板块类运动问题

板块类运动问题1.两个物体之间相对运动的问题问题的提出：两个物体叠加起来，在外力F作用下的运动状态是需要讨论的。

如果外力F过小，那么两物体是相对静止的，如果外力F过大，那么两物体是相对运动的。

两个物体间要发生相对运动的条件：两个物体间的静摩擦力必须达到最大值此类问题的处理方法：(1)假设两个物体相对静止，对两个物体分别写牛顿第二定律(2)根据加速度相等，得出静摩擦力的表达式，(3)根据静摩擦力小于最大静摩擦力，据此可以求出临界的外力F0(4)讨论：当F>F0，两物体之间是相对运动的。

对两个物体分别写牛顿第二定律，不受外力F的物体的加速度是恒定不变的。

当F<F0，两物体之间是相对静止的，对两物体整体写牛顿第二定律。

(5)注意：地面是否有摩擦力2.两个物体之间发生相对运动后计算相对位移的问题问题的提出：一个物体在一个木板上滑动，如果木板的长度有限，那么一定需要讨论物体是否能从木板上掉下来。

处理方法：（1）判断两物体共速时的相对位移与木板长度之间的关系。

若，则物体恰好不从木板上掉下。

（这是一个临界条件！可以求出木板的最小长度）（2）若，则两物体不能达到共速，物体会从木板上落下，物体离开木板时，二者的速度是不相同的。

（3）若，则两物体能达到共速，共速后依然有一段过程，二者相对静止。

常见的情形有以下几种：(1)最简单的问题：两个物体处于光滑的水平面上，上面的物块以初速度滑上木板，在滑动摩擦力作用下，最终达到一个共速的状态，最后一直匀速运动下去（相对静止）。

此类问题可以通过动量守恒定律快速的解出共速的速度，进而可以通过功能关系计算相对位移。

（此类问题本质上应该属于动量守恒中完全非弹性碰撞的范畴，可以从动力学角度分析，熟悉牛顿第二定律和匀变速运动）(2)两个物体叠加起来，只有下面木板运动，木板在外力F 作用下，先匀加速后匀减速，物块恰好不从木板上掉落，相对位移恰好为木板的长度，与物块没有什么关系。

(3)问题(1)的变体，实际上难度远超过问题(1),只需要将水平面改为粗糙的。

两个物体相对运动，一个加速，一个减速，但是水平面是粗糙的，当两个物体相对静止时，需要判断两个物体在地面摩擦力的作用下是一起相对静止还是相对运动？这就回到了第一类问题上。

典型例题：2013 新课标II(4)两个物体叠放在斜面上，先相对运动，再相对静止或者相对运动。

两个物体经过的状态都有两个，然后得计算相对位移。

典型例题：2015新课标II 。

方法提炼：从以上遇到的题型可以看出。

此类问题比较难的就是两个物体同时经历了两个过程，然后计算相对位移，处理这类问题关键点在于：(1) 正确的判断出物体的运动过程(2) V -t 图像若有拐点，说明该拐点肯定是摩擦力突变的位置，注意画出摩擦力的方向。

(3) 根据牛顿第二定律计算两物体在不同阶段的加速度（注意下面木板所受摩擦力大小,斜面上物体所受摩擦力大小）(4) 尽可能的用v-t 图像处理。

典型例题分析：考点1：用牛顿第二定律分析两物体相对静止和相对运动时的加速度例1：★★【2011 新课标】如图所示，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块．假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt (k 是常数)，木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2.下列反映a 1和a 2变化的图线中正确的是( )【分析】：1.本题是对板块类问题模型的考察。

2.F 过小，两物体相对静止，F 过大，两物体相对运动。

根据牛顿第二定律计算物体的加速度。

选A 。

开始运动时F 较小，两物体之间为静摩擦力不会相对滑动，由牛顿第二定律有，kt=（m 1＋m 2）a ，解得a=k m 1＋m 2t ，在a —t 图象中是一条直线，设1m 与m ２之间的动摩擦因数为μ，1m 的最大加速度11,m ga m μ=２当F 增大到使m 2的加速度a 2>g μ时，两物体开始分离，此时两物体之间为滑动摩擦力，对m 1应用牛顿第二定律有，μm 2g= m 1 a 1，解得a 1=μm 2g m 1为定值，在a —t 图象中是一条平行于水平t 轴的直线，对m 2应用牛顿第二定律有，kt －μm 2g= m 2 a 2，解得a 2=k m 2 t －μg ，由于k m 2＞k m 1＋m 2，即分离后在a —t 图象中a 2的斜率更大，故B 、C 、D 错，A 正确。

例2：★★★ 【2014·江苏·8】(多选)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( )A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μg C ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg 【分析】1.两个物体要相对地面滑动，F 得大于地面对B 的滑动摩擦力。

2.A 和B 之间发生相对滑动，需要计算临界力F 的大小，需要注意摩擦因数不同。

3.下面物体B 的最大加速度可以计算出！（A 对B 的摩擦力达到最大静摩擦力时加速度最大） 答案 BCD解析 当0<F ≤32μmg 时，A 、B 皆静止；当32μmg <F ≤3μmg 时，A 、B 相对静止，但两者相对地面一起向右做匀加速直线运动；当F >3μmg 时，A 相对B 向右做加速运动，B 相对地面也向右加速，选项A 错误，选项C 正确．当F ＝52μmg 时，A 与B 共同的加速度a ＝F －32μmg 3m ＝13μg ，选项B 正确．F 较大时，取物块B 为研究对象，物块B 的加速度最大为a 2＝2μmg －32μmg m ＝12μg ，选项D 正确． 考点2：板块类运动的问题的运动分析例3：★★★如图所示，质量为M 的长木板，静止放置在粗糙水平地面上，有一个质量为m 、可视为质点的物块，以某一水平初速度从左端冲上木板．从物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的v-t 图象分别如图中的折线acd 和bcd 所示，a 、b 、c 、d 点的坐标为a （0，10）、b （0，0）、c （4，4）、d （12，0）．根据v-t 图象，求：（1）物块冲上木板做匀减速直线运动的加速度大小a 1，木板开始做匀加速直线运动的加速度大小a 2，达到相同速度后一起匀减速直线运动的加速度大小为a 3（2）物块质量m 与长木板质量M 之比（3）从图像可以看出，经过多长时间两物体相对静止，求出此时两物体的位移（4）物块相对长木板滑行的距离△s例4：★★★【2013·新课标全国卷Ⅱ】一长木板在水平地面上运动,在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上,以后木板运动的速度-时间图像如图所示。

已知物块与木板的质量相等,物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。

物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且物块始终在木板上。

取重力加速度的大小g=10 m/s 2,求:(1)物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数;(2)从t=0时刻到物块与木板均停止运动时,物块相对于木板的位移的大小。

【分析】1.从v-t 图像分析物块和木板的加速度，求出摩擦因数。

2.物块和木板相对静止时，是一起匀减速还是分别运动，需要判断。

3.计算出木板和物块的位移，计算相对位移。

【解析】(1)从t=0时开始,木板对物块的摩擦力使物块由静止开始加速,物块和地面对木板的摩擦力使木板减速,直到两者具有共同速度为止。

由题图可知,在t 1=0.5s 时,物块和木板的速度相同为v 1=1m/s 。

设t=0到t=t 1时间内,物块和木板的加速度大小分别为a 1和a 2,则a 1=11v 1t 0.5=m/s 2=2 m/s 2 a 2=011v v 4t 0.5-=m/s 2=8 m/s 2 设物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2,根据牛顿第二定律,对物块有μ1mg=ma 1对木板有μ1mg+2μ2mg=ma 2联立方程得:μ1=0.2 μ2=0.3(2)在t 1时刻后,地面对木板的摩擦力阻碍木板运动,物块与木板之间的摩擦力改变方向。

设物块与木板之间的摩擦力大小为f,物块和木板的加速度大小分别为a'1和a'2,由牛顿第二定律得对物块有f=ma'1对木板有2μ2mg-f=ma'2假设物块相对木板静止,即f<μ1mg,则a'1=a'2,得f=μ2mg>μ1mg,与假设矛盾,所以物块相对木板向前减速滑动,而不是与木板共同运动,物块加速度大小a'1=1a =2m/s 2物块的v-t 图像如图中的点划线所示。

此过程木板的加速度a'2=2μ2g-μ1g=4m/s 2由运动学公式可得,物块和木板相对地面的位移分别为x 1=2×211v 2a =0.5m x 2=201112v v v 13t m 22a 8++=' 物块相对木板的位移大小为x=x 2-x 1=1.125m【答案】(1)0.2 0.3 (2)1.125m例5：★★★★【2015·新课标Ⅱ·25】下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°＝35)的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B 上有一碎石堆A (含有大量泥土)，A 和B 均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m (可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数μ1减小为38，B 、C 间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起点；在第2 s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变．已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l ＝27 m ，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g ＝10 m/s 2.求：(1)在0～2 s 时间内A 和B 加速度的大小；(2)A 在B 上总的运动时间．答案(1)3 m/s2 1 m/s2(2)4 s解析(1)在0～2 s时间内，A和B的受力如图所示，其中F f1、F N1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，F f2、F N2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得F f1＝μ1F N1①F N1＝mg cos θ②F f2＝μ2F N2③F N2＝F N1＋mg cos θ④规定沿斜面向下为正．设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得mg sin θ－F f1＝ma1⑤mg sin θ－F f2＋F f1＝ma2⑥联立①②③④⑤⑥式，并代入题给条件得a1＝3 m/s2⑦a2＝1 m/s2⑧(2)在t1＝2 s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则v1＝a1t1＝6 m/s⑨v2＝a2t1＝2 m/s⑩2 s后，设A和B的加速度分别为a1′和a2′.此时A与B之间摩擦力为0，同理可得a1′＝6 m/s2?a2′＝－2 m/s2?由于a2′＜0，可知B做减速运动．设经过时间t2，B的速度减为0，则有v2＋a2′t2＝0?联立⑩??式得t2＝1 s在t1＋t2时间内，A相对于B运动的距离为x ＝⎝⎛⎭⎫12a 1t 21＋v 1t 2＋12a 1′t 22－ ⎝⎛⎭⎫12a 2t 21＋v 2t 2＋12a 2′t 22＝12 m ＜27 m ? 此后B 静止不动，A 继续在B 上滑动．设再经过时间t 3后A 离开B ，则有l －x ＝(v 1＋a 1′t 2)t 3＋12a 1′t 23? 可得t 3＝1 s(另一解不合题意，舍去)?设A 在B 上总的运动时间t 总，有t 总＝t 1＋t 2＋t 3＝4 s用v-t 图像解：考点3：三个物体之间的物体相对运动问题例6：★★★★【2017 新课标III25 20分】如图，两个滑块A 和B 的质量分别为m A =1 kg 和m B =5 kg ，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m =4 kg ，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。