09秋季初三数学小班第1讲一元二次方程复习

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人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT

配方法公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
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3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
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例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
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例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
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知识结构
实际问题实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解方程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或

人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)

一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（）分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？（2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=；（2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】一、选择题1．已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有化简得解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去当池长为米时池宽为米米符合题意当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（）3.方程的根是，则这个方程为（）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】一、选择题1．某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去）第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得：【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。

初三九年级数学一元二次方程(复习课) ppt课件

移项（常数项移到方程右边）二次项系数化为1
配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方
写成完全平方式用直接开平方法解方程
公式法：
例 2x2-1=x
解: 2x2-x – 1=0 a=2, b= -1, c= -1
(1) 9 1 3 2 2 4
化为一般形式(方程右边为0) 找出 a, b, c(注意符号) 算出b 2-4ac的值
C.11或13
D.11和13
4.一根长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，已知两个正方形的面积之和等于160cm2，求两个正方形的边长。
课时小结：
如图，AO=BO=50cm，OC是射线，蚂蚁甲以2cm/s的速度从A爬到B，蚂蚁乙以3cm/s的速度从O到C，问：经过几秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为450cm2? O P
腰或底边
能力提高
1. 写出一个一根为－1，另一根为正数的一注意:K的 x2-1=0.等符号。元二次方程
2=h的形式， 2.把方程 2x2-7 x +3=0 配方成 ( x +k ) 25 7 , h= 则k= 16 . 4
3.如图是一个正方体的展开图,标注了 -2 字母A的面是正方体的正面，如果正 x x2 1 方体的左面与右面所标注的代数式的 A 值相等，求x的值。
用适当的方法解下列方程：
(1) (x-1) 2 =3 (3) 2y2-4y-2=0 (2) t2-4t=1 (4) x(x-1)=3-3x
小贴士
选择一元二次方程的解法的优先顺序是：先特殊，后一般。即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
1.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2 . 2. 若一元二次方程x2-4x+3=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是 . 7

第1章一元二次方程(章末复习)九年级数学上册(苏科版)

看左右两边是否相等
课堂检测
知识精讲
例3、(1)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a
的值为（ A ）
A．-1
B．1
C．1或-1
D．0.5
(2)若9a-3b+c=0，a≠0，则方程ax²+bx+c=0必有一个根是_______．
-3
知识点4：直接开平方法解一元二次方程
1.1定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式
方程，叫做一元二次方程
1.2三要素：
（1）是整式方程
（2）一元：只含有一个未知数
（3）二次：未知数的最高次数是2
知识点1：一元二次方程的定义
知识梳理
1.3判断一个方程是否是一元二次方程应注意：
（1）“是整式方程”
（2）“只含有一个未知数”
知识梳理
4.1定义：直接通过求平方根来解一元二次方程的方法，叫做直接
开平方法．
适用类型
注意：
方程一般有两解，不要
漏解~
方程的解
x2=k（k≥0）
x=± (当k=0时,x1=x2=0)
(x+h)2=k(h、k为常数,k≥0)
x=-h±
(ax+h)2=k(a、h、k为常数,a≠0,k≥0)
−±
有两个相等的实数根
Δ=b2-4ac<0
没有实数根
知识精讲
课堂检测
例7、若关于x的一元二次方程(k-5)x2-2x+2=0有实数根，则整数k
的最大值为_______．
4
知识梳理
知识点8：因式分解法解一元二次方程
8.1定义：
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的

初中九年级数学《一元二次方程复习》评课稿

初中九年级数学《一元二次方程复习》评课稿课程介绍《一元二次方程复习》是初中九年级数学课程中的一节重要课程。

在这个课程中，学生将复习一元二次方程的基本概念、公式、解法等知识点，并通过练习题和思考题来巩固相关知识。

本课程旨在为学生提供数学思维和分析问题的能力，并帮助他们更好地理解和应用一元二次方程。

教学目标1.了解一元二次方程的定义、基本概念和公式。

2.掌握一元二次方程的解法和应用。

3.熟练运用一元二次方程解题方法解决实际问题。

4.提高学生的分析问题和解决问题的思维能力。

5.激发学生的学习兴趣和动力。

教学设计第一部分：引入首先介绍一元二次方程的定义和基本概念，然后通过示例让学生理解方程式的意义和解题思路。

第二部分：教学内容教学内容重点包括以下内容：1.一元二次方程的标准形式和一般形式；2.一元二次方程求解的基本方法；3.一元二次方程的根的判别式；4.一元二次方程的应用。

第三部分：学习活动本部分将对学生进行练习和思考题，以加深对学习内容的理解和掌握。

1.练习题：用基本公式计算给定问题的答案；2.探究题：设计一元二次方程实例题目，一定程度上可以提高学生的思考力。

第四部分：总结与评价在这一部分，通过反馈和提问，让学生更好地总结和评价课程。

教学评估学生表现通过学生的表现，可以对学生对于掌握《一元二次方程复习》有一个全面的评估。

学生表现包括以下几个方面：1.学生的作业质量；2.学生在集体讨论中的表现；3.学生在个人练习中的成绩。

教学反馈教师应该在课后向学生收集反馈，以帮助他们了解在具体操作中出现的问题和需要周密布置练习的方向。

适用范围这份《一元二次方程复习》评课稿，主要是针对初中九年级这个年龄层的学生，涵盖了一元二次方程的基础知识、公式和解法等，旨在帮助学生理解和掌握一元二次方程，并提高他们的数学分析和问题解决能力。

总结总的来说，本课程评估良好，严格按照教学方案来规范的，学生表现也比较符合预期。

但在实际操作中，还需要进一步调整内容的具体布局，要求学生在课程中得到更细致的掌握，并在之后的学习中更有效地应用一元二次方程解决场景问题。

初三数学第1讲：一元二次方程定义及解法(直接开方、配方法)教案

教学过程一、课堂导入1、我们都学过哪几种方程？2、观察方程0562=x，结合以前学过的知识，你能否求出它的根？++x3、今天我们就学习一种新的方程——一元二次方程.二、复习预习复习提问1．什么叫做一元一次方程？定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式：ax+b=0（a、b为常数，a≠0）。

一元一次方程标准形式:只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a ≠0）。

其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。

未知数一般设为x，y，z。

三、知识讲解考点/易错点1一元二次方程的定义1．方程的分类：通过上面的复习，引导学生答出：学过的几类方程是没学过的方程是x2-70x+825=0，x(x+5)=150．这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．同时指导学生把学过的方程分为两大类：特点总结：（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是2。

一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0．从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．判断方法：要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》讲义第1讲一元二次方程认识及解法(有答案)

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》讲义第1讲一元二次方程认识及解法（有答案）③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式；④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。

5、公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根a ac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==；当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。

另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。

）6、因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或；②因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

第二部分考点精讲精练考点1、一元二次方程的定义、一般形式例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋x 1＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0例2、是关于的一元二次方程，则的值应为（） A.＝2 B. C. D.无法确定例3、方程4x 2+7x-3=0的二次项是，一次项系数是，常数项是．例4、若（m+1） x |m|+1-3x+4=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是．例5、已知关于x 的方程．（1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.例6、一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）+c=0化为一般形式后为2x 2-3x-1=0，试求a ，b ，c 的值．举一反三：1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为 ( )A ．B ．C ．D ．2、下列关于的方程：①；②；③； ④；⑤．其中是一元二次方程有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m= ．4、关于x 的方程（m 2-1）x 3+（m-1）x 2+2x+6=0，当m= 时为一元二次方程．5、一元二次方程（1+3x ）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：______，二次项系数为：______，一次项系数为：______，常数项为：______．6、一元二次方程a （x+1）2+b （x+1）+c=0化为一般式后为3x 2+2x-1=0，试求a 2+b 2-c 2的值的算术平方根．考点2、方程的解例1、若x=3是方程的一个根，则m 的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例2、若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2019-a-b的值是（）A．2023 B．2019 C．2019 D．2019例3、已知一元二次方程的两个根是1和3，则，的值分别是（）A．=4,=－3 B．=3,=2 C．=－4,=3 D．=4,=3例4、若且，则关于的一元二次方程必有一个定根，它是______．例5、若方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程必有一根为。

九年级数学一元二次方程专题复习教案

九年级数学一元二次方程专题复习教案一、知识体系概括二、知识梳理1、一元二次方程的概念（1）一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．（2）一般形式：ax 2＋bx+c=0(a≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

例：下列方程一定是一元二次方程的是（） A 、 B 、 C 、 D 、22310x x+-=25630x y --=220ax x -+=22(1)0a x bx c +++=2、方程的解法（1）直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

例：方程的解是（）A ．B ．C ．D ．（2）配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．例：用配方法解方程时，原方程应变形为（）A ．B ．C ．D ．（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式； ②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac≥0时代入求根公式。

例：如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的2(2)9x -=125,1x x ==-125,1x x =-=1211,7x x ==-1211,7x x =-=2250x x --=2(1)6x +=2(1)6x -=2(2)9x +=2(2)9x -=x 22(21)10k x k x -++=k取值范围是（）A ．B ．且C ．D ．且例：用公式法解方程.（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

初三数学讲义：《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x 2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x=．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=．∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤．（2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤．因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。

初中数学九年级《一元二次方程复习课》公开课教学设计

教师概括：本章重点学习 4114 ，其中 “四个一”是一个概念：一
元二次方程；一种思想：降次；一个应用 : 列一元二次方程解应用题；一种关系：一元二次方程根与系数的关系； “一个四” 是一元二次方
程的四种解法（略）。注意：（ 1）一元二次方程与一元一次方程、
一元一次不等式、一次函数、反比例函数之间的联系。（
（ 2 ）结合问题 1（3 ）解答强调配方法的关键——系数化为 1 后给方程两边同加上一次项系数一般的平方。
（ 3 ）结合 1 （ 4 ）解答，追问：什么叫一元二次方程根的判别式？如何运用其判别根的情况？结合学生回答以表格形式呈现根的判别式判别根的情况
重难点突
破设计
练习设计
作业布置板书设计
(5) 若直角三角形的两条直角边长分别是方程根，则此直角三角形的周长是 _________.
x 2 -7x+12=0 的两
（6 ）尧柏水泥厂今年的一季度生产水泥 a 吨，以后每季度比上一季度增产 x% ，则第三季度生产水泥的吨数是 _____________.
集体备课
活动四全课小结，提炼升华
个性备课
1 、针对前面复习提纲，提问检查，结用实物展台展示评价学生建构的知识结构图。
2 、随机强调注意事项： 1 ）一元二次方程概念中的必须加以体会三个条件缺一不可合检查情况，板书知识结构图，； 2 ）降次是解一元二
【学生活动】
1 、一名学生朗读复习要求
2 、结合要求反思回顾
2 、举例说明什么叫一元二次方程 ? 一元二次方程的解法思想是什么？常用解法有哪些？各种解法的适应范围分别是怎样的？
3 、怎样利用一元二次方程根的判别式判别根的情况？ 4 、一元二次方程根与系数又怎样的关系？在应用时应注意什么？（二）你认为本章知识之间有怎样的关系？请用你喜欢的方式构建本章知识结构图，并与同伴交流。活动二：知识梳理，建构体系

初三数学九年级数学一元二次方程复习课复习

心动不如行动公式法是这样生产的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: x2 x2
x2 b a
b x
b
a x
a
x b
2a
c 0.
ac
.
a2
b 2a
2
c a
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
.
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
回顾与反思
判别式逆定理若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0
判别式的用处
• 1.不解方程.判别方程根的情况, • 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数
的值或取值范围, • 3.进行有关的证明,
解 : 设每件衬衫应降价x元,根据题意,得 (40 x)(20 2 x ) 1200. 1
整理得 : x2 30x 200 0.
解这个方程, 得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 : 为了尽快减少库存,应降价20元.
7.利润与方程
例. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元, 需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不合题意,舍去). 2

初三数学《一元二次方程》PPT复习总结课件

一元二次方程的应用
思考
1. (2005福州中考) 解方程: (x+1)(x+2)=6
2. (2005北京中考) 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
中考直击
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
般形式是：2_x2_-_3x_-_1=_0_____, 其二次项
系数是__2__,一次项系数是__-3__,常数
项是_-1___.
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于 x的一元二次方程，则（ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般形式，代入时注意符号。
a=3 b=-4 c=-7
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
∴ x 4 100 2 5
6
3
∴x1= 4 #43;2)2=3(y+2）
解:原方程化为（y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0
把握住：一个未知数，最高次数是2，一元二次方程的定义整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
一
直接开平方法：
元
二
适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次方
一元二次方程的解法配方法：适应于任何一个一元二次方程
程
公式法：适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程

小班教案数学教辅初中

小班教案数学教辅初中教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握一元二次方程的定义及其一般形式。

2. 培养学生解一元二次方程的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。

二、教学内容：1. 一元二次方程的定义：一个只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程称为一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a、b、c是常数且a≠0）。

3. 解一元二次方程的方法：因式分解法、配方法、公式法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：一元二次方程的定义、一般形式和解法。

2. 教学难点：一元二次方程的解法及其应用。

四、教学过程：1. 导入：通过生活中的实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题，从而引入一元二次方程的概念。

2. 新课讲解：（1）介绍一元二次方程的定义和一般形式。

（2）讲解一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、公式法。

（3）通过例题，演示解一元二次方程的步骤和方法。

3. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 应用拓展：引导学生运用一元二次方程解决实际问题，提高学生的综合素质。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调一元二次方程在实际生活中的应用。

五、课后作业：1. 复习一元二次方程的定义、一般形式和解法。

2. 完成课后练习题，提高解题能力。

3. 寻找生活中的实际问题，尝试用一元二次方程解决。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生的掌握程度。

3. 单元测试：进行一元二次方程专项测试，了解学生的学习效果。

通过以上教案，教师可以有效地教授一元二次方程的知识，帮助学生掌握解题方法，提高学生的数学素养。

同时，注重实际应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，为学生的全面发展奠定基础。

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初三数学知识点一元二次方程辅导
下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的初三数学知识点一元二次方
程辅导，希望可以帮助到同学们!
1. 一元二次方程的一般形式: a0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一
般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母
或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接
开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法
使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方
程根的判别式.请注意以下等价命题：
0 有两个不等的实根; =0 有两个相等的实根;
0 无实根; 0 有两个实根(等或不等).
4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式：
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喜欢!。

九年级数学一元二次方程全章复习首师大版知识精讲

初三数学一元二次方程全章复习首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：一元二次方程全章复习1. 一元二次方程的概念、解法及其应用。

2. 可转化为一元二次方程的分式方程和无理方程。

3. 一元二次方程的根的判别式。

4. 一元二次方程的根与系数的关系及其应用。

5. 二元二次方程组的解法。

二. 重点、难点：重点：本章重点是一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系。

难点：难点是一元二次方程中的隐含条件，分类讨论。

【例题分析】一、对“元、次”概念的理解：例1. 关于x 的一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k=0有实数根，求k 的取值X 围。

分析：注意隐含条件：二次项系数不等于0。

解：∆.≥⎧⎨⎩⇒--≥⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤002140014014022k k k k k k k k ≠≠≠且≠()，∴的取值范围是且≠k k k ≤140。

隐含条件题目的表达方式：（1）关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，含义是一元二次方程；（2）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，含义是一元二次方程，隐含a ≠0；（3）关于x 的方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，含义是一元二次方程，隐含a ≠0。

例已知关于的方程有实根，求的取值范围。

2. x ()()a x a x a 2212110-+++= 分析：注意二次项系数要分类讨论，二次项系数为0时，是一元一次方程，若二次项系数不为0时，是一元二次方程。

解：（）当≠，即≠±时，11012a a -∆=[+]--=+≥214188022()()a a a∴a ≥-1∴且≠a a >-11（）当，即±时，21012a a -==当时，a x ==-114当时，方程无解a =-1∴当时，方程有实根。

a =1 综合（1）、（2），a 的取值X 围是a>-1。

二、对“方程的解”概念的理解： 1. 方程的解与根的区别：只有一元方程的解也叫做根，多元方程只叫做解。

九年级数学一元二次方程知识点

九年级数学一元二次方程知识点
一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c代表实数常数且a≠0。

一元二次方程是中学数学中的重要内容，主要涉及以下知识点：
1. 二次函数：一元二次方程的图像是一个抛物线，又称为二次函数。

二次函数的图像开口方向与a的正负有关，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。

2. 顶点：二次函数图像的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）称为顶点。

3. 零点：一元二次方程的解称为零点，即方程成立的值。

4. 因式分解：对于一元二次方程，可以通过因式分解的方法化简，用二次因式相乘的形式表达。

5. 判别式：对于一元二次方程ax²+bx+c=0，判别式D=b²-4ac可以用来判断方程的根的情况。

当D>0时，方程有两个不相等的实根；当D=0时，方程有两个相等的实根；当D<0时，方程无实根，但有两个共轭复根。

6. 解的公式：根据判别式的不同取值情况，一元二次方程的解可以用“解的公式”表示，即x=(-b±√D)/(2a)。