数学分析 5

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数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

.k
hd
π π
4
(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
案网
至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。从而，f ( x) 在 [a, b] 上严格单调增加。构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后答
案网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积

《数学分析》(华师大二版)课本上的习题5

P.94 习题1．已知直线运动方程为2510t t s +=。

分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从4=t 至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及4=t 时的瞬时速度。

解平均速度t t tt t t t t t t t s t t s v ∆++=∆--∆++∆+=∆-∆+=51010510)(5)(10)()(22 当1=∆t 时，55154101051010=⨯+⨯+=∆++=t t v当1.0=∆t 时，5.501.054101051010=⨯+⨯+=∆++=t t v 当01.0=∆t 时，05.5001.054101051010=⨯+⨯+=∆++=t t v 瞬时速度50)541010(lim )4()4(lim00=∆+⨯+=∆-∆+=→∆→∆t ts t s v t t2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

解设旋转体时刻t 转过的角度为)(t θ，若极限00)()(limt t t t t t --→θθ存在，则定义该极限值为旋转体在时刻0t 的角速度。

3．设0)(0=x f ，4)(0='x f ，试求极限xx x f x ∆∆+→∆)(lim00解 4)()()(lim )(lim000000='=∆-∆+=∆∆+→∆→∆x f xx f x x f x x x f x x 4．设⎩⎨⎧<+≥=33)(2x b ax x x x f ，试确定a ，b 的值，使f 在3=x 可导。

解要使f 在3=x 可导，f 在3=x 必连续，于是必左连续。

9)3(3)(lim )(lim 33==+=+=--→→f b a b ax x f x x ，从而a b 39-=。

f 在3=x 的右导数633lim 3)3()(lim )3(2233=--=--='++→→+x x x f x f f x x 。

左导数为a x a ax x b ax x f x f f x x x =---+=--+=--='---→→→-3939lim 33lim 3)3()(lim )3(3233只要6=a ，则f 在3=x 的左导数与右导数相等，从而可导。

数学分析 3,4,5章答案华东师范大学

9．（1）证明：若存在，则。
（2）若存在，试问是否成立？
解：（1）证明因为存在，设，则任给，存在，使得当时，有。此时取，则当时，，从而有，故有。
（2）若若存在，并不一定成立。
例如
这里存在，但不存在，但是则。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限的归结原则，并应用它证明不存在。
所以。
2．利用迫敛性求极限：
（1）；（2）。
解：（1）因为趋于负无穷，所以当时，
，而，由迫敛性定理得。
（2）因为趋于正无穷，所以当时，。而，。由迫敛性定理得。
3．设，，证明：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：（1）因为，则对任给的，存在，当时，。，则对任给的，存在，当时，。对已给定的，取，当时，与同时成立。当时，
，对，存在，使得当时，有，于是取，则当，即在内有。
8．求下列极限（其中皆为正整数）：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）。
解：（1）。
（2）。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于，
。
（5）由于，当时，或。对于两种形式，均有，由迫敛性定理得。
解归结原则：设函数为定义在上的函数，则存在的充要条件是：对任何含于且趋于正无穷的数列，极限都存在且相等。
证明由于在上有定义，设，则显然有且，
但，有归结原则知不存在。
2．设为定义在上的增（减）函数。证明：存在的充要条件是在上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。

数学分析第五讲上下极限定义与基本性质与应用

1 N yn A x k A n k 1 两边取上极限, 则有
能否用数列极限保序性？
1 N lim sup yn A lim( xk A ) . n n n k 1
由任意性: limsup yn A 0.
n
因此 lim inf yn A limsup yn A 0
n n
所以 lim yn A.
n
数列上下极限的定义与基本性质
例3 证明:
xn 0, lim xn A 0, 证明:lim n x1 x2
n n
xn A.
因为 lim xn A, 所以
n
0, N N * , n N : A xn A
n
8n +3
8n
8n
sinΒιβλιοθήκη 8n+3 4
1 2 = 1 8n 2
8n
lim x8n e
n n
lim x8n 1
n
2 e 2 2 2
lim x8n 2 e 1
lim x8n 3 e
总习题课

2 2
lim x8n 4 e , lim x8n 5 e
n n
2 , 2
lim x8n 6 e 1, lim x8n 7 e
2 n n 2 2 lim sup xn e 1,lim inf xn e n n 2
斯笃茨定理的应用
例3 1p 2 p 求极限 lim p n n
p p 1 2 n
np
n , p N *. p1
解:原式 lim

数学分析第五版上册华师大

数学分析第五版上册华师大1. 引言数学分析是理工科学生必修的一门数学课程，它主要讲述了数列与函数的极限、连续性、导数和积分等概念及其性质。

数学分析第五版上册是华师大出版社出版的一本教材，本文将对该教材的内容进行简要介绍。

2. 数学分析第五版上册的组织结构数学分析第五版上册按照章节的顺序给出了数学分析的基本概念和定理。

总共包括以下章节：•第一章：实数与实数集•第二章：数列的极限•第三章：数列的上极限和下极限•第四章：函数的极限与连续性•第五章：函数的导数•第六章：函数的微分学应用•第七章：复数•第八章：实函数的积分•第九章：多重积分•第十章：曲线积分与曲面积分每个章节中都包含了大量的例题和习题，帮助学生理解和应用所学知识。

3. 数学分析第五版上册的特点数学分析第五版上册的特点如下：3.1 知识结构清晰教材将数学分析的各个主题按照逻辑顺序进行组织，每个概念都有明确的定义和性质。

这有助于学生理解和掌握知识的整体结构，并能够更好地进行知识的迁移和应用。

3.2 注意实际应用教材中的习题和例题注重实际应用，通过解决实际问题来帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相联系。

这样的设计有助于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

3.3 突出基本概念和定理教材中重点强调了数学分析的基本概念和定理。

这些基本概念和定理是学习数学分析的基础，对于后续的学习有着重要的影响。

通过深入理解和掌握这些基本概念和定理，学生可以更好地应用数学分析解决实际问题。

4. 学习数学分析第五版上册的建议学习数学分析第五版上册时，建议学生采用以下方法：4.1 预习教材在课前预习教材，了解本章节的主要内容和重点。

可以先浏览一遍教材，并留意教材中的例题和定理。

4.2 勤做习题习题是检验和巩固所学知识的重要途径。

建议学生在学完每个章节后，多做一些习题，并及时与答案进行对照，找出自己的不足和问题。

4.3 多与他人讨论可以与同学或老师进行讨论，相互交流和学习。

数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。

那么由罗尔定理可知存在使得但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。

数学分析定积分课件5

所以可积函数不一定有原函数。
f
(
x)
x
2
sin
1 x2
,
0,
x 0且x [1,1] x0
f
( x)
2x sin
1 x2
2 x
cos
1 x2
,
x 0且x [1,1]
上午9时15分13秒
0,
x0
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f ( x)在[1，1]无界，从而不可积，但f ( x)在[1，1]的原函数是f ( x), 即说明有原函数的函数不一定可积。
但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a,b]可积。
上午9时15分13秒
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8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。
尼氏体 Nissl body
H-E染
镀银染
色
色上一页下一页主页返回退出
不同形态
小块状的尼氏体
细颗粒样的尼氏体
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突触粗面内质网
核蛋白体脂褐素微管
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尼氏体(Nissl body)：又称为嗜染质（chromophil substance), 是分布于胞质或树突内的小块状或颗粒状的嗜碱性物质。电镜下，尼氏体为发达的粗面内质网和游离核蛋白体，是蛋白质合成的场所。
上午9时15分13秒
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6、可积条件
必要条件若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。

数学分析考研复习讲义5实数的完备性

二
实数基本定理
1 基本定理
定理 1（Dedekind 确界定理）任何非空数集 E ，若它有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界．定理 2（单调有界定理）单调有界数列必收敛．当 m, n > N 定理 3 （Cauchy 收敛准则）数列 {x n } 收敛的充要条件是：∀ε > 0 ，∃N > 0 ，时，有 x m − x n < ε ．定理 4（Bolzano-Weierstrass 致密性定理）有界数列必有收敛子列．定理 5（Weierstrass 聚点定理）有界无穷点集至少有一个聚点．定理 6（Cantor 区间套定理）任何闭区间套必有唯一的公共点．定理 7（Heine-Borel 有限覆盖定理）闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖．说明：定理 1~6 属于同一类型，它们都指出：在一定条件下，便有某一种 “点” 的存在．这种点分别是：确界（点）、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点．定理 7 属于另一类型，它是前六个定理的逆否形式，不论用前 6 个定理来分别证明定理 7，还是用定理 7 分别证明前 6 个定理，都可用反证法来证明，而前 6 个定理都可以直接推出．
有且仅有一个成立；（2）传递性：若 x < y ， y < z ，则 x < z ；（3）与“+”相容性：若 x < y ，则 ∀z ∈ R ，有 x + z < y + z ；（4）与“· ”相容性：若 x < y ， z > 0 ，则 x ⋅ z < y ⋅ z ．公理 3（阿基米德（Archimedes）公理） ∀x > 0 ， y > 0 ， ∃n ∈ N ，使得 nx ≥ y ．公理 4（完备性公理）有上界非空数集必有上确界．由此可定义：定义 3 实数空间是这样的集合 R ，在其上定义了“+” 、 “· ”运算，以及序关系“<” ，满足上述四组公理， R 中的元素称为实数．

《数学分析》第五章一元函数积分学

“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无理数（据实数的稠密性），当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分：设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分：设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ

数学分析第五版答案

数学分析第五版答案1. 引言《数学分析第五版答案》是对《数学分析第五版》中习题的解答，旨在帮助读者更好地理解和掌握数学分析的基本概念和方法。

该答案将涵盖教材中的各章节，逐题进行解析和讨论，以帮助读者提高数学分析的学习效果。

2. 第一章现代数学基础初探2.1 习题12.1.1 习题1.1•问题描述：证明稍微缩小方程中的数值，方程仍有实根。

•解答：假设方程f(x)=0有实根x0，即f(x0)=0。

现在我们稍微缩小方程中的数值，即考虑方程 $f(x) - \\epsilon = 0$，其中 $\\epsilon$ 是一个小正数。

我们需要证明方程 $f(x) - \\epsilon = 0$ 仍然有至少一个实根。

根据连续函数的性质，我们知道当 $\\epsilon$ 趋近于零时，方程 $f(x) -\\epsilon = 0$ 的解 $x_\\epsilon$ 会趋近于x0。

因此，当 $\\epsilon$ 足够小时，$x_\\epsilon$ 仍然是方程 $f(x) - \\epsilon = 0$ 的一个实根。

由此可见，稍微缩小方程中的数值，并不会导致方程失去实根。

2.1.2 习题1.2•问题描述：证明任何两个相邻自然数之间，必有有理数。

•解答：假设两个相邻的自然数为n和n+1，我们希望证明在这两个自然数之间一定存在一个有理数。

我们可以构造一个有理数r，使得n<r<n+1。

一种常用的构造方法是取r 为n和n+1之间的中间点，即 $r = \\frac{n+(n+1)}{2} = n+\\frac{1}{2}$。

由于$\\frac{1}{2}$ 是有理数，所以r也是有理数。

因此，我们证明了在任意两个相邻自然数之间，必有一个有理数。

3. 第二章函数的极限和连续3.1 习题13.1.1 习题1.1•问题描述：求函数 $y = \\frac{x^2-1}{x-1}$ 的极限。

•解答：我们可以将函数 $y = \\frac{x^2-1}{x-1}$ 进行化简，得到y=x+1。

第五章微分中值定理及其应用

第五章微分中值定理及其应用 18〖教学要求〗掌握微分中值定理与函数的泰勒公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用罗必达法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。

〖教学内容〗 §1 微分中值定理 §2 罗必达法则§3 插值多项式和泰勒公式 §4 函数的泰勒公式及其应用 §5 应用举例§6 函数方程的近似求解5-1拉格朗日定理和函数的单调性 4〖教学目的和要求〗理解罗尔定理与拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义,掌握它们的证明方法，了解它们在微分中值定理中的地位。

学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某些整体性质，如单调性，有界性等. 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。

〖教学重点〗罗尔定理与格朗日中值定理〖教学难点〗格朗日中值定理的证明〖教学过程〗 1.引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。

这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。

但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。

另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。

本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。

2.极值的概念定义1（极值）若函数f 在区间I 上有定义，0x I ∈。

若存在0x 的邻域0()U x ，使得对于任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≥，则称f 在点0x 取得极大值，称点0x 为极大值点。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。

2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。

4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。

5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。

9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。

10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。

11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。

12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。

若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。

数学分析教案 (华东师大版)第五章导数和微分

第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。

教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。

教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。

明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。

教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。

教学重点：导数的概念。

教学难点：导数的概念。

教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。

一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.考查在点的可导情况.例33.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。

教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。

数学分析第五版答案

数学分析第五版答案【篇一：数学分析学习方法档】>从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分数学分析书：初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。

我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。

另外建议看一下当不了教材的16，20。

中国人自己写的：1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。

我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。

网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。

不少经济类工科类学校也用这一本书。

里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。

不过仍然不失为一本好书。

能广泛被使用一定有它自己的一些优势。

2《数学分析》华东师范大学数学系著师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。

课本最后讲了一些流形上的微积分。

虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。

3《数学分析》陈纪修等著以上三本是考研用的最多的三本书。

4《数学分析》李成章，黄玉民是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。

5《数学分析讲义》刘玉链我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。

数学分析第五版

14.2 曲面积分一．第一型曲面积分第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。

例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。

设在三维欧式空间错误!未找到引用源。

中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。

首先，用曲面S 上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误!未找到引用源。

，…，错误!未找到引用源。

，将此分法记为T。

设第k个小曲面错误!未找到引用源。

的面积是错误!未找到引用源。

在第k个小曲面错误!未找到引用源。

上任取一点错误!未找到引用源。

，作和错误!未找到引用源。

∑=∆=nkkkkkn fQ1),,(σζηξ(1)称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。

令错误!未找到引用源。

定义设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。

若当错误!未找到引用源。

时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1）存在极限L，即错误!未找到引用源。

=L,则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为L=错误!未找到引用源。

,期中是曲面S的面积微元。

不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误!未找到引用源。

，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即m=错误!未找到引用源。

,第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。

关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。

定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误!未找到引用源。

,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。

三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

(2)其中E=错误!未找到引用源。

F=错误!未找到引用源。

G=错误!未找到引用源。

证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。

公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。

数学分析第五版课本pdf

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1.本书介绍了数学分析的基本概念，包括函数、极限、微分和积分。

2.它还提供了一些关于复变函数、级数、空间几何和概率的基本概念。

3.它还提供了一些关于复变函数的技术，包括复数的极限、微分和积分。

4.它还提供了一些关于空间几何和概率的技术，包括曲线的极限、微分和积分。

5.本书还提供了一些关于数学分析的应用，包括微分方程、积分变换和拓扑学。

6.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学。

7.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学的实际应用。

8.本书还提供了一些关于数学分析的实际应用，包括求解微分方程、积分变换和拓扑学的实际应用，以及应用数学分析的实际例子。

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高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件

cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .

数学分析(第五版)

数学分析（第五版）
《数学分析（第五版）》系列，是中国科学院科技传播出版发行有限公司（简称“中科院传播”）和高等教育出版社共同出版的一套数学分析系列丛书，旨在以实用而又生动的篇章和完备的讲义，给广大数学爱好者和教师提供一套系统又可视化、把握最新水平的数学文献。

该书涵盖绝大部分的数学分析内容，共有十大模块：微积分，线性代数，函数论，实分析，实变函数，复分析，复变函数，常微分方程，非线性方程，及偏微分方程。

每模块都配有精辟的讲义和可视化的例题，课后习题和解答，作为学习数学分析的有力工具。

《数学分析（第五版）》所记载的理论内容和例题，即使对于有数学分析基础知识的读者也是一本非常好的书，也是一款能让数学爱好者和教师有更深入系统地理解数学分析的良师益友。

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华东师大数学分析习题解答5

《数学分析选论》习题解答第五章级数１．下列命题中有些是真命题，有些是伪命题．对真命题简述理由；对假命题举出反例（题中“∑n a ”是“∑∞=1n n a ”的简写）：（１）∑n a ,∑n b 发散⇒∑±)(n n b a 发散；（２）∑n a ，∑n b 收敛⇒∑n n b a 收敛；（３)∑∑n nb a 22,收敛⇒∑nn b a 收敛；（４）∑n a ,∑n b 绝对收敛⇒∑nn b a 绝对收敛；(５）∑n a 收敛，∑n b 绝对收敛⇒∑nn b a 绝对收敛；（６）∑n a 收敛,1lim=∞→n n b ⇒∑nn b a 收敛；（７）∑||n a 收敛,1lim =∞→n n b ⇒∑||n n b a 收敛；（８）0lim =∞→n n a ⇒ -+-+-+-332211a a a a a a 收敛；（９）∑n a 收敛⇒∑na n收敛; （１０)∑n a 收敛⇒0lim =∞→n n a n ；（１１）∑||n a 收敛⇒∑++)(1n n a a a 收敛;（１２）∑na 收敛⇒∑+-||1n n a a 收敛；（１３){}n a 与∑++)(1n n a a 收敛⇒∑n a 收敛；(１４)∑+||1n n a a 收敛⇒∑n a 收敛;（１５)1||≥n a n ⇒∑n a 发散；（１６）∑na 2收敛⇒∑na 3收敛；（１７)0lim =∞→n n a ⇒∑+-||1n n a a 收敛；*（１８）∑+-||1n n a a 收敛⇒{}n a 收敛；(１９）||n a ~)(∞→n n c p⇒∑||n a 与∑pn 1同敛态； *（２０）∑n a 收敛⇒0)2(1lim21=+++∞→n n a n a a n ．解其中有十二个真命题:(３），（４），（５），(７），（８），（９），（１１），（１３）,（１６)，（１８）,(１９），（２０）；其余八个是伪命题．现依此简述如下:（１）反例：0)(,,=+-==∑n n n n b a n b n a 为收敛．(２)反例：∑-nn)1(收敛，∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n n 1)1(2为发散．（３）因nn n n b a b a 22||+≤．（４），(５) 因∑n a 收敛⇒)(1||0lim N n a a n n n >≤⇒=∞→∑∑⇒⎭⎬⎫≤⇒||||||||n n n n n n b a b b b a 收敛收敛．（６）反例：nb na nn nn )1(1,)1(-+=-=，∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n b a n n n 1)1(为发散．（７）因 1lim =∞→n n b ⇒)(2||N n b n >≤，∑∑⇒⎭⎬⎫≤⇒||||||2||n n n n n n b a a a b a 收敛收敛．（８）因0lim )(0,0122=⇒∞→→==∞→-n n n n n S n a S S ．（９）据阿贝尔判别法，∑n a 收敛，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调有界，故∑na n收敛．（１０）反例：=∑n a ∑-nn)1(收敛，而{}{}n n a n )1(-=不存在极限．（１１）由∑||n a 收敛，∑++⇒≤++⇒≤++≤++⇒.绝对收敛)(||)(||||1111n n n n n n n a a a a M a a a M a a a a（１２)反例：=∑n a ∑-n n )1(收敛,∑∑++=-+)1(12||1n n n a a n n 发散．（１３）{}.收敛收敛已知收敛收敛∑∑∑⇒-⎭⎬⎫+-⇒++n n n n n n a a a a a a 2)()()(11（１４）反例：=∑n a ++++=-+∑10102)1(1n发散，但因01≡+n n a a ，故0||1=∑+n n a a 为收敛．（１５）反例：=∑n a ∑-nn)1(收敛，满足1||≥=n a n n ．（１６)∑∑⇒>≤⇒>≤⇒.绝对收敛收敛3232)(||)(1||n nn n n a N n a a N n a a （１７）反例：同(１２）题．（１８）∑+-||1n n a a 收敛N n N >∈∃>ε∀⇔+当,,0N 时，+∈∀N p ，有.ε<-++-≤-⇒ε<-++-+-++++++++++pn p n n n p n n p n p n n n a a a a a a a a a a 1211121,所以{}n a 满足柯西条件，从而收敛．(１９）||n a ~)(∞→n n c p∞+<=⇔∞→c a n n p n ||lim ．可见∑||n a 与∑pn 1同时收敛,或同时发散．（２０）设∑na 的前n 项部分和为 ,2,1,=n S n ，且S S n n =∞→lim ．则有()..011lim 21lim )(,)()(2212121121112121=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++-=+++⇒+++-=-++-+=+++-∞→∞→--S S n n n S S S S a n a a n S S S S n S S n S S S a n a a n n n n n n n n n n □２．设∑∞=1n n a 为证项级数，试证对数判别法:若存在0>ε和+∈N N ，使得当N n > 时有ε+≥11ln ln 1n a n.，则∑∞=1n n a 收敛;（２）若存在+∈N N ,使得当N n > 时，有11ln ln 1≤n a n .,则∑∞=1n n a 发散．证把不等式分别改写成：（１）ε+ε+≤≥111,ln 1lnn a n a n n 即；（２）na n a n n 1,ln 1ln≥≤即．根据比较法则，(１）时∑∞=1n n a 收敛；（２）时∑∞=1n n a 发散． □３．利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性： (１)∑∞=1ln 31n n；（２）∑∞=1ln ln )ln (1n nn ; （３）)0(1ln >∑∞=x n n x．解（１）nn a ln 31=，050109813ln 1ln ln 1...+>≈=n a n故收敛．２）nn n a ln ln )ln (1=，)16(0101ln ln 1ln ln 1≥+>=n n a nn ..，故收敛． (３）x n n a ln =，由于x n n x a nn 1ln ln ln ln 1ln ln 1=-=.，故当)0(e 101>ε∀≤<ε+x 时收敛；e1≥x 时发散． □ ４．证明：若∑∞=1n n a n 收敛,则∑∞=1n na 收敛；若∑∞=1n p n n a 收敛,则p x >时∑∞=1n x nn a 也收敛．证 (１）∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111n n n n n a n a .．由阿贝尔判别法，已知∑∞=1n n a n 收敛,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1 单调有界,故∑∞=1n n a 收敛．（２）同理，由∑∑∞=-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111n px p n n x n n n a n a .,∑∞=1n p n n a 收敛,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-p x n 1当p x >时单调有界，故∑∞=1n xnn a 收敛． □ ５．证明:若{})(x f n 与{})(x g n 都在E 上一致收敛,则{})()(x g x f n n ±在E 上也一致收敛．证设)(x f n →→)(x f ，)(x g n →→)(x g ，E x ∈．依据定义，+∈∃>ε∀N N ,0,当N n >时，对一切E x ∈,恒有2)()(ε<-x f x f n , 2)()(ε<-x g x g n ；于是又有[][]ε<-+-≤±-±)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f n n n n ．所以)()(x g x f n n ±→→)()(x g x f ±,E x ∈．注：本题也可用确界逼近准则（ p .138 定理5.2 ）来证明． □６．设f 在区间I 上一致连续,)(x n ϕ→→)(x ϕ，E x ∈，且)(,)(E I E n ϕ⊂ϕ，,2,1=n ．试证：))((x f n ϕ→→))((x f ϕ，E x ∈．证因f 在I 上一致连续，故0,0>δ∃>ε∀，只要δ<''-'u u ),(I u u ∈'''，便有ε<''-')()(u f u f ．对上述δ，由)(x n ϕ→→)(x ϕ，E x ∈，必定+∈∃N N ,当N n >时，对一切E x ∈，均有δ<ϕ-ϕ)()(x x n ．记I x u I x u n ∈ϕ=''∈ϕ=')(,)(，则有ε<ϕ-ϕ=''-'))(())(()()(x f x f u f u f n ．这就证得 ))((x f n ϕ→→))((x f ϕ,E x ∈． □ ７．证明:∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛的必要条件是)(x f n →→E x ∈,0．证设,)()(1∑==nk k n x f x S )(x S n →→E x x S ∈,)(,则=)(x f n )(x S n )(1x S n --．由题５易知)(x f n →→E x x S x S ∈=-,0)()(． □８．设∑∞=1n n a 收敛,试证),0[e 1∞+-∞=∑在x n n n a 上一致收敛．证由一致收敛的阿贝尔判别法,数项级数∑∞=1n na 收敛即一致收敛；对每个0≥x ,xn -e 对n 单调(减），且一致有界,),),0[,1e (+-∈∞+∈≤N n x x n 故xn n n a -∞=∑e 1在),0[∞+上一致收敛． □９．判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛：（１）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n nxsin ,),(∞+∞-∈x ；（２）∑∞=+-1sin )1(n n x n ，),(∞+∞-∈x ; )3(*]1,0[,,)()(,,)()(,)(1121∈===-x x f x x f x f x x f x x f n n ；（４）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+1nn x x ，（ⅰ）]1,0[∈x ，（ⅱ）)10(]1,0[<δ<δ-∈x ；（５）]1,0[,)(12∈+∑∞=+x nn x x n nn ．解（１）由于0sin lim=∞→nnx n ，且 )(010sin sup),(∞→→=-∞+∞-∈n nnnx x ，因此nnx sin →→0，),(∞+∞-∈x ．（２）由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法，1)1(1≤-∑=nk k为一致有界；),(∞+∞-∈∀x ，x n sin 1+关于n 单调（减）；且0sin 1lim=+∞→xn n ， )(0110sin 1sup),(∞→→-=-+∞+∞-∈n n x n x ,从而x n sin 1+→→0，),(∞+∞-∈x ．所以，∑∞=+-1sin )1(n nxn 在),(∞+∞-上为一致收敛．事实上，)()()(211∞→=→=-n x x f xx f nn ．记]1,0[,)()()(211∈-=-=-x x xx f x f x g nn n ，由 01211)(21=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-nx x g n n ，求出)(x g n的最大值点nn n x 2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，和最大值nn nn n x g 2211121)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．由于 )(0e 0)()(m ax )(sup 1-]1,0[]1,0[∞→=→==∈∈n x g x g x g n n n x n x .,因此)(x f n →→]1,0[,∈x x ．设1111)(+-=+=nnn n x x x x f ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=∈==∞→.1,21,)1,0[,0)()(lim x x x f x f n n (ⅰ）由于)(0\21111sup )()(sup)1,0[)1,0[∞→→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-∈∈n x x f x f nx n x ，因此{})(x f n 在)1,0[上不一致收敛，从而在]1,0[上更不一致收敛．（ⅱ）当)10(]1,0[<δ<δ-∈x 时，由于)(01)1(11)()(sup]1,0[∞→→+δ--=-δ-∈n x f x f nn x ，因此)(x f n →→)(x f ，)10(]1,0[<δ<δ-∈x ．设nn n nn x x x f ++=2)()(．由于]1,0[,0])1([)()(21∈>+++='+-x nn x n n x x f nn n ，因此有2223)11(1)1()1()(0nn n n n f x f nnn n n <+=+=≤≤+．根据优级数判别法，由∑∞=123n n收敛，可知∑∞=++12)(n nn nn x x 在]1,0[上一致收敛． □１０．证明：∑∞=+-122)1(n nnn x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛;但对任何x 不绝对收敛．证由于1)1(1≤-∑=nk k为一致有界,],[b a x ∈∀，22nn x +关于n 单调（减）,0lim22=+∞→nn x n ，,(00sup2222],[∞→→+=-+∈n nn b nn x b a x 设)||||a b ≥，因此根据狄利克雷判别法,该级数在任何],[b a 上一致收敛．又因对任何x ，n n n x n1)1(22≥+-,所以∑∞=+-122)1(n n n n x 发散． □11*．设)(0x u 在],[b a 上可积,,2,1,d )()(1==⎰-n t t u x u xan n ．试证∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛．证设M x u ≤)(0，],[b a x ∈．则可依次估计得：)(d )(d )()(001a x M t t u t t u x u x axa-≤≤=⎰⎰，.........................,)(!2d )(d )()(212a x Mt a t M t t u x u xax a-=-≤≤⎰⎰n n x an n a b n Ma x n M t a t n M x u )(!)(!d )(!)1()(1-≤-=--≤⎰-．而∑∞=-1)(!n n a b n M易用比式判别法得知它收敛,故级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛． □１２．已知∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛．试讨论：当)(x g 在E 上满足何种条件时,就能保证∑∞=1)()(n n x f x g 在E 上一致收敛？解这里可用一致收敛的柯西准则来讨论．由于∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛，故+∈∃>ε∀N N ,01，当N n >时,对一切E x ∈和+∈N p ，恒使11)(ε<∑++=p n n i i x f ．而∑∑++=++==p n n i i pn n i i x f x g x f x g 11)()()()(.,因此当设)(x g 在E 上有界,即E x M x g ∈≤,)(时，就有ε=ε<≤∑∑++=++=111)()()(M x f Mx f x g p n n i i pn n i i ．此即表示∑∞=1)()(n n x f x g 在E 上一致收敛． □31*．证明:若对每个,n )(x f n 是],[b a 上的单调函数，且∑∞=1,)(n n a f ∑∞=1)(n n b f 都绝对收敛，则∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上为绝对一致收敛．证由假设条件，对每一个,n 有{})(,)(max )(a f a f x f n n n ≤[]nn n n n M b f a f b f a f ==-++=def )()()()(21．由于∑∞=1)(n n a f 与∑∞=1)(n n b f 都收敛，因此[]∑∞=+1)()(n n n b f a f 与[]∑∞=-1)()(n n n b f a f也都收敛,从而∑∞=1n nM 收敛．依据优级数判别法,证得∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上为一致收敛． □１４．设]2,0[,)10(cos )(0π∈<<=∑∞=x r nx r x S n n ．试求⎰π20d )(x x S ．解由于nnr nx r ≤cos ，而r r n n-=∑∞=110为收敛，因此∑∞=0cos n n nx r 为一致收敛，于是可以逐项求积．据此便可求得⎰π20d )(x x S π=+π==∑∑⎰∞=∞=π20.2d cos 120n n n nr x nx r． □51*．设函数f 在)1,(+b a 内连续可微)(b a <,记,2,1,),(,)()1()(=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n b a x x f n x f n x f n ．试证:（１){})(x f n 在任何],[βα),(b a ⊂上一致收敛于)(x f '；（２）)()(d )(limα-β=⎰βα∞→f f x x f n n ．证（１)由于)(x f '在],[βα上连续，从而一致连续．故0,0>δ∃>ε∀，只要∈'''u u ,],[βα 且δ<''-'u u ，便有ε<'''-'')()(u f u f ．而由假设，..],[,)1,(,)(1)()()1()(βα∈+∈ξξ'=ξ'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x n x x f nf n x f n x f n x f n n n n所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡δ=∃1N ，当)1(δ<>n N n 时，对任何∈x ],[βα，恒有ε<'-ξ'='-)()()()(x f f x f x f n n ．这就证得)(x f n →→)(x f ',∈x ],[βα),(b a ⊂．利用逐项积分定理,易得)()(d )(d )(lim d )(limα-β='==⎰⎰⎰βαβα∞→βα∞→f f x x f x x f x x f n n n n ． □１６．证明：函数∑∞==13sin )(n nnxx S 在),(∞+∞-上连续，且有连续的导数)(x S '．证由于331sin nn nx ≤，∑∞=131n n 收敛,因此∑∞=13sin n nnx在),(∞+∞-上一致收敛．又2231cos sin nn nxn nx≤='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，∑∞=121n n 收敛，故∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13sin n nnx 在),(∞+∞-上也一致收敛．因为∑∞=13sin n nnx在),(∞+∞-上满足定理45'.和定理65'.的条件，所以)(x S 在),(∞+∞-上连续，且有∑∞=='12cos )(n nnxx S ,),(∞+∞-∈x ．又因为∑∞=12cos n nnx在),(∞+∞-上也满足定理45'.的条件,所以)(x S '在),(∞+∞-上同样也连续． □１７．试求以下各级数的和函数：（１）)1,1(,11-∈∑∞=+x nxn n ; （２）0,e 1>∑∞=-x n n xn ．解(１）设)()(211211x T x nxxnxx S n n n n ===∑∑∞=-∞=+．由于21111)1(11)()(x x xx x nxx T n n n n n n -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='==∑∑∑∞=∞=∞=-, 因此求得)1,1(,1)()(22-∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x xxx T x x S ．（２)设0,e )(1>=∑∞=-x n x S n xn ．类似地得到.0,)1e (e 1e 1e 1e )e (e )e()(2111>-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=--∞=-∞=-∞=-∑∑∑x x S x x x x xn nx n x n n xn □上必定不一致收敛;并可知道定理５。

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