【人教版】高中数学必修4《向量的数量积(1)随堂练习(含答案)
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝__________________； ②非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔________________； ③a·a ＝________________或|a |＝________________； ④cos 〈a ，b 〉＝________； ⑤|a·b |____|a||b |.2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b ＝________； (2)分配律：(a ＋b )·c ＝________________； (3)数乘向量结合律：(λa )·b ＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a·b ＝________________________；(2)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔________________________； (3)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则|a |＝________________，cos 〈a ，b 〉＝____________________________.(4)若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB →＝________________________，所以|AB →|＝_____________________.1.（2010·湖南）在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 2．(2010·重庆)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝ ( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 3．(2011·福州月考)已知a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，(a ＋λb )⊥b ，则λ等于 ( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－124.平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y ），C （x ，y ），若A B →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________________．5.（2009·天津）若等边△ABC 的边长为M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；（3）若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．举一反三1 (1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2C. 2D.22(2)已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且k a ＋b 的长度是a －k b 的长度的3倍(k >0)．(1)求证：a ＋b 与a －b 垂直； (2)用k 表示a ·b ； (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ，sin 32x ， b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．举一反三3 （2010·四川）已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·＝3，且cos B ＝35，求cos C .1．一些常见的错误结论：(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若a 2＝b 2，则a ＝b ；(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(4)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(5)|a·b |＝|a |·|b |；(6)(a·b )c ＝a (b·c )；(7)若a·b ＝a·c ，则b ＝c .以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：（1）要证AB =CD ，可转化证明AB →2＝CD →2或|AB →|＝|CD →|.（2）要证两线段AB ∥CD ，只要证存在唯一实数λ≠0，使等式AB →＝λCD →成立即可．（3）要证两线段AB ⊥CD ，只需证AB →·CD →＝0.一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·重庆)若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为 ( )A ．－32 B.32C ．2D ．62．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为 ( )A ．－6B ．－3C ．3D ．63.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于 ( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150° 4．(2010·湖南)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 5．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136．(2010·湖南长沙一中月考)设a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a·b ＝25，则sin α＝________. 7．(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．8．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 夹角为3π4，且m·n ＝－1，则向量n ＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在线段OC 上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011·杭州调研)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝(cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ)． (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值．11．(14分)(2011·济南模拟)已知a ＝(1,2sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a·b (x ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )＝85，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值．答案1．(1)a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①|a |cos 〈a ，e 〉 ②a·b ＝0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c ＋b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1＋a 2b 2 (2)a 1b 1＋a 2b 2＝0 (3)a 21＋a 22 a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22(4)(x 2－x 1，y 2－y 1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．B [|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8＝2 2.] 3．D [由(a ＋λb )·b ＝0得a·b ＋λ|b |2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2， BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， 即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．－2解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，这样利用向量关系式，求得MA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，52，所以MA →·MB →＝－2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝16＋2×(－6)＋9＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝0，展开(a －c )·(b －c )＝0⇒|c |2＝c·(a ＋b ) ＝|c |·|a ＋b |cos θ，∴|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ， ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠－2解析 ∵〈a ，b 〉∈(0，π2)，∴a ·b >0且a ·b 不同向．即|i |2－2λ|j |2>0，∴λ<12.当a ·b 同向时，由a ＝k b (k >0)得λ＝－2.∴λ<12且λ≠－2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解 (1)由题意得，|a |＝|b |＝1， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， ∴a ＋b 与a －b 垂直． (2)|k a ＋b |2＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝k 2＋2k a ·b ＋1， (3|a －k b |)2＝3(1＋k 2)－6k a ·b . 由条件知，k 2＋2k a ·b ＋1＝3(1＋k 2)－6k a ·b ，从而有，a ·b ＝1＋k24k(k >0)．(3)由(2)知a ·b ＝1＋k 24k ＝14(k ＋1k )≥12，当k ＝1k时，等号成立，即k ＝±1.∵k >0，∴k ＝1.此时cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故a ·b 的最小值为12，此时θ＝π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b －2c 垂直， 所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0. 因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， 得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解 (1)a·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.举一反三3 解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12.AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos A ＝3sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010.由题意cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－1010.课后练习区 1．D [因为a·b ＝6－m ＝0，所以m ＝6.] 2．D [由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0得2k －12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a·b <0，∴∠BAC 为钝角．∴∠BAC ＝150°.] 4．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＝－|b |2.cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－12|b |2|b |2＝－12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．B [因为a·b ＝|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉， 所以，a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b |＝21－842＋72＝1365＝655.] 6.35解析 ∵a·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，∴sin α＝35.7．120°解析 设a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ， ∴c·a ＝0，即(a ＋b )·a ＝0.∴a 2＋a·b ＝0. 又|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°.8．(－1,0)或(0，－1)解析 设n ＝(x ，y )，由m·n ＝－1， 有x ＋y ＝－1.①由m 与n 夹角为3π4，有m·n ＝|m|·|n |cos 3π4，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1，∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)．9．解 设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)， MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分)即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225，115.故在线段OC 上存在点M ，使MA →⊥MB →，且点M 的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin ()－θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得，x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， ∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .…………………………………………………………(8分) ∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝a·b ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2sin x ＝2cos x cos π6－2sin x sin π6＋2sin x＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.…………………………………………………………(5分) 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，7π6＋2k π (k ∈Z )．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝85， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
向量的数量积经典例题（含详细答案）
向量的数量积经典例题（含详细答案）向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案1．（1）6-，32-；（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=r r 先求数量积，再求模长．【详解】解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r== 【点睛】本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.【解析】【分析】（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π==??-=-r r r r ．（2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()20t b a b a +=-r r r r g ，整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---=，解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65【解析】【分析】（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。
2016高中数学人教A版必修四第二章 5从力做的功到向量的数量积 练习题含答案
§5从力做的功到向量的数量积,)1、问题导航(1）计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量?(2)向量的数量积运算结果与向量的线性运算结果有什么区别?(3）若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定就是锐角不？若两个向量的数量积小于零,则这两个向量的夹角一定就是钝角不？2、例题导读P95例1、通过本例学习，学会计算两个向量的数量积、试一试：教材P97习题2－5 A组T2您会不?P95例2、通过本例学习,学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题、试一试：教材P97习题2－5 A组T6您会不？P96例3、通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系、试一试:教材P97习题2－5 B组T2您会不？P96例4、通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角、试一试：教材P97习题2－5 A组T5您会不?1、力做的功一个物体在F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为W＝|F|｜s|cos θ，其中θ就是F与s的夹角、2、两个向量的夹角定义已知两个非零向量a与b,如图，作错误!＝a,错误!＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°垂直当θ＝90°时，称向量a与b互相垂直,记作a⊥b、规定零向量可与任一向量垂直特例当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时,a与b反向3、向量的数量积定义已知两个向量a与b,它们的夹角为θ，把|a||b｜cos θ叫作a与b的数量积（或内积）,记作a·b,即a·b＝|a｜|b｜cos_θ、特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0射影|a｜cos_θ(|b|cos θ)叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)的射影几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影｜b｜cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影｜a|cos_θ的乘积物理意义力对物体做功，就就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s （1）若e就是单位向量,则e·a＝a·e＝|a|cos_θ、（2）若a⊥b,则a·b＝0;反之,若a·b＝0，则a⊥b、通常记作a⊥b⇔a·b＝0、（a,b为非零向量）(3）a、b同向⇔a·b＝｜a｜|b|;a、b反向⇔a·b＝－|a｜｜b|；特别地a·a＝a2或｜a|＝错误!、(4）cos θ＝错误!(|a｜|b|≠0)、（5)对任意两个向量a,b，有｜a·b｜≤|a｜|b|、当且仅当a∥b时等号成立、5、向量数量积的运算定律已知向量a,b,c与实数λ,则交换律a·b＝b·a结合律（λa)·b＝λ(a·b)＝a·（λb）分配律a·（b＋c)＝a·b＋a·c6、乘法公式成立（a＋b）·(a－b)＝a2－b2、（a±b）2＝a2±2a·b＋b2＝｜a｜2±2a·b＋|b|2等等、1、判断正误、（正确的打“√",错误的打“×”)(1)向量的数量积的运算结果就是一个向量、（）（2）若a·b＝0,则a＝0或b＝0、(）（3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c、()解析:（1）错误、向量的数量积就是一个数、（2）错误、向量a与b可能垂直、(3)错误、向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等、答案:(1)×（2）×（3）×2、已知｜a|＝6,|b｜＝3,a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为（）A、－4B、4C、－2D、2解析：选A、向量a在b方向上的投影为｜a｜cos θ＝错误!＝错误!＝－4，故选A、3、已知｜a|＝3,|b｜＝4,则(a＋b)·（a－b）＝________、解析：(a＋b)·（a－b)＝a2－b2＝｜a|2－｜b|2＝32－42＝－7、答案：－74、已知△ABC中，BC＝4,AC＝8,C＝60°，则错误!·错误!＝________、解析:画图可知向量错误!与错误!的夹角为角C的补角,故错误!·错误!＝｜错误!|×|错误!｜cos（π－C）＝4×8×（－错误!）＝－16、答案:－161、对数量积概念的三点说明(1)从定义上瞧：两向量的数量积就是一个数量，而不就是向量,其数值可正、可负、可为零,其决定因素为两向量的夹角、（2）从运算上瞧:两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”就是一种运算符号,不同于实数的乘法符号,不可省略、(3）两向量的数量积有明确的物理与几何意义,学习时注意掌握、2、理解数量积的几何意义要关注的三点(1）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影就是不同的、(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ（θ就是a与b的夹角),也可以写成错误!、（3)投影就是一个数量，不就是向量，其值可为正,可为负,也可为零、3、数量积性质的作用性质(2)就是利用向量法研究垂直问题的依据;性质（3)可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化;性质（4)可用来求两个向量的夹角,它的实质就是平面向量数量积的逆用；性质（5）反映了两个数量的大小关系，就是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值、但要特别注意该不等式中“＝”成立的条件、4、向量数量积与实数积运算律的比较实数a,b,c 向量a，b，ca≠0，a·b＝0⇒b＝0a≠0，a·b＝0b＝0a·b＝b·c（b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0）a＝c|a·b｜＝｜a|·｜b｜｜a·b|≤|a｜·|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算(1)已知｜a｜＝4，|b|＝5,当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为30°时,分别求a 与b的数量积、(2)已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆,且2错误!＋3错误!＋4错误!＝0,求错误!·错误!的值、（链接教材P95例1）[解]（1）①a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝｜a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向,则θ＝180°，所以a·b＝｜a｜·|b|cos 180°＝4×5×（－1)＝－20、②当a⊥b时，θ＝90°,所以a·b＝｜a｜·|b｜cos 90°＝0、③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×5×错误!＝10错误!、(2）由2错误!＋3错误!＋4错误!＝0,得2错误!＝－3错误!－4错误!，两边平方得，4＝9＋16＋24错误!·错误!，所以错误!·错误!＝－错误!，3错误!＝－2错误!－4错误!，两边平方得，9＝4＋16＋16错误!·错误!,所以错误!·错误!＝－错误!,所以错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!）＝错误!·错误!－错误!·错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!、方法归纳求向量数量积的方法及注意事项(1）方法:分别求出向量a与向量b的模及向量a与向量b夹角的余弦值,然后根据数量积的定义求解、（2)注意事项:①要牢记数量积的运算公式;②要注意确定两个向量的夹角;③对于平行向量要注意两向量就是同向还就是反向、(3)求形如（m a＋n b)·（p a＋q b)的数量积,可以先展开,再求a2、b2、a·b、1、（1）在Rt△ABC中,C＝90°,AC＝4，则错误!·错误!等于()A、－16B、－8C、8D、16(2)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足6错误!＝3错误!＋2错误!，则错误!·错误!＝________、解析:(1）错误!·错误!＝（错误!－错误!）·（－错误!)＝－错误!·错误!＋错误!2＝16、(2）由6错误!＝3错误!＋2错误!可得错误!＝－错误!错误!－错误!错误!,在△MAC中,错误!＝错误!＋错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!,在△MBC中，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!－错误!错误!,错误!·错误!＝(－错误!错误!＋错误!错误!）·(错误!错误!－错误!错误!）＝－14CB →2＋错误!错误!·错误!－错误!错误!2, 又等边△ABC 中，｜错误!｜＝｜错误!｜＝2,错误!·错误!＝｜错误!|·｜错误!|cos 60°＝2，则错误!·错误!＝－错误!、答案：(1)D （2)－错误!向量模的问题(1）已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，｜2a ＋b ｜＝错误!,则｜b |＝________、（2）设向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,（a －b ）⊥c ,|a ｜＝1，则|b ｜＝________、（链接教材P 97习题2－5 A 组T 4)[解析］ （1）因为｜2a ＋b |＝错误!,所以（2a ＋b )2＝10,所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a ｜＝1，所以4｜a ｜2＋4|a ｜｜b |cos 45°＋｜b |2＝10，故4×12＋4×1×|b ｜×错误!＋｜b ｜2＝10,整理得|b ｜2＋2错误!｜b |－6＝0，解得｜b ｜＝错误!或|b ｜＝－3错误!(舍去）、(2）因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－（a ＋b )、因为(a －b ）⊥c ,所以c ·（a －b ）＝0,所以－(a ＋b )·(a －b )＝0,所以a 2－b 2＝0,所以｜b ｜＝|a ｜＝1、［答案] （1)错误! （2)1本例(2）中,加上条件a ⊥b ,其她不变,求｜c |、解:由已知可得c ＝－(a ＋b ),而（a －b ）⊥c ，有(a －b )·［－(a ＋b )］＝0，所以a 2－b 2＝0，又｜a |＝1，得|b ｜＝1，而a ⊥b ,所以c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2,即|c |＝错误!、方法归纳求向量的模的常见思路及方法（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系,并灵活应用a 2＝｜a ｜2，勿忘记开方、（2）a ·a ＝a 2＝|a |2或｜a |＝错误!,此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化、（3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2,(a ＋b ）·（a －b ）＝a 2－b 2等、2、（1)平面向量a 与b 的夹角为60°，|a ｜＝2，|b |＝1,则｜a ＋2b |＝( )A 、错误!B 、2错误!C 、4D 、12（2)若向量a ，b 满足:｜a |＝1，（a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ,则|b ｜＝（ ）A 、2B 、 2C 、1D 、错误!(3）已知同一平面上的向量a ，b ,c 两两所成的角相等,并且|a ｜＝1，｜b ｜＝2，｜c |＝3,求|a ＋b ＋c ｜、解:(1）选B 、｜a ＋2b |＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2错误!、（2)选B、由题意知错误!即错误!将①×2－②得,2a2－b2＝0,所以b2＝｜b｜2＝2a2＝2｜a｜2＝2,故|b|＝错误!、（3)①当向量a，b，c共线且同向时，所成的角均为0°,所以｜a＋b＋c|＝｜a｜＋｜b｜＋|c｜＝6;②当向量a，b，c不共线时,易知a,b，c皆为非零向量、设a,b，c所成的角均为θ,则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a·b＝|a|｜b｜cos 120°＝－1、同理b·c＝－3，c·a＝－错误!,由｜a＋b＋c｜2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝3，故|a＋b＋c｜＝错误!、综上所述，|a＋b＋c｜＝6或错误!、向量的夹角与垂直(1）已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α＝错误!,向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________、（2）已知向量a,b满足a－b与a＋b垂直,2a＋b与b垂直，则a与b的夹角为________、（3）已知非零向量a，b满足｜a｜＝1，且（a－b）·(a＋b）＝错误!、①求｜b|；②当a·b＝错误!时,求向量a与b的夹角θ的值、[解](1)因为|a|＝错误!＝错误!＝3,|b|＝错误!＝错误!＝2错误!，所以a·b＝(3e1－2e2)·（3e1－e2）＝9e错误!－9e1·e2＋2e错误!＝9－9×1×1×错误!＋2＝8,所以cos β＝错误!＝错误!、故填错误!、(2)因为a－b与a＋b垂直,所以（a－b)·（a＋b)＝0、所以a2＝b2、所以|a|＝｜b|、因为2a＋b与b垂直，所以(2a＋b）·b＝0、所以2a·b＋b2＝0、所以a·b＝－错误!b2＝－错误!｜b｜2、设a,b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!、因为0≤θ≤π,所以θ＝错误!、故填错误!、(3）①因为(a－b）·(a＋b）＝错误!,即a2－b2＝错误!,所以|b｜2＝｜a|2－错误!＝1－错误!＝错误!，故|b|＝错误!、②因为cos θ＝错误!＝错误!，又0°≤θ≤180°,所以θ＝45°、方法归纳求向量夹角的基本步骤及注意事项（1)步骤(2）注意事项在个别含有|a|,|b｜与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos θ的值、3、（1）已知向量a ,b 满足|a |＝2,|b ｜＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!（2）已知向量a ,b ，满足|a |＝3，|b ｜＝2错误!,且a ⊥(a ＋b ），则a 与b 的夹角为（ )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!(3）已知向量错误!与错误!的夹角为120°，且|错误!｜＝3，｜错误!|＝2,若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!,则实数λ的值为________、解析:(1)因为｜a |＝2,a ·(b －a ）＝－1,所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3、又因为|b |＝3,设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ||b |＝错误!＝错误!、 又θ∈［0,π]，所以θ＝错误!、（2)设a 与b 的夹角为θ,因为|a |＝3，|b ｜＝23，且a ⊥（a ＋b )，所以a ·(a ＋b ）＝a 2＋a ·b ＝｜a ｜2＋|a ｜|b ｜cos θ＝9＋63cos θ＝0,则cos θ＝－错误!;又因为θ∈[0,π]，所以θ＝5π6，即a 与b 的夹角为错误!、 (3)向量错误!与错误!的夹角为120°,且｜错误!｜＝3，｜错误!｜＝2,所以错误!·错误!＝|错误!｜·|错误!｜cos 120°＝－3、由错误!⊥错误!得,错误!·错误!＝0,即错误!·错误!＝(λ错误!＋错误!)·(错误!－错误!)＝0，所以错误!2－λ错误!2＋（λ－1)错误!·错误!＝0，即4－9λ－3（λ－1）＝0,解得λ＝错误!、答案：(1）C （2)D (3)712易错警示 因数量积转化不等价致误设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，｜e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为错误!,若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为________、［解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角,得（2t e 1＋7e 2）·(e 1＋t e 2)〈0,即2t e 2，1＋2t 2e 1·e 2＋7e 1·e 2＋7t e 错误!<0，因为|e 1|＝2，|e 2｜＝1，且e 1与e 2的夹角为错误!,化简即得:2t 2＋15t ＋7<0，解得－7〈t <－错误!、当夹角为π时,2t e 1＋7e 2＝λ（e 1＋t e 2），λ<0，可求得错误!所以错误!所以所求实数t 的范围就是错误!∪错误!、［答案］ 错误!∪错误!、［错因与防范］ (1）解答本题常会出现错误的答案为（－7,－错误!）、原因就是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2t e 1＋7e 2）·(e 1＋t e 2)<0”与“向量夹角为钝角"并不等价,其中还包含了共线且反向的情况、(2）注意问题转换的等价性数量积的符号同向量夹角的关系如下:对于非零向量a 与b 及其夹角θ,①a ·b ＝0⇔a ⊥b ;②a ·b >0⇔θ为锐角或零角;③a ·b <0⇔θ为钝角或平角、如本例应排除向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线且反向的特殊情形后才等价、4、（1）已知a就是单位向量,|b｜＝错误!,且（2a＋b）·(b－a)＝4－错误!，则a与b的夹角为()A、45°B、60°C、120°D、135°(2）已知非零向量a,b满足｜a|＝｜b｜＝|a＋b|，则a,b的夹角为________、解析：(1)设a,b的夹角为θ、由(2a＋b)·（b－a）＝2a·b－2a2＋b2－a·b＝a·b－2＋6＝a·b ＋4＝4－3,所以a·b＝－错误!,又a·b＝|a||b｜cos θ＝错误!·cos θ＝－错误!，所以cos θ＝－错误!,又0°≤θ≤180°,所以θ＝135°,故a与b的夹角为135°、（2)设a，b的夹角为θ、由|a|＝|b|＝|a＋b｜,得｜a|2＝｜a＋b｜2,所以｜a｜2＝|a｜2＋2a·b＋｜b｜2,得a·b＝－错误!｜b|2，所以a·b＝|a|｜b|cos θ＝－错误!|b｜2，所以cos θ＝－错误!,又θ∈[0，π],所以θ＝错误!、答案：(1)D（2）错误!1、若四边形ABCD满足错误!＋错误!＝0，错误!·错误!＝0,则该四边形就是()A、菱形B、矩形C、直角梯形D、正方形解析:选B、由错误!＋错误!＝0知,错误!＝错误!，所以AB綊CD,所以四边形ABCD 就是平行四边形、因为错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝0,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD就是矩形,故选B、2、等边三角形ABC的边长为1,则错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!等于（)A、0B、1C、－错误!D、－错误!解析:选D、由已知｜错误!|＝｜错误!|＝|错误!｜＝1,所以错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－错误!、3、已知向量a,b满足（a＋2b）·（a－b）＝－6，且｜a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________、解析：设a，b的夹角为θ，由（a＋2b）·(a－b)＝－6,得a2＋a·b－2b2＝－6，又｜a|＝1，|b｜＝2，所以a·b＝1，所以cos θ＝错误!＝错误!,又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°、答案:60°，[学生用书单独成册］)[A、基础达标]1、设a,b,c就是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a)b＝0；②|a｜－｜b|〈|a－b｜；③(b·c）a－(c·a）b不与c垂直;④（3a＋2b）·(3a－2b)＝9|a｜2－4｜b|2中，就是真命题的有(）A、①②B、②③C、③④D、②④解析:选D、因为(a·b）c就是与c共线的向量，（c·a)b就是与b共线的向量，所以（a·b）c与（c·a）b不一定相等,排除①、因为[（b·c）a－（c·a）b］·c＝（b·c）(a·c)－（c·a)（b·c)＝0，所以(b ·c )a －(c ·a ）b 与c 垂直,所以排除③，故选D 、2、已知向量a ，b 满足|a ｜＝1,｜b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!解析:选C 、因为a ·b ＝|a ｜|b ｜cos θ，所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝错误!、又因为θ∈［0,π]，所以θ＝错误!、3、已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60°，那么｜a ＋3b ｜等于（ )A 、错误!B 、错误!C 、13D 、4解析:选C 、因为｜a ｜＝|b |＝1,又a 与b 的夹角为60°，所以|a ＋3b ｜2＝|a ｜2＋6a ·b ＋9｜b |2＝1＋6×cos 60°＋9＝13、即｜a ＋3b ｜＝13、4、在△OAB 中,OA →＝a ，错误!＝b ，OD 就是AB 边上的高,若错误!＝λ错误!,则λ等于( )A 、错误!B 、错误!C 、错误!D 、错误!解析：选B 、由题意知错误!·错误!＝0，即错误!·（错误!＋错误!）＝0,所以错误!·（错误!＋λ错误!）＝0，所以λ＝－错误!＝－错误!＝错误!，故选B 、5、若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ,则|a －b －c |的最小值为（ )A 、2－1B 、1C 、错误!＋1D 、错误!解析:选A 、因为a ,b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0,所以|a －b |＝错误!＝错误!＝错误!,所以|a －b －c |≥|a －b ｜－|c ｜＝错误!－1、6、已知单位向量e 1,e 2的夹角为120°,则|2e 1－e 2｜＝________、解析：｜2e 1－e 2|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!、答案:错误!7、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°,则向量错误!在向量错误!上的投影等于________、解析：因为等腰△ABC 中,AB ＝AC ＝1,B ＝30°,所以∠BAC ＝120°，因此向量错误!在向量错误!上的投影为｜错误!|cos 120°＝－错误!、答案：－错误!8、已知a ,b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0,a 与b 的夹角为错误!，则实数λ＝________、解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）,即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ,而a ，b ,c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1,则49＝9＋λ2＋6λcos 错误!,即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5、答案：－8或59、设向量a ,b 满足|a ｜＝1,|b |＝1,且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b ｜(k 〉0)、（1)a 与b 能垂直不？（2）若a 与b 的夹角为60°,求k 的值、解:（1)因为｜k a ＋b |＝错误!|a －k b |，所以(k a ＋b ）2＝3(a －k b ）2，且｜a ｜＝|b ｜＝1,即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b ），所以a ·b ＝错误!、因为k 2＋1≠0,所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直、（2)因为a 与b 的夹角为60°,且｜a ｜＝｜b ｜＝1，所以a ·b ＝|a ｜|b |cos 60°＝12、 所以错误!＝错误!、所以k ＝1、10、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，｜3a －b |＝错误!、(1)求｜a ＋3b |的值;(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值、解:(1)由｜3a －b |＝错误!得（3a －b )2＝5,所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5、因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b ｜2＝1，所以9－6a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝错误!、所以（a ＋3b ）2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×错误!＋9×1＝15、所以|a ＋3b ｜＝15、（2）设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ、因为（3a －b ）·(a ＋3b ）＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×错误!－3×1＝错误!、所以cos θ＝错误!＝错误!＝错误!、因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝错误!＝错误!、所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为错误!、[B 、能力提升]1、如图，在四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥DC 、若｜错误!|＝a ,|错误!|＝b ，则AC ，→·错误!＝( )A 、a 2－b 2B 、b 2－a 2C 、a 2＋b 2D 、a ·b解析：选B 、因为错误!⊥错误!，所以错误!在错误!方向上的投影为|错误!｜·cos ∠CAD ＝｜错误!|，又错误!⊥错误!，所以错误!在错误!方向上的投影为|错误!|·cos ∠CAB ＝｜错误!|、所以错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!)＝错误!·错误!－错误!·错误!＝|错误!｜|错误!｜－｜错误!｜|错误!|＝b 2－a 2、2、在Rt △ABC 中,点D 就是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点，则错误!＝（ ）A 、2B 、4C 、5D 、10解析：选D 、错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－6＝42－6＝10、3、设e 1,e 2为单位向量,非零向量b ＝x e 1＋y e 2,x ，y ∈R 、若e 1，e 2的夹角为错误!,则错误!的最大值等于________、解析:根据题意，得错误!错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!、因为错误!错误!＋错误!≥错误!,所以0〈错误!错误!≤4,所以0<错误!≤2、故错误!的最大值为2、答案：24、在平行四边形ABCD 中,AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点、若错误!·错误!＝1，则AB 的长为________、解析:设AB 的长为a （a 〉0），又因为错误!＝错误!＋错误!,错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!错误!,于就是错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝错误!错误!·错误!－错误!错误!2＋错误!2＝－错误!a 2＋错误!a ＋1，由已知可得－错误!a 2＋错误!a ＋1＝1、又a 〉0,所以a ＝错误!,即AB 的长为错误!、答案：错误!5、如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，如果AM ＝2，求OA →·(错误!＋错误!）的最值、解:因为错误!＋错误!＝2错误!,所以OA ，→·（错误!＋错误!）＝错误!·2错误!＝2｜错误!｜|错误!｜·cos 180°＝－2|错误!||错误!|,｜错误!|＋｜错误!｜＝2，设|错误!｜＝t (0≤t ≤2)⇒｜错误!|＝2－t 、所以错误!·(错误!＋错误!)＝－2(2－t ）t ＝2t 2－4t ＝2(t －1）2－2（0≤t ≤2)、所以当t ＝1时,错误!·（错误!＋错误!）取得最小值－2、当t ＝0或2时,错误!·(错误!＋错误!)取得最大值0、6、（选做题）已知非零向量a 、b ，设其夹角为θ,就是否存在θ，使得|a ＋b ｜＝错误!|a －b ｜成立，若存在,求出θ的取值范围,若不存在，请说明理由、解:假设存在满足条件的θ，由｜a ＋b |＝错误!|a －b |可得:(a ＋b )2＝3（a －b )2，即|a |2＋2a ·b ＋｜b |2＝3（｜a |2－2a ·b ＋|b ｜2)⇒｜a ｜2－4a ·b ＋|b |2＝0⇒|a |2－4｜a |·|b |cos θ＋｜b |2＝0、已知向量a 、b 为非零向量,则｜b ｜≠0，上式同除以|b |2得到：错误!错误!－4cos θ错误!＋1＝0，由Δ≥0得到：（－4cos θ）2－4≥0,解得cos θ≤－错误!或cos θ≥错误!,又知cos θ∈［－1，1]，则－1≤cos θ≤－错误!或错误!≤cos θ≤1，因为θ∈[0,π]、所以θ∈错误!∪错误!满足题意、因此,当θ∈错误!∪错误!时，使得｜a ＋b |＝错误!|a －b ｜、。
2019年人教版高中数学必修四考点练习：平面向量的数量积1(含答案解析)
4a bBC 4a bb = 4ab +
b2
4 1 4 0 ，选项D正确．故选D．
解法二：对于选项D，过点 A 作 AD BC 于点 D ，则点 D 为 BC 的中点，
4a + bBC AB AC BC 2ADBC 0
所以
．故选D．
A
3. 解析：∵―AD→＝32―AB→，
―BC→
―C→A
―AB→
5. 在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(
)
3 A．－2
B．0
3
C. 2
D．3
6. 设向量 a , b 满足 | a b | 10 ， | a b | 6 ，则 a b （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
―BC→ ―BE→ ―AD→ ―D→C ―BD→ ―AE→ 7. 已 知等边△ABC的边长为2，若 ＝3 ， ＝ ，则 · 等于( )
列结论正确的是（ ）.
A． b 1 B． a b
C． ab 1
D． 4a b BC
3. 在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝2，AC＝1，若―AD→＝32―AB→，则―CD→·―C→B ＝________.
―AE→ ―BD→ 4. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · ＝________.
1. 解析 解法一： a b „ a b a b 2 „ a b 2
a 2 2a b b 2 „ a 2 2 a b b 2 a b … a b ，矛盾，B不正确.故选B.
解法二： 从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，
a b a b ， B不正确.故选B.
数学必修4优化训练：2.4向量的数量积 含解析 精品
2.4 向量的数量积5分钟训练（预习类训练,可用于课前） 1.判断正误，并简要说明理由. ①a ·0=0；②0·a =0；③0-AB =BA ；④|a ·b |=|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零向量b 有a ·b ≠0；⑥a ·b =0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2. 解:上述7个命题中只有③⑦正确:对于①:两个向量的数量积是一个实数，应有0·a =0； 对于②:应有0·a =0；对于④:由数量积定义，有|a ·b |=|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a ·b |=|a ||b |；对于⑤:若非零向量a 、b 垂直，有a ·b =0； 对于⑥:由a ·b =0可知a ⊥b ，可以都非零.2.(湖北)已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲:a ·b ＝a ·c ;乙:b ＝c ，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件思路解析:b =c ,两边同乘以不为0的向量a ,则有a ·b =a ·c .由a ·b =a ·c ,可得a ·(b -c ).说明b =c 或者是向量a 垂直于向量b -c . 答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.(重庆)设向量a =(-1，2)，b =(2，-1)，则(a ·b )(a +b )等于( )A.(1，1)B.(-4，-4)C.-4D.(-2，-2) 思路解析:(a ·b )(a +b )=〔-1·2+2·(-1)〕(-1+2,2-1)=-4(1,1)=(-4，-4). 答案:B2.(江西)已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =25,则a 与c 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 思路解析:本题考查平面向量的运算及向量的夹角公式. 设a 、b 的夹角为θ,则cos θ=||||b a ba ∙,θ∈［0,π］.(1)当θ为锐角,有a ·b >0且a ·b ≠1. (2)当θ为钝角,有a ·b <0且a ·b ≠-1. (3)当θ=0,a 、b 共线且方向相同. (4)当θ=2π时,a ·b =0. 设c=(x,y)，则(a +b )·c =(-1,-2)·(x,y)=-x-2y=25， 又|c|=5,所以a ·c =x+2y=|a |·|c |·cos α，得cos α=-21，α=120°，选C.答案:C3.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D.4思路解析:|a +3b |2=(a +3b )2=a 2+6ab +9b 2=|a |2+6|a ||b |cos60°+9|b |2=13. ∴|a+3b|=13.答案:C4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A.6π B.3πC.32πD.65π思路解析:由(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,∴(a -2b )·a =0，(b -2a )·b =0.a 2=2ab ,b 2=2ab .∴2|a ||b |cos θ=|a |2且|a |2=|b |2.∴cos θ=21||||2||2=b a a .∴θ=3π.答案:B5.给出下列命题: ①在△ABC 中，若AB ·BC <0，则△ABC 是锐角三角形； ②在△ABC 中，若AB ·BC >0，则△ABC 是钝角三角形；③△ABC 是直角三角形⇔AB ·BC =0；④△ABC 是斜三角形的必要不充分条件是AB ·BC ≠0.其中，正确命题的序号是_____________.思路解析:利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角. ①∵AB ·BC <0，∴BA ·BC =-AB ·BC >0，∴∠B 是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC 是锐角三角形.故命题①是假命题. ②∵AB ·BC >0，∴BA ·BC =-AB ·BC <0.∠A 是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.③△ABC 是直角三角形，其直角可以是∠A ，也可以是∠B 、∠C,因AB ·BC =0仅能保证∠B 是直角,故命题③是假命题.④一方面，当△ABC 是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故AB ·BC ≠0；另一方面，由AB ·BC ≠0只能得出∠B 不是直角，但∠A 或∠C 中可能有一个直角.故命题④是真命题. 答案:②④6.(2005 福建)在△ABC 中，∠A=90°，AB =(k,1), AC =(2,3),则k 的值是______.思路解析:∠A=90°，所以AC ⊥AB ,k ·2+1·3=0.答案:-23 7.平面向量a 、b 中，已知a ＝(4，-3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝__________. 思路解析:设向量b =(x,y).a ·b =(4,-3)(x,y)=4x-3y=5, ① 又|b |=1，所以22y x +=1. ②由①②得x=54,y=-53.答案:(54,-53) 8.在直角坐标系xOy 中，已知点P(2cosx+1，2cos2x+2)和点Q(cosx ，-1)，其中x ∈[0，π].若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.解:由OP ⊥OQ ，得cosx(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0，利用cos2x=2cos 2x-1，化简后得2cos 2x-cosx=0，于是cosx=0或cosx=21， ∵x ∈［0,π］，∴x=2π或3π. 志鸿教育乐园童言童语一年级的老师教小朋友认识家禽动物。
新人教版高中数学向量的数量积(2)随堂练习必修四
向量的数量积（2）1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为 。
3．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．6．已知|a |＝6，a 与b 的夹角为π3，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72.则|b |＝________.7．在△ABC 中，C ＝90°，CB ＝3，点M 满足BM ＝2MA ，则CM ·CB ＝________.8．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.9．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．答案1.解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a·b ＝7，∴a·b ＝－32，cos θ＝a·b |a ||b |＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 答案：θ＝2π3. 2.解析：∵c·d ＝0，∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0，∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0，∴2k ＝12，∴k ＝6.答案：63.解析：∵AM ＝1，且AP ＝2PM ，∴|AP |＝23. 如图，AP ·(PB ＋PC )＝AP ·2PM ＝AP ·AP ＝AP 2＝(23)2＝49. 答案：494．解析：∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝ c |－122＋34 故|a －c |min ＝32. 答案：32 5.解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，于是|AB ＋AC |＝|AB －AC |，所以|AB ＋AC |2＝|AB －AC |2，即AB ·AC ＝0，从而AB ⊥AC .答案：直角三角形6.解析：由已知，a 2－a ·b －6b 2＝－72， ∴|a |2－|a ||b |cos π3－6|b |2＝－72，即2|b |2＋|b |－36＝0.∴(2|b |＋9)(|b |－4)＝0. ∵|b |≥0，∴|b |＝4.答案：47.解析：∵CM ＝CB ＋BM＝CB ＋23BA＝CB ＋23(CA －CB )＝23CA ＋13CB ，又C ＝90°，AC ·CB ＝0，∴CM ·CB ＝(23CA ＋13CB )·CB＝13CB 2＝3.答案：38.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2. ∴cos 120°＝a ＋2b a －2b |a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2a 2＋4b 22＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12. ∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233.答案：2339.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22.∴cos θ＝a·b |a ||b |＝121×22＝22.又θ∈[0，π]，∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝102.10.解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2. ∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)． ∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ>0，Δ＝b |cos θ2－4|b |2≥0， 解得cos θ∈[12，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，|a ＋b |＝3|a －b |成立．仅此学习交流之用谢谢。
16-17数学必修4 第2章2-4向量的数量积一 作业 含解析
[学业水平训练]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角θ为45°，则m ·n ＝________.解析：m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝12 2.答案：12 22.(2014·南通调研)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB →|＝________．解析：将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4.答案：43.设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b |＝______.解析：|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2×4×3×cos 60°＋32＝37.答案：374.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为__________． 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，由题意知(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝0，∴|a |2＋|a ||b |cos θ＝0，∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°5.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2＝__________． 解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．又∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.∴|c |2＝c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5.答案：56.如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)① P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→；④P 1P 2→·P 1P 6→.解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→的数量积最大．答案：①7.已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4. 求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2. (2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝32＋2×3×4cos 3π4＋42＝ 25－12 2.8.已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角． 解：∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0.∵(b －2a )⊥b ，∴(b －2a )·b ＝0，即b 2－2a ·b ＝0.∴a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12a 2，即a ·b ＝12|a |2. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. [高考水平训练]1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →， 又∵BC →＝AC →－AB →，AC →2＝1，AB →2＝4，且AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1，∴AD →·BC →＝(13AC →＋23AB →)·(AC →－AB →)＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83. 答案：－832.已知非零向量AB →，AC →和BC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →||BC →|＝22，则△ABC 的形状为________．解析：∵AB →|AB →|、AC →|AC →|分别表示与AB →、AC →同向的单位向量， ∴以AB →|AB →|、AC →|AC →|为邻边的平行四边形为菱形． ∴表示向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|的有向线段在∠A 平分线上． ∴由(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0知∠A 的平分线垂直于BC ， ∴△ABC 为等腰三角形．又AC →·BC →|AC →||BC →|＝cos C ＝22， ∴∠C ＝π4，从而可知，∠A ＝π2. ∴△ABC 为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形3.已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32， 又∵θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.4．已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围．解：法一：∵a 2＝9，∴|a |＝3.又a ·b ＝－12.∴|a ·b |＝12.又∵|a ·b |≤|a ||b |.∴12≤3|b |，解得|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．法二：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．又由a 2＝9，得|a |＝3，由a ·b ＝－12，得θ≠90°.即cos θ≠0.∴|b |＝a ·b |a |cos θ＝－123cos θ＝－4cos θ. ∵－1≤cos θ<0，∴|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．。
高中数学 向量的数量积(2)随堂练习 新人教版必修4
向量的数量积（2）1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为 。
3．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP u u u r ＝2PM u u u r ，则AP u u u r ·(PB u u u r＋PC u u u r)等于4．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB u u u r －OC u u u r |＝|OB u u u r ＋OC u u u r －2OA u u u r|，则△ABC的形状为________．6．已知|a |＝6，a 与b 的夹角为π3，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72.则|b |＝________.7．在△ABC 中，C ＝90°，CB ＝3，点M 满足BM u u u r ＝2MA u u u r，则CM u u u r ·CB u u u r ＝________.8．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.9．已知|a |＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．答案1.解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a·b ＝7， ∴a·b ＝－32，cos θ＝a·b |a ||b |＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案：θ＝2π3.2.解析：∵c·d ＝0， ∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0， ∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0， ∴2k ＝12，∴k ＝6. 答案：63.解析：∵AM ＝1，且AP u u u r ＝2PM u u u r，∴|AP u u u r |＝23.如图，AP u u u r ·(PB u u u r ＋PC u u u r )＝AP u u u r ·2PM u u u r ＝AP u u u r ·AP u u u r ＝AP 2u u u u r ＝(23)2＝49.答案：494．解析：∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向， ∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝|c |－122＋34故|a －c |min ＝32. 答案：325.解析：OB u u u r ＋OC u u u r －2OA u u u r ＝OB u u u r －OA u u u r ＋OC u u u r －OA u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，OB u u u r －OC u u u r ＝CB u u u r ＝AB u u u r －AC u u ur ，于是|AB u u u r ＋AC u u u r |＝|AB u u u r －AC u u ur |，所以|AB u u u r ＋AC u u u r |2＝|AB u u u r －AC u u ur |2，即AB u u u r ·AC u u ur ＝0，从而AB ⊥AC .答案：直角三角形6.解析：由已知，a 2－a ·b －6b 2＝－72， ∴|a |2－|a ||b |cosπ3－6|b |2＝－72， 即2|b |2＋|b |－36＝0.∴(2|b |＋9)(|b |－4)＝0. ∵|b |≥0，∴|b |＝4. 答案：47.解析：∵CM u u u r ＝CB u u u r ＋BM u u u r＝CB u u u r ＋23BA u u u r＝CB u u u r ＋23(CA u u r －CB u u u r ) ＝23CA u ur ＋13CB u u u r ， 又C ＝90°，AC u u u r ·CB u u u r＝0， ∴CM u u u r ·CB u u u r ＝(23CA u ur ＋13CB u u u r )·CB u u u r＝13CB 2u u u u r ＝3. 答案：38.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.∴cos 120°＝a ＋2b ·a －2b|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2a 2＋4b 22＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12. ∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22.∴cos θ＝a·b|a ||b |＝121×22＝22. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝102. 10.解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2. ∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)． ∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝4|b |cos θ2－4|b |2≥0，解得cos θ∈[12，1]．又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时， |a ＋b |＝3|a －b |成立．。
高中一年级下册数学 人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(A)含答案
专题九平面向量的数量积（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是（ ）A ．1=⋅b a B.||||a = C ．⊥-)( D ．// 【答案】C【解析】试题分析：计算得2a b ⋅= ，||2||a b =⋅ ，(1,1),()110a b a b b -=--⋅=-=，故选C .2.已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A【解析】由题意，得，所以30ABC ∠=︒，故选A ．3.若1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A.6π B.3π C.56π D.23π【答案】D4.ABC ∆中，D 是BC 中点，AD m =，BC n =，则AB AC ⋅等于（ ）A ．2214m n -B ．2214m n +C ．2214m n +D ．2214m n - 【答案】A【解析】由已知2nBD DC ==，DC DB =-， 2222221()()()()()24n AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB m m n ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-=-.5.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则()(2)a b a b +∙-=（ ） A ．2 B ．-2 C ．-3 D ．4 【答案】A 【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+b a b a ，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+b a b a ，应选A. 6.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A B ．2 C ．52 D ．3【答案】A7.【2018届辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学高三10月月考】在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】，故选：C8.已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，则b =（ ）B.2C.【解析】∵210a b -=，∴22222(2)4410a b a b a a b b -=-=-⋅+=，又∵,a b 的夹角为45︒，且1a =，∴2244||||102b b -⋅⋅+=，解得||32b =或， 即||32b =.9.【2018届广西河池市高级中学高三上第三次月考】已知向量()1,2a =-， (),1b m =，若向量a 与b 垂直，则m =（ ）A. 2B. -2C. 0D. 1 【答案】A【解析】因为向量()1,2a =-， (),1b m =，且向量a 与b 垂直，所以20a b m ⋅=-+=，解得2m =，故选A.10.【2018届河北省石家庄市普通高中高三10月份月考】设向量()111,0,,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是( )A. a b =B. ()a b b -⊥ C. a b D. 2·a b = 【答案】B11.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41 （D ）811【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.12.在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若3AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值为（ ）A ．0B ．3C ．-4D ．4 【答案】C 【解析】如图所示，2232,3cos 1133BE EC BE BC AB AF AF DF α=⇒==⋅=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()0,3,,B FE ⎫⎪⎪⎝⎭，因此()233,2,23264BF AE BF =-⋅=-⨯=-=-，故选C.第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版高中数学必修四2.4平面向量的数量积2.4.1含答案
§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是____________，向量b 在a 方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律)．一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.能力提升13．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．14．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c作业设计1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．B [|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.]4．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 5．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°.] 6．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．④解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0.9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°.10．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6. 12．解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5. 13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12. 14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
数学人教B版必修4作业：2.3 平面向量的数量积(1-2课时) Word版含解析
一、选择题1．|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 c ⊥a ，设a 与b 的夹角为θ，则(a ＋b )·a ＝0，所以a 2＋a ·b ＝0，所以a 2＋|a ||b |cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－12，所以θ＝120°.故选C.【答案】 C2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12【解析】 ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |2－2|a |－24＝0，∴|a |＝6.【答案】 C3．若m ·n ≤0，则m 与n 的夹角θ的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[π2，π)C ．[π2，π]D ．[0，π2]【解析】 ∵m ·n ≤0，∴|m |·|n |cos θ≤0，∴cos θ≤0，∴π2≤θ≤π.【答案】 C4．△ABC 中，AB →·AC →＜0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【解析】 ∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0，∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．【答案】 C5．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OA →·OC →，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心【解析】 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，则OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.所以O 是△ABC 的垂心．【答案】 B二、填空题6．已知|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为150°，则a 在e 方向上的射影为________．【解析】 a 在e 方向上的射影为|a |cos 150°＝8×(－32)＝－4 3.【答案】 －4 37．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________．【解析】 ∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0，∴12λ－18＝0，∴λ＝3 2.【答案】3 28．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋m b＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.【解析】∵3a＋m b＋7c＝0，∴3a＋m b＝－7c，∴(3a＋m b)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6m a·b＝49.又a·b＝|a||b|cos 60°＝12，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.【答案】5或－8三、解答题9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.【解】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0.③当a与b的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.10．已知向量a 、b 的长度|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×(－12)＝－4.又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又 θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.11．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．【解】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14(t －32)2－916(t ≠0)．故当t ＝32时，k 取最小值－916.。
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案.docx
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案一、填空题1.已知 a=(l, sin 2%), b= (2, sinZr),其 +1 (0,兀).若\a'b\ = \a\\b\,则 tairr= 1_. 解：由0切=|。
||创知，a//b.故 sin2x=2sirTx,即 2sinxcosx=2sirTx,而 xW(0,兀)，故 sinx=cosx, 即 x=才，故 tanx=l.2. 已知两个单位向量6，02的夹角为120°,若向量a=ei+2Q2，b=4e v 则a/=归 解:a-b=(e l +2e 2)-4ei=4ere 2 + 8 e t -e 2=4X 1X1+8X1X 1 Xcosl20°=4 + 8X(-|) = 0.3. 在 RtZ\/BC 中，ZC= 90°, /C=4,则 AB AC 等于 16 ・ 解：法一：因为 cos/=务，故 AB - AC =| AB || AC |cos?l = | AC |2=16.4.在锐角△/BC 中， AB=a, CA=b, S“ABC = 1， 且|a|=2, \b\=y[2f 则a ・b 等于-2・ 解：S/\/EC =T AB II AC |sin_zl =㊁X2= 1, a-b= AB • CA =|a||b|cos (7i_/) = 2X^cos¥=_2.5.设向量 a=(cosa, sin«),方=(cos“，sin”)，其屮 0 兀，若 \la+b\ = \a —lb\,则 p~a= J. 解：由\2a+b\ = \a —2b\得 3|af —3|/?F + 8Q /=0,而\a\ = \b\ = 1,故 a b=0, :、cosacos0+sinasin0=O,即 cos(a —0) = 0,由于 0 <a<0<7T,故一7t < u.—p < 0, .I 0=—申，即 0—a=号.解：由题意可知，在中，3C 边上的中线又是边上的高，因此△/BC 是等腰三角形，而三 个内角B, C 成等差数列，故角3为60°,所以△ ABC 一定是等边三角形.7. 力F 的大小为50 N,与水平方向的夹角为30。
人教新课标版数学高一B版必修4 2.3 平面向量的数量积(1-2课时) 作业
双基达标 (限时20分钟)1．若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ<0，∴cos θ<0，又θ∈， ∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.答案 C2．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝ ( )．A ．1 B. 3 C ．2 D.3或2解析 |a －b |＝|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4＝2.答案 C3．已知|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为( )．A.3223B.2342C.2942D.4223解析 (3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a ·b －5b 2＝0⇒3m ·32＋(5m －3)·3×2cos 60°－5×22＝0，解之得m ＝2942.答案 C4．已知|a |＝3，|b |＝4，则(a ＋b )·(a －b )＝________. 解析 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 ＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.答案－75．已知|a|＝4，a与b的夹角为30 °，则a在b方向上的投影为________．解析a在b方向上的投影为|a|cos 30°＝4×32＝2 3.答案2 36．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b时，求a·b.解(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×3×1＝12；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.综合提高(限时25分钟)7．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为()．A．150°B．120°C．60°D．30°解析∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12，又θ∈，∴θ＝120°. 答案 B8．若向量a与b的夹角为π3，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4C．6 D．12解析由题意知a·b＝|a||b|cos π3＝12|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.答案 C9．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，i ，j 为相互垂直的单位向量，那么a ·b ＝________.解析 将两已知等式相加得，2a ＝－6i ＋8j ，所以a ＝－3i ＋4j .同理将两已知等式相减得，b ＝5i －12j ，而i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ·b ＝(－3i ＋4j )·(5i －12j )＝－3×5＋4×(－12)＝－63.答案 －6310．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________. 解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4， 即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4， 得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1. 于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.答案611．在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，∠ABC ＝150°，求AC 的长． 解 由题意知，AB →与BC →的夹角为30°.又AC →＝AB →＋BC →， ∴|AC →|＝|AB →＋BC →|＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝82＋72＋2×8×7×cos 30° ＝113＋563， 即AC 的长为113＋56 3.12．(创新拓展)设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值． 解 (1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1.即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )，∴a·b＝k2＋14k.∵k2＋1≠0，∴a·b≠0，即a与b不垂直．(2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，∴a·b＝|a||b|cos 60°＝1 2.∴k2＋14k＝12.∴k＝1.。