2017-2018年江西省南昌十六中高二上学期期中数学试卷及解析

2017-2018学年江西省南昌十六中高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共60分）
1．（5分）若直线l过点A（﹣2，3），B（3，﹣2），则l的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（5分）已知θ是直线2x﹣2y﹣1=0的倾斜角，则θ的值是（）A．B．C．D．
3．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
4．（5分）已知两条直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0互相平行，则a=（）A．±1 B．﹣1 C．1，0 D．﹣1，0
5．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
A．B．C．D．
6．（5分）圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1 7．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）
A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）8．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，
则△PF1F2的周长为（）
A．9 B．13 C．15 D．18
9．（5分）抛物线y=2ax2（a≠0）焦点坐标是（）
A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）
10．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则实数m的值
是（）
A．3 B．5 C．7 D．13
11．（5分）已知M是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2、A分别是椭圆
的左、右焦点和右顶点，N是MF1的中点，|ON|=且4|MF2|2+|OF1|2=4|OA|•|OF2|，则该椭圆的离心率是（）
A．B．或C．D．或2
二、填空题（共20分）
12．（5分）已知焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8，则m等于．
13．（5分）如果抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1，那么它的焦点坐标为．14．（5分）若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是．
15．（5分）经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．
三、解答题（共70分，其中17题8分，22题14分，其余各题12分）16．（8分）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．
17．（12分）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．
18．（12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）从阅读时间在[14，18）的学生中任选2人，求恰好有1人阅读时间在[14，16），另1 人阅读时间在[16，18）的概率．
19．（12分）求适合下列的椭圆的标准方程．
（Ⅰ）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率e=，并且经过点（2，）．
（Ⅱ）a+b=5，c=．
20．（12分）已知抛物线C的标准方程是y2=6x
（Ⅰ）求它的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）直线l过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求线段AB的长度．
21．（14分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．
①求点M的轨迹C的方程；
②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．
2017-2018学年江西省南昌十六中高二（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共60分）
1．（5分）若直线l过点A（﹣2，3），B（3，﹣2），则l的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：根据题意，直线l过点A（﹣2，3），B（3，﹣2），
则其斜率k AB==﹣1；
故选：B．
2．（5分）已知θ是直线2x﹣2y﹣1=0的倾斜角，则θ的值是（）A．B．C．D．
【解答】解：直线2x﹣2y﹣1=0，
即为y=x﹣，
则直线的斜率为1，
即有tanθ=1，
可得倾斜角θ=．
故选：B．
3．（5分）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，
又知其过点（﹣1，3），
由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．
4．（5分）已知两条直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0互相平行，则a=（）A．±1 B．﹣1 C．1，0 D．﹣1，0
【解答】解：∵两条直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0互相平行，
∴a2=1，解得a=1或a=﹣1，
当a=1时，两直线重合，故舍去，
故a=﹣1，
故选：B．
5．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：C．
6．（5分）圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【解答】解：设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1
故圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，故选：C
7．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）
A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点
∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为
∴|a+1|≤2
∴﹣3≤a≤1
故选：C．
8．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，
则△PF 1F2的周长为（）
A．9 B．13 C．15 D．18
【解答】解：根据题意，椭圆，
其中a==5，b==3，
则c==4，
P是C上任意一点，
则△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18；
故选：D．
9．（5分）抛物线y=2ax2（a≠0）焦点坐标是（）
A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）
【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴|p|=||，
∴焦点坐标为（0，），
故选：D．
10．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则实数m的值是（）
A．3 B．5 C．7 D．13
【解答】解：根据题意，椭圆，长轴在y轴上，
则其标准方程为：，且有m﹣2＞8﹣m＞0，
解可得5＜m＜8，
若椭圆的焦距为4，即c=2，
则有（m﹣2）﹣（8﹣m）=4，即2m﹣10=4，
解可得：m=7；
故选：C．
11．（5分）已知M是椭圆=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2、A分别是椭圆
的左、右焦点和右顶点，N是MF1的中点，|ON|=且4|MF2|2+|OF1|2=4|OA|•|OF2|，则该椭圆的离心率是（）
A．B．或C．D．或2
【解答】解：M是椭圆上一点，F1、F2、A分别是椭圆的左、右焦点和右顶点，
N是MF1的中点，，可得|MF2|=b，
∵4，
∴4b2+c2=4ac，又b2=a2﹣c2，
可得4a2﹣3c2=4ac．
可得3e2+4e﹣4=0，e∈（0，1），解得e=．
故选：C．
二、填空题（共20分）
12．（5分）已知焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8，则m等于16．【解答】解：∵焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8，
∴2=8，
解得m=16．
故答案为：16，
13．（5分）如果抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1，那么它的焦点坐标为（1，0）．
【解答】解：由题意可知：抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1，即抛物线的焦点在x轴正半轴，=1，
∴抛物线的焦点坐标为：（1，0），
故答案为：（1，0）．
14．（5分）若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点，且该圆与直线y=x+3相切，则该圆的标准方程是x2+（y﹣1）2=2．
【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=4y，
∴抛物线的焦点为F（0，1）．即圆C的圆心为C（0，1）．
∵圆C与直线y=x+3相切，∴圆C的半径为点C到直线y=x+3的距离d==．
∴圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2．
故答案为：x2+（y﹣1）2=2．
15．（5分）经过点P（2，﹣3）作圆x2+2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为x﹣y﹣5=0．
【解答】解；将圆x2+2x+y2=24化为标准方程，得
（x+1）2+y2=25
∴圆心坐标O（﹣1，0），半径r=5
∵（2+1）2+（﹣3）2=18＜25
∴点P在圆内
又∵点P平分弦AB
∴OP⊥AB
∵
∴弦AB所在直线的斜率k=1
又直线过点P（2，﹣3）
∴直线方程为：y﹣（﹣3）=x﹣2
即x﹣y﹣5=0
三、解答题（共70分，其中17题8分，22题14分，其余各题12分）16．（8分）已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．
【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，
令x=0，得y=﹣；令y=0，得x=﹣．
∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|﹣|×|﹣|=24，
解得m=±24．
∴直线l的方程为3x+4y±24=0．
17．（12分）已知圆C的圆心在直线l：x﹣2y﹣1=0上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程．
【解答】解：设圆心C（2b+1，b），∵CO=CA，∴（2b+1）2+b2=（2b+1﹣2）2+（b﹣1）2，
求得b=，∴圆心C（，），半径为CO=，
∴圆C的标准方程为+=．
18．（12分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）从阅读时间在[14，18）的学生中任选2人，求恰好有1人阅读时间在[14，16），另1 人阅读时间在[16，18）的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，100名学生中课外阅读不少于12小时的学生共有10名，所以样本中课外阅读时间少于12小时的频率是．（Ⅱ）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0.17，
所以
课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0.25，
所以
（Ⅲ）课外阅读时间落在[14，16）的有2人设为a，b；课外阅读时间落在[16，18）的有2人设为x，y，
则从课外阅读时间落在[14，18）的学生中任选2人包含（a，b），（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（x，y）共6 种，
其中恰好有1人阅读时间在[14，16），另1人阅读时间在[16，18）的有（a，x），（a，y），（b，x），（b，y）共 4 种，
所以所求概率．
19．（12分）求适合下列的椭圆的标准方程．
（Ⅰ）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率e=，并且经过点（2，）．
（Ⅱ）a+b=5，c=．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为+=1，
椭圆的离心率e=，则e2===1﹣=，则有=，即a2=2b2，
又由椭圆经过点（2，），
则有=1，解可得b2=8，则a2=16，
则椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）根据题意，a+b=5，c=，
则c2=a2﹣b2=15，
解可得a=4，b=1，
若椭圆的焦点在x轴上，则+=1；
若椭圆的焦点在y轴上，则+=1；
则要求椭圆的方程为：+=1或+=1．
20．（12分）已知抛物线C的标准方程是y2=6x
（Ⅰ）求它的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）直线l过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求线段AB的长度．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C的标准方程是y2=6x，
∴抛物线C的焦点为F（，0），准线方程：．
（Ⅱ）∵直线l过抛物线C的焦点F（，0），且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y=x﹣，
联立，得y2﹣6y﹣9=0，
△=36+36=72＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=6，y1y2=﹣9，
∴线段AB的长度|AB|==12．
21．（14分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．
①求点M的轨迹C的方程；
②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．
【解答】解：①由题意动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，
得=，
化简并整理，得+=1．
所以动点M（x，y）的轨迹C的方程为椭圆+=1．
②设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
两式相减可得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵x1+x2=﹣2，y1+y2=2，
∴﹣6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
∴k==，
∴直线PQ的方程为y﹣1=（x+1），即为3x﹣4y+7=0．。

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