精选2019年高中数学单元测试试题-推理与证明专题测试题库(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形， 根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是-------------------------------（ ） (A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．命题：如图若点P,Q 是线段AB 的三等分点，则OP OQ OA OB +=+， 把此命题推广，设点1232008,,,....A A A A 是AB 的2009等分点，1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 1则122008....OA OA OA +++= ▲ （OA OB +）3． 观察下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．（*n N ∈）4．用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2135(21)nn n n n n n +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-()n N *∈时，从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是 .5．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222BC AC AB =+。

”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ”6．若ABC 的三边长分别为a, b, c ，其内切圆半径为r ，则S △ABC =12 （a+b+c ）·r ，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为7．设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……；以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |当n ＝3时，| A 3B 3 |当n ＝4时，| A 4B 4 |3……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N*，| A n B n |＝ ▲8．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n ＝a 1＋a 2＋……＋a 19－n (n ＜19，n ∈N)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式___________________________________成立.9．已知322322=+，833833=+，15441544=+， ，若tat a 66=+。

（t a ,均为正整数且t a ,互质）类比以上等式，可推测t a ,的值，则=+t a 。

10．一列具有某种特殊规律的数为：x 则其中x =11．观察下列等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋×12n ＝ ▲ ．12．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .13．已知扇形OAB ，点P 为弧AB 上异于A ，B 的任意一点，当P 为弧AB 的中点时，S △OAP +S △OBP 的值最大．现有半径为R 的半圆O ，在圆弧MN 上依次取点（异于M ，N ），则的最大值为 2n ﹣1R 2sin．（5分）14．如图，将全体奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第(4)n n ≥行的从左到右的第4个数是 ▲ ．15． 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是▲16．观察式子232112<+，353121122<++，474131211222<+++，则可以归纳出<++⋅⋅⋅++++2222)1(14131211n ▲ ___． 17．观察不等式：1111212⋅⋅≥，11111(1)()33224++≥， 1111111(1)(),4353246⋅++++≥，由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．三、解答题18． (本小题满分16分) 已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+的前n 项和为n S ．（1）计算1234,,,S S S S ,根据计算结果,猜想n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明； （2）试用其它方法求n S ．19．试用两种方法证明：（1）012()n n n n n C C C n N *+++=∈；（2）12122(2)n n n n n C C nC n n N n -*+++=∈≥且．（本题满分15分）13 5 7 9 11 13 15 17 19………………20．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------② 由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-==代入③得 sin sin 2sin cos22A B A BA B +-+=． (1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A BA B +--=-; (2)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos2cos2cos21A C B +-=,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断ABC ∆的形状．（本小题满分16分）21．已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. (Ⅰ)求1(1)2mx +展开式的中间项； (Ⅱ)当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小.22．空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. (1)求1234,,,a a a a ；(2)写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.23．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． (1)若1a =-，求数列{a n }的通项公式；(2)若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．24．已知f n (x)＝(1＋x)n ，n ∈N *.(1) 若g(x)＝f 4(x)＋2f 5(x)＋3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；(2) 若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )．25．某班级共派出1n +个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式, 其中男生甲为领队. 入场时,领队男生甲必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 共有n E 种排法；入场后, 又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务, 共有n F 种选法.⑴试求n E 和n F ；⑵判断ln n E 与n F 的大小*()n N ∈, 并用数学归纳法证明.26．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（本小题满分10分）27．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1,,2n n n a S S -成等比数列. (1)求234,,a a a ，并推出n a 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.28．已知数列{}n a 中，nn n a a a a -+==+743,417．（Ⅰ）是否存在自然数m ，使得当m n ≥时，2<n a ；当m n <时，2>n a ？ （Ⅱ）是否存在自然数p ，使得当p n ≥时，总有n n n a a a <++-211？29．已知数列{}n a 中，()()*110,n n a a a f a n N+=>=∈，其中()21xf x x =+. （1）求234,,a a a ； （2）猜想数列{}n a 的一个通项公式.30．用数学归纳法证明：当n 为正整数时，13＋23＋33＋……＋n 3＝22(1)4n n +．。