2019年人教版中考数学一轮复习《方程与不等式讲义》同步练习含答案

中考第一轮复习方程与不等式,一、定义方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．二、根的情况对于形如20ax bx c ++=的形式应判断a ，b ，c 的情况而定： ⑴当0a =且0b ≠方程有唯一解．⑵当0a =且0b =，0c =时，方程有无数解． ⑶当0a =且0b =且0c ≠时，方程无解． ⑷当0a ≠时，方程为一元二次方程．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根； 当0∆=时，方程有两个相等的实数根； 当0∆<时，方程无实数根．三、特殊根对于关于x 的方程20ax bx c ++=()0a >⑴当方程有一根为1时，则0a b c ++=． ⑵当方程有一根为1-时，则0a b c -+=． ⑶当方程有一根为0时，则0c =．⑷当方程两根互为相反数时，则0b =．⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则0c <． ⑹当方程两根都大于零时，则0b <且0c >． ⑺当方程两根都小于零时，则0b >且0c >．⑻当方程有一根1x 大于1，一根2x 小于1，则()()12110x x --<．四、整数根思路一：20ax bx c ++=()0a ≠有整数根必须具备的前提条件：①有实数根：240b ac -≥；②有有理数根：24b ac -是完全平方数；②有整数根：b -2a 的整数倍．思路二：能分解因式的用分离系数法．【编写思路】 本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层次. 第一个板块（能力提升）：代数式变形板块；例1复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C 要求部分.常见方法如下：①、加减消元；1、消元 Ⅰ、部分代入； ②、代入消元Ⅱ、整体代入； ①、直接开方； ②、配方：A 2 + B 2 = 0； 2、降次 ③、因式分解：A ·B = 0或A ·B = c （c 为常整数，且A 、B 均等于整数）； Ⅰ、条件为一元二次方程20ax bx c ++=：转化为 2ax bx c =--，然后进行降次；④、利用题设条件 Ⅱ、条件为错误！未找到引用源。

，转化为a n -=错误！未找到引用源。

，然后两边平方得222a na m n -=-，然后进行降次；3、换元（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。

第二个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形. 例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例2、例3）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例4）；三是公共根问题：设、代、解三步走（例5）；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择) （例6）：①、错误！未找到引用源。

为整数； 1、用十字相乘法解含参一元二次方程②、213m x m +=+错误！未找到引用源。

为整数，先用分离常数法 转化为523x m =-+错误！未找到引用源。

； ①、判别式为一次多项式时，可根据参 数的取值范围直接求出参数的整数 解，然后检验； 2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数②、判别式为二次多项式时，如243m m +-：Ⅰ、设m 2 + 4m – 3 =n 2；Ⅱ、转化为()2227m n +-=；Ⅲ、分解成A ·B = 7，从而求出m 。

【例1】 代数式变形.⑴分解因式：=-23ab a ．⑵已知2223240a b c ab b c ++---+=，则a b c ++的值为 ．⑶ 对任意实数k ，等式2y kx x k =-+恒成立，则xy = .⑷若0515285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为____________.⑸已知a 是方程2310x x -+=的根，则代数式2232521a a a -+++的值为 ．⑹当整数x 为 时，代数式221x x x+-的值为整数.⑺已知m 、n 为整数，且2280m n --=（0n >），则1n m += .⑻已知2x m n =+，37y m n =-， 2.3 4.5z m n =-，用x 、y 表示z 为 .【解析】 ⑴ ))((b a b a a -+.点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.⑵ 2223240a b c ab b c ++---+=()222232133044b c c a ab b b ⎛⎫⎛⎫-++-++-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()222131022b b c a ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()210c -≥，202b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，23102b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥∴()210c -=，202b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，23102b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=∴1c =，2b =，1a = ∴4a b c ++=.⑶ 由2y kx x k =-+得()2x k x y +=+，对于任意的k 成立，故200x x y +=⎧⎨+=⎩故22x y =-⎧⎨=⎩，故4xy =-.点评：此类题有两种解法，一种是变为00k =的形式，一种是对k 进行赋值解方程组.⑷ 对分母进行整体换元：令2251t x x =-+，原方程化为8150t t-+-=，去分母得2680t t -+=，解得12t =，24t =，故22510x x --=或2. ⑸ 把a 代入得2310a a -+=，22233113252313a a a a a a a a a a a+-++=+=+===+.⑹ 22112x x x x x +-=+-，当1x =±，代数式221x x x+-的值为整数. ⑺ 由2280m n --=得()()()()()()818241824m n m n +-==⨯=⨯=-⨯-=-⨯-， ∵0n >，∴m n m n +>-81m+n m n =⎧⎨-=⎩或42m+n m n =⎧⎨-=⎩或18m+n m n =-⎧⎨-=-⎩或24m+n m n =-⎧⎨-=-⎩ 解得 4.53.5m n =⎧⎨=⎩（舍）或31m n =⎧⎨=⎩或 4.53.5m n =-⎧⎨=⎩（舍）或31m n =-⎧⎨=⎩∴1n m +=9.⑻ 0.20.7z x y =+.【例2】 已知：关于x 的一元二次方程220x x m --=有实数根．⑴ 求m 的取值范围；⑵ 若a ，b 是此方程的两个根，且满足()223124122a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1，求m 的值．【解析】(1) 4+4m ≥0，m ≥-1；(2) 将a ，b 代入一元二次方程可得，022=--m a a ，022=--m b b ，m a a =-22，m b b =-22()()()()().25-101-52231-2121231-421-2122舍去或，，，==∴=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m m m m b b a a 【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.【例3】 知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ① 有两个相等的实数根；⑴ 用含n 的代数式表示2m ；⑵ 求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根；⑶ 若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值.【解析】⑴ 证明： 方程①有两个相等的实数根，∴-≠=--=⎧⎨⎩n m n 1041012∆() ∴=-m n 241()且m ≠0，则n ->10由方程②，有∆222224423=---+m m m n () =++-4123222m m n ()=+-+-41442322m n n () =+-424622m n n () =8312m n n ()()+- n ->10且m ≠0， ∴>+>80302m n ， ∴+->83102m n n ()() ∴>∆20∴方程②必有两个不相等的实数根。

⑵ 解法一：由m n 241=-()可得n m -=142将n -1=m 24代入方程<1>得m x mx 22410++= 解得x x m122==-方程①的一根的相反数是方程②的一个根， 由根的定义，得m m m mm n 2222222230⋅-⋅--+=() 整理，得--+=m n 22230 即---+=241302n n () ∴+=2472n n∴+=+=-+m n n n m n n 2212124412()() =+=+=482241422n n n n () 解法二：由解法一得2m是方程②的一个根。

设方程②的另一根为y 0 由根与系数的关系可得y m m022+=；∴=y 00；∴--+=m n 22230； 以下同解法一。

解法三： m n 241=-()∴方程②为4124123022()()n y my n n -----+=③方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为y 1， ∴-y 1为方程①的根。

∴--+=()n y my 110121由方程③变形，得[]4112423012112()n y my my n n --++--+=∴--+=2423012my n n 又由解法一可知，y m12= ∴+=2472n n以下同解法一。

【例4】 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0.⑴ 判定方程根的情况；⑵ 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．【解析】⑴ 2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+ ∵ 20,m ≥∴ 280.m ∆=+>所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根.⑵ 设221y x mx =+-．∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间， ∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．当32x =时，0y >，即：931022m +->．∴ 1213m -<<．∵ m 为整数， ∴ 210m =--，，． ① 当2m =-时，方程222104812x x --=∆=+=，， 此时方程的根为无理数，不合题意．②当0m =时，方程2210x -=，x =，不符合题意． ③当1m =-时，方程212121012x x x x --==-=，，，符合题意．综合①②③可知，1m =-．【例5】 已知关于x 的两个一元二次方程：方程①: 01)2()21(2=-+++x k x k ; 方程②: 032)12(2=--++k x k x .⑴ 若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；⑵ 若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化⑶ 若方程①和②有一个公共根a , 求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．【解析】⑴ ∵方程①有两个相等实数根,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=∆≠+.0)21(4)2(,02121k k k 由③得k + 2 ≠0, 由④得 (k + 2) (k +4) =0. ∵ k + 2≠0,∴ k =-4.当k =-4时, 方程②为: 0572=+-x x .解得 ⋅-=+=2297,229721x x ⑵ 由方程②得 ∆2= )32(4)12(2+++k k .法一: ∆2－∆1＝)32(4)12(2+++k k -(k + 2) (k +4) =3k 2＋6k +5 =3(k +1)2＋2>0. ∴ ∆2>∆1.∵ 方程①、②只有一个有实数根， ∴ ∆ 2>0> ∆ 1.∴ 此时方程①没有实数根.由 ⎩⎨⎧>++=++=∆<++=∆,04)32(13124,0)4)(2(2221k k k k k 得 (k + 2) (k +4)<0.③④22222242)4()2()4()124()4()4(1241⎪⎭⎫⎝⎛++=++=++-+=++-k k k k k k k k k .∵ (k + 2) (k +4)<0, ∴42)4(12412++-=++-k k k k . 法二: ∵ ∆ 2=4)32(13124)32(4)12(222++=++=+++k k k k k >0. 因此无论k 为何值时, 方程②总有实数根.∵ 方程①、②只有一个方程有实数根， ∴ 此时方程①没有实数根. 下同解法一.⑶ 法一: ∵ a 是方程①和②的公共根,∴ 01)2()21(2=-+++a k a k ; 032)12(2=--++k a k a . ∴ 2)2(2)2(2=+++a k a k , 32)12(2=-++k a k a .22222(42)35(3)(45)2(2)2(2)(21)2.a a k a a k a k a k k a k a a k a k +-++=+++-=++++++-=2+3=5.法二: ∵ a 是方程①和②的公共根,∴ 01)2()21(2=-+++a k a k ; ③ 032)12(2=--++k a k a . ④ ∴（③－④）⨯2得22(1)4 4.ka k a k =--- ⑤由④得2(21)2 3.a k a k =-+++ ⑥ 将⑤、⑥代入原式，得原式=224235ka ak k a a +-++=2(1)44423(21)695k a k ak k k a k a ---+--++++=5.【例6】 已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++=⑴ 求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.⑵ 若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.【解析】⑴ 证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根. ②当0m ≠时, []2(32)4(22)m m m ∆=-+-+=22912488m m m m ++-- =244m m ++ =2(2)0m +≥所以,方程有实数根综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根⑵ 令0y =，则2(32)220mx m x m -+++= 解关于x 的一元二次方程，得11x = ，222x m=+二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2所以抛物线的解析式为254y x x =-+或2286y x x =-+【例题精讲】【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理 【探究方法】思路1：探究方程是否能直接求根？思路2：如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一种情况应该用什么样的方法处理？ 思路3：如何应用根与系数的关系解决整数根问题？整系数一元二次方程有整数根，则： (1)两个根都是整数； (2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方； (4)两根和是整数，两根积是整数. 一、直接求根法：【探究1】已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根是整数，那么符合条件的整数a 的值为 分析：当1a =时，1x =符合条件当1a ≠时，易知1x =是方程一个整数根由根与系数关系知另一根为211x a=-- 因为x 为整数，所以112a -=±±，，即1023a =-，，， 所以10123a =-，，，，． 【探究2】已知方程()2213(31)180k x k x ---+=有两个不相等的正整数根，求整数k 的值.分析：()()+1613=0k x k x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1263=, =+11x x k k - 因为方程有两个正整数根，即 +1=1,2,3,6.k 1=1,3k -，所以=2k二、判别式法【探究3】设m 为整数，且440m <<，又方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根.求m 的值及方程的根.分析：考察判别式△＝4(2m ＋1)，因是关于m 的一次式， 由已知4＜m ＜40，可知 9＜2m ＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m ＋1＝25或2m ＋1＝49. 当2m ＋1＝25时，m ＝12，方程两根分别为16，26； 当2m ＋1＝49时，m ＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式是一次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围.【探究4】已知k 为自然数，关于x 的方程()2101x x k k ++=-有两个整数根，求出这个方程的正整数根和k .分析：要得整数根，判别式必须为完全平方数或式．原方程可化为()21010x x k k ++--= 则()()2141012140k k k ∆=---=--⎡⎤⎣⎦ 设()()2221400k m m --=> 则()222140k m --=所以()()212140k m k m -+--= 因为21k m --，21k m -+为整数 而4014022041058====××××考虑到21k m --，21k m -+奇偶性相同 且2121k m k m -+>--故有21202110212214k m k m k m k m -+=-+=⎧⎧⎨⎨--=--=⎩⎩，6493k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 分别代入方程可得正整数根为4x =或1x =所以当6k =时正整数根为4，当4k =时正整数根为1．【探究5】设m 为整数，22(5)40mx m x m +-+-=有整数根，则m 的值为 . 分析：当0m =时，原方程可化为4104010x x --==-，不合题意； 当0m ≠时，10024m ∆=- 令210024m n ∆=-=210024n m -=()252m n x m--±=即121212111010x x n n=-+=-+-+， 101234612n -=±±±±±±，，，，，； 101234612n +=±±±±±±，，，，，且210024n m -=，m 为整数，故4416m =--，，．三、根与系数关系【探究6】若关于x 的二次方程()()222130a x a x a a ---++=的两根都是整数，求整数a 的值. 分析：因为所给的方程是二次方程，所以1a ≠由根与系数关系，得2122211a a x x a a a +==++-- 因为12x x ，为整数，所以21a -必为整数．因为a 为整数，所以1023a =-，，， 当1a =-时，方程为2220x x -+=，10x =，21x =两根均为整数 当0a =时，方程为230x x -+=，10x =，23x =两根均为整数 当2a =时，方程为260x x -+=方程无实根当3a =时，方程为2360x x -+=方程无实根 所以当10a =-，时，方程为两根均为整数．【探究7】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程()2210rx r x r +++-=有根且只有整数根. 分析：若0r =，则方程为210x -=，12x =不合题意若0r ≠，设方程的两个整数根为1x ，()212x x x ≤则()122r x x r -++=，121r x x r-=于是()121212223r r x x x x r r-+-+=+=()12124217x x x x -++=，()()1221217x x --=因为1x ，2x 为整数，且12x x ≤， 所以2211217x x -=⎧⎨-=⎩，12217211x x -=-⎧⎨-=-⎩1214x x =⎧⎨=⎩；1230x x =-⎧⎨=⎩． 所以121==4,0r x x r - 解得1=,13r -注意：探究5和探究7为提高尖子班选讲内容，教师也可根据具体班级情况进行讲解. 以上建议仅供教师参考.【总结】1：对含参的一元二次方程，要立刻对其因式分解，这是解决整数根问题的策略习惯.2：判别式的形式有很多形式，最容易的就是完全平方式，但这种不怎么常考；对于判别式有以下几种常考形式，对这几种形式进行总结：（1）判别式是一次式且参数已知，利用判别式为完全平方数求参数值；（探究3） （2）判别式是二次式且不为平方式，可采用配方法变形；（探究4） （3）判别式是一次式但参数未知，可设其为平方数,并来表示值；（探究5选讲）3：两个整数的和与积都是整数，充分利用整数运算的结构特征，把韦达定理和求解一元二次方程的整数解有机的结合起来，在思考过程中需要认真分析题干条件，整数解、正整数解都对代数式的讨论起着重要的作用。