空间向量提升训练
人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)(含答案解析)
选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)一、单选题1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．(]0,1D ．⎛ ⎝⎦2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，14SE SB =，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A B C ．1316D二、多选题3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160A AB DAB A AD ∠=∠=∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．线段1AC 的长度为B ．异面直线11BD B C ，夹角的余弦值为13C ．对角面11BBD D 的面积为D．平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列说法正确的是（ ） A ．平面1PAC ⊥平面11AB D B ．//DP 平面11AB DC ．异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎦⎝D ．三棱锥11D APB -的体积不变5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 运动，则（ ）A ．三棱锥11P AC D -的体积为定值B ．异面直线AP 与1A D 所成的角的取值范围为45,90⎡⎤⎣⎦C ．直线1C P 与平面11ACD D ．过P 作直线1//l AD ，则l DP ⊥6．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -(如图2).下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ．顶点S 在面AEF 上的射影为AEF 的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、双空题7．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M 、N 分别为11A B 、1DD 中点，且AP AM AN λμ=+（λ，R μ∈）． （1）若111D P tDC =（t R ∈），则t =______． （2）若11A P k AC =（k ∈R ），则三棱锥11A PD C -体积为______．四、填空题8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面α，使得AP α⊥且垂足为E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为__________．9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD 是边长为1的正方形，四边形AA B B ''是矩形，平面AA B B ''⊥平面ABCD .若1AA '=，则直线AB 到面DA C '的距离为___________.10．设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA ⊥平面ABCD ，3AB =，4BC =，1PA =，则点P 到直线BD 的距离为___________.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为___________.12．已知正四面体A BCD -的外接球半径为3，MN 为其外接球的一条直径，P 为正四面体A BCD -表面上任意一点，则PM PN ⋅的最小值为___________．五、解答题13．如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面互相垂直，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l .（1）求l 与AC 所成角的大小； （2）求二面角A CE D --的余弦值.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，24AB AD CD ===，平面PBC ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，且12CE PB =.（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若直线PA 与平面ABCD P AC E --的余弦值. 15．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的正弦值.16．如图，正三棱锥P ABC -中，PA 与底面ABC ．（1）证明：PA ⊥面PBC ；（2）设O 为ABC 的中心，延长AO 到点E 使得3AE AO =，求二面角A PC E --的平面角的大小． 17．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2P A ＝2，对角线AC 与BD 交于O 点，连接PO .（1）求证：AC ⊥PB ；（2）过B 点作一直线l 平行于PC ，设Q 为直线l 上除B 外的任意点，设直线PQ 与平面P AC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.18．如图，在七面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，其中60BAD ∠=，,,BCE CEF CDF 为等边三角形，且AB BE ⊥，G 为CD 的中点.（1）证明：AB ⊥平面EFG ；（2）求平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.19．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =证明：1AC ⊥平面11BB D D .20．如图是矩形ABCD 和边AB 为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面，若点E 是折后图形中半圆O 上异于,A B 的点．（1）证明：EA EC ⊥；（2）若22AB AD ==，且异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值．21．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长度为2，且⊥A 1AB =⊥A 1AD =120°.求：（1）AC 1的长；（2）直线BD 1与AC 所成角的余弦值.22．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒，E 是AD 的中点．（1）求证：BE ⊥平面PAD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值．23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB ⊥AD ，CD =PD =P A =AD =12AB =2.（1）求证：平面PBC ⊥平面P AB ； （2）求二面角D —PC —B 的正弦值.24．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =．（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --？若存在，求出E 点位置，若不存在，请说明理由．25．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//PD QA ，M 为PC 中点，222PD QA AB ===.（1）证明：//QM 平面ABCD ； （2）求二面角Q BP A --的余弦值.26．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．27．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，（1）过D B E ''､､三点作正方体的截面α； （2）半平面B BE '与平面α所成的二面角的大小；28．如图⊥所示，在边长为12的正方形'11'AA A A 中，点B ，C 在线段'AA 上，且3AB =，4BC =．作11//BB AA ．分别交'11A A ，'1AA 于点1B ，P ；作11//CC AA ，分别交'11A A ，'1AA 于点1C ，Q ．现将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得'1'A A 与1AA 重合，构成如图⊥所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：⊥AP BC ； （2）求平面PAQ 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．29．如图，在三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为棱AC 的中点,M 为棱DP 的中点，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点，2PA PC AB BC ====，AB BC ⊥.（1）若点H 在线段BD 的延长线上，且DB DH =，问：在棱AP 上是否存在点E ，使得HE 与BN 垂直？请说明理由；（2）求平面BMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是PC ，PD 上的动点，且PE FD PF EC ⋅=⋅．（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）若13PE PC =，且PC 与底面ABCD 所成角的正弦值为35，求二面角C AE D --的余弦值． 31．如图，菱形ABCD 与正三角形DEF 所在平面互相垂直，60BCD ∠=︒，E ，G 分别是线段AB ，CF 的中点．（1）求证：//BG 平面DEF ；（2）求直线BC 与平面DEG 所成角的正弦值．32．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，A ，D ，B 分别在x ，y ，z 轴的正半轴上，C 在平面BOD 内.（1）若OE CD ⊥，证明：CD AE ⊥.（2）已知3OA OD ==，2OB =，C 的坐标为()0,2,4，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 33．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，PD 的中点为F .（1）求证：//PB 平面ACF .（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.⊥四棱锥P ABCD -，⊥FC 与平面ABCD 所成的角为6π，⊥BD =若___________，求二面角F AC D --的余弦值.34．某直四棱柱被平面AEFG 所截几何体如图所示，底面ABCD 为菱形，（1）若⊥BG GF ，求证：BG ⊥平面ACE ；（2）若1BE =，2AB =，60DAB ∠=︒，直线AF 与底面ABCD 所成角为30º，求直线GF 与平面ABF 所成角的正弦值.35．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AB CD ，3PD BC CD ===，4AB =．过点D 做四棱锥P ABCD -的截面DEFG ，分别交PA ，PB ，PC 于点E ，F ，G ，已知14AE AP =，13CG CP =．(1) 求直线CP 与平面DEFG 所成的角；(2) 求证：F 为线段PB 的中点．36．如图1所示，在菱形ABCD 中，AB AC ==AC 与BD 相交于点O ，现沿着对角线AC 折成一个四面体ABCD ，如图2所示．（1）在图2中，证明：AC BD ⊥；（2）若图2中BD =点P 是线段BD 的三等分点（靠近点D ），求二面角P AC D --的余弦值． 37．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD是菱形，2,AE BD ==（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ；（2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值.38．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，2PA AB ==．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）当12AC CB =时，求二面角C PB A --的余弦值．39．如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中，1BCC 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =点P 为1BB 的中点．（1）证明：1CC ⊥平面11AC P ；（2）求平面1ABC 与平面11AC P 所成锐二面角的余弦值．40．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱,,PC AC AB 的中点．已知PA AC ⊥，6PA =，（1）求证：平面BDE⊥平面ABC；--的平面角的余弦值；（2）求二面角A PC B-分为两个几何体，则他（3）延展平面DEF与棱PB交于H点，则四边形EFHD把三棱锥P ABCV V=_____．（此问仅写结果，不需写出过程）们的体积比:PAEFHD BCEFHD41．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，ABC为正三角形，AB=AA1=2，E是BB1的中点.（1）求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；（2）求二面角B﹣AC1﹣E的余弦值.-中，平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是边长为4的正方形，42．如图，在四棱锥A BCDEM，N分别为AE，AC的中点.MN平面BCDE；（1）求证：//43．如图所示，已知长方形ABCD 中，2AB AD ==M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥．（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）若E 点满足23BE BD =，求二面角E AM D --的大小？ 44．如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD ⊥DC ，AD =2DC =2BC ，（1）求证：点D 不在平面CEF 内；（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，求二面角A ﹣CF ﹣D 的余弦值．45．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 为棱AB 的中点．（1）证明：AC PE ⊥；（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，求二面角E PC B --的余弦值．46．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A AC E --的正弦值．47．如图，在四棱锥РABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，//AD BC ，90ADC ∠=︒，112BC AD ==，CD =Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，（1）求证：Q ，P ，C ，B 四点在同一球面上，并说明球心及半径；（2）画出平面PAB 与平面PDC 的交线（不需要写画法）．（3）设平面PAB 与平面PDC 的交线为l ，直线l 与平面ABCD 求平面MQB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小．48．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,,AC AA AB BC D ===为AC 的中点.（1）证明：1DC ⊥平面1A BD .（2）若1BD =，求二面角11B DB C --的余弦值.49．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．50．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形SD ⊥底面,2ABCD DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，AD =（1）求异面直线CD 与BM 所成角的大小；（2）求二面角S AM B --的正弦值.【答案与解析】1．C【解析】向量法. 以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量(1,1,1)AD =--，点(),0,0Q q ()01q ≤≤，对于点P 的设法，采用向量式AP AB λ=，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅ 22182516q q λ∴+=-+，201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得λ≤≤01,0λλ<≤∴<≤可得||||2(0,1]PA AP λ==∈.故选：C.2．D【解析】以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，(0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ， 又14SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，则274cos ,3OE SCOE SC OE SC -⋅<>===， 设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则3cos cos ,10OE SC θ=<>=，θ为锐角，sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．3．AD【解析】设1,,AB a AD b AA c ===，求得2222,4a b a b c ⋅====，根据1AC a b c =++，求得1AC 的值，可判定A 正确；由110BD BC ⋅=，可判定B 错误；由ABD △为正三角形，根据10DD DB ⋅=，得到对角面11BDD B 为矩形，可判定C 错误；由16A ABD V V -=，可判定D 正确.设1,,AB a AD b AA c ===，则22222cos 602,4a c b c a b a b c ⋅=⋅=⋅=⨯====， 对于A 中，因为1AC a b c =++，可得2221=22224AC a b c a b c a b a c b c =+++++⋅+⋅+⋅== 所以A 正确；对于B 中，因为2211()()0BD B C b c a b c c b a c a b ⋅=+-⋅-=-++⋅-⋅=， 可得异面直线1BD 与1B C 夹角的余弦值为0，所以B 错误；对于C 中，因为2,60AB AD DAB ==∠=，所以ABD △为正三角形，可得2BD =， 因为1()0DD DB c a b c a c b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以1DD BD ⊥，所以对角面11BDD B 为矩形，其面积为22=4⨯≠C 错误； 对于D 中，设AC 与BD 交于点O ，连接1OA ，取1AA 的中点M ，连接OM ，可得11116622232A ABD AA OV V SBD -==⨯⋅=⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.4．ABD 【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,1,1B ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，因为点P 在线段1BC 上运动，设(),1,1P t t -，[]0,1t ∈，则(),1,1DP t t =-， 所以()10,1,1AB =，()11,0,1AD =-，()11,1,1CA =-，所以()110111110AB CA ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()110111110AD CA ⋅=⨯-+⨯-+⨯=，所以11AB CA ⊥，11AD CA ⊥，因为11AB AD A ⋂=，11,AB AD ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为1AC ⊂平面1PA C ，所以平面1PAC ⊥平面11AB D ，故A 正确；显然()11,1,1CA =-可以作为平面11AB D 的法向量，因为()1111110CA DP t t ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以1CA DP ⊥，因为DP ⊄平面11AB D ，所以//DP 平面11AB D ，故B 正确；因为11//AB D C 且11=AB D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，所以直线DP 与1BC 所成角即为异面直线DP 与1AD 所成角，显然当P 在1BC 的两端点时所成的角为3π，当P 在1BC 的中点时所成的角为2π，故异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 因为11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1//B C 平面11AB D ，所以1B C 到平面11AB D 距离即为P 到平面11AB D 的距离，故P 到平面11AB D 的距离为一定值，设P 到平面11AB D 的距离为h ， 则11111113D APB P D AB D AB V V Sh --==⋅为定值，故D 正确；故选：ABD5．ACD 【解析】对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项A ，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项C ，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 如图，对于选项A ，1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故A 正确； 对于选项B ，当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒, 故B 错误； 对于选项C ，因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,1111cos C B C BD BD ∠===,故C 正确; 对于选项D ，连接1B D ,由正方体可得11BC B C ⊥,且DC ⊥平面11B C CB ,则1DC BC ⊥,所以1BC ⊥平面1CDB ,故1BC DP ⊥，过P 作直线1//l AD ，则1//l BC ,所以l DP ⊥；故D 正确.故选：ACD 6．ACD 【解析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量.选项A ：说明SA ､SE ､SF 两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题； 选项B ：由于SA ､SE ､SF 两两垂直，可证S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心； 选项C ：线面角的定义法求解；选项D ：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.对于A 项，易知SA ､SE ､SF两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长l ，外接球半径R =，故外接球体积为34π3V ==⎝⎭， 故A 项正确；对于B 项，由于SA ､SE ､SF 两两垂直，故S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心， 理由如下:如图，过点S 作SO ⊥平面AEF ，交平面AEF 于点O ， 因为SO ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以SO EF ⊥，又因为SA SE ⊥，SA SF ⊥，SE ，SF 都在平面SEF 内，且相交于点S ， 所以SA ⊥平面SEF ，又EF ⊂平面SEF ，所以SA EF ⊥，又SO SA A =，所以EF ⊥平面SAO ，又AO ⊂平面SAO ，所以AO ⊥EF . 同理可证EO AF ⊥，FO AE ⊥，所以S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心.故B 项错误；对于C 项，设M 为EF 中点，则EF SM ⊥，AM EF ⊥，SM AM M ⋂=，故EF ⊥平面SAM ，故平面AEF ⊥平面SAM ，所以SA 在平面AEF 上的射影为AM ，SA 与平面AEF 所成角为SAM ∠，2SA =，2SM =，π2ASM ∠=，tan SAM ∠=故C 项正确；对于D 项，设O 为四面体S AEF -的外接球球心，OM ⊥平面SEF ，连接MG ，OG ，当过点G 的截面经过球心O 时截面圆面积最大，面积为3π2；当OG 垂直截面圆时，截面圆面积最小，此时1122GM SF ==，1OM =，OG ==12r ===，截面圆面积为π4， 得截面圆面积取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故D 项正确. 故选：ACD.方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发：(1) 外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解. (2) 空间角的处理一般是建系，用向量法求解；若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的定义求解. 7．14 47【解析】（1）以AB ，AD ，1AA 为基底，把向量1D P ，11DC 分别用基底表示，利用两个向量相等的条件即可算出；（2）由11A P k AC =得，1A ，P ，C 三点共线，利用（1）把k 求出来，再利用等体积法1111A PD C P AD C V V --=算出P 到面11AD C 的距离，三角形11AD C 的面积，即可算出体积. 如图，（1）111()D P D A AP AM A DD AN D λμ=+=-+++111()()AA AD AA AM AD DN λμ++-+=-+ 11111()()22AA AA AB AD AD AA λμ=-+-+++ 1111112(()1)2A AB u u AA tD C t A D B λλ=+-+-=+=, 所以12101102t u u λλ⎧=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩，所以14t =.（2）11111(11(1)1)22A P A D D AB P AD AD u u AA λλ+=+=++-+-111)22(1AD AB u u AA λλ=+++-， 111AC A A AB BC AB AD AA =++=+-， 因为11A P k AC =，所以11111)(22()AD AB AD AA AB u u AA k λλ++-=++-，所以12112k u k u kλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=-⎩，所以27k =，如图，连接1A D ，1A C ，分别与1AD ，1AC 交于点E ，O ， 连接EO ，过点P 作1//PG A E ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1A E ⊥面11AD C ， 所以PG ⊥面11AD C ，因为1112A E A D = 因为1112477A P AC AO ==，所以137OP AO =，所以137PG A E ==1111111222AD C S AD D C =⋅=⋅=△，所以1111111143377A PD C P AD C AD C V V S PG --==⋅⋅=⋅=，故答案为：（1）14；（2）47.8．【解析】由P BCE P ABC E ABC V V V ---=-，可得当E ABC V -最大时，P BCE V -最小，建立空间直角坐标系求E 到底面距离的最大值，则答案可求．解：设BC 中点为O ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，得(6A ，0，0)，设(E x ，0，)z ，则(6,0,)AE x z =-，(,0,)OE x z =，AP α⊥，∴AE OE ⊥，得2(6)00x x z -++=，则z当3x =时，3max z =， 又1(4)3P BCE P ABC E ABC ABCV V V Sz ---=-=⋅-，∴三棱锥P BCE -体积的最小值为116132V =⨯⨯⨯=故答案为：9【解析】建立空间直角坐标系，设(11,)DA a '=-，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，利用空间向量数量积求得法向量，由直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.如图建立空间坐标系A xyz -，设(11,)DA a '=-，，(010)DC =，，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，则有1100DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'，得1(01)n a =，，， 直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，也等于向量AD 在面DA C '的法向量上的投影的绝对11||22||AD nd n ⋅==. 故答案为：2. 10．135【解析】求出BP 在BD 上的射影长再利用勾股定理可得答案.因为，，⊥⊥⊥BA BC AP BC AP BA ， 所以00=0，，⋅⋅=⋅=BA BC AP BC AP BA ， ()()⋅=+⋅+BP BD BA AP BC BA()229=⋅++⋅+⋅==BA BC BA AP BC AP BA AB ，22225=+=BD BC CD ，22210=+=BP BA AP ，所以5BD =，210=AP ，因为·95=PB BD BD，所以BP 在BD 上的射影长为95， 所以点P 到直线BD 的距离22·13105=-==PB BD d AP BD .故答案为：135. 11【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2A，0，0)，(0B ，2，0)，(1M ，1，2)，(1N ，0，2).∴(1AN =-，0，2)，(1BM =，1-，2)，cos AN ∴<，1||||5AN BM BM AN BM ⋅->==⋅12．8- 【解析】设正四面体外接球球心为O ，把,PM PN 用,,PO OM ON 表示并计算数量积后可得． 设正四面体外接球球心为O ， 正四面体A BCD -的外接球半径为3，设正四面体A BCD -内切球半径为r ，一个面的面积为S ，高为h ，则11433ABCD V Sr Sh =⨯=，所以4h r =，显然34r h r +==，所以1r =，即min 1PO =．22()()9198PM PN PO OM PO ON PO OM ON PO ⋅=+⋅+=+⋅=--=-．故答案为：8-． 13．（1）45°；（2）57.【解析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得//AB CD ，再由线面平行的判定定理可得//AB 平面CDE ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，由45BAC ∠=︒可得l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ，可得OA 、OE 、OF 两两垂直，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值解：（1）⊥四边形ABCD 为正方形，⊥//AB CD ， ⊥AB ∉平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，⊥//AB 平面CDE ， 又⊥AB平面ABE ，且平面ABE 平面CDE =直线l ，⊥//l AB ，⊥四边形ABCD 为正方形，⊥45BAC ∠=︒， 故l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ， 由ABE △为等边三角形，可知EO AB ⊥， 由四边形ABCD 为正方形，知FO AB ⊥，⊥平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =， 且FO ⊂平面ABCD ，⊥FO ⊥平面ABE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则()1,0,0A ，()1,0,2C -，()E ，()1,0,2D ， 于是()2,0,2AC =-，()1,2CE =-，()2,0,0CD =， 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =， 由20220m CE x z m AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，可得(3,1,m =；设平面CDE 的一个法向量为()111,,n x y z =，由11112020n CE x z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取12y =，可得(0,2,3n =.⊥025cos ,77m n m n m n⋅+===⨯⋅. 由图可知，二面角A CE D --为锐二面角，则其余弦值为57.14．（1）证明见解析；（2【解析】（1）依题意可得PCB 为直角三角形，即可得到PC BC ⊥，根据面面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）可知PAC ∠即为直线PA 与平面ABCD所成角，即可得到PC PA =求出PC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：（1）在PCB 中，因为E 是PB 的中点， 且12CE PB =，所以CE EB PE ==， 所以PCB 为直角三角形，所以PC BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD（2）因为PC ⊥平面ABCD ，所以直线PA 与平面ABCD 所成角为PAC ∠，所以sin PC PAC PA ∠==又222AC AD DC =+，4=AD ，2DC =，所以AC =在Rt PAC △中，设PC x =，则PA =，所以222PA PC AC =+，即)(222x =+，解得2x =，即2PC =，作//CF DA 交AB 于点F ，因为AB AD ⊥，所以AB CF ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()4,2,0A ，()4,2,0B -，()002P ,,，()2,1,1E -，()4,2,0CA =，()2,1,1CE =-，()0,0,2CP =，设面PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以42020n CA x y n CP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1x =，则2y =-，0z =，所以()1,2,0n =-，设面EAC 的法向量为()111,,m x y z =，所以1111142020m CA x y m CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则12y =-，14z =-，所以()1,2,4m =--，设二面角P AC E --为θ，显然二面角为锐二面角，所以5cos 5n m n mθ⋅===⨯⋅；15．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，证明出AE ⊥平面POB ，进而可得出AE PB ⊥； （2）证明出PO ⊥平面ABCE ，然后以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. （1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，翻折前，因为1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 的中点，则1AD DE ==， //AB CE 且1AB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，则BC AE =，故AD DE AE ==，所以，ADE 为等边三角形， O 为AE 的中点，则OD AE ⊥，因为//AB CD ，则3BAE AED π∠=∠=，翻折后，则有OP AE ⊥，在ABO 中，1AB =，12AO =，3BAO π∠=， 由余弦定理可得22232cos34OB AB AO AB AO π=+-⋅=，222AO OB AB ∴+=， 所以，OB AE ⊥，OP OB O =，AE ∴⊥平面POB ，PB ⊂平面POB ，故AE PB ⊥；（2）在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ， AE平面POB ，PQ ⊂平面POB ，所以，PQ AE ⊥，PQ OB ⊥，AE OB O =，PQ ∴⊥平面ABCE ，所以，直线PB 与平面ABCE 所成角为4PBO π∠=，因为，OP OB =，则4OPB π∠=，所以，OP OB ⊥，故O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,0,2PE ⎛= ⎝⎭，12EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令x =()13,1,1n =-，易知平面PAE 的一个法向量为()20,1,0n =，所以，121212cos ,n n n n n n ⋅<>==-=⋅212122sin ,1cos ,5n n n n <>=-<>=. 因此，二面角A PE C --16．（1）证明见解析；（2）3π4.【解析】（1）取底面中心O ，不妨设2AO =，根据线面角可得AC =PA PB ⊥，根据正棱锥的性质可得PA PC ⊥，进而可得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，易得面PAC 的法向量，求出面PCE 的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得结果.（1）由题意知：取底面中心O ，则有PO ⊥面ABCD ， 所以PAO ∠即为PA 与底面ABC 所成角， 不妨设2AO =，则有PO=PA 在正ABC 中，因为2AO =，所以AC =在PAB △中，因为222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥⊥ 又因为正三棱锥，所以PA PC ⊥⊥所以PA PB PA PCPA PB PC P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩面PBC ． （2）因为ABC 为等边三角形，取BC 中点D ，则AD BC ⊥， 作//l PO ，则l ⊥面ABC ．以D 为原点，DB ，DE ，l 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有：()0,0,0D，)B，(0,P -，()0,3,0A -，()C ，()0,1,0O -，所以()30,6,0AE AO ==，所以()0,3,0E ． 因为PB ⊥面PAC，所以(13,1,n =为面PAC 的法向量，设面PCE 的法向量为()2,,n x y z =，所以由(2032,0n PC n n PE ⎧⋅=⇒=-⎨⋅=⎩．所以12121236cos ,2n n n n nn ⋅===⋅，所以二面角的大小为3π4．17．（1）证明见解析；（2）⎛ ⎝⎦.【解析】（1）延长BA 、CD 交于一点R ，根据平面几何知识得CA ⊥BA ，根据线面垂直的判定和性质可得证； （2）由（1）得，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，设PQ PB tPC =+，其中,0t t ∈≠R ，根据线面角的向量求解方法表示sin θ=，再由二次函数的性质可求得范围.（1）延长BA 、CD 交于一点R ，因为AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2，所以RBC △为正三角形，且AD 为三角形RBC 的中位线，即A 为BR 边的中点，所以CA ⊥BA ，因为P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 因为 AB P A ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ，PB ⊥平面P AB ， 所以AC ⊥PB ；（2）由（1）得，AP ，AB ，AC 两两垂直，故以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，则平面P AC 的法向量为1(1,0,0)n =，P （0，0，1），C （00），B （1，0，0），所以PC ＝（01），PB ＝（1，0，－1），因为l ⊥PC ，所以可设(1,0,1)1),(1))PQ PB tPC t t =+=-+-=-+，其中,0t t ∈≠R ，2||sin ||||1n PQ n PQ θ⋅===⋅因为,0t t ∈≠R ，所以27422,4t t ∞⎡⎫++∈+⎪⎢⎣⎭，所以sin θ⎛=⎝⎦，当且仅当14t =-时，sin θ=18．(1) 证明见解析； (2) 79. 【解析】(1)利用线面垂直的判定证AB ⊥ 平面BEG ，得到AB EG ⊥，再证AB ⊥平面EFG ； (2)几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. (1) 连接BG ，FG ，因为G 为菱形ABCD 的边CD 上的中点，所以1122CG CD CB ==，又60BCD BAD ∠=∠=︒，由余弦定理得222232cos604BG CG CB CG CB CB =+-⋅=，由222223144CB CB BG CG CB ++==，知BG CG ⊥，即BG CD ⊥， 又//AB CD ，所以AB BG ⊥ . 根据题意，有AB BE ⊥又BG ，BE 都在平面BGE 内，且相交于点B 所以AB ⊥ 平面BEG又EG ⊂平面BEG ，所以AB EG ⊥.在等边三角形CDF 中，因为G 为CD 的中点，所以CD GF ⊥. 又在菱形ABCD 中，//AB CD ，所以AB GF ⊥. 因为EG ，GF 都在平面EFG 内，且相交于点G ， 所以AB ⊥ 平面EFG .(2) 因为平面 ABCD 与平面CDF 的交线为CD ， 由(1)知，BG CD ⊥，FG CD ⊥，所以BGF ∠为二面角A CD F --的平面角， 设2AB = ，则有2BE EF == ，BG GF = 由(1)知，AB ⊥ 平面BEG ，又AB平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥ 平面BEG ，过点E 作EM BG ⊥交BG 于点M ，则有EM ⊥平面ABCD ，又BEC △ 为等边三角形，所以BM CM =，GM =EM =，EG =.在BEG 和EFG 中，由余弦定理得2221cos 23BG EG BE BGE BG EG +-∠==⋅，2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +-∠==⋅，所以BGE EGF ∠=∠则27cos cos 22cos 19BGF BGE BGE ∠=∠=∠-=-，所以平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为7cos 9BGF ∠= . 立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：(1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.(2)求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角. 19．证明见解析 【解析】以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.⊥OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，⊥1AB AA =⊥11OA OB OA ===，⊥(100)A ，，､(010)B ，，､(100)C -，，､(010)D -，，､1(001)A ，，， 由11AB A B =易得1(101)B -，，，⊥1(101)AC =--，，､(020)BD =-，，､1(101)BB =-，，， ⊥10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，⊥1AC BD ⊥，11AC BB ⊥， 又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，⊥1AC ⊥平面11BB D D .20．（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）由面面垂直的性质得BC ⊥圆O ，由线面垂直的性质得BC EA ⊥，根据线面垂直的判定可得EA ⊥面EBC ，再由线面垂直的性质可证EA EC ⊥.（2）法一：以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，首先求得1,0)2E ，再分别求平面DCE 和平面AEB 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值；法二：首先作出两个平面的交线，再作出二面角的平面角，再求二面角的余弦值.（1）⊥平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，⊥BC 垂直于圆O 所在的平面．又EA 在圆O 所在的平面内，⊥BC EA ⊥． ⊥AEB ∠是直角，⊥BE EA ⊥．而BE BC B =，⊥EA ⊥平面EBC ． 又⊥EC ⊂平面EBC ，⊥EA EC ⊥． （2）法1（向量法）：如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=，⊥3BOE π∠=，⊥1,0)2E ． 由题设可知(0,1,1)C ，(0,1,1)D -，⊥33(,1)2DE =-，31(,1)2CE =--． 设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =， 由0DE p ⋅=，0CE p ⋅=000000302102x y z x y z +-=--= 得00z =，00y =，取02x =，得0z⊥p =．又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =，⊥21cos ,7p q p q p q ⋅<>==．故平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7法2（几何法）：如图，过点E 作直线//m DC ， 则m 是平面DCE 与平面AEB 的交线． 再过点B 作BP m ⊥，P 为垂足，连接CP ，则BPC ∠是平面DCE 与平面AEB 所成锐二面角的平面角．在直角三角形AEB 中，6BAE π∠=，2AB =，所以 1.BE =在直角三角形PEB 中，,13BEP BE π∠==，所以BP =．在直角三角形PBC 中，BP PC BPC PC =∠==故平面DCE 与平面AEB ．21．（1）1AC （2 【解析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出1AC 的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD 的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值． 解：（1）111111AC AA A B BC =++，()22222111111111111111111111222AC AA A B B C AA A B B C AA A B AA B A C B B C ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos120212cos120211cos902=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1AC ∴=（2）AC AB BC =+222222()21102AC AB BC AB BC AB BC ∴=+=++⋅=++=2AC ∴=111111BD BB B A A D =++()22222111111111111111111111222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos60212cos120211cos906=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=16BD ∴=()()1111112AC BD AB BC BB B A A D ∴⋅=+⋅++=-111cos ,2AC BD AC BD ACBD ⋅∴===⋅所以直线BD 1与AC 22．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由面面垂直的性质定理得PE ⊥平面ABCD ，故PE BE ⊥，再结合菱形的性质得BE AD ⊥，进而得BE ⊥平面PAD ；（2）由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，故以E 为原点，EA EB EP ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.解：（1）证明：由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，又因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒， 所以BE AD ⊥， 又PEAD E =，且PE ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ⊥平面PAD ；()2解：由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，。
《空间向量》专题训练
高考链接一、单选题1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2)，平面α的法向量为n =(-2,0,-4)，则().A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂αD.l 与α斜交2.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是().C.æèçøD.èø3.在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的正切值为().A. B.23 C.D.4.如图1所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为().A. B.C. D.5.如图2，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，AB=3，E 为线段AB 上一点，且AE =13AB ，则DC 1与平面D 1EC所成角的正弦值为().B.C. D.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 是棱AB 上的点，且AE =14AB ，记直线OE 与直线BC 所成角为α，直线OE 与平面ABCD 所成角为β，二面角O -AB -C 的平面角为γ，则().A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<α D.γ<β<α7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为().A.12 B.23 C.D.8.如图3，矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 为CD 的中点，ΔADE 沿着AE 向上翻折，使点D 到D ′.若D ′在平面ABCD 上的投影H 落在梯形ABCE 内部（不含边界），设二面角D ′-BC -E 的大小为α，直线D ′C ，D ′B 与平面ABC 所成角分别为β，γ，则().图3A.α<β<γB.β<α<γC.β<γ<αD.γ<β<α9.如图4，正四棱锥P -ABCD ，E 为线段BC 上的一个动点，记二面角P -CD -B 为α，PE 与平面ABCD 所成的角为β，PE 与CD 所成的角为γ，则（）.A.α≤β≤γB.γ≤α≤βC.β≤α≤γD.γ≤β≤α10.已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则().A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ111.设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）.记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则().A.β<γ，α<γB.β<α，β<γC.β<α，γ<αD.α<β，γ<β12.在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E ,F 分别是边AB ,CD 的中点，现将△ABC 沿着对角线AC 翻折，则直线EF 与平面ACD 所成角的正切值最大值为().A.2B.C.D.二、多选题13.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果 AB =(2,-1,-4)， AD =(4,2,0)，AP =(-1,2,-1).下列结论正确的有().A.AP ⊥ABB.AP ⊥ADC.AP 是平面ABCD 的一个法向量 AP ∥ BD宋思清图1图2图456D.三棱锥6______.图7图8图10为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆AD.△ABC是底面的内接上一点，PO=6DO．图1326.如图14，在三棱柱平面ABC ，E （1）求证：EF ∥（2）求证：平面AB 参考答案与解析一、单选题1-12BCCCA 二、多选题13.ABC;14.ABD;三、填空题17.13;18.3,m =(-1,-1,1),θ,13.由得PO =PC =.⊥PB ..y 轴正方向，O -xyz (0,-1,0),C 12,0),.0，=0，PCB 的一个法向.为等腰直角三角形，∴BD ⊥AC ，PBD ，PBD ，∴PB ⊥AC h ，==，⊥平面ABC ，。
高中数学经典好题-第12讲 空间向量与空间角(3大考点+强化训练)
第12讲空间向量与空间角（3大考点+强化训练）[考情分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．知识导图考点分类讲解考点一：异面直线所成的角设异面直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，异面直线l 与m 的夹角为θ.则(1)θ，π2；(2)cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22.规律方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．【例1】（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -（三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA与1AC 所成的角等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【变式1】（2024·全国·一模）在正四面体的侧面三角形的高线中，垂足不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是．【变式2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为其上底面1111D C B A 的中心，在此长方体内挖去四棱锥O ABCD -后所得的几何体的体积为3.(1)求线段1AA 的长；(2)求异面直线AO 与11C D 所成的角.考点二：直线与平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则(1)θ∈0，π2；(2)sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.易错提醒(1)线面角θ与直线的方向向量a 和平面的法向量n 所成的角〈a ，n 〉的关系是〈a ，n 〉＋θ＝π2或〈a ，n 〉－θ＝π2，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．【例2】(2022·全国甲卷)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，DP ＝3.(1)证明：BD ⊥PA ；(2)求PD 与平面PAB 所成角的正弦值．【变式1】(2023·泉州模拟)如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2B 1C 1＝2，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点．(1)证明：AB 1∥平面DEC 1；(2)已知AB ⊥BC 1，CC 1⊥平面ABC .求直线BC 1与平面DEC 1所成角的正弦值的最大值．【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知在三棱锥O ABC -中，π3AOB BOC COA ∠=∠=∠=，则直线OA 与平面OBC 所成的角的正弦值为（）A ．4B ．12C D【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥-P ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，3PA PB PC===．(1)求证：AB BC⊥．(2)设AB BC==AC与平面PBC所成角的大小．考点三：平面与平面的夹角设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，则(1)θ∈0，π2；(2)cosθ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v||u||v|.易错提醒平面与平面夹角的取值范围是0，π2，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．【例3】(2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P.【变式1】(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC ＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF→＝DA→，求平面ABD与平面ABF夹角的正弦值．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知AB BC ==12AA =，E ，O 分别是线段1D D ，DB 的中点，11102AF A A λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭ ．分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．γβα>>【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ACC A 是等腰梯形，且1111,AC AA D ==为11AC 的中点.(1)证明：AC BD ⊥；(2)若直线1AA 与平面11BB C C 1A AC B --的大小.强化训练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则平面ABE 与底面ABCD 所成角的正切值是（）A ．22B ．12C ．1D ．22．（2024·陕西·模拟预测）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，且121AB AC ===，则异面直线1AB 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．23B 53C ．33D 333．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱1,,AD DD CD 的中点，则下列说法错误的是（）A ．直线11,AG C E 共面B ．113D BEF V -=C ．直线1A G 与平面11ADD A 所成角的正切值为4D ．过点B ，E ，F 的平面截正方体的截面面积为94．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥V ABCD -可绕着AB 任意旋转，AB ⊂平面α，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，2AB =，VA =，点V 在平面α上的射影为点O .当OM 最大时，二面角C AB O --的大小是（）A ．105°B ．90°C ．60°D ．45°5．（23-24高三上·山西运城·期末）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A B C D ．236．（2024高三·全国·专题练习）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，已知,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60︒，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为（）A B ．3C D 7．（23-24高三下·广东·开学考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．110B ．310C ．710D ．9108．（2023·湖南永州·二模）如图，在三棱锥A BCD -中，45ABC ∠= ，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD 所成最大角的正弦值是104时，PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（）A ．105B 64C 155D 106二、多选题1．（2024·黑龙江·二模）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 是线段AB 上靠近B 点的三等分点，F 是11A D 中点，则（）A ．该正方体外接球的表面积为27πB ．直线EF 与CD 所成角的余弦值为46161C ．平面1B EF 截正方体所得截面为等腰梯形D ．点F 到平面11A BC 322．（2024·贵州黔东南·二模）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则（）A ．11BC A D ⊥B ．四面体11BEC B 外接球的表面积为6πC ．1//AC 平面1BEC D ．直线1AA 与平面1ACD 所成的角为60︒3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）正方形ABCD 的边长为2，点E 是AD 的中点，点F 是BC 的中点，点G 是EF 的中点，将正方形沿EF 折起，如图所示，二面角A EF D --的大小为θ，则下列说法正确的是（）A ．当π2θ=时，AC 与EF 所成角的余弦值为3B ．当π2θ=时，三棱锥C ABG -C ．若AC EF =，则2π3θ=D ．当π3θ=时，AC 与平面ABFE 三、填空题1．（23-24高三上·广东湛江·期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC ，则1CC =.2．（2024高三·全国·专题练习）正四面体的棱长为a ，则它的高为：，两个侧面形成二面角的余弦值为：.3．（2024高三·全国·专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．易知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若15cm AB =，25cm AC =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）空间中A，B，C，D四点任意两点间距离都等于a，E为BC中点，在由A，B，C，D确定的四个等边三角形中，求与AE异面的三角形中线与AE所成角的余弦值．2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P ABCD PAD-，△是以AD为斜边的等腰直角三角形，∥，，，为PD的中点．求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．22⊥===BC AD CD AD PC AD DC CB E3．（23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥平面PAD ，(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若,PA AD M ⊥是PB 的中点，平面MAC 与平面PCD ，求直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值.4．（2024高三·全国·专题练习）如图，PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，2PA =，AH ⊥平面PBC ，垂足为点H ，E 是BC 的中点．(1)求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；(2)求证：H 不可能是PBC 的垂心（三角形三条高的交点）．5．（2024高三·全国·专题练习）已知Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 上有一点P ，沿PC 将ABC 折成一个直二面角A PC B --，若此时AB =P AC B --的正弦值．。
高中数学第一章空间向量与立体几何 空间直角坐标系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第一章 1.3 1.3.1A级——基础过关练1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4)C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)【答案】A【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)．2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( )A．(0,2,0) B．(0,2,3)C．(1,0,3) D．(1,2,0)【答案】B【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)．3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,3,1) D．(3,2,1)【答案】A【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)．4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )A ．(－1,－1,－1)B ．(1,－1,1)C ．(1,－1,－1)D ．(－1,1,－1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)．5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43．6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(1,1,－3)B ．(－1,－1,－3)C ．(－1,1,－3)D ．(－1,－1,3)【答案】D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ．7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )A ．点B 1的坐标为(4,5,3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5,8,－3) C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0,5,3) D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0) 【答案】ACD【解析】根据题意知,点B 1(4,5,3),A 正确；B (4,5,0),C 1(0,5,3),故点C 1关于点B 对称的点为(8,5,－3),B 错误；点A 关于直线BD 1对称的点为C 1(0,5,3),C 正确；点C (0,5,0)关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0),D 正确．故选ACD ．8．如图,在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,M 是OB 1与BO 1的交点,则点M 的坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 【解析】因为OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,所以A (2,0,0),A 1(2,0,2),B (2,3,0),故B 1(2,3,2)．所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，32，22,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，1． 9．在空间直角坐标系中,点M (－2,4,－3)在Ozx 平面上的射影为点M ′,则点M ′关于原点对称点的坐标是________．【答案】(2,0,3)【解析】点M 在Oxz 平面上的射影为点M ′(－2,0,－3),所以点M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．已知点P 的坐标为(3,4,5),试在空间直角坐标系中作出点P ,并写出求解过程． 解：如图,由P (3,4,5)可知点P 在x 轴上的射影为点A (3,0,0),在y 轴上的射影为点B (0,4,0),以OA ,OB 为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在Oxy 坐标平面上的射影C (3,4,0)．过点C 作直线垂直于Oxy 坐标平面,并在此直线的Oxy 平面上方截取5个单位长度,得到的点就是P．B级——能力提升练11．在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7,－6)C．(－4,0,－6) D．(－4,7,0)【答案】C【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4,7,－6),点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4,0,－6)．12．(多选)已知点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,则( )A．与点M关于x轴对称的点是(x,－y,－z)B．与点M关于原点对称的点是(－x,－y,－z)C．与点M关于xOy平面对称的点是(x,y,－z)D．与点M关于yOz平面对称的点是(x,－y,z)【答案】ABC【解析】与点M关于yOz平面对称的点是(－x,y,z),D错误,A,B,C均正确．故选ABC．13．直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________．【答案】(3,－1,2)【解析】∵直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(3,1,0),∴顶点B1的坐标是(3,1,2),则其关于平面xAz的对称点为(3,－1,2)．14．在空间直角坐标系Oxyz中,z＝1的所有点构成的图形是________________；点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．【答案】过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面 5【解析】z ＝1表示一个平面,其与平面Oxy 平行且距离为1,故z ＝1的所有点构成的图形是过点(0,0,1)且与z 轴垂直的平面．点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离与其横纵坐标无关,只与其竖坐标有关．由于平面Oxy 的方程为z ＝0,故点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离为|5－0|＝5．15．在空间直角坐标系中有一个点P (1,3,－2),求： (1)点P 关于坐标原点O 的对称点P 1的坐标； (2)点P 关于x 轴的对称点P 2的坐标； (3)点P 关于坐标平面Oyz 的对称点P 3的坐标．解：(1)设点P 1的坐标为(x 1,y 1,z 1),因为点P 和P 1关于坐标原点O 对称, 所以O 为线段PP 1的中点．由中点坐标公式,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－3，z 1＝2，所以点P 1的坐标为(－1,－3,2)． (2)设点P 2的坐标为(x 2,y 2,z 2), 因为点P 和P 2关于x 轴对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，3＋y 22＝0，－2＋z 22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝－3，z 2＝2，则点P 2的坐标为(1,－3,2)． (3)设点P 3的坐标为(x 3,y 3,z 3), 因为点P 和P 3关于平面yOz 对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋12＝0，y 3＝3，z 3＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝3，z 3＝－2，故点P 3的坐标为(－1,3,－2)．。
(完整版)高中数学空间向量训练题
高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 145．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．7．已知，则的最小值是（）第 1页（共 40页）8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则 =x +y ；③若 =x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y ．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D．49．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D． 810．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z=．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线AP 与 BM 所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；（Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点M 的地址；若不存在，说明原由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求证： AB⊥DE；（Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明原由．23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M， N 分别为线段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为时，求PN的长．上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求证： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）证明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值．29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值.PCDBA30 如图，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， AA 1⊥底面ABC ，∠ ACB=90°，AC=BC=1 ， AA 1=2，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求证：B1C 1∥平面 BCD ；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ C1CD 的体积；（Ⅲ）在线段BD 上可否存在点Q，使得 CQ ⊥ BC 1？请说明原由．31 如图，在三棱锥A﹣ BCD中， O、 E 分别为 BD、 BC中点， CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证： AO⊥面 BCD（2）求异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值（3）求点 E 到平面 ACD的距离．32 在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形， AB=2， AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明： BC⊥AB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．2018 年 01 月 20 日 shu****e168的高中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +【解答】解：以以下图，= +，=（+），=，=﹣，=．∴= += +=+ （﹣）=+=×（ + ） + ×=++=+ + ．应选： C．2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．6【解答】解：∵=（2，﹣ 1， 2），=（﹣ 1，3，﹣ 3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（ 2，﹣ 1，2）=x（﹣ 1，3，﹣ 3）+y（13，6，λ）∴解得：应选： B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，第10页（共 40页）4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 14【解答】解：由于向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得 x=14；应选： D．5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解： A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=x +y +z，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．应选： A．6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是 =（2，3，﹣ 1），平面β的法向量是 =（ 4，λ，﹣ 2），∴即存在实数μ使得，即（ 2，3，﹣ 1）=（4μ，λμ，﹣ 2μ），解得μ=，λ=6应选 C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣ 1﹣t， t﹣1，﹣ t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．应选： A．8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则=x +y；③若=x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y．其中真命题的个数是（）A．1B．2C． 3D．4【解答】解：若=x +y ，则与，必然在同一平面内，故①对；若=x +y ，则、、三向量在同一平面内，∴ P、M、A、B 共面．故③对；若=x +y ，则与、共面，但若是，共线，就不用然能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为 2 个．应选： B．9．已知向量=（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D． 8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴ cosθ===．∴ sin θ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=??sin θ==，应选： B．10．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线DA，DC， DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则D1（ 0， 0，1），E（1，1，0）， A（ 1， 0， 0），C（0，2，0）．=（ 1， 1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2，0），=（﹣ 1， 0， 1），设平面 ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取 a=2，得=（ 2， 1， 2），点 E 到平面 ACD1的距离为：h===．应选： C．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ A1BC1是等边三角形， A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面 A1BC1上的射影为△ A1 BC1的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1的中点，则 A1B= ，∴ OB= BM==，∴ OB1==，∴ sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线 DD1与平面11 所成角的正弦值为．A BC应选： A．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1），=（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．【解答】解：∵向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k，10，1），∴=（4﹣k，﹣ 7，0）， =（﹣ 2k，﹣ 2， 0）．又 A、B、C 三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．【解答】解：连接 PO，可得? ==++=﹣，当获取最大值时，?获取最大值为=．故答案为：．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面 ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是①②③ ．【解答】解：由 =（2，﹣ 1，﹣ 4），=（ 4， 2， 0）， =（﹣ 1，2，﹣ 1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴ AP⊥AB，故①正确；在②中，? =﹣4+4+0=0，∴⊥，∴ AP⊥AD，故②正确；在③中，由 AP⊥AB， AP⊥ AD，AB∩AD=A，知是平面 ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（ 2， 3， 4），假设存在λ使得 =，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若 P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式：，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是： x+y+z=1，故答案为： 1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，AC⊥l， BD⊥ l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为： 26．三．解答题（共12 小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．【解答】（本小分 13 分）明：（Ⅰ）∵在△ ADC中， AD=2，AC=1，DC=222∴ AC +AD =CD ，∴ AD⊥ AC，⋯（1 分）如，以点 A 原点建立空直角坐系，依意得 A（0，0，0）， D（ 2， 0， 0），C（0，1，0），B（，，0），P（0，0，2），得=（0，1， 2）， =（2，0，0），∴=0，∴ PC⊥AD．⋯（4 分）解：（Ⅱ），，平面 PCD的一个法向量=（ x， y， z），，不如令 z=1，得=（1，2，1），可取平面 PAC的一个法向量=（1，0，0），于是 cos＜＞==，从而 sin＜＞=，因此二面角 A PC D 的正弦．⋯（8分）（Ⅲ）点 E 的坐（ 0， 0， h），其中 h∈[ 0，2] ，由此得=（），由=（2， 1，0），故，∵ 足异面直BE与 CD所成的角 30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．⋯（13分）18．如，在四棱 P ABCD中，底面 ABCD直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面 PAD⊥底面ABCD， Q AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 棱 PC的中点，求异面直AP 与 BM 所成角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD∥ BC，BC= AD，Q AD 的中点，∴四形 BCDQ平行四形，可得CD∥BQ．∵∠ ADC=90°，∴∠ AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴BQ⊥平面 PAD．∵ BQ? 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD．（Ⅱ）∵ PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴ PQ⊥ AD．∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴ PQ⊥平面 ABCD．（注：不证明 PQ⊥平面 ABCD直接建系扣 1 分）因此，以 Q 为原点、 QA、QB、QP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，以以下图则 Q（0，0，0）， A（1，0， 0），P（0，0，），B（0，，0）， C（﹣ 1，， 0）∵ M 是 PC中点，∴ M （﹣，，）∴=（﹣ 1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线 AP 与 BM 所成角为θ，则 cosθ=|cos＜，＞| ==．∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．【解答】（本分 12 分）解：（ 1）明：∵ SD⊥平面 ABCD，∴ SD⊥AB，又 AD⊥AB，AD∩SD=D，∴ AB⊥平面 SAD，⋯（6 分）（2）以 D 原点，分以 DA、DC、 DS x，y， z 建立空直角坐系，如，AB=2， A（ 2， 0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0， 2），=（2， 2， 0），=（1，0， 1），⋯（ 8 分）平面 BED的一个法向量=（x，y，z），由得，取=（1， 1， 1），⋯（10 分）直 SA与平面 BED所成角θ，因 cos==，因此 sin θ=，即直 SA与平面 BED所成角的正弦⋯（ 12 分）20．如，四棱 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥ 面 PAB，△ PAB是等三角形， DA=AB=2， BC=，E是段AB的中点．（Ⅰ）求： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD⊥ 面 PAB，PE? 平面 PAB，∴ AD⊥EP．又∵△ PAB是等三角形， E 是段 AB 的中点，∴ AB⊥EP．∵AD∩ AB=A，∴ PE⊥平面 ABCD．∵CD? 平面 ABCD，∴ PE⊥ CD．⋯（ 5 分）（Ⅱ）以 E 原点， EA、EP分 y、 z ，建立如所示的空直角坐系．E（0，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（ 2，1，0），P（0，0，）．=（2， 1， 0），=（0，0，），=（1， 1，）．=（x，y，z）平面 PDE的一个法向量．由，令 x=1，可得=（ 1， 2，0）．⋯（ 9 分）PC与平面 PDE所成的角θ，得=因此 PC与平面 PDE所成角的正弦．⋯（12分）21．如，在四棱 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C PB E 的余弦；（Ⅲ）在段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存在，明原由．【解答】解：（Ⅰ）明：由已知平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ AD，且平面PAD∩平面 ABCD=AD，因此 PA⊥平面 ABCD．因此 PA⊥CD．又因BE⊥AD，BE∥CD，因此 CD⊥AD．因此 CD⊥平面 PAD．因 CD? 平面PCD，因此平面 PAD⊥平面 PCD．⋯（4 分）（Ⅱ）作 Ez⊥AD，以 E 原点，以的方向分x，y的正方向，建立如所示的空直角坐系 E xyz，点 E（0，0，0）， P（ 0， 2，2）， A（0， 2， 0），B（2，0，0）， C（ 1， 2， 0），D（0，2，0）．因此，，．平面 PBC的法向量=（ x，y，z），因此即令 y=1，解得=（ 2， 1， 3）．平面 PBE的法向量=（a，b，c），因此即令 b=1，解得=（ 0， 1， 1）．因此 cos＜＞=．由可知，二面角 C PB E 的余弦．⋯（10分）（Ⅲ）“ 段 PE上存在点 M，使得 DM∥平面 PBC”等价于“”．因，，λ∈（0，1），M （0，2λ 2，2 2λ），．由（Ⅱ）知平面 PBC的法向量=（ 2， 1， 3），因此．解得．因此段 PE上存在点 M ，即 PE中点，使得 DM∥平面 PBC．⋯（ 14 分）22．如，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求： AB⊥DE；（Ⅱ）求直 EC与平面 ABE所成角的正弦；（Ⅲ）段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，明原由．【解答】（Ⅰ ）明：取 AB 中点 O，接 EO，DO．因 EB=EA，因此 EO⊥ AB．⋯（1 分）因四形 ABCD直角梯形， AB=2CD=2BC， AB⊥ BC，因此四形 OBCD正方形，因此 AB⊥OD．⋯（2 分）因 EO∩OD=O因此 AB⊥平面 EOD．⋯（3 分）因 ED? 平面 EOD因此 AB⊥ED．⋯（4 分）（Ⅱ）解：因平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB因此 EO⊥平面 ABCD，因 OD? 平面 ABCD，因此 EO⊥OD．由 OB，OD，OE两两垂直，建立如所示的空直角坐系O xyz．⋯（5 分）因△ EAB等腰直角三角形，因此 OA=OB=OD=OE， OB=1，因此 O（0，0，0）， A（ 1，0，0），B（1，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（0，1，0），E（ 0， 0， 1）．因此，平面 ABE的一个法向量．⋯（7 分）直 EC与平面 ABE所成的角θ，因此，即直 EC与平面 ABE所成角的正弦．⋯（ 9 分）（Ⅲ）解：存在点 F，且，有 EC∥平面 FBD．⋯（10 分）明以下：由，，因此．平面 FBD的法向量=（a，b，c），有因此取 a=1，得 =（ 1，1，2）．⋯（ 12 分）因=（1，1， 1）?（1，1，2）=0，且 EC?平面 FBD，因此 EC∥平面 FBD．即点 F 足，有 EC∥平面 FBD．⋯（ 14 分）23．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A BC1B1的余弦．【解答】明：（Ⅰ ）依意，四形 AA1C1C 菱形，且∠ AA1C1=60°∴△ AA1C1正三角形，又∠ BAC1=60°，∴△ BAC1正三角形，又 O AC1中点，∴BO⊥ AC1，∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C，平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1，∵BO? 平面 AA1CC1，∴ BO⊥平面 AA1C1C．⋯（4 分）解：（Ⅱ）以 O 坐原点，建空直角坐系，如，令 AB=2，，C1（，，）010∴，平面 BB1 1的一个法向量，C由得，取 z=1，得⋯（9分）又面 ABC1的一个法向量∴⋯（11 分）故所求二面角的余弦⋯（ 12 分）24．如，在四棱P ABCD中， PA⊥平面，四形ABCD正方形，点M， N 分段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C AN D 大小，求PN的．【解答】（Ⅰ ）明：在正方形ABCD中， AB⊥BC，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴ PA⊥ BC．∵AB∩PA=A，且 AB，PA? 平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB， BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴ MN∥BC，则 MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）解：∵ PA⊥平面 ABCD，AB，AD? 平面 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD，又 AB⊥AD，如图，以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0）， D（ 0， 2， 0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面 DAN 的一个法向量为 =（x，y，z），平面 CAN的一个法向量为 =（a，b，c），设 =λ，λ∈[ 0， 1] ，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又 =（0，2，0），∴，取 z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2）， =（2，2，0），∴，取 a=1 得，到=（1，﹣ 1，0），∵二面 C﹣ AN﹣ D 大小为，∴ | cos＜，＞| =cos=，∴ | cos＜，＞| =|| =|| =，解得λ=，∴，则 PN=．25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB=．D，E分别为线段AB，BC 上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．【解答】（Ⅰ ）证明：∵ PC⊥平面 ABC，DE? 平面 ABC，∴ PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，∴ CD⊥DE，∵ PC∩CD=C，DE垂直于平面 PCD内的两条订交直线，∴DE⊥平面 PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ CDE为等腰直角三角形，∠ DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由∠ ACB=得DF∥AC，，故AC= DF=，以 C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， P（ 0， 0， 3），A（， 0， 0），E（0，2，0）， D（1， 1，0），∴ =（1，﹣ 1，0）， =（﹣ 1，﹣ 1，3）， =（，﹣ 1， 0），设平面 PAD的法向量=（ x， y， z），由，故可取=（2， 1， 1），由（Ⅰ）知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD的法向量可取=（1，﹣ 1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值为．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（ 1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，∵G 是 BE的中点，∴ GH∥ AB，且 GH= AB，又∵ F 是 CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且 DF= AB，即 GH∥DF，且 GH=DF，∴四边形 HGFD是平行四边形，∴ GF∥ DH，又∵ DH? 平面 ADE，GF?平面 ADE，∴ GF∥平面 ADE．（ 2）如图，在平面BEG内，过点 B 作 BQ∥ CE，∵BE⊥EC，∴ BQ⊥BE，又∵ AB⊥平面 BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥ BQ，以 B 为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（0，0，2）， B（ 0， 0， 0），E（2，0，0）， F（ 2， 2， 1）∵ AB⊥平面 BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面 AEF的法向量．又=（2，0，﹣ 2），=（2，2，﹣ 1）由垂直关系可得，取 z=2 可得．∴ cos＜，＞==∴平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG，MF，又G 是 BE的中点，可知 GM∥AE，且 GM= AE又AE? 平面 ADE，GM?平面 ADE，∴GM∥平面 ADE．在矩形 ABCD中，由 M， F 分别是 AB， CD的中点可得 MF∥AD．又AD? 平面 ADE，MF?平面 ADE，∴ MF∥平面ADE．又∵ GM∩MF=M，GM? 平面 GMF，MF? 平面GMF∴平面 GMF∥平面 ADE，∵GF? 平面 GMF，∴ GF∥平面 ADE（ 2）同解法一．第30页（共 40页）27．如，在四棱P ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A PB D 的余弦，若 E PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的正弦．【解答】（I）明：∵ PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD∴PD⊥AC又∵ ABCD是菱形，∴ BD⊥ AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面 PBD，∵ DE? 平面 PBD∴AC⊥DE⋯（6 分）（ II）解：分以OA， OB， OE 方向x， y， z 建立空直角坐系，PD=t，由（ I）知：平面 PBD的法向量，令平面PAB 的法向量，根据得∴因二面角 A PB D 的余弦，，即，∴⋯（9 分）∴EC与平面 PAB所成的角θ，∵，∴⋯（12 分）28．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，面 BB1C1C 菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A A1B1C1的余弦．【解答】解：（1）连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，∵侧面 BB1 C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又∵ AB⊥ B1 C，∴ B1C⊥平面 ABO，∵ AO? 平面 ABO，∴ B1C⊥ AO，又B10=CO，∴ AC=AB1，（2）∵ AC⊥ AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴ AO=CO，又∵ AB=BC，∴△ BOA≌△ BOC，∴ OA⊥OB，∴ OA， OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|| 为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠ CBB1°，∴△ 1 为正三角形，又，=60CBB AB=BC∴ A（ 0， 0，）， B（ 1， 0， 0，）， B （，，），（，，）00 C 001∴=（0，，），= =（1，0，），==（﹣ 1，，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面 A1 B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴ cos＜，＞== ，∴二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值为29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（ 1）求点P 到平面ABCD的距离；（ 2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.PCDBA（传统法）解（ 1）：以以下图，作 PO⊥平面 ABCD ，垂足为点 O. 连接 OB、 OA、OD ， OB 与 AD 交于点 E，连接 PE.PDCEO BA∵AD ⊥ PB，∴ AD⊥ OB.∵P A=PD ，∴ OA=OD .于是 OB 均分 AD ，点 E 为 AD 的中点，∴ PE ⊥AD. 由此知∠ PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，∴∠ PEB=120°，∠ PEO=60°. 由已知可求得 PE= 3，33，即点 P 到平面 ABCD 的距离为3 .∴PO=PE·sin60°=3×=222（2）（空间向量法）解法一：以以下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于 DA .zPGCDOEyBAxP（ 0，0，333， 0）， PB 中点 G 的坐标为（ 0，33，3），连接 AG.）， B（ 0，2244又知 A（ 1，3，0）， C（－ 2，3 3，0） . 22由此获取 GA =（1，－3，－3），44PB =（0，3 3，－3）， BC =（－2，0，0）.22于是有 GA · PB =0， BC · PB =0，∴ GA ⊥ PB ， BC ⊥ PB . GA ， BC 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角.于是 cos θ=GA BC|GA || BC |=－2 7，7由于题目中的二面角为钝角，因此所求二面角的大小为－2 7 。
《空间向量及其运算》突破提高
《空间向量及其运算》突破提高突破1利用数量积求距离问题利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式||=a .【例1】如图所示,已知在一个60︒的二面角的棱上,有两个点,A B ,,AC BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段,且4cm =AB ,6cm,8cm ==AC BD ,求CD 的长.解析:∵=++=-+CD CA AB BD AB AC BD ,2222()()2()∴=-+=-++-⋅CD AB AC BD AB AC BD AB AC BD222||||2||22=+-⋅++⋅-⋅AB AC AB AC BD AB BD AC BD163664268cos 6068,︒=++-⨯⨯⨯=∴=CD【关键技巧】要求一个向量的模,就需要把向量分解成几个已知向量的和,利用向量的平方等于向量的模的平方,进一步求出向量的模.这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响.突破2利用数量积求异面直线所成角问题利用数量积求异面直线所成角或其余弦值的步骤:取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个方向向量角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题求余弦值:利用向量的数量积求余弦值定结果:异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求余弦值应将余弦值加上绝对值,进而求角的大小【例2】已知空间四边形OABC 各边及对角线,AC OB 的长都相等,,E F 分别为,AB OC 的中点,求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值.分析:切入点:如何求OE 与BF 所成的角?——转化为求向量OE 与BF 的夹角思考点:1.,OE BF 与,OA OB OC 的关系是什么?——借助图形,用,OA OB ,OC 表示,OE BF2.,OE BF 的模怎么求?——,OAB BOC ∆∆为正三角形3.如何求OE 与BF 的夹角?——|||cos ,OE BF OE BF OE BF ⋅=〈〉思维流程:寻求,OE BF 与,OA OB ,OC 的关系——寻求,OE BF 的模——计算OE 与BF 的夹角的余弦值——得到异面直线OE 与BF 所成角的余弦值解:如图所示,设,,OA OB OC ===a b c ,且设各边长及对角线长均为1, ∴1||||||1,,2===⋅=⋅=⋅=a b c a b a c b c 且3||||2OE BF ==. ∵1111()()2222OE BF OA OB OF OB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c b 211111||,cos ,44222||||OE BF OE BF OE BF ⋅⋅+⋅-⋅-=-∴〈〉==a c b c a b b 2,3- 异面直线所成角的取值范围为0,,2π⎛⎤∴ ⎥⎝⎦异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.【本节与高考】本节内容在高考中直接考查较少,但利用空间向量的线性运算及数量积解决立体几何中的平行、垂直、空间角和距离问题是很重要的,在立体几何解题的过程中常用到这些知识.。
专练03 专题强化训练一 空间向量的运算及应用(讲义
专题强化训练一 空间向量的运算及应用一、选择题已知正方体1111D C B A ABCD -中，M P 、为空间任意两点，如果1111467D A AA BA PBPM -++=，那么点M 必（ ）.A 在平面11D B 内 .B 在平面D BA 1内 .C 在平面11D BA 内.D 在平面11C AB 内 2、（2020浙江宁波九校高二期末联考）下列命题正确的是（）.A <是向量b a ,共线的充要条件.B 在空间四边形ABCD 中，0=⋅+⋅+⋅BD CA BC AD CD AB.C 在棱长为1的正四面体ABCD 中，21=⋅BC AB .D 设C B A ,,三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OC OB OA OP ++=3231，则C B A P ,,,四点共面3、（多选）（2020山东济南高二下检测）已知几何体1111D C B A ABCD -为正方体，下列说法中正确的是（ ）.A ()()2112111113B A B A D A A A =++.B 0)(1111=-⋅A A B A C A .C 向量1AD 与向量B A 1的夹角是︒60.D 正方体1111D C B A ABCD -AA 14、（多选）在四面体PABC 中，下列说法正确的是（ ）.A 若AB AC AD 3231+=，则BD BC 3=.B 若Q 为ABC ∆的重心，则PC PB PA PQ 313131++=.C 若,0,0=⋅=⋅AB PC BC PA 则0=⋅AC PB.D 若四面体PABC 的各棱长都为2，N M ,分别为BC PA ,1=二、填空题 5、如图在正方体1111D C B A ABCD -中，已知O c D A b B A a AA,,,11111===为底面ABCD 的中心，G 为O C D 11∆的重心，则AG =_____________已知点P 为棱长等于2的正方体1111D C B A ABCD -2=，则11PDPC ⋅的值达到最小时，1PC 与1PD 的夹角为____________（2020上海华东师范大学第二附属中学高二下期末）点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的底面1111D C B A 上一点，则PA PC ⋅1的取值范围是___________（2021山东师范大学附属中学高二上月考）点P 是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则PN PM ⋅的最大值是____________三、解答题（2021山东德州高二上检测）已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，,1,3,21===AD AA AB 且=∠DAB .311π=∠=∠DAA BAA（1）求DB1的长.（2）求DBCD11与与夹角的余弦值.。
高中数学选择性必修一：1.2空间向量基本定理精选考点提升训练
第一章 1.2空间向量基本定理A 级——基础过关练1．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．2aB ．2bC ．2a ＋3bD ．2a ＋5c【答案】D 【解析】由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，在四个选项中，只有D 与p ，q 不共面，因此，2a ＋5c 与p ，q 能构成一组基底．2．如图，设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23【答案】A 【解析】由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB→－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，从而x ＝y ＝z ＝14.3．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】∵|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，∴a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7，因此cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A ．13a ＋13b －cB ．a ＋13b ＋13cC ．13a －13b ＋13cD ．13a ＋13b ＋13c【答案】D 【解析】MN →＝BN →－BM →＝BB 1→＋B 1N →－BM →，因为BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ，BB 1→＝AA 1→，所以MN →＝AA 1→＋13B 1C 1→－23BA 1→＝AA 1→＋13BC →－23((AA 1→－AB →()＝AA 1→＋13((AC →－AB →()－23(AA 1→－AB →)＝13AA 1→＋13AC →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c .5．已知{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．【答案】52，－1，－12 【解析】由题意得a ，b ，c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d ＝αa ＋βb ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ) e 1＋(α＋β－γ) e 2＋(α－β＋γ) e 3.又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.【答案】23a －13b ＋23c 【解析】PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23(P A→－PB →＋PC →－PB →)＝23P A →－13PB →＋23PC →＝23a －13b ＋23c .7．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】－23a ＋12b ＋12c 【解析】GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .8．如图，已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为点E ，F ，则EF →＝________.【答案】3a ＋3b －5c 【解析】如图，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 9．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c.(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 10．已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中点，问向量P A →，MB →，MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底，理由如下：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OM . 因为ABCD 是平行四边形， 所以O 是AC ，BD 的中点． 在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△P AC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12P A →，即P A →＝MD →＋MB →，即P A →与MD →，MB →共面．所以P A →，MB →，MD →不可以组成一个基底．B 级——能力提升练11．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的一个基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，如果BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】空间任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知①②③④均为真命题．12．若{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【答案】x ＝y ＝z ＝0 【解析】若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.13．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________．【答案】(12,14,10) 【解析】设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．14．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°. (1)设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1→，并求出BC 1的长度； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．解：(1)BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→＝BB 1→＋A 1C 1→－A 1B 1→＝AA 1→＋AC →－AB →＝a ＋c －b ， 因为a ·b ＝|a |·|b |cos ∠BAA 1＝1×1×cos(60°＝12，同理可得a ·c ＝b ·c ＝12，所以|BC 1→|＝a ＋c －b2＝a 2＋c 2＋b 2＋2a ·c －2a ·b －2c ·b ＝ 1＋1＋1＋1－1－1＝ 2. (2)因为AB 1→＝a ＋b ， 所以|AB 1→|＝a ＋b2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋1＝ 3.因为AB 1→·BC 1→＝(a ＋b )·(a ＋c －b )＝a 2＋a ·c －a ·b ＋b ·a ＋c ·b －b 2＝1＋12－12＋12＋12－1＝1，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝12×3＝66.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66. C 级——探究创新练15．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若向量AE →在以{AA 1→，AB →，AD →}为单位正交基底下的坐标为(1，x ，y )，则x ＝________，y ＝________.【答案】12 12 【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(AB→＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →.16．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝D 1D →＋12DB →＝A 1A →＋12(AB →－AD →)＝－AA 1→＋12AB →－12AD →＝－c ＋12a －12b ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.。
空间向量的应用专题训练卷(含解析)
空间向量的应用专题训练卷一、单选题1．（2020·江苏如东�高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．102C ．155D ．1052．（2020·河北新华�石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A 6B 26C 15D 10 4．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A 3B 23C 5D 255．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25C ．35D ．456．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<8．（2020·浙江衢州�高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π二、多选题11．（2019·江苏徐州�高二期末）下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦512．（2020·山东平邑�高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为6313．（2020·福建厦门�高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．（2019·安徽埇桥�北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.四、双空题18．（2020·浙江宁波�高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.19．（2018·北京海淀�高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．20．（2020·山东德州�高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.21. 如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________，二面角A SC M --大小为________.五、解答题22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，H 为平面11AA D D 内的点.（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置； （2）求点1C 到平面BDE 的距离.23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求直线1B C 到平面1A BD 的距离.24．（2019·天津南开�崇化中学高二期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，且2PC PD ==，M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点.（1）求证：BC PD ⊥；（2）求异面直线BM 与PN 所成角的余弦值； （3）求点N 到平面MBD 的距离.25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.26．（2019·浙江衢州�高二期中）四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCB ；（2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值.27. （2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．102C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,58BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105. 故选：D ．2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则11111cos ,666MN OD MN OD MN OD ⋅===⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．65C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴1410cos ,558BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105 4．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==，AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A ．32B ．233C ．55D ．255【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C ，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA x tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，故21,1,n t ⎛= ⎝⎭.因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12， 所以直线AB 与平面ACD 5. 即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 故B 到平面ACD的距离为22551112AB n d n⋅===++.故选：D5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，1112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒， 所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=， 故选：B7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】D 【解析】设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,022D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0=A B ，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，1111cos 25B D AC BD ACθ⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，1212sin 5BD n BD nθ⋅∴==⋅2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，则11130312022m AB a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，332cos 57m n m nθ⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<故选：D8．（2020·浙江衢州 高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A 【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，131,222B D →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)113,1,0A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos 25B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin 5B D nB D nθ→→→→⋅∴==⋅， 222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则11130312022m A B ab m B D a bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,2m →⎫=--⎪⎭， 二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 33cos m nm nθ→→→→⋅∴===⋅ 231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A 【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β， 故110cos β11CD CB CD CB ， 1103112112， 所以2γβα≤≤，故选：A.10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A 【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-， 由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以212212388BD AB h BD AB h h ⋅==⋅+⋅+， 即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A二、多选题11．（2019·江苏徐州 高二期末）下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5【答案】ABD 【解析】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错； 对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022==⨯l 与平面α5，故D 对； 故选：ABD ．12．（2020·山东平邑 高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB13．（2020·福建厦门 高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134【答案】BC 【解析】如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ， 则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设2AB =； 则123AA =； 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，23)，(0C ，1，23)；1(3B ，0，0)， ∴()10,2,23AC =-．底面ABC 的其中一个法向量为：()0,0,23m =，1AC ∴与底面ABC 的成角的正弦值为111123cos ,2423m AC m AC m AC -<>===⨯⨯，； A ∴错B 对．11A B 的中点K 的坐标为3(2，12-，0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：133,,022KC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭；1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：11111133cos 4,43AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯，； 故C 对D 错； 故选：BC ．三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 102342131022444in cos n PA n PAθθ===--⋅=⋅++++， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3． 故答案为：π3． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 【答案】16【解析】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM====+=-∴⋅=故EM ,AN 116=。
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二空间向量的线性运算空间向加法a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB→量的线性运算减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →；当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c)＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .考点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．考点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【题型归纳】题型一：空间向量的有关概念1．给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11=AC AC ；③a b =是向量a b =的必要不充分条件；④若空间向量,,m n p 满足,∥∥m n n p ，则∥m p ．其中正确的命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．02．给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量没有方向；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（）A ．①②③B ．⑤C ．④⑤D ．①⑤3．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若||||a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB ，CD 满足AB CD >，则AB CD >D ．相等向量其方向必相同题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，若DA a =，DC b =，1DD c =，则MN =（）A ．()12c b a +-B ．()12a b c +-C ．()12a c -D ．()12c a -5．空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅=（）A ．12B ．1C ．2D ．226．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．12a -2132b c+B ．-211322a b c++C ．12a 12b +-23cD ．2233a b +-12c题型三：空间两个向量共线的有关问题7．已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）.A ．A ､B ､DB ．A ､B ､CC ．B ､C ､DD ．A ､C ､D8．已知空间中两条不同的直线,m n ，其方向向量分别为,a b →→，则“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的（）A ．.充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中正确的是（）.A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//C B D A D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a bλ=题型四：空间共面向量定理10．已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OCM OA =-+C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OCA =--11．下列结论错误的是（）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ､b 是两个不共线的向量，且c a b λμ=+r r r(R λμ∈、且0λμ⋅≠)，则{}a b c ，，构成空间的一个基底D ．若OA ､OB ､OC 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面12．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c r v v 两两共面，则向量,,a b c rv v 共面；④已知空间的三个向量,,a b c rv v ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++u r rv v ．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【双基达标】一、单选题13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①()1AB BC CC ++；②()11111AA A D D C ++；③()111AB BB B C ++；④()11111AA A B B C ++.其中运算的结果为向量1AC uuu r的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．①若A ､B ､C ､D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②a b a b -=+是a ､b 共线的充要条件；③若a ､b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ､B ､C ，若OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r（其中x ､y ､z ∈R ），则P ､A ､B ､C 四点共面.其中不正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝m OA ＋n OB ，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113AP AB AA λ=+（[]0,1λ∈）若平面//BDP 平面11B CD ，则实数λ的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．2317．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a →=，AD b →=r ，AA c →'=，则下列与向量A C →'相等的表达式是（）A ．a b c -++B ．a b c--+C ．a b c --D ．a b c+-r r r 18．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =（）A ．111222OB OC OA+-B ．111222OA OC OB--C ．111222OB OC OA++D ．111222OA OC OB+-19．已知空间四边形ABCD 中，AB a =，CB b =，AD c =uuu r r，则CD 等于（）A ．a b c +-B ．a b c --+C ．a b c -++D ．a b c-+-20．下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量；④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．421．在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OB 上，且3OM MB =，N 为AC 的中点，则NM =（）A ．131242a b c-+-B ．121232a b c-++C ．131242a b c++D ．121232a b c-+22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r点P 在1AC 上，且1:2:3A P PC =，则AP =（）．A ．233555a b c++B ．322555a b c++C ．223555a b c-++D ．322555a b c--【高分突破】一：单选题23．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．224．已知正方体1111ABCD A B C D -中，11114AE A C =，若1()AE x AA y AB AD =++，则（）A ．1x =，12y =B ．12x =，y =1C ．1x =，13y =D ．1x =，14y =25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =．设AB a =，AD b =，1AA c =，则MN =A ．111333a b c-++B ．1133a b c+-C ．112333a b c--D ．1133a b c-++26．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++，若M ，A ，B ，C 共面，则λ=（）A ．712B ．13C ．512D ．1227．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，且1AM x AA y AD z AB =-+，则,,x y z 的值分别为（）A ．12，1，12-B ．12，1-，12-C ．12-，1，12D ．12，1-，1228．已知点P 为三棱O -ABC 的底面ABC 所在平面内的一点，且()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，则m n ，的值可能为（）A ．112m n ==-，B ．112m n ==，C ．112m n =-=-，D ．312m n =-=-，29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，设1,,AB a AA c BC b ===，则下列向量与BM 相等的是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122a b c-+30．空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC AD =--，则实数x的值为()A ．13B ．13-C ．23D ．23-31．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c-+D ．1122a b c--+32．如图，在空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-D ．221332a b c+-二、多选题33．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．1122OM b c =-B ．1133AN b c a=+-C ．113444AP b c a=--D ．111444OP a b c=++34．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量35．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有A ．AB BC CD++B ．11111AA B C D C ++C ．111AB C C B C -+D ．111AA DC B C ++36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（）A ．2OM OA OB OC=--B ．OM OA OB OC =+-C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++三、填空题37．如果两个向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是___________.38．已知非零向量1e ，2e 不共线，则使12ke e +与12e ke +共线的k 的值是________．39．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ＋12BC －32DE －AD 化简的结果为________.40．已知点M 在平面ABC 内，并且对不在平面ABC 内的任意一点O ，都有1133AM xOA OB OC =++，则x 的值为_______．41．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且12MN ON =，34AP AN =，用向量OA ，OB ，OC 表示OP ，则OP =_______．四、解答题42．在空间四边形ABCD 中，连结AC ､BD ，BCD 的重心为G ，化简1322AB BC DG AD +--.43．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +；（2）111AB B C C C ++；（3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-．44．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.45．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===，,,0,0AC AD m AB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案详解】1．B【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC=，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当n 为零向量时，零向量与任何向量都平行，则,m n 不一定平行．故选B ．2．B【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，a b a b +≤+为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．综上，正确的命题只有⑤，故选：B .3．D【详解】A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合；B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.4．D【详解】因为点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，DA a =，DC b =，1DD c =，所以11MN MB BB B N=++111111 22A B BB B D =++()()111122A A AB BB BC CD =++++()()1122c b c a b =-+++--()12c a =-故选:D.5．A【详解】空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，所以四边形ABCD 构成的四面体ABCD 是正四面体，四个面是等边三角形，因为E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，所以//AC FG ，1//2AC FG ，()1122GE GB BE BC BD BA =+=-++，12GF CA =，所以()()1144GE GF BC BD BA CA BC CA BD CA BA CA ⋅=-+-⋅=-⋅+⋅-⋅()14BC CA BD BA BC BA CA ⎡⎤=-⋅+⋅--⋅⎣⎦()14BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅()1cos120cos 60cos 60cos 604BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅1111112222422222⎛⎫=--⨯+⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.6．B解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++.故选：B.7．A【详解】因为242BD BC CD a b AB =+=+=，所以//BD AB ，又,BD AB 有公共点B ，所以A ､B ､D 三点共线，故选项A 正确；显然,AB BC 不共线，所以A 、B 、C 三点不共线，故选项B 错误；显然,BC CD 不共线，所以B 、C 、D 三点不共线，故选项C 错误；因为48AC AB BC a b =+=-+，所以,AC CD 不共线，从而A 、C 、D 三点不共线，故选项D 错误.故选：A.8．B【详解】由,R a b λλ→→∀∈≠可知，a 与b 不共线，所以两条不同的直线,m n 不平行，可能相交，也可能异面，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”不是“直线,m n 相交”的充分条件；由两条不同的直线,m n 相交可知，a 与b 不共线，所以,R a b λλ→→∀∈≠，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要条件，综上所述：“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要不充分条件.故选：B.9．CA 中，若0b =，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故//C B D A 正确；D 中，若0b =，0a ≠，则不存在λ，使a b λ=.故选：C10．B【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面.对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面.故选：B.11．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵满足c a b λμ=+r r r ，∴a ，b ，c 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA ､OB ､OC 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .12．A【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面才成立，故④错．故选:A ．13．D【详解】①：()111AB BC CC AC CC AC ++=+=，故①正确；②：()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=，故②正确；③：()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=，故③正确；④：()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=，故④正确.所以4个式子的运算结果都是1AC ，故选：D.14．C【详解】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a ､b 同向时，应有a b a b +=+，故错误；③中a ､b 所在直线可能重合，故错误；④中需满足1x y z ++=，才有P ､A ､B ､C 四点共面，故错误.故选：C15．A【详解】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋n OB →，即OP OA →→-＝n (OB OA →→-)，即AP n AB →→=，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .故选：A16．D【详解】如下图，由正方体性质知：面11//B CD 面1BDA ，要使面//BDP 面11B CD，∴P 在面1BDA 上，即1,,P B A 共面，又113AP AB AA λ=+，[]0,1λ∈，∴113λ+=，可得23λ=.故选：D17．D【详解】由题意：A C A A AB BC AA AB AD c a b a b c→→→→→→→'''=++=-++=-++=+-故选：D.18．A【详解】在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC OA OB OC OA ∴=+=++=+-+-=++-=+-故选：A ．19．C【详解】由向量的运算法则，可得CD CB BA AD CB AB AD a b c =++=-+=-++.故选：C.20．C【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确.0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误.由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C21．A 【详解】()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-.故选：A22．B【详解】因为1:2:3A P PC =，可得1125A P A C =，根据空间向量的运算法则，可得111125AP AA A P AA A C =+=+112()5AA AC AA =+-1111323232322()()555555555AA AC AA AB BC AA AB AD AA AB BC =+=++=++==++，又由1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r ，所以322555AP a b c =++.故选：B.23．B【详解】因为()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE=++=++=++-，所以2AE AB BC AP =++，所以111222AE AB BC AP =++，所以111,2,3222x y z ===，解得111,,246x y z ===，所以11111++24612x y z ++==，故选：B.24．D【详解】由空间向量的运算法则，可得11111111()44AE AA A E AA AC AA AB AD =+=+=++，因为1()AE x AA y AB AD =++，所以11,4x y ==.故选：D.25．A【详解】解：因为M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =，所以13AM AC =，1123A N A D =，在平行六面体1111ABCD ABCD -中，AB a =，AD b =，1AA c =，所以AC a b =+u u u r r r ，1A D b c =-，所以11111233MN MA AA A N AC AA A D =++=-++12()()33a b c b c =-+++-111333a b c =-++，故选：A ．26．A因为M ，A ，B ，C 共面，则11146λ++=，得712λ=.故选：A【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.27．D【详解】如图，在正方体中，AM AB BC CM =++，BC AD =，()()111122CM CD CC AB AA =+=-+，所以()112AM AB AD AB AA =++-+11122AB AD AA =++,所以12x =，1y =-，12z =故选：D28．C 【详解】()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，且P ，A ，B ，C 共面，∴11122m n m n +-=⇒-=，只有1 12m n =-=-，符合，故选：C.29．A【详解】因为1,,AB a AA c BC b ===，如图，依题意，有()11111111111122BM BA AA A M BA AA A C BA AA B C B A =++=++=++-()111111122222BA AA BC BA AB BC AA a b c =++-=-++=-++．故选：A30．C【详解】因为空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，则AB m AC n AD =+，又点P 为该平面外一点，则()PA PB m PC PA nAD -=-+，所以(1)m PA PB mPC nAD +=++，又5133PA PB xPC AD =--，由平面向量的基本定理得：513x -=，即23x =，故选：C ．31．A 如图，由空间向量的线性运算可得：()1111111111111222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-，()111222c b a a b c =+-=-++，故选：A32．B【详解】由题，在空间四边形OAB ，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则1122ON c b =+．所以211322MN ON MO a b c =+=-++故选：B【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.33．BD【详解】由已知得，23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，分析各个选项：对于A ，利用向量的四边形法则，11112222OM OB OC b c =+=+，A 错；对于B ，利用向量的四边形法则和三角形法则，得23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，B 对；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且3AP PN =，所以，411333AN AP b c a ==+-，所以，311114333444AP b c a b c a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，C 错；对于D ，113444OP OA AP a b c a =+=++-111444a b c =++，D 对故选：BD34．ACD∵O 为正方体的中心，∴1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+，同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∴A 、C 正确；∵OB OC CB -=uu u r uuu r uu r ，1111OA O A D D =-，∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∴B 不正确；∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-，∴()11OA OA OC OC -=--，∴D 正确.故选：ACD35．BCD【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA AD DC AC ++=++=，故正确；C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确；D ．111111111AA DC BC AA AB BC AC ++=++=，故正确.故选：BCD.36．BD【详解】当MA m MB n MC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面，所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++，所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=，因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=，由上可知：BD 满足要求.故选：BD.37．由空间向量共面定理可得，若向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.故答案为：存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.38．±1【详解】若12ke e +与12e ke +共线，则()1212ke e e ke λ+=+因为非零向量1e ，2e 不共线，所以1k k λλ=⎧⎨=⎩，即21k =，所以1k =±，故答案为：±139．0【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF 必经过点E ，则32DF DE =，∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.故答案为：0.40．23-由题设，1133AM OM OA xOA OB OC =-=++，∴11(1)33OM x OA OB OC =+++，又,,,A B C M 共面，∴111133x +++=，可得23x =-.故答案为：23-41．111444OA OB OC ++【详解】由题意OP ()33132132=444434432OB OC OA AN OA ON OA OA OM OA ++=+-=+⨯=+⨯⨯=111444OA OB OC ++故答案为：111444OA OB OC ++42．0【详解】设E 为BC 的中点，则12BC BE =，又G 为BCD △的重心，则32DG DE =，所以()()130.22AB BC DG AD AB BE DE AD AB BE AD DE AE AE +--=+--=+-+=-=43．（1）11AB BA AA +=．（2）111111111AB B C C C A B B C C C AC ++=++=．（3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=．（4）1102AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=．44．设1,,AB a AD b AA c ===，∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F A C =，而11A D AD b ==∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-.∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--,∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线.45．证明：（1）,0AC AD m AB m =+≠，∴A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∴E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD km AB k AD m AB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.。
00专题17 立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编)(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题17立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年河北预赛】若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，外接球半径为R，则，得,故，所以.2．【2018年四川预赛】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.【答案】【解析】三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为又，从而，于是，的外接圆半径为故球心面的距离为从而，点到面距离的最大值是故答案为：3．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.【答案】【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则，所以四面体外接球的半径为.4．【2018年辽宁预赛】四面体ABCD中，已知，则异面直线AC与BD 所成角的正弦值是_____.【答案】1【解析】因为，故，因此异面直线AC与BD 所成角的正弦值是1.故答案为：15．【2018年江西预赛】四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．【答案】【解析】设菱形两对角线的交点为，则既是线段的中垂线，又是的中垂线，故是四棱锥的高，且点上，于是平面与底面垂直，同理平面与与底面垂直，平面将四棱锥分成两个等积的四面体．只需考虑四面体．如图，设点在面上的投影为，平面过点，且交，因，则四点共圆．由于，得，由，得，所以，故．在面内的射影，则，即二面角的平面角，于是．据，得，故直线三角形中，．因，所以是正三角形，即．在直角中，，则，故正的边长为4，于是．在直线中，，从而．故答案为：6．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 【答案】【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r，由△DOF～△EAF，得.而,所以.7．【2018年湖南预赛】已知二面角为60°，动点P、Q分别在面内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．【答案】【解析】试题分析：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，,∴AC=PD=2,故,当且仅当点A与P重合时取得最小值.考点：1.点线面之间的距离；2.二面角的平面角8．【2018年湖南预赛】四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________.【答案】【解析】设正方体的棱长为a，上底为正方形ABCD，中心为O，则.由对称性知，球心在面ABCD上的射影M应在直线AC或BD上，且球与邻球的切点P在面ABCD上的射影N在过点O且平行AB的直线上.于是又，则，从而整理得，解得，或（舍去）.故.故答案为：9．【2018年福建预赛】如图，在三棱锥中，都是边长为6的等边三角形．若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的面积为______．【答案】【解析】如图，取的中点，连结，则由都是边长为6的等边三角形，得为二面角的平面角，．设为三棱锥的外接球的球心，分别为的中心．则，且．易知四点共面，连结，则．所以三棱锥的外接球半径．所以三棱锥的外接球的面积为．10．【2016年吉林预赛】一个几何体的三视图如图.则此几何体的体积为_____【答案】36【解析】.11．【2016年浙江预赛】已知两个底面重合的正四面体、正四边形分别为的重心。
【优化探讨】2021高考数学 7-6 空间向量及其运算提素能高效训练 新人教A版 理 (1)
"【优化探讨】2021高考数学 7-6 空间向量及其运算提素能高效训练 新人教A 版 理"[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．设空间四点O ，A ，B ，P 知足OP →＝OA →＋tAB →，其中0<t<1，那么有( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段BA 的延长线上 D ．点P 不必然在直线AB 上解析：∵0<t<1，∴P 点在线段AB 上． 答案：A 2．有4个命题：①假设p ＝xa ＋yb ，那么p 与a 、b 共面； ②假设p 与a 、b 共面，那么p ＝xa ＋yb ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，那么P 、M 、A 、B 共面； ④假设P 、M 、A 、B 共面，那么MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①正确，②中假设a ，b 共线，p 与a 不共线，那么p ＝xa ＋yb 就不成立，③正确，④中假设M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，那么MP →＝xMA →＋yMB →不正确．答案：B3.(2021年沈阳调研)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，假设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，那么以下向量中与MN →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋13ca ＋12b －13ca －12b －13cD ．－12a －12b ＋23c解析：MN →＝MB →＋BN →＝12D 1B 1→＋13BB 1→＝12(A 1B 1→－A 1D 1→)－13A 1A → ＝12a －12b －13c. 答案：C4．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：解法一 如图，在空间四边形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，得三棱锥A －BCD ，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，∵正四面体的对棱相互垂直， ∴AB →·CD →＝0，AC →·DB →＝0， AD →·BC →＝0.∴AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝0.解法二 在解法一的图中，选取不共面的向量AB →，AC →，AD →为基底， 那么原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB →＝0. 答案：B5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B的中点，那么|MN →|为( )a a a a解析：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ， AA 1→＝c ，那么|MN →|＝|MA →＋AB →＋BN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13AC →1＋AB →＋12BB 1→＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23a －13b ＋16c . 又a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，∴|MN →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ＋16c 2，可得|MN →|＝216 a.答案：A6.如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个极点，那么AP →·AB →的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．任意实数解析：AP →可为以下7个向量：AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π4＝1，最后AC 1→·AB →＝3×1×cos∠BAC 1＝3×13＝1，应选C.答案：C二、填空题7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，那么AB →与CA→的夹角θ的大小是________．解析：因为AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，因此cos AB →，CA →＝AB →·CA →|AB →||CA →|＝－2×－1＋－1×3＋3×－214×14＝－714＝－12， 又0°≤AB →，CA →≤180°，因此θ＝AB →，CA →＝120°. 答案：120°8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，若是有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA →＋4A 1D 1→，那么M 点必然在平面________内．解析：因为PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→，因此B 1M →＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→，因此B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→，因此A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→，故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面于平面A 1BCD 1，即M 点必然在平面A 1BCD 1内．答案：A 1BCD 19．(2021年威海模拟)已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点别离为E ，F 那么EF →＝________.解析：因为EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，两式相加，得2EF →＝(EA →＋EC →)＋(AB →＋CD →)＋(BF →＋DF →)．因为E 是AC 的中点，因此EA →＋EC →＝0.同理，BF →＋DF →＝0. 因此2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c)＋(5a ＋6b －8c)＝6a ＋6b －10c. 因此EF →＝3a ＋3b －5c. 答案：3a ＋3b －5c三、解答题10．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a·b 和a 与b 所成角的余弦值，并确信λ，μ应知足的条件，使λa＋μb 与z 轴垂直．解析：2a ＋3b ＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a －2b ＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8) ＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21. ∵|a|＝32＋52＋－42＝50，|b|＝22＋12＋82＝69，∴cos a ，b ＝a·b|a||b|＝－2150·69＝－7138230. ∵λa＋μb 与z 轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ知足λ＝2μ时，可使λa＋μb 与z 轴垂直．11.(2021年海口模拟)如图，在45°的二面角 α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 别离在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，求CD 的长度．解析：由CD →＝CA →＋AB →＋BD →，cos AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →)＝3＋2(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°)＝2－2，∴|CD →|＝2－2.12．(能力提升)如右图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心，求证：(1)OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．证明：(1)OA →＝－13(AB →＋AC →)，①OB →＝－13(BA →＋BC →)，②OC →＝－13(CA →＋CB →)，③①＋②＋③得OA →＋OB →＋OC →＝0. (2)SO →＝SA →＋AO →，④ SO →＝SB →＋BO →，⑤ SO →＝SC →＋CO →，⑥由(1)得：AO →＋BO →＋CO →＝0. ④＋⑤＋⑥得3SO →＝SA →＋SB →＋SC →即SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．[B 组 因材施教·备选练习]1．设点C(2a ＋1，a ＋1,2)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)确信的平面上，那么a ＝________.解析：PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)． 依照共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)，那么(2a －1，a ＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y)．因此⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝4，a ＝16. 答案：162．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．解析：设Q 点坐标为(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，那么QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．因此QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)，即得QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23，现在OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 3．(2021年六安月考)已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确． 答案：①②。
空间向量及其运算(提高)-学案
授课主题第08讲---空间向量及其运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①理解空间向量的有关概念，掌握向量的线性运算；②掌握空间向量定理及坐标表示；③能运用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量与有向线段的区别：有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段。
三个要素：起点、方向、单位长度.（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，即为相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.3、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。
0的方向是任意的.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.5、共线向量与平行向量关系：（1）平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．.6、实数与向量的积：前情回顾yk iA(x,y,z)O jxz实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作：λ→a （1）||||||→→=a a λλ；（2）λ>0时λ→a 与a 方向相同；λ<0时λ→a 与a 方向相反；λ=0时λ→a =→0；（3）运算定律 .)(,)(,)()(→→→→→→→→→+=++=+=b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ1、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．2、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
高中数学选择性必修一：1.3.2空间向量运算的坐标表示精选考点提升训练
第一章 1.3.2空间向量运算的坐标表示A 级——基础过关练1．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，则a·(b ＋c )的值为( ) A ．4 B ．15 C ．7D ．3【答案】D 【解析】因为b ＋c ＝(2,2,5)，所以a ·(b ＋c )＝4－6＋5＝3.2．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AB →＝3AC →，则点C 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B ．⎝⎛⎭⎫83，－3，2 C ．⎝⎛⎭⎫103，－1，73 D ．⎝⎛⎭⎫52，－72，32 【答案】C 【解析】设C (x ，y ，z )，则AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(x －4，y －1，z －3)．由AB →＝3AC →得(－2，－6，－2)＝3(x －4，y －1，z －3)，即有⎩⎪⎨⎪⎧－2＝3x －12，－6＝3y －3，－2＝3z －9，解得点C的坐标为⎝⎛⎭⎫103，－1，73. 3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，若a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 对应的点为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【答案】B 【解析】a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，所以a ＋b ＝(－5,9，－2)．所以a ＋b 对应的点为(－5,9，－2)．4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310 B ．210 C ．10D ．5【答案】A 【解析】因为a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，所以|a －b ＋2c|＝310.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为________．【答案】－66【解析】OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)．由已知cos 120°＝OA →＋λOB →·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1·2＝－12，所以λ<0，λ＝－66. 6．记i ，j ，k 为单位正交基底，若向量a ＝2i －j ＋k ，b ＝4i ＋9j ＋k ，则这两个向量的位置关系是________．【答案】垂直 【解析】向量a ＝2i －j ＋k ，b ＝4i ＋9j ＋k ，则向量a ，b 的坐标为a ＝(2，－1,1)，b ＝(4,9,1)．因a·b ＝8－9＋1＝0，故a ，b 两个向量的位置关系为垂直．7．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a·c ＝2，|b|＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________. 【答案】－14 【解析】(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，即3a ·c －2b ·c ＝12.由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3.又因为|c |＝3，|b |＝4，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14. 8．设向量a ＝(1，－1,0)，a －2b ＝(k －1,2k ＋2，－2)，且a ⊥b ，则k ＝________. 【答案】－5 【解析】a ＝(1，－1,0)，a －2b ＝(k －1，2k ＋2，－2)，则b ＝12[a －(k －1,2k＋2,2)]，解得b ＝⎝⎛ 1－k 2，⎭⎫－k －32，1，由a ⊥b 得a ·b ＝0，所以1－k 2＋k ＋32＝0，所以k ＝－5.9．已知向量a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c . (1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值． 解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又由b ⊥c ，得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0， 得z ＝2，此时c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，所以向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219.10．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．(1)写出A ，B 1，E ，D 1的坐标； (2)求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．解：(1)由题干图所示坐标系得A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)． (2)因为AB 1→＝(0，－2,2)，ED 1→＝(0,1,2)， 所以|AB 1→|＝22，|ED 1→|＝5， AB 1→·ED 1→＝0－2＋4＝2，所以cos 〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010.所以AB 1与D 1E 所成的角的余弦值为1010. 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB 和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0. 设M (1,1，m )，连接AC ， 则AC →＝(－1,1,0)．而E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又因为B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)，而D 1M ⊥平面EFB 1， 所以D 1M ⊥EF ，且D 1M ⊥B 1E . 所以D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0.所以⎩⎨⎧－12＋12＋m －1×0＝0，0－12＋1－m ＝0，解得m ＝12，即M 为B 1B 的中点．B 级——能力提升练12．已知直角坐标系中点A (0,1,2)，向量AB →＝(－4，－3，－2)，BC →＝(－7，－4，－1)，则点C 的坐标为( )A ．(11,8,5)B ．(3,2,1)C ．(－11，－6，－1)D ．(－3,0,3)【答案】C 【解析】∵AB →＝(－4，－3，2)，BC →＝(－7，－4，－1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(－11，－7，－3)．又A (0，1,2)，∴OC →＝OA →＋AC →＝(－11，－6，－1)，∴点C 的坐标为(－11，－6，－1)．13．(多选)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论不正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a·b ＝10D ．|a |＝6【答案】ABC 【解析】a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2，1，－6)，a·b ＝22，|a|＝6，所以A ，B ，C 错．14．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，则满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标为________．【答案】(－1,1,2) 【解析】设点D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB ∥AC ，DC ∥AB ，所以DB →∥AC →，DC →∥AB →，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －1＝－z2，1－y ＝0，－x －1＝－y1，2－z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2，所以D (－1,1,2)．15．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________.【答案】－39 【解析】因为a·b ＝2k ，|a |＝13，|b |＝k 2＋9，所以cos 120°＝2k13×k 2＋9，所以k ＝－39.16．如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．(1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF →与CG →所成角的余弦值； (3)求CE 的长．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 所以EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，CF →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0， CG →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12. (1)证明：因为EF →·CF →＝12×12＋12×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0， 所以EF →⊥CF →，即EF ⊥CF .(2)因为EF →·CG →＝12×1＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×12＝14， |EF →|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32， |CG →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1432×52＝1515.(3)|CE →|＝02＋－12＋⎝⎛⎭⎫122＝52.C 级——探究创新练17．已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＝______，μ＝______.【答案】0 0 【解析】因为AB →＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥AC →，即λ－12＝1－2＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.18．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 是C 1G 的中点．利用空间向量解决下列问题：(1)求EF 与B 1C 所成的角； (2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求F ，H 两点间的距离．解：如图，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫0，34，0. (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，B 1C →＝(－1,0，－1)， 所以EF →·B 1C →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12·(－1,0，－1)＝ 12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0. 所以EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ． 所以EF 与B 1C 所成的角为90°. (2)C 1G →＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1，则|C 1G →|＝174. 又|EF →|＝32，且EF →·C 1G →＝38，所以cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117. (3)因为H 是C 1G 的中点， 所以H ⎝⎛⎭⎫0，78，12. 又F ⎝⎛⎭⎫12，12，0， 所以|FH |＝|FH →|＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫78－122＋⎝⎛⎭⎫12－02＝418. 故F ，H 两点间的距离为418.。
高中数学经典好题-第13讲 空间向量与距离、探究性问题(2大考点+强化训练)
第13讲空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）[考情分析]1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．知识导图考点分类讲解考点一：空间距离(1)点到直线的距离直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的任一点，P 为直线l 外一点，设AP →＝a ，则点P 到直线l 的距离d ＝a 2－(a ·u )2.(2)点到平面的距离平面α的法向量为n ，A 是平面α内任一点，P 为平面α外一点，则点P 到平面α的距离为d ＝|AP →·n ||n |.考向1点到直线的距离【例1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线 l 经过() 3,3,3A ，()0,6,0B 两点，则点() 0,0,6P 到直线l 的距离是（）A ．B ．C ．D ．【变式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段AB 上的点，且3AEEB=，点P 在线段1D E 上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（）A ．22B C ．35D ．1【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知点(2,1,1)A ，若点(1,0,0)B 和点(1,1,1)C 在直线l 上，则点A 到直线l 的距离为．【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵111ABC A B C -中，若12AB BC AA ===，若P 为线段1BA 中点，则点P 到直线1B C 的距离为（）A B ．2C ．2D ．2考向2点到平面的距离规律方法(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离．【例2】2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为4，∠A 1AB ＝60°，点A 1在下底面ABC 上的投影为AB 的中点O .(1)在棱BB 1(含端点)上是否存在一点D 使A 1D ⊥AC 1？若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A 1到平面BCC 1B 1的距离．【变式1】（23-24高三下·北京·开学考试）在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，PA 与平面ABCD 所成角为π4，则点D 到平面PBC 的距离为（）A B C D ．43【变式2】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点.直线1FC 到平面1AB E 的距离为（）.A B ．5C ．23D ．13【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距离为．考点二：空间中的探究性问题与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．【例3】(2023·咸阳模拟)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 是边长为1的正方形，平面BB 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝4，∠A 1B 1B ＝60°，G 是A 1B 1的中点．(1)求证：平面GBC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角P －GB 1－B 的平面角为30°？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由．【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，已知AB CD AB AD ⊥，∥，BC PA ⊥，222AB AD CD ===，PA 2PC =，E 是线段PB 上的点．(1)求证：PC ⊥底面ABCD ；(2)是否存在点E 使得PA 与平面EAC 所成角的余弦值为3若存在，求出BE BP 的值；若不存在，请说明理由．【变式2】（2024·全国·一模）如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，且160ABC A AC ∠=∠=︒，平面11AA C C ⊥平面ABCD ．(1)求平面1DAA 与平面1CAA 所成角的余弦值；(2)在棱1CC 所在直线上是否存在点P ，使得//BP 平面11DA C ．若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【变式3】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，2AD DE ==，1BF =，60BAD ∠=︒.(1)证明：平面FAC ⊥平面BDEF ；(2)试问线段CD 上是否存在一点P ，使得平面AEF 与平面BFP 夹角的余弦值为4若存在，请判断点P 的位置；若不存在，请说明理由.强化训练一、单选题1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）平面α的一个法向量为()1,2,2n =，()1,0,0A 为α内的一点，则点()3,1,1P 到平面α的距离为（）A ．1B ．2C ．3D 112．（2023高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（）A ．设O 为平面内任一点，则A ，B ，C 三点共线当且仅当存在a ，b 满足1a b +=，使得OC aOA bOB =+．类比到空间得：设A ，B ，C 不共线，则A ，B ，C ，D 四点共面当且仅当存在实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，使得OD aOA bOB cOC=++ B ．已知平面内点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022Ax By Cd A B ++=+点()000,,P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C +++=++C ．设平面内不过坐标原点的直线与x 轴和y 轴的交点分别为(),0a ，()0,b ，则直线的（截距式）方程为1x ya b+=．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为(),0,0a ，()0,,0b ，()0,0,c ，则平面的（截距式）方程为1x y z a b c++=D ．设平面内一直线与x 轴和y 轴所成的角分别为α，β，则有22cos cos 1αβ+=．类比到空间得：设空间中一直线与x 轴、y 轴和z 轴所成的角分别为α，β，γ，则有222cos cos cos 2αβγ++=3．（23-24高三上·上海奉贤·期中）如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A ．PB 与CD 所成的角是30B ．平面PCD 与平面PBA 63C ．PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是6D ．M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为34．（2023·江苏徐州·模拟预测）在空间直角坐标系中，直线l 的方程为1x y z =-=，空间一点(1,1,1)P ，则点P 到直线l 的距离为（）A ．2B ．1C D 5．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11B C 的中点．动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列三个结论：①存在点P ，使得1PA PE =；②1PA E △的面积越来越小；③四面体11A PB E 的体积不变．其中，所有正确结论的个数是（）．A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，棱111,A D CC 的中点分别是,E F ，点G 是底面ABCD 内任意一点（包括边界），则三棱锥1G B EF -的体积的取值范围是（）A ．410,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．45,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．（2023·河南·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知()()()()()22,2,6,0,0,1,1,1,2,1,0,3,,0,5A a a B C D E a -，则当点A 到平面BCD 的距离最小时，直线AE 与平面BCD 所成角的正弦值为（）A ．21B ．7C D ．478．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中不正确．．．的是（）A ．若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D ．若1D Q ，那么Q 4二、多选题1．（23-24高三上·河北保定·期末）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,B C BB 的中点，则下列说法正确的是（）A ．1,,,AB E D 四点共面B ．DF BE⊥C ．直线AF 与BE 所成角的余弦值为25D ．点E 到直线1DF 的距离为12．（2024·江西上饶·一模）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，1BB 的中点，则（）A ．直线1FC 与底面ABCD 所成的角为30°B ．1A 到直线1FC 的距离为5C ．1//FC 平面1AB ED ．1BA ⊥平面1AB E3．（2024·福建福州·模拟预测）在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AA AD E ===为AB 的中点，则（）A ．11AB B C⊥B ．1//A D 平面1EB CC ．点D 到直线1A B D ．点D 到平面1EB C 三、填空题1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知直线l 经过()()1,1,0,1,1,2A B ---两点，则点()1,1,2P -到直线l 的距离为．2．（2024·福建厦门·一模）已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为．3．（23-24高三上·北京房山·期末）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是.四、解答题1．（23-24高三上·天津·期末）如图，已知1D D ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，11AA DD ∥，11CC DD ∥，111AA CC BC ===，12AD DC DD ===.(1)求证：1//CD 平面11A BC ；(2)求平面11A ADD 与平面11A BC 的夹角的余弦值；(3)求点C 到直线1A B 的距离.2．（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，2BC =，沿AC 将ADC △折起，使点D 到达点P 的位置，点P 在平面ABC 的射影H 落在边AB 上.(1)求AH 的长度；(2)若M 是边PC 上的一个动点，是否存在点M ，使得平面AMB 与平面PBC求CM 的长度；若不存在，说明理由.3．（2024·广东梅州·一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，且12BC BB =，160CBB ∠=︒，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点.(1)求证：平面1C AD ⊥平面1B AD ；(2)在棱1AA 上是否存在点Q ，使得BQ 与平面11ACC A 的所成角为60°.如果存在，请求出1AQ AA ；如果不存在，请说明理由.4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，AB =22BC AD ==，E 为CD 的中点，PB AE ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)若,PB PD PC =与平面ABCD 所成的角为π3，过点B 作平面PCD 的垂线，垂足为N ，求点N 到平面ABCD 的距离.5．（23-24高三上·北京昌平·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，12AB DC =，1PD AD ==，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若PC =，1AB =，（i ）求二面角P DM B --的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM 求出PQ PA 的值；若不存在，说明理由.。
2022高中数学第一章空间向量与立体几何-空间向量及其线性运算课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第一章 1.1 1.1.1A级——基础过关练1．如图，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是( )A．OA＋OB＝AB B．OA＋OB＝BAC．AO－OB＝AB D．OA－OB＝CD【答案】D【解析】OA－OB＝BA＝CD．故选D．2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量；②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．3．已知不共线向量e1，e2，AB＝e1＋2e2，BC＝－5e1＋6e2，CD＝7e1－2e2，则一定共线的三个点是( )A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】因为BD＝BC＋CD＝(－5e1＋6e2)＋(7e1－2e2)＝2e1＋4e2＝2(e1＋2e2)＝2AB，又因为BD与AB有公共点B，所以A，B，D三点共线．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(B1D1＋A1A)＋DD1．其中能够化简为向量BD1的共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1；③(B1D1＋A1A)＋DD1＝B1D1＋D1D＋DD1＝B1D1≠BD1．故选C．5．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】B【解析】对于①由共线向量的定义知两个共线向量是指方向相同或相反的向量，不一定在同一直线上，故①错误；同理③错误；对于②④由共线向量、共面向量的定义易知正确．故选B．6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达式：①AA1＋A1B1＋A1D1；②AD＋CC1＋D1C；③AB＋DD1＋D1C1；④(AB1＋CD1)＋A1C1．正确的个数是( )A．1B．3C．2D．4【答案】C【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可知AC1＝AA1＋A1B1＋B1C1，又因为B1C1＝A1D1，故①正确；对于②，AD＋CC1＋D1C＝AD＋DD1＋D1C＝AC，故②错误；同理③错误；对于④，易得(AB1＋CD1)＋A1C1＝AA1＋A1C1＝AC1，故④正确，故共有2个正确．故选C．7．(多选)在下列条件中，使点M与A，B，C不一定共面的是( )A．OM＝3OA－2OB－OC B．OM＋OA＋OB＋OC＝0C．MA＋MB＋MC＝0D．OM＝OB－OA＋OC【答案】ABD【解析】对于选项C，因为MA＋MB＋MC＝0，所以MA＝－MB－MC，所以点M与A，B，C必共面．其他选项均得不到点M与A，B，C一定共面．8．如图，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD等于________．【答案】3MG【解析】MG－AB＋AD＝MG－(AB－AD)＝MG－DB＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG．9．设M是△ABC的重心，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AM＝________．【答案】(c－b)【解析】设D是BC边中点，因为M是△ABC的重心，所以AM＝AD．而AD＝(AB＋AC)＝(c－b)，所以AM＝(c－b)．10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1中点，化简下列各式：(1)AB＋BA1；(2)AB＋B1C1＋C1C；(3)AA1＋AB－AM．解：(1)AB＋BA1＝AA1．(2)AB＋B1C1＋C1C＝A1B1＋B1C1＋C1C＝A1C．(3)AA1＋AB－AM＝BM＋AB＋MA＝AB＋BM＋MA＝0．B级——能力提升练11．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，若OB＋OM＝3OP－OA，则点P与A，B，M( )A．共面B．共线C．不共面D．不确定【答案】A【解析】原式变形为OP－OM＝(OA－OP)＋(OB－OP)，即PM＝－PA－PB．因为PA，PB不共线，所以PM，PA，PB共面，即点P与A，B，M共面．12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则x，y的值分别是( )A．1，B．，1C．2，D．，2【答案】A【解析】AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，则x＝1，y＝．故选A．13．给出命题：①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM＝OA＋OB＋OC，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．其中为真命题的是________．【答案】③【解析】①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②如三棱锥一个顶点上的三条棱看作三个向量，则它们不共面；③如图，A，B，C，M四点共面，因为OA＋OB＋OC＝OM，等式两边同时加上MO，则(MO＋OA)＋(MO＋OB)＋(MO＋OC)＝0，即MA＋MB＋MC＝0，MA＝－MB－MC＝－(MB＋MC)，设E为BC中点，则MA＝－2ME，即AM＝2ME，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．14．已知三棱锥O－ABC，D是BC中点，P是AD中点，设OP＝x OA＋y OB＋z OC，则x＋y＋z＝________，x＝________．【答案】1 【解析】如图，OP＝(OA＋OD)＝＝OA＋OB＋OC＝x OA＋y OB＋z OC，所以x ＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝1，x＝．15．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：(1)OQ＝PQ＋x PC＋y PA；(2)PA＝x PO＋y PQ＋PD．解：如图，(1)因为OQ＝PQ－PO＝PQ－(PA＋PC)＝PQ－PA－PC，所以x＝y＝－．(2)因为PA＋PC＝2PO，所以PA＝2PO－PC．又因为PC＋PD＝2PQ，所以PC＝2PQ－PD．从而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD．所以x＝2，y＝－2．。
人教A版高中数学选修一配套提升训练专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(详细解析版)
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ,b ,c 是不共面的三个向量,则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ,a ﹣b ,a +2bB ．2b ,b ﹣a ,b +2aC ．a ,2b ,b ﹣cD ．c ,a +c ,a ﹣c 【正确答案】C【详细解析】对于A,因为2a =43（a ﹣b ）+23（a +2b ）,得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,A 不正确;对于B,因为2b =43（b ﹣a ）+23（b +2a ）,得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,B 不正确;对于C,因为找不到实数λ、μ,使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立,故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面, 它们能构成一个基底,C 正确;对于D,因为c =12（a +c ）﹣12（a ﹣c ）,得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,D 不正确故选:C ．2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,设1AA a =,AB b =,AD c =,N 是BC 的中点,试用a ,b ,c 表示1A N （ ）A ．12a b c -++B ．a b c -++C ．12a b c --+D ．12a b c -+ 【正确答案】A【详细解析】 N 是BC 的中点,11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选:A.3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++ 【正确答案】C【详细解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+ 11()22OA AB AC =+⨯+ 1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111244OA OB OC =++ 故选:C.4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中,E 为11A D 的中点,设AB a =,AD b =,1AA c =,则CE =（ ）A ．12a b c --+B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．12a b c +- 【正确答案】A【详细解析】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+. 故选:A.5．（2020·广东省红岭中学高二期末） AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【正确答案】B【详细解析】根据向量共线的定义,可知若AB 与CD 共线,则它们所在的直线可能平行,也可能重合;若AB ∥CD ,则AB 与CD 共线;根据充分条件和必要条件的概念,可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件,故选B点睛:向量共线的定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量 .6．（2020·广东省红岭中学高二期末）O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点A ．一定不共面B ．不一定共面C ．一定共面D ．无法判断【正确答案】C【详细解析】:点P 在平面ABC 内,O 是平面ABC 外的任意一点,则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=．利用此推论可直接证明一定共面．详解:因为OP =111326OA OB OC ++,且1111326++=,所以,,,A B C P 四点共面. 7．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--,则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 【正确答案】A【详细解析】 因为空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--,所以51133x --=,解得13x =. 故选A8．（2020·甘肃省高二期末）如图,空间四边形OABC 中,OA a =,OB b =,OC c =,且2OM MA =,BN NC =,则MN 等于( )A ．221332a b c ++ B ．122121a b c +- C ．122132a b c -++ D ．123122a b c -+ 【正确答案】C【详细解析】 BN NC =,1()2ON OB OC ∴=+,2OM MA =,23OM OA ∴=,2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+,故选:C.9．（2020·广西壮族自治区高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =,AD b =,1AA c =,则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）． A ．1122++a b c B ．1122-++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【正确答案】B【详细解析】11111111111()()=2222BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++ 故选B.10．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,,则x ＋y ＋z 等于( )A ．76B ．23C ．56D ．1【正确答案】C【详细解析】在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中,AG =AB +BC +CG ,∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,CG =DH ,∴x=1,﹣2y=1,3z=1,∴112x y ==-，,z=13, ∴x+y+z=56, 故选:C ．二、多选题 11．（2019·山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-,则下列四式中其中正确的有（ ）A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【正确答案】ABC【详细解析】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图,可得AB CB AB BC AC -=+=,则A 正确;AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=,则B 正确;C 显然正确;AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=,则D 不正确.综上,正确的有ABC.故选:ABC12．（2020·江苏省高二期末）如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,下列各式中运算的结果为1AC 的有()A ．AB BC CD ++ B ．11111AA BC DC ++C ．111AB C C BC -+D ．111AA DC B C ++【正确答案】BCD【详细解析】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠,故错误;B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=,故正确; C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=,故正确; D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=,故正确. 故选:BCD. 13．（2020·山东省高二期末）已知A,B,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A,B,C 共面”的充分条件的是（ ）A ．2OM OA OB OC =--B ．OM OA OB OC =+- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 【正确答案】BD【详细解析】当MA mMB nMC =+时,可知点M 与点,,A B C 共面,所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++,所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++, 所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-, 不妨令11x m n -=+-,1m y m n =+-,1n z m n =+-,且此时1x y z ++=, 因为()()21101+-+-=≠,()1111++-=,111111236++=≠,1111236++=, 由上可知:BD 满足要求.故选:BD.点睛:常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有:(1)证明MA xMB yMC =+;(2)对于空间中任意一点O ,证明OM OA xMB yMC =++;(3) 对于空间中任意一点O ,证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.三、填空题14．（2019·江苏省高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===,则1BA =__________． 【正确答案】a b c -+【详细解析】直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+故正确答案为a b c -+15．（2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量a ,b ,且AB ＝a ＋2b ,BC =5a -＋6b ,72CD a b =-,则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.【正确答案】A,B,D【详细解析】由向量的加法原理:5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=又,BD AB 共点B ,故A ,B ,D 三点共线故正确答案为:A ,B ,D16．（2019·浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC,点D 是BC 中点,P 是AD 中点,设OP xOA yOB zOC =++,则x y z ++=________;x =________.【正确答案】1 12 【详细解析】如图,()()111222OP OA OD OA OB OC ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦111244OA OB OC xOA yOB zOC =++=++,所以111,,244x y z ===,所以1x y z ++=,12x =.故正确答案为:1; 1217．（2019·江苏省高二期中）如图在正方体1111ABCD A B C D -中,已知1A A a =,11AB b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,则AG =______【正确答案】215326a b c ++ 【详细解析】 在正方体1111ABCD A B C D -中,1A A a =,11AB b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++ ()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦ ()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326a b c ++=. 故正确答案为:215326a b c ++. 四、解答题18．（2018·全国高二课时练习）如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)5.(3)试写出与AB 相等的所有向量.(4)试写出1AA 的相反向量.【正确答案】（1）正确答案见详细解析;（2）正确答案见详细解析;（3）正确答案见详细解析;（4）正确答案见详细解析．【详细解析】分析:（1）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为5,即可写出所求向量（3）根据大小相等,方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等,方向相反的向量即为相反向量.详解: (1)模为1的向量有11111111,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D. 19．（2020·全国高一课时练习）如图,已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 的向量分别为123,,r r r ,求OD ．【正确答案】321OD r r r =+- 【详细解析】因为OD OC CD =+,CD BA OA OB ==-,所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+． 20．（2019·三亚华侨学校高二期中）如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AB AD AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1,点P 在线段BC 上,且3BP BC =,记1,,a AB b AD c AA ===.（1）试用,,a b c 表示1D P ;（2）求1D P 模.【正确答案】（1）23a b c --; （25【详细解析】（1）111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+,12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭. （2）因为AB ,AD ,1AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1. 所以33,1,2a b a c b c ⋅=⋅=⋅=, 2221244423933D P a b c a b c a b a c b c =--=++-⋅-⋅+⋅ 441422=++--+5=21．（2018·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG .【正确答案】212333a b c -+ 【详细解析】因为BG=2GD,所以2BG BD 3=. 又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b,所以PG PB BG =+=b+23(a+c-2b) =23a-13b+23c. 22．（2019·全国高一课时练习）设e 1,e 2是不共线的空间向量,已知AB =2e 1+ke 2,CB =e 1+3e 2,CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线,求k 的值.【正确答案】k=-8.【详细解析】分析:A,B,D 三点共线,故存在唯一实数λ,使得AB BD λ=,再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值详解:由已知,有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.∵A,B,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB =λBD ,即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2),∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.∵e 1,e 2是不共线的空间向量,∴24k λλ=⎧⎨=-⎩,解得8k =-. 23．（2018·全国高二课时练习）已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【正确答案】能,OD =17OA -5OB -30OC ．【详细解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底, 所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .点睛:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++．我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底,其中,,a b c 叫基向量.。
高中数学第一章空间向量与立体几何 空间中直线与平面的垂直课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第一章 1.4 1.4.1 第2课时A 级——基础过关练1．若直线l 的方向向量为(2,1,m ),平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2,且l ⊥α,则m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．－4【答案】C【解析】因为l ⊥α,所以直线l 的方向向量与平面α的法向量是共线向量,所以21＝112＝m2,解得m ＝4．2．若平面α,β的法向量分别为n 1＝(2,－3,5),n 2＝(－3,1,－4),则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α,β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】因为n 1·n 2＝(2,－3,5)·(－3,1,－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0,所以n 1与n 2不垂直,显然n 1与n 2不平行,所以α,β相交但不垂直．3．已知点A (0,0,0),B (－1,0,－1),C (1,2,1),P (x ,y ,1),若PA ⊥平面ABC ,则点P 的坐标为( )A ．(1,0,－1)B ．(－1,0,1)C ．(1,－1,1)D ．(－1,0,0)【答案】B【解析】由已知得PA →＝(－x ,－y ,－1),AB →＝(－1,0,－1),AC →＝(1,2,1)．若PA ⊥平面ABC ,则⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －2y －1＝0，解得x ＝－1,y ＝0．故点P 的坐标为(－1,0,1)．故选B ． 4．在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB →＝(2,－1,－4),AD →＝(4,2,0),AP →＝(－1,2,－1),则直线PA 与底面ABCD 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成60°角【答案】B【解析】因为AB →＝(2,－1,－4),AD →＝(4,2,0),AP →＝(－1,2,－1),所以AP →·AB →＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0,AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0．所以AP →⊥AB →,AP →⊥AD →,即AP ⊥AB ,AP ⊥AD ．又因为AB ∩AD ＝A ,所以直线PA ⊥平面ABCD ．5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,－2,x ),直线l 2的方向向量b ＝(2,y ,－2),若|a |＝3,且l 1⊥l 2,则x －y 的值是( )A ．－4或0B ．4或1C ．－4D ．0【答案】A【解析】因为|a |＝22＋（－2）2＋x 2＝3,所以x ＝±1．又因为l 1⊥l 2,所以a ⊥b,所以a ·b ＝2×2－2y －2x ＝0,所以y ＝2－x ．当x ＝1时,y ＝1；当x ＝－1时,y ＝3．所以x －y＝0或x －y ＝－4．6．设u ＝(－2,2,t ),v ＝(6,－4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为α⊥β,所以u ⊥v ,则u ·v ＝－12－8＋5t ＝0,解得t ＝4．故选D ． 7．(多选)四边形ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,则下列等式成立的是( ) A ．PA →·AB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PA →·CD →＝0 D ．PC →·AB →＝0 【答案】ABC【解析】因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA →·AB →＝0,PA →·CD →＝0成立．又因为PC →·BD →＝(PA →＋AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝PA →·(AD →－AB →)＋AD →2－AB →2＝0成立,PC →·AB →＝(PA →＋AB →＋AD →)·AB →＝PA →·AB →＋AB →2＋AD →·AB →≠0．故选项ABC 成立．8．已知单位向量a,b 的夹角为45°,k a －b 与a 垂直,则k ＝____________． 【答案】22【解析】由题意可得a ·b ＝1×1×cos45°＝22,由向量垂直的充分必要条件可得(k a －b )·a ＝0,即k ×a 2－a ·b ＝k －22＝0,解得k ＝22． 9．平面α与平面β的法向量分别是m,n ,直线l 的方向向量是a ,给出下列论断： ①m ∥n ⇒α∥β；②m ⊥n ⇒α⊥β； ③a ⊥m ⇒l ∥α；④a ∥m ⇒l ⊥α．其中正确的论断为________(把正确论断的序号填在横线上)． 【答案】①②④【解析】法向量平行的两个平面互相平行,①正确；法向量垂直的两个平面互相垂直,②正确；直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线与平面平行或在平面内,③错误；直线的方向向量与平面的法向量共线,则直线与平面垂直,④正确．10．如图,在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为棱BB 1的中点,在棱DD 1上是否存在点P 使MD ⊥平面PAC?解：如图,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C (0,1,0),D (0,0,0),M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12．假设存在P (0,0,a )满足条件, 则PA →＝(1,0,－a ),AC →＝(－1,1,0), 设平面PAC 的法向量n ＝(x 1,y 1,z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－az 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝1,得y 1＝1,z 1＝1a,所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1a ．若MD ⊥平面PAC ,则MD →∥n ．因为MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12,所以a ＝2．又因为0≤a ≤1,所以不存在点P 使MD ⊥平面PAC ．B 级——能力提升练11．如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,AA 1＝3,AD ＝22,P 为C 1D 1的中点,M 为BC 的中点,则△APM 的面积为( )A ． 2B ．3C ．2 2D ．2 3【答案】B【解析】以D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．依题意得D (0,0,0),P (0,1,3),C (0,2,0),A (22,0,0),M (2,2,0),所以PM →＝(2,1,－3),AM →＝(－2,2,0)．所以PM →·AM →＝(2,1,－3)·(－2,2,0)＝0,即PM →⊥AM →,所以AM ⊥PM ．又因为|AM →|＝（－2）2＋22＋02＝6,|PM →|＝22＋12＋（－3）2＝6．所以S △APM ＝12|AM →|·|PM →|＝12×6×6＝3．12．(多选)(2022年淄博期末)在空间直角坐标系Oxyz 中,平面α的法向量为n ＝(1,1,1),直线l 的方向向量为m ,则下列说法错误的是( )A ．若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1,则l ∥αB ．若m ＝(1,0,－1),则l ⊥αC ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内 【答案】ABD【解析】对于A 选项,m ·n ＝－12－12＋1＝0,所以m ⊥n ,故l ∥α或l ⊂α,故A 错误；对于B 选项,m ·n ＝1＋0－1＝0,所以m ⊥n ,故l ∥α或l ⊂α,故B 错误；对于C 选项,由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零,故平面不与坐标轴确定的平面平行,所以平面α与所有坐标轴相交,故C 正确；对于D 选项,由于法向量不能确定平面的具体位置,故不能确定原点O 与平面α的关系,故D 错误．故选ABD ．13．已知AB →＝(1,5,－2),BC →＝(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →＝(x －1,y ,－3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为________．【答案】407,－157,4【解析】由题意可知BP →⊥AB →,BP →⊥BC →,所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·BC →＝0，BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1×3＋5×1＋（－2）×z ＝0，（x －1）＋5y ＋（－3）×（－2）＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，解得x ＝407,y ＝－157,z ＝4．14．(2021年北京期中)如图,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．CD ＝CC 1＝1,则A 1C 与平面C 1BD ________(填“垂直”或“不垂直”)；A 1C 的长为________．【答案】垂直6【解析】设CB →＝a ,CD →＝b ,CC 1→＝c ,由题意可得CA 1→＝a ＋b ＋c ,则CA 1→·BD →＝CA 1→·(CD →－CB →)＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝b 2－a 2＋c ·b －c ·a ＝||c ·||b cos60°－||c ·||a cos60°＝0,∴CA 1⊥BD ,同理可证CA 1⊥BC 1,∵BD ∩BC 1＝B ,故CA 1⊥平面C 1BD ．∵∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°,CD ＝CC 1＝1,∴CD ＝CB ＝CC 1＝1,∴CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )＝1＋1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6,∴CA 1→＝6,即A 1C 的长为6．15．如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ,NB ⊥平面ABCD ,且MD ＝NB ＝1,E 为BC 的中点．在线段AN 上是否存在点S ,使得ES ⊥平面AMN?解：如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系．依题意,易得A (1,0,0),M (0,0,1),N (1,1,1),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0． 假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ． 因为AN →＝(0,1,1),可设AS →＝λAN →＝(0,λ,λ)． 又因为EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0,所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ．由ES ⊥平面AMN ,得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，故λ＝12,此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12,|AS →|＝22．经检验,当AS ＝22时,ES ⊥平面AMN ． 故线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ．。
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（2） k 1 ，即 PA 2a ，∴ h
2 2 7 ∴ PA a ， 0 ， a 2 2
7 a 2
，
， 1 ， 可求得平面 PBC 的法向量 n 1 PA · n 210 ∴ cos PA ，n 30 PA n
空间向量提升训练 一、选择题 1．空间的一个基底 a，b，c 所确定平面的个数为（ Ａ．1 个 答案：Ｃ Ｂ．2 个 Ｃ．3 个 ） Ｄ．4 个以上
2．已知 A(1， 2， 1) 关于面 xOy 的对称点为 B ，而 B 关于 x 轴的对称点为 C ， 则
BC （ 4， 2) Ａ． (0，
x1 x2 )
R
答案：Ｄ
4． MB， MC 的起点与终点 M，A，B，C 互不重合且无三点共线， O是 若向量 MA，
MB， MC 成为空间一组基底的关系是（ 空间任一点，则能使 MA，
与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则
．
6 4
答案：
16．已知 m，l 是异面直线，那么： ①必存在平面 过 m 且与 l 平行； ②必存在平面 过 m 且与 l 垂直； ③必存在平面 与 m，l 都垂直； ④必存在平面 与 m，l 距离都相等． 其中正确命题的序号是 答案：①④ ．
∴ OA OB，OA OP，OB OP ．
以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 O xyz ． 设 AB a ，则 A
2 2 2 a， 0， 0 ，B 0， a， 0 ，C a， 0， 0 ． 2 2 2
2
） Ｄ． 2
7
Ｂ． 2
3
Ｃ． 2
5
答案：Ｄ
9． ABCD 为正方形， P 为平面 ABCD 外一点， PD AD，PD AD 2 ，二面角
P AD C 为 60° ，则 P 到 AB 的距离为（
） Ｄ．
7
Ａ． 2
2
Ｂ．
3
Ｃ．2
答案：Ｄ
10 ． 已 知
p ( x，y，z )，q (a，b，c)( xyz 0，abc 0)
y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ， D(0， 0，， 0) B(2， 4，， 0) A(2， 0，， 0) C (0， 4，， 0) E (2， 4，， 1) C1 (0， 4， 3) ， 0，z ) ． 设 F (0， 0，z ) (2， 0， 2) ， 由 AF EC1 ，得 (2， ∴z 2． ∴ F (0， 0，， 2) BF (2， 4， 2) ． ∴ BF 2 6 ． · AE 0， n1 1) ，由 （2）设 n1 为平面 AEC1 F 的法向量， n1 ( x，y， · AF 0， n1 ， x 1 4 y 1 0， ∴ 1 2 x 2 0． y ． 4 0， 3) ，设 CC1 与 n1 的夹角为 又 CC1 (0，
．
∴ x 2 3 （ x 2 3 不合题意，舍去）． ∴ AE 2 3 ．
20．如图 5 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长
方体被
截面 AEC1 F 所截而得到的，其中 AB 4，BC 2，CC1 3，BE 1 ． （1）求 BF ； （2）求点 C 到平面 AEC1 F 的距离． 解：（1）以 D 为原点， DAF，DC，DF 所在直线为 x 轴，
答案：Ｃ
5． 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 1，E 是 A1 B1 的中点， 则 E 是平面 ABC1 D1 的 距离是（ Ａ．
3 2
） Ｂ．
2 2
Ｃ． 1
2
Ｄ．
3 3
答案：Ｂ
6．一条长为 a 的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面 所成的角分别是 45° 和 30° ，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂 足的距离是（ Ａ． a
2
）
3
Ｂ． a
Ｃ．
2a 2
Ｄ．
2a 3
答案：Ａ
7．若向量 a 与 b 的夹角为 60° ，b Ａ． 2 答案：Ｃ Ｂ．4 Ｃ．6
4 ， (a 2b)(a 3b) 72 ，则 a （
）
Ｄ．12
8．设 P 是 60° 的二面角 l 内一点， PA 平面 ， PB 平面 ， A，B 为 垂足， PA 4，PB 2 ，则 AB 的长为（ Ａ． 4
12．如图 1，梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，且 AB 平面 ，
AB 2 BC 2CD 4 ，点 P 为
内一动点，且 APB DPC ，则 P 点的轨迹为
（
） Ｂ．圆 Ｄ．双曲线
Ａ．直线 Ｃ．椭圆 答案：Ｂ
二、填空题 13．已知 a (1 t， 1 t，t )，b (2，t，t ) ，则 b a 的最小值是 答案： 3
5 5
．
14．在棱长为 a 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，向量 BA1 与向量 AC 所成的角 为 答案： 120° ．
15．如图 2，在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，已知 AB 1，D 在棱
BB1 上，且 BD 1 ，若 AD sin
又∵ a b ，∴ x1 y2，x2 y1 ．
∴ cos a，b a · b 1 a · b x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 ， a b 2
∴ a，b 60° ．
18．如图 3，已知直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 2 ，底面 ABCD 是直角梯 形， ADC 是直角， AB ∥ CD，AB 4，AD 2，DC 1 ，求异面直线 BC1 与 DC 所 成角的大小． 解： 以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴， 轴， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ，
1 ． 7
．
设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ， 则 sin cos
210 PA ，n 30
．
210 30
∴ PA 与平面 PBC
所成的角为 arcsin
．
（3） △PBC 的重心 G
2 2 1 2 2 1 a， a， h a， a， h ，∴ OG ， 6 6 3 6 3 6
三、解答题 17．设空间两个不同的单位向量 a ( x，y1，， 0) b ( x2，y2， 0) 与向量 c (111) ， ， 的夹 角都等于 π ．
4
解：（1）由 ac a
∴ x1 y1 6 2
c cos
π 6 4 2
，且 a · c x1 y1 ，
．
又a
， 若 有 等 式 ）
( x 2 y 2 z 2 )(a 2 b 2 c 2 ) (ax by cz ) 2 成立，则 p，q 之间的关系是（
Ａ．平行 答案：Ａ
Ｂ．垂直
Ｃ．相交
Ｄ．以上都可能
11．已知平面 与 所成二面角为 80° ，P 为 ， 外一定点，过点 P 一条直 线与 ， 所成的角都是 30° ，则这样的直线有且仅有（ Ａ．1 条 Ｃ．3 条 答案：Ｄ Ｂ．2 条 Ｄ．4 条 ）
设平面 D1 EC 的法向量为 n (a，b，c) ，
· D1C 0， 2b c 0， n 由 n · CE 0 a b( x 2) 0，
令 b 1 ，∴ c 2，a 2 x ．
∴ n (2 x， 1 ， 2) ． · DD1 π n 2 2 依题意 cos 2 2 4 n DD1 2 2 ( x 2) 5
0，h) ． 设 OP h ，则 P(0， 2 1 ∵ D 为 PC 的中点，∴ OD a ， 0 ， h ． 4 2 2 1 PA a， 0， h ，∴ OD PA ． 2 2 ∴ OD ∥ PA ，∴ OD ∥平面 PAB ．
得
，
CC1 · n 4 33 则 cos 1 33 CC1 n ∴ C 到平面 AEC1 F
．
33 11
的距离 d CC1 cos 4
．
21．如图 6，在三棱锥 P ABC 中， AB BC ， AB BC kPA ，点 O，D 分别是
x12 y12 1 ， 3 ． 2
∴ ( x1 y1 ) 2 x12 y12 2 x1 y1 1 2 x1 y1 ∴ x1 y1 1 ． 4
（4）同理可得 x2 y2
∴ x1，y1 是方程 x 2
6 1 ，x2 y2 ， 2 4
6 1 x 0 的两根，同理 x2，y2 也是． 2 4
）
4， 2) Ｂ． (0， 4， 0) Ｃ． (0， 0， 2) Ｄ． (2，
答案：Ｂ
3．已知向量 a ( x1，y1，z1 )，b ( x2，y2，z2 ) ，若 a b ，设 a b 夹角的余弦值为（ Ａ． x1 x2
R R
R ，则 a b 与 x 轴
） Ｃ．
0，， 1) D1 (0， 0，， 1) E (1 ，x，， 0) A(1 ， 0，， 0) C (0， 2， 0) ． 则 A1 (1， ∴ CE (1 ，x 2，， 0) D1C (0， 2， 1)， DD1 (0， 0， 1) ．
在直
1 ，， 2) B(2， 4，， 0) A(0， 1 ， 0) ． 则 C1 (0， ∴ BC1 (2， 3， 2) ， CD (0， 1 ， 0) ． y