专题47 双曲线(押题专练)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料(解析版)

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。

专题15 椭圆、双曲线、抛物线(仿真押题)-2017年高考数学(文)命题猜想与仿真押题(原卷版)

1．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( ) A ． 2 5B ．2 6C ．6D ．82．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1、F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 3．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5B ．4 2C ．3D ．54．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22 B ．2－ 3C.5－2D.6－ 3 5．已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a －1＝1，随着a 的增大该椭圆的形状( ) A ．越接近于圆 B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆6． F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.22 C.12 D.327．已知a >b >0 ，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线 C 2 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为32，则C 1 、 C 2 的离心率分别为( )A.12，3B.22，62C.64，2D.14，2 3 8．设点P 是双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.10D.1029．若抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F ，M (3，3)且与l 相切的圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个10．已知M 是y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在C ： (x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1011．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段FA 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( ) A ．(0，±2) B ．(0，2) C ．(0，±4) D ．(0，4)12．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.13．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．14．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 为该抛物线上两点，若FA →＋2FB →＝0，则|FA →|＋2|FB →|＝________.15．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．16．已知离心率为355的双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的左焦点与抛物线y 2＝mx 的焦点重合，则实数m ＝________． 17．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b的最小值为________． 18．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．19．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1→|＋|PF 2→|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.20．设点F 1、F 2是双曲线x 2－y 23＝1的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为________．21.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上横坐标为12的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．(1)求抛物线的方程；(2)设过点P (6,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程．22.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的下顶点为B ，右焦点为F ，直线BF 与椭圆E 的另一个交点为A ，BF →＝3FA →.(1)求椭圆E 的离心率；(2)若点P 为椭圆上的一个动点，且△PAB 面积的最大值为23＋23，求椭圆E 的方程． 23．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB →·PD →＝0时，求点P 的坐标．。

专题13 圆锥曲线(押题专练)-2017年高考文数二轮复习精品资料(解析版)

1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C 【解析】2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B【解析】由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒cos 60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|＝4.4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C.3 D.62【答案】B5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝⎛⎭⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 【答案】B7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ， B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23【答案】B9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2ac a 2>a 2＋c 2a2＝1＋e 2，因为0<e <1，所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2，所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D11．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12【解析】12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－bax 联立得⎩⎨⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－b ax ，13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【答案】2【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝b a x ，根据题意得k PF ＝－ab，设P ⎝⎛⎭⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2c ，则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝⎛⎭⎫a c ＋c a 2－14⎝⎛⎭⎫a c 2＝1，即14⎝⎛⎭⎫1e ＋e 2－14·⎝⎛⎭⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 方法二：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±yb＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪c a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫±1b 2＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b 22，又距离之积为⎪⎪⎪⎪x 0a －y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫－1b 2·⎪⎪⎪⎪x 0a ＋y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝a 2b 2c 2，则a 2b 2c 2＝b 22， ∴a 2c 2＝12，e ＝ 2. 14．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－2 【解析】15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】 1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．【解析】：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4) 2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.18．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③20．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】：(1)证明：因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得：(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0，同理：(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－2＝0，所以k 1，k 2是方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1·k 2＝y 20－2x 20－2. 因为点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 206＋y 203＝1，即y 20＝3－12x 20，所以k 1k 2＝1－12x 20x 20－2＝－12为定值． (2)|OP |2＋|OQ |2是定值，定值为9.②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．方法二：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22，因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，即⎩⎨⎧y 21＝3－12x 21，y 22＝3－12x 22，所以⎝⎛⎭⎫3－12x 21⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝14x 21x 22，整理得x 21＋x 22＝6，所以y 21＋y 22＝⎝⎛⎭⎫3－12x 21＋⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝3，所以|OP |2＋|OQ |2＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．21．已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB 相交于一点(与A，B不重合)．(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．∴S四边形ACBD＝12|AB||x2－x1|＝2|m|2m2＋1＝22|m|＋1|m|≤22，当且仅当2|m|＝1|m|，即m＝±22时等号成立，此时n＝±62，经检验可知，直线y＝22x－62和直线y＝－22x＋62符合题意．22．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1，2)作抛物线C的弦AP，AQ.(1)若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ过点T(5，－2)，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由．(2)假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ.设直线PQ的方程为x＝my＋n.。

双曲线、椭圆、圆专题训练与答案

圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

江苏省2017年高考考前押题卷数学(文)试题(二)含答案

押题卷 ( 二 )
参考公式
样本数据 x1，x2，,
， xn 的方差
s2＝
1n ni＝ 1
(xi －
x )2，其中
1n
x
＝
ni
xi
＝1
.
棱柱的体积 V＝Sh，其中 S是棱柱的底面积， h 是高．
棱锥的体积
V＝
1 3Sh，其中
S 是棱锥的底面积，
h 是高．
一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在题
y＋1
5
故 x 的取值范围是 1，2 .]
10．已知 { an} ，{ bn} 均为等比数列，其前 n 项和分别为 Sn， Tn，若对任意的
n∈N*
，总有
STnn＝3n＋4
1 ，则
ab33＝________.
9 [设 { an} ，{ bn} 的公比分别为 q，q′，
∵
STnn＝
3n＋ 4
1 ，
∴
n＝1
时，

a1＝
b1.
a1＋a1q 5 n＝2 时， b1＋b1q′＝2.
a1＋ a1q＋ a1q2 n＝3 时， b1＋b1q′＋b1 q′2＝7. ∴2q－5q′＝ 3,7q′2＋7q′－q2－q＋6＝0，解得 q＝9，q′＝3， ∴ab33＝ ba1 1qq′22＝9.]
11．已知平行四边形 ABCD 中．∠ BAD＝ 120°，AB＝1，AD＝2，点 P 是线
∴AE＝
23，BE＝12，∴A
图2
1 9 [连结 B1D1，设 B1D1∩ A1C1＝ F，再连结 BF，平面 A1BC1∩平面 BDD 1B1
＝ BF，因为 E∈ 平面 A1BC1，E∈平面 BDD 1B1，所以 E∈BF，连结 BD，因为 F

高考数学《双曲线》专题检测试卷(含答案)

高考数学《双曲线》专题检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．过点()1,2P -的直线与双曲线2214x y -=的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．双曲线E ：2213y x -=的左，右顶点分别为,A B ，曲线E 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则mn =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．双曲线222:1(0)y C x a a-=>的上焦点2F 到双曲线一条渐近线的距离为2a ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A ．4-B ．4C ．2-D ．24．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右焦点为F ，点E 的坐标为(,b c a b ，则直线OE （O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦为AB ，若190AF B ∠= ，则双曲线的离心率为（）A ．522B 1-C 1D ．2226．已知双曲线C ：221169x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且6AB =，则1F AB 的周长为（）A ．20B ．22C ．28D ．367．已知点P 是双曲线2211620x y -=右支上的一点，点A B 、分别是圆22(6)4x y ++=和圆22(6)1x y -+=上的点．则PA PB -的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．98．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A．y =B．y x =C．y x =D．y x=二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知双曲线C ：()2220mx y m -=>，左右焦点分别为12,F F ，若圆()2248x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．若1PF x ⊥轴，则1PF =C ．若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F的周长为4+D ．存在双曲线C 上一点P ，使得点P 到C10．已知双曲线2222 :1(0)x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正确的是（）A ．MB ．M 的标准方程为2212x y -=C ．M的渐近线方程为y =D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且12π6MF F =∠，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π2F PF ∠=，则（）A．21e e =B．12e e =C ．221294e e +=D ．22211e e -=三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的标准方程为__________．13．已知双曲线1C ：()22210y x b b-=>与椭圆2C：(2221x y a a +=>有公共的焦点1F ，2F ，且1C 与2C 在第一象限的交点为M ，若12MF F △的面积为1，则a 的值为__________．14．设1F 、2F 为双曲线Γ：()222109x ya a -=>左、右焦点，且Γ，若点M 在Γ的右支上，直线1F M 与Γ的左支相交于点N ，且2MF MN =，则1F N =__________.四、解答题（共5小题，共77分）15．设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>，斜率为1的直线l 与Γ交于,A B 两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l 与Γ的一条渐近线交于点(P -．（1）求Γ的方程；（2）若l 过点(1,0)-，求||AB ．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为2（1）求双曲线C 的方程；（2）直线():1,0l y k x k =+>与双曲线C 有唯一的公共点，求k 的值．17．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB V 面积的取值范围．18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45︒．机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米）．在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为72的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S参考答案15．（1）2214y x -=（2）82316．（1）22124x y -=（2）k =2．17．（1）2213y x -=（2）证明略（3）⎦18．（1）(4,0)（2）没有“被抓”风险19．（1）22143x y -=（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭。

陕西省西安市第一中学2017届高三高考押题卷数学(文)(一)附答案解析

陕西省西安市第一中学2017届高三高考押题卷文科数学（一）本试题卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}|13A x x =<<，集合{}|2,B y y x x A ==-∈，则集合A B ＝（）A ．{}|13x x <<B ．{}|13x x -<<C ．{}|11x x -<<D ．∅【答案】D【解析】根据题意{}{}|2,|11,B y y x x A y y x A ==-∈=-<<∈，所以集合A B ＝∅．故选D ．2．已知复数z 在复平面对应点为()1,1-，则z ＝（） A ．1 B ．－1C 2D ．0【答案】C【解析】根据题意可得1i z =-+，则z 2．故选C ． 3．sin2040°＝（） A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】B【解析】()3sin 2040sin 6360120sin1202︒=⨯︒-︒=-︒=-．故选B ． 4．世界最大单口径射电望远镜FAST 于2016年9月25日在贵州省黔南州落成启用，它被誉为“中国天眼”，从选址到启用历经22年．FAST 选址从开始一万多个地方逐一审查，最后敲定三个地方：贵州省黔南州、黔西南州和安顺市境内．现从这三个地方中任选两个地方重点研究其条件状况，则贵州省黔南州被选中的概率为（） A ．1 B ．12C ．13D ．23【答案】D【解析】从三个地方中任选两个地方，基本事件总数3n =，贵州省黔南州被选中基本事件个数2m =，∴贵州省黔南州被选中的概率23P =．故选D ． 5．《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3．14） A ．12．656B ．13．667C ．11．414D ．14．354【答案】A【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：()25.4 1.6310.5 1.612.656V =-⨯⨯+π⋅⨯≈立方寸．故选A ．6．在等差数列{}n a 中，若35791145a a a a a ++++=，33S =-，那么5a 等于（） A ．4 B ．5C ．9D ．18【答案】B【解析】因为35791145a a a a a ++++=，所以7545a =，所以79a =，因为33S =-，所以21a =-，所以公差7225a a d -==，所以5235a a d =+=．故选B ． 7．已知函数()2ln f x x x =-，则函数()y f x =的大致图象是（）A BC D 【答案】C 【解析】因为()()2ln f x x x f x -=-=，所以函数()y f x =为偶函数，所以排除D ，又()10f x =>，所以排除A 、B ，故选C ．8．根据下列流程图输出的值是（） A ．11B ．31C ．51D ．79【答案】D【解析】当n ＝2时，2122a a ==，()2212132a S S+=+=，当n ＝3时，3224a a ==，()33231112a S S+=+=，当n ＝4时，4328a a ==，()44341312a S S+=+=，当n ＝5时，54216a a ==，()55451792a S S+=+=，输出．故选D ．9．已知单位向量,a b 满足a b ⊥，向量21,m a t b n ta b =--=+，（t 为正实数），则m n ⋅的最小值为（） A ．158B ．52C ．154D ．0【答案】A【解析】由题意可得，()()22212211m n a t b ta b ta a b t t a b t b ⋅=--⋅+=+⋅--⋅--，而a b ⊥，所以0a b ⋅=，1a b ==，所以21m n t t ⋅=-，设10k t =-≥，则()210t k k =+≥，所以()221152121248m n t t k k k ⎛⎫⋅=-=+-=-+ ⎪⎝⎭，因为0k ≥，所以158m n ⋅≥．故选A ．10．若x ，y 满足约束条件13030x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤，设224x y x++的最大值点为A ，则经过点A 和B (2,3)--的直线方程为（） A ．3590x y --= B ．30x y +-=C ．30x y --=D ．5390x y -+=【答案】A【解析】在直角坐标系中，满足不等式组13030x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤可行域为：()2222424z x y x x y =++=++-表示点()2,0P -到可行域的点的距离的平方减4．如图所示，点()3,0到点()2,0-的距离最大，即()3,0A ，则经过A ，B 两点直线方程为3590x y --=．故选A ．11．已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C ．221416x y -= D ．2211636x y -= 【答案】C【解析】如下图，由题意可得c =，设右焦点为F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠F AO ，∠OF ′A ＝∠OAF ′，所以∠AFF ′+∠OF ′A ＝∠FAO +∠OAF ′，由∠AFF ′+∠OF ′A +∠FAO +∠OAF ′＝180°知，∠FAO +∠OAF ′＝90°，即AF ⊥AF ′．在Rt △AFF ′中，由勾股定理，得'8AF ==，由双曲线的定义，得|AF ′|－|AF |＝2a ＝8－4＝4，从而a ＝2，得a 2＝4，于是b 2＝c 2－a 2＝16，所以双曲线的方程为221416x y -=．故选C ．12．已知函数()2ln xf x x x=-，有下列四个命题，①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 在()(),00,-∞+∞是单调函数；③当0x >时，函数()0f x >恒成立； ④当0x <时，函数()f x 有一个零点，其中正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①函数()f x 的定义域是()(),00,-∞+∞，()2ln xf x x x-=+，不满足函数奇偶性定义，所以函数()f x 非奇非偶函数，所以①错误；②取1x =-，1x =，()1f -()11f ==，所以函数()f x 在()(),00,-∞+∞不是单调函数，所以②错误；③当x ＞0时，()2ln x f x x x=-，要使()0f x >，即2ln 0x x x ->，即3ln 0x x ->，令()3ln g x x x =-，()'213g x x x=-，()'0g x =，得x =()g x在⎛ ⎝上递减，在1⎛⎫+∞⎪⎪⎭上递增，所以()10g x g ⎛⎫>≥，所以③正确；④当0x <时，函数()2ln x y x x -=-的零点即为()2ln 0x x x--=的解，也就是()3ln 0x x --=，()3ln x x =-等价于函数()3f x x =与函数()()ln h x x =-图像有交点，在同一坐标系画出这两个函数图像，可知他们只有一个交点，所以④是正确的．故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．【答案】－2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2．2.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】取，则，直线为，，即，∴，∴，∴，由，∴.【考点】双曲线的标准方程、两直线垂直的充要条件.3. [2014·大同模拟]设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为() A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】双曲线的渐近线y＝±x，所以a＝2，选C项．4.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.5.若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的焦点坐标是，，抛物线的焦点坐标是所以，或得故选【考点】抛物线和双曲线的焦点.6.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由|AB|=，则，把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以a2=4，a=2，所以实轴长2a=4，选C.7.已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线是，代入双曲线方程得，，所以，解得．【考点】曲线的交点，三角形的面积．8.已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得，．因为，所以．这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2，且小于．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到的距离大，到的距离小)，这里a＝1，c＝3，则，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为．9.已知，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】双曲线方程可化为，即，因此双曲线的半实轴长为2，半虚轴长为1，所以半焦距为，所以离心率为.【考点】双曲线的标准方程及几何性质.10.的右焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的右焦点为，由点到直线的距离公式得右焦点到直线的距离为.【考点】双曲线的焦点及点到直线的距离.11.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( )A． B． C D【答案】B【解析】由题得,设点,由于点A,B为过原点的直线与双曲线的焦点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即.则,由于点A,C都在双曲线上,故有,两式相减得.则,对于函数利用导数法可以得到当时,函数取得最小值.故当取得最小值时, ,所以,故选B【考点】导数最值双曲线离心率12.过双曲线上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M,N两点，若，则该双曲线的离心率为____.【答案】【解析】依题意设，则.所以由.可得.即.所以离心率.【考点】1.圆锥曲线的性质.2.向量的数量积.3.方程的思想.13.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O 为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．3D．2【答案】D【解析】解:抛物线的准线方程为:,由题意知,双曲线的左焦点坐标为,即且,因为△AOB的面积为，所以，，即：所以，，解得：，故应选D.【考点】1、抛物线的标准方程；2、双曲线的标准方程及简单几何性质.14.双曲线＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．【答案】13【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝1315.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且其渐近线的方程为,则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知双曲线的一个焦点坐标是（0,5），可设双曲线方程为，利用表示坐标，建立方程，解方程即可.【考点】（1）共渐近线的双曲线方程；（2）抛物线的几何性质.16.设F是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分另。

双曲线专题复习(附答案)

双曲线专题考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

2. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（）（A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||题型2 求双曲线的标准方程3.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.4.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0）D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为．[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) ac a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ，双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，ca a ED 2+=，=+∴c a a 2c ab ⋅3，2=∴e题型2 与渐近线有关的问题9.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.5D.2[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e10.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x基础巩固训练1..已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是（）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -= [解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A2..已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） (A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B3.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A 综合提高训练4. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n-=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，．（2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||c AB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 5..已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A B x y x y k k，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭。

高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==．在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =，由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=，即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅，化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确；在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确；若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±，故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误，将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±，故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ，因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，因为，所以的周长，因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为，当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去），故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ，所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____，双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝．其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2，焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-，所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。

2017年高考数学(理)一轮复习精品资料专题50 双曲线(押题专练) 含解析

1．已知双曲线错误!－错误!＝1(a＞0）的离心率为2，则a＝( ) A．2 B.错误!C。

错误!D．1【解析】：因为双曲线的方程为x2a2－错误!＝1，所以e2＝1＋错误!＝4，因此a2＝1，a＝1。

选D。

【答案】：D2．若实数k满足0＜k＜5，则曲线错误!－错误!＝1与曲线错误!－错误!＝1的( )A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解析】:由0＜k＜5易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由于16＋5－k＝16－k＋5，所以两曲线的焦距相等。

选D。

【答案】：D3．已知双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l:y＝2x＋10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为（）A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C 。

错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1【答案】：A4．设F 1， F 2分别为双曲线错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得（|PF 1｜－｜PF 2|）2＝b 2－3ab ,则该双曲线的离心率为( )A.错误! B 。

错误!C ．4D 。

错误!【解析】:根据已知条件，知｜|PF 1｜－|PF 2||＝2a ，所以4a 2＝b 2－3ab ，所以b ＝4a 或b ＝－a （舍去)，双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!＝错误!，选择D 。

【答案】：D5．过双曲线C ：错误!－错误!＝1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A 。

若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点（O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ）A.x 24－错误!＝1 B 。

错误!－错误!＝1 C 。

错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1【答案】：A6．点P是双曲线C1：x2a2－错误!＝1（a〉0，b>0)与圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左、右焦点，则双曲线C1的离心率为( )A。

2017年高考原创押题卷(二)数学(文)试题含解析

2017年高考原创押题卷（二）数学(文科)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝y ＝2－x 2x ＋1，则A ∩B ＝( )A.{}0，1 B.{}－1，0，1 C.{}0，1，2D.{}－1，0，1，2 2．若＝1＋i ，则2＋iz －z的实部为( ) A.12 B ．1 C ．－12 D ．－1 3．为估计椭圆x 24＋y 2＝1的面积，利用随机模拟的方法产生200个点(，y )，其中∈(0，2)，y ∈(0，1)，经统计有156个点落在椭圆x 24＋y 2＝1内，则由此可估计该椭圆的面积约为 ( )A ．0.78B ．1.56C ．3.12D ．6.24 4．已知△ABC 中，点D 为BC 的中点，若向量AB →＝(1，2)，|AC →|＝1，则AD →·DC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 5．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明．如图21所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个相等的直角三角形和中间的那个小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”．若正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积分别为25，1，则cos 2∠BAE ＝ ( ) A.725 B.925 C.1625 D.2425图216．若函数f ()x ＝x ＋abx 2＋c的图像如图22所示，则下列判断正确的是()图22A ．a >0，b >0，c >0B ．a ＝0，b >0，c >0C ．a ＝0，b <0，c >0D ．a ＝0，b >0，c <07．已知某几何体的三视图如图23所示，则该几何体的表面积是( )图23A ．8＋2πB ．8＋3πC ．8＋3＋3πD ．8＋23＋3π 8．若0<a <b <1，则a b ，b a ，log b a ，log 1ab 的大小关系为( )A ．a b>b a>log b a >log 1a b B ．b a >a b>log 1ab >log b aC ．log b a >a b>b a>log 1a b D ．log b a >b a >a b>log 1ab9．已知数列{}a n 满足a n ＝5n －2n ，且对任意n ∈N *，恒有a n ≤a .执行如图24所示的程序框图，若输入的值依次为a ，a ＋1，a ＋2，输出的y 值依次为12，12，12，则图中①处可填( )图24A ．y ＝2－2B ．y ＝2＋3－16C ．y ＝||2x ＋3＋1D ．y ＝2＋7－12 10．已知点P 为圆C ：2＋y 2－2－4y ＋a ＝0与抛物线D ：2＝4y 的一个公共点，若存在过点P 的直线l 与圆C 及抛物线D 都相切，则实数a 的值为( )A ．2 B. 2 C ．3 D ．－511．如图25所示，在三棱锥A BCD 中，△ACD 与△BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的体积为( )图25A.16π3B.20π3C.323π27D.2015π2712．已知正数a ，b ，c ，d ，e 成等比数列，且1c ＋d －1a ＋b＝2，则d ＋e 的最大值为( )A.39B.33C.239D.13第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}a n 的公差d ≠0，若a 21＋a 2＝1，a 22＋a 3＝1，则a 1＝________．14．若对任意实数，直线＋y －2＋a ＝0恒过双曲线C ：y 2a2－2＝1(a >0)的一个焦点，则双曲线C 的离心率是________．15．已知不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若存在(0，y 0)∈D ，使得y 0＋1≥(0＋1)，则实数的取值范围是________．16．已知f ()＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，－x 2－ax ，x ≤0，若方程f ()x ＝＋a 有2个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)如图26所示，在△ABC 中，cos 2A －C 2＝14＋sin A sin C ，BC ＝2，点E 为AC 中点，边AC 的垂直平分线DE 与边AB 交于点D . (1)求角B 的大小； (2)若ED ＝62，求角A 的大小．图2618．(本小题满分12分)汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：(1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？图27(2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图27所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍．附：2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )b ^＝，a ^＝－b ^t19.(本小题满分12分)如图28所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，点E 是线段PC 上一点，AB ＝3，BE ＝6，且BE ⊥PC.(1)试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD ，并求AFFB 的值；(2)求三棱锥P BEF 的体积．图2820．(本小题满分12分)已知圆2＋y 2－2＝0关于椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a>b>0的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，已知O 为坐标原点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点P 在椭圆C 上，求的值及平行四边形OAPB 的面积．21．(本小题满分12分)已知函数f ()x ＝ln ()x ＋1＋a ||x －1. (1)若当≥1时，f ()x ＋2a<0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)讨论f ()x 的单调性．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程平面直角坐标系Oy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t ∈R )．以直角坐标系原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝3.(1)求出直线l 的普通方程及曲线C 1的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，点C 是曲线C 1上与A ，B 不重合的一点，求△ABC 面积的最大值．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知实数a ，b 满足a 2＋4b 2＝4. (1)求证：a 1＋b 2≤2；(2)若对任意a ，b ∈R ，||x ＋1－||x －3≤ab 恒成立，求实数的取值范围．参考答案·数学(文科)2017年高考原创押题卷（二）1．A 2.A3．D [解析] 满足⎩⎨⎧0<x <2，0<y <1的点()x ，y 构成长为2，宽为1的长方形区域，面积为2，设椭圆与两正半轴围成的面积为S ，则S 2≈156200，所以椭圆的面积4S ≈156200×2×4＝6.24，故选D.4．C [解析] 由点D 为BC 中点，得AD →·DC →＝12(AB →＋AC →)·12BC →＝12()AB →＋AC →·12(AC →－AB →)＝14()AC →2－AB →2＝14×()1－5＝－1，故选C.5．A [解析] 由图可知a >b ，且a 2＋b 2＝25，()a －b 2＝1，所以a ＝4，b ＝3，sin ∠BAE ＝ba 2＋b 2＝35，所以cos 2∠BAE ＝1－2sin 2∠BAE ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725，故选A.6．D [解析] 由f ()0＝0可得a ＝0，所以选项A 不正确；若b >0，c >0，则b 2＋c >0恒成立，f ()x 的定义域是R ，与图像相矛盾，所以选项B 不正确；若b <0，c >0，当>0时，由b 2＋c <0得>－cb ，即>－cb时恒有f ()x <0，这与图像相矛盾，所以选项C 不正确．故选D.7．D [解析] 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱柱构成的组合体，其表面积由两个半圆，圆柱的半个侧面，棱柱的两个侧面及棱柱的两个底面组成，故该几何体的表面积S ＝π×12＋π×1×2＋2×2×2＋2×12×3×2＝8＋23＋3π，故选D.8．D [解析] 因为0<a <b <1，所以0<a b<b b<b a<1，log b a >log b b ＝1，log 1ab <0，所以log b a >b a >a b >log 1ab ，故选D.9．A [解析] 由a n ＝5n －2n 可得a n ＋1－a n ＝5－2n ，当n ≤2时，a n ＋1－a n >0，当n ≥3时，a n ＋1－a n <0，所以a n ≤a 3，即＝3，因为a 3＝7，a 4＝4，a 5＝－7，所以输入的值依次为7，4，－7.当＝4或－7时，y ＝12，所以只需把＝7代入选项中各函数，得到y ＝12的就是正确选项．对于选项A ，当＝7时，y ＝2×7－2＝12，故选A.10．C [解析] 由题意可知直线l 为圆C 及抛物线D 在点P 处的公切线，因为点P 在抛物线D 上，所以设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 24.由2＝4y ，得y ＝x 24，y ′＝x 2，所以直线l 的斜率1＝t 2，又圆心C 的坐标为()1，2，所以直线PC 的斜率2＝t 24－2t －1＝t 2－84()t －1，由12＝t 3－8t8t －8＝－1，解得t＝2，所以点P 的坐标为()2，1，代入方程2＋y 2－2－4y ＋a ＝0，得a ＝3，故选C. 11．D [解析] 取CD 的中点E ，设三棱锥A BCD 外接球的球心为O ，△ACD 与△BCD 外接圆的圆心分别为O 1，O 2，则O 1E ＝13AE ＝13×32×CD ＝33，则四边形OO 1EO 2是边长为33的正方形，所以三棱锥A BCD 外接球的半径R ＝OC ＝OE 2＋CE 2＝()2O 1E 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋12＝153，所以该三棱锥外接球的体积V ＝43πR 3＝2015π27，故选D. 12．A [解析] 设该数列的公比为q ，则q >0，由1c ＋d －1a ＋b ＝2可得1c ＋d －q 2c ＋d ＝2，所以c ＋d ＝1－q 22.由c ＋d >0可得0<q <1，d ＋e ＝()c ＋d q ＝q －q 32.设f ()q ＝q －q 32，则f ′()q ＝1－3q 22，所以f ()q 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上单调递减，所以f ()q ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝39，故选A.13．－1或2 [解析] a 21＋a 2＝1，a 22＋a 3＝1，两式相减得()a 2＋a 1()a 2－a 1＋a 3－a 2＝0，即d ()a 2＋a 1＋d ＝0，因为d ≠0，所以a 2＋a 1＝－1，即a 2＝－1－a 1，代入a 21＋a 2＝1，得a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2.14.53[解析] 直线＋y －2＋a ＝0恒过定点()0，2－a ，该点就是双曲线C 的一个焦点，所以a 2＋1＝()2－a 2，解得a ＝34，故双曲线C 的离心率e ＝a 2＋1a 2＝53.15．≤2 [解析] 不等式组表示的平面区域D 为图中阴影部分所示，A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)．由()x 0，y 0∈D ，y 0＋1≥(0＋1)，得y 0＋1x 0＋1≥.y ＋1x ＋1表示点()x ，y ，(－1，－1)连线的斜率，数形结合，得12≤y ＋1x ＋1≤2，所以≤2.16．{a |a ＝－1或0≤a <1或a >1} [解析] 当直线y ＝＋a 与曲线y ＝ln 相切时，设切点坐标为(t ，ln t )，则切线斜率＝(ln )′＝t ＝1t＝ 1 ，所以t ＝1，切点为()1，0，代入y ＝＋a ，得a ＝－1.当≤0时，由f ()x ＝＋a ，得()x ＋1()x ＋a ＝0.①当a ＝－1时，ln ＝＋a ()x >0有1个实根，此时()x ＋1()x ＋a ＝0()x ≤0有1个实根，满足条件；②当a <－1时，ln ＝＋a ()x >0有2个实根，此时()x ＋1()x ＋a ＝0()x ≤0有1个实根，不满足条件；③当a >－1时，ln ＝＋a ()x >0无实根，此时要使()x ＋1()x ＋a ＝0()x ≤0有2个实根，应有－a ≤0且－a ≠－1，即a ≥0且a ≠1.综上得实数a 的取值范围是{a |a ＝－1或0≤a <1或a >1}． 17．解：(1)由cos2A －C 2＝14＋sin A sin C ，得1＋cos ()A －C 2＝14＋sin A sin C ，整理得cos ()A －C －2sin A sin C ＝－12，即cos ()A ＋C ＝－12，2分所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.5分(2)连接DC ，由DE 垂直平分边AC ，得AD ＝DC ，∠DCE ＝∠DAE ，所以CD ＝AD ＝DEsin A ＝62sin A.8分在△BCD 中，由BC sin ∠BDC ＝CD sin B 及∠BDC ＝2A ，得2sin 2A ＝CD sinπ3，所以CD ＝3sin 2A，10分所以62sin A ＝3sin 2A ，解得cos A ＝22.因为A 是三角形的内角，所以A ＝π4.12分18．解：(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A ，1分由已知得P (A )＝b ＋35100＝35，所以a ＝25，b ＝25，p ＝40，q ＝60.4分2的观测值＝100×（25×35－25×15）240×60×50×50≈4.167>3.841，5分故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.6分(2)由折线图中所给数据计算，得t ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，∑i ＝15()t i －t 2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，∑i ＝15()t i －t ()y i －y ＝(－4)×(－0.22)＋(－2)×(－0.22)＋0×(－0.02)＋2×0.18＋4×0.28＝2.8,8分故b ^＝＝2.840＝0.07，a ^＝－b ^t ＝0.42－0.07×6＝0, 10分所以所求回归方程为y ^＝0.07t.故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO 浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的4.2倍. 12分19．解：(1)如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG.∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG. 3分又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ，∴F 即为所求的点. 5分又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴PB ⊥BC ，∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2.设PA ＝，则PB ＝9＋x 2，PC ＝18＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC ，得9＋x 2×3＝18＋x 2× 6 ，∴＝3，即PA ＝3，∴PC ＝33，CE ＝3， ∴PE PC ＝23，∴AF AB ＝GE CD ＝PE PC ＝23，∴AF FB ＝2. 8分(2)三棱锥P BEF 的体积就是三棱锥E PBF 的体积，点C 到平面PBF 的距离BC ＝3，由PE PC ＝23，可得点E 到平面PBF 的距离为2. 10分 ∵△PBF 的面积S ＝12×BF ×PA ＝12×1×3＝32，∴三棱锥P BEF 的体积V ＝13×32×2＝1. 12分20．解：(1)圆2＋y 2－2＝0关于圆心()1，0对称，与坐标轴的交点为()0，0，()2，0，所以椭圆C 的一个焦点为()1，0，一个顶点为()2，0，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－12＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 4分(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，3x 2＋4y 2＝12，得()3＋4k 22＋8－8＝0，此时Δ＝642＋32()3＋4k 2>0. 6分设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，P ()x 0，y 0，则0＝1＋2＝－8k3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝()x 1＋x 2＋2＝－8k 23＋4k 2＋2＝63＋4k 2.因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，即16k 2()3＋4k 22＋12()3＋4k 22＝1，整理得2＝14，＝±12. 9分点O 到直线l 的距离d ＝11＋k2＝255，||AB ＝1＋k 2·()x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·64k 2()3＋4k 22－4×（－8）3＋4k 2＝46()1＋k 2()2k 2＋13＋4k 2＝352，所以△OAB 的面积S 1＝12·d ·||AB ＝12×255×352＝32，所以平行四边形OAPB 的面积S 2＝2S 1＝3. 12分21．解：(1)当≥1时，f ()x ＋2a<0恒成立，即ln (＋1)＋a ()x ＋1<0恒成立，即a<－ln ()x ＋1x ＋1恒成立．设g ()x ＝－ln ()x ＋1x ＋1，则g ′()x ＝ln ()x ＋1－1()x ＋12. 2分令ln ()x ＋1－1＝0，得＝e －1，所以g ()x 在(]1，e －1上单调递减，在(e －1，＋∞)上单调递增，所以g ()x ≥g ()e －1＝－1e ，所以a<－1e，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e . 5分(2)函数f()的定义域为(－1，＋∞)．①当≥1时，f ()x ＝ln ()x ＋1＋a ()x －1，f ′()x ＝1x ＋1＋a ，由≥1可得a<1x ＋1＋a ≤12＋a.当a ≥0时，f ′()x >0，f ()x 在[)1，＋∞上单调递增；当12＋a ≤0，即a ≤－12时，f ′()x ≤0，f ()x 在[)1，＋∞上单调递减；当－12<a<0时，由f ′()x <0得>－1－1a ，由f ′()x >0得1≤<－1－1a ，所以f ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a ，＋∞上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，－1－1a 上单调递增.7分②当－1<<1时，f ()x ＝ln ()x ＋1－a ()x －1，f ′()x ＝1x ＋1－a ，由－1<<1可得1x ＋1－a>12－a.当12－a ≥0，即a ≤12时，f ′()x >0，f ()x 在(－1，1)上单调递增；当12－a<0，即a>12时，由f ′()x <0得－1＋1a <<1，由f ′()x >0得－1<<－1＋1a ，所以f ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1a 上单调递增.9分综上可得，当a ≤－12时，f ()x 在(－1，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减；当－12<a<0时，f ()x 在－1，－1－1a 上单调递增，在－1－1a ，＋∞上单调递减；当0≤a ≤12时，f ()x 在(－1，＋∞)上单调递增；当a>12时，f ()x 在－1，－1＋1a 上单调递增，在－1＋1a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.12分22．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t 消去t ，得直线l 的普通方程为－y ＋1＝0.2分由ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝3，得ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，把⎩⎨⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y代入上式，得曲线C 1的直角坐标方程为2＋3y 2＝3，即x 23＋y 2＝1.4分(2)联立⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x23＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12，不妨设A ()0，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，所以||AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝322. 6分因为点C 是曲线C 1上一点，设C(3cos φ，sin φ)，则点C 到直线l 的距离d ＝||3cos φ－sin φ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋12≤32＝322，8分当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1时取等号．所以△ABC 面积S ＝12·d ·||AB ≤12×322×322＝94，即△ABC 面积的最大值为94.10分23．解：(1)证明：a 1＋b 2≤|a|1＋b 2＝2||a 4＋4b 24≤a 2＋4＋4b 24＝2.4分(2)由a 2＋4b 2＝4及a 2＋4b 2≥24a 2b 2＝4||ab ，可得||ab ≤1，所以ab ≥－1，当且仅当a ＝2，b ＝－22或a ＝－2，b ＝22时取等号.6分因为对任意a ，b ∈R ，||x ＋1－||x －3≤ab 恒成立，所以||x ＋1－||x －3≤－1. 当≤－1时，||x ＋1－||x －3＝－4，不等式||x ＋1－||x －3≤－1恒成立；当－1<<3时，||x ＋1－||x －3＝2－2，由⎩⎨⎧－1<x <3，2x －2≤－1，得－1<≤12；当≥3时，||x ＋1－||x －3＝4，不等式||x ＋1－||x －3≤－1不成立.9分综上可得，实数的取值范围是≤12.10分。

2017年高考一轮复习之双曲线

B.4
C.3
D.3
双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程为 y＝±bax，则
点(3，－4)在直线 y＝－bax 上，即－4＝－3ab，所以 4a＝
3b，即ba＝43，所以 e＝
答案 D
1＋ba22＝53.故选 D.
基础诊断
考点突破
课堂总结
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为
A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
(2)(2016·沈阳四校联考)设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同
的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15，4)，则
此双曲线的标准方程是________.
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析 (1)由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为 y＝bax，因此可得点 A 的坐标为(a，b).设右焦点为 F(c， 0)，由已知可知 c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又 c2＝a2＋b2，则 c＝2a，即 a＝2c＝2，所以 b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x42－1y22 ＝1，故选 A. (2)法一椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，
所以点 M 到两定点 C1，C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a＝1，c＝3，则 b2＝8.故点 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).

备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题10.2 双曲线试题文(含解析)

专题10.2 双曲线试题文【三年高考】1. 【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==.2．【2016高考天津文数】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（）（A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】由题意得2212,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，选A.3．【2016高考山东文数】已知双曲线E ：22x a–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示：则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a ==4．【2016高考浙江文数】设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】．5．【2016高考上海文科】双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. （1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.6. 【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .【答案】2【解析】双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线by x a =平行，其方程为()b y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由2222a c a c +=，得2()410c ca a-+=，解之得2c a =2c a =1ca>），故双曲线的离心率为2.7. 【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵(A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为13x +=-，即3x =-代入2218y x -=整理得2960y +-=，解得y =y =-舍)，所以P 点的纵坐标为，∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=116622⨯⨯⨯⨯8. 【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A) 12±(B) 2± (C) 1± (D)【答案】C9. 【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b-=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==2e ==，当a b >时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b<时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b a m a +<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D .10.【2014广东，文8】若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．虚半轴长相等 D ．实半轴长相等【答案】A.11.【2014大纲，文11】双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于( )A. 2B.C.4D.【答案】C【解析】易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±b a x ，不妨设焦点(c ，0)到其中一条渐近线ba x －y ＝0的距离为3，则bc a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝3，整理得b ＝ 3.又双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝2，即2c ＝4，即双曲线C 的焦距等于4.12．【2014重庆，文8】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为（）A.2B.15C.4D.17 【答案】D.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程．(3)以双曲线的方程为载体，研究与参数,,,a b c e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为主，分值为5分，难度为容易题和中档题. 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现,解答题很少考查,主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率,最值或范围问题，过定点问题，定值问题等, 直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大, 故预测2016年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主．备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素,,a b c .另外，要深入理解参数,,a b c 的关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2017年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a -=±(122||a F F <).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>.给定椭圆221()x y m n m n+=与异号，要根据,m n 的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上. (2)双曲线中,,a b c 关系为：222-a c b =. 【规律方法技巧】1.利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理.2.求双曲线的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只.(2)待定系数法，用待定系数法求双曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出双曲线的标准方程.3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设双曲线的方程为221Ax By +=，其中,A B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算.4.若已知双曲线的渐近线方程为0ax bx ±=，则可设双曲线的标准方程为ax bx λ±=（0λ≠）可避免分类讨论.【考点针对训练】1.【2016年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲线C 的离心率等于32,其中一条准线方程43x =-，则双曲线C 的方程是（）A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=- D ．2212x =- 【答案】B2. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】过双曲线22145x y -=的左焦点1F ，作圆224x y +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点为M ，则||||MO MT -=_____________．【答案】25-【解析】由已知，111112121TF PF PF TF PF PM PT MT -=--=-=，则||||MO MT -= 2524)(21)21(21211112112-=--=-=+-=--OF a TF TF PF PF TF PF PF ．【考点2】双曲线的几何性质【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质2.等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为22(0)x y λλ-=≠，离心率为，渐近线为y x =±.【规律方法技巧】1.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222c b a =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a +===221b a +⇒b a=. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，可变形为x ya b=±，即22220x y a b -=，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的.4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.5. 双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[,c a -+∞). 【考点针对训练】1. 【2016年湖北安庆一中高三一模测试】设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221x y a b -=（0a >,0b >）的右顶点和右焦点,直线2a x c=交双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（）A ．3 C D ．2 【答案】D2. 【2016年河北石家庄高三二模】已知双曲线14222=+-m y m x 的一条渐近线方程为x y 3=，则实数m 的值为______. 【答案】54 【解析】因为双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线为x aby ±=，所以14222=+-m y m x 的渐近线为x m m y 24+±=，则有54324=⇒=+m m m . 【考点3】直线与双曲线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，直线0Ax By C ++=，将直线方程与双曲线方程联立，消去y 得到关于x 的方程20mx nx p ++=.(1) 若m ≠0，当△＞0时，直线与双曲线有两个交点.当△=0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与双曲线无公共点.（2）当m =0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C2. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．２．离心率的求法双曲线的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c 或,a b 的方程，通过这个方程解出ca或b a ，利用公式ce a=求出，对双曲线来说，e =，对椭圆来说，e =.3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视双曲线的定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与双曲线的交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1221|||P P y y =-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：12||x x -=21||y y -=.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4.求解双曲线的的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．二年模拟1. 【2016届邯郸市一中高三十研】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（）A B ．22 D 【答案】C2. 【2016年江西省九江市三模】过双曲线),0,0(1:222222b a c b a b y a x C +=>>=-的左焦点F 作圆⊙4222c y x =+的切线，且点为E ，延长PE 交双曲线C 右支于点P ，若E 为PF 的中点，，则双曲线C 的离心率为（ )A ．12+B ．212+C ．13+D ．213+ 【答案】C3. 【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（）A．．．．【答案】A【解析】由题意双曲线的左顶点为(),0a -，抛物线的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，又双曲线的渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，所以()224212ppa b a ⎧-=-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⨯-⎪⎩，解得4,2,1p a b ===，c =以双曲线的焦距为2c =故选A.4. 【2016年河南省商丘市高三三模】已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．035=±y xB ．053=±y xC ．054=±y xD ．045=±y x 【答案】A【解析】依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,M ±,代入2221x y a -=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a -=,得双曲线的渐近线为x y a=±,即035=±y x .5..【2016年湖南师大附中高三三模】已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，且|F 1F 2|＝b 2a，G 为三角形PF 1F 2的内心，若S △GPF 1＝S △GPF 2＋λS △GF 1F 2成立，则λ的值为（） A.1＋222B ．23－1 C.2＋1 D.2－1 【答案】D6. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线1x =-的一个交点的纵坐标为0y ,若02y <,则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】由题意得0b y a =，所以22222451b c a a e e a<⇒-<⇒<⇒<< B. 7. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线【答案】C8. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上的一点，点12,F F ，若M 为12PF F ∆的内心，且1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为．【答案】4【解析】设内切圆半径为R ，由题意知1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆-=，即121122PF R PF R ⋅⋅-⋅⋅1212F F R λ=⋅⋅，即11122,22c a R c R e a λ⋅⋅=⋅⋅==.又因为221b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以21178,4λλ=+==. 9．【2016届天津市和平区高三三模】设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的半焦距为c ，原点到直线:l ax by ab +=的距离等于113c +，则c 的最小值为．【答案】6【解析】由题设原点O 到直线:l ax by ab +=的距离为c c ab b a ab d 31122+==+=,即ab c c 332=+.而222b a ab +≤（当且仅当b a =取等号）,所以)(2333222b a ab c c +≤=+,即22233c c c ≤+,解之得6≥c ,即的最小值为6.10. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的x 轴上，AB 的中点为坐标原点，若C 12AB⋅A =AB，C 32BA ⋅B =BA，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点．（Ⅰ）求AB 及此双曲线的方程；（Ⅱ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．11.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于（）A ．2B ．22C ．32D ．4 【答案】D12.【2015届吉林省实验中学高三上学期第五次模拟】已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．123+ B．12 C ．1313+ D．13【答案】D【解析】设14AF m =，则1BF m =,所以22202221624cos6013,BF m m m m m BF =+-⨯⨯⨯=，=D ． 13.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（）A.32【答案】A【解析】设PT 交x 轴于点T ，1||PF m =，则2||2PF m a =-，1212||||33cMP F F ==,由于//OM PT ,得1111||||||||F M F O F P FT =,即1223||m cc m F F -=,则1||23mc FT m c =-，所以21||2||223mc F T c FT c m c =-=--，又PT 是12F PF ∠的角平分线，则有1122||||||||F P FT F P F T =，代入整理得43232c m a m c a -=-⇒=，所以C 的离心率为32，故答案选A . 14. 【山东省济南市2015届高三上学期期末考试】已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是A. (B.C.)D. ()2+∞，【答案】D15.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法：①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为．【答案】①②③④拓展试题以及解析1.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，直线y a =与双曲线两条渐近线的左、右交点分别为,A B ，若四边形21ABF F 的面积为5ab ，则双曲线的离心率为（）A ．3B C D 【答案】A【入选理由】本题考查双曲线的方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,面积公式等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.2.已知抛物线2(0)x ay a =>的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则=a （） A.4B.8C.41D.18【答案】D 【解析】抛物线方程化为21y x a =，∴抛物线的焦点为1(,0)4F a ，双曲线22122x y -=的右焦点为()20，，∴124a =，∴18a =，故选D. 【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.3.在双曲线),0,0(1222222b a c b a by a x +=>>=-中，已知b a c ,,成等差数列，则该双曲线的渐近线的斜率等于（） A. 43± B. 35± C. 34± D.53± 【答案】C 【解析】 b a c ,,成等差数列，∴c b a +=2，∴222244a c c ac a -=+-，45==∴a c e .54c a =，a b a 452+=，34a b =，34b a =，∴渐近线的斜率为34±. 【入选理由】本题考查双曲线的方程，双曲线的性质,等差数列等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.4.设双曲线2221(0)2x y b b-=>与抛物线28y x =交于两点A B 、，且=8AB ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A ．13B ．23C ．4 D．3【答案】C【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.5.已知双曲线22221(0)x y a b a b=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（）ABCD ．2 【答案】B 【解析】如图所示，由22221y x a x y a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩－，得点2222222()2(,)a a b ab A a b a b +--，于是由2ABCD ABD S S ∆=＝1222a 2222ab a b -＝22224a b a b -，所以由2222246a b b a b =-，得223a b =，即21()3b a =，所以e ==故选B ．【入选理由】本题考查双曲线方程,双曲线的简单几何性质直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力，试题形式新颖，故选此题.6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线的交点坐标为48(,)33-，且双曲线与抛物线的一个公共点M 的坐标0(,4)x ，则双曲线的方程为—————. 【答案】221520x y -=.【入选理由】本题考查抛物线的方程及简单的几何性质，双曲线的方程与简单性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个常规题，是高考常考题型,故选此题.。

2017年高考数学(文)原创押题预测卷 03(新课标Ⅱ卷)(原卷版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）．1．已知2{|450}A x x x =∈-->R ，})4,1(,54|{2∈+-==x x x y y B ，则()A B R =（）A ．[-1,5]B ．(2,5) C.[1,5] D ．[1,5)2.已知i 是虚数单位，复数1z =23i 1i +-，2z =(3i)z +（其中z 是复数）,若1z=2z ，则复数z 的共轭复数为（）A ．14i 105+B ．14i 105-C ．47i --D ．81i 55+ 3.下列函数既是奇函数又是定义域上的增函数的是（）A ．e ,0e ,0x x x y x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ B ．x y tan = C ．x x y -+=11ln D ．x x y 1-= 4. 已知数列{n a }满足1a ＝1，1n a +＝(1)2n n n a a n+＋，则2017a ＝（）A.20152017B.20174033 C .20162017 D.201640345．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，M 是椭圆上一点，21F MF ∠＝30°，点M 在x 轴上的射影为2F ，则该椭圆的离心率为（）A ．43B ．33C ．23D ．21 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.125+ B ．222+ C ．23+ D.33+7.已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，线段2PF 与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点M ，且切点M 为线段2PF 的中点，则该双曲线的离心率为（）A.5B.5C.5D. 38.已知C B A P ,,,是球O 上四个点，PA ⊥平面ABC ，BC PA 2==6，BAC ∠=60︒，则该球的体积为（） A ．243π B ．963π C ．323π D ．48π9.已知实数,x y 满足不等式组4020220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点（2,2）处取得最小值，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．[-2,1]C ．(-2,1)D ．(,2)-∞-10.已知()f x =π22cos sin()4x x ωω+的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为（）A.[3π8，5π8）B.[3π8，5π8]C.[3π4，5π4）D.[3π4，5π4] 11.在区间[-1,3]内任取实数x ，运行下列程序框图，则输出y 落在区间[2,8]的概率为（）A ．13B ．23C ．12D ．3412.已知定义域为R ，周期为2的函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()f x -=()f x ，当0≤x ≤1时，()f x =21x -，若函数()F x =()log ||a f x x -(1)a >恰有6个零点，则实数a 的取值范围为（）A.(3,)+∞B.(,5)-∞C.(3,5)D.(3,5]第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.某地通公司为了了解用户对宽带速的满意程度，从本地1002个宽带用户中，采用系统抽样的方法抽取40个用户进行调查，先随机从1002个用户中删去2个，再将余下的1000个用户编号为000,001，…，999，将号码分成40组，若第8组抽到的号码为184，则第25组抽取的号码为 .14.已知非零向量，a b 满足||1=a ，()⊥+a a b ，向量a 在向量b 方向上的投影为12-，则||-=a b .15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A sin ，B sin ，C sin 成等差数列，则角B 的取值范围为 .16.已知)(x f =a ax xx +-ln ，若)(x f ＞0仅有一个整数解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1=1,*11()3n n n a n a a N .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知n b =1232log -n a ，数列{11+n n b b }的前n 项和为T n ，求n T 的取值范围. 18.（本小题满分12分）某校高三二练考试后，为了了解本校学生二练考试数学成绩的分布情况，从全校学生中随机抽取100名学生（学生成绩都在[70,140]中），对这100名学生的数学成绩进行分析统计作出频率分布直方图如下图：（1）求直方图中a 的值，并估计全校学生成绩的中位数；（2）利用分层抽样方法从样本在120分以上（含120分）的学生中抽取6人，在从这6人中任取2人，求恰有1人成绩在130分以上（含130分）的概率.（本小题满分12分）19. 如图，在多面体ABC DE -中，BD ⊥平面ABC ，BD CE //，AC =AB =BD =CE 2，AB ⊥AC ，F 是BC 的中点．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）求点F 到平面ADE 的距离．20.（本小题满分12分）已知P 是平面内的动点，Q 是P 关于原点的对称点，过Q 作y 轴的垂线与直线4=x 交于M ，OM OP ⊥.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若过点)0,1(N 的直线l 与轨迹E 交于B A 、，求证：OB OA ⋅为定值.21.（本小题满分12分）已知()f x =2ln 122a xx a a x x .(1)当a =1时，求()f x 在（1，(1)f ）处的切线方程;(2)若x ≥1时，()f x ≥0，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ-=0，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中，曲线D的参数方程为(x ββy β⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程；（2）过原点且倾斜角为α（6π≤α＜π2）的直线l 与曲线C ，D 分别相交于N M ,两点（N M ,异于原点），求||||ON OM +的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲(1)已知2|12||2|->--+x x x ，求实数x 的取值范围； (2)已知,a b R ，ab =411a b ，求22a b 的最大值.。

【江苏省】2017年高考考前押题卷数学(文)试卷(二)(附答案)

AB =_____________._____________.图1中,对角线1B D 与平面11A BC 交于2V ,则12V V 的值是_____________.图210.已知{}n a ,{}n b 均为等比数列,其前n 项和分别为,T n n S 若对任意的*n ∈N ,总有31=T 4n n S n +,则33a b =_____________.11.已知平行四边形ABCD 中.120,1,2BAD AB AD ∠===,点P 是线段BC 上的一个动点,则AP DP ⋅的取值范围是_____________.12.如图3,已知椭圆22221(0)x y ab a b+=>>上有一个点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF BF ⊥,当1π2ABF ∠=时,椭圆的离心率为_____________.图313.在斜三角形ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,若111tan tan tan A B C +=,则2abc的最大值为_____________.14.对于实数,a b ,定义运算“□”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩,设7()(4)(4)4f x x x =--,若关于x 的方程|()|1()f x m m ∈R －＝恰有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围是为_____________.图4(1)求证：1BC ∥平面1A CD ；如图5,直线l 是湖岸线,O 是l 上一点,弧AB 是以O 为圆心的半圆形栈桥,C 为湖岸线l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛D ,同时沿线段CD 和DP (点P 在半圆形栈桥上且不与点,A B 重合)建栈桥.考虑到美观需要,设计方案为DP DC =,60CDP ∠=且圆弧栈桥BP 在CDP ∠的内部,已知22()BC OB km ==,沿湖岸BC 与直线栈桥CD ,DP 及圆弧栈桥BP 围成的区域(图中阴影部分)的面积为2,()S km BOP θ∠＝.图5(1)求S 关于θ的函数关系式；(2)试判断S 是否存在最大值,若存在,求出对应的cos θ的值,若不存在,说明理由.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的离心率是e ,定义直线by e =±为椭圆的“类准线”,已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆223O x y :+=的切线l ,过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ,问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论. 19.(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*122()n n n a a a k n k ∈∈N R ++=++，,且13524a a a =，+=-.(1)若0k =,求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)若41a =-,求数列{}n a 的通项公式n a . 20.(本小题满分16分)已知函数321[2(4)24]3()x x x e a a f x x -++-=-,其中,a e ∈R 为自然对数的底数. (1)关于x 的不等式4()3x f x e <-在(,0)-∞上恒成立,求a 的取值范围； (2)讨论函数()f x 极值点的个数.江苏省2017年高考考前押题卷数学(文)试卷(二)解：设椭圆的左焦点为1F ,连结11AF BF ,,由对称性及1AF BF ⊥可知,四边形1AFBF 是矩形,所以1|||2|AB F F c ==,所以在Rt ABF ∆中,π|2s |=12inAF c , π|2c |=osBF c ,由椭圆定义得)(2,4)二、解答题：本大题共题纸的指定区域内.15.解：(1)∵a 为锐角,∴(,π)663a +∈. 又π3cos()65a +=,故π4sin()65a +=.∴ππππ4cos()=cos[()]sin()32665a a a --+=+=.(2)又ππππ3sin()=sin[()]cos()32665a a a ---+=-+=-.故πππππππ344324cos(2)=cos[()()]cos()cos()sin()sin()=()6636363555525a a a a a a a -++-=+--+-⨯⨯⨯-=16.证明：(1)连结1AC ,设交1A C 于点O ,连结OD . ∵四边形11AA C C 是矩形,∴O 是1AC 的中点.在1ABC ∆中,,O D 分别是1AC AB ,的中点, ∴1OD BC ∥.又∵OD ⊂平面11ACD BC ⊄,平面1A CD , ∴1BC ∥平面1A CD .(2)∵CA CB =,D 是AB 的中点,∴CD AB ⊥.又∵在直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ⊥侧面11AA B B ,交线为AB ,CD ⊂平面ABC ,∴CD ⊥平面11AA B B .∵AP ⊂平面11A B BA ,∴CD AP ⊥.∵111114BB BB AA BP BB ===,,,∴14BP ADBA AA ==,∴1Rt ABP Rt A AD ∆∆∽, 从而1AA D BAP ∠=∠,∴11190AA D A AP BAP A AP ∠+∠=∠+∠=, ∴1AP A D ⊥. 又∵1CDA D D CD =⊂,平面1A CD 平面1A CD ,∴AP ⊥平面1A CD .17.解：(1)在COP ∆中,2222cos 106cos CP CO OP CO OP θθ⋅=-=+-, 从而COP ∆的面积23co s )CDP S θ∆-. 又因为COP ∆的面积13==sin i 2s n 2COP S C OP O θθ∆⋅,所以1=()2=3sin CDP COP OBP S S S S θθθ∆∆---++扇形,00πθθ<≤<,0cos θ=. 注：当DP 所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值0θ,此时在COP ∆中,=1,=330OP OC CPO CP ∠==,,00,6cos θθ=. (2)存在.由(1)知,=3cos i )n 1(S θθ'+-, 令=0S ',得π1sin()66θ+=. 当00θθ<<时,0S '>, 所以当0=θθ时,S 取得最大值.或因为0πθ<<,所以存在唯一的0π(,π)2θ∈,使得0π1sin()66θ+=.当00πθθ<<<时,0S '>,所以当0=θθ时,S 取得最大值.此时000πππcos()cos[()]666θθθ+==+-=. 18.解：(1)由题意知2,abc a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222=a b c +,解得1b c =,所以椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)点A 在椭圆C 上.证明如下：设切点为000()0Q x y x ≠，,,则2200=3x y +,切线l 的方程为003=0x x y y +-,当=P y,03P x x -=,即03(P x -,则0OP k =,所以0022OA y k x =,直线OA的方程为0022y y x x =.联立00002=230,,x x y x y x y y ⎧-=+⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A =.1+=, 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程.当P y =-,同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程, 所以点A 在椭圆C 上.19.解：(1)当0k =时,122=n n n a a a +++,即211=n n n n a a a a +++--, 所以数列{}n a 是等差数列.设数列{}n a 的公差为d ,则112,264,a a d =⎧⎨+=⎩解得12,4,3a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以21(1)(1)8=242=2()=3233n n n n n S na d n n n --+-++⨯-. (2)由题意,435=2a a a k ++,即24k -=-+,所以=2k . 又432212226==3a a a a a ----,所以23=a . 由1222=n n n a a a ++++,得211()(2)=n n n n a a a a +++----.所以,数列1{}n n a a +-是以211=a a -为首项,2-为公差的等差数列. 所以1=23n n a a n +--+,当2n ≥时,有1=21(3)n n a a n ---+-. 于是,12=2()23n n a a n -----+,23=2()33n n a a n -----+,…32223=a a --⨯+, 21213=a a --⨯+,叠加得,12(121)3(1)(2=())n a a n n n ++⋯+-+-≥--, 所以2(1)=2312412()()2n n n a n n n n ++-⨯+--≥-=-. 又当=1n 时,12=a 也适合.所以数列{}n a 的通项公式为2*1=4n a n n n --+∈N ,.20.解：(1)由4()3x f x e <-,得321[2(4)2433]4x x x x a x a e e -++-<--, 即32631()2680x x a x a -++-<-对任意)2(x ∈-∞,恒成立, 即326361(28)x a x x x -+->-对任意)2(x ∈-∞,恒成立,因为2x <,所以3226128123(2)()3x x x a x x -+->=---－,记2)((2)g x x -=-,因为)(g x 在()2-∞,上单调递增,且0(2)=g , 所以0a ≥,即a 的取值范围为[0,)+∞.(2)由题意,可得32(1)()3x x x a e x ax f =-+-',可知()f x 只有一个极值点或有三个极值点. 令321()3g x x x ax a -+=-,①若()f x 有且仅有一个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次,即)(g x 为单调递增函数或者)(g x 极值同号.(ⅰ)当)(g x 为单调递增函数时,2()20g x x x a -'=+≥在R 上恒成立,得1a ≥. (ⅱ)当)(g x 极值同号时,设12x x ,为极值点,则12()()0g x g x ⋅≥,由2()20g x x x a -'=+=有解,得1a <,且2112=0x x a +-,2222=0x x a +-,所以12122,=x x x x a +=,所以11111111112()2=2=1331()()[()]3g x x x ax a x x a x ax a x a ax ax a a x a =-+=+--------+--, 同理,22[()]()1g x a x a --=,所以1212[()()()11])]0[(g x g x a x a a x a ---=-⋅≥, 化简得221212()()(110)a x x a a x x a --++≥-, 所以22()(1)120a a a a a ---≥+,即0a ≥,所以01a ≤<.所以,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点；②若()f x 有三个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次,同理可得0a <. 综上,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点, 当0a <时,()f x 有三个极值点.江苏省2017年高考考前押题卷数学(文)试卷(二) =-A B x{|a i+=解：由19111AC F =1平面BDD 连结BD ,因为BF 是中线,又根据解：以为坐标原点,以所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,作,垂足为,∵120,1,2BAD AB AD ∠==＝,∴60ABC ∠=,∴12AE BE ==,∴15((22A D . ∵点P 是线段BC 上的一个动点,设点,0,0()2P x x ≤≤, ∴135(,),(,22AP x DP x =-=-,∴215331()()=()22424AP DP x x x =--+--,∴当32x =时,有最小值,最小值为14-,当时,有最大值,最大值为,则AP DP ⋅的取值范围为.63解：设椭圆的左焦点为1F ,连结11AF BF ,,由对称性及1AF BF ⊥可知,四边形1AFBF 是矩形,所以1|||2|AB F F c ==,所以在Rt ABF ∆中,π|2s |=12inAF c , π|2c |=osBF c ,由椭圆定义得222a b cab ab+-)(2,4)解：由题意得,7()4)(4)=4f x x -画出函数()f x 的大致图象如图所示.因为关于x 的方程|()|1()f x m m -=∈R ,即(1))(f x m m =±∈R 恰有四个互不相等的实数根,所以两直线(1)y m m =±∈R 与曲线(=)y f x 共有四个不同的交点,则03113,m m ⎧⎨<-<+>⎩或31001,m m -<<+<⎧⎨⎩或1=3,1=0m m ⎧⎨-+⎩得24m <<或11m <<-.二、解答题：本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.解：(1)∵a 为锐角,∴ππ2(,π)663a +∈. 又π3cos()65a +=,故π4sin()65a +=.∴ππππ4cos()=cos[()]sin()32665a a a --+=+=.(2)又ππππ3sin()=sin[()]cos()32665a a a ---+=-+=-.故πππππππ344324cos(2)=cos[()()]cos()cos()sin()sin()=()6636363555525a a a a a a a -++-=+--+-⨯⨯⨯-=16.证明：(1)连结1AC ,设交1A C 于点O ,连结OD . ∵四边形11AA C C 是矩形,∴O 是1AC 的中点.在1ABC ∆中,,O D 分别是1AC AB ,的中点, ∴1OD BC ∥.又∵OD ⊂平面11ACD BC ⊄,平面1A CD , ∴1BC ∥平面1A CD .(2)∵CA CB =,D 是AB 的中点,∴CD AB ⊥.又∵在直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ⊥侧面11AA B B ,交线为AB ,CD ⊂平面ABC ,∴CD ⊥平面11AA B B .∵AP ⊂平面11A B BA ,∴CD AP ⊥.∵111114BB BB AA BP BB ===,,,∴1BP ADBA AA ==,∴1Rt ABP Rt A AD ∆∆∽, 从而1AA D BAP ∠=∠,∴11190AA D A AP BAP A AP ∠+∠=∠+∠=, ∴1AP A D ⊥. 又∵1CDA D D CD =⊂,平面1A CD 平面1A CD ,∴AP ⊥平面1A CD .17.解：(1)在COP ∆中,2222cos 106cos CP CO OP CO OP θθ⋅=-=+-, 从而COP ∆的面积23co s )CDP S θ∆-. 又因为COP ∆的面积13==sin i 2s n 2COP S C OP O θθ∆⋅,所以1=()2=3sin CDP COP OBP S S S S θθθ∆∆---++扇形,00πθθ<≤<,01cos 12θ=. 注：当DP 所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值0θ,此时在COP ∆中,=1,=330OP OC CPO CP ∠==,,00,6cos θθ=. (2)存在.由(1)知,=3cos i )n 1(S θθ'+-, 令=0S ',得π1sin()66θ+=. 当00θθ<<时,0S '>,所以当0=θθ时,S 取得最大值.或因为0πθ<<,所以存在唯一的0π(,π)2θ∈,使得0π1sin()66θ+=.当00πθθ<<<时,0S '>,所以当0=θθ时,S 取得最大值.此时000πππcos()cos[()]666θθθ+==+-=. 18.解：(1)由题意知2,abc a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222=a b c +,解得1b c =,所以椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)点A 在椭圆C 上.证明如下：设切点为000()0Q x y x ≠，,,则2200=3x y +,切线l 的方程为003=0x x y y +-,当=P y,03P x x -=,即03(P x -,则0OP k =,所以0022OA y k x =,直线OA的方程为0022y y x x =.联立00002=230,,x x y x y x y y ⎧-=+⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A =.1+=, 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程.当P y =-,同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程,所以点A 在椭圆C 上.19.解：(1)当0k =时,122=n n n a a a +++,即211=n n n n a a a a +++--, 所以数列{}n a 是等差数列.设数列{}n a 的公差为d ,则112,264,a a d =⎧⎨+=⎩解得12,4,3a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以21(1)(1)8=242=2()=3233n n n n n S na d n n n --+-++⨯-. (2)由题意,435=2a a a k ++,即24k -=-+,所以=2k . 又432212226==3a a a a a ----,所以23=a . 由1222=n n n a a a ++++,得211()(2)=n n n n a a a a +++----.所以,数列1{}n n a a +-是以211=a a -为首项,2-为公差的等差数列. 所以1=23n n a a n +--+,当2n ≥时,有1=21(3)n n a a n ---+-. 于是,12=2()23n n a a n -----+,23=2()33n n a a n -----+,…32223=a a --⨯+, 21213=a a --⨯+,叠加得,12(121)3(1)(2=())n a a n n n ++⋯+-+-≥--, 所以2(1)=2312412()()2n n n a n n n n ++-⨯+--≥-=-. 又当=1n 时,12=a 也适合.所以数列{}n a 的通项公式为2*1=4n a n n n --+∈N ,.20.解：(1)由4()3x f x e <-,得321[2(4)2433]4x x x x a x a e e -++-<--,即32631()2680x x a x a -++-<-对任意)2(x ∈-∞,恒成立, 即326361(28)x a x x x -+->-对任意)2(x ∈-∞,恒成立,因为2x <,所以3226128123(2)()3x x x a x x -+->=---－,记2)((2)g x x -=-,因为)(g x 在()2-∞,上单调递增,且0(2)=g , 所以0a ≥,即a 的取值范围为[0,)+∞.(2)由题意,可得32(1)()3x x x a e x ax f =-+-',可知()f x 只有一个极值点或有三个极值点. 令321()3g x x x ax a -+=-,①若()f x 有且仅有一个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次,即)(g x 为单调递增函数或者)(g x 极值同号.(ⅰ)当)(g x 为单调递增函数时,2()20g x x x a -'=+≥在R 上恒成立,得1a ≥. (ⅱ)当)(g x 极值同号时,设12x x ,为极值点,则12()()0g x g x ⋅≥,由2()20g x x x a -'=+=有解,得1a <,且2112=0x x a +-,2222=0x x a +-,所以12122,=x x x x a +=,所以11111111112()2=2=1331()()[()]3g x x x ax a x x a x ax a x a ax ax a a x a =-+=+--------+--, 同理,22[()]()1g x a x a --=,所以1212[()()()11])]0[(g x g x a x a a x a ---=-⋅≥, 化简得221212()()(110)a x x a a x x a --++≥-, 所以22()(1)120a a a a a ---≥+,即0a ≥,所以01a ≤<.所以,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点；②若()f x 有三个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次,同理可得0a <. 综上,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点, 当0a <时,()f x 有三个极值点.。

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1．已知双曲线x 2a 2－y 23
＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.
62 C.52
D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a
2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D 。

答案：D
2．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 2
5
＝1的( ) A ．实半轴长相等 B ．虚半轴长相等
C ．离心率相等
D ．焦距相等
答案：D
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 25－y 220＝1
B.x 220－y 2
5
＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 2
25
＝1 解析：由题意可得b a ＝2，c ＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，则所求双曲线的方程为x 25
－y 2
20
＝1。

答案：A
4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B.15
C ．4 D.17
解析：根据已知条件，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以4a 2＝b 2－3ab ，所以b ＝4a 或b ＝－a (舍去)，双曲线的离
心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2
＝17，选择D 。

答案：D
5．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A 。

若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 212＝1
B.x 27－y 29
＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24
＝1
答案：A
6．点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左、右焦点，则双曲线C 1的离心率为( ) A.3＋1 B.
3＋12 C.5＋12
D.5－1 解析： x 2＋y 2＝a 2＋b 2＝c 2，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴PF 1⊥PF 2。

又2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，
又P 在双曲线上，∴3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1
＝3＋1。

答案：A
7．已知双曲线x 2a
2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________。

解析：因为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为y ＝－3x ，所以1a ＝3，故a ＝33。

答案：33
8．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点。

若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________。

解析：由题意，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，因为点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与直线x －y ＝0的距离，即22。

答案：22
9．若点P 在曲线C 1：x 216－y 2
9
＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________。

解析：曲线C 2是以曲线C 1的右焦点F 2为圆心，1为半径的圆，则|PQ |max ＝|PF 2|＋r ＝|PF 2|＋1，此时点P 在双曲线左支上；曲线C 3是以曲线C 1的左焦点F 1为圆心，1为半径的圆，则|PR |min ＝|PF 1|－r ＝|PF 1|－1。

故(|PQ |－|PR |)max ＝(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝10。

答案：10
10．过双曲线x 23－y 2
6
＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点。

(1)求|AB |；
(2)求△AOB 的面积。

11．已知椭圆C 1的方程为x 24
＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点
分别是C 1的左、右焦点。

(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取
值范围。

12．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B 。

(1)求实数k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1，
整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0。

①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，。

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