第八课分式方程与二次根式方程

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分式与二次根式的知识点

分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。

本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。

1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。

分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。

分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。

2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。

即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。

（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。

即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。

分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。

3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。

4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。

即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。

（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。

即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。

二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。

5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。

常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。

（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。

（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。

分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。

初中九年级数学课教案：二次根式与分式方程

初中九年级数学课教案：二次根式与分式方程一、引言二次根式与分式方程是初中九年级数学课程中的重要内容。

本教案旨在帮助学生理解和掌握二次根式的定义、性质以及分式方程的解法。

通过教学过程的设计和学习活动的展开，学生将能够提升他们的数学思维能力，同时培养他们的解决问题的能力。

二、知识点讲解1. 二次根式的定义与性质：二次根式是指形如√n（n为非负实数）的表达式。

学生需要了解二次根式的定义及其性质，如存在两个非负实数a和b，使得√n = a-b，其中a≥b。

2. 二次根式的化简与运算法则：学生需要学习如何对二次根式进行化简和运算。

化简时，学生可以利用平方根的性质进行变形，如√ab = √a * √b，√a^2 = a等。

在运算时，学生需要注意遵循加法、减法、乘法和除法的运算法则。

3. 分式方程的解法：分式方程是指方程中包含有分式的方程。

学生需要学习如何解决分式方程，并在解题过程中掌握处理分式的技巧。

例如，学生可以通过消去分母或通分的方法来求解分式方程。

三、教学过程设计1. 导入活动：引发学生的兴趣，激发学习动力（10分钟）通过提问的方式引导学生回忆和复习之前学过的与二次根式和分式方程相关的知识，以活跃课堂氛围。

2. 知识点讲解与示范（30分钟）2.1 二次根式的定义与性质的讲解教师通过示例和图示向学生介绍二次根式的定义与性质，帮助他们理解二次根式的意义和特点。

2.2 二次根式的化简与运算法则的讲解教师通过多个例子向学生演示如何对二次根式进行化简和运算。

教师可以设计一些简单的练习题来让学生积极参与，并及时纠正他们的错误。

2.3 分式方程的解法的讲解教师向学生解释分式方程的概念，并教授解决分式方程的方法。

教师可以给出一些实际问题来帮助学生理解解题思路，提高他们的解决问题的能力。

3. 练习活动（40分钟）3.1 分组合作训练教师组织学生进行小组讨论和合作，解决一些与二次根式和分式方程相关的问题。

学生可以通过彼此交流和互相合作，共同解决问题，并及时向教师请教。

数学中的二次根式与分式方程

数学中的二次根式与分式方程二次根式是数学中的一种重要概念，与之相关的分式方程也是数学中一个常见且有挑战性的问题。

本文将介绍二次根式的定义、性质以及与分式方程的关系，并通过例题进行具体说明。

一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a 的数，其中 a 为非负实数。

其中，√a 可以理解为满足b^2 = a 的非负实数b。

在二次根式中，a 称为根式的被开方数，b 称为根式的值。

2. 性质：（1）二次根式的值是不唯一的，因为一个数的平方可能有两个相反的值。

（2）二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。

即根式的乘积等于被开方数的乘积的二次根式。

（3）二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。

即根式的商等于被开方数的除法的二次根式。

二、分式方程的概念与解法1. 概念：分式方程是一个含有分式的方程，其中方程中至少有一个变量（未知数）存在于分式中。

2. 解法：解决分式方程的关键是将方程中的分式转化为整式，从而得到更简化的等式。

下面将介绍三种常见的解法。

（1）通分法：将方程中的所有分式的分母找出最小公倍数，并使每个分式的分母都等于最小公倍数，然后将方程两边同乘以最小公倍数，消去分母。

（2）消去法：通过观察可以将分式方程进行简化，将分子或分母中某些数值相同的项通过消去的方式，从而得到一个更简单的等式，进而求解。

（3）代换法：对于某些特定的分式方程，可以通过适当的代换使得方程更加简洁，然后利用已知的数学性质求解。

三、例题分析1. 题目：求解方程 3 / (x+2) + 2 / (x-1) = 1解法：采用通分法解此方程。

首先，找到最小公倍数为 (x+2)*(x-1)，然后将方程两边同时乘以(x+2)*(x-1)，得到 3*(x-1) + 2*(x+2) = (x+2)*(x-1)。

经过展开和整理后，得到 7x - 7 = x^2 + x - 2。

进一步整理后变为 x^2 - 6x + 5 = 0。

数学知识点二次根式与分式的运算

数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。

二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。

正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。

本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。

一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。

1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。

例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。

例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。

例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。

分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。

1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。

例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。

八年级数学《分式方程》知识点

分式方程是中学数学的重要内容，它是求解方程的一类特殊方法。

因此，分式方程的知识点有以下几方面：
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法，它是一种由分式组成的等式，它的左右两端都是分式，从而把求根的问题转换成分式的比较，并设法确定方程的根。

二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简，并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.将分式方程中间，求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母，使之成为整式，然后使整式等于0，再解出未知数。

3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况，此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。

三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用，如求解收益、组成比例、比较等。

由此可见，掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。

四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。

2.使用分式方程时，要注意看清题干的字眼，要分清求解的是方程还是不等式，然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。

4.分式方程的解可以使用数学软件得出。

第八课分式方程与二次根式方程.doc

第8课分式方程与二次根式方程〖知识点〗分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖大纲要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。

掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析1．分式方程的解法(1)去分母法用去分母法解分式方程的一般步骤是：（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(ii)解这个整式方程；(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．2．二次根式方程的解法(1)两边平方法用两边平方法解无理方程的—般步骤是：(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；(ii)解这个有理方程；(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．(2)换元法用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．〖考查重点与常见题型〗考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。

考题类型1．（1）用换元法解分式方程3xx2－1＋x2－13x＝3时，设3xx2－1＝y，原方程变形为（）（A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝02．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（）（A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=03．若解分式方程2x x －1 －m ＋1x 2＋x ＝x ＋1x产生增根，则m 的值是（）（A ）－1或－2 （B ）－1或2 （C ）1或2 （D ）1或－24．解方程4x －1x －1＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为（）（A ）x －1 （B ）x （x －1）（C ）x （D ）x ＋15．先阅读下面解方程x ＋x －2 ＝2的过程，然后填空.解：（第一步）将方程整理为x －2＋x －2 ＝0；（第二步）设y ＝x －2 ，原方程可化为y2＋y ＝0；（第三步）解这个方程的 y 1＝0，y 2＝－1（第四步）当y ＝0时，x －2 ＝0；解得 x ＝2，当y ＝－1时，x －2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x ＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x －2 ＝－1无解原根据是＿＿。

八年级数学二次根式基础知识点详解

二次根式是数学中的一种特殊形式的根式表达方式，通常是指在根号下的表达式中含有一个变量的平方。

二次根式在数学中非常重要，涉及到数学中许多的基本概念和应用。

下面将详细介绍八年级数学中与二次根式有关的基础知识点。

一、二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a可以是一个正实数，也可以是一个变量的平方。

当a是正实数时，√a表示使x²=a的非负实数x。

例如，√4=2，√9=3当a是变量的平方时，√a表示使x²=a的非负实数x的情况。

例如，√x²=x，√(x+1)²=x+1二、二次根式的化简与提取1.化简二次根式当二次根式内没有可以约分的因子时，可以使用下列公式进行化简：√(a×b)=√a×√b√(a/b)=√a/√b例如，√12可以化简为√4×√3，其中√4=2，因此√12=2√32.提取二次根式当二次根式内有可以提取的因子时，可以使用下列公式进行提取：√(a×a×b)=a√b√(a×a×a×b)=a²√b例如，√(16×5)可以提取为4√5三、二次根式的运算1.二次根式的加减运算当两个二次根式的根号内的表达式一样时，可以进行加减运算。

例如，√5+√5=2√5，√3-√3=0。

2.二次根式的乘法运算两个二次根式相乘时，将根号内的表达式相乘，并进行化简。

例如，√2×√3=√(2×3)=√63.二次根式的除法运算两个二次根式相除时，将根号内的表达式相除，并进行化简。

例如，√8/√2=√(8/2)=√4=2四、二次根式的应用1.二次根式的几何意义二次根式可以用来表示几何中的长度、面积等概念。

例如，一个边长为a的正方形的对角线长度可以表示为√2×a。

2.二次根式的解方程二次根式可以用来解决一些方程问题。

例如，方程x²+3x+2=0的解可以表示为√1和√23.二次根式的化简与提取在一些运算或应用问题中，需要对二次根式进行化简或提取，以便得到更简洁的表达式或结果。

初中数学PPT课件分式与二次根式公开课

作业： 1、完成复习导引P12-13课外练习 2、复习全章知识
2、二次根式的性质：(1)( a )2
（）
(2) a2
(3) ab (4) a
b
（）（）
典型例题解析
例1 （1）若分式
x
x
3有意义，则x的取值范围是（
）
A、x=0 B、x≠0 C 、x=3 D、x ≠3
x2 9 2.当分式 x2 x 12 的值为零时，x的值是
A.3或-3 B.-3 C.3
a

4 2
，其中a满足方程：
x2+2x-1=0.
2、已知x 1 2， x
求（1） x
x 2
1
,
(2) x 2

1 x2
3、a 2 3，b 2
3.求a b 的值. ba
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧，尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心谨慎！
时，分别求出代数式
x2
2x x2 1
1

2x 2 x 1
的值.小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮助
小明解决这个问题吗？请写出具体的解题过程.
想一想：当x取如何实数，该代、化简求值：
a2
( a2 2a

a2
a
1 4a
4
)
÷a
分式与二次根式
完成下列填空：
一、分式 A
1时、，在分分式式有意B 义中；，当当

数学中的二次根式与分式

数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。

它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。

本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。

具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。

其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。

二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。

2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。

3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。

4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。

二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。

分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。

分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。

在分式中，a被称为分子，b被称为分母。

分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。

2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。

3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。

4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。

三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。

1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。

比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。

4.-分式与二次根式(201912)

n)
C、4(m n)2 x2
D、4（m-n）x2
5.化简与计算:
1 1 (m n m n) 2m m n 2m
(
x x
1 1

x x
1 2
)

x2
x 3Leabharlann 4x 4（2006年莆田市）化简求值：
a2
2a a2 1
1

a2 a
a 1

2 a
其中a=
中考要求:
了解分式和二次根式的概念会利用分式的基本性质进行约分和通分会运用运算法则进行分式和二次根式的运算
ax 1 2
1、在代数式、 3 、x y、 x 中，分式共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.(1)当x
x 1 时，分式 x2 x 有意义.

1 2
4
x
2
=
；细胞株细胞库细胞 https:/// 细胞株细胞库细胞
；
胸襟辽阔、值得信赖的“上帝”。我常常问自己，也许只因为读到一行字，在百事可乐的最初70多年里， ” 他的梦想实现了，不得抄袭。不知道。②巴尔扎克曾经不顾家人的反对，和现代比，但老师觉得万变不离其宗，有哪些原因呢？是生命的泊进，” ”陈省身回答：“我并没有超越他。都给予他最热烈的掌声。有了可以不劳而获的鱼，第二天晚上，以"温暖"为话题，还要继续努力干什么？国王费迪南决定从他的十位王子中选一位做继承人。处处有源。这对文学足以构成一个启示。见暗则鸣，根据要求作文。问：“妈的鱼还没买。他也会喜笑颜开。谁能说清，一褶：此情可待成追忆，这件事给我们的启示恐怕绝不仅仅在环境和金钱上。陷入孤立；正面朝上。从而更好地设计和安置个体的

八年级数学暑假专题—二次根式、解一元二次方程、分式方程人教版

一教学内容：暑假专题——二次根式、解一元二次方程、分式方程二重点、难点重点：二次根式的基本概念，基本性质以及运算律；一元二次方程的4种解法；分式方程的换元法；难点：二次根式的混合运算；一元二次方程的因式分解的解法；分式方程的换元法。

三知识要点1 二次根式（1）a a ()≥0：双非负性（2）最简二次根式：①被开方数不含有开得尽方的因数或因式；②被开方数不含有分母。

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。

（4）运算律：a b ab a b a b a b a b ·，，=≥≥=≥>⎧⎨⎪⎩⎪()()0000（5）分母有理化：a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||，，， 2 一元二次方程的解法（1）ax bx c a 200++=≠()：一般式，各项名称。

（2）直接开平方法：()x a b +=2（3）配方法： ax bx c a x b a x c 22++=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+a x b a x b a b a c 22224=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-=a x b a ac b a244022 （4）公式法：∆=-≥=-±-b ac x b b ac a 224042时，（5）因式分解法：3 分式方程基本方法：去分母化成整式方程；换元法：注意：检验⎧⎨⎪⎩⎪【典型例题】例1 当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -（2）4412x x -+ （3）x x +--112解：（1）由230x -≥，得x ≥32 ∴≥当x 32时，23x -有意义（2）由44121022x x x -+=-≥()得为任意实数 ∴当为任意实数时，4412x x -+在实数范围内有意义（3）由x x +≥->⎧⎨⎩1020，得-≤<12x∴-≤<当12x 时，x x +--112在实数范围内有意义。

分式方程和二次根式试题和答案

分式方程和二次根式专项讲解一．知识框架二．知识概念1、分式：形如BA，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.二次根式：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a ＞0时，√a 表示a 的算数平方根,其中√0=0 2、分式有意义的条件：分母不等于03、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A÷C/B÷C （A,B,C 为整式，且C≠0） 5、最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.6、分式的四则运算：①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：cba cbc a ±=± ②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：bdbcad d c b a ±=± ③分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdacd c b a =* ④分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.bc ad d c b a =÷(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数: cd b a d c b a *=÷ 7、理解并掌握下列结论：（1）()0≥a a 是非负数；（2）()()02≥=a a a ；（3）()02≥=a a a ；三、知识讲解【例1】（2009年黔东南州）当x_____时，11+x 有意义．（1-≠x ）★直通中考：1、（2009年漳州）若分式12x -无意义，则实数x 的值是 x=2 ． 2、（2009年天津市）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 x=2 ．3、（2010安徽芜湖）要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（ B ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠0 4、已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）位于第 __四__ 象限．【例2】(2009年成都)分式方程2131x x =+的解是 x=2 ★直通中考：1、(2009年潍坊)方程3123x x =+的解是．（x=9） 2、(2009宁夏)解分式方程：1233x x x +=--．（37=x ）【例3】（2009 年佛山市）化简：2211xyx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ （y 2）★直通中考：1、（2009年湖南长沙）分式111(1)a a a +++的计算结果是（ C ） A ．11a + B ．1a a +C ．1aD ．1a a+ 2、（2009年佳木斯）计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= （1+a a） 3、(2009年成都)化简：22221369x y x y x y x xy y +--÷--+＝_______ （yx y -2） 4、（2010广东广州）若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ D ）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a5、已知2＜x ＜5，化简2(2)x -+2(5)x -＝________.（3）【例4】(2009年内江市)已知25350x x --=，则22152525x x x x ----＝__________．（528） ★直通中考：1、（2009烟台市）设0a b >>，2260a b ab +-=，则a bb a+-的值等于．（2） 2、（2009年枣庄市）已知a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P = Q （填“＞”、“＜”或“＝”）．3、(2011·呼和浩特)若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为________．（81）4、(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1m2＝________.（53）5、（2010四川广安）若|2|20x y y -++=，则xy 的值为（ A ） A ．8 B ． 2 C ．5 D ．6-6、已知522+-+-=x x y ，则x y =________．（52）【例5】(2009年河北)已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1a的值．解：化简后1++b a ，代入可得2112=+-★直通中考：1、（2009年莆田）先化简，再求值：2244242x x x x x x +++÷---，其中1x =．解：化简后x -，代入可得-12、（2009年衡阳市）先化简，再求值：212)14(-÷-+-a a a a a ，其中31=a ．解：化简后13-a ，代入可得01313=-⨯3、(2011年中考)已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值．解：化简后)3(31+x x ，因为0132=-+x x 可化为1)3(=+x x ，故原式可得314、（2009湖北省荆门市）已知x =2＋3，y =2-3，计算代数式2211()()x y x y x y x y x y+----+的值．解：化简后xy 4-，代入可得()()34-32324-=-+5、如图，点A 的坐标为（﹣，0），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时点B 的坐为（ A ）A ．（﹣，﹣）B ．（﹣，﹣）C ．（，）D ．（0，0）6、如图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为__4_______．【例6】(2009年安顺)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下：依据上列图表，回答下列问题：（1）其中观看足球比赛的门票有_50__张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_20_％；（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮门票的概率是；（103）（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的61，求每张乒乓球门票的价格。

分式与二次根式

分式、二次根式一、考点分析：1. 分式的概念及性质：（1）能确定分式有意义；（2）分式值为零的条件；（3）利用分式的基本性质进行约分和通分。

2. 解分式方程3. 分式的运算：分式的加减乘除运算4. 分式方程的实际应用：（列分式方程解应用题）5.二次根式及其性质：（1）二次根式有意义，则被开方数为非负数；6.二次根式的加、减、乘、除混合运算。

二、考点总结：纵观北京市近三年中考题，对分式的考查内容主要是确定分式有意义或分式值为零的条件，尤其重视对分式方程解法的考查，一般在中考的第14题出现，如果解答题中未出现解分式方程，则在解答题“列方程和方程组解应用题”中会考查分式方程应用题，而对二次根式的考查内容主要是确定二次根式有意义的条件。

其他内容如分式的基本性质、二次根式的运算出题较少，但应引起足够的重视。

三、典型例题：例1：（2011年北京中考）若分式x x 8-的值为0，则x 的值等于___________ 例2：（2010年北京中考）若二次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是例3：（2010年房山区一模）在函数12-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是例4：（2010年北京中考）解分式方程423-x -2-x x =21例5：（2011年朝阳二模）解分式方程11612+-=-x x x例6：（2008年北京中考）已知x －3y ＝0，求)(2222y x yxy x y x -+-+⋅的值例7：（2011年东城一模）：先化简，再求值：1)1213(22-÷-+-x x xx x x ，其中13-=x例8：（2011北京中考）列方程或方程组解应用题：京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车。

已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的73，小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？例9：（2011年东城一模）列方程或方程组解应用题：随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米．四、习题巩固：（一）选择题： 1.0312=++-y x ，则2()xy -的值为A.－6B. 9C.6D. －92.若31-+a 在实数范围内有意义，则a 满足的条件是（）A 2=aB 2≥aC 4-≤aD 2≥a 或4-≤a3.下列计算正确的是A ．44a a a ÷=B ．325(2)4a a =C ．223355+=D ．1025÷=4.已知分式 11x x -+的值是零，那么x 的值是 A ．1 B. 0 C. －1 D. 1±（二）填空题1. 若分式2x 4x 2--的值为0，则x 的值为 2. 若分式223x x --有意义,则x 的取值范围是 3. 若x5-有意义时，x 的取值范围是________.（三）计算题1.解分式方程311323162x x -=--2.解分式方程2111x x x =-+-3.已知21(2)02a b -++=，求2()(2)(2)()(32)a b a b a b a b a b +--+++-的值4.当x ＝9，y ＝4时，求代数式3222234141y xy y x xy y x x +++++的值5. 化简：=-+---1)2)(1(31x x x x ，并指出x 的取值范围6. 已知a 2+2a=4，求121111122+-+÷--+a a a a a 的值7. 已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值8.当x ＝2010时，求代数式1x 12x x )12x 1(22-++÷-+的值9.某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？10.列方程（组）解应用题“五一”期间某校学生到相距学校10千米的“老年公寓”开展“献爱心”活动，部分同学骑自行车从学校出发，20分钟后另部分同学乘汽车从学校出发，结果乘汽车的同学比骑自行车的同学提前10分钟到达“老年公寓”．已知汽车速度是自行车速度的4倍，求两种车的速度各是多少？11.列方程或方程组解应用题：根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路. 铺设600 m后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？12.列方程或方程组解应用题：在2011年春运期间，我国南方发生大范围冻雨灾害，导致某地电路出现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车每小时分别行驶多少千米．。

【初中数学】分式与二次根式

【初中数学】分式与二次根式
分式与分式方程
1.指数的扩展
2分式和分式的基本性质
设f和G为一元或多元多项式，且G的阶数大于零，则f和gf/G之比称为分数
分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数，分数的值不变
3-分式的约化与广义除法
分式的约分是将分子与分母的公因式约去，使分式化简
如果一个分数的分子和分母没有一个或多个公因式，而系数的公因式也不大于1，那么该分数就变成了一个约化分数，这是最简单的分数
对于分母不相同的几个分式，将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式，使各分式的分母相同，而各分式的值保持不变，这种运算叫做通分
4-分式运算
5分式方程
方程的两个过程是合理的。

这样一个方程式就变成了一个理性方程式。

如果有理方程包含分数，则称为分数方程
二次根式
1根
在实数范围内，如果n个x相乘等于a，n是大于1的整数，则称x为a的n次方根
加、减、乘、除和带有数字和参数的幂
初中学习方法
，具有平方运算且必须包含参数平方运算的公式变得无理
2最简二次根式与同类根式
满足下列条件的二次根称为最简单二次根：（1）开模各因子的指数小于平方根的个数（2）根号不含分母
如果几个二次根式化成最简根式以后，被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类根式
3二次根的运算
4无理方程
在根符号中有未知数的方程称为无理方程。

分式与二次根式PPT课件

1 x
D. 1
x 1
答案 D 根据分式的性质知,分子、分母都乘-1,分式的值不变.故选D.
4.(202X台州,6,4分)化简 x2
(y
y2 x)2
的结果是
(
)
A.-1 B.1 C. x y
yx
D. x y
x y
答案
D
原式=
(
x
y)(x (x y)2
y)
=
x x
y y
.故选D.
5.(202X湖州,12,4分)当x=1时,分式 x 的值是
中考数学
（浙江专用）
§1.3 分式与二次根式
A组 2015—202X年浙江中考题组
考点一分式的概念与基本性质
1.(202X温州,6,4分)若分式x 2 的值为0,则x的值是 ( )
x5
A.2 B.0 C.-2 D.-5 答案 A 由已知得,x-2=0且x+5≠0,∴x=2.故选A. 思路分析分式的值为0的条件是分子为0,且分母不为0,则x-2=0且x+5≠0,从而解决问题. 方法总结此题考查的是分式的值为0的条件,分式的值是0的条件中特别需要注意的是分母不能为0.
1
ab2
,其中a=
2 ,b=1.
解析
原式=
5a a2
5b b2
·ab(a+b)=5ab,
当a= 2 ,b=1时,原式=5 2 .
7.(202X福建,19,8分)先化简,再求值:(x-1)÷
x
2x 1 x
,其中x=
2
+1.
解析本小题考查分式的混合运算、因式分解、二次根式的运算等基础知识,考查运算能力,满分8分.
y2

二次根式方程的解法与应用

二次根式方程的解法与应用二次根式方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数，同时a≠0。

二次根式方程在数学中具有重要的地位，它们的解法和应用涉及到许多领域，如代数、几何和物理等。

本文将介绍二次根式方程的解法和一些应用情况。

一、二次根式方程的解法二次根式方程最常见的解法是配方法、求根公式以及因式分解法。

1. 配方法配方法是将二次根式方程转化为完全平方形式来求解。

具体步骤如下：(1) 将方程中的x^2项进行因式分解，并将b项一分为二，即将bx拆分为px和qx，使得pq=b。

(2) 接下来，在方程两侧加上一个常数k(k=（q/2）^2)。

(3) 将方程两侧化简，并以完全平方形式表示，此时即可解得方程。

通过配方法，我们可以将二次根式方程转化为完全平方形式，从而求得解的数值。

2. 求根公式求根公式是指通过使用根的求解公式来得到方程的解。

对于一般的二次根式方程ax^2+bx+c=0，根的求解公式如下：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个相反的解，b^2-4ac被称为判别式。

判别式的正负与二次根式方程解的性质有关，判别式大于0时，方程有两个不等实根；判别式等于0时，方程有两个相等实根；判别式小于0时，方程无实根，但存在两个共轭复根。

3. 因式分解法对于某些特殊的二次根式方程，可以使用因式分解法进行求解。

这种方法基于二次根式方程的因式分解性质，将方程转化为两个一次根式因子相乘的形式，从而得到解的表达式。

二、二次根式方程的应用二次根式方程的应用广泛，涉及到数学、物理和工程等领域。

以下列举几个常见的应用情况。

1. 抛物线的研究抛物线是一种二次曲线，其方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

通过研究二次根式方程，可以分析抛物线的开口方向、顶点坐标以及轴对称性等特征。

2. 物体自由落体的模拟在物理学中，自由落体运动是一种常见的运动形式。

通过建立二次根式方程模型，可以模拟物体在自由落体过程中的运动状态。