青岛版2.5-解直角三角形的应用(1)
青岛版九年级数学上册：2.5解直角三角形的应用(第1课时))课件
D
E
C
B
3.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测 得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为 60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确 到1 m).
30°
60°
小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三 角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸 面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午3时34分12秒03:34:1222.4.13
书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午3时34分22.4.1303:34April 13, 2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三3时34分12秒03:34:1213 April 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
1.了解仰角、俯角的概念，能利用仰角、俯角构造直角 三形；
2.运用锐角测量中，从低处观测高处的目标时，视线与 水平线所成的锐角叫做仰角；从高处观测低处的目标时， 视线与水平线所成的锐角叫做俯角.
视线
铅
仰角
垂
线 俯角
水平线
视线
【例1】一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海 面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为15 km，飞机距 目标 10 3 km.求飞机在A处观测目标B的俯角. A
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初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.5解直角三角形的应用1
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料刘光福 第2章 解直角三角形 2.5.1解直角三角形的应用（1）课程目标 ：能用相关知识解决一些简单的实际问题。
一、教学目标：1、使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；2、初步培养学生将实际问题转化为解直角三角形问题的能力；3、体验数学思想（方程思想和数形结合思想）在解直角三角形中的魅力。
二．教学的重点与难点：教学重点：将实际问题转化为解直角三角形问题。
教学难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间关系进行解题的思想方法。
三．教学过程： 一、情景引入南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥。
桥全长8346米，6车道，主塔高154米，塔柱中间，由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着，呈“H”型。
南浦大桥于1991年12月1日建成通车。
南浦大桥横卧在黄浦江上，它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想。
问题：南浦大桥主塔高154米，最高的一根钢索与桥面的夹角为30°，问最高的钢索有多长？追问：第二根钢索与桥面的夹角为45°，如何求第二根钢索的长呢？二、引入新知在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形。
１． 当我们测量时，在视线与水平线所成的角钟，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角。
水平线铅垂线水平线铅垂线BAC154（测角仪）注意：（１）仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而非与铅垂线所夹的角；（２）仰角和俯角都是锐角。
测量仰角、俯角常用的工具是测角仪。
练一练：如图，∠C=∠DEB=90︒，FB//AC ，从A 看D 的仰角是______；从B 看D 的俯角是___ ； 从A 看B 的 角是______；从D 看B 的 角是_______；从B 看A 的 角是 。
三、合作探究（巩固仰角、俯角的概念，通过解一个直角三角形，求得线段的长，解决实际问题中的距离。
九年级数学上册第2章解直角三角形2.5解直角三角形的应用(第1课时)课件(新版)青岛版
上海东方明珠塔于 1994 年10 月1 日建成，在 各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第 一、世界第三．与外滩的 “万国建筑博览群”隔江 相望．在塔顶俯瞰上海风 景，美不胜收．运用本章 所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？
在实际测量中的角
第二章
2.5 解直角三角形的应用
第一课时
温故知新
1.直角三角形的边角关系： （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； 2＋b2＝c2 ; a （2）边之间的关系： （3）角与边之间的关系：
b a a sinA= ， cosA= tanA= ， c b c
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的 元素？有几种情况？
答：东方明珠塔的高度约为359.06 米.
D C
E B
例1 如图，厂房屋顶人字架的跨度 为10 米，上弦AB＝BD，∠A = 260 ．求中柱BC 和上弦AB 的长 A （精确到0 . 01 米）.
B
26°
中 柱 跨度
C
D
解：由题意可知，△ ABD 是等腰三角形，BC是底边AD 上 的高，AC = CD , AD = 10 米．
AC AC 由tanB = ,得BC= = 1500 ≈ 4 514(米) . tanB tan 18° BC 23 '
即飞机A电线杆上离地面6 米处用拉 线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角 为60° , 求拉线AC 的长和拉线下端点A 与线杆底部D 的距离（精确到0 . 1 米）.
为了测量东方明珠塔的高 度，小亮和同学们在距离东方 明珠塔200 米处的地面上，用 高1.20 米的测角仪测得东方明 珠塔顶的仰角为60°48 ′． 根据测量的结果，小亮画 了一张示意图，其中 AB 表示 东方明珠塔， DC 为测角仪 的支架，DC= 1.20 米， CB= 200米，∠ADE= 60°48' . 根据在前一学段学过的长 D 方形对边相等的有关知识，你 C 能求出AB 的长吗？
青岛版数学九年级上册2.5《解直角三角形的应用》教学设计
青岛版数学九年级上册2.5《解直角三角形的应用》教学设计一. 教材分析《解直角三角形的应用》是青岛版数学九年级上册第2.5节的内容。
本节主要让学生掌握解直角三角形的应用，会运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题。
教材通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的应用，会运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决实际问题的意识。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握解直角三角形的应用。
2.难点：如何引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：备好相关的生活实例，制作PPT，准备讲解和解题示范。
2.学生准备：预习相关知识，了解直角三角形的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入课题，如测量楼房的高度。
让学生思考如何运用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试用解直角三角形的方法解决。
如给出一个直角三角形，其中一个锐角为30度，斜边为10米，求另一直角边的长度。
3.操练（10分钟）学生独立解决呈现的问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师引导学生总结解直角三角形的步骤和方法，让学生加深对知识的理解。
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
青岛版数学九年级上册2.5 解直角三角形的应用(1) 教案3
板书 设计 教学 反思
解直角三角形的应用（1） 仰角 俯角 本节课的教学，主要是教给学生“观察分析、归纳总结、操作画图、 大胆探索、”的小组探究、精讲点拨、合作交流的学习方式。在探索活动 中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解 释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯。本节课我从学生接 受知识的最近发展区出发，创设了测量亚洲第一高度的上海东方明珠塔 的高度的问题情境，引导学生发现问题、分析问题，把实际问题转化为 数学模型，从而解决实际问题，让学生在学习过程中感受到成功的喜悦， 产生后继学习的激情，增强学数学的信心。
A
D C
E B
2、探究新知： （1）、认识仰角与俯角：想要解决刚才 的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念，利 各小组讨论，互动 用多媒体演示仰角、俯角。 完成解题过程。 （2）、引导学生小组探究解决导入中提 出的问题。为了测量东方明珠塔的高度，同学 们在距离东方明珠塔 200 米处的地面上， 用高 1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为 60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张 示意图，其中 （ ） 表示东方明珠塔， ( ) 为测角仪的支架，DC= ( )米， CB= ( )米， ∠ADE= （ ）。根据在前一学段学过的长方形 对边相等的有关知识，你能求出 AB 的长吗？
A B C
练习 1 ．如图，在电线杆上离地面 6 米 处用拉线固定电线杆，拉线和地面之间的夹角 四、巩固练 为 60° , 求拉线 AC 的长和拉线下端点 A 与 组内探索、讨论 习 线杆底部 D 的距离（精确到 0 . 1 米）.
C 6米 A D B
展示解题过程
练习 2、两座建筑 AB 及 CD，其地面距离 AC 为 50.4 米，从 AB 的顶点 B 测得 CD 的顶 思考回答 部 D 的仰角 β=250，测得其底部 C 的俯角 α=500，求两座建筑物 AB 及 CD 的高。 你还有那些方法测量物体的高度？ 五、拓展延 伸 六、体会分 （1）、这节课你学到了什么？你有何体会？ （2）、这节课你还存在什么问题？ 各抒己见 畅所欲言，总结所 学所得
《2.5解直角三角形的应用》作业设计方案-初中数学青岛版12九年级上册
《解直角三角形的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是让学生能够：1. 理解并掌握解直角三角形的基本原理和方法；2. 能够运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题；3. 培养解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
二、作业内容本课时作业内容主要包括以下几个方面：1. 复习巩固解直角三角形的基本原理和公式。
- 了解直角三角形的定义和性质。
- 复习三角函数的基本概念及在直角三角形中的应用。
- 巩固勾股定理及其在直角三角形中的应用。
2. 实践操作题目。
- 设计一系列实际情境问题，要求学生通过画图、测量和计算，运用解直角三角形的方法求解。
- 例如：利用水平仪和尺子测量树的高度，计算影长和高度比例，解出树的高度等。
3. 书面练习题目。
- 编制一系列解直角三角形的习题，包括但不限于给定角度和边长求解其他角度或边长的题目。
- 安排几道涉及实际问题解决的习题，如求建筑物的倾斜角度等。
三、作业要求作业要求如下：1. 每个学生需独立完成作业，严禁抄袭；2. 对于实践操作题目，要求学生仔细测量、记录数据并计算结果；3. 对于书面练习题目，要求学生在解答过程中详细写出步骤和计算过程；4. 注意答案的准确性，严格遵循题目所给条件和公式；5. 要求学生在规定时间内完成作业并交予教师批改。
四、作业评价本课时的作业评价标准包括：1. 对学生完成作业的态度进行评价，包括是否独立完成、是否有抄袭现象等；2. 对学生解题的准确性进行评价，包括计算是否正确、步骤是否完整等；3. 对学生应用知识解决问题的能力进行评价，看其是否能将所学知识应用到实际问题中；4. 根据学生的作业情况给予相应的分数或评语，鼓励学生继续努力。
五、作业反馈作业反馈环节是本课时的重要部分，教师需做到：1. 对学生的作业进行批改，及时给出分数或评语；2. 对学生在作业中出现的错误进行详细讲解，帮助学生纠正错误；3. 对学生的优秀作业进行展示，鼓励其他学生学习借鉴；4. 根据学生的作业情况调整后续的教学计划和教学方法，以提高教学效果。
青岛版-数学-九年级上册-2.5 解直角三角形的应用第1课时 课件
解:(1)如下图,南楼的高为AB,北楼的高为CD,B、D分别为南、北
楼的墙脚,根据题意,AD为冬至这天中午12时的太阳光线,BD为南 楼的影子. 则AB⊥BD,CD⊥BD, ∠ADB=35º. 在Rt△ABD中，已知AB=16.8 m 由tan ADB AB ，
BD 得BD AB 16.8 24.0(答m):两楼间的距离应为24.0m
解:由题意可知,△ABC为等腰三角形,AD为底边BC上的高.
BD=DC= 1BC=50 m, ∠ABC=30°
在Rt△ABD中2 ，
由
cos B
BD AB
,得
AB BD 50 57.7(m) cos B cos 30
由 tan B AD ,得 AD BD tan B 50tan 30 28.9(m)
解:利用勾股定理可以求出折断倒下部分的
长度为: 102 242 26
26+10＝36（米）.
答:大树在折断之前高为36米.
3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30º，看这栋高楼底部的俯 角为60º，热气球与 高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高? （结果精确到0.1m）
2.5 解直角三角形的应用第1课时
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素(必有一边), 求其余未知元素的过
程叫解直角三角形.
Ｂ
2.解直角三角形的依据
c
a
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2(勾股定理)
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ａ
bＣ
(3)边角之间的关系:
BD
所以,钢索AB的长约为57.7 m,直立塔AD的高约为28.9 m.
青岛版2.5-解直角三角形的应用(1)
怎么做?
回顾与思考
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 直 角 三 角 形
2.三边之间的关系:
a2+b2=
3.边角之间的 关系
sinA＝cosB=
cosA＝sinB= a b tanB＝ b a
a c b c Ａ c a Ｂ
tanA＝
b
Ｃ
如图，在实际测量时， 从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的 锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的 锐角叫做俯角； 视线 铅 垂 仰角 线 水平线 俯角
30° D
C
A
30°
B
C D
问题探究三
如图， 在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲 第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔 江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退 400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底 C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度． D
A
30° B
45°
C
两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从 AB 的顶点 B 测得 CD 的顶部 D 的仰角 β ＝ 30°, 测 得其底部 C 的俯角 a ＝ 45°, 求两座建筑物 AB 及 (用含根号的式子来表示 ). CD的高 .
a 3km 怎么做? 我先将 它数学 化! B A 1.5km C
解： 如图，AC是飞机的高度， 是飞 机在A处观测目标B的俯角，连接BC，则 AC BC ,垂足为点C，在RT ABC 中，AC=1.5km，AB=3km， B
a 3km
A 1.5km C
AC 1.5 1 由sin B ，得 BC 3 2 B=30，即： 30
九年级数学上册 解直角三角形2.5解直角三角形的应用教案1青岛版
解直角三角形的应用教学目标1.掌握仰角、俯角概念；2.在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾1.解直角三角形定义；2.解直角三角形用到哪些边角关系？3.如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？有几种情况？二、探究新知（一）新课导入上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200m处的地面上，安放高1.20米的测角仪支架，测得东方明珠塔顶的仰角为‘4860︒.根据测量的结果，小亮画出了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪支架，DC=1.20m，CB=200m，‘4860︒=∠ADE.利用上述数据，能测出东方明珠塔的高度来吗？（二）概念学习视线︶铅坡度1．概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.[说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.小资料：简易测倾器制作为了测量仰角和俯角，如果没有专门的仪器，可以自制一个简易测倾器．如图所示，简易测倾器由铅锤、度盘、支杆和螺检四部分组成，你能与同学合作制作一个简易测倾器吗？试一试．（三）例题分析学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。
的边角关系。
（2）列出能求出俯角的ABC（3）写出解答过程，同桌互查互纠。
学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并画图中标示出来。
（2）列出能求出AD.AB 的ABC ∆的边角关系。
（3）写出解答过程，同桌互查互纠。
青岛版九年级上2.5解直角三角形的应用(1)课件
解直角三角形的应用（1）
1.了解仰角、俯角的意义。
2.能应用解直角三角形的知识解决实际 问题．
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
例2 武汉长江二桥为斜拉索桥，AB和AC，
分别是直立塔AD左右两边的两根最长的钢 索。已知AB=AC，BC =100m,AB与BC的夹 角为30°。求钢索AB的长及直立塔AD的高.
A
30°
B
D
C
1.菱形ABCD的对角形AC=10cm，BD=6cm，那
么
tan
A 2等于（
）
2．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，那么 底角的余弦等于（ ）
视线 水平线
视线
例1 如图，一架直升飞机执行海上搜救任务， 在空中A 处发现海面上有一目标B ，仪器显示 这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km。 求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1 ' ）.
α
A
B
C
甲、乙两幢楼，从甲楼底部B处测得乙 楼顶部C的仰角为45º，从乙楼顶部C测得 甲楼顶部A的俯角为30º；已知甲、乙两楼 的距离BD=60m，求甲、乙两楼的高。
1. 从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成 的锐角叫做仰角；
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角叫做俯角．
2.会根据题意把实际问题转化为数学问题，然后利用 解直角三角形的知识，明确已知量和未知量，选择合 适的三角比，从而求得未知量.
c
b c
， tanA=
2.5解直角三角形的应用+课件 +2024—2025学年青岛版数学九年级上册
C，E 在同一直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是
(
A )m.
A. 500sin44°
C. 500tan44°
B. 500cos44°
D.
°
感悟新知
知1－练
2-2.[模拟·武汉] 如图， 沿AB 方向架桥修路，为加快施工
∴ QH=BC，BH=CQ.
由题意可得AP=80 米，∠ PAH=60 °，∠ PCQ=30 °，
AB=70 米，∴ PH=AP·sin60°=80× =40 (米)，
感悟新知
知2－练
AH=AP·cos6
0°=80× =4
0(米).
∴CQ=BH=70－40 =30(米). ∴PQ=CQ·tan30°=10 米.
学习目标
第2章 解直角三角形
2.5 解直角三角形的应用
感悟新知
知识点 1
解直角三角形在实际中的应用
知1－讲
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解
直角三角形的问题.
(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角比等知识解直
角三角形.
(3)得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.
感悟新知
知1－练
例 1 京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为
了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图2.5－1
所示，在岸边分别选定了点A，B 和点C，D，先用卷
尺量得AB=160 m，CD=40 m，再
用测角仪测得∠ CAB=30 °，∠
DBA=60 °，求该段运河的河宽
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.5解直角三角形的应用(一)
271课堂
自主合作探究
Leabharlann 自主学习： 先精读教材P53—P55，用红色笔进行勾画,(掌握俯角、仰角、坡度、坡角的 概念) 利用解直角三角形方法解决实际问题。
讨论方式：
1.先一对一讨论，再组内互相交流，疑问用红笔 标出。 2.小组长做好展示、点评分工。
271课堂
• 活动分享 结合以下提示，小组内交流，并将整理结果 记录下来 １．谈谈学案上这几个问题的共同点。 ２．说出自己解决这类问题的思路。 ３．谈一下测量钟楼高度的方法并与同学交 流分享。
271课堂
学习目标：
• 1.阅读课本，结合实际情境说出仰角、俯角、 坡度、坡角等概念。 • 2.能灵活应用解直角三角形解决实际问题。 • 设计一个测量学校钟楼高度的方案，与同 学交流分享，并总结利用直角三角形解决 实际问题的集中模型。
271课堂
2.5 解直角三角形的应用（一）
——利用解直角三角形方法测量 学校钟楼高度
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.5(1)解直角三角形的应用
设计教师 尹德荣九年级数学教案 第1页 （共2页）初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.5 解直角三角形的应用（1）【教学目标】1.初步认识仰角、俯角的概念.2.会运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.3.尝试把实际问题转化为数学问题，综合运用锐角三角比及勾股定理解决问题.【重点难点】重点:灵活运用解直角三角形知识解决问题难点:能将实际问题转化为数学问题 ，建立数学模型，解决问题.课前预习案温故知新1. 复习三角比的定义，特殊角的三角比2 .已知直角三角形的两个元素，会解直角三角形课内探究案合作探究：活动一： 自学课本53-54页的内容，仔细阅读并完成以下内容. 在实际测量中，从低处观测高处的目标时，_________与_________ 所成的锐角叫做_________，从高处观测低处的目标时，_______与________所成的锐角叫做______.活动二：如图，厂房屋顶人字架的跨度为10米，上弦AB=BD ，∠A=300，求中柱BC 和上弦AB 的长。
小结：将等腰三角形转化为解直角三角形的问题来解决，应注意什么？【变式拓展】如图所示，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面点A 测得点C 的仰角为450，从地面点B 测得点C 的俯角为600。
已知AB=20m,点C 和直线AB 在同一铅垂平面内，求气球离地面的高度。
水300上弦中柱AB C 跨度小结：怎样将实际问题转化为解直角三角形的知识解决？学以致用1.某直升飞机执行海上搜救任务，在空中A 处观测到海面上有一目标B ，俯角是a=60o，这时飞机的高度为1500米，求飞机A 与目标B 的水平距离。
辨析：运用解直角三角形的知识去解答实际问题,它的主要步骤是什么?【课堂小结】1.数学知识方面： 2 数学思想方面：【课内达标题】认真规范完成训练题目，书写认真，步骤规范.1.为了测量学校某教学楼的高度，在距离该教学楼30m 的A 处，测得楼顶的仰角为a ，则教学楼的高为（ ）A ．───B ．30 tan αC ．30sin αD ．── 2. 两建筑物AB 和CD 的水平距离为45m ，从A 点测得C 点的俯角为30°测得D •点的俯角为60°求建筑物CD 的高度．3.如图6-38.线段AB 和CD 分别表示甲、乙两幢楼的高.AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D.从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°.已知AB ＝24米.求CDtan α 30 30 sin αA BC。
2.5解直角三角形的应用(1)
A
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠ADE=60°48′.
由tan
∠ADE
=
AE DE
,得
AE=DE·tan ∠ADE =200·tan60°48 ′
≈357.86(米).
D C
BE
所以AB=AE+EB≈ 357.86 +1.20=359.06 (米).
答：东方明珠塔的高度约为359.06米.
新课学习
青岛版初中数学九年级上册
第二单元
第5课
导入新课
上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的 排名榜中，当时其高度列亚洲第一、 世界第三．与外滩的“万国建筑博 览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海 风景，美不胜收．运用本章所学过 的知识，能测出东方明珠塔的高度 来吗？
新课学习在实际测量中的角Fra bibliotek新课学习
为了测量东方明珠塔的高度，小
亮和同学们在距离东方明珠塔200
A
米处的地面上，用高1.20 米的测
角仪测得东方明珠塔顶的仰角为
60°48 ′
图中 AB 表示东方明珠塔， DC 为测 D
角仪的支架，DC= 1.20米，
C
BE
CB= 200米 ，∠ADE= 60°48'.
新课学习
解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB．
课堂练习
1．某商场准备改善原有楼梯的安全性能把倾角由40º 减至35º，已知原楼梯长4m，调整后的楼梯会加长多少？ 楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m）
课堂练习
2．一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45º夹角， 且DB＝5m，在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么 钢缆ED的长度为多少？（结果精确到0.01m）
( 青岛版 ) 数学九上2.5《解直角三角形的应用》PPT课件1
1.直角三角形的边角关系：
（1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元 素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
A组 1、2、8题 A组 3题
同学们, 再见!
1、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 2、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。——佚名
3、在希望与失望的决斗中，如果你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。——普里尼 4、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。——爱因斯坦 5、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。——佚名
上海东方明珠塔于 1994 年10 月1 日建成，在 各国广播电视塔的排名榜 中，当时其高度列亚洲第 一、世界第三．与外滩的 “万国建筑博览群”隔江 相望．在塔顶俯瞰上海风 景，美不胜收．运用本章 所学过的知识，能测出东 方明珠塔的高度来吗？
小 资 料 在实际测量中的角
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
33、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。——贝弗里奇 34、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。——左拉 35、一个有决心的人，将会找到他的道路。——佚名 36、意志坚强，就会战胜恶运。——佚名
《2.5解直角三角形的应用》作业设计方案-初中数学青岛版12九年级上册
《解直角三角形的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念及基本原理。
2. 培养学生的问题解决能力，让学生学会将实际问题抽象为解直角三角形问题。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养其数学应用意识。
二、作业内容作业内容主要围绕解直角三角形的应用展开，具体包括：1. 基础练习：通过一定量的练习题，让学生熟练掌握直角三角形的三边关系及两角关系。
2. 实际应用题：选取几个与学生生活紧密相关的实际问题，如测量距离、计算坡度等，让学生运用所学知识进行解答。
3. 拓展提高：设计一些具有挑战性的问题，如结合函数、几何等其他数学知识的问题，旨在提高学生的综合运用能力。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 对于每个问题，学生需写出详细的解题步骤和思路，以便于教师了解学生的解题过程。
3. 作业需在规定时间内完成，并按时上交。
4. 作业书写工整，计算过程需有条理，答案准确无误。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成的作业情况，对学生的掌握情况进行评价。
2. 对于答题正确、解题思路清晰、步骤完整的学生，给予表扬和鼓励。
3. 对于答题错误的学生，教师需指出其错误原因，并给予指导，帮助学生改正错误。
4. 评价结果将作为学生平时成绩的一部分，纳入期末总评。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，进行针对性的讲解和辅导，帮助学生解决疑难问题。
2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行集中讲解，确保学生能够掌握相关知识。
3. 对于个别学生的问题，教师将进行个别辅导，确保每个学生都能够得到有效的帮助。
4. 作业反馈将作为教学调整的依据，帮助教师更好地了解学生的学习情况，以便于后续教学计划的制定。
六、总结本作业设计方案旨在通过多种形式的练习，帮助学生掌握解直角三角形的基本知识和技能，提高学生的数学应用能力。
通过教师的评价和反馈，学生可以及时了解自己的学习情况，以便于调整学习策略，提高学习效果。
《2.5解直角三角形的应用》作业设计方案-初中数学青岛版12九年级上册
《解直角三角形的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解直角三角形的概念及性质，能识别并绘制直角三角形。
2. 掌握解直角三角形的基本方法，包括三角函数的应用。
3. 培养解决实际问题的能力，能将实际问题抽象为解直角三角形的问题。
二、作业内容作业内容主要围绕解直角三角形的基本知识和应用展开，具体包括：1. 基础知识巩固：复习直角三角形的定义、性质及三角函数的基本概念。
要求学生能准确阐述直角三角形的三边关系及三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
2. 基础题目练习：布置一系列基础题目，如给定一直角三角形两边的长度，求其他边的长度或角度等。
通过练习，巩固学生对解直角三角形基本方法的掌握。
3. 应用题目实践：设计一系列与实际生活相关的应用题目，如测量建筑物的高度、计算影子长度等。
要求学生运用所学知识，将实际问题转化为解直角三角形的问题，并求解。
4. 拓展延伸：提供一些具有一定难度的拓展题目，如涉及多个直角三角形联合解决的问题，培养学生综合运用知识的能力。
三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 认真审题：审清题目要求，明确解题步骤和方法。
3. 规范作答：答案要步骤清晰、规范，使用数学符号和公式要准确。
4. 及时反馈：按时提交作业，对于疑难问题要及时向老师请教。
四、作业评价1. 评价标准：根据作业的准确性、完整性、规范性以及解题思路的合理性进行评价。
2. 评价方式：采取教师评价和同学互评相结合的方式，以教师评价为主，同学互评为辅。
3. 反馈方式：通过作业讲评、个别辅导等方式，及时向学生反馈作业评价结果，指出存在的问题及改进方向。
五、作业反馈1. 收集学生作业中出现的共性问题，进行集中讲解和辅导。
2. 对个别学生的问题，进行个别指导和辅导，帮助学生解决问题。
3. 根据作业反馈，调整教学计划和教学方法，更好地满足学生的学习需求。
六、附加建议在完成作业的过程中，学生可以结合教材、教辅资料以及网络资源，多角度、多层次地理解和掌握解直角三角形的相关知识和方法。
2022年青岛版数学九年级上《解直角三角形的应用》课件(精品)
肯定结论——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。
精讲点拨
：如图，直线a,b被直线c所截， a∥b
求证： ∠1 = ∠2
c a
1
b
2
2.5解直角三角形的应用〔1〕
1.了解仰角、俯角的意义。
2.能应用解直角三角形的知识解决实际 问题．
1.直角三角形的边角关系：
〔1〕角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
〔2〕边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
〔3〕角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的
元素？有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
在实际测量中的角
从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
铅 垂 线
仰角 俯角
视线 水平线
视线
例1 如图，一架直升飞机执行海上搜救任务， 在空中A 处发现海面上有一目标B ，仪器显示 这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km。 求飞机在A处观测目标B的俯角〔精确到1 ' 〕.
α
B
C
甲、乙两幢楼，从甲楼顶部A处测得乙楼顶 部C的仰角为45º，从甲楼顶部A测得乙楼底部D 的俯角为30º；甲、乙两楼的距离BD=60m，求 甲、乙两楼的高。
复习导入
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
归纳总结
《解直角三角形的应用》教案 (公开课获奖)教案 2022青岛版
§2.5解直角三角形的应用（1）学习目标：1.明确仰角、俯角的概念，并能将之灵活应用于实际生活。
2．能从实际问题中抽象出几何模型，并能借助计算器解决问题。
学习重点：运用三角比的有关知识来解决实际应用问题。
学习难点：从实际问题中抽象出恰当的几何模型，用三角比的有关知识来解决。
自学过程：一、自学课本P53-54完成下列问题：1、独立完成课本P53测量东方明珠塔的高度，求出AB的长，2、读一读课本54页小资料：在实际测量中，从低处观测高处的目标时，_________与_________所成的锐角叫做_________，从高处观测低处的目标时，_______与________所成的锐角叫做______。
3、自学课本54页例1，然后把解题过程写在下面：4、自学课本54页例2，然后把解题过程写在下面：§2.5解直角三角形的应用（1）达标测试1、(5分)如图，厂房屋顶人字架的跨度为10米，上弦AB=BD，∠A=260，求中柱BC和上弦AB的长。
（精确到0.01米）2、(5分)某飞机于空中Ａ处探测地面上目标Ｂ，此时从飞机上看目标Ｂ的俯角α，若测得飞机到目标Ｂ的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度ＡＣ约为多少米？AB C2.5解直角的应用（2）学习目标：1、进一步探索直角三角形的边角关系,并能解决实际问题.2、根据实际问题并转化为数学问题,能作垂线构造直角三角形.学习重点：运用解直三角形的知识解决实际问题.学习难点：运用解直三角形的知识解决实际问题自学过程：一、自学课本p56--57完成下列问题：1、从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做。
从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做．2、如图1，在点处看点的仰角是；在处看点的仰角是；在点处看点的俯角是；在点处看点的俯角是 .3、自学56页例3，然后把解题过程写在下面，鼓励同学们学习例题，而不是抄袭例题：§2.5解直角三角形的应用（2）达标测试1、（6分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?2、（4分）结合数学建模思想，谈谈我们遇到实际问题时，解题的一般思路是什么？预习设计：§2.5 解直角三角形的应用（3）学习目标：1、知道“横断面、坡度、坡角”的概念和意义。
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B
30° 1.5米
C
A
20米
F, ∠BAC=30° 解E : 在Rt△ABC中, ∠C=90 °
∵ tanA=BC/AC
∴BC=AC· tanA=20· tan30°=20×
而: CE=AF=1.5 ∴ 旗杆高BE= 20 3 （ m 1） .5 3
3 20 3 3 3
例1、 如图，一架直升飞机执行海上搜救任务，在空 中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高 度为1.5km，飞机距目标3km，求飞机在A处观测目标 B的俯角.
怎么做? 我先将 它数学 化!
例2、武汉长江二桥为索桥，AB和AC分别 是直立塔AD左右两边的两根最长的钢索。 已知AB=AC，BC=100m，AB与BC的夹角 为30°，求钢索AB的长及直立塔AD的高。
(用含根号的式子来表示). A
怎么做? 我先将 它数学 化! B
30° D
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
a 3km 怎么做? 我先将 它数学 化! B A 1.5km C
解： 如图，AC是飞机的高度， 是飞 机在A处观测目标B的俯角，连接BC，则 AC BC ,垂足为点C，在RT ABC 中，AC=1.5km，AB=3km， B
a 3km
A 1.5km C
AC 1.5 1 由sin B ，得 BC 3 2 B=30，即： 30
图1
2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 3 1.5)m（根号保留）． BE= (40 _________
图2
当堂反馈
3、 如图，在数学活动课中，小敏为了测量旗 杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为 45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水 平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)
解：在 Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD＝ ∴AD＝CD ·tan30°＝9× ∵tan ∠BCD＝ AD ， CD
3 ＝3 3.在 Rt △BCD 中， 3
BD ，∴BD＝CD·tan45°＝9× 1＝9. CD 3＋9. 3＋9) m.
∴AB＝AD＋BD＝3 答：旗杆的高度为(3
图
谈谈你对本节课的收获？
2.5.1 解直角三角形的应用
怎么做?
回顾与思考
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 直 角 三 角 形
2.三边之3.边角之间的 关系
sinA＝cosB=
cosA＝sinB= a b tanB＝ b a
a c b c Ａ c a Ｂ
tanA＝
b
Ｃ
1.了解仰角、俯角的意义。 2.能应用解直角三角形的知识解决实际 问题．
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
如图，在实际测量时， 从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的 锐角叫做仰角； 从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的 锐角叫做俯角； 视线 铅 垂 仰角 线 水平线 俯角
视线
怎么做? 我先将 它数学 化!
300 1.5米 20米
引例：升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行 注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰 角为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为多少 米？(用含根号的式子来表示).