高二年级数学选修课精英班讲义---圆锥曲线

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高二圆锥曲线基本知识点

高二圆锥曲线基本知识点圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们有着广泛的应用和深刻的数学内涵。

本文将介绍高二学生需要掌握的圆锥曲线基本知识点。

一、椭圆椭圆是平面上一个固定点F（焦点）与平面上的一条固定距离之和等于常数2a的动点M（动点到焦点的距离之和等于2a）所构成的图形。

其数学表达式如下：（x - h）² / a² + （y - k）² / b² = 1其中（h，k）为椭圆的中心坐标，a与b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的性质有很多，比如对称性、离心率、焦点与准线等等。

在解决实际问题中，我们可以利用椭圆的性质进行分析和计算。

二、双曲线双曲线是平面上一个固定点F（焦点）与平面上的一条距离之差的绝对值等于常数2a的动点M（动点到焦点的距离之差的绝对值等于2a）所构成的图形。

其数学表达式如下：（x - h）² / a² - （y - k）² / b² = 1其中（h，k）为双曲线的中心坐标，a与b分别为双曲线的半轴长度。

双曲线同样具有很多性质，比如渐近线、离心率、焦点与准线等。

对于双曲线上的点，我们可以通过运用这些性质来求解和描述。

三、抛物线抛物线是一种二次曲线，其形状像一个开口朝上或朝下的U字形。

其数学表达式如下：y = ax² + bx + c其中a，b，c为常数，a不等于0。

抛物线也有很多重要的性质，比如焦点、准线、对称性等。

抛物线在物理学、工程学等领域有广泛的应用，如抛物线轨道、抛物线反射。

四、曲线的参数方程以上所述的椭圆、双曲线和抛物线都可以用参数方程表示，参数方程以参数t作为自变量，通过给定参数t的取值范围，可以得到曲线上的点的坐标。

以椭圆为例，其参数方程为：x = a cos(t)y = b sin(t)对于双曲线和抛物线，其参数方程的表达式类似，通过参数方程，我们可以更加灵活地描述曲线上的点和曲线的性质。

高中数学圆锥曲线知识点

高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。

用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。

用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

高二圆锥曲线知识点

高二圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中的重要概念，广泛应用在几何、物理和工程学中。

在高二阶段，学生需要掌握圆锥曲线的基本知识点，包括椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是一种圆锥曲线，它具有两个焦点和一个长轴。

椭圆的定义是所有到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。

椭圆可以看作是一个拉伸的圆，其长轴与短轴之比称为离心率，离心率小于1。

在学习椭圆时，我们需要掌握椭圆的标准方程、焦点、顶点、长轴、短轴，以及椭圆的性质。

双曲线也是一种圆锥曲线，它具有两个焦点和两个分离的极限位置。

双曲线的定义是所有到两个焦点距离之差等于常数的点的集合。

双曲线可以看作是一个拉伸的开口向左右两个方向的椭圆，其离心率大于1。

学习双曲线时，我们需要了解双曲线的标准方程、焦点、顶点、渐近线、分支、离心率，以及双曲线的性质。

抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它具有一个焦点和一个直线。

抛物线的定义是所有到焦点和直线距离相等的点的集合。

抛物线可以看作是一个拉伸的开口向上或向下的U形曲线。

在学习抛物线时，我们需要了解抛物线的标准方程、焦点、顶点、焦半径、准线，以及抛物线的性质。

在学习圆锥曲线时，我们还需要掌握一些基本的图像特征、方程的转化与图像的转变，以及曲线与直线的位置关系。

圆锥曲线的应用非常广泛，例如在天文学中描述行星的轨道、在物理学中描述物体的抛射运动、在工程学中描述天线的方向性等等。

高二阶段的圆锥曲线知识点包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、方程、焦点、顶点、长轴、短轴、渐近线、准线、离心率以及性质等。

掌握这些知识点将帮助我们更好地理解和应用圆锥曲线。

圆锥曲线课件

标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦点的位置，计算出曲线的半径。

高中数学讲义圆锥曲线

高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1422=+y x 的离心率为______3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

圆锥曲线课件

圆锥曲线的分类和特点
椭圆是所有与两个焦点距离之和为常数的点的集合，拥有一对对称轴和两个焦点。
抛物线是所有与一个焦点距离等于到直线的距离的点的集合，拥有对称轴和焦点。
双曲线是所有与两个焦点距离之差为常数的点的集合，拥有两个分离的极限以及一对对称轴。
椭圆的性质和方程
焦点定理
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2
Hale Waihona Puke 中心和极限双曲线有两个分离的极限和一个中心。
3
方程表达
双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴的长度。
圆锥曲线在实际应用中的应用
天体轨道
行星和卫星的轨道通常是圆锥曲线。椭圆轨道用于行星运行，而抛物线轨道用于发射卫星。
天体旅行
太空探索任务中，航天器的轨迹也遵循圆锥曲线的某种形式，以实现特定的目标和任务。
圆锥曲线ppt课件
本课件将带您深入了解圆锥曲线，包括定义、概念、分类和特点。我们还会探讨椭圆、抛物线和双曲线的性质、方程以及实际应用。
圆锥曲线的定义和概念
圆锥曲线是平面解析几何学中的重要概念，是指在平面上由一个动点P和两个定点F1、F2（称为焦点）决定的点集。
根据动点P到焦点F1、F2的距离之和的大小关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线。
通信天线
圆锥曲线形状的抛物面天线可实现定向和增强信号接收和传输。
总结和重点系统回顾
在本课程中，我们全面了解了圆锥曲线的定义、分类和特点。我们还探索了椭圆、抛物线和双曲线的性质和方程，以及它们在不同领域的应用。
方程表达
椭圆的标准方程为(x/a)²+ (y/b)²= 1，其中a和 b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

高二圆锥曲线知识点讲解

高二圆锥曲线知识点讲解在高中数学课程中，圆锥曲线是一个重要的内容。

它们以其特殊的形状和性质而受到广泛的关注和研究。

本文将全面讲解高二年级学生所需了解的圆锥曲线知识点，包括椭圆、双曲线和抛物线。

1. 椭圆椭圆是一种平面上的曲线，其定义是到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

在坐标系中，椭圆的方程通常写作(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心，a和b是椭圆的长半轴和短半轴。

2. 双曲线双曲线是平面上的另一类曲线，其定义是到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。

这两个给定点仍然称为焦点，而常数称为离心率。

双曲线的方程通常写作(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心，a和b是双曲线的长半轴和短半轴。

3. 抛物线抛物线是平面上的一种开口朝上或朝下的曲线，其定义是到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。

给定点称为焦点，给定直线称为准线。

在坐标系中，抛物线的方程通常写作y² = 4ax或x² = 4ay，其中a是抛物线的焦距。

以上是高二圆锥曲线的基本概念和方程形式。

接下来，我们将讨论它们的性质和应用。

4. 性质和应用椭圆的特点是所有点到两个焦点的距离之和等于常数，因此它在几何光学、力学和电磁学中有广泛的应用。

例如，椭圆的反射特性使其成为天体轨道和卫星通信的研究对象。

双曲线的特点是所有点到两个焦点的距离之差等于常数，因此它在物理光学、天体力学和导弹轨迹等领域具有重要的应用。

例如，双曲线形状的反射面可以聚焦光线，用于望远镜和抛物面反射天线的设计。

抛物线具有对称性和反射性质，因此它在物理光学、力学和电磁学中也有广泛的应用。

例如，抛物面的反射性质使其成为卫星天线、太阳能反射器和汽车头灯的设计选择。

高中数学讲义-圆锥曲线

高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

高二圆锥曲线讲义

高二圆锥曲线讲义圆锥曲线一、定义 1 第一定义2 第二定义（抛物线是重点）二几何性质 1 标准方程 2 离心率 3 弦长问题4 点在曲线上、曲线内、曲线外5 焦点三角形6 焦半径7 准线三典型题1 动点的轨迹问题（直接法、定义法、相关点法、参数法）2 中点弦问题（点差法、韦达定理）3 面积问题（焦点三角形、弦长公式）4 定点、定值及最值问题（直线过定点、点在直线上、直线与曲线相切）5 取值范围（第一种是不等式求解 ; 第二种是函数的值域求解法)① 直曲联立判别式大于零；② 点在曲线内部或外部；③ 曲线本身a x a ≤≤-,b y b ≤≤-；④ 三角形俩边之和大于第三遍，俩边之差小于第三边；⑤ 向量钝角向量点积小于零，锐角大于零；中点弦问题例1已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.变式1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

变式2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

变式3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。

变式4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。

动点的轨迹方程例1 已知椭圆方程为2214y x +=，过定点(0,1)M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，()2OA OB OP +=, 求点P 的轨迹方程变式1 （2011 安徽）设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ =QA λ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =MP λ,求点P 轨迹方程变式2（2011天津理）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知12F PF ?为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．变式3、（1）)2 , 4(P 是⊙0362824:22=---+y x y x C 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足?=∠90APB ，求弦AB 中点Q 的轨迹方程；（2）已知定点)2 , 0(A 及⊙4:22=+y x O ．过A 作直线MA 切⊙O 于A ，M 为切线上一个动点，MQ 切⊙O 于Q 点（如图），求MAQ ?的垂心H 的轨迹方程．变式4、（江苏）如图圆1O 与圆2O 的半径都等于1，421=O O ．过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．变式5 P 是椭圆22221x y a b+=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，12OQ PF PF =+，则动点Q 的轨迹方程是 .变式4 动点P 到点A （0，8）的距离比到直线:7l y =-的距离大1，求动点P 的轨迹方程。

数学高二下圆锥曲线知识点

数学高二下圆锥曲线知识点在高二下学期的数学课程中，圆锥曲线是一个重要的知识点。

圆锥曲线是平面几何中的一类曲线，其特点是由一个动点P和一个定点F确定的。

在本文中，我们将探讨一些关键的圆锥曲线知识点，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

一、圆圆是最简单的圆锥曲线。

它由一个定点F和一个到F的距离相等的动点P确定。

圆的等距性质使得它具有很多重要的性质和应用。

二、椭圆椭圆是圆锥曲线中另一个重要的类型。

它的定义和圆类似，但是动点P到定点F的距离比到定点F'的距离之和大。

椭圆也有很多有趣的性质和应用，如焦点、长轴、短轴、离心率等。

三、双曲线双曲线是圆锥曲线中较为复杂的一种。

它的定义和椭圆类似，但是动点P到定点F的距离比到定点F'的距离之和小。

双曲线也有许多重要的性质和应用，如焦点、渐近线、离心率等。

四、抛物线抛物线是圆锥曲线中最特殊的一类。

它由一个定点F和一个到定直线的距离相等的动点P确定。

抛物线具有很多有趣的性质和应用，如焦点、直线的焦点、顶点、准线等。

除了上述几种常见的圆锥曲线外，还有一些特殊情况需要特别注意。

例如，当圆和直线相交时，它们的交点可以是两个，一个或者没有。

圆锥曲线在数学中有广泛的应用。

在几何学中，它们被用于描述平面上的曲线。

在物理学中，它们被用于描述天体运动和粒子轨迹。

在工程学中，它们被用于设计建筑和道路。

总结：数学高二下的圆锥曲线知识点包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

每种曲线都有其独特的性质和应用。

通过学习和理解这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线。

希望本文能对你在学习圆锥曲线时有所帮助。

高二圆锥曲线必会知识点

高二圆锥曲线必会知识点圆锥曲线是解析几何学中非常重要的一个概念，它由平面与一个圆锥相交而形成。

在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的一部分。

本文将介绍高二阶段学习圆锥曲线所需掌握的几个重要知识点。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最常见的一种类型。

在直角坐标系中，椭圆可以通过以下标准方程表示：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的中心位于坐标原点，长半轴与x轴平行，短半轴与y轴平行。

椭圆的离心率为$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，在a=b时为零，表示一个圆。

2. 双曲线与椭圆相比，双曲线更加开放。

在直角坐标系中，双曲线可以通过以下标准方程表示：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$其中，a和b分别代表双曲线的长半轴和短半轴。

双曲线的中心也位于坐标原点，但是其两支分别向x轴和y轴延伸。

不同于椭圆，双曲线的离心率大于1。

3. 抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线类型。

在直角坐标系中，抛物线可以通过以下标准方程表示：$y=ax^2+bx+c$其中，a、b、c分别代表抛物线方程的系数。

抛物线开口的方向取决于系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$计算得到。

4. 渐近线渐近线是指圆锥曲线中的一种特殊直线。

对于双曲线而言，其两支的渐近线分别与x轴和y轴相切；对于抛物线而言，其开口向上或向下的一支的渐近线是y轴。

渐近线的斜率可以通过限制$x$或$y$趋于正无穷或负无穷时来确定。

5. 参数方程除了直角坐标系表示，圆锥曲线还可以通过参数方程来描述。

参数方程由一对相关的参数变量表示，通常用$t$表示。

以椭圆为例，其参数方程可以表示为：$\begin{cases}x=a\cos{t}\\y=b\sin{t}\end{cases}$其中，$0\leq t \leq 2\pi$。

高二数学圆锥曲线(完整版)

第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化①建立适当的直角坐标系；),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

2、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

()12222MF MF a a c +=> 3、椭圆的几何性质：焦点在x 轴上4、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==。

5、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。

()12222MF MF a a c -=< 6、双曲线的几何性质：7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

x129、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．11、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+；、若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+．12、抛物线的几何性质：关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 知识储备1、直线的方程形式：① 点斜式：已知直线过点(x0,y0),斜率为k,则直线方程为y －y0＝k(x －x0),它不包括垂直于x 轴的直线；② 斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b,斜率为k,则直线方程为y ＝kx ＋b,它不包括垂直于x 轴的直线；③ 两点式：已知直线经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1,它不包括垂直于坐标轴的直线； ④ 截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b,则直线方程为x/a ＋y/b ＝1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；⑤ 一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A,B 不同时为0)的形式.2、与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率k ：倾斜角与斜率k ：② 点到直线的距离d ：夹角公式：③ 弦长公式：④ 两条直线的位置关系：。

高中数学选修2-1圆锥曲线的统一定义(复习讲义)

圆锥曲线的统一定义(复习讲义)一.基础知识1. 椭圆的第一定义：____________________________________________椭圆的第二定义：______________________________________________2 .双曲线的第一定义：___________________________________________双曲线的第二定义：____________________________________________3. 抛物线的定义：________________________________________________4. 圆锥曲线的定义：平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离的比等于常数e(e>0)的点的轨迹叫做圆锥曲线当e>1时为双曲线；当0<e<1时为椭圆；当e=1时为抛物线二、经典回顾1、若动圆过定点A (-3,0)，且和定圆4)3(22=+-y x 外切，动圆圆心P 的轨迹方程为；2、若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0 的距离小1，则点P 的轨迹方程是 .3.已知椭圆 12422=+y x 中F 1，F 2 分别为其左、右焦点，点A （1，1/2），试在椭圆上找一点 P 使（1）2PF PA + 取得最小值;（2）12PF PA + 取得最小值.4、已知双曲线1422=-y x F 1，F 2为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上求一点P ，使（1）2PF PA + 取得最小值;（2）1525PF PA + 取得最小值.5、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，求|MA |+|MF |的最小值，并求这时M 的坐标.6、已知双曲线12222=-by a x 过左焦点F 1 作一弦与左支相交于A,B 两点，若|AB |=m ,求ΔF 2 AB 的周长 .三、规律总结1、在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算.2、涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决.3、涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用统一定义解决问题.四.圆锥曲线统一定义的应用1、利用定义求轨迹方程例1、求与直线x=1和圆都相切的动圆圆心P 的轨迹方程.2、利用定义求解最（定）值问题例2、设椭圆的焦点为F 1和F 2 , P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2 的最大值为 ,求椭圆的离心率()42:22=+-y x C ()0,012222>>=+b a b y a x 32π。

09秋季高二数学-讲义圆锥曲线1011

解析几何——圆锥曲线高二 10.11一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(<<e e 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数)⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数)图形顶点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁）准线ca x 2±= ca y 2±= 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。

高二数学苏教版选修2-1精编讲义第1部分第2章25圆锥曲线的

高二数学苏教版选修2-1精编讲义第1部分第2章25圆锥曲线的……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………1_2.5圆锥曲线的统一定义[对应学生用书P35]抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F的距离与到定直线(准线)l 的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F(c,0)，定直线某＝a2 c(a>0，c>0)．动点P(某，y)到定点F(c,0)的距离与到定直线某＝a2c 的距离的比为ca.问题1：求动点P(某，y)的轨迹方程．提示：由(某－c)2＋y2|a2c－某|＝ca，化简得：(a2－c2)某2＋a2y2＝a2(a2－c2)．问题2：当a>c，即0<ca<1时，轨迹是什么？提示：椭圆．问题3：当a<c，即ca>1时，轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F 不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0＜e＜1时，它表示椭圆，当e＞1时，它表示双曲线，当e＝1时，它表示抛物线．其中e是离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………2从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．[对应学生用书P36][例1]过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．[思路点拨]利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e的范围即可判断．[精解详析]设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝d1＋d22，R＝AB2＝FA ＋FB2＝e(d1＋d2)2.由题意知R＞d，则e＞1，圆锥曲线为双曲线．[答案]双曲线……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………3[一点通]解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e＝PF1d1＝PF2d2.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．1．方程(1＋某)2＋y2＝|某＋y－1|对应点P(某，y)的轨迹为________．解析：由(1＋某)2＋y2＝|某＋y－1|得[某－(－1)]2＋y2|某＋y－1|2＝2.可看作动点P(某，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线某＋y－1＝0的距离比为2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．答案：双曲线2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．解：设圆锥曲线的离心率为e，M是AB中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，则d＝d1＋d22，R＝AB2＝FA＋FB2＝e(d1＋d2)2.当圆与准线相离时，R＜d，即e(d1＋d2)2＜d1＋d22，∴0＜e＜1，圆锥曲线为椭圆．当圆与准线相切时，R＝d，∴e＝1，圆锥曲线为抛物线.[例2]已知动点P(某，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为33，求动点P的轨迹．[思路点拨]此题解法有两种一是定义法，二是直译法．[精解详析]法一：由圆锥曲线的统一定义知：P点的轨迹是一椭圆，c＝3，a2c＝9，则……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………4a2＝27，a＝33，∴e＝333＝33，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.b2＝18，其方程为y227＋某218＝1.法二：由题意得某2＋(y－3)2|9－y|＝33.整理得y227＋某218＝1.P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．[一点通]解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．3．平面内的动点P(某，y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到某轴的距离之差为2，求动点P的轨迹．解：如图：作PM⊥某轴于M，延长PM交直线y＝－2于点N.∵PF－PM＝2，∴PF＝PM＋2.又∵PN＝PM＋2，∴PF＝PN.∴P到定点F与到定直线y＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p＝4.∴抛物线方程为某2＝8y(y>0)．∴动点P的轨迹是抛物线．4．在平面直角坐标系某Oy中，已知F1(－4,0)，直线l：某＝－2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的2倍．设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1，F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M(某，y)，则有MF1＝(某＋4)2＋y2，点M(某，y)到直线l的距离d＝|某－(－2)|＝|某＋2|，……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………5故(某＋4)2＋y2＝2|某＋2|，化简得某2－y2＝8.故动点M的轨迹方程为某2－y2＝8.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线m斜率不存在，则切线方程为某＝±22，此时d1d2＝(c＋a)·(c－a)＝b2＝8.当切线m斜率存在时，设切线m：y＝k某＋t，代入某2－y2＝8，整理得：某2－(k某＋t)2＝8，即(1－k2)某2－2tk某－(t2＋8)＝0.Δ＝(－2tk)2＋4(1－k2)(t2＋8)＝0，化简得t2＝8k2－8.又由k某－y＋t＝0，d1＝|－4k＋t|k2＋1，d2＝|4k＋t|k2＋1，d1d2＝|16k2－t2|k2＋1＝|16k2－(8k2－8)|k2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m，d1d2是常数.[例3]已知定点A(－2，3)，点F为椭圆某216＋y212＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．[思路点拨]利用统一定义把MF转化为点M到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解．[精解详析]∵a＝4，b＝23，∴c＝a2－b2＝2.∴离心率e＝12.A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，则MFd＝e，即MF＝ed＝12d，右准线l：某＝8.∴AM＋2MF＝AM＋d.∵A点在椭圆内，∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.则A、M、K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(23，3)．[一点通]圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对。

高中数学选修21《圆锥曲线及方程》知识点讲义

第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：设曲线 C，方程 F x, y =0，知足以下两个条件：①曲线 C上一点的坐标x, y 知足 F x, y =0；②方程F x, y=0解x, y都在曲线C上 ..则曲线C 称是方程F x, y =0的曲线，方程F x, y =0是曲线C的方程二、求曲线方程的两种种类：1、已知曲线求方程；用待定系数法2、未知曲线求方程①设动点x, y ;②成立等量关系；③用含 x, y的式子取代等量关系；④化简；别出现不等价状况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法2、定义： P PF 1 PF 22a, F 1 F 2 2a3、方程22或②y2 2①x2y 2 1 a b 0 2x 2 1 a b 0 abab二、几何性质：x 2+ y 21 a b 0a2b21、范围： x a, yb.2、对称性：对于 x 、 y 、原点 O 对称 .3、极点 A 1 a,0 , A 2 a,0 , B 1 0, b , B 2 0, b .4、a, b, c 之间的关系： a 2b 2c 2cb 25、离心率： ea1a 2e 1e 0越圆 , e 1越扁扩展：①与椭圆x2+ y 2 =1有同样焦点的椭圆方程为x 2 + y 2 =1 m b 2 a 2b 2a 2m b 2 m②有同样离心率的椭圆为x 2y 21 k0 或 y 2x 2 1 k 0ka 2kb 2ka 2kb 2③椭圆上的点到焦点的最小距离是 a c ，最大距离是 a c.④P 为椭圆上一动点，当点 P 为短轴端点时， F 1PF 2最大 .⑤AB 为过焦点 F 的弦，则 VABF 2的周长为 4a.⑥直线 y kx b 与圆锥曲线订交于 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 两点，则当直线的斜率存在时，弦长l 为 :l1 k 2 x 1 x 21 k 2x 1 x 2 24x 1 x 21 1y 1 y 22或当 k 存在且不为 0时， l12 y 1y 21k 24 y 1 y 2k⑥当椭圆的焦点地点不确准时，可设椭圆的方程为Ax 2 By 21A 0,B 0.1、画法2、定义： P PF 1 PF 2 2a, F 1F 22a3、方程：x 2y 2y 2 x 2① a 2 b21 a, b 0 或② a2b 21 a,b 0二、几何性质：x2 y 222 1 a,b 0 ab1、范围： x a, yR2、对称性：对于 x 轴、 y 轴、原点 O 对称 .3、极点： A 1 a,0 , A 2 a,0实轴 A 1 A 2 = 2a ，虚轴 B 1B 2 2b.4、 a 、 b 、 c 之间的关系： c 2 a 2 b 2 .c1b 2e1 5、离心率 : e2a ae 越大，张口越阔6、渐近线： yb x y 2 x 2 1的渐近线为 y a xaa 2b 2bx 2y 2x 2 y 2 m m 0 有同样离心率 .说明： 2b 21与 2 2 aa b1、定义： P PF且 F ld P l2、标准方程及几何性质标准方程y2 2 px p 0y2 2 px p 0x2 2 py p 0x2 2 py p 0简图焦点p,0p、p、p2,000222准线x p p p px2y y222范围x0x 0y 0y 0对称性x轴y 轴极点0, 0离心率 e 1说明：① P越大，张口越阔.②抛物线无穷向外延展，但它无渐进线.扩展：1、设 Q点分别位于抛物线张口之内，抛物线上，以及张口之外，问过Q点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？答：①当 Q位于抛物线张口之内， 1个交点的直线只有一条主轴或其平行线.②当 Q位于抛物线上，1个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.③当 Q位于抛物线外，1个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线.2、过焦点的弦长如图，AB AF BFpx Ap 2x B2 p x A x B。

高中数学竞赛教材讲义第十一章圆锥曲线讲义

第十一章圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。

从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)，参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+b y a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ac e =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

高二年级数学选修课精英班讲义---圆锥曲线

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