圆锥曲线笔记D讲课稿

D.解析圆锥曲线（上）（用解析几何研究圆锥曲线）

1.圆锥曲线的准圆

设椭圆的方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x

内准圆定义：在椭圆内部存在使与其相切的椭圆的弦的中心角都为90度称为内准圆

2

2

222

22222222222222

2222

22222222

2

22

2222o o o o o o b a b a 1b a ab b a b a )cos ()sin (a b a )cos ()sin (a b a 1b )sin (a cos 1b )sin (a cos )sin ,cos (),sin ,cos (,),90,900,900(90+=+=++⇒+=+⇒⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+=

+=⇒=+=+===+<<<<=∠==∠=∠y x b y a x AB r r r r B b B r A b A r B r B r A r A r B r B r B A r A r A r BO r AO B A B A B BOX A

AOX AOB AB B A B A B A B B A A B B A A B A 的内准圆方程为椭圆到椭圆中心的距离为）（，）（代入椭圆的方程得到

记为椭圆的弦，且中心角

外准圆定义：椭圆两条垂直切线交点的轨迹

[]

2

2222

22

220202

22

022

020022

0220022222002002222200002

200b a 1-1-0

20(00)()(2a (0)(b a b a ,b a y x P b a y x x a y b P y b k y x k x a kx y b k a b kx y a x kx y k a x b k kx y y kx y y x x k P P P P y x P +=+++=+⇒=--⇒

=-++-⇒=--+⇒

=∆=--+-++⇒=-+--=-+±±且方程为综上椭圆的外准圆存在点到椭圆中心的距离为即当斜率存在时两斜率乘积为两切线斜率的二次方程此方程即为过）（）又因为是切线故）代入椭圆的方程即点椭圆的切线为当斜率存在时设过距离都为）这四点到椭圆中心的，点在（点的切线斜率不存在时当垂直作椭圆的两条切线相互满足，过）为椭圆外的一点，且（如图

b.双曲线的虚实准圆

设双曲线的方程为0)b 0,1(a b

-a 22

22>>=y x

虚准圆定义：与椭圆的内准圆相似一个以双曲线的中心为圆心使与其相切的双曲线的弦的中心角为90的圆被称为双曲线的虚准圆（必须有b>a>0,否则不存虚准圆）

设双曲线弦AB 方程为y=kx+m

圆一样引入三角参数）

（也可像证明椭圆内准的虚准圆为所以双曲线一定值

直线到双曲线的距离为

又）（）（得

方程代入双曲线的方程2

2

222

222222

2222222221122222222222211222222222222222222211)0(11090

,)()(0

)(20)(2)

,(),,(a b b a y x a b b y a x a b ab

AB a b b a k m y x y x AOB b k a m k a b b m a y x y x m k a b my b y b k a b m a kmx a x b k a AB y x B y x A o

-=+>>=--⇒-=+⇒=+∴=∠--++=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=+++-

实准圆定义：类似与椭圆的外准圆，双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹（必须有：a>b>0,否则不存在实准圆）

[]

）

（在且方程为综上双曲线的实准圆存

为点到双曲线中心的距离即两斜率乘积为两切线斜率的二次方程此方程即为过）（）又因为是切线故）代入双曲线的方

即点双曲线的切线为当斜率存在时设过互垂直作双曲线的两条切线相且满足，过）为双曲线外的一点，（如图0-b -a -1--1-0

20(00)()(2-a (0)(,2

2222

22220202

22

022

020022

02200222220020022222000000>>=+=+⇒=--⇒

=--+-⇒=---⇒

=∆=+-+-+⇒=-+--=-b a b a y x P b a y x x a y b P y b k y x k x a kx y b k a b kx y a x kx y k a x b k kx y y kx y y x x k P P y x P

C.抛物线的准线是特殊的准圆

准确来说抛物线并没有类似于有心圆锥曲线的准圆存在，但是抛物线两条垂直的切线的交点的轨迹为其准线，可以理解为半径无大的圆

结合上节几何中的抛物线结论容易的出这一结论此处便不再赘述（用解析法同样可以轻松得到）

2.圆锥曲线直线过定点问题

圆锥曲线的定点问题是让很多人感到头疼的问题，以至于对此类问题形成畏惧心理，观其本质其实并不复杂，主要问题是在于计算量过大，本节将介绍圆锥曲线几个典型过定点问题希望能对大家有所帮助。

对于直线过定点我们其实应该知晓其在解析几何上的表现形式，一般将直线设为斜截式y=kx+m或x=ky+n只要找出斜率与截距的一次线性关系即可确定直线过定点，明确此节我们寻找定点也就转化成了在方程变换中找到一个关于斜率与截距的关系式（例如：y=kx+m若有m=-3k+3则直线过（3，3）点）