 f(x)的 最 小 值 等 于 2 2.
1
→ → 由于AR∥AC， 所以设r＝n(a＋b)，n∈R. 1 → → → 又∵EB＝AB－AE＝a－ b， 2 1 → → → → ER∥EB，故设ER＝mEB＝m(a－2b)． → → ∵AR＝AE＋ER，
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1 1 ∵r＝ b＋m(a－ b)． 2 2 1 1 所以n(a＋b)＝2b＋m(a－2b)， m－1 即(n－m)a＋(n＋ )b＝0. 2 n－m＝0 由于a与b不平行，故必有 m－1 n＋ 2 ＝0
高考数学北师大理一轮复习 第章 平面向量 平面向量应用举例 文档
1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义cos θ＝a ·b |a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的射影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5，2)，C (－1，－4)，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵AB →＝(2，－2)，CB →＝(6,6)， ∴AB →·CB →＝12－12＝0，∴AB →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________． 答案 1∶2解析 设D 为AC 的中点， 如图所示，连接OD ， 则OA →＋OC →＝2OD →. 又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点， 从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．答案 －23解析 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向， 所以3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)， 得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.题型一 向量在平面几何中的应用例1 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究在本例中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC的内心．思维升华 解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形D ．菱形答案 (1)12(2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形． 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx＝±3.思维升华 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点， 则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23，sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.题型三 向量的综合应用 例3 (1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1B.13C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3解析 (1)因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图像可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18，故选D.(2)由图像可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3答案 D解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2， 知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →， ∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上，∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.三审图形抓特点典例 已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图像上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的射影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6审题路线图解析 由E 为该函数图像的一个对称中心，作点C 的对称点为M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的射影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像可以看作是由y ＝sin ωx 的图像向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A温馨提醒 对于在图形中给出解题信息的题目，要抓住图形的特点，通过图形的对称性、周期性以及图形中点的位置关系提炼条件，尽快建立图形和欲求结论间的联系．[方法与技巧]1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． [失误与防范]1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6.即点P 的轨迹是抛物线．3．(2015·宝鸡模拟)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( ) A.13B.12C.23D.34答案 A 解析 由题意可得PC →＝2AP →，所以P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )，易知S △P AB ＝13S △ABC ，即S △P AB ∶S △ABC ＝1∶3. 4．共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2答案 D解析 F 1＋F 2＝(1,2lg2)．∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π 答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (7π12，－A )， 又∵OM →·ON →＝π12×7π12－A 2＝0， ∴A ＝712π. 6．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1∶2解析 如图所示，取AC 中点D .∴OA →＋OC →＝2OD →.∴OD →＝BO →.∴O 为BD 中点，∴面积比为高之比． 7．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________．答案 120°解析 ∵A ，B ，C 为单位圆上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，又∵OA →＋OB →＋OC →＝0.∴－OC →＝OB →＋OA →.∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →，可得cos 〈OA →，OB →〉＝－12. ∴向量OA →，OB →的夹角为120°.8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________.答案 －252解析 设{AB →，AC →}为平面内一组基底．如图所示，O 为△ABC 的外心，设M 为BC 中点，连接OM 、AM 、OA ，则易知OM ⊥BC .又AO →＝AM →＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →)＝BC →·AM →＋BC →·MO →＝BC →·AM →(其中BC →·MO →＝0)＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →) ＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252. 9．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得 (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)． 所以动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)． 10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围． 解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0， 所以tan x ＝－34. cos 2x －sin2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4. 因为b ＞a ，所以A ＝π4. f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， 32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12. ∴所求范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝1，c ·b ＝1，|c |＝2，对任意的正实数t ，则⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 B解析 ∵⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t a ·c ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t≥2＋2t 2·1t 2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t，即t ＝1时等号成立，所以⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值为2 2.12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π6 B.⎝⎛⎦⎤π6，π C.⎝⎛⎦⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎫π3，23π答案 C解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x . ∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b .∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24， 又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，故选C.13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．答案 (－34，12)∪(12，＋∞) 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3,1)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m,1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )．∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34. 由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是(－34，12)∪(12，＋∞)． 14．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12， 故以向量α，β为两边的三角形的面积为14， 故β的终点在如图所示的线段AB 上⎝⎛⎭⎫α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12，因此夹角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.15．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0， 得|PC →|2－14|PQ →|2＝0， 即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0， 化简得x 216＋y 212＝1. ∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1. (2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16 ＝－13(y ＋3)2＋19. ∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上：PE →·PF →的最大值为19；PE →·PF →的最小值为12－4 3.。
高考数学总复习 第八章 第3讲 平面向量的应用举例配套课件 文
即 k2＝4，解得，k＝2 或 k＝－2.
∴直线(zhíxiàn) l 的方程是 y＝2x－2 或 y＝－2x－2.
【方法与技巧】设直线 l 的方程为 y＝kx－2 与椭圆方程联 立，设 Cx1，y1，Dx2，y2，OC ·OD＝0⇔x1x2＋y1y2＝0⇔x1x2 ＋kx1－2kx2－2＝0，利用根与系数的关系即可求解.
函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中
含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于(guānyú)该
未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、
三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代
数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂
直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
识为载体，考查数量积的相关概念和基本运 算．预计 2015 年高考对本节内容的考查会 加大对以下两方面内容的考查力度：
1．会用向量方法解决某些简单的平面
几何问题．
2．会用向量方法解决简单的力学问题
与其他一些实际问题.
第二页，共28页。
1．向量在平面几何(píngmiànjǐhé)中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及
C．向东南走 3 3 km
D．向东北走 3 3 km
2015届高考数学一轮复习 平面向量的数量积与应用举例达标练习 新人教A版必修4
必修Ⅳ达标练习（8）
平面向量的数量积与应用举例
1．若20,AB BC AB ABC ⋅+=∆则为 （ ）
A 钝角三角形
B 锐角三角形
C 直角三角形
D 等腰直角三角形
2．已知2,1,a b ==a b 与的夹角为0120，则a b ⋅= .
3．已知(1,2),(3,1)a b ==-，则a b ⋅= .
4．已知(2,3),(,2)a b x x =-=，且43a b ⋅=，则x = .
5．某船以5千米/小时的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流发现方向成030角，则水流速度为 千米/小时.
6．作用与同一点的两个力12,F F ，其大小都是6，夹角为060，则12F F += .
7．已知12,5,a b ⋅==且b 则向量a 在向量b 方向上的投影为 .
8．已知(2,2),(5,1),(1,4),cos A B C BAC -∠=则 .
9．已知(1,3),(1,1),a m b m =+-=-且()()a b a b +⊥-，则m 的值为 .
10．（2007，上海）若向量,a b 满足2,1,()1,a b a a b ==⋅+=则向量a b 与的夹角的大小
为 .
11．已知12121232,4,(1,0),(0,1)a e e b e e e e =-=+==其中，向量a b 与的夹角为θ，求： （1） a b ⋅ （2）a b + （3）cos θ。
2015高考数学(理)一轮题组训练：5-4平面向量应用举例
第4讲平面向量应用举例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·邵阳模拟)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于________．解析由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.所以sin 2x＝2sin2x，即2sin x cos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即x＝π4，故tan x＝1.答案 12．(2014·南昌模拟)若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b 的值是________．解析a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×32＝4×sin 30°×32＝ 3.答案 33.(2013·扬州模拟)函数y＝tan π4x－π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB→)·AB→＝________.解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 64．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0， ∴cos θ＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 答案 2π35．(2014·安庆二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，则cos B ＝________. 解析 由4aBC →＋2bCA →＋3cAB →＝0，得4aBC →＋3cAB →＝－2bCA →＝－2b (BA →－BC →)＝2bAB →＋ 2bBC →，所以4a ＝3c ＝2b .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 24＋49b 2－b 22·b 2·23b ＝－1124.答案 －11246．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析 由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2.答案 27．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识知，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3. 答案 38．(2013·东北三校一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC →＝________. 解析 依题意得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0， 于是有cos A ＝13，sin A ＝1－cos 2A ＝223， 又S △ABC ＝12·bc sin A ＝12bc ×223＝2，所以bc ＝3，BA →·AC →＝bc cos(π－A )＝－bc cos A ＝－3×13＝－1. 答案 －1 二、解答题9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )．由MA →＝2AN →，得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎨⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.10．(2014·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是________．解析 由题意，得OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使直线OA 与圆相切时，向量OA→与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π2．(2013·北京东城区期末)已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________．解析 如图所示，CD →＝AD →－AC →＝12AD →－AB →，∴CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →－AB →2，即3＝14AD →2＋AB →2－AD →·AB →， ∵|AD →|＝|AB →|，∴54|AD →|2－|AD →||AB →|cos 60°＝3，∴|AD →|＝2. 又BC →＝AC →－AB →＝12AD →，∴|BC →|＝12|AD →|＝1， ∴|BC →|2＋|CD →|2＝|BD →|2，∴BC ⊥CD .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×22×sin 60°＋12×1×3＝32 3. 答案 32 33.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于________．解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →， 因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|. 所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2， 同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92， 故AO →·BC →＝92－2＝52. 答案52二、解答题4．(2014·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1， n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
【高考风向标】高考数学一轮课时知能训练 第8章 第3讲 平面向量的应用举例 文
第3讲 平面向量的应用举例1．若O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心2．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a·b )2＝|a|2|b|23．将函数y ＝3x －1的图象按向量a 平移得到函数y ＝3x －1的图象，则( )A ．a ＝(－1，－1)B ．a ＝(1，－1)C ．a ＝(1,1)D ．a ＝(－1,1)4．已知|a|＝|b|＝2，a 在b 上的投影为－1，则向量a 与向量b 的夹角为( )A ．150° B．120° C．60° D．30°5．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a|2|b|2－a·b 2 B.|a|2|b|2＋a·b 2 C.12|a|2|b|2－a·b 2 D.12|a|2|b|2＋a·b 2 6．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹方程是____________．7．若正方形ABCD 的边长为1，点P 在对角线线段AC 上运动，求AB →·(PB →＋PD →)的取值范围．8．已知向量a 和b 的夹角为θ，定义a ×b 为向量a 和b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，如果u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－3)，求|u ×(u ＋v )|的值．9．如图K8－3－1，三定点A (2,1)，B (0，－1)，C (－2,1)；三动点D ，E ，M 满足AD →＝tAB →，BE →＝tBC →，DM →＝tDE →，t ∈[0,1]．(1)求动直线DE 斜率的变化范围；(2)求动点M 的轨迹方程．图K8－3－110．(2010年安徽)设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝2 7，求b ，c (其中b <c )．11．已知直线l 过点A (0,2)且斜率为k ，直线l 与⊙C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)求证：AM →·AN →为定值；(3)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝3，求k 的值．第3讲 平面向量的应用举例1．D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.y 2＝x ＋6图D537．解：如图D53建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．设点P 的坐标为(x ，x )，则0≤x ≤1.由已知得PB →＋PD →＝(1－2x,1－2x )，AB →＝(1,0)，AB →·(PB →＋PD →)＝1－2x .∵0≤x ≤1，∴－1≤1－2x ≤1.∴AB →·(PB →＋PD →)的取值范围是[－1,1]．8．解：∵u －v ＝(1，－3)，u ＝(2,0)，∴v ＝(1，3)，u ＋v ＝(3，3)．∴cos θ＝62×2 3＝32.∴sin θ＝12. ∴|u ×(u ＋v )|＝|u |·|u ＋v |·sin θ＝2×2 3×12＝2 3. 9．解：(1)设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )，M (x ，y )．由AD →＝tAB →，BE →＝tBC →，知(x D －2，y D －1)＝t (－2，－2)． ∴⎩⎨⎧ x D ＝－2t ＋2，y D ＝－2t ＋1，同理⎩⎨⎧ x E ＝－2t ，y E ＝2t －1.∴k DE ＝y E －y D x E －x D ＝2t －1－－2t ＋－2t －－2t ＋＝1－2t . ∵t ∈[0,1]，∴k DE ∈[－1,1]．(2)∵DM →＝tDE →，∴(x ＋2t －2，y ＋2t －1)＝t (－2t ＋2t －2，2t －1＋2t －1)＝t (－2,4t －2)＝(－2t,4t 2－2t )．∴⎩⎨⎧ x ＝－2t ，y ＝－2t 2，∴y ＝x 24.即x 2＝4y . ∵t ∈[0,1]，x ＝2(1－2t )∈[－2,2]．即所求轨迹方程为x 2＝4y ，x ∈[－2,2]．10．解：(1)∵sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＋sin 2B ＝34cos 2B ＋34sin 2B ＝34， ∴sin A ＝±32.又A 是锐角，∴sin A ＝32.∴A ＝π3. (2)由AB →·AC →＝12可得bc cos A ＝12，由(1)知A ＝π3，∴bc ＝24.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将a ＝2 7代入得28＝b 2＋c 2－bc ，由方程组⎩⎨⎧ bc ＝24，28＝b 2＋c 2－bc ，解得c ＝6，b ＝4.11．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.直线l 与⊙C 相交与两点，圆心到直线的距离d 小于圆的半径．即d ＝|2k ＋2|k 2＋1<1，解得－4－73<k <－4＋73. (2)设AT 为圆的切线，T 为切点．利用切割线定理可得：|AM →|·|AN →|＝|AT →|2＝|AC |2－1＝22＋22－1＝7.根据向量的运算：AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|·cos0°＝7为定值．(3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋2代入⊙C 的方程(x －2)2＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1－k )x ＋7＝0. ①则由①得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4－4k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝2k －4k 1＋k 2＋11＝3⇒k ＝－1(经检验符合题意)．。
第__3__讲___平面向量的数量积及平面向量应用举例
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 ．能运用数量积表示两个向量的夹角， 量的垂直关系． 量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． ．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． ．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
迁移发散 2．在直角△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，求k的值． ．在直角△ 的值． 中 已知＝ ， ， ， 的值
考向三 平面向量的夹角与模的问题
1 1 【例 3】 已知 ＝ 1，a·b＝ ， (a－ b)·(a＋b)＝ . 】 已知|a|＝ ， ＝ － ＋ ＝ 2 2 的夹角； 求： (1)a 与 b 的夹角； (2)a－b 与 a＋b 的夹角的余弦值． － ＋ 的夹角的余弦值． 1 1 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ，∴|a|2－|b|2＝ ， 2 2 1 2 又∵|a|＝1，∴|b|＝ |a|2－ ＝ . 2 2 设 a 与 b 的夹角为 θ， 1 a·b 2 2 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， |a||b| 2 2 1· 2 ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.
解析： ＝ ， ，则有2a＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 解析：设b＝(x，y)，则有 ＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)， ， 解得b＝ － 解得 ＝(－5,12)，故cos〈a，b〉＝ ， 〈 ， 〉 答案： 答案：C
【全版】数学(文)高考一轮复习课件第八章平面向量的应用举例推荐PPT
式是( B )
A．y＝x＋1 1＋2
B．y＝x－1 1＋2
C．y＝x－1 1－2
D．y＝x＋1 1－2
解析：将函数 y＝1x的图象按向量 a＝(1,2)平移，即先向右平
移 1 个单位，再向上平移 2 个单位．选 B.
4
2．( 年广东揭阳水平测试)若 a＝(x,3)，b＝(x，－2)，则 “x＝ 6”是“a⊥b”的( A )
第3讲 平面向量的应用举例
考纲要求
考纲研读
1.会用向量方法解决某些简单的 平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题.
用向量方法解决几何或物理问 题的关键，是将有关量表示成向 量的形式.
1
向量作为一种既有大小又有方向的量，既具有形的特点，又 具有数的特性，因而成为联系数和形的有力纽带．由于向量具有 数的特性，因而向量容易成为初等数学中的函数、三角、数列、 不等式等许多重要内容的交汇点，而且也可通过构造向量来处理 许多代数问题．
解析：画图知，点 P 到棱 AB 的距离为 232＋122＝56.选 A.
6
5．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡 船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为北__偏__西__3_0_°_.
图D14 解析：如图 D14，渡船速度OB，水流速度OA，船实际垂直过 江的速度OD ，依题意，|OA|＝12.5，|OB|＝25，由于四边形 OADB 为平行四边形，则|BD |＝|OA|，又 OD⊥BD，∴在直角三角形 OBD 中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西 30°.
(2)证明不等式时，还常用余弦函数的有界性，即|cosθ|≤1. A．充分而不必要条件 具有数的特性，因而成为联系数和形的有力纽带．由于向量具有
【状元360】高考数学一轮复习 4.4 平面向量的应用举例课件 理
→ ＝－2EF →. 而AD
1 2 → → → → →， 2 → → → → － a ＝a2· ∴(AD· AF)· EF＝a · EF， AD· (AF· EF)＝－2EF· EF 2
∴D 正确．∴答案为 A，B，D.
答案 ABD
【点评】平面图形中的向量问题应注意“相等向量”的理 解，用有向线段表示的平面向量只要长度相等，方向相同即是 相等向量，要熟练运用向量加、减法的几何意义，将待求向量 往已知向量方向转化.
2→ 1→ 2 1 3AB＋3AC＝3c＋3b. 法二 以 B 为原点，建立如下图直角坐标系，设 A(m，n)， C(3k,0)，则 D(k,0)．
→ ＝(k－m，－n)，AB → ＝(－m，－n)，AC → ＝(3k－m，－ ∴AD n)， → ＝λAB → ＋μAC → ，则有 设AD
k－m＝－λm＋μ3k－m意其蕴含的几何关系．
→ ＋AF → ＝AD → ＝2BC →， 解析 由正六边形的性质知AC ∴A 正确． 1→ → → → → →， 2AB＋2AF＝2AB＋2(2AD－AB)＝AD ∴B 正确． → → → → → → → → → ∵AC· AD－AD· AB＝AD· (AC－AB)＝AD· BC≠0， →· → ≠AD →· →， ∴AC AD AB ∴C 错误．
方法点拨：物理中的“速度”“力”都是向量，解答此类 问题时应注意大小和方向，运用向量的合成和分解，转化为代 数运算.
考点二 平面图形中的向量问题 示范2 (2008 江西文)如下图所示， 已知在正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： → ＋AF → ＝2BC → A.AC → ＝2AB → ＋2AF → B.AD →· → ＝AD →· → C.AC AD AB →· → )· → ＝AD →· →· →) D．(AD AF EF (AF EF 其中真命题的代号是__________． (写出所有真命题的代号)
2015届高三数学一轮复习双向基础巩固课件：第27讲 平面向量的应用举例
考 向
当2x－π6＝－6π，即x＝0时，f(0)＝－12，
当2x－π6＝56π，即x＝π2时，f（π2）＝12，
∴f(x)的最小值为－12.
因此，f(x)在0，π2上的最大值是1，最小值是－12.
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第27讲 平面向量的应用举例 Nhomakorabea► 探究点三 平面向量与解析几何的综合
点 问题．
面
(2)通常利用向量的数量积、平行、垂直等求角、三
讲 考
角函数值或证明三角函数的相关问题．
向
返回目录
第二十二页，编辑于星期五：八点 二十九分。
第27讲 平面向量的应用举例
变式题
[2013·陕西卷] 已知向量a＝（cosx，－
点
12），b＝( 3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
考 向
同理，B→D·A→C＝y|A→C|2，故可得 y＝ 23.
返回目录 第十七页，编辑于星期五：八点 二十九分。
第27讲 平面向量的应用举例
方法二：以 A 为坐标原点，AB，AC 分别为 x 轴和 y 轴
点
建立平面直角坐标系．设|A→B|＝1，则
面
讲 考
BC＝ 2，BD＝DE·sin60°＝BC·sin60°＝ 26.
向
又 BD 的倾斜角是 45°，所以 D 点的横坐标是 x＝1
＋BD·cos45°＝1＋ 23，D 点的纵坐标是 y＝BD·sin45°＝
23.
返回目录 第十八页，编辑于星期五：八点 二十九分。
第27讲 平面向量的应用举例
► 探究点二 平面向量与三角函数的综合
点
面
例2 [2014·江西南昌三中月考] 已知a＝(cosα，
2015高考数学一轮精品课件：5.4 平面向量应用举例
与该直线垂直,向量 a=(-B,A)与该直线平行.
第四页，编辑于星期五：十三点 五分。
第五章
5.4
平面向量应用举例
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
巩固提升
2.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成和向
量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,是力 F 与位移 s 的数量积,即
所以 F,f 所做的功分别为 500 3 J,-22 J.
答案
答案
考点一
考点二
考点三
第十五页，编辑于星期五：十三点 五分。
第五章
5.4
平面向量应用举例
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
考点三 平面向量与解析几何的综合问题
【例 3】 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作
的难点是向量条件的转化与应用,破解此问题应从向量的坐标运算入手,这
也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法.在解题过程中应该注意结
合向量的有关运算技巧,先化简后运算.
考点一
考点二
考点三
第十九页，编辑于星期五：十三点 五分。
第五章
5.4
平面向量应用举例
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
举一反三 3 已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意
2
2
2
12
+
|F 1 F 2 |
2
2
=2 7.
2015高考数学一轮课件：5-4平面向量应用举例
诊突培断破养基高解础频题
第十九页，编辑于星期五：十三点 二十分。
规律方法 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式， 运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式， 然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者 其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三 角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
【训练 1】 (1)(2014·杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中， ∠BAD＝60°，E 是 BC 的中点，则A→C·A→E＝________. (2)在△ABC 所在平面上有一点 P，满足P→A＋P→B＋P→C＝A→B，则 △PAB 与△ABC 的面积之比值是________．
诊突培断破养基高解础频题
诊突培断破养基高解础频题
第二十四页，编辑于星期五：十三点 二十分。
解 (1)设 P(x，y)，则 Q(8，y)． 由(P→C＋12P→Q)·(P→C－12P→Q)＝0， 得|P→C|2－14|P→Q|2＝0， 即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0， 化简得1x62 ＋1y22 ＝1. 所以点 P 在椭圆上，其方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
诊突培断破养基高解础频题
第五页，编辑于星期五：十三点 二十分。
辨析感悟
1．向量与其他数学知识的交汇
(1)已知△ABC 中，BC 边最长，A→B＝a，A→C＝b，且 a·b＞0，
则△ABC 的形状为钝角三角形．
(×)
(2)在四边形 ABCD 中，A→B＝D→C，且A→C·B→D＝0，则四边形 ABCD
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转 化的主要手段是向量的坐标运算． 2．两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向 量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时， 要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻 辑思维的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于 应用向量的有关性质解题．
2012高三数学理《高考风向标》一轮复习课件第八章第3讲平面向量的应用举例
向量作为一种既有大小又有方向的量，可通过构造向量来 处理许多代数问题.
1．向量与三角函数的综合问题常结合向量的_平__行__与垂直、 长度与_夹__角__、三角函数的图像与性质、三角函数图像的平移等 基本问题来考查．
2．向量在物理学中的应用一般只要求了解与力与力矩、速 度与位移等物理矢量有关的简单问题.
B.19
C.16
D.14
3．设 a、b 是非零向量，若函数 f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)是偶 函数，则必有( C )
A．a⊥b B．a∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
4．要将函数 y＝1x的图像沿向量 a 平移后得到函数 y＝2x－－1x的图 像，则向量 a＝____(_1_,－__1_)__.
关键将两个力的起点放在同一点上考虑，转化为 平行四边形边长问题．
【互动探究】
2．三个力 F1、F2、F3 的大小相等，且它们的合力为 0，则 力 F2 与 F3 的夹角为__1_2_0_°_.
解析：如图 8－3－4 过点 O 作向量O→A、
O→B、O→C，使之分别与力 F1、F2、F3 相等，
由于 F1、F2、F3 的合力为0，则以OC、OB
解析：圆心 O 到直线的距离为 a2|c＋| b2＝1， ∴∠AOB＝120°，O→A·O→B＝2·2cos120°＝－2.
考点 2 向量在物理中的应用
例2：如图 8－3－3，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在 水平杆子 AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求 A 和 B 处 所受力的大小(忽略绳子重量)．
的关系满足|ka＋b|＝ 3|a－kb|，其中 k>0. (1)用 k 表示 a·b； (2)求 a·b 的最小值，并求此时 a 与 b 夹角θ的大小． 误解分析：不会处理向量的模的问题． 正解：(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1， ∵|ka＋b|＝ 3|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
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第3讲 平面向量的应用举例
1．(2012年福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )
A ．x ＝－1
2
B ．x ＝－1
C ．x ＝5
D ．x ＝0
2．(2012年重庆)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10
3．将函数y ＝3x －1的图象按向量a 平移得到函数y ＝3x －
1的图象，则( ) A ．a ＝(－1，－1) B ．a ＝(1，－1) C ．a ＝(1,1) D ．a ＝(－1,1)
4．(2012年辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )
A ．－1
B ．－12 C.1
2
D ．1
5．(2012年广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·β
β·β
，若两个非零的平面
向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )
A.12 B ．1 C.32 D.52
6．(2012年江西)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________.
7．(2012年湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →
＝1，则BC ＝( ) A.3 B.7 C ．2 2 D.23
8．(2012年湖北)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则
(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为__________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为__________．
9．(2012年广东惠州一模)设向量m (cos x ，sin x )，x ∈(0，π)，n ＝(1，3)． (1)若|m －n |＝5，求x 的值； (2)设f (x )＝(m ＋n )·n ，求函数f (x )的值域．
10．如图K8-3-1，已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2
＋y 2
＝5(m <3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
有一个公共点A (3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．
(1)求m 的值与椭圆E 的方程；
(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →
的取值范围．
图K8-3-1
第3讲 平面向量的应用举例
1．D 解析：由题意，得2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0. 2．B 解析：a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒x －2＝0⇒x ＝2，|a ＋b |＝|(2,1)＋(1，－2)|＝32＋(－1)2＝10. 3．C 解析：将函数y ＝3x －1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可．故a ＝(1,1)．
4．D 解析：∵a ·b ＝2－x ＝1，∴x ＝1.
5．C 解析：因为b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ≤cos θ<1，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
n 2|n ∈Z 中，所以
b ∘a ＝12，|b ||a |＝12cos θ，所以a ∘b ＝|a ||b |cos θ＝2cos 2θ<2，且a ∘b ＝2cos 2θ>1，所以1<a ∘b <2，故有a
∘b ＝32
.
6.5 解析：由已知可得2x －y ＝0，又因为m 为单位向量，所以x 2＋y 2＝1，联立解得
⎩⎨⎧
x ＝55，y ＝2 55
或⎩⎨
⎧
x ＝－55，y ＝－2 55
代入|x ＋2y |＝ 5.
7．A 解析：AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝2×|BC →
|×(－cos B )＝1.∴cos B ＝1－2BC
.又由余弦
定理，知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 2
2AB ·BC
，解得BC ＝ 3.
8．(1)⎝⎛⎭⎫
3 1010
，1010 (2)－2 55 9．解：(1)∵m －n ＝(cos x －1，sin x －3)，由|m －n |＝5， 得cos 2x －2cos x ＋1＋sin 2x －2 3sin x ＋3＝5.
整理，得cos x ＝－3sin x ，显然cos x ≠0，∴tan x ＝－3
3
.
∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π
6
.
(2)∵m ＋n ＝(cos x ＋1，sin x ＋3)，
∴f (x )＝(m ＋n )·n ＝(cos x ＋1，sin x ＋3)(1，3)＝cos x ＋1＋3sin x ＋3＝2⎝⎛⎭
⎫32sin x ＋1
2cos x ＋4＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6＋4. ∵0<x <π，∴π6<x ＋π6<7π
6.
∴－1
2
<sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1⇒－1<2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤2. ∴3<2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6＋4≤6，即函数f (x )的值域为(3,6]． 10．解：(1)点A 代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5. ∵m ＜3，∴m ＝1.圆C ：(x －1)2＋y 2＝5. 设直线PF 1的斜率为k ，
则PF 1：y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0. ∵直线PF 1与圆C 相切， ∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1
＝ 5.解得k ＝112，或k ＝12.
当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去；当k ＝1
2
时，直线PF 1
与x 轴的交点横坐标为－4.
∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝5 2＋2＝6 2，a ＝3 2，a 2＝18，b 2
＝2.
∴椭圆E 的方程为x 218＋y 2
2
＝1.
(2)AP →＝(1,3)，设Q (x ，y )，AQ →
＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵x 218＋y 2
2
＝1，即x 2＋(3y )2＝18， 而x 2＋(3y )2≥2|x |·|3y |，∴－18≤6xy ≤18.
则(x ＋3y )2＝x 2
＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]，即x ＋3y 的取值范围是[－6,6]． ∴AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]．。