四边形讲义(二)

合集下载

北师大版九年级数学(上)《四边形》讲义

1. 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。

教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。

教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。

学习过程：活动一：1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。

2. 按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为什么是轴对称图形？有对称轴。

图中相等的线段有：图中相等的角有：③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边的对角线：活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。

平行四边形菱形？2.如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积。

随堂练习：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是12cm ，16cm ，它的周长等于，面积等于。

（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2，菱形的四个内角是。

（3）已知：菱形的周长是20cm ，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是。

（4）已知：菱形的周长是52 cm ，一条对角线长是24 cm ，则它的面积是。

二、解答题已知：如图，在菱形ABCD 中，周长为8cm ，∠BAD=1200 对角线AC ，BD 交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积。

菱形的性质作业1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等 2、菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（）A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D. 84cm 2 3、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.A BC D O6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3 （C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

北师版九年级上册数学第一章第二课时四边形证明讲义及习题含答案

3.（1）证明略；
提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．
（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时；四边形AEBD是正方形；理由略．
4.（1）证明略；
提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，
（1）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，∠ACB的大小为多少时，四边形AECF为正方形（不要求说明理由）？
【参考答案】
课前预习
2.①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
四边形证明（讲义）
课前预习
1.我们在做几何证明题时，如果已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．而如果要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定方法．
例如：
在四边形ABCD中，若AB=CD，要证明四边形ABCD是平行四边形，我们考虑判定方法：对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC，交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，则四边形AEMF是什么特殊四边形？请证明你的结论．
7.如图，在△ABC中，O是AC边上的一动点（不与点A，C重合），过点O作直线MN∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．

四边形讲义

四边形（一）多边形1.多边形：一般地，由n 条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形。

2.对角线：联结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3.正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

4.定理： n 边形的内角和为_(n-2)180°,外角和为_360°.例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多变性是几边形？解：设这个多边形的边数为n.有多边形的内角和与外角和定理，得出这个多边形的一个内角=（n-2）*180°/n, 一个外角=360°/n.由已知，得360°/n=2/3*[(n-2)*180°]/n 解得n=5（二）平行四边形 1.概念平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行，四条边相等对角相等两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直有一个角是直角一组邻边相等平行四边形矩形菱形正方形2.判断一个四边形是正方形可以有以下几种思路：① 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 ② 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等③ 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 ④ 判定一个四边形是对角线相等，并且互相垂直平分 8.特殊四边形的判定1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫. A BCD 1234ABDOCABDOC5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 6. 矩形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. 7．菱形的性质：因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ 8．菱形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质：因为ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ A BCDO10．正方形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是正方形.11．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（CDBAOCDBAOABCD OAD BCOADBCOCD AB12．等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒四边形ABCD 是等腰梯形14．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.7.三角形中位线定理三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形》期末备考讲义

北师大版四年级下册数学优选题单元复习讲义第二单元《认识三角形和四边形》1、按照不同的标准给已知图形进行分类①按平面图形和立体图形分；②按平面图形是否由线段围成来分的；③按图形的边数来分。

2、平行四边形和三角形的性质：三角形具有稳定性，平行四边形具有易变形（不稳定性）的特点。

3、把三角形按照不同的标准分类，并说明分类依据；①按角分，分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形其本质特征：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

②按边分，分为：等腰三角形、等边三角形、任意三角形。

有两条边相等的三角形是等腰三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。

（等边三角形是特殊的等腰三角形）4、三角形内角和、三角形边的关系① 任意一个三角形内角和等于180度。

② 三角形任意两边之和大于第三边。

已知两条边的长度，那么第三边的长度要大于已知两边之差小于两边只差。

③ 能应用三角形内角和的性质和三角形边的关系解决一些简单的问题。

④ 四边形的内角和是360°⑤ 用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

⑥ 用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。

⑦ 用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形。

一个大的等腰的直角的三角形。

5、四边形的分类① 由四条线段围成的封闭图形叫作四边形。

四边形中有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，只由一组对边平行的四边形是梯形。

② 长方形、正方形是特殊的平行四边形。

正方形是特殊的长方形。

③ 正方形、长方形、等腰梯形、菱形、等腰三角形、等边三角形、圆形是轴对称图形。

a 正方形有4条对称轴。

b 长方形有2条对称轴。

菱形有2条对称轴。

c 等腰梯形有1条对称轴。

d 等边三角形有3条对称轴。

e 圆有无数条对称轴。

1.下面说法错误的是（）。

A. 正方形相邻的两条边互相垂直B. 平行四边形不容易变形C. 长方形是特殊的平行四边形D. 只有一组对边平行的四边形叫做梯形【答案】B【解析】【解答】解：平行四边形容易变形。

第十八章四边形章节复习辅导讲义

第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架： 1.四边形的知识结构 2.平行四边形的知识结构二、四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。

2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD 等。

3. 四边形的分类：（1）按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。

注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。

（2）按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。

② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a ．一般的梯形b ．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。

c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。

（3）平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。

C. 菱形：邻边相等的平行四边形。

D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。

4. 四边形的内角和与外角和：（1）四边形的内角和为360度（2）四边形的外角和为360度。

5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3. 如图1，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD•于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．4. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．5. 四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）1250°1 2A BC DB F C6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．7.如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，3AB DC ==，则BC = ． 8.已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一）平行四边形：1. 定义：两组对边分别平行的四边形。

四边形证明(讲义及答案)

四边形证明（讲义）知识点睛菱形精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．OA EB C FD2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．O ED C BAA DFEB G C4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FED CBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCB6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ．（1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A7. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O 作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．（2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCDE F NMOABC D四边形证明（习题）巩固练习1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 在边BC 上，且AB ∥DE ，AF ∥DC ，四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当AB =DC 时，求证：平行四边形AEFD 是矩形．2. 如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 的直线分别交AB ，CD 的延长线于点E ，F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．F DC OEB AFE DCBA3. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB ，交AE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）求证：DB =CF ；（2）若AC =BC ，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．4. 如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．5. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠ACB 的平分线相交于点E ，与∠DCA（△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）求证：OE =OF ；（2）若CE =12，CF =5，求OC 的长；（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．FE DC BAQPN MBCDAA B C D E F N M O AB C D。

浙教版八年级下册第四章平行四边形第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)

平行四边形第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用【思路点拨】延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.∴∠AEP＝∠PF C．∴AD∥B C．可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，再证△PED≌△PFB，得PB＝P D．∴四边形ABCD为平行四边形．例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，过点F作FG⊥EC于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴AB＝A C．∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠FA C．∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.∵BH＝CH＝2，AH＝23，∴EH＝AH＝2 3.∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.∵∠FCG＝∠ABC＝60°，∴FG＝32(23－2)＝3－ 3.【思路点拨】对于平行四边形的证明，首先通过证明△ADP≌△BEP，可得DP＝EP，从而通过对角线互相平分证得结论．而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半.例3如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．(1)如图①，当P为AB的中点时，连结AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形．(2)如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．答图解：(1)∵P为AB的中点，∴AP＝BP.∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP＝∠BEP＝90°，且AD∥BE.又∵∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△BEP.∴DP＝EP.又∵AP＝BP，∴四边形ADBE是平行四边形．(2)如图，延长DQ交BE于点F.∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴AD∥BE.∴∠DAQ＝∠FBQ.又∵∠AQD＝∠BQF，AQ＝BQ，∴△ADQ≌△BFQ.∴DQ＝FQ.又∵BE⊥DC，∴QE是Rt△DEF斜边上的中线．∴QE＝QF＝Q D．∴△QDE是等腰三角形．例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.(2)在题(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)．(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明．解：(1)如图①，连结CE.在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥B C．∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥A B．∴∠ACE＝∠BCE＝45°.∴∠ECF＝∠EAD＝135°.∵ED ⊥EF ，∴∠CEF ＝∠AED ＝90°－∠CE D ．在△CEF 和△AED 中，∵⎩⎨⎧∠CEF ＝∠AED ，EC ＝AE ，∠ECF ＝∠EAD ，∴△CEF ≌△AE D ．∴ED ＝EF .(2)连结CE .由题(1)知△CEF ≌△AED ，CF ＝A D ．∵AD ＝AC ，∴AC ＝CF .∵DP ∥AB ，∴FP ＝P B ．∴CP ＝12A B ．∴四边形ACPE 为平行四边形．(3)垂直．理由如下：过点E 作EM ⊥DA ，交DA 延长线于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N . 在△AME 与△CNE 中∵⎩⎨⎧∠M ＝∠CNE ＝90°，∠EAM ＝∠NCE ＝45°，AE ＝CE ，∴△AME ≌△CNE .∴ME ＝NE .又∵∠DME ＝∠ENF ＝90°，DE ＝EF ， ∴△DME ≌△FNE .∴∠ADE ＝∠CFE .在△ADE 与△CFE 中，∵⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFE ，∠DAE ＝∠FCE ，DE ＝EF ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．∴∠DEA ＝∠FE C ．∵∠DEA ＋∠DEC ＝90°，∴∠FEC ＋∠DEC ＝90°.∴∠DEF ＝90°.∴ED ⊥EF .例5如图，E，F为△ABC中AB，BC的中点，在AC上取G，H两点，使得AG＝GH＝HC，EG与FH的延长线相交于点D，求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：如图，连结BG，BH，连结BD交AC于点O.∵AG＝GH，∴G是AH的中点．∵在△ABH中，E是AB的中点，∴EG∥BH.∴GD∥BH.∵GH＝HC，∴H是CG的中点．∵在△CBG中，F是BC的中点，∴FH∥BG.∴DH∥BG.∴四边形BHDG是平行四边形．∴OG＝OH，OB＝O D．又∵AG＝HC，∴OA＝O C．∴四边形ABCD是平行四边形．命题点二：三角形中位线的性质和应用例6如图，AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE＝AB，M，N分别为BC，AE的中点．求证：MN∥A D．证明：如图，连结BE，取BE中点F，连结FN，FM. ∵FN为△EAB的中位线，∴FN＝12AB，FN∥A B．∵FM为△BCE的中位线，∴FM＝12CE，FM∥CE.∵CE＝AB，∴FN＝FM.∴∠3＝∠4.∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠5，∠1＝∠2，∴∠2＝∠5.∴NM∥A D．例7如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE(不需证明)．(1)如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．(2)如图③，在△ABC中，AC >AB，D点在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G.若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．解：(1)△OMN为等腰三角形．(2)△AGD为直角三角形，证明如下：如图②，连结BD，取BD的中点H，连结HF，HE.∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB 2.同理，HE∥CD，HE＝CD 2.∵AB＝CD，∴HF＝HE.∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°. ∴∠HEF＝∠HFE＝60°.∴△EHF是等边三角形．∴∠3＝∠HFE＝∠EFC＝∠AFG＝60°.∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝F D．∴∠FGD＝∠FDG＝30°.∴∠AGD＝90°，即△AGD是直角三角形．例8如图，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，求证：EF<12(AB＋CD)．证明：如图，取BC的中点为G，连结EG，FG.∵点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，∴FG＝12DC，EG＝12A B．答图∵在△EFG中，EF<EG＋FG，∴EF<12(AB＋CD)．课后练习1．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，D是该平面内任意一点，若A，B，C，D四个点恰能构成一个平行四边形，则在该平面内符合这样条件的点D有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8, 点D在BC上，在以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE能取的最小值是( B )A．4 B．6 C．8 D．103．如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15的两个根，那么连结这个三角形三边的中点，得到的新三角形的周长可能是( A )A．5.5 B．5 C．4.5 D．44．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN ＝3，则△ABC的周长是( D )A．38 B．39 C．40 D．415．如图，P是▱ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PAD＝2，则涂色部分的面积为( B )A．4 B．3 C．5 D．66．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线的中点，E，F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是 140°.7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2.若CF＝2，AE＝3，则BE的长是7 .8．如图，AD∥BC，∠EAD＝∠EAB，∠EBA＝∠EBC，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C．若AD＝3，BC＝4，则AB＝ 7 .9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点．若MN＝2，则AE＝2 2 .10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且满足∠FPQ＝∠FQP，若BD＝10，则AC为 10 .11．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，求证：CH⊥DF.证明：如图，分别延长AE和DC，交于点P.∵AB∥CP，∴∠ABE＝∠PCE.又∵CE＝BE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE.∴PC＝A B．又∵AB＝CD，∴PC＝CD，即C为PD的中点．∵H为DF的中点，∴CH为△DFP的中位线．又∵DF⊥AE，∴CH⊥DF.12．已知两个共一个顶点的等腰直角三角形ABC，等腰直角三角形CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连结AF，M是AF的中点，连结MB，ME.(1)如图①，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF.(2)如图①，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长．(3)如图②，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.解：(1)延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝B D．∴B为线段AD的中点．又∵M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线．∴BM∥CF.(2)由题(1)知AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝2a，BM＝12 DF.分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形．∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22A．∴E为FG中点．又∵M为AF中点，∴ME＝12AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2A．∴BM＝ME＝12×2a＝22A．(3)延长AB交CE于点D，连结DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形．∴AB＝BC＝BD，AC＝C D．∴B为AD的中点．又∵M 为AF 中点，∴BM ＝12DF .延长FE 与CB 交于点G ，连结AG ，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形． ∴CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG .∴E 为FG 中点．又∵M 为AF 的中点，∴ME ＝12AG .在△ACG 与△DCF 中，∵⎩⎨⎧AC ＝CD ，∠ACG ＝∠DCF ，CG ＝CF ，∴△ACG ≌△DCF (SAS )． ∴DF ＝AG .∴BM ＝ME .13．(2018·武汉市自主招生模拟题)如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且MC ＝MD ，分别过C ，D 两点作边BC ，AD 的垂线，设两条垂线的交点为P ，若∠PAD ＝35°，则∠PBC 的度数的是( B )A ．45°B ．35°C ．55°D ．65°14．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF .设正方形的中心为O ，连结AO ，若AB ＝4，AO ＝62，则AC 的长为 16 .15．已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使得DE ＝DF ，过点E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P .求证：∠PAE ＝∠PBF .证明：如图，分别取AP ，BP 的中点M ，N ，并连结EM ，DM ，FN ，DN .根据三角形中位线定理，可得DM∥BP，DM＝12BP＝BN，DN∥AP，DN＝12AP＝AM.∴∠AMD＝∠APB＝∠BN D．∵M，N分别为Rt△AEP，Rt△BFP斜边的中点，∴EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM.∵DE＝DF，∴△DEM≌△DFN(SSS)．∴∠EMD＝∠FN D．∴∠EMD－∠AMD＝∠FND－∠BN D．∴∠AME＝∠BNF.∴△AME，△BNF为顶角相等的等腰三角形．∴∠PAE＝∠PBF.。

北师大四年级下册讲义第四讲认识三角形和四边形(二)(含答案)

第四讲认识三角形和四边形（二）知识点四三角形边的关系1、三角形任意两边之和大于第三边。

2、根据上述知识点判断所给的已知长度的三条线段能否围成三角形。

如果能围成三角形，能围成一个什么样的三角形。

知识精讲四例1.三角形两边之和（）第三边A.大于B.小于C.等于例2 .1，2，3厘米的三根火柴（）围成三角形A.能B.不能例3.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为________。

例4.若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为________。

例5.长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有________种选法。

例6.三角形的周长是24cm，三边长是三个连续的自然数，则三边长为________。

例7.在△ABC中，若a＝3，b＝5，则第三边c的取值范围是________。

例8.△ABD中，△B的对边是________。

例9.如果三条线段的比：（1）5：20：30；（2）5：10：15；（3）3：3：5（4）3：4：5；（5）5：5：10。

那么其中可以构成三角形的比有________。

例10.等腰三角形腰长10厘米，周长24厘米，底长________厘米。

例11.等腰三角形可以分为________、________、________。

例12.三角形按边分类可以分为________、________。

例13.已知等腰三角形的两边长分别为4，9，求它的周长例14.一个等腰三角形，周长为20cm，一边长6cm，求其他两边长参考答案1.【答案】A【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形两边之和大于第三边。

【分析】考查了三角形的特性。

2.【答案】B【考点】三角形的特性【解析】【解答】两边之和大于第三边才能围成三角形【分析】考查了三角形的特性3.【答案】17【考点】三角形的特性【解析】【解答】由两边之和大于第三边，另外一边只能是7，周长17厘米【分析】考察了三角形的特性4.【答案】10或11【考点】三角形的特性【解析】【解答】由两边之和大于第三边，另外一边可能是3或4【分析】考察了三角形的特性5.【答案】2【考点】三角形的特性【解析】【解答】3＋5＋7，5＋7＋10，一共两种【分析】考察了三角形的特性6.【答案】7cm ，8cm ，9cm【考点】三角形的特性【解析】【解答】其中一边必为24÷3＝8，所以剩下两边是7和9【分析】考察了三角形的特性7.【答案】2到8【考点】三角形的特性【解析】【解答】根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边判断【分析】考察了三角形的特性8.【答案】AD【考点】三角形的特性【解析】【解答】画出三角形，来判断【分析】考察了三角形的特性9.【答案】（3），（4）【考点】三角形的特性【解析】【解答】根据两边之和大于第三边，两边只差小于第三边判断【分析】考察了三角形的特性10.【答案】4【考点】三角形的特性【解析】【解答】24－10－10＝4厘米【分析】考察了三角形的特性11.【答案】等腰直角三角形；等腰锐角三角形；等腰钝角三角形【考点】三角形的特性【解析】【解答】等腰三角形的三种分类【分析】考察了三角形的特性12.【答案】等腰三角形；等边三角形【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形的分类【分析】考察了三角形的特性13.【答案】解：另外一边根据边的关系，只能是9，9＋9＋4＝22答：它的周长是22【考点】三角形的特性【解析】【分析】考察了三角形的特性14.【答案】解：如果一边6厘米为腰时,则其他两边一个是腰6厘米,别一边是:20-6X2=8厘米；如果一边6厘米为底边时,则两个腰都是:(20-6)÷2=7厘米【考点】三角形的特性【解析】【分析】考察了三角形的特性对应练习一、选择题1.三角形两边之差（）第三边A.大于B.小于C.等于2 .5，6，7厘米的三根火柴（）围成三角形A.能B.不能3.有3厘米和4厘米的火柴，加上（）厘米的火柴后能围成三角形A.6B.7C.8二、判断题4.三条线段一定能围成三角形5.三角形任意两边之和一定大于第三边6.三角形的三边长可以相等7.用四根一样的火柴棒可以围成一个三角形8.三角形任意两边之差大于第三边三、应用题9.三角形两边长为5厘米，8厘米，求第三边边长10.有木条4根，长度为12厘米，10厘米，8厘米，4厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有哪几种11.三角形两边长为2厘米和7厘米，第三边长是奇数，第三边长多少?对应练习答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】三角形的特性【解析】【解答】三角形两边之差小于第三边。

小五数学-第2讲-平行四边形面积计算-讲义教师版

小五数学-第2讲-平行四边形面积计算-讲义教师版work Information Technology Company.2020YEAR第2讲平行四边形面积计算1.熟练掌握平行四边形面积计算公式，能正确地计算平行四边形的面积。

；2.通过对图形的观察、比较，发展空间观念，初步知道转化的思考方法在研究平行四边形面积时的运用；学习难点：理解并掌握平行四边形的面积公式；学习难点：理解平行四边形面积公式的推导过程。

1，重点：平行四边形面积的计算公式2，难点;平行四边形与其他形状组合起来组合面积问题快速计算下列图形的面积。

复习巩固：长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长问题：第三个图形的面积怎么计算呢？新知讲解1.下面两个图形的面积相等吗？2.下面两个图形的面积相等吗？3.你能把平行四边形转化成长方形吗？问题：(1).比较以上两种转化方法，说说它们有什么相同的地方？（都是沿着平行四边形的高剪开的）(2).是不是所有的平行四边形都可以转化成长方形转化前后两个图形有什么关系（所有的平行四边形都能转化成长方形；并且转化前后两图形面积相等）4.把平行四边形转化成长方形，求出面积，完成下列表格。

(1).转化成的长方形平行四边形长/cm宽/cm面积/cm2底/cm高/cm面积/cm2 64246424(2).转化成的长方形平行四边形长/cm宽/cm面积/cm2底/cm高/cm面积/cm2 1055010550转化成的长方形平行四边形长/cm宽/cm面积/cm2底/cm高/cm面积/cm2 642464241055010550结论：= ×宽；平行四边形的面积 = 底×高5.平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积= 底×高如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，上面公式可以写成：S = a × h知识点一：平行四边形面积计算公式的应用（1）平行四边形面积计算公式：面积=底×高；（2）面积计算表达式及说明：S = a·h，其中字母a表示平行四边形的底，字母h表示平行四边形底边为a上的高。

浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形第2讲(正方形)培优讲义(含解析)

特殊平行四边形第2讲（正方形）命题点一：根据相应的判定方法解题例1下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF命题点二：利用性质解决相关问题例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )A．4个 B．6个 C．8个 D．10个例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF 的度数为 105°.命题点三：利用图形的对称性解题例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD 2E C．其中正确结论的序号是( A )A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②④ D．①④例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A)A．22B．1 C． 2 D． 3命题点四：用旋转的方法解决问题例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )A． 2 B． 3 C．2 D． 5例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB 的度数为( B )A．120°B．135° C．150°D．以上都不对命题点五：利用面积法解有关的问题例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9例10将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．18 cm2命题点六：利用正方形半角模型解题例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( C )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S＝3.其中正确结论的个数是( B )△FGCA．4 B．3 C．2 D．1命题点七：利用弦图模型解题例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF ＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为20 2 .命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直例15如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13 cm，则线段CE的长为 7_cm.例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q .若PQ＝AE，则AP长为( C )A．0.5 B．1 C．1或2 D．0.5或2.5课后练习1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC 的度数为( A )A．60°B．67.5°C．75°D．54°2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )A．70 B．74 C．144 D．1483．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )A．∠EAF＝∠FAB B．FC＝13BC C．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或65．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋166．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为1234.7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG＝89.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为 7 .9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝ 45°.10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 15°或165°.11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋3，若AC＝CD，则边AD的长为6.12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长．解：(1)∵EF ⊥BP ，EH ⊥AB ，∴∠FEH ＋∠EMQ ＝90°＝∠PBA ＋∠BMH . 又∵∠QME ＝∠BMH ， ∴∠FEH ＝∠PB A ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝A D ． ∵EH ⊥AB ，∴∠EHA ＝90°＝∠A ＝∠D ． ∴四边形ADEH 是矩形． ∴AD ＝EH . 又∵AB ＝AD ， ∴AB ＝EH .在△ABP 与△HEF 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠FHE ，AB ＝HE ，∠ABP ＝∠HEF ，∴△ABP ≌△HEF (ASA )． ∴AP ＝FH .(2)如图，连结PF ，PE .∵EF 垂直平分BP ， ∴PF ＝BF .设AF ＝x ，则PF ＝BF ＝12－x .∴在△APF 中，42＋x 2＝(12－x )2，解得x ＝163.∴AF ＝163. ∴BF ＝AB －AF ＝203，BH ＝BF －FH ＝83， DE ＝AB －BH ＝283. ∴PE ＝DP 2＋DE 2＝4853. ∵BP ＝AP 2＋AB 2＝410， ∴PQ ＝12BP ＝210.∴EQ ＝PE 2－PQ 2＝10103. 13．(2018·北京) 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，连结DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连结DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连结BH .(1)求证：GF ＝G C ．(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．证明：(1)如图，连结DF . ∵点A ，F 关于DE 对称， ∴AD ＝FD ，AE ＝FE . 在△ADE 和△FDE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝FD ，AE ＝FE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE (SSS )． ∴∠DAE ＝∠DFE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝C D ． ∴∠DFE ＝∠A ＝90°.∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°. ∴∠DFG ＝∠C ．∵AD ＝DF ，AD ＝CD ，∴DF ＝C D ．在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，∵⎩⎨⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt △DCG ≌Rt △DFG (HL )． ∴GF ＝G C ． (2)BH ＝2AE .如图，在AD 上取点M 使得AM ＝AE ，连结ME .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠A ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE ≌△FDE ， ∴∠ADE ＝∠FDE . 同理，∠CDG ＝∠FDG .∴∠EDG ＝∠EDF ＋∠GDF ＝12∠ADF ＋12∠CDF ＝12∠ADC ＝45°. ∵DE ⊥EH ，∴∠DEH ＝90°.∴∠EHD ＝180°－∠DEH －∠EDH ＝45°.∴∠EHD ＝∠EDH .∴DE ＝EH .∵∠A ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°.∵∠DEH ＝90°，∴∠AED ＋∠BEH ＝90°.∴∠ADE ＝∠BEH .∵AD ＝AB ，AM ＝AE ，∴DM ＝E B ．在△DME 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧ DM ＝EB ，∠MDE ＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH (SAS )．∴ME ＝BH .在Rt △AME 中，∠A ＝90°，AE ＝AM ，∴ME ＝AE 2＋AM 2＝2AE .∴BH ＝2AE . 14．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG (点D ，点F 在直线CE 的同侧)，连结BF .(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长．(2)如图②，点E 在线段AD 上，AE ＝1.①求点F 到AD 的距离；②求BF 的长．(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4 5.(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°.∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH. ∴FH＝E D．∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3. ∴FH＝3，即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74.(3)AE＝2＋41或AE＝1.15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF ＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为6 5 .16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为 62 .17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)若∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长．(2)求证：AG－GF＝GE.解：(1)∵∠1＝30°，DG＝3，∴正方形ABCD的边长为3DG＝3.(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P. ∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，∴∠4＝90°－2∠1.在等腰三角形GFH中，∠GHF＝12(180°－∠4)＝45°＋∠1.又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，∴∠AFH＝45°.∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF. 由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.∴∠FPG＝45°.∴DP＝DG，AP＝CG.∴△APH≌△GCE，AH＝GE.∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.∴AG－GF＝GE.。

【易错题精析】第2讲平行四边形的面积小学数学五年级上册易错专项练(知识梳理易错汇总易错精讲易错

第2讲平行四边形的面积（讲义）小学数学五年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.图形面积的计算方法。

运用转化法求图形的面积。

把不规则的图形通过切割、平移等方法转化成学过的规则的基本图形，比如数方格法、割补法。

2.平行四边形面积计算公式的推导。

把平行四边形通过割补法变成长方形，通过长方形面积计算公式确定平行四边形面积计算公式。

3.平行四边形的面积计算公式。

平行四边形的面积＝底×高。

如果用S表示平行四边形的面积，用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形面积的计算公式可以写成S＝ah。

1. 每个平行四边形的底和高分别有两组，计算面积时要用相对应的一组底和高相乘。

2. 判断两个平行四边形的面积是否相等，应根据它们的底和高的具体情况进行判断。

3. 平行四边形的面积与它的底和高有关，底扩大到原来的n倍（n≠0），高缩小到原来的，面积不变。

【易错一】如图，平行四边形的高是8厘米，它的面积是（）平方厘米。

A．32 B．60 C．80 D．48【解题思路】依据在直角三角形中，斜边大于直角边可知：8厘米的高对应的底边是6厘米，于是可以利用平行四边形的面积＝底×高求解。

【完整解答】6×8＝48（平方厘米）；答：这个平行四边形的面积是48平方厘米。

故选D。

【易错点】此题主要考查平行四边形的面积的计算方法，关键是先确定出已知高所对应的底边。

【易错二】用木条钉成一个长方形框架，将这个长方形框架拉成一个平行四边形（如图）。

发现面积和周长有什么变化吗？发现：________________________________________【解题思路】用木条钉成一个长方形框架，然后把它拉成一个平行四边形，周长都是这四边，所以周长不变，拉成平行四边形之后高变短了，所以面积变小了，由此即可得出结论。

【完整解答】由分析可知：将一个长方形框架拉成一个平行四边形，会发现：周长不变，面积变小了。

平行四边形全部讲义

生活服务业包括哪些行业
生活服务业是指为了满足人们日常生活需求而提供的各种服务。

它涵盖了许多不同的行业，为人们提供了各种各样的服务和便利。

以下是生活服务业包括的一些行业：
1. 餐饮服务业，餐饮服务业是生活服务业中最常见的一种。

它包括餐馆、快餐店、咖啡馆等，为人们提供各种各样的美食和饮品。

2. 住宿服务业，住宿服务业包括酒店、旅馆、民宿等，为人们提供住宿和休息的场所。

3. 清洁服务业，清洁服务业包括家庭清洁、商业清洁、办公室清洁等，为人们提供清洁卫生的环境。

4. 美容美发服务业，美容美发服务业包括美容院、美发店、美甲店等，为人们提供美容护理和个人形象设计的服务。

5. 健身健康服务业，健身健康服务业包括健身俱乐部、瑜伽馆、按摩店等，为人们提供健身锻炼和健康保健的服务。

6. 家政服务业，家政服务业包括保姆、月嫂、家庭护理等，为人们提供家庭生活和孩子护理的服务。

7. 快递服务业，快递服务业包括快递公司、物流公司等，为人们提供快速、便捷的物流配送服务。

8. 旅游服务业，旅游服务业包括旅行社、导游公司、景点门票预订等，为人们提供旅游度假的服务和咨询。

生活服务业的发展，为人们的生活带来了很多便利和舒适。

随着社会的不断进步和人们生活水平的提高，生活服务业也在不断创新和发展，为人们提供更加多样
化和个性化的服务。

相信在未来，生活服务业将会继续壮大，为人们的生活带来更多的便利和幸福。

四边形讲义

.
（填一个即可）
3
上海中小学课外辅导专家
图 11 图 12 12.如图 12，四边形 ABCD 是正方形，P 在 CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP′重合，若 AB＝3，DP＝ 1，则 PP′＝＿＿＿. 13.已知菱形的一条对角线长为 12cm，面积为 30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。 14．用两个全等的三角形，能拼成一个平行四边形，这样的平行四边形的周长取值最多有________个。 15. 若梯形的两底长分别为 4cm 和 9cm ，两条对角线长分别为 5cm 和 12cm ，则该梯形的面积为 ________cm2。 16．在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，•AD=•6cm，•BC=•8cm，•∠B=•60•°，•则 AB=_______cm． 17．如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，P 是边 AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，则 PE ＋PF 的值为：_________。 18．下面图 1 的梯形符合_____________条件时，可以经过旋转和翻折成图案 2．
D P F C Q E B
1 C. PQ∥AB 且 PQ = AB 2
A
D.随□ABCD 的形状大小变化而变化二.填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.如图 11，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是
泽仕学堂教务处
教学内容
一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； (2)平行四边形的对边平行且相等； (3)平行四边形的对角相等，邻角互补； (4)平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的判定：

四边形复习讲义

四边形习题课例1：任意n 边形有（）条对角线．（） A ．2)1(-n n B ．2)2(-n n C ．2)3(-n n D ．2)4(-n n 例2：若n 边形恰好有n 条对角线，则n 为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 例3：若一个多边形的每一个内角都与它相邻的外角相等，则这个多边形是（） A ．三角形 B ．正方形 C ．五边形 D ．不能确定例4：一个四边形最多可以有（）个钝角（） A ．一 B ．两 C ．三 D ．四例5：某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（） A ．360° B ．720° C ．1960° D ．180180° 例6：如果一个多边形的内角和是它的外角和的m 倍，则这个多边形的边数是（）A ．mB ．2m －2C ．2mD ．2m+2【常见误区】1．在求n 边形对角线的数目时，常认为有n （n-3）条，实际上过每个点有（n-3）条，n 个点有n （n-3）条，但由于重复了一半，所以任意n 边形有2)3(-n n 条对角线． 2．有的时候认为n 边形的外角和是一个变化的量，一定要记住无论是几边形，它的外角和总是等于360º的．例1：在□ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（）A ．1：2：3：4B ．1：2：2：1C ．1：1：2：2D ．2：1：2：1例2：在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5：4，则∠C 等于（）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°例3：如图，在平行四边形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，求证：四边形KLMN 是平行四边形．例4：已知如图：在平行四边形ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE =DF ，则线段AC 与EF 是否互相平分？说明理由．例5：已知如图：在平行四边形ABCD 中，BE =DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．A EB FCD O【常见误区】1．平行四边形的性质比较多，不要无中生有，如不要出现平行四边形的对角线相等；2．平行四边形的判定方法比较多，对于利用“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”是错误的，如这样的四边形是等腰梯形．例1：在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不确定例2：菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角相等且互补 B．对角线互相平分C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直例3：已知菱形的周长为40 cm，两对角线长的比是3∶4，则两对角线长分别是（）A．6 cm,8 cm B．3 cm,4 cm C．12 cm,16cm D．24 cm,32 cm例4：若菱形的两条对角线长分别为6和8,则这个菱形的面积是_____________．例5：已知菱形的边长和一条对角线长相等，那么菱形较大的内角度数是；如果这条对角线长为4cm，那么菱形的周长为．例6：菱形的一条对角线长与一条边长相等，则这个菱形相邻两个内角的度数分别为__ __．【常见误区】1．菱形的性质比较多，但不能混淆，菱形具有的性质平行四边形都具有是错误的，应该是平行四边形具有的性质菱形都具有．2．在判定一个四边形是菱形的时候方法比较多，但不能乱用，如不能利用“有两组邻边相等的四边形是菱形”，而应该是“四条边相等的四边形是菱形”，因为有两组邻边相等，并不是代表四条边相等．3．菱形的面积可以利用底与高的乘积，也可以利用对角线乘积的一半，而不是对角线的乘积．例1：在□ABCD中,增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（）A．∠A+∠C=180°B．AB=ACC．对角线互相垂直D．AC=3AB例2：如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC 边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（）次平行于AB。

八年级平行四边形(二)

C .8cm和14cm D .8cm和12cm
【答案】B
4、如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC，若平行四边形ABCD的周长为38 ，△ABC的周长比平行四边形ABCD的周长少l0 ，求平行四边形ABCD的一组邻边的长．
【提示】△ABC的周长： =28
平行四边形ABCD的周长：
【答案】
5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6 ,BC=l0 ,试求：
题型二：证明线段互相平分
例1、已知：如图．平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别在AD、BC上，AG =CH．求证：EF与GH互相平分．
【提示】根据本题要证得结论可以分析出本题只要证明四边形GFHE是平行四边形即可.连结GF、FH、HE、EG
例2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H.求证：GF∥EH.
【注意】边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
知识点3：平行四边形的判定
根据定义来判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
1．平行四边形判定定理l:如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
【提示】AD EF BC.
1、专题精讲
题型一：证明线段相等
例1、己知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD的延长线于点E、F，求证：AE=CF.
【提示】易证△DOF≌△BOE，DF=BE,AF CE，证得四边形AECF为平行四边形.（△DOF≌△BOE及已知条件，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形.）

苏教版四年级下册数学课内+课外拓展讲义-第2讲平行四边形和梯形

第二讲平行四边形和梯形第一部分课内衔接姓名：；日期：；家长签字：【例1】先确定下面平行四边形的底再画出它的高，你能画出几种长度不同的高？（单位：厘米）【活学活用】1.关于下面的平行四边形，下面说法错误的是（） A.底是4厘米时，高是4.5厘米 B. 底是5厘米时，高是4.5厘米 C.这个平行四边形的周长是18厘米。

具体内容重点知识要点提示平行四边形的认识1、平行四边形的特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

2、平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性。

3、平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。

平行四边形的高和底是相互依存的关系。

长方形和正方形都是特殊的平行四边形梯形的认识1. 梯形的基本特征：梯形只有一组对边平行。

2. 梯形的高和底:互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。

从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。

3. 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。

梯形的一组对边平行但不相等。

2.如图，过平行四边形上的点A向它的对边可以画（）条高。

A．1 B.2 C.无数3.平行四边形有（）的特性。

A．稳定 B.容易变形 C.不易变形4.从平行四边形一条边上的一点到它对边的（），是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的（）。

A．线段 B.垂直线段 C.底【例2】右图是一个平行四边形花池，现在要在花池里修几条水渠，把花池平均分成四个相同的小平行四边形，怎样分可使水渠的总长度最短？在图上画出来，并算一算水渠的总长度。

【实战练习】1、数一数，下面中各有几个平行四边形？2.一块平行四边形土地如下图，现在要在这块土地里修几条水渠，将土地平均分成三块形状相同的小平行四边形土地，怎样分可以使水渠的总长度最短？在图上画出来，并求出水渠的总长度。

【例3】如图，梯形的高是（）厘米，∠1与∠2的和是（）【实战练习】1.互相平行的一组对边分别是梯形的（）和（），不平行的一组对边是梯形的（） A．上底 B.高 C.腰 D.下底2.等腰梯形中，（）一定相等。

16四边形之存在性问题二培优班讲义

四边形之存在性问题（二）（讲义）1.如图，在平面直角坐标系xOy中，□ABCD的顶点A，B的坐标分别为A(0，2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C的坐标为(18，0)，A B∥O C，∠OCB=45°，且BC=（1）求点B的坐标．（2）直线BE与线段OA交于点E，且OE=6．若P是直线BE上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(8，6)．若点D在第一象限内的直线l：26=-y x 上，点P在AB边上，AP=m，Q为坐标平面内一点，且以C，P，D，Q为顶点的四边形是正方形，求m的值．三、回顾与思考【参考答案】1．存在，12(F F 2．（1）B (-6，12)；（2）存在，1234(66)((33)Q Q Q Q ---，或或或，3．存在，1234(1228)(416)(1414)(22)N N N N --，或，或，或， 4．存在，142633m m m ===，或四边形之存在性问题（二）（随堂测试）1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，直线l 2与直线l 1交于点C ，已知B (0，6)，C (4，2)，若P 为坐标平面内一点，则在直线l 1上是否存在一点Q ，使以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【参考答案】1．存在，1234(60)((33)Q Q Q Q--+，或或或，四边形之存在性问题（二）（作业）1.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，AO=6，把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，若M为坐标平面内一点，则在直线DE上是否存在点N，使以O，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y 1=2x 与直线y 2=-6x +48交于点A ，另有一直线平行于x 轴，分别交线段OA ，AB 于M ，N 两点，点R 在x 轴上，在坐标平面内，是否存在这样的点Q ，使得以R ，M ，N ，Q 为顶点的四边形是正【参考答案】1．存在，123433(06)(3N N N N ---++，或，或 2．存在，12336129(0)(0)(6)552Q Q Q ，或，或，。

人教版初三数学上册二次函数之四边形问题讲义

二次函数之四边形问题解题技巧：1、平行四边形的对角线互相平分2、矩形的对角线互相平分且相等3、菱形的对角线互相平分且垂直4、正方形的对角线互相平分且相等且垂直两点间距离公式：221212()()d x x y y =-+-中点坐标公式：1212(,)22x x y y ++例1、已知A （2，3）、B （1，1）、C （4，2），是否存在点P 使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由1、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4。

矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上（1）求这条抛物线的解析式（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出点F的坐标2、已知二次函数213222y x x =-++与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1<0<x 2，与y 轴交于点C （1）分别求出点A 、B 、C 的坐标（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线BC 于N ，交这个抛物线于M ，求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以C 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标3、如图，已知抛物线2x=y x bx c=++与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线2（1）求抛物线的函数表达式（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，求点D的坐标4、如图，已知抛物线2=-++与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C。

四边形之模型结构(讲义及答案)

四边形之模型结构（讲义）➢ 知识点睛1. 四边形分析思路（1）按照边、角、对角线的顺序，从四边形的定义、性质、判定切入进行分析；（2）转化为熟悉图形进行分析研究．60°DCBAFE D C BA E DCBA含60°角菱形转梯形转化为①矩形+直角三角形；化为等边三角形②平行四边形+三角形CBD A CBD ADCBA筝形转化为①一对全等三角形；②两个等腰三角形注：对角线相互垂直的四边形面积为对角线乘积的一半． 2. 四边形与轴对称性、中心对称性（1等（完全重合）的两部分（2MPDCB A3. 正方形中的常见结构F'FED C B AOF EDCBA特征：①正方形；特征：①正方形； ②∠EAF =12∠BAD②BE =CF结论：△DAF 绕点A 顺时结论：△OBE ≌△OCF 针旋转至AD 与AB 重合，（△OBE 可看作△OCF 绕可证△F′AE ≌△F AE点O 顺时针旋转90°得到）FEDCBA××G FEDCBA特征：①正方形；特征：①正方形；②BE =CF ②EF ⊥AE ，且与正方形一结论：AE =BF 且个外角的角平分线交于点F AE ⊥BF结论：△AGE ≌△ECF特征：直角三角形的斜边为正方形的边长（或等腰直角三角形的直角边），考虑补全弦图结论：①四个全等的直角三角形；②两个正方形共中心➢ 精讲精练1. 已知菱形ABCD ，边长为4，∠BAD =120°．点E ，F 分别是AB ，AD 边上的动点，且满足BE =AF ，则下列结论：①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE =∠AFC ；④若F 为AD 中点，则CE ⊥AB ；⑤设AF =x ，则 S △AEF=2x ．其中正确的有___________． GF E DCBAF第1题图第2题图2. 如图，在菱形ABCD 中，AB =4 cm ，∠ADC =120°，点E ，F 同时从A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速运动（到点B 为止），点E 的速度为1 cm/s ，点F 的速度为2 cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为（）A ．1B ．13C ．12D ．433. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =30°，∠BCD =60°，若AD =4，AB=BC 的长为____________．60°30°D CB A4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，则以下结论：①∠B =∠C ；②若AD =4，BC =12，AB =8，则∠ABC =60°；③若AC =BC +AD ，则∠ACB =60°．其中正确的有________．DCB A5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC ，∠A =60°，点E 为AD 边上一点，连接BD ，CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若AB =8，CE =6，则BC 的长为__________．FEDCBAFED CBA第5题图第6题图6. 如图，四边形ABCD 中，AD =DC ，AB =DE =12CD ，∠BAD =∠ADC =90°，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，AF ，AE ．下列结论：①AE 垂直平分DF ；②AF =AD ；③S 四边形ADEF =23S 四边形ABCD ；④∠CEF =∠DAF ．其中正确的有____________． 7. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（） A ．3B ．6C ．12D ．24第7题图第8题图8. 如图，在平面直角坐标系中，已知多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)，E (6，0)．若直线l 经过点M (2，3)，且将多边形OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线l 上的是（）A ．(4，3)B ．(5，2)C ．(6，2)D ．(0，103) 9. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（） A．BC．2DAB CDP MN第9题图第10题图10. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，AC =12，P 是菱形的对角线AC 上的动点．（1）若M ，N 是菱形ABCD 的边AB ，BC 的中点，PM +PN 的最小值为_______；（2）若N 是菱形ABCD 的边BC 上的动点（可与端点B ，C 重合），BP +PN 的最小值为_______；（3）若M ，N 是菱形ABCD 的边AB ，BC 上的动点，PM +PN 的最小值为_______．11. 如图，四边形ABCD 是正方形且边长为2，以CD 为边作等边三角形CDE ，连接AC ，M 是线段AC 上一点．当DM +EM 最小时，∠AMB 的角度为_______，此时DM 的长为_______．ABCDMEFE D C B A第11题图第12题图12. 如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在BC 和CD 边上，分别连接AE ，AF ，EF ，若∠EAF =45°，则△CEF 的周长是（） A．6B ．8.5C ．10D ．1213. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，E ，F 为线段AB 上两个动点，且∠ECF =45°，过点E ，F 分别作BC ，AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H ，G ．现有以下结论：①ABE 与点B 重合时，MH =12；③AF 2+BE 2=EF 2．其中正确的结论为（） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③M GHFECBA14. 如图，在△ABC 中，AB =AC=BAC =120°，点D ，E 都在边BC 上，∠DAE =60°．若BD =2CE ，则DE 的长为 _________．ABCD E15. 如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点C ，D 重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ．以下结论：①连接AH ，则HA 平分∠DHG ；②连接AH ，AG ，则∠HAG =45°；③△CHG 的周长为2CD ．其中正确的是_____________．HG FED CBA16.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．以下结论：①GF=GC；②DE=EH；③BH；④若AE=1，AD=3，则DH=其中正确的有_________．HEA17.如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别为BC，CD上的两点，BE=CF，AE，BF分别交BD，AC于M，N两点，连OE，OF．下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③CE+CF=BD；④S四边形OECF =14S正方形ABCD．其中正确的是_________．NMOAB CDEF【参考答案】1.①②③④⑤2. D3.124.①②③5.6.①②③④7. C8. B9. D10.（1）（2）6；（3）6．11.60°12.C13.A14.315.①②③16.①②③④17.①②④。

四边形讲义(二)

北师大版九年级数学(上)《四边形》讲义

北师版九年级上册数学第一章第二课时四边形证明讲义及习题含答案

四边形讲义

四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形》期末备考讲义

第十八章四边形章节复习辅导讲义

四边形证明(讲义及答案)

浙教版八年级下册第四章平行四边形 第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)

北师大四年级下册讲义第四讲 认识三角形和四边形(二)(含答案)

小五数学-第2讲-平行四边形面积计算-讲义教师版

浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 第2讲(正 方 形)培优讲义(含解析)

【易错题精析】第2讲 平行四边形的面积 小学数学五年级上册易错专项练(知识梳理易错汇总易错精讲易错

平行四边形全部讲义

四边形讲义

四边形复习讲义

八年级平行四边形(二)

苏教版四年级下册数学课内+课外拓展讲义-第2讲 平行四边形和梯形

16四边形之存在性问题二培优班讲义

人教版初三数学上册 二次函数之四边形问题 讲义

四边形之模型结构(讲义及答案)

浙教版八年级下册第四章平行四边形第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)

北师大四年级下册讲义第四讲认识三角形和四边形(二)(含答案)

浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形第2讲(正方形)培优讲义(含解析)

【易错题精析】第2讲平行四边形的面积小学数学五年级上册易错专项练(知识梳理易错汇总易错精讲易错

苏教版四年级下册数学课内+课外拓展讲义-第2讲平行四边形和梯形

人教版初三数学上册二次函数之四边形问题讲义