江苏省淮安市涟水县第一中学2021届高三数学10月月考试题【含答案】

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2021年高三10月月考试卷(数学)

2021年高三10月月考试卷（数学）一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、原命题：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个.2、已知命题，命题，则命题p是命题q的条件3、若向量满足且，则实数k的值为4、若不等式的解集为，求的值5、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于6、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。

７．已知、、是三角形的三个顶点，，则的形状为。

８．在条件的最大值为 .9．把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算·，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点，若点A在矩阵的作用下变换成点（2，4），则点A的坐标为 .10、把一条长是6m的绳子截成三段，各围成一个正三角形，则这三个正三角形的面积和最小值是m2.11、对，记，按如下方式定义函数：对于每个实数，.则函数最大值为．12、已知函数，直线：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是________________________二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的．13 定义集合与的运算，则等于（A）（B）（C）（D）（）14．根据表格中的数据，可以断定函数的一个零点所在的区间是15、函数（）是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D.（） 16．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f (x )，另一种平均价格曲线y=g(x )，如f (2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元。

下面给出了四个图象，实线表示y=f (x )，虚线表示y=g(x )，其中可能．．正确的是（）三、解答题：本大题共６小题，共８0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数．（I ）解不等式；（II ）若关于的不等在恒成立，试求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列的前4项和为10，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和． 19．（本小题满分12分）设函数，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为，求的值.ABCD20．（本小题满分1４分）为迎接xx年的奥运会，某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

2024学年淮安市涟水一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析

涟水县第一中学2024-2025学年第一学期高一年级第一次月考数学试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列四个选项哪个是正确的（）A. ZB. NC. QD. R【答案】D【解析】【分析】根据集合与元素的关系，结合N ，Z ，R ，Q 所表示的集合进行求解即可.【详解】因为N 表示自然数集，Z 表示整数集，R 表示实数集，Q 表示有理数集，所以只有选项D 正确.故选：D2. 命题“2,0Î³"x R x ”的否定为（）A. 2,0x R x "Î< B. 不存在2,0x R x Î< C. 2,0x R x ∃Î³ D. 2,0x R x ∃Î<【答案】D【解析】【分析】直接根据全称命题的否定的定义得到答案.【详解】命题“2R,0x x "Î³”的否定为：2R,0x x ∃Î<.故选：D.3. 已知U =R ，{0}A x x =<，则A =ðU （）A. [)0,¥+B. (0,+∞)C. (),0¥-D. (],0-¥【答案】A【解析】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为{0}A x x =<，U =R ，所以A =ðU [)0,¥+.故选：A.4. 下列命题为真命题的是（）A. 面积相等的三角形全等B. 若a b >，则22a b >C. 若两个角是对顶角，则这两个角相等D. 一元二次不等式210x x -+>解集为Æ【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形、不等式、对顶角、一元二次不等式的解集对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，面积相等的三角形不一定是全等三角形，所以A 选项错误.B 选项，若a b >，如11>-，则22a b =，所以B 选项错误.C 选项，对顶角相等，所以C 选项正确.D 选项，一元二次不等式22131024x x x æö-+=-+>ç÷èø恒成立，所以不等式的解集为R ，所以D 选项错误.故选：C5. 下列不等式性质哪个是错误的（）A 若,a b b c >>，则a c >B. 若,a b c d >>，则a c b d+>+C 若a b >，则22ac bc >D. 若0,0a b c d >>>>，则ac bd>【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质可以判断A ，B ，D ，利用特殊值可以判断C...【详解】对于A ，由不等式的传递性知，若,a b b c >>，则a c >，因此A 正确；对于B ，由不等式的可加性知，,a b c d >>，则a c b d +>+，因此B 正确；对于C ，若0c =，则22ac bc =，因此C 不正确；对于D ，由不等式的可乘性知，若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，因此D 正确；故选：C 6. 设{}{}20,23A x x B x x x =>=-£，则A B =I （）A. [)1,0- B. ()1,0- C. []0,3 D. (]0,3【答案】D【解析】【分析】运用一元二次不等式解法求出B ，再用交集概念计算即可.【详解】因为{}{}{}222323013B x x x x x x x x =-£=--£=-££，A ={x |x >0}，所以{|03}A B x x =<£I ，即(]0,3A B =I .故选：D.7. 已知:p 1m <且0m ¹，:q 关于x 的方程2210mx x ++=有两个不相等实数解，则p 是q 的什么条件（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】求出命题q 的等价命题，后判断命题p 与q 的关系即可.【详解】因为:q 关于x 方程2210mx x ++=有两个不相等实数解Δ44010m m m =->ìÛÛ<í¹î且0m ¹，所以p 是q 的充要条件，故选：C.8. 已知02a b >>，，且21a b ab +=+，则2+a b 的最小值是（）A. 5+B. 3+C. 3D. 5-.的【答案】A【解析】【分析】由21a b ab +=+可得12b a b -=-，后由基本不等式可得答案.【详解】因21a b ab +=+，则()1122b b b a a b --=-Þ=-，则()121122222555222b b a b b b b b b b --++=+=+=-++³+=+---当且仅当()()21122222b b b -=Þ-=-，结合12b a b -=-，2b >，即2b =+，1a =+时取等号.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合{|(2)0}A x x x =-£，R U =，则下列结论正确的是（）A. 1AÎ B. R U A A È=ðC. 1U A-Ïð D. {1}AÍ【答案】ABD【解析】【分析】先求得集合[0,2]A =，再利用元素与集合，集合之间的关系判断方法逐一判断即得.【详解】由(2)0x x -£可解得：02x ££，即[0,2]A =.对于A ，显然1[0,2]Î，故A 正确；对于B ，因R U =，故R U A A È=ð，即B 正确；对于C ，因1A -Ï，故1U A -Îð，故C 错误；对于D ，显然{1}[0,2]Í，故D 正确.故选：ABD.10. 下列说法正确的是（）A. 2R,x x x "Î>是真命题B. 2R,10x x ∃Î-<是真命题C. 0a ¹是0ab ¹的必要不充分条件D. 若命题2R,22x x x m "Î-+>是真命题，则m 的取值范围是(),1-¥【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，举反例即可判断；对于B ，举例子说明即可；对于C ，利用充要条件的判断方法推理即得；对于D ，依题将其转化成不等式恒成立问题，求函数的最小值即得.【详解】对于A ，当0x =时，2x x >不成立，故A 错误；对于B ，当0x =时，2110x -=-<成立，故B 正确；对于C ，当0ab ¹时，则0a ¹必成立，而当0a ¹时，若0b =，则0ab =，故0a ¹是0ab ¹的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，由题意，222m x x <-+对于R x "Î恒成立，因2222(1)11x x x -+=-+³，故得1m <，即D 正确.故选：BCD.11. 下列结论正确的是（）A. 已知13,11a b <<-<<，则125a b <+<-B. 若0,0a b >>，则2b a a b+³C. 函数22,R y x mx m =--Î，只有一个零点D. 不等式21x >的解集为()1,+¥【答案】ABD【解析】【分析】A 选项，利用不等式的性质得到222b -<<，125a b <+<-；B 选项，由基本不等式求出最小值；C 选项，根据280m D =+>，得到函数有两个零点；D 选项，化简得到()110->，故10->，求出不等式解集.【详解】A 选项，11b -<<，故222b -<<，又13a <<，所以125a b <+<-，A 正确；B 选项，0,0a b >>，又基本不等式得2b a a b +³=，当且仅当b a a b=，即a b =时，等号成立，B 正确；C 选项，22,R y x mx m =--Î，280m D =+>，故函数22,R y x mx m =--Î一定有两个零点，C 错误；D 选项，不等式()21210110x x ->Þ-->Þ+->，10->，解得1x >，故解集为()1,+¥，D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合{}{}11,02M x x N x x =-<<=<<，则M N È=______【答案】{}12x x -<<【解析】【分析】根据并集运算的定义直接计算即可.【详解】因为{}{}11,02M x x N x x =-<<=<<，所以{}12M N x x È=-<<.故答案为：{}12x x -<<13. 0a b ==是2a b =成立的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）【答案】充分不必要【解析】【分析】结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】因为02a b a b ==Þ=，所以0a b ==是2a b =成立的充分条件，当2,1a b ==时，满足2a b =，但不满足0a b ==，所以2a b =推不出0a b ==，所以0a b ==是2a b =成立的不必要条件，所以0a b ==是2a b =成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14. 若不等式()210x a x a +--<的一个充分条件为01,x <<则实数a 的取值范围是______【答案】{|1}a a ³【解析】【分析】由()210x a x a +--<，解得(0)a x a a -<<>，再根据充分条件的定义求解即可.【详解】解：因为()210x a x a +--<，即()2||10x a x a +--<，所以(||)(||1)0x a x -+<，又因为||10x +>，所以||0x a -<，当0a £时，||0x a -<无解，不合题意；当0a >时，由||0x a -<，解得a x a -<<，又因为不等式()210x a x a +--<的一个充分条件为01,x <<所以1a ³，所以实数a 的取值范围为{|1}a a ³.故答案为：{|1}a a ³四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}{}1,2,2,3,4A B ==，求（1）A BU （2）U A BI ð（3）()U A B Çð【答案】（1）{}1,2,3,4A B =U（2）{}1U A B =I ð（3）(){}1,3,4,5,6U A B =I ð【解析】【分析】（1）由并集定义计算即可得；（2）由补集定义及交集定义计算即可得；（3）由交集定义及补集定义计算即可得.【小问1详解】由{}{}1,2,2,3,4A B ==，则{}1,2,3,4A B =U ；【小问2详解】由{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð，又{}1,2A =，故{}1U A B =I ð；【小问3详解】由{}{}1,2,2,3,4A B ==，则{}2A B =I ，又{}1,2,3,4,5,6U =，故(){}1,3,4,5,6U A B =I ð.16. 解不等式（1）321x -£-（2）22310x x --³（3）1214x x -<+【答案】（1）1,3æù-¥çúû（2）æö-¥+¥ç÷ç÷èøU （3）()(),41,-¥-È-+¥【解析】【分析】（1）利用解关于x 的一元一次不等式的方法即可求解；（2）利用解关于x 一元二次不等式的方法即可求解；（3）利用解关于x 的分式不等式的方法即可求解；【小问1详解】由321x -£-，则31x £，解得，13x £，故不等式的解集为1,3¥æù-çúèû.【小问2详解】的由22310x x --=的根为x =不等式22310x x --³解集为¥¥æö-È+ç÷ç÷èø.【小问3详解】由12123333110004444x x x x x x x x ----+<Û-<Þ<Û>++++，又3x 3x 4>0⇔(3x +3)(x +4)>0，解得<4x -，或1x >-，因此不等式1214x x -<+的解集为()(),41,¥¥--È-+17. 设1:21p x -<，:(21)0q x a -+<，:1r x <.（1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围（2）q 对应的解集为A ，r 对应的解集为B ，若A B ¹ÆI ，求实数a 的取值范围【答案】（1）(],0-¥（2）()1,-+¥【解析】【分析】（1）解不等式得到:1p x <，:21q x a <+，根据必要条件得到21x a <+是1x <的子集，故211a +£，解得0a £；（2）求出{}21A x x a =<+，{}11B x x =-<<，根据交集不是空集，得到不等式，求出1>-a .【小问1详解】1:211p x x -<Þ<，:(21)021q x a x a -+<Þ<+，因为p 是q 的必要条件，所以21x a <+是1x <的子集，故211a +£，解得0a £，即实数a 的取值范围为(],0-¥；【小问2详解】{}21A x x a =<+，{}11B x x =-<<，A B ¹ÆI ，故211a +>-，解得1>-a ，故实数a 的取值范围为()1,-+¥.18. 已知0,0a b >>，且21a b +=（1）求ab 最大值（2）求1a a b+最小值（3）若不等式22131m m a b+³-+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）18（2）1+（3）[]1,4-【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可求解.（2）1112112a b a b a b a b-+=+=+-，再结合基本不等式“1”的应用，即可求解.（3）先利用基本不等式求出不等式2141a b +³+，从而可得234m m -£，即可求解.【小问1详解】已知0,0a b >>，且21a b +=，2a b \+³，18ab \£，当且仅当2a b =即12a =，14b =，取“=”.所以ab 最大值为18.【小问2详解】()11121111222a b a b a b a b a b a b -æö+=+=+-=++-ç÷èø2111b a a b =++³+=+当且仅当2b a a b =，即1a =-，1b =“=”，所以1a a b+最小值为1+【小问3详解】()1211411242121b a a b a b a b +æöæö+++=++ç÷ç÷++èøèøg 1(442³+=，当且仅当411b a a b +=+，即0a =，12b =时取“=”，234m m \-£，解得14m -££，所以实数m 的取值范围为[]1,4-.19. 设全集R U =，集合{}(3)0A x x x =-£，集合{}22(3)(232)0B x x a x a a =-+---£，其中13a >.（1）若x A Î是x B Î的充分条件，求实数a 的取值范围（2）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求实数a 的取值范围【答案】（1）2a ³（2）113a <£【解析】【分析】（1）分别求出集合A ，B ，根据充分条件得{}{}03212x x x a x a ££Í-££+，列不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件得{}212x a x a -££+{}03x x ££，然后列不等式组求解即可.【小问1详解】{}{}(3)003A x x x x x =-£=££，22(3)(232)=0x a x a a -+---两根分别为2,12a a -+，且13a >，因为12(2)310a a a +--=->，所以{}212B x a x a =-££+，因为x A Î是x B Î的充分条件，所以{}{}03212x x x a x a ££Í-££+，所以a >132―a ≤01+2a ≥3，解得2a ³.【小问2详解】因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以{}212x a x a -££+{}03x x ££，所以a >132―a ≥01+2a <3或a >132―a >01+2a ≤3，所以113a <£.。

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三(上)10月月考数学试卷 (有答案)

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 向量a →=(1,−2)，b →=(2,−1)，则a →⋅b →=( ) A.5 B.3 C.4 D.−52. 集合A ={x|−1<x <3} ，B ={x|x 2+x −6<0,x ∈Z }，则A ∩B =( ) A.(−1,2) B.(−3,3) C.{0,1} D.{0,1,2}3. α=30∘是sin α=12的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f (x )=ln x −2x +1的零点所在的大致区间是( ) A.(2,e ) B.(1,2) C.(e,3) D.(3,+∞)5. 函数f(x)=sin (2x +π3)，若x 1x 2<0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 2−x 1|的取值范围为( ) A.(π6,+∞) B.(π3,+∞)C.(2π3,+∞)D.(4π3,+∞)6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3,4)，则cos (2α+β)cos β+sin (2α+β)sin β的值是( ) A.−925B.725C.−725D.9257. 已知函数f(x)=sin ωx +√3cos ωx(ω>0)，x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，若|x 1−x 2|的最小值为π2，则( ) A.f(x)在(−5π12,π12)上单调递减B.f(x)在(−5π12,π12)上单调递增 C.f(x)在(−2π3,π3)上单调递减 D.f(x)在(−2π3,π3)上单调递增8. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( ) A.1 B.2 C.e D.2e二、多选题已知向量a →=(2,−1)，b →=(−3,2)，c →=(1,1)，则( ) A.a →//b →B.(a →+b →)⊥c →C.a →+b →=c →D.c →=5a →+3b →下列函数中，存在极值点的是( ) A.y =x −1x B.y =2|x| C.y =−2x 3−x D.y =x ln x在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =60∘, ∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3. 则下列说法正确的是( ) A.ac 的最小值是4B.ac 的最大值是4C.a +2c 的最小值是2+2√2D.a +2c 的最小值是3+2√2设函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)，已知f(x)在[0, π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A.在(0, π)上存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2B.f(x)在(0, π)有且仅有1个最小值点C.f(x)在(0,π2)单调递增D.ω的取值范围是[136,196]三、填空题等腰直角三角形ABC 中， ∠C =90∘,CA =CB =√2，则有CA →⋅AB →=________.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则bc=________.设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为√3，则AB →⋅(DA →+DB →)等于________.已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是偶函数，将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y =g (x )．已知y =g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=________，若y =g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为−2，则g(x)在[0,π]上的最大值为________．四、解答题已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C(a cos C +c cos A)+b =0. (1)求角C 的大小；(2)若b =2，c =2√3 ，求△ABC 的面积.如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3.(1)求m 的值；(2)求|AP →|的最小值．已知函数f(x)=log 121−ax x−1的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c(sin B +cos B)．(1)求∠ACB 的大小；(2)若∠ACB =∠ABC ，点A ，D 在BC 的异侧，DB =2,DC =1，求平面四边形ABDC 面积的最大值．某市近郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值．已知函数f(x)=12x2−a ln x+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若−2≤a<0，对任意x1,x2∈[1，2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|恒成立，求实数m的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算【解析】根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【解答】解：由题意得a →⋅b →=1×2+(−2)×(−1)=4. 故选C . 2. 【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义求解即可得结果. 【解答】解：因为B ={x |−3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}，所以A ∩B ={0,1}. 故选C . 3.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“α=π6”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=5π6．即可判断出结论．【解答】解：“α=30∘”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=150∘．因此“α=30∘”是“sin α=12”的充分不必要条件．故选B ． 4. 【答案】 B函数零点的判定定理【解析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−2x+1在(0, +∞)上连续且单调递增，且f(1)=0−2+1=−1<0，f(2)=ln2−1+1=ln2>0，∴f(1)f(2)<0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是(1, 2).故选B.5.【答案】B【考点】正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x1)+f(x2)=0⇔f(x1)=−f(x2)，|x2−x1|可视为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y=f(x)与函数y=−f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y=m过y=f(x)的图象与y轴的交点(0,√32)时，直线为y=√32，|AB|=π3，所以当直线y=m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y=m向下移动时，线段AB的长度为π2，所以|x2−x1|>π3．故选B．6.C【考点】任意角的三角函数二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式【解析】.【解答】解：由题意，角α终边经过点P(3,4)，则由三角函数定义可求出sinα=45，cosα=35，于是由二倍角公式可求出cos2α=925−1625=−725，而cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=cos[(2α+β)−β]=cos2α，所以cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=−725.故选C.7.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】利用辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)＝2sin(ωx+π3)，由题可知，最小正周期T＝π，从而求得ω的值和f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由题意可知，T2=π2⇒T=π，即2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)．令2x+π3∈(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，则函数f(x)的单调递增区间为(kπ−5π12, kπ+π12)，k∈Z，当k=0时，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−512π,π12)，即B正确；令2x +π3∈(2kπ+π2, 2kπ+3π2)，k ∈Z ，则函数f(x)的单调递减区间为(kπ+π12, kπ+7π12)，k ∈Z ，选项A 和C 的单调递减区间均不符合题意．故选B . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性导数的几何意义函数的零点与方程根的关系函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R ，且F (−x )=F (x )，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x >0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．【解答】解：∵ 函数的定义域为R ，且F (−x )=f (−x )+f (x )=F (x )， ∴ 函数F (x )是偶函数，∵ f(x)={e −x +2mx +m ，x <0，e x (x −1)，x ≥0，（e 为自然对数的底），∴ f (−x )={e −x (−x −1)， x ≤0，e 2−2mx +m ， x >0，又因为F (x )有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根，即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根，令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数，下面求H (x )过(12,0)的切线斜率．设切点为Q (t,t e t )，t >0，则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )，将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)，即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍），此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点；当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ．故选D .二、多选题【答案】 B,D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量的坐标运算平行向量的性质【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力．【解答】解：a →+b →=(−1,1)， (a →+b →)⋅c →=−1+1=0，故(a →+b →)⊥c →．设c →=λ1a →+λ2b →(λ1,λ2∈R )，则(1,1)=λ1(2,−1)+λ2(−3,2)=(2λ1−3λ2,−λ1+2λ2)，则{2λ1−3λ2=1,−λ1+2λ2=1,所以{λ1=5,λ2=3, 所以c →=5a →+3b →．故选BD . 【答案】 B,D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】逐项根据极值的定义以及导数符号可得．【解答】解：A求导得，y′=1+1x2>0，函数在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，所以函数无极值点；B中x=0是函数的极小值点；C求导得，y′=−6x2−1<0恒成立，函数在R上递减，所以函数无极值点；D求导得，y′=1+ln x，当x∈(0, 1e)时，y′<0，当x∈(1e, +∞)时，y′>0，x=1e时，y′=0，所以x=1e是函数的极小值点.故选BD.【答案】A,D【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用【解析】首先利用条件构造得到a×c=c+a，再由基本不等式求解即可. 【解答】解：由题意，BD为∠ABC的平分线，则由S△ABC=S△ABD+S△BCD，可知12AB⋅BC⋅sin60∘=12AB⋅BD⋅sin30∘+12BD⋅BC⋅sin30∘，化简得√3AB⋅BC=AB⋅BD+BC⋅BD，∵BD=√3，∴AB⋅BC=AB+BC，即a⋅c=c+a，则由基本不等式可知a+c≥2√ac，解得ac≥4，所以ac的最小值为4，故A正确，B错误；而由a⋅c=c+a可知a=cc−1，其中c>1，于是由基本不等式可知：a+2c=cc−1+2c=1+1c−1+2c=3+1c−1+2(c−1)≥3+2√2，当且仅当1c−1=2(c−1)，即c=1+√22时取等号，故D正确，C错误.故选AD.【答案】A,B【考点】正弦函数的周期性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】由题意根据f(x)在区间[0, π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+ |OA|, 32T+|OA|)，再用ω表示周期，得ω的范围．【解答】解：当x=0时，y=sin(−π6)=−12,又∵ω>0，∴画出函数f(x)=sin(ωx−π6)大致图象如图所示：又ω>0，所以x>0时f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，∵函数在[0, π]仅有3个零点时，∴(π，0)的位置在C∼D之间（包括C，不包括D），令f(x)=sin(ωx−π6)=0，则ωx−π6=kπ，解得：x=(π6+kπ)⋅1ω(k∈Z)，∴f(x)图象在y轴右侧与x轴的第一个交点横坐标为π6ω，最小正周期T=2πω，∴π6ω+T≤π<π6ω+32T，即π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω，解得136≤ω<196，故D错误；可知在区间[0, π]上，函数f(x)达到最大值和最小值，∴ 存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，故A 正确；由大致图象得，f(x)在(0, π)内有且只有1个最小值，故B 正确；∵ ω最小值为136，∴ 0<x <π2时，−π6<ωx −π6<17π12，又∵ 17π12∉(−π2, π2)， ∴ x ∈(0, π2)时，函数f(x)不单调递增，故C 错误．故选AB .三、填空题【答案】−2【考点】平面向量数量积的运算【解析】可画出图形，根据题意CA →⊥CB →，且|CA →|=√2，从而可得出CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=−CA →2,进而求得结果.【解答】解：如图，可知CA →⊥CB →，且|CA →|=|CB →|=√2，∴ CA →⋅CB →=0，∴ CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=CA →⋅CB →−(CA →)2=0−2=−2．故答案为：−2．【答案】6【考点】余弦定理正弦定理【解析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵ △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，∴ 由余弦定理、正弦定理可得{a 2−b 2=4c 2，cos A =b 2+c 2−a 22bc =−14，解得3c 2=12bc ，∴ b c =6．故答案为：6.【答案】2【考点】解三角形平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理【解析】先根据正余弦定理求出A =2π3，bc ＝4，再将DA →，DB →化为AB →，AC →后用数量积可得．【解答】解：∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)，即b 2+c 2−a 2=−bc ，∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， ∴ A =2π3，∴ S △ABC =12bc sin A ，即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)] =−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A=−4×(−12) =2.故答案为：2.【答案】1,√3【考点】余弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】利用函数为偶函数，求出φ=π2，根据三角函数平移变换规律得到g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，再利用周期性和最大最小值求出ω，A，求出g(x)解析式，再利用余弦函数性质求解即可．【解答】解：y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为偶函数，则φ=π2+kπ(k∈Z)，又0<φ<π，∴ φ=π2，∴ f(x)=A sin(ωx+π2)=A cosωx．由题意得：g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，且y=g(x)相邻对称中心之间距离为2π，则T=4π，∴2π12ω=4π，∴ ω=1，∴ g(x)=A cos(12x+π6)．由g(x)在某对称轴处对应的函数值为−2，可得A=2．∴ g(x)=2cos(12x+π6)．∵ x∈[0,π]，则12x+π6∈[π6,2π3]，∴cos(12x+π6)∈[−12,√32]．∴ g(x)∈[−1,√3]．∴g(x)在[0,π]上的最大值为√3.故答案为：1；√3．四、解答题【答案】解：(1)△ABC中，∵2cos C(a cos C+c cos A)+b=0，由正弦定理可得2cos C(sin A cos C+sin C cos A)+sin B=0，∴2cos C sin(A+C)+sin B=0，即2cos C sin B+sin B=0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12，即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos C sin B +sin B =0, 可得cos C =12，即可得解C 的值．（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：(1) △ABC 中，∵ 2cos C (a cos C +c cos A )+b =0，由正弦定理可得2cos C (sin A cos C +sin C cos A )+sin B =0，∴ 2cos C sin (A +C )+sin B =0，即2cos C sin B +sin B =0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12，即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【答案】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC → =mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14．(2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3，得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3，当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用向量的加法及其几何意义向量的模【解析】【解答】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC →=mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14． (2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3，得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3，当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【答案】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称 ∴ f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即log 121−ax x−1=−log 121+ax −x−1，化简得：1−a 2x 21−x 2=1，a 2x 2=x 2，在函数定义域内恒成立，∴ a 2=1，∴ a =±1，当a =1时，1−ax x−1=−1不合题意；当a =−1时，f (x )=log 121+x x−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意． ∴ a =−1.(2)∵ a =−1，∴ f(x)=log 121+x x−1，∵ 当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立， ∴ log 121+x x−1+log 12(x −1)=log 12(1+x)<m 恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【考点】函数恒成立问题对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值对数函数的定义域对数及其运算奇函数【解析】（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得（2）根据对数函数的单调性即可求出【解答】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称∴f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即log121−axx−1=−log121+ax−x−1，化简得：1−a 2x21−x2=1，a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，∴a2=1，∴a=±1，当a=1时，1−axx−1=−1不合题意；当a=−1时，f(x)=log121+xx−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意．∴a=−1.(2)∵a=−1，∴f(x)=log121+xx−1，∵当x∈(1, +∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，∴log121+xx−1+log12(x−1)=log12(1+x)<m恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【答案】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式三角形的面积公式三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【答案】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）总面积为xy＝3000，且2a+6＝y，则y=3000x ，a=y2−3=1500x−3（其中6<x<500），从而运动场占地面积为S＝(x−4)a+(x−6)a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S＝3030−6x−15000x =3030−(6x+15000x)，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【答案】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）.所以m≥12，即m的最小值为12.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）. 所以m≥12，即m的最小值为12.。

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案

2021年高三上学期10月综合测试数学试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟第I卷选择题（共50分）一．选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的,请将正确答案填到答题卡的相应位置）1.设集合},yy=x-A x则<xxB22,]2,0[{},={∈1=(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)2.给出下列两个命题，命题“”是“”的充分不必要条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域为(A) (B) (C) (D)5.已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是,.（A）（B）（C）（D）6.定义在R上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f （x）＜07.若对任意的恒成立，则的最大值是（A）4（B）6（C）8（D）108.已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是(A) (B) (C) (D)9.已知函数，则函数的大致图象为10.直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二．填空题（每小题5分，共25分。

请把答案填在答题卡上）11.当时，函数的图像恒过点A，若点A在直线上，则的最小值为________12.已知对于任意的x∈R，不等式|x﹣3|+|x﹣a|＞5恒成立，则实数a的取值范围是________13.若，则= ___________．14.已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．15.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.三．解答题（满分75分。

2021年高三上学期10月月考理数试题含答案

2021年高三上学期10月月考理数试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则集合（）A ．B ．C ．D ．2．若，则下列不等式中不成立的是（）A ．B ．C ．D ．3．函数的零点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设，，，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列中，，，计算，由此推测通项6．已知函数的导函数为，且满足，则（）A ．B ．C ．D ．7．函数的定义域和值域都是，则( )A ．B ．C ．D ．8．函数满足，那么函数的图象大致为（）9．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，，则有（）A ．且B ．或C ．D ．10．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上11．．12．设实数满足则的最大值为．13．观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为．14．在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为、．15．下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则”；②若命题，则；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④命题“若，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知集合，，．(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)若，求实数的取值范围．17．（本题满分12分）设命题：函数在上是增函数，命题：，如果是假命题，是真命题，求的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数．(Ⅰ)若函数的图象在处的切线方程为求的值；(Ⅱ)若函数在上是增函数，求实数的最大值．19．（本题满分12分）已知二次函数．(Ⅰ)若且函数的值域为求函数的解析式；(Ⅱ)若且函数在上有两个零点，求的取值范围．20．（本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值(精确到，参考数据：取)．21．（本题满分14分）设，函数．(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)设问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为．证明：．高三数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：ABADA BCCBD二、填空题：11．8 12．4 13．14．4，12 15．②③三、解答题16.解：(Ⅰ)由，得．…………………………2分由不等式得所以．…………………………4分所以．…………………………6分(Ⅱ)因为，所以，…………………………8分所以…………………………9分解得．…………………………11分所以，实数的取值范围是．…………………………12分17．解：∵函数在上是增函数，∴，…………………………2分由得方程有解，………………4分∴，解得或…………………………5分∵是假命题，是真命题，∴命题一真一假，…………………………6分①若真假，则∴；…………………………8分②若假真，则解得，…………………………10分综上可得的取值范围为…………………………12分18．解：(Ⅰ)∵∴．于是由题知解得．…………………………2分∴．∴，于是，解得．…………………………4分(Ⅱ)由题意即恒成立，∴恒成立；……………6分减函数极小值增函数∴…………………………11分∴．∴的最大值为…………………………12分19．解：(Ⅰ)因为所以…………………………2分因为函数的值域为所以方程有两个相等的实数根，…………………………3分即有等根，故．…………………………5分所以；…………………6分(Ⅱ)解法一：因为在上有两个零点，且，所以有……8分(图正确，答案错误，扣2分)通过线性规划可得．……12分(若答案为，则扣1分)解法二：设的两个零点分别为，所以；…………8分不妨设，因为，且，所以,…………………………10分因为，所以．…………………………12分20．解：(Ⅰ)因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为…………………………2分当时，令，解得，所以．当时，令，解得，所以．于是得，…………………………5分即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达8天．…………………………6分(Ⅱ)设从第一次喷洒起，经天，浓度．…………………………8分因为，而，所以，…………………………10分故当且仅当时，有最小值为．令，解得，…………………………12分所以的最小值为．…………………………13分21．解：在区间上，．…………………………1分(Ⅰ) ．(1)当时，∵，∴恒成立，的单调增区间为；………2分(2)当时，令，即，得∴的单调增区间为…………………………3分综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为…………………………4分(Ⅱ)得…………………………5分当时，恒有∴在上为单调增函数，故在上无极值；…………………………6分当时，令，得单调递增，单调递减．∴无极小值…………………………8分综上所述：时，无极值时，有极大值无极小值．…………………………9分29922 74E2 瓢25903 652F 支{28051 6D93 涓>31261 7A1D 稝11[~29029 7165 煥p31708 7BDC 篜21076 5254 剔20099 4E83 亃。

2021年高三10月月考数学试题

2021年高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a 的值．解答：解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为一．点本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面评：内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出510°的正弦值，即可求出m．解答：解：因为510°终边经过点P（m，2），所以sin510°=，所以sin150°=，即sin30°==，解得m=±2．因为510°是第二象限的角，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．4．（5分）（xx•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出|+|的解析式，再求出•的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，•=（1，1）•（2，n）=2+n，由题意知9+（n+1）2=n2+4n+4，∴n=3，故答案为3．点评：本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．解答：解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为72点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤．6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．考点：直线与平面垂直的性质．分析：由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．解答：解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；故答案为：①④点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．8．（5分）（xx•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答：解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y 轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．解答：解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S xx为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴==∴S xx=++…+=1﹣++…+=1﹣=故答案为点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．考根的存在性及根的个数判断．点：专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x1，x2，x3，的取值范围．解答：解：不妨设x1＜x2＜x3，当x≥0时f（x）=（x﹣2）2+2，此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，作出函数f（x）的图象如图：由2x+4=2得x=﹣1，由f（x）=（x﹣2）2+2=4时，解得x=2或x=2，所以若f（x1）=f（x2）=f（x3），则﹣1＜x1＜0，，且，即x2+x3=4，所以x1+x2+x3=4+x1，因为﹣1＜x1＜0，所以3＜4+x1＜4，即x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=．考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （3，0），C（﹣1，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x= 上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（，），由条件，得（，）=λ（3，0）+μ（﹣1，）=（3λ﹣μ，），∴，解得λ=，μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a 的值为或1．考点：数列递推式．专题：综合题；分类讨论．分析：由a1=a∈（0，1]，知a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，=a，解得．当时，，==a．解得a=1．解答：解：∵a1=a∈（0，1]，∴a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，则a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，则，∴，解得．当时，，∴=．∴=a，解得a=1．综上所述，，或a=1．故答案为：或1．点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（xx•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，．（2）在△ABM中，由余弦定理得①，在△ABC中，由正弦定理可得②，由①②解得a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π﹣2A，又sinA=﹣cosC得，sinA=cos2A，即2sin2A+sinA﹣1=0，解得，sinA=﹣1（舍）．故，．（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得，即．①在△ABC中，由正弦定理得，即．②由①②解得．故．点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点．16．（15分）（xx•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出a n．（II）由2b n=（n+1）a n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=﹣8，∴a n=﹣8+（n﹣1）×2=2n﹣10，（II）由2b n=（n+1）a n，b n=n2+n+=（n+）2﹣（）2，由题意得：≤﹣≤，∴﹣22≤a≤﹣18．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）某企业拟在xx年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知xx年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将xx年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业xx年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2∴当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150% 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费即（2），此时t=7，y max=42．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，得，故函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．当0＜x＜1时，，，令h'（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．…（16分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用S n∈A 得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；当a≥1时，A={x|﹣2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则1+2++n==28，所以n=7，即a∈[7，8）（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以S n随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的n∈N+，S n∈A，只须a满足解得．当a＜﹣1时，A={x|a≤x≤1}．而S3﹣a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．当a=﹣1时，A={x|﹣1≤x≤1}．S2n﹣1=﹣1，S2n=0，适合．⑤当﹣1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n（1+a）＞S2n﹣1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，∴S2n﹣1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n﹣2＜…＜S4＜S2．故只需即解得﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围是．点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论．注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用．三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．考点：直线的参数方程；圆的参数方程．专题：探究型．分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离．解答：解：将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．将直线转化为普通方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断．将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键．22．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解．解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用解：O为原点，、、方向为X轴、Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），，则，∵，，要使，则，即（2﹣2λ）﹣4λ=0，∴，∴存在∴，使点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题．23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（Ⅱ）由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则．所以，该产品不能销售的概率为．…（4分）（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160．…（5分），，，，．…（10分）所以X的分布列为X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160P…（11分）E（X）==40 所以，均值E（X）为40．…（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤xx，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题．分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，化简求解，利用n 为自然数求出所有的n的个数．解答：解：（1）∵为常数项，∴=0，即n=18；…..（3分）（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，依组合数的定义展开并整理得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2=0，故，…..（6分）则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m﹣2，代入整理得，，∵442=1936，452=2025，故n的取值为442﹣2，432﹣2，…，32﹣2，共42个．…..（10分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．35787 8BCB 诋R34362 863A 蘺FL25155 6243 扃40252 9D3C 鴼T32214 7DD6 緖<O30428 76DC 盜n。

2021年高三10月月考数学试卷含解析

2021年高三10月月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1．抛物线y=4x2的焦点坐标是．2．复数z满足iz=|1﹣i|，则z的虚部为．3．运行如图所示的程序，输出的结果是．4．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为．5．为了了解某次参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是．6．命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是．7．已知+=2，则a= ．8．在等比数列{an }中，已知a1=1，ak=243，q=3，则数列{an}的前k项的和Sk= ．9．求值：4sin20°+tan20°=．10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余．11．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．12．若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则+的最小值是．13．将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位长度，所得图象与g（x）=cosωx的图象重合，则正数ω的最小值是．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；（2）若∥，求sin（2θ+）的值．16．（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且=λ．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．17．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n=（a n﹣1）（a n+2），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（16分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．19．（16分）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．20．（16分）设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．A.（附加题A.）[选修4-2：矩阵与变换]21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．六、[必做题]第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=，M为PC的中点．（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．24．（10分）若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n为“n个好数”．（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．xx学年江苏省南京一中实验学校高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1．抛物线y=4x2的焦点坐标是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为【点评】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．2．复数z满足iz=|1﹣i|，则z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由iz=|1﹣i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由iz=|1﹣i|，得=，则z的虚部为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．运行如图所示的程序，输出的结果是﹣1．【考点】赋值语句．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；a=1，b=2，a=1+2=3，b=2﹣3=﹣1；输出b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了程序语言的语言问题，是基础题目．4．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，由此利用对立事件概率计算公式能求出院校A、B至少有一所被选择的概率．【解答】解：甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则基本事件总数n=3×3=9，院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，∴院校A、B至少有一所被选择的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．5．为了了解某次参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是2．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N个个体进行编号；（2）将整个编号按k分段，当为整数时，k=；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N′能被n整除，本题中学生总数不能被容量整除，故应从总体中随机剔除个体，保证整除即可．【解答】解：学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除．∵1252=50×25+2，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为：2．【点评】本题考查系统抽样，系统抽样的步骤，得到总数不能被容量整除时，应从总体中随机剔除个体，保证整除是解题的关键，属于基础题．6．命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是若α不是锐角，则sinα≤0．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】探究型．【分析】根据否命题与原命题之间的关系求解即可．【解答】解：根据否命题的定义可知，命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是：若α不是锐角，则sinα≤0．故答案为：若α不是锐角，则sinα≤0．【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．7．（xx•海门市校级模拟）已知+=2，则a=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．【解答】解：，可化为log a2+log a3=2，即log a6=2，所以a2=6，又a＞0，所以a=．故答案为：．【点评】本题主要考查对数的运算性质及其应用，考查运算能力，熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的基础．8．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=364．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入a k=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；【点评】此题主要考查等比数列前n项和公式，直接代入公式进行求解，会比较简单；9．求值：4sin20°+tan20°=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系切化弦后通分，再利用二倍角的正弦函数公式化简，利用和差化积公式及特殊角的三角函数值化简后，利用诱导公式及和差化积再化简，即可求出值．【解答】解：4sin20°+tan20°=4sin20°+======．故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用和差化积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是④．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：①如果α⊥β，那么α与β一定相交，所以在α内一定存在直线平行于β；正确；②如果α不垂直于β，α，β又不同，那么α与β相交不垂直或者平行，所以α内一定不存在直线垂直于β；正确；③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，可以得到l⊥γ；故③正确；④如果α⊥β，l与α，β都相交，当l与交线垂直时，l与α，β所成的角互余；当直线l与交线不垂直，l与α，β所成的不角互余；故④错误；故答案为：④．【点评】本题考查了空间平面的位置关系；熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理是正确选择的关键．11．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），∴=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos（70°﹣10°）=cos60°=．||==1，同理=1．∴|﹣2|===．故答案为：．【点评】本题考查了数量积运算及其性质、向量模的计算公式，属于基础题．12．若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则+的最小值是3．【考点】基本不等式．【专题】转化法；不等式．【分析】由题意：x+y+z=1，那么，利用基本不等式求解．【解答】解：由题意：x、y、z＞0，满足x+y+z=1．则+==1+当且仅当z=x+y=时，取等号．∴+的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了基本不等式的变形化简能力和运用能力．属于基础题．13．将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位长度，所得图象与g（x）=cosωx的图象重合，则正数ω的最小值是6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【解答】解：将f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，可得y=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣ω）的图象，根据所得图象与函数y=cosωx的图象重合，可得﹣ω•=2kπ+，即ω=﹣8k﹣2，k∈Z，故当k=﹣1时，ω取得最小值为6，故答案是：6．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．14．（xx春•宜春校级期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围为[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．【解答】（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）（xx•南京二模）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；（2）若∥，求sin（2θ+）的值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式列式并化简，得sinθcosθ=．再由同角三角函数的平方关系，可得（sinθ+cosθ）2的值，结合θ为锐角，开方即得sinθ+cosθ的值；（2）根据两个向量平行的充要条件列式，化简得tanθ=2．再由二倍角的正、余弦公式，结合弦化切的运算技巧，算出sin2θ和cos2θ的值，最后根据两角和的正弦公式，可得sin（2θ+）的值．【解答】解：（1）∵•=2+sinθcosθ=，∴sinθcosθ=．∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=．又∵θ为锐角，∴sinθ+cosθ=（舍负）．（2）∵∥，∴2×cosθ=sinθ×1，可得tanθ=2．∴sin2θ=2sinθcosθ===，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===﹣．所以sin（2θ+）=sin2θ+cos2θ=×+×（﹣）=．【点评】本题以平面向量数量积运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题．16．（14分）（xx•南通模拟）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且=λ．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题．【分析】（1）因为EF∥平面ABD，所以EF⊂平面ABC，EF∥AB，由此能够求出实数λ的值．（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，由此能够证明平面BCD⊥平面AED．【解答】解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，所以EF∥AB，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，又AE∩DE=E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED，而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AED．【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．17．（14分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n =（a n ﹣1）（a n +2），n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（﹣1）n a n a n +1，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）n=1，先求出a 1，利用条件再写一式，两式相减，可得a n ﹣a n ﹣1=1，从而可求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }的前2n 项的和T 2n =﹣a 1a 2+a 2a 3﹣…+a 2n a 2n +1=2（a 2+a 4+…+a 2n ），又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列，从而可得结论．【解答】解：（1）当n=1时，S 1=（a 1﹣1）（a 1+2），所以a 1=﹣1或a 1=2，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1=2 …（2分）当n ≥2时，S n =（a n ﹣1）（a n +2），S n ﹣1=（a n ﹣1﹣1）（a n ﹣1+2），两式相减得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，…（6分）又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1=1，所以a n =n +1； …（8分）（2）因为b n =（﹣1）n a n a n +1，所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n =﹣a 1a 2+a 2a 3﹣…+a 2n a 2n +1=2（a 2+a 4+…+a 2n ），…（11分）又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列，所以a 2+a 4+…+a 2n ==n 2+2n ，故T 2n =2n 2+4n ． …（14分）【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查数列递推式，确定数列的通项是关键．18．（16分）（xx •岳阳模拟）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率，例如：．（1）求g （10）；（2）求第x 个月的当月利润率g （x ）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】应用题．【分析】（1）当1≤x ≤20时，f （x ）=1，易知f （1）=f （2）=f （3）=…=f （9）=f （10）=1，从而知（2）求第x 个月的当月利润率，要考虑1≤x ≤20，21≤x ≤60时f （x ）的值，代入即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f （1）=f （2）=f （3）=…═f （9）=f （10）=1g （x ）===．（2）当1≤x ≤20时，f （1）=f （2）═f （x ﹣1）=f （x ）=1∴g （x ）====．当21≤x ≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【点评】本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．19．（16分）（2011•镇江一模）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x 轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题．【分析】（1）由椭圆E的离心率为，知a=2k，c=，b2=2k2，即椭圆E：，把点代入得k2=2，由此能求出椭圆E方程和圆的方程．（2）椭圆E的右准线l的方程为x=4．设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．由此能求出定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上．【解答】（1）解：∵椭圆E：的离心率为，∴a=2k，c=，b2=2k2，∴椭圆E：，把点代入得k2=2，∴椭圆E方程：．圆的方程：x2+y2=4（2）证明：椭圆E的右准线l的方程为x=4．设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．∵NM与NQ的比是常数且Q不同于M，∴NQ2=λNM2，λ是正的常数（λ≠1），即（x0﹣x）2+（y0﹣y）2=λ（x0﹣4）2+λ（y0﹣t）2，即x02+y02﹣2xx0﹣2yy0+x2+y2=λ（x02+y02+16+t2﹣8x0﹣2ty0）．将x02+y02=4代入，有﹣2xx0﹣2yy0+x2+y2+4=﹣8λx0﹣2λty0+（20+t2）λ．又∵有无数组（x0，y0），∴，由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2﹣（20+t2）λ+4=0，∴（λ﹣1）[（16+t2）λ﹣4]=0．又∵λ≠1，∴λ=，即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值．将16+t2=代入③，得x2+y2+4=（+4）λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即（x﹣）2+y2=，故点Q在圆心（，0），半径为的定圆上．定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．20．（16分）（2011•镇江一模）设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）求导，令f′（x）=0得x=或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F （a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．（3）把连等式分成两个不等式x+m﹣g（x）≥0和f（x）﹣x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）2+2x（x﹣1）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），x＞0．令f′（x）=0，得x=或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表∴当x=时，有极大值f（）=，当x=1时，有极小值f（1）=0．（2）由（1）知：f（x）在（0，]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，①0＜a≤时，F（a）=a（a﹣1）2，G（a）=（a﹣1）2≥特别的，当a=时，有G（a）=，②当＜a≤1时，F（a）=f（）=，G（a）=≥特别的，当a=1时，有G（a）=，由①②知，当0＜a≤1时，函数的最小值为．（3）由已知得h1（x）=x+m﹣g（x）=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，∵，∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，∴当h1（1）=m﹣t﹣1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，同样，h2（x）=f（x）﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，∵h′2（x）=3x（x﹣），∴x∈（0，）时，h′2（x）＜0，x∈（，+∞），h′2（x）＞0，∴x=时，h2（x）取极小值，也是最小值，∴=﹣﹣m≥0，m≤﹣时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴t+1≤m≤﹣，∵实数m有且只有一个，∴m=﹣，t=．【点评】本题了考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0则a是极大值点；a的左侧f'（x）＜0，a的右侧f'（x）＞0则a是极小值点；求F（a）时，要分类讨论，在求参数的范围时，经过两次转化为求函数的最值，使问题得以解决．A.（附加题A.）[选修4-2：矩阵与变换]21．（xx•南通模拟）求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】数形结合；转化思想；矩阵和变换．【分析】将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论．【解答】解：设曲线|x|+|y|=1上（x0，y0）在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），∴[]=[]，即x0=x，y0=3y，代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1；当x≥0，y≤0时，方程等价于x﹣3y=1；当x≤0，y≥0时，方程等价于﹣x+3y=1；当x≤0，y≤0时，方程等价于﹣x﹣3y=1，其图象为菱形ABCD，则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为×2×=．【点评】此题考查了几种特殊的矩形变换，确定出变换后的曲线方程是解本题的关键．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（xx•江苏模拟）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】求出曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，直线的参数方程为普通方程，利用圆心距半径半弦长满足勾股定理求解弦长即可．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，圆心为（1，1），半径为，（3分）直线的直角坐标方程为x﹣y﹣=0，所以圆心到直线的距离为d==，（8分）所以弦长=2=．（10分）【点评】本题考查极坐标与参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．六、[必做题]第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）（xx•江苏模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=，M为PC的中点．（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）建立坐标系设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．求解得出COS＜，＞=即可得出夹角．（2）求解平面PCD的法向量为1=（x1，y1，z1），平面PAD的法向量为=（x2，y2，z2），利用cos＜，＞=，得出sin＜，＞=．即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．【解答】解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），B（0，﹣，0），D（0，，0），P（﹣1，0，），所以M（0，0，），=（0，，﹣），=（1，﹣，﹣），COS＜，＞===0，所以异面直线PB与MD所成的角为90°．（2）设平面PCD的法向量为1=（x1，y1，z1），平面PAD的法向量为=（x2，y2，z2），因为=（﹣1，，0），=（1，，﹣），=（0，0，﹣），由即令y1=1，得出=（，1，），由令y2=﹣1，得=（，﹣1，0），所以cos＜，＞===，所以sin＜，＞=．即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．【点评】本题考查了空间向量解决直线与直线的夹角，平面于平面的夹角，关键是准确求解向量的坐标，数量积，属于中档题．24．（10分）（xx•江苏模拟）若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n为“n个好数”．（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．【考点】进行简单的合情推理．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）利用新定义，分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）利用数学归纳法进行证明即可．【解答】解：（1）当n=2时，取数a1=1，a2=2，因为=3∈Z，当n=3时，取数a1=2，a2=3，a3=4，则=﹣5∈Z，=﹣7∈Z，=﹣3∈Z，即a1=2，a2=3，a3=4可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当n=2，3时均存在，②假设命题当n=k（k≥2，k∈Z）时，存在k个不同的正整数a1，a2，…，a k，使得对任意1≤i＜j≤k，都有∈Z成立，则当n=k+1时，构造k+1个数A，A+a1，A+a2，…，A+a k，（*）其中A=1×2×…×a k，若在（*）中取到的是A和A+a i，则=﹣﹣1∈Z，所以成立，若取到的是A+a i和A+a j，且i＜j，则=+，由归纳假设得∈Z，又a j﹣a i＜a k，所以a j﹣a i是A的一个因子，即∈Z，所以=+∈Z，所以当n=k+1时也成立．所以对任意正整数，均存在“n个好数”．【点评】本题考查新定义，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22614 5856 塖20912 51B0 冰22252 56EC 囬34307 8603 蘃28503 6F57 潗33414 8286 芆<3D25015 61B7 憷39581 9A9D 骝23060 5A14 娔24931 6163 慣37795 93A3 鎣。

2021年高三数学10月月考试题苏教版

EP 2021年高三数学10月月考试题苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1.若集合，且，则实数的值为 ▲ .2.已知为虚数单位，若，则的值是 ▲ .3.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 ▲ .4.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是 ▲ .5. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ▲ .6.已知，则的值等于 ▲ .7. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若,则= ▲ .8．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中，E ，F分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥A1—B1EF 的体积为 ▲ .9. 在直角三角形中，,则的值等于___▲_____.10.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 ___▲_____. 11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)>f(a)，则实数a 的取值范围是___▲_____． 12．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是___▲_____ ．13.已知函数若方程|f(x)|=a 有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ . 14．若的内角,满足,则的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，．（1）求的值；（2）求函数的值域．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC 平面ABC ，，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且．开始k ←1 S ←0S ＜k ←k ＋2S ←S ＋YN 输出结束(第5题)求证：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC．17、（本小题满分14分）某园林公司计划在一块以O为圆心，R(R为常数，单位为米)为半径的半圆形地上种植花草树木，其中阴影部分区域为观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．如图所示．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．(1)设∠COD＝θ(单位：弧度)，用θ表示阴影部分的面积S阴影＝f(θ)；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．（第18题）19．（本题满分16分）已知等比数列的公比，前项和为成等差数列，数列的前项和为，其中。

2021-2021中学高三上学期10月月考数学试题(解析版)数学高三第一学期期末

2021-2021中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）数学高三第一学期期末20XX-2021中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：，且：，据此有：.本题选择D选项.2．若集合,集合,则图中阴影部分表示A.B.C.D.【答案】A 【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是：；又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3．设，是非零向量，“”是“”的（）A.充分而不必要条B.必要而不充分条C.充分必要条D.既不充分也不必要条【答案】A 【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条，故选A.【考点】充分必要条、向量共线.4．设,,则A.B.C.D.【答案】A 【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小.【详解】因为，，，所以，故选：A.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般.利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：.5．若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A．9B．4C．D．【答案】A 【解析】圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得 =（）（a+b）=5+≥5+2 当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6．函数在的图像大致是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是A.B.C.D.【答案】D 【解析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，，设异面直线与所成的角为, 则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B 【解析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2，转化为cosA，整理即可判断△ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵cos2，∴ ∴1+cosA1，即cosA，∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0，∴C为直角．故选：B．【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．10．如图，在中，已知，，，，则A.-45B.13C.-13D.-37 【答案】D 【解析】先用和表示出再根据，用用和表示出，再根据求出的值，最后将的值代入，从而得出答案．【详解】∵，∴ 整理可得：，∴，∴ 故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．11．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．【考点】1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．12．设函数的定义域为，若满足条：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）【答案】C 【解析】∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]，∴f （x）在[a，b]上是增函数；∴ ，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx 在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g （x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．点睛：由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决二、填空题13．已知向量,的夹角为,且,则=______．【答案】【解析】将待求向量的模长平方后再开方，中间根据数量积计算公式计算.【详解】.【点睛】本题考查向量模长的计算，难度较易.计算两个向量相加或者相减所得到的向量的模长，可通过先将模长平方再开方，中间利用数量积公式和已知条去计算结果.14．若x，y满足约束条，则z=3x﹣4y的最小值为________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．【详解】由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点A（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将A的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a2＝b2+c2bc，sinC＝2cosB，则B的大小为________________ 【答案】【解析】先根据余弦定理求解的值，然后利用三角恒等变换求解的大小.【详解】因为，所以，所以，所以；又，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，难度一般.三角形中已知一个角，给出另外两个角的三角函数关系时，可通过将角度统一然后利用辅助角公式等完成角度的求解.16．已知函数,则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号函数的单调递增区间是；函数的图像关于点对称；函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称,则m的最小值是；若实数m使得方程在上恰好有三个实数解,,,则．【答案】①③④ 【解析】先利用辅助角公式将函数化简，然后再从单调区间、对称中心、图象平移、函数与方程四个方面逐项分析.【详解】，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；因为，所以不是对称中心，故错误；的图像向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，所以时，，故正确；因为，作出在上的图象如下图所示：与有且仅有三个交点：所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；故填写：①③④.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用，难度一般.（1）的对称中心处所对应的函数值为，对称轴处所对应的函数值为最值；（2）分析方程的解的个数时，可以借助两个函数图象的交点个数来分析.三、解答题17．已知,,且函数．求的对称轴方程；在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,求b的值．【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）根据向量坐标形式下的数量积运算写出表达式，然后再根据对称轴公式求解对称轴；（2）先根据条计算的值，再根据正弦定理计算的值.【详解】解：,令, 可得,即的对称轴方程为,；,,得, 当时,,,, 由正弦定理可得,．【点睛】本题考查向量数量积、三角恒等变换、解三角形的综合应用，难度一般.（1）辅助角公式的运用要熟练：；（2）利用正、余弦定理去解三角形时注意边角关系的对应.18．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁10 合计 70100（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.附：，0.100 0.050 0.025 0.0102.7063.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关（3）【解析】试题分析：（1）根据条中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．（2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事，即可求出概率．试题解析：（1）（2）所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事是：，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事：，，，，，，所以所求概率是.19．在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线L：,曲线C 的参数方程为（为参数）求直线L和曲线C的普通方程；在曲线C上求一点Q,使得Q到直线L的距离最小,并求出这个最小值【答案】（1）直线L的普通方程为：；曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1；（2）点Q坐标为，距离最小值为2.【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化得到的普通方程，根据圆的参数方程相关知识得到的普通方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性计算点到直线距离的最小值.【详解】解：（1）∵直线L：ρcosθ-ρsinθ+1=0，∴直线L的普通方程为：，∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x-5）2+y2=1．（2）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：，当时，即，dmin=2，此时点Q坐标为．【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式；（2）求解曲线上一点到直线的距离最值，常用的方法是：设出点的参数形式（三角函数形式更方便），利用点到直线的距离公式结合三角函数中的辅助角公式即可计算出对应的距离最值，同时注意取等号的条.20．已知函数，．（）解不等式．（）若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条说明{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【详解】（）由，得，∴，得不等式的解为．故解集为：（）因为任意，都有，使得成立，所以，又，，所以，解得或，所以实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴ ．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。

高三数学上学期10月第一次统测试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校涟水2021届高三10月质量检测数学〔理科〕试题一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分〕 1.：A=(){}0,=+y x y x ，B=(){}2,=-y x y x ，那么A∩B=_________.2.曲线32y x x =-在点〔1,－1〕处的切线方程是． 3.“32,10x R x x ∀∈-+<〞的否认是〔用数学符号表示〕.4.计算sin 390︒=。

5.函数y ＝ln(x-1)的定义域为6.假设函数()f x 是周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，那么(8)(14)f f -=.7.函数()()sin cos 2f x f x x π'=+，那么()4f π=.8.假设函数2log 1y ax =-的图象对称轴是直线2x =，那么非零实数a 的值是.9.:13p x -≤:2q x ≥-，或者4x ≤-，p 是q〔“充分不必要条件〞、“必要不充分〞、“充要条件〞、“既不充分也不必要条件〞〕.10.设函数2,0()(3)2,0x x f x f x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么(9)f =.11.函数(0)()(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，那么的取值范围是.12.函数[]2()2f x x x x a b =-∈，，的值域为[]13-，，那么b a -的取值范围是．13.对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++，定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数。

假设方程''()0f x =有实数解0x ，那么称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点〞。

有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心。

江苏省淮安市涟水县第一中学2020届高三10月月考数学(理)试题 Word版含答案

涟水一中2019-2020学年度第一学期10月份检测高三理科数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．. 1.集合}4,3,2,1{=A ,}5,4,3{=B ,全集B A U Y =,则集合=)(B A C U I 2.若集合{|2,}x A y y x R ==∈，2{|10}B x x =-<，则A B =U __________3. 命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是_____________________4. 命题“(1,2)x ∃∈时，满足不等式240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围5.函数3()log (13)f x x =-的定义域为 6.下列函数中，值域为[0,3]的函数是________．(填序号)①21(10)y x x =-+-≤≤； ②3sin y x =；③22(01)y x x x =+≤≤；④y =7.计算2ln3325(0.125)e -++的结果为8. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上是减函数．若0)1()12(<++f a f ，则实数a 的取值范围是9. 已知分段函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln g x x =,那么函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为________10. 若函数()()42,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是__________11. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，那么不等式 ()f x x >的解集用区间表示为_________________12. 函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，πcos ,02,2()1,20,2x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩-≤≤ 则((15))f f 的值为13．若函数x x x f cos sin )(+=，)(x f '是)(x f 的导函数，则函数)()()()(2x f x f x f x F +'=的最大值是14. 已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则满足()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭的0x 的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分) 设集合1{|39}27x A x =≤≤，21{|log , 16}4B y y m x x ==+≤≤． ()1当A B B =U 时，求实数m 的取值范围；()2当A B ≠∅I时，求实数m 的取值范围．16．(本小题满分14 分)已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且（1）当2a =时，求不等式1()2f x >的解集；（2）当3a =时，求方程27()(3)5f f x x⋅=-的解；（3）若(31)()f a f a ->，求实数a 的取值范围。

江苏省淮安市涟水县第一中学2021届高三数学10月月考试题.doc

江苏省淮安市涟水县第一中学2021届高三数学10月月考试题考试时间：120分钟总分150分一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1．已知全集2,1,0,1,2U ，集合{}1,2A =，{}2,1B =--，则()UB A =（）A ．{}0B ． {}1,1-C ．{}1,0,1-D ． {}2,1,0,1,2--2．命题“∀x∈R，都有ln(x 2+1)>0”的否定为（） A ．∀x∈R，都有ln(x 2+1)≤0 B ． ∀x∈R，都有ln(x 2+1)<0 C ．∃x 0∈R，都有ln(x 02+1)≤0 D ． ∃x 0∈R，都有ln(x 02+1)>03．“ln(1)0x +<”是“1x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1f f e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．2C ．e ﹣1D ．15．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位,得到函数()y f x =的图象,则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（）A ．奇函数B ．周期是2πC ．关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．对称关于直线12x π=对称 7．设函数()f x 的导函数是()f x '.若()()2cos f x f x x π'=-，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．32C ．12D ．3 8．己知函数()()log 1201a y x a a =-+>≠且恒过定点A ，若直线2mx ny +=过点A ，其中m,n 是正实数，则12m n+的最小值是( ) A ．32B ．92C ．322+D ．5二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分。

2021-2022年高三(上)10月月考数学试卷

2021年高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（xx•江苏模拟）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N={x|2＜x＜3} ．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，然后再求集合M∩N．解答：解：∵M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．点评：本题考查集合的运算和对数函数的定义域，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．2．（5分）已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=6．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由已知中=3+i，可得a+bi=（3+i）•（2﹣i），由复数乘法运算法则，求出（3+i）•（2﹣i）后，根据复数相等的充要条件，可以分别求出a，b的值，进而得到a+b的值．解答：解：∵=3+i∴a+bi=（3+i）•（2﹣i）=7﹣i ∴a=7，b=﹣1∴a+b=6点评：本题考查的知识点是复数相等的充要条件，复数的基本运算，其中根据复数相等的充要条件求出参数a，b的值，是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B．解答：解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．（5分）（xx•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．（5分）（xx•怀化二模）若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：合情推理的含义与作用．专题：计算题．分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．解答：解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．6．（5分）函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；图表型；数形结合；数形结合法．分析：由函数图象知，函数的最大值是，最小值是，易求出A与K，又由最高点的横坐标与最低点的横坐标求出，即可求出ω，再将点（）代入求出φ即可得到函数的解析式解答：解：由图知，周期，所以ω=2．又，所以k=1．因为，则．由，得sin（2×+φ）=1，即得2×+φ=得．故．故答案为点评：本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）+k的部分图象确定其解析式，解题的关键是从图象的几何特征得出解析式中参数的方程求出参数，求解本题难点是求初相φ的值，一般是利用最值点的坐标建立方程求之，若代入的点不是最值点，要注意其是递增区间上的点还是递减区间上的点，确定出正确的相位值，求出初相，此处易出错，要好好总结规律．7．（5分）（xx•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）= 故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．8．（5分）（xx•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；9．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；分类讨论．分求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半析：径作比较，得出结论，再求弦长即可．解答：解：由题得双曲线x2﹣=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=﹣2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN 达到最小时t的值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，则函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，则函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得最小值为+ln2所以当MN达到最小时t的值为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．11．（5分）函数上的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：用导数判断函数的单调性，由单调性可求最大值．解解：y′=1+2cosx，当x∈[﹣，]时，y′＞0，答：所以y=x+2sinx在[﹣，]上单调递增，所以当x=时，y=x+2sinx取得最大值为：+2sin=+2．故答案为：+2．点评：本题考查函数的单调性，对于由不同类型的函数构成的函数最值问题，常用函数的性质解决．12．（5分）若函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数是4．考点：函数的周期性；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故答案为：4．点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．13．（5分）（xx•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题．分析：法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得，可得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．解答：解：法一：选定基向量，，由图及题意得，= ∴=（）（）=+==法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．点评：本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．14．（5分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0有5个不同的实根，则实数k=0．考点：函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；数形结合．分析：讨论x2﹣1的正负，画出高次函数的图象，观察即可得出答案．解答：解：当x2﹣1≥0时原方程为（x2﹣1）（x2﹣2）=﹣k（x﹣1）（x+1）（x+）（x﹣）=﹣k当x＜0时原方程为（x2﹣1）x2=﹣k（x+1）（x﹣1）x2=﹣k两种情况联立图象为由此可知只有当k=0时，方程才可能有五个不同实根．故答案为0．点评：本题考查了高次方程的解，技巧有把高次方程因式分解，把所有根在数轴上从小到大依次排列，用平滑曲线从右上方开始顺次穿过所有根，值得注意的是如果根所在的因式为偶次曲线穿而不过，像图中的﹣1，0，1处．在x轴上下方的线分别代表y 的值的正负．二、解答题（本大题共6道题，计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（14分）（xx•天津）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．解答：（Ⅰ）解：在△ABC中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A为钝角，从而角B为锐角，∴，，．==．点评：本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力16．（14分）（xx•南通模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．17．（14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED（2）求证：面BED⊥面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）又∵AE∥CD且AE=CD，∴MN、AE平行且相等．∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）∵AN⊄面BED，EM⊂面BED，∴AN∥面BED…（6分）（2）∵AE⊥面ABC，AN⊂面ABC，∴AE⊥AN又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）∵EM⊂面BED，∴面BED⊥面BCD …（14分）点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（16分）开口向下的抛物线y=ax2+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为．（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S max．考点：直线与圆锥曲线的关系；函数最值的应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入，即可用b表示S（b）的表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式必须为0，即（b+1）2+16a=0．∴，代入得：；（2）；令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．19．（16分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a2=8b2，即a2=8（a2﹣c2），所以椭圆E的离心率．（4分）（2）由可设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．（8分）（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则（12分）解得．所以，圆C的方程为（14分）点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．（16分）（xx•兰州一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1 ∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。

2021-2022年高三数学上学期10月月考试题文苏教版

2021年高三数学上学期10月月考试题文苏教版一、填空题：1.设全集为，集合，集合，则(∁)=________▲___2.命题“对，都有”的否定为______▲____，使得3.已知是第二象限角，且则_____________4.等比数列中，，前三项和，则公比的值为或1 ．5.已知向量，，，若，则实数__▲___16.直线被圆截得的弦长等于．7.已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率 ▲ .8. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为________▲_________9.设为正实数，且，则的最小值是 ▲ . 10.函数的单调增区间为______▲________11. 已知函数的图像在点处的切线斜率为，则．12.设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则____▲_____13.已知点和圆，是圆上两个动点，且，则 (为坐标原点)的取值范围是 . [2,22]14. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围 ▲ .二、解答题： 15. 设集合，.（1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．解：（1）（2）15. 设函数2()sin(2++cos cos 6f x x x x x π=）.(1). 已知，求函数的值域； (2). 设为的三个内角，若，求.解：（1）cos ()cos x f x x x x +=+++1122222222＝＝所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为。

（2）==, 所以,又C 为ABC 的内角所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=17.设公比大于零的等比数列的前项和为，且，，数列的前项和为，满足，，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．（Ⅰ）由，得又（，则得)1(23142132111232211+=⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以，当时也满足．（Ⅱ），所以，使数列是单调递减数列，则对都成立，即max )1224(01224+-+>⇒<-+-+n n n n λλ，，当或时，所以．18.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形,60,//,,0=∠=BAD BC AD CD AB ABCD 过水湿周．若△与梯形的面积都为.图① 图② （1）分别求和的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．（1）在图①中，设∠，AB ＝BC ＝a ．则，由于S 、a 、皆为正值，可解得．当且仅当，即＝90°时取等号．所以，的最小值为．在图②中，设AB ＝CD ＝m ，BC ＝n ，由∠BAD ＝60° 可求得AD ＝m ＋n ，，解得．S S mm S m m S 432322332232=≥+=-+，的最小值为．当且仅当，即时取等号．（2）由于，则的最小值小于的最小值．所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案19.已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列.数列前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式; (2)若，求正整数的值；（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.20. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－xx ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值．（2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0，所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立，即（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x2－1＜0；lnx ＜0，则（x2－1）lnx ＞0；当x ≥1时，x2－1≥0；lnx ≥0，则（x2－1）lnx ≥0．因此当x ＞0时，（x2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立．下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x2－1）lnx －k （x －1）2＝（x2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]．设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），h′（x ）＝1x －2k (x ＋1)2＝x2＋2(1－k)x ＋1x(x ＋1)2．记△＝4（1－k ）2－4＝4（k2－2k ）．①当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx ＞k （x －1）2．当x ＞1时，h （x ）＞h （1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx ＞k （x －1）2．又当x ＝1时，（x2－1）lnx ＝k （x －1）2．因此当0＜k ≤2时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．②当△＞0，即k ＞2时，设x2＋2（1－k ）x ＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x ）＝x2＋2（1－k ）x ＋1图像的对称轴为x ＝k －1＞1，又φ（1）＝4－2k ＜0，于是x1＜1＜k －1＜x2．故当x ∈（1，k －1）时，φ（x ）＜0，即h′（x ）＜0，从而h （x ）在（1，k －1）在单调递减；而当x ∈（1，k －1）时，h （x ）＜h （1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1） h （x ）＜0，即（x2－1）lnx ＜k （x －1）2，因此当k ＞2时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 不恒成立．综上，当（x2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立时，k ≤2，即k 的取值范围是（－∞，2]．。

江苏省淮安市涟水县第一中学2020-2021学年高二第一学期数学10月阶段性测试试题【含答案】

江苏省淮安市涟水县第一中学2020-2021学年高二第一学期数学10月阶段性测试试题考试时间为120分钟，满分150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x<0}，则A∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3) 2．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（）A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x R x x ∀∈++≤ C ．2,220x x x ∃∈++>R D ．2,220x x x ∃∈++≥R 3．“5a <”是“3a <”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 4．在等差数列{}n a 中，已知35a =，77a =-，则10a 的值为（）A ．5B ．10-C ．16-D ．19- 5．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（）A ．2B ．12 C ．3 D ．136．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A ．一尺五寸B ．三尺五寸C ．二尺五寸D ．四尺五寸7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是（）A ．4B ．7C ．6D ．5 8．已知正实数a 、b 满足2a b +=，则141a b ++最小值为（） A ．33．4C ．3D ．22二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.若a ＜b ＜0，则下列结论中一定成立的是( )A. |a|＞|b|B. 1a ＞1b C. ac ＞b c D. a 2＋b 2＞2ab 10．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( )A ．8B ．12C ．－8D ．－1211．下列结论正确的是（）A ．当0x >2x x≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245x x -+-的最小值是5 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是9212．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（）A ． 0d >B ．10a <C ．0n S >时n 的最小值为8 D ．当5n =时n S 最小三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．若S n ＝2a n —2，则a 3＝________. 14. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 20=________.15．不等式(a －1)x 2＋2(a －1)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数()24,07,0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，当0x ≥时，不等式()10f x <-的解集是________，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）若不等式ax2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．19.（本小题满分12分）已知{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为,n S 满足312,a =___________.是否存在正整数k ，使得2020k S >？若存在,求k 的最小值;若不存在，说明理由. 从（1）q =2，1(2),2q =（3）q =-2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

2020届江苏省淮安市涟水县第一中学高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)

2020届江苏省淮安市涟水县第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题一、填空题1．集合{1,2,3,4}A =,{3,4,5}B =，全集U A B =⋃,则集合()U C A B ⋂=_________ 【答案】{1,2,5}【解析】计算{}3,4A B =I ，{}1,2,3,4,5U A B ==U ，再计算()U C A B I 得到答案. 【详解】{1,2,3,4}A =,{3,4,5}B =，则{}3,4A B =I ，{}1,2,3,4,5U A B ==U ，故(){1,2,5}U C A B =I . 故答案为：{1,2,5}. 【点睛】本题考查了交并补混合运算，意在考查学生的计算能力.2．设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B U =____．【答案】(1,)-+∞ 【解析】【详解】因为{}0,{|11}A y y B x x ==-<<，所以{|1}A B x x =>-U ，应填答案(1,)-+∞． 3．命题“若21,x <则11x -<<”的逆否命题是______________. 【答案】若11x x ≥≤-或，则21,x ≥【解析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．【详解】∵“x 2＜1”的否定为“x 2≥1”．“﹣1＜x ＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x 2＜1，则﹣1＜x ＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x 2≥1”．故答案为：若11x x ≥≤-或，则21x ≥．【点睛】题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x ＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．4．命题“2000(1,2),+m 40x x x ∃∈+≥满足不等式”是假命题，则m 的取值范围为__________。

【答案】5m ≤-【解析】根据等价命题求解，转化为不等式恒成立的问题．【详解】∵命题“()20001,2,+m 40x x x ∃∈+≥满足不等式”是假命题，∴()x 1,2∀∈，不等式240x mx ++<恒成立．设()2()4,1,2f x x mx x =++∈，则有(1)50()280f m f x m =+≤⎧⎨=+≤⎩，解得5m ≤-，∴实数m 的取值范围为(,5]-∞-．【点睛】解答本题时注意两点：（1）解决问题时，若直接求解不容易时，可从问题的反面考虑，运用“正难则反”的解题方法；（2）解决二次不等式的恒成立问题时，可通过分离参数转化为求函数的最值的问题处理，也可根据一元二次方程根的分布处理． 5．函数3()log (13)f x x =-的定义域为____________ 【答案】1[1,)3-【解析】根据题意得到1202130x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩，解得答案. 【详解】函数3()log (13)f x x =-的定义域满足：1202130x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩，解得113x -≤<. 故答案为：1[1,)3-. 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 6．下列函数中，值域为[0,3]的函数是________．(填序号)①21(10)y x x =-+-≤≤； ②3sin y x =； ③22(01)y x x x =+≤≤；④y =【答案】③【解析】依次计算每个选项的值域得到答案. 【详解】①21(10)y x x =-+-≤≤，函数单调递减，值域为[]1,3，排除； ②3sin y x =，值域为[]3,3-，排除；③22(01)y x x x =+≤≤，函数在[]0,1上单调递增，值域为[]0,3，正确；④y =[)0,+∞，排除.故答案为：③. 【点睛】本题考查了函数的值域，意在考查学生的计算能力. 7．计算2ln33(0.125)e -++的结果为______.【答案】11【解析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+23312-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=7+4 =11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上是减函数．若()()2110f a f ++<，则实数a 的取值范围是___________【答案】()1,-+∞【解析】由题意可得函数()f x 在R 上单调递减，由()()2110f a f ++<得()()()2111f a f f +<-=-，得211a +>-，解出即可．【详解】解：∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上是减函数， ∴函数()f x 在R 上单调递减， ∵()()2110f a f ++<， ∴()()()2111f a f f +<-=-， ∴211a +>-， ∴1a >-，故答案为：()1,-+∞．【点睛】本题主要考查单调性与奇偶性的综合问题，考查单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于基础题． 9．已知函数()244,1,43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln ,g x x =那么函数()()y f x g x =-的零点个数为_______．【答案】3【解析】试题分析：由函数()()y f x g x =-，得()()f x g x =，所以函数()()y f x g x =-的零点的个数记为函数()f x 与函数()g x 的图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数()f x 与函数()g x 的图象（如图所示），结合图象可知，函数()f x 与函数()g x 的图象有三个不同的交点，所以函数()()y f x g x =-有三个零点．【考点】函数的图象与函数的零点个数的判断．【方法点晴】本题主要考查了函数图象的应用及函数的零点的个数判断问题，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，体现了学生灵活应用函数图象解决问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，把函数()()y f x g x =-的零点问题，转化为函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，借助数形结合法求解．10．若函数()()42,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数()()42,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，则函数()f x 在其定义域上是减函数，4202101,52420a a a a a -<⎧⎪∴<<∴≤<⎨⎪-+≥⎩，故答案为21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x>的解集用区间表示为__________．【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞【解析】设0x ＜，则0x -＞，由题意可得222222f x f x x x x x f x x x -=-=---=+∴=--（）（）（）（），（），故当0x ＜时，22f x x x （）．=-- 由不等式f x x （）＞，可得22x x x x ⎧⎨-⎩＞＞，或20 2x x x x ⎧⎨--⎩＜，＞求得3x ＞，或30x -＜＜，故答案为（303，）（，）．-⋃+∞ 12．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．【答案】2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π((15))()cos 242f f f === 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 13．若函数()sin cos f x x x =+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数2()()'()()F x f x f x f x =+的最大值是【答案】max ()1f x =【解析】试题分析：由题()sin cos f x x x =+，则()()()22'()sin ()()'()()sin cos sin sin cos f x cosx x F x f x f x f x x x cosx x x x =-∴=+=+-++2222cos sin cos sin 2sin cos cos 2sin 21)14x x x x x x x x x π=-+++=++=++max ()1f x =【考点】函数的导数，降幂公式，辅助角公式 14．已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则满足()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭的0x 的取值范围为__________．【答案】[,)(,]2662ππππ--U【解析】由题意得函数()f x 是偶函数，且()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则由()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭得06x π>，解出即可．【详解】解：∵()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，∴()()f x f x =，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2y x =和cos y x =-均为增函数，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭， ∴06x π>，∴026x ππ-<<-，或062x ππ<<，故答案为：[,)(,]2662ππππ--U ．【点睛】本题主要考查偶函数的对称性的应用，考查利用函数的单调性解抽象不等式，考查推理能力与转化能力，属于中档题．二、解答题 15．设集合1{|39}27x A x =≤≤，21{|log ,16}4B y y m x x ==+≤≤． ()1当A B B ⋃=时，求实数m 的取值范围； ()2当A B ⋂≠n时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[]2,1--；（2）[]7,4-【解析】()1通过解不等式确定集合A 、B ，再由A B ⊆得等价不等式组，可得结果；()2先有A B ⋂=n 得等价不等式，其补集为答案．【详解】()113927x ≤≤Q，3233x -∴≤≤，32x ∴-≤≤，[]3,2A ∴=-， 1164x ≤≤Q ，2221log log log 164x ∴≤≤，24x ∴-≤≤， 24m y m ∴-≤≤+，[]2,4B m m ∴=-+，A B B Q ⋃=，A B ∴⊆， {2342m m -≤-∴+≥，21m ∴-≤≤-， ∴实数m 的取值范围为[]2,1--；()2若A B ⋂=n ，则22m ->或43m +<-，7m ∴<-或4m >，A B ⋂≠Q n ，74m ∴-≤≤，∴实数m 的取值范围为[]7,4-．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系得等价不等式是解决本题的关键． 16．已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且（1）当2a =时，求不等式1()2f x >的解集；（2）当3a =时，求方程27()(3)5f f x x⋅=-的解；（3）若(31)()f a f a ->，求实数a 的取值范围．【答案】(1) {|x x >;(2) x =81或x =19;(3) 1132a <<或1a >【解析】（1）不等式1()2f x >等价于21log 2x >，根据函数2log y x =的单调性求解；（2）利用对数运算将分程27()(3)5f f x x⋅=-进行化简，然后将log 3x 视作为整体，求出log 3x 的值，从而解决问题；（3）根据函数单调性的情况，对a 进行分情况讨论求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）当a =2时，f （x ）=log 2x , 不等式21log 2x >， {|x x ∴>（2）当a =3时，f （x ）=log 3x ， ∴f （27x）f （3x ） =（log 327﹣log 3x ）（log 33+log 3x ） =（3﹣log 3x ）（1+log 3x ）=﹣5，解得：log 3x =4或log 3x =﹣2，解得：x =81，x =19；（2）∵f （3a ﹣1）＞f （a ）， ①当0＜a ＜1时，函数()log a f x x =单调递增，故0＜3a ﹣1＜a ，解得：13＜a ＜12，②当a ＞1时，函数()log a f x x =单调递减，故3a ﹣1＞a ，解得：a ＞1，综上可得：13＜a ＜12或a ＞1.【点睛】本题考查了对数函数的单调性，对数函数的定义域等知识，解题的关键是熟知对数函数的图像及性质，本题还考查了整体的思想方法和分类讨论的思想方法. 17．已知()23f x x =--，()21n g x x x ax =-．（1）若函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行，求函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程；（2）当()0,x ∈+∞时，()()0g x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）220x y ++=；（2）(],4-∞【解析】（1）分别对()f x 和()g x 求和，利用切点处的导数即为切线斜率列方程求解；（2）先用参变分离法，将()()0g x f x -≥恒成立转化为321a nx x x≤++恒成立，所以只需求出()321(0)h x nx x x x=++>的最小值即可. 【详解】（1）()2f x x '=-，()21n 2g x x a =+'- 因为函数()f x 与()g x 在1x =处的切线平行所以()()11f g '='解得4a =，所以()14g =-，()12g '=-，所以函数()g x 在()()1,1g 处的切线方程为220x y ++=．（2）解当()0,x ∈+∞时，由()()0g x f x -≥恒成立得()0,x ∈+∞时，221n 30x x ax x -++≥即321n a x x x≤++恒成立，设()321n (0)h x x x x x=++>，则()()()2223123x x x x h x x x +='-+-=，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()min 14h x h ==，所以a 的取值范围为(],4-∞．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数恒成立问题，函数在区间上的恒成立常转化为最值问题解决.18．已知函数21()()21x x f x x R -=∈+．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）用定义判断函数()f x 的单调性．（3）解不等式2(1)(1)0f m f m -+-<.【答案】（1）奇函数．（2）见解析（3）()(),21,-∞-⋃+∞ 【解析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；（2）由题意()21212121x x xf x -==-++，然后用作差法判断函数的单调性；（3）由（1）（2）得函数()f x 为奇函数，在R 上单调递增，则()()211f m f m -<-，则211m m -<-，解出即可．【详解】解：（1）因为()()21122112x x x xf x f x -----===-++，所以函数()f x 为奇函数；（2）()21212121x x xf x -==-++，在定义域R 中任取两个实数1x ，2x ，且12x x <，则121222()()(1)(1)2121x x f x f x -=---++21222121x x =-++12212(22)(21)(21)x xx x -=++，因为12x x <，所以12022x x <<，从而()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增；（3）由（1）（2）得函数()f x 为奇函数，在R 上单调递增，所以()()2110f m f m -+-<，即()()211f m f m-<--，所以()()211f m f m -<-，所以211m m -<-，解得2m <-或1m >，所以原不等式的解集为()(),21,-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的定义，考查利用单调性与奇偶性解不等式，考查转化能力与推理能力，属于中档题． 19．已知函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线过点(0,3)，求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在[3,4)上单调递减，求实数m 取值范围；（3）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求实数m 的值．【答案】（1）()2ln f x x x=+（2）[)4,+∞．（3）12m e = 【解析】（1）求导后可得切线方程为()()11y m m x -=--，则()()3101m m -=--，解出即可；（2）由题意得()210mf x x x '=-≤在[)3,4上恒成立，即m x ≥在[)3,4上恒成立，由此可求；（3）()2x mf x x-'=，[]1,x e ∈，分类讨论： ①若1m £，则()f x 在[]1,e 上是增函数，则()()min 312f x f m ===⎡⎤⎣⎦（舍去）； ②若1m e <<，则()f x 在()1,m 上是减函数，在(),m e 上是增函数，min 3[()]()ln 12f x f m m ==+=，解得12m e =（符合）； ③若m e ≥，则()f x 在[]1,e 上是减函数，()()min 3ln 2m f x f e e e ==+=⎡⎤⎣⎦（舍去）．【详解】解：（1）()1f m =，()21mf x x x'=-，()11f m '=-，切线方程为()()11y m m x -=--，又因为切线过点()0,3，所以()()3101m m -=--，解得2m =，所以()f x 的解析式为()2ln f x x x=+；（2）∵()f x 在[)3,4上是减函数，又()21m f x x x'=-， ∴()210m f x x x '=-≤在[)3,4上恒成立，即m x ≥在[)3,4上恒成立，所以实数m 的取值范围为[)4,+∞；（3）由（2）得()2x mf x x-'=，[]1,x e ∈， ①若1m £，则0x m -≥，即在[]1,e 上()0f x '≥恒成立，此时()f x 在[]1,e 上是增函数，所以()()min 312f x f m ===⎡⎤⎣⎦（舍去）； ②若1m e <<，令()0f x '=，得x m =，当1x m <<时，()0f x '<，所以()f x 在()1,m 上是减函数，当m x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(),m e 上是增函数，所以min 3[()]()ln 12f x f m m ==+=，解得12m e =（符合要求）； ③若m e ≥，则0x m -≥，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上是减函数，所以()()min 3ln 2m f x f e e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以12m e =（舍去）；综上：12m e =．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查计算能力与分类讨论思想，属于难题． 20．已知函数()1xxf x e ae-=+-，集合{}20A x x x =-≤.（1）当3a =-时，解不等式()1f x >；（2）若(){}2log 1B x f x =≥，且A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围；（3）当1a >时，若函数()f x 的定义域为A ，求函数()f x 的值域.【答案】（1）()ln3,+∞；（2）23a e e ≥-；（3）当1a e <≤时，()f x 的值域为1,e 1]ea -+-；当2e a e <<时，()f x 的值域为1,]a ；当2a e ≥时，()f x 的值域为[e 1,]ea a +-．【解析】分析：（1）先根据一元二次方程解得e x ＞3，再解对数不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根据A B ⋂≠∅，得log 2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用变量分离法得a≥3e x －e 2x 在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x －e 2x ]min .最后根据二次函数性质求最值得结果,（3）先转化为对勾函数，再根据拐点与定义区间位置关系，分类讨论，结合单调性确定函数值域.详解：（1）当a ＝－3时，由f(x)＞1得e x －3e -x －1＞1，所以e 2x －2e x －3＞0，即(e x －3) (e x ＋1)＞0，所以e x ＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞). （2）由x 2－x≤0，得0≤x≤1，所以A ＝{x|0≤x≤1}. 因为A∩B≠∅，所以log 2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即 f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即e x ＋ae -x －3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3e x －e 2x 在0≤x≤1上有解，即a≥[3e x －e 2x ]min . 由0≤x≤1得1≤e x ≤e ，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a≥3e －e 2. （3）设t ＝e x ，由（2）知1≤t≤e ，记g(t)＝t ＋a t －1(1≤t≤e ，a ＞1)，则()(221t t a g t t t=-='，①时，即a≥e 2时，g(t)在1≤t≤e 上递减，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即()e 1eag t a +-≤≤．所以f(x)的值域为e 1,e a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦.②当1e 时，即1＜a ＜e 2时，g(t)min ＝1，g(t)max =max{ g(1)，g(e)} =max{ a ，e 1ea+-}．1°若a e 1ea>+-，即e ＜a ＜e 2时，g(t)max = g(1)= a ；所以f(x)的值域为1,a ⎡⎤⎣⎦；2°若a e 1e a ≤+-，即1＜a≤e 时，g(t)max = g(e) =e 1ea+-，所以f(x)的值域为1,e 1e a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦．综上所述，当1＜a≤e 时，f(x)的值域为1,e 1e a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦；当e ＜a ＜e 2时，f(x)的值域为1,a ⎡⎤⎣⎦；当a≥e 2时，f(x)的值域为e 1,e a a ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦．点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集φ的对立面（如()f x m >的解集是空集，则()f x m ≤恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即()f x a <恒成立⇔max ()a f x >，()f x a >恒成立⇔min ()a f x <.。