用极坐标证三线段倒数的和差关系
三角函数的倒数关系
三角函数的倒数关系嘿，朋友们！今天咱们来唠唠三角函数里那些超有趣的倒数关系，就像是一场神秘的数学魔法秀。
你看啊，正弦函数sin和余割函数csc就像是一对欢喜冤家。
sin就像一个低调的小工匠，默默地在三角形的角落里计算着对边和斜边的比例。
而csc呢，就像是sin的超级大喇叭宣传员，不过是个反着来的宣传员。
csc 等于1除以sin，这就好比sin盖了个小房子，结果csc一下子把这个小房子变成了一个超级大的宫殿，而且是把小房子倒过来建的那种，超级夸张吧。
如果sin是一颗小小的星星，那csc就是想把这颗星星的光芒无限放大，但是是以一种完全相反的方式。
再来说说余弦函数cos和正割函数sec。
cos就像一个谨慎的守财奴，紧紧守着邻边和斜边的比例关系。
sec可就不一样啦，它像是一个爱捣蛋的魔术师，sec等于1除以cos。
就好像cos小心翼翼地捧着一个小盒子，sec一下子就把这个小盒子变成了一个巨大的魔法箱，还把小盒子翻了个底朝天。
要是cos是一个安静的小湖泊，sec就是想把这个小湖泊变成汹涌澎湃的大海，而且是通过一种很奇特的倒数方式。
还有正切函数tan和余切函数cot呢。
tan就像一个勇敢的登山者，在三角形的山坡上计算着对边和邻边的比例。
cot就像是tan的影子，但却是个调皮的影子。
cot等于1除以tan，这就好像tan辛辛苦苦爬上了一座高峰，cot呢，一下子把这座高峰变成了一个小小的土丘，而且还是倒立着的小土丘。
如果tan是一阵狂风，cot就是要把这阵狂风变成一缕微风，不过是以一种很滑稽的倒数变化。
这三角函数的倒数关系啊，就像是一场奇妙的数学马戏表演。
每个函数都有自己的角色，而它们的倒数关系就像是突然的角色大反转。
有时候感觉它们像是在互相开玩笑，你弄个小的，我就给你变成个超级大的；你是正的，我就给你弄成倒着的。
不过正是这种奇妙的关系，让三角函数的世界变得更加丰富多彩，充满了无限的趣味和惊喜。
每次研究它们的时候，就感觉像是进入了一个充满奇思妙想的数学童话世界，那些函数就像是童话里的小精灵，跳着独特的数学舞蹈呢。
用极坐标证三线段倒数的和差关系
一
双曲线 的离 心率 ｅ 的最 大值 为 （
（ ） Ａ ４
．
）
２时 ， ４ 即过 点 Ｐ（ ， ） Ｙ一 ， ２ ４ 的切线 的斜率 为 ４ ，
（ 导 （ ２ （ ． Ｂ ． ｃ ． Ｄ７ ） ） ）
化 整 得Ｉｓ 一（＋詈＋ａ 一 简 理 Ｄ［ ａ ｃＯ ｏ ） ］
例 ２ 连结 正 ＡＡ ＢＣ 的外接 圆劣 上 一
２ ｃ ｓｃ ｓ３ ａ ， 是 Ａ 的法 线 式 方 程 ， 法 ｒｏａｏ （ ｑ ） 这 － Ｂ 故
线距
点 Ｐ 与 Ｃ 的线 段 Ｃ 交 ＡＢ于 Ｄ， 证 ：１ ＋ Ｐ 求 雨 ＝而 １
总
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Ａ。√ ＋ 一ｒ ・ｓ ｏ 一 ２ ｒ。 ） Ａ ・ ｃ 一 一 （
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期
例 ９ （０４ ２０ 年重庆卷） 已知曲线 Ｙ一÷ ＋ 。
一
１（ ０ ｂ Ｏ 的左 、 口＞ ， ＞ ） 右焦 点分 别为 Ｆ Ｆ ， 、 ２点
Ｐ在双 曲线 的右支 上 ， Ｉ ｌ 一 ４Ｉ Ｆ ， 且 Ｆ Ｐ Ｉ Ｐ 。Ｉ则此
丢， 则过点 Ｐ２４ 的 （， 切线方程是— — ． ）
．
掣
ＰＤ 一 ２ ｃ ｓ ｃ ｓ ３ ＋ 口 ， ｒｏ ａｏ （ ）
（ ９ ｏ年 山西省初 中数学竞 赛预赛 题 ） １９
极坐标与参数方程知识讲解
参数方程和极坐标系一、 知识要点一曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点Mx ,y 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数．二常见曲线的参数方程如下： 1．过定点x 0,y 0,倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= t 为参数其中参数t 是以定点Px 0,y 0为起点,对应于t 点Mx ,y 为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义,有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在x 0,y 0,半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= θ为参数3．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == θ为参数 或 θθsin cos a y b x ==中心在点x0,y0焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的双曲线：θθtg sec b y a x == θ为参数 或 θθec a y b x s tg ==5．顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== t 为参数,p ＞0直线的参数方程和参数的几何意义过定点Px 0,y 0,倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x t 为参数．极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向通常取逆时针方向;对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对ρ, θ就叫做点M 的极坐标;这样建立的坐标系叫做极坐标系;2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应惟一点P ρ,θ,但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P ρ,θ极点除外的全部坐标为ρ,θ＋πk 2或ρ-,θ＋π)12(+k ,∈k Z ．极点的极径为0,而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ＜π2或ρ<0,π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a5、极坐标与直角坐标互化公式：例题参数方程例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ,以分点Mx ,y 分21M M 所成的比λ为参数,写出参数方程;2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233t 为参数的倾斜角是3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x t 为非零常数,α为参数表示的曲线是4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x θ为参数,则椭圆上一点 P 25,32-的离心角可以是 A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 例3. 将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y t x 222,②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ,③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ,④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ,⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．例4. 直线3x －2y ＋6=0,令y = tx ＋6t 为参数．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x （1） 若t 为参数,ϕ为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离；（2） 若ϕ为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率; 例6. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点,使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大． 例7. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ,使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短或最长．例8.已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=ty t x 4231与双曲线y-22-x 2=1相交于A 、B 两点,P 点坐标P-1,2;求：1|PA|.|PB|的值； 2弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离;例9.已知A2,0,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动,且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程;例10.已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+y-62=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值,并求出此最大值;例11.已知直线l 过定点P-2,0,与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点;1若P 为线段AB 的中点,求直线l 的方程；2若l 绕P 点转动,求AB 的中点M 的方程.例12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P,使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由;例题极坐标系例1讨论下列问题：1．在同一极坐标系中与极坐标M －2, 40°表示同一点的极坐标是 A －2, 220° B －2, 140° C 2,－140° D 2,－40°2．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A 4,0°, B －4,－120°, C 23＋2, 30°,则△ABC 为 ;A 正三角形B 等腰直角三角形C 直角非等腰三角形D 等腰非直角三角形3．在直角坐标系中,已知点M －2,1,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,当极角在－π,π 内时,M 点的极坐标为 A 5,π－argtg －21B －5,argtg －21C －5,π－argtg 21D 5,－π＋argtg 21例2..把点)4,3(),6,5(ππ--B A 的极坐标化为直角坐标;例3.把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标;例4.已知正三角形ABC 中,顶点A 、B 的极坐标分别为)2,3(),0,1(πB A ,试求顶点C 的极坐标;例5.化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程; 例6.化圆锥曲线的极坐标方程θρcos e i ep-=为直角坐标方程;例7.讨论下列问题：1．在极坐标系里,过点M 4,30°而平行于极轴的直线 的方程是 A θρsin ＝2 B θρsin ＝－2 C 2cos =θρ D 2cos -=θρ2．在极坐标系中,已知两点M 14,arcsin 31,M 2－6,－π－arccos －322,则线段M 1M 2的中点极坐标为 A －1,arccos 322 B 1, arcsin 31C －1,arccos －322D 1,－arcsin 313. 已知P 点的极坐标是1,π,则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ; A ρ=1 B ρ＝cos θ C ρcos θ=－1 D ρcos θ=14. 若ρ>0,则下列极坐标方程中,表示直线的是 ; A θ=3π B cos θ=230≤θ≤π C tg θ=1 D sin θ=10≤θ≤π 5. 若点A －4, 67π与B关于直线θ=3π对称,在ρ>0, －π≤θ<π条件下,B 的极坐标是 ;6. 直线ρcos θ－4π=1与极轴所成的角是 ;7. 直线ρcos θ－α=1与直线ρsin θ－α=1的位置关系是 ;8. 直线y =kx ＋1 k <0且k ≠－21与曲线ρ2sin θ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是 ;A 0B 1C 2D 3 例8.讨论下列问题；1. 圆的半径是1,圆心的极坐标是1, 0,则这个圆的极坐标方程是 ; A ρ＝cos θ B ρ＝sin θ C ρ＝2cos θ D ρ＝2sin θ2. 极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是 ; A 2 B 2 C 1 D22 3. 在极坐标系中和圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程是 A ρsin θ=2 B ρcos θ=2 C ρsin θ=4 D ρcos θ=4 4．圆ρ＝D cos θ－E sin θ与极轴相切的充分必要条件是 AD ·E ＝0 BD 2＋E 2＝0 CD ＝0,E ≠0 DD ≠0,E ＝05．圆=ρ23sin θ－2cos θ的圆心的极坐标为 ; 6. 若圆的极坐标方程为ρ=6cos θ,则这个圆的面积是 ; 7. 若圆的极坐标方程为ρ=4sin θ,则这个圆的直角坐标方程为 ; 8. 设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的极坐标为－4, 0,则这个圆的极坐标方程为 ; 例9.当a 、b 、c 满足什么条件时,直线θθρsin cos 1b a +=与圆θρcos 2c =相切例10.试把极坐标方程cos 62sin 32cos =-+θθρθρm 化为直角坐标方程,并就m 值的变化 讨论曲线的形状;例11.过抛物线y 2=2px 的焦点F 且倾角为θ的弦长|AB|,并证明：||1||1FB FA +为常数学; 例12.设椭圆左、右焦点分别为F 1、F 2,左、右端点分别为A 、A ’,过F1作一条长度等于椭圆短轴弦MN,设MN 的倾角为α.1若椭圆的长、短轴的长分别为2a,2b,求证：;cos 2b a a +=α2若|AA ’|=6,|F 1F 2|=24,求α.例13.求椭圆12222=+by a x的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值;。
极坐标
By 昆仑路远
这个东西在高考范围其实不用钻的很深，会用就好了，需要注意的就是各种曲 线的极坐标方程以及各参数的几何意义。 什么是极坐标呢，我也不知道。我只知道把一条长为ρ的线段 OP 从水平零角绕 它的一个端点 O 转，这个端点 O 叫极点，从 O 延伸的一个标准方向的坐标轴 叫极轴（极坐标系只有一根坐标轴）线段的长度ρ叫极径。另一个端点 P 对应 转的角度θ（极角）和它的长度ρ 就是对应的“坐标”记为 P（ρ，θ） 。自己感 受下画画图。 那曲线的极坐标呢？首先选定极点，还有单位长度与角度单位。这个很重要， 以椭圆为例，可以选中心为极点，也可以选焦点为极点。对应的极坐标是不一 样的！ 想象一下，长短不一的线段，有同样的端点，那么把他们的另一个端点连起来 就形成曲线，曲线上每一点都有对应的坐标。因为角度关系，所以非极点的坐 标不唯一。 注：极角与极径有正负！！详见课本。
这一般是第一问。如果纯考极坐标一般有一下几种题型： 给另外一个点 Q 与 P 共线，给出各种线段关系，例如 OP，OQ， PQ 此类
题往往化简成 OP=多少倍的 OQ，因为 O 为极点，且 PQ 共线，那么他们公用 一个极角，这个长度关系就是极径的关系。
P 2出自《高考数学你真的掌握了吗》圆锥曲线篇 第二章）
x cos y sin 接 2 2 2 下来就是最重要的三个等式让极坐标和直角坐标联系 x y
起来 怎么来的？我们不妨以极轴为 x 轴，过 O 作 y 轴形成直角坐标系，那么 P 点 在这里应该表示为（x，y） ，把 PO 连接，过 P 分别作 x y 轴垂线，由三角函数 关系可推知上述等式。记不清上面的 xy 和 sin cos？不妨画个图。有了这个等 式，我们就可以暴力破解题目了。 常见题目，给出一个圆的直角方程，或者给出半径和圆心位置，让你写它的极 坐标方程，这种题目一般有两种做法，老师和高手喜欢用一种高大上的几何意 义来解决，通俗地讲就是先画图，利用正弦定理表达出ρ与θ的关系。但是对于 掌握不好的同学就不要强行装逼了。老老实实用上面的三个等式暴力破解吧。 记得用辅助角公式化简哈
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： 3、 参数方程{cos sin x r y r θθ==表示什么曲线？4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？Ⅱ 题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化(3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t tt tx t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t与2t-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()()222222224t t t t x y ---=--+=-，即有224y x -=，又注意到202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A 化为普通方程为[][]2101101xy x y +-=∈-∈，，，，；对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101xy x y +-=∈-∈，，，，.而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B.练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t ⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0∆≥问题.解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足222312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t⎧+=⎨+=⎩的公共解，依题意得()221182120y t y t -⋅+-=，由()22644112120t t ∆=-⨯⨯-≥，解得：t ≤2x y +，最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222cos sin x y x yy tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ. 例2、极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由21cos 4sin 422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，化为直角坐标系方程为25x =，化简得22554y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.练习1、已知直线的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是解析：极点的直角坐标为()0,0o ，对于方程sin 4πρθρθθ⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=，因此点到直线的距离为2练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或x D ．1y = 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或，因此选C.练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈解析：2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标，因此选C.（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x 得∴曲线1C 的普通方程为10)2(22=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22+=∵θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x∴y x y x 6222+=+，即10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C∴两圆相交设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C∴222)10()223()2(=+d∴22=dDAFEOBC∴公共弦长为22练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程． 解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x（Ⅱ）()θ+θ=ρsin cos 32（4）利用参数方程求值域例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
三角函数和差公式大全及推导过程
三角函数和差公式大全及推导过程三角函数的和差公式包括正弦函数的和差公式、余弦函数的和差公式、正切函数的和差公式等等，接下来分享三角函数和差公式大全及推导过程。
三角函数的和差化积公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cossinbcos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)三角函数的和差公式推导过程sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)] (1)两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)] (2)cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb两式相加得：cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)] (3)两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)] (4)用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b就可得到和差化积的四个式子。
如：(1)式可变为：sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]其它依次类推即可。
三角函数关系公式三角函数平方关系公式sin²α+cos²α=1cos²a=(1+cos2a)/2tan²α+1=sec²α三角函数倒数关系公式tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数商数关系公式tana=sina/cosa cota=cosa/sina。
三角形三边倒数之和
三角形三边倒数和
哎，说起这个三角形三边倒数和，咱们得先从几何图形聊起。
你看嘛，三角形，就是三条边围起来的一个形状，简单得很。
但是，你别看它简单，里头学问大得很嘞！
咱们今天不讲啥子勾股定理啊，也不扯啥子等腰三角形，就专门来摆一摆这个三边倒数和的事儿。
啥子叫三边倒数和呢？就是说，你把三角形三条边的长度分别记下来，然后分别求它们的倒数，再把这三个倒数加起来，就得到了三边倒数和。
你肯定要问，这个三边倒数和有啥子用嘛？嘿，你别说，它在数学里头还真是个宝贝。
有些问题，看起来复杂得很，但是只要你把这个三边倒数和用上去，嘿，一下子就变得简单明了了。
比如说嘛，你遇到一个三角形，晓得它的三边长度，但是不知道它的面积，咋办呢？这个时候，你就可以用这个三边倒数和来帮忙。
虽然不能直接算出面积，但是它可以帮你找到一些线索，让你离答案更近一步。
当然咯，这个三边倒数和也不是万能的，它也有它的局限性。
但是，在解决某些特定问题的时候，它真的是个得力助手。
所以啊，咱们学数学，不能只盯着那些表面的东西，还得深入进去，看看里头到底有啥子奥秘。
就像这个三角形三边倒数和一样，虽然不起眼，但是关键时刻能派上大用场。
咱们得多留心，多学习，才能在这个数学的世界里头游刃有余嘛！。
和差公式的推导过程
和差公式的推导过程和差公式是初中数学中的一个重要概念，用于简化三角函数的求解过程。
它主要用于求解两个角的正弦、余弦、正切等三角函数的和与差的关系。
下面我将详细介绍和差公式的推导过程。
我们来考虑两个角A和B的和的情况。
假设角A的正弦、余弦、正切分别为sinA、cosA、tanA，角B的正弦、余弦、正切分别为sinB、cosB、tanB。
根据三角函数的定义，我们知道：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这就是角A和角B的和的正弦、余弦、正切的和差公式。
接下来，我们来考虑两个角A和B的差的情况。
同样假设角A的正弦、余弦、正切分别为sinA、cosA、tanA，角B的正弦、余弦、正切分别为sinB、cosB、tanB。
根据三角函数的定义，我们知道：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这就是角A和角B的差的正弦、余弦、正切的和差公式。
通过推导和差公式，我们可以看到，和差公式的推导过程主要是利用三角函数的定义以及一些基本的代数运算。
通过对角A和角B的正弦、余弦、正切的运算关系进行变换和整理，最终得到了和差公式的表达式。
和差公式在解决三角函数的求解问题中起到了重要的作用。
它可以将一个复杂的三角函数表达式转化为简单的正弦、余弦、正切的和差形式，从而方便我们进行计算和求解。
在实际应用中，和差公式常常用于解决三角函数的等式、方程、恒等式等各种问题。
通过灵活运用和差公式，我们可以简化计算过程，提高解题效率。
和差公式是初中数学中的一个重要概念，它能够简化三角函数的求解过程。
通过对角A和角B的正弦、余弦、正切的运算关系进行变换和整理，我们得到了和差公式的表达式。
最新极坐标与参数方程基础知识附重点题型
高中数学回归课本校本教材24（一）基础知识 参数极坐标1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。
2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：正弦定理sin sin OP OMOMP OPM=∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-；（2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；（3）圆锥曲线极坐标：1cos epe ρθ=-，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01e <<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。
极坐标方程324cos ρθ=-表示的曲线是 双曲线3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22221x y a b+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00cos sin x x y y t θθ--==， 即00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩注：0c o s x x t θ-=，0sin y y tθ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP 的数量00000()00.t l M M x y M M M M M M t M M t ><其中表示直线上以定点为起点，任意一点，为终点的有向线段的数量，当点在的上方时，；当点在的下方时，；如：将参数方程222sin (sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)化为普通方程为2(23)y x x =-≤≤ 将2sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是20sin 1θ≤≤；4. 极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 或222tan (0)xy yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. （1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。
三角函数中的三角函数关系与和差化积——三角学知识要点
三角函数中的三角函数关系与和差化积——三角学知识要点在数学中，三角函数是研究角度和角度与边长之间关系的重要工具。
而三角函数之间的关系以及和差化积是三角学中的重要知识点。
本文将详细介绍三角函数中的三角函数关系与和差化积的概念、公式以及应用。
一、三角函数关系在三角函数中，正弦函数、余弦函数、正切函数是最基本的三个函数。
它们之间存在着一些重要的关系，包括互为倒数关系和互为余函数关系。
1. 互为倒数关系正弦函数和余弦函数是互为倒数的关系，即：sin(x) = 1/cos(x)cos(x) = 1/sin(x)2. 互为余函数关系正弦函数和余弦函数是互为余函数的关系，即：sin(x) = cos(π/2 - x)cos(x) = sin(π/2 - x)这些关系在三角函数的计算和推导中经常被使用，能够简化计算过程，提高效率。
二、和差化积公式和差化积公式是指将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的乘积的公式。
和差化积公式在解三角函数的等式、方程时起到了重要的作用。
1. 正弦函数的和差化积公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2. 余弦函数的和差化积公式cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3. 正切函数的和差化积公式tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式的推导和证明可以通过三角函数的定义以及三角恒等式进行推导得出。
在解决三角函数的复杂运算时，和差化积公式能够将计算过程简化，提高计算的准确性和效率。
三、应用示例三角函数的三角函数关系与和差化积在实际问题中有着广泛的应用。
下面以一个具体的应用示例来说明其应用。
例：已知角A的正弦函数值为1/2，角B的余弦函数值为3/5，求角(A + B)的正切函数值。
解：根据已知条件可得：sinA = 1/2cosB = 3/5由互为倒数关系可得：cosA = 2/1 = 2sinB = 5/3利用和差化积公式可得：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)代入已知值计算可得：tan(A + B) = (1/2 + 5/3) / (1 - (1/2)(5/3))= (3/6 + 10/6) / (1 - 5/6)= 13/6 / 1/6= 13所以，角(A + B)的正切函数值为13。
初中几何线段和差辅助线做法以及口诀（截长补短）
初中几何线段和差辅助线做法以及口诀（截长补短）口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（法二：图1-2）延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边） (1)GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。
和差公式的推导过程
和差公式的推导过程和差公式是高中数学中常用的一个公式，用于求解两个角或两个数之间的和与差的关系。
它是通过三角函数的定义和性质来推导得出的。
下面我们来详细讲解一下和差公式的推导过程。
我们先来回顾一下三角函数的定义和性质。
在直角三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则正弦函数、余弦函数和正切函数的定义如下：正弦函数：sinA = a / c余弦函数：cosA = b / c正切函数：tanA = a / b根据三角函数的定义，我们可以得到以下几个性质：性质1：sin^2(A) + cos^2(A) = 1性质2：tan(A) = sin(A) / cos(A)接下来，我们来推导和差公式。
假设有两个角A和B，我们要求解这两个角的和与差的关系。
设和角为A + B，差角为A - B。
我们来求解和角的正弦值和余弦值。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(A + B) = (A + B)的对边 / (A + B)的斜边= (a + b) / ccos(A + B) = (A + B)的邻边 / (A + B)的斜边= (b + a) / c接下来，我们来求解差角的正弦值和余弦值。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(A - B) = (A - B)的对边 / (A - B)的斜边= (a - b) / ccos(A - B) = (A - B)的邻边 / (A - B)的斜边= (b - a) / c接下来，我们来计算和差角的正切值。
根据三角函数的性质2，我们有：tan(A + B) = sin(A + B) / cos(A + B)= ((a + b) / c) / ((b + a) / c)= (a + b) / (b + a)= 1tan(A - B) = sin(A - B) / cos(A - B)= ((a - b) / c) / ((b - a) / c)= (a - b) / (b - a)= -1通过上述推导，我们可以得出和差公式的结论：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这就是和差公式的推导过程。
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD是△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN则ABNC是平行四边形∴CN=AB=FA AC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠ACN=180°∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN ∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。
求证：DM=12AB 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 则 MN ∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN又 AN=DN=ND ∴DM=12AB 例3 △ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BF则 BF ∥12AC ∠A=∠DBF ∵AB=AC ，E 是AB 的中点∴BF=AE又DB=AC ∴△AEC ≌△BFD ∴DF=CE ∴CD=2CE作业：1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF=12FC 2、AB 和AC 分别切⊙O 于B 和C ，BD 是直径。
求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC 的AB=AC ，过C 作切线交AB 的延长线于D ，DE 垂直于AC 的延长线于E 。
极坐标复习
OP的反向延长线上取一点M使
|OM|=|ρ| ，M就是极坐标
θ
为(ρ,θ)的点。
|ρ| O
x
M
2、极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半
轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度
单位。
互化公式：
极坐标化为直角坐标
x cos
y
sin
直角坐标化为极坐标
y
M
2 x2 y2
Байду номын сангаас
tg
sin(-) sin(-)
oa
x = a—si—n——
sin(-)
M(ρ,θ)
0
o
x
=0 (0)
M(ρ,θ)
0
o
x
=0 (R)
•
• P(，) 直线的极坐标方程
•o a
x
• P(，)
a
a
•o •o
a
•o x
P(，) •
x
x • P(，)
cos =a cos= -a sin =a sin=-a
圆的极坐标方程
1
• 也可建立极坐标系解决。 • 点F为极点，x轴正半轴
o F2 B
x
• 为极轴，它的极坐标方程为
•
=
—1-c4—os— ，1=
1—-c4—os—/4—，2=
——4 —— 1-cos5/4
• |AB|= 1 + 2=…=16
•
P52 5•3 极坐标和直角坐标的互化
• 以直角坐标系xoy的
y
• 原点为极点，x轴的正方
例2.把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
y
• 极径取正值 =2
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z .八、抛物线的参数方程抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型1 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6πθ=(ρ∈R )的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6πθ=转化为平面直角坐标系中的方程为：y x =，即0x =.圆心(0,2)到直线0x ==. 变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，(0,0)2πρθ≥≤<，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.变式3已知一个圆的极坐标方程是5sin ρθθ=-，求此圆的圆心和半径. 例16.8 极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是（ ）A. 两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析 将极坐标方程化为直角坐标方程.解析 因为(1)()0(0)ρθπρ--=≥，所以1ρ=或θπ=(0)ρ≥.11ρ=⇒=，得221x y +=，表示圆心在原点的单位圆；(0)θπρ=≥表示x 轴的负半轴，是一条射线.故选C.变式1 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线 变式2 在极坐标系中，点(2,)6P π-到直线:sin()16l πρθ-=的距离是 .变式3 直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .题型2 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：22(2)4x y -+=.（1）在以O 为极点，x 轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆1C , 2C 的极坐标方程，并求出圆1C , 2C 的交点坐标（用极坐标表示）;（2）求出1C 与2C 的公共弦的参数方程.解析 （1）圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.24cos ρρθ=⎧⎨=⎩解得2ρ=，3πθ=±，故圆1C 与圆2C 的交点的坐标为(2,),(2,)33ππ-. 注：极坐标系下点的表示不唯一.（2）解法一：由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆1C 与圆2C 的交点的坐标分别为.故圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1(x t y t=⎧≤≤⎨=⎩.解法二： 将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而1cos ρθ=.于是圆1C 与2C 的公共弦的参数方程为1()tan 33x y ππθθ=⎧-≤≤⎨=⎩.变式1 曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极抽建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 _.题型3 参数方程化普通方程 思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是 . 解析 将圆的参数方程1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)化为普通方程22(1)(2)1x y -++=，圆心(1,2)-，半径1r =.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，|38|15m -+>|5|5m ⇒->，得10m >或0m <，即m 的范围是(,0)(10,)-∞+∞.变式 1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θ∈π），则圆C 圆心坐标为 _，圆心到直线l 的距离为 . 变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O 的极坐标方程分别为sin()4πρθ+=（m 为非零数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 . 变式3 参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数）的普通方程是 .例16.11 已知动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=（,a b 是正常数，a b ≠，θ是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆22:2cos 2sin 0C x y ax by θθ+--=得222222(cos )(sin )cos sin x a y b a b θθθθ-+-=+.圆心坐标为(cos ,sin )a b θθ（θ为参数），设cos x a θ=，sin y b θ=，则221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线变式2 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.题型4 普通方程化参数方程 思路提示对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线22y px =的参数方程222x pt y pt =⎧⎨=⎩）或三角换元（如椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩）.例16.12 在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.分析 利用椭圆的参数方程，建立,x y 与参数θ的关系，运用三角函数最值的求法，求解x y +的最大值.解析 点(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，则sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），[0,2]θ∈π，则sin x y θθ+=+2sin()3πθ=+，[0,2]θ∈π，故max ()2x y +=.变式1 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式2 直线l 过(1,1)P ，倾斜角6πα=.（1） 写出l 的参数方程；（2）l 与圆224x y +=相交于,A B 两点，求P 到,A B 两点的距离之积.变式3 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)M m 在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点.(1)若1m =时，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.题型5 参数方程与极坐标方程的互化 思路提示参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .分析 把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出切线l 的普通方程，然后把求出的直线l 的普通方程化为极坐标方程.解析 由22sin cos 1t t +=得曲线C 的普通方程为222x y +=，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为1-，所以切线l 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线l 的方程可得cos sin 20ρθρθ+-=sin()204πθ+-=，化简得sin()4πθ+=变式1 设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 .有效训练题 1.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆B. 两条直线C. 一条直线和一个圆D. 一个圆 2.圆cos )ρθθ=-的圆心的一个极坐标是（ ）A. (B. (2,)4πC. 3(2,)4π D. 7(2,)4π3.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是(2,)4A π，5(2,)4B π.那么顶点C 的坐标可能是（ ）A. 3(4,)4πB. 3)4πC. )πD. (3,)π4.直线的参数方程为sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 40B. 50C. 140D.1305.过点(2,3)A 的直线的参数方程为232x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则||AB =（ ）6.设曲线C 的参数方程23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C.3 D.4 7.已知直线l的极坐标方程为sin()42πρθ-=，圆M 的参数方程为22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩( θ为参数)，则圆M 上的点到直线l 的最短距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . 9.已知抛物线的参数方程为222x pt y pt=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p = .10.在极坐标系中，O 为极点，已知两点,M N 的极坐标分别为2(4,)3π，)4π,求△OMN 的面积. 11.已知椭圆221164x y +=，O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上的两动点，若OP OQ ⊥，求22||||OP OQ +的最大值.12. 已知曲线12cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2247:cos 016C ρθ-+=.（1）若,P Q 分别是曲线1C 和曲线2C 上的两个动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）若曲线1C 上与x 轴、y 轴的正半轴分别交于,A B 点，P 是曲线1C 上第一象限内的动点，O 是坐标原点，试求四边形OAPB 面积的最大值.。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
和差化积和积化和差公式之阿布丰王创作 正弦、余弦的和差化积2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都分歧，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮忙这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
三角函数的和差化积公式重点知识点归纳
三角函数的和差化积公式重点知识点归纳三角函数的和差化积公式是解决三角函数之间相互转化以及运算问题的重要公式之一。
它们在数学中应用广泛，既可以简化计算，又可以展示出三角函数之间的内在关系。
下面将对三角函数的和差化积公式进行重点知识点的归纳。
1. 余弦的和差化积公式：余弦函数的和差化积公式可以表示为：cos(A ± B) = cos A * cos B ∓ sin A * sin B当用cos(A + B)表示时，公式为：cos(A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B当用cos(A - B)表示时，公式为：cos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B这些公式表明，余弦函数的和差可以表示为两个余弦函数的乘积减去两个正弦函数的乘积。
2. 正弦的和差化积公式：正弦函数的和差化积公式可以表示为：sin(A ± B) = sin A * cos B ± cos A * sin B当用sin(A + B)表示时，公式为：sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B当用sin(A - B)表示时，公式为：sin(A - B) = sin A * cos B - cos A * sin B这些公式表明，正弦函数的和差可以表示为两个正弦函数的乘积加上两个余弦函数的乘积。
3. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的两倍表示为其他三角函数的函数表达式。
余弦的倍角公式：cos(2A) = cos²A - sin²A正弦的倍角公式：sin(2A) = 2sinA * cosA正切的倍角公式：tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan²A)4. 半角公式：半角公式可以将一个角的一半表示为其他三角函数的函数表达式。
余弦的半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]正弦的半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]正切的半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]5. 和差化积的逆公式：和差化积的逆公式可以将两个三角函数的乘积表示为和差的三角函数。
极坐标直角坐标互化公式是什么
极坐标直角坐标互化公式是什么在几何学和数学中，有两种常用的坐标系统：极坐标和直角坐标。
极坐标以极径和极角来表示一个点的位置，而直角坐标则使用水平和垂直的轴来表示位置。
在某些情况下，我们需要在这两种坐标系统之间进行转换，这就需要使用到极坐标直角坐标互化公式。
极坐标到直角坐标的转换公式当我们已知一个点的极坐标表示，我们可以使用如下的公式将其转换为直角坐标表示：水平坐标（x） = 极径 * cos(极角)垂直坐标（y） = 极径 * sin(极角)以极径为半径，以极角为角度，构成的极坐标可以看做是从原点开始的一条射线。
水平坐标代表这条射线与x轴的交点的横坐标，垂直坐标代表交点的纵坐标。
cos(极角)代表极径在x轴上的投影，sin(极角)代表极径在y轴上的投影。
直角坐标到极坐标的转换公式当我们已知一个点的直角坐标表示，我们可以使用如下的公式将其转换为极坐标表示：极径 = sqrt(水平坐标^2 + 垂直坐标^2)极角 = arctan(垂直坐标 / 水平坐标)这里，sqrt表示平方根，arctan表示反正切函数。
极径可以通过给定点的水平坐标和垂直坐标计算得到，它等于点到原点的距离。
极角可以通过给定点的水平坐标和垂直坐标计算得到，它等于点到x轴正向的角度。
举例说明为了更好地理解极坐标和直角坐标之间的转换过程，我们来看一个简单的例子。
假设有一个点P，其直角坐标为(3, 4)。
首先，我们可以使用转换公式将其转换为极坐标表示。
根据公式：极径 = sqrt(3^2 + 4^2) = 5极角= arctan(4 / 3) ≈ 0.93弧度所以，点P的极坐标表示为(5, 0.93)。
反过来，如果我们知道一个点的极坐标表示为(5, 0.93)。
使用转换公式可以将其转换为直角坐标表示：水平坐标= 5 * cos(0.93) ≈ 3垂直坐标= 5 * sin(0.93) ≈ 4所以，点P的直角坐标表示为(3, 4)。
通过这个例子，我们可以看到极坐标和直角坐标之间的转换是互逆的，即在执行转换后再逆向操作可以得到原来的坐标表示。