工程力学：第十三章 压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
建筑力学 第十三章 压杆稳定
受干扰前杆的直线形状的平衡状态称为临界平衡状态，压
力Fcr称为压杆的临界力。 临界平衡状态实质上是一种不稳定的平衡状态，因为此时
杆一经干扰后就不能维持原有直线形状的平衡状态了。 压杆从稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态,这种现象称
为丧失稳定性，简称失稳。
（3）压力F超过Fcr后
杆的弯曲变形将急剧增大，甚至最
因为临界力是使压杆产生失稳所需要的最小压力，而钢压杆在 各纵向平面内的弯曲刚度EI相同，所以公式中的μ应取较大的值， 即失稳发生在杆端约束最弱的纵向平面内。
由已知条件，钢压杆在xy平面内的杆端约束为两端铰支， μ=1；在xz平面内杆端约束为一端铰支、一端固定，μ=0.7。故 失稳将发生在xy平面内，应取μ=1进行计算。 临界力为
2
2 10 109 597.3 104 1012
1 3
2
N
655 102 N 65.5kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平面内发 生失稳。
F<Fcr
变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到
原来的直线形状的平衡状态。
压杆原有直线形状的平衡状态称为稳 定的平衡状态。
（2）压力F增至某一极限值Fcr时
给杆一微小的横向干扰，使杆发
F=Fcr
生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，
杆不再恢复到原来直线形状的平衡状
态，而是仍处于微弯形状的平衡状态。
O
【解】 由于木柱两端约束为球形铰支，故木柱两端 在各个方向的约束都相同（都是铰支）。因为临界力是 使压杆产生失稳所需要的最小压力，所以公式中的I应 取Imin。由图知，Imin 104 mm4
O
故临界力为
工程力学中压杆稳定PPT课件
端约束情况下的相当长度 l。
29
两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内 因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设 0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至导致 整个结构破坏。
16
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
17
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
小球在不同 的位置状态 保持平衡状 态的能力不 同。
13
如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形，
直 线
则称原来的直线平衡构形
平
是稳定的。
衡
构
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
14
如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
Fcr
π 2 EI
l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l
称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束
情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端
铰支压杆的临界力。表13-1的图中从几何意义上标出了各种杆
1
§13-1 压杆稳定性的概念
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 压杆
2
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
3
工程力学上册15压杆稳定
压杆的稳定性直接关系到这些结构物的安全性和可靠性，一旦发生失稳，可能会导致结构物的破坏和倒塌，造成严重的人员伤亡和财产损失。
因此，对压杆稳定性的研究和分析是工程力学中非常重要的一个方面，也是工程设计和安全评估的重要依据。
压杆稳定的重要性
02
压杆的分类与特性
总结词
长细比是描述压杆细长程度的重要参数，对临界力的影响显著。
工程力学上册15压杆稳定
目录
压杆稳定概述 压杆的分类与特性 压杆稳定的影响因素 压杆稳定的计算方法 压杆稳定的实验研究 工程实例分析
01
压杆稳定概述
01
02
压杆稳定的定义
当压杆受到的力小于其临界力时，压杆保持稳定平衡；当压杆受到的力大于其临界力时，压杆将发生屈曲失稳。
压杆稳定是指压杆在受到外力作用时，能够保持其原有平衡状态的能力。
03
压杆稳定的影响因素
压杆在制造过程中可能会产生弯曲，这种弯曲在受力时会进一步发展，导致压杆失稳。
为了提高压杆的稳定性，应尽量减小初始弯曲，可以通过提高制造精度和选用合适的材料来实现。
初始弯曲的影响
减小初始弯曲
初始弯曲
材料在加工过程中会形成残余应力，这些应力会在受力时对压杆的稳定性产生影响。
残余应力
结论应用
将实验结论应用于实际工程中，指导压杆结构的合理设计和应用。
实验结果与分析
06
工程实例分析
桥梁结构的压杆稳定分析
总结词：桥梁结构的压杆稳定分析是确保桥梁安全的重要环节，需要考虑多种因素，如材料特性、载荷分布和支撑条件等。
高层建筑的压杆稳定分析
总结词：高层建筑的压杆稳定分析是确保高层建筑安全的重要环节，需要考虑多种因素，如建筑高度、材料特性、风载荷和地震载荷等。
材料力学课件13压杆稳定
一、 稳定条件
P A [ lj ]
lj
nw
— 极限应力法
P
Plj nw
[ Pw ] — 许可荷载法
P A
[ w ] — 折减系数法
n
Plj P
[ n w ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax：
Y 0 , N BA sin Pmax 0 ;
Pmax N BA sin 59 . 6
4 5
47 . 7 kN ;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
返回 下一张 上一张 小结
• 第四节 压杆的稳定计算
由欧拉公式
l
i
2
1 3000 23 . 1
2
129 . 9 p 123
3
大柔度杆
lj
E
lj
2
200 10 129 . 9
2
117 MPa
Plj
A 117 4200 491 . 3 kN P 500 kN
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
2 4
I z I min
126 . 6 ;
(126 . 6 120 ) 0 . 423 ;
由 0 .5,
求柔度
l
i
0 . 5 10000 39 . 5
查 值，用插值公式求得：
P A [ lj ]
lj
nw
— 极限应力法
P
Plj nw
[ Pw ] — 许可荷载法
P A
[ w ] — 折减系数法
n
Plj P
[ n w ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax：
Y 0 , N BA sin Pmax 0 ;
Pmax N BA sin 59 . 6
4 5
47 . 7 kN ;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
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• 第四节 压杆的稳定计算
由欧拉公式
l
i
2
1 3000 23 . 1
2
129 . 9 p 123
3
大柔度杆
lj
E
lj
2
200 10 129 . 9
2
117 MPa
Plj
A 117 4200 491 . 3 kN P 500 kN
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
2 4
I z I min
126 . 6 ;
(126 . 6 120 ) 0 . 423 ;
由 0 .5,
求柔度
l
i
0 . 5 10000 39 . 5
查 值，用插值公式求得：
压 杆 稳 定 实 验
压 杆 稳 定 实 验一．实验目的：1. 观察压杆丧失稳定的现象。
2. 用绘图法测定两端铰支压杆的临界荷载cr F ，并与理论值进行比较。
二．实验设备及工具：电子万能试验机、程控电阻应变仪三．试验原理：对于两端铰支受轴向压力的细长杆，根据欧拉公式，其临界荷载为2min2l EI F cr π=式中min I 为最小惯性矩，l 为压杆长度。
当cr F F <时压杆保持直线形式，处于稳定平衡。
当crj F F ≥时，压杆即丧失稳定而弯曲。
对于中柔度压杆，其临界应力公式为λσb a cr -=式中a 、b 为常数。
由于试样的初曲率往往很难避免，所以加载时压力比较容易产生偏心，实验过程中，即使压力很小时，杆件也发生弯曲，其挠度也随着荷载的增加而不断增加。
本实验采用由碳钢制成的矩形截面的细长试件，表面经过磨光，试件两端制成刀刃形，如图a 所示：实验前先在试样中间截面的左右两侧各贴一个应变片1和2，以便测量其应变,见图b ，假设压杆受力后向左弯曲，以1ε和2ε分别表示压杆中间截面左、右两点的压应变，则2ε除了包括由轴向力产生的压应变外，还附加一部分由弯曲产生的压应变，而1ε则等于轴向力产生的压应变减去由弯曲产生的拉应变，故1ε略小于2ε。
随着弯曲变形的增加，1ε与2ε差异愈来愈显著。
当cr F F <时，这种差异尚小，当F 接近cr F 时，2ε迅速增加，1ε迅速减小，两者相差极大。
如以载荷F 为横坐标，压应变为纵坐标，可绘出1ε-F 和2ε-F 曲线（见下图所示）。
由图中可以看出，当1ε达到某一最大值后，随着弯曲变形的继续发生而迅速减小，朝着与2ε曲线相反的方向变化。
显然，根据此两曲线作出的同一垂直渐近线AB ，即可确定临界荷载cr F 的大小。
以载荷P 为横坐标，压应变为纵坐标，人工绘制1ε-P 和2ε-P 曲线，两曲线的同一垂直渐近线与力轴的交点，即为临界荷载cr F四．实验步骤1.测量试样尺寸，在试样的两端及中部分别测量试样的宽度和厚度，取用三次测量的算术平均值2.启动电子万能试验机，手动立柱上的“上升”或“下降”键，调整活动横梁位置，使上、下压板之间的位置相对比较小，把试样放在两压槽的正中间位置上。
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域，提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中，压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示，加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态，包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》，让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件，可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质在外力作用下的形变和破坏规律的学科。
在材料力学中，压杆是一种常见的结构元素，它能够承受压缩力，用来支撑、传递和稳定结构的荷载。
压杆的稳定性是指在外力作用下，压杆不会发生失稳或破坏。
稳定性的分析对于设计和使用压杆结构具有重要意义，可以保证结构的安全可靠性。
本文将从材料的稳定性理论出发，探讨压杆稳定的原理和影响因素。
压杆的稳定性主要受到两种力的影响：压缩力和弯曲力。
压缩力使得杆件在长轴方向上缩短，而弯曲力使得杆件发生侧向的弯曲变形。
这两种力的作用会引起杆件在截面上的应力分布，当这些应力达到一定的极限时，杆件就会发生失稳或破坏。
为了保证压杆的稳定性，需要考虑以下几个因素：1.杆件的形状和尺寸：杆件的形状和尺寸是影响压杆稳定性的重要因素。
一般来说，杆件的截面形状应当是圆形或类圆形，这样能够均匀地分配应力，在承受压力时能够更好地抵抗失稳。
此外，杆件的直径或截面积也应当足够大，以提高材料的稳定性。
2.材料的性质：材料的性质对杆件的稳定性有着重要的影响。
一般来说，杆件所使用的材料应当具有足够的强度和刚度。
强度可以提供杆件抵抗失稳的能力，而刚度可以减小失稳时的弯曲变形。
此外，材料应当具有足够的韧性，以防止杆件发生断裂。
3.杆件的支撑条件：杆件的支撑条件也会对稳定性产生影响。
一般来说，杆件的两端应当进行良好的支撑，以减小弯曲变形和失稳的发生。
支撑条件可以通过适当的连接方式、支撑点的设置和钢结构的设计来实现。
4.外力的作用：外力的作用是导致杆件发生失稳的主要原因。
外力可以包括静力荷载、动力荷载和温度荷载等。
在设计和使用压杆结构时，需要对外力进行充分的分析和计算，确保结构在外力作用下能够稳定运行。
总之，压杆的稳定性是确保结构安全可靠性的重要因素。
在材料力学中，通过对压杆受力和形变规律的分析，可以找到保证压杆稳定的途径和措施。
合理选择杆件的形状和尺寸，使用适当的材料，提供良好的支撑条件，并进行准确的外力分析和计算，可以有效地提高压杆的稳定性，确保结构的安全运行。
工程力学 静力学与材料力学高等教育出版社PPT 压杆稳定
材料力学
Fcr 所以应有: cr s A
p 的压杆 0 p 的压杆 0 的压杆
临界应力总图
小柔度杆
中 柔 度 杆
大柔度杆
材料力学
抛物线经验公式
抛物线经验公式为
cr a1 b1
2
式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定， 上端为球铰支座，试问 a=？时立柱的临界压力最大,最大值为 多少？ 解： 1 、对于单个 10 号槽钢，形心在 c 点 F
解：一个角钢： A1 8.367cm2 , I y1 23.63cm4
两根角钢图示组合之后 I y I z
材料力学
Imin I y 2I y1 2 23.63 47.26cm4
i
I min 47.26 1.68cm A 2 8.367
150 89.3 p 102 i 1.68
0.57 s
临界应力总图
材料力学
五、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公式 求临界压力和安全系数。经验公式：σcr=304-1.12λ(MPa) 。
304 235 61.6 1.12
a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,
λ0 ＜ b=14/d ＝14/0.16=87.5＜λp
Fcr 所以应有: cr s A
p 的压杆 0 p 的压杆 0 的压杆
临界应力总图
小柔度杆
中 柔 度 杆
大柔度杆
材料力学
抛物线经验公式
抛物线经验公式为
cr a1 b1
2
式中，a1 , b1 是与材料性质有关的常数。
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定， 上端为球铰支座，试问 a=？时立柱的临界压力最大,最大值为 多少？ 解： 1 、对于单个 10 号槽钢，形心在 c 点 F
解：一个角钢： A1 8.367cm2 , I y1 23.63cm4
两根角钢图示组合之后 I y I z
材料力学
Imin I y 2I y1 2 23.63 47.26cm4
i
I min 47.26 1.68cm A 2 8.367
150 89.3 p 102 i 1.68
0.57 s
临界应力总图
材料力学
五、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力 F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或经验公式 求临界压力和安全系数。经验公式：σcr=304-1.12λ(MPa) 。
304 235 61.6 1.12
a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,
λ0 ＜ b=14/d ＝14/0.16=87.5＜λp
工程力学第13章 压杆稳定
临界应力就越大,故采用μ值小的支座形式,可以提高压杆的稳定性。但实际上很
难达到理想固定端情况。
2) 在其他条件相同的情况下,杆长l越小,则λ越小,临界应力就越高 如图13-8a 所示两端铰支的杆,若在杆中点增加另一铰链支座(图13-8b),则其长度为原来 的一半,柔度即为原来的一半,而其临界应力成为原来的四倍。 3) 选择合理的截面形状 当压杆两端在各个弯曲平面的约束条件相同时(即μ 值相同),则它的失稳总是发生在最小刚度平面内。因此当截面面积一定时,使 Iz=Iy,并且尽可能地使I值大些,可以提高其抗失稳的能力。例如图13-9所示截 面面积相同的各图中,图13-9b的截面形状比图13-9a好,图13-9c的截面形状 比图13-9b好。 若压杆两端在xy平面的约束条件与在xz平面内的不同的情况下,如图13-6所示 的连杆,则可采用Iz不等于Iy的截面(例如矩形截面或工字形截面),以与相应的支 座条件配合,使得在两个相互垂直的平面内,柔度能尽可能相等或接近,从而达到 在两个方向上抵抗失稳能力相近的目的。
它们的临界应力都随压杆柔度的增加而减小;对于由压缩强度控制的粗短杆,一
般不考虑柔度对临界应力的影响。
13.4 压杆稳定性的校核
前节讨论了压杆在各种柔度下的临界应力。现在来研究怎样进行压杆稳定性的 校核。在机械工程中,压杆的稳定校核,通常采用安全因数进行校核,即
式中,σ、F分别为压杆的工作应力和工作压力;nst为压杆工作时的实际稳定安 全因数;[nst]为规定的稳定安全因数。 由于杆的初曲率、载荷的偏心、材料的不均匀等因素对压杆的临界力影响较大, 所以规定的稳定安全因数[nst]应取得大些。 必须指出,截面有局部削弱(如油孔、螺钉等)的压杆,除校核稳定外,还必须作强 度校核,在校核强度时,A为考虑了削弱的横截面的净面积。而压杆保持稳定性的 能力,是对压杆的整体而言的,截面的局部削弱,对临界力数值的影响很小,可以不 必考虑,所以,在稳定计算中,A为不考虑削弱的横截面面积。 综上所述,稳定校核的步骤如下:
《工程力学》压杆稳定
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
建筑力学第十三章 压杆稳定
1）安全系数法
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建筑力学
2）折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采 用折减系数法。即将材料的压缩许用应力[ ]乘上 一个小于1的折减系数 作为压杆的许用临界应力， 即：
[cr] = []； < 1，称为折减系数
按折减系数法进行压杆的稳定计算，其稳定条 件为
F A
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建筑力学
解：(a) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
Pcr
2EI 2EI
2 2a
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
Pcr
2EI
2a 2
3Ed 4
128a 2
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建筑力学
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
2EI
Pcr a 2 故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax
2 3Ed4
2 Pcr 64a 2
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建筑力学
13.3压杆稳定的临界应力
1 临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
令 l
i
2
则 E cr
2
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①两个不相等的实根 r1、r2 通解 y C1er1 x C2er2 x
②两个相等的实根 r1 r2 通解 y （C1 C2 x）er1 x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解 y e x (C1 cos x C2 sin x)
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建筑力学
2）折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采 用折减系数法。即将材料的压缩许用应力[ ]乘上 一个小于1的折减系数 作为压杆的许用临界应力， 即：
[cr] = []； < 1，称为折减系数
按折减系数法进行压杆的稳定计算，其稳定条 件为
F A
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建筑力学
解：(a) 杆BD受压，其余杆受拉
BD杆的临界压力:
Pcr
2EI 2EI
2 2a
2a 2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax
Pcr
2EI
2a 2
3Ed 4
128a 2
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建筑力学
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
2EI
Pcr a 2 故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax
2 3Ed4
2 Pcr 64a 2
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建筑力学
13.3压杆稳定的临界应力
1 临界应力
2EI Pcr (l )2
cr
Pc r A
2EI (l )2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E l 2
i
令 l
i
2
则 E cr
2
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①两个不相等的实根 r1、r2 通解 y C1er1 x C2er2 x
②两个相等的实根 r1 r2 通解 y （C1 C2 x）er1 x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解 y e x (C1 cos x C2 sin x)
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第十三章-压杆稳定(材料力学课件)
(A) P1=P2 (C) P1>P2
(B) P1<P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解 ： 图 ( a ) 中 ， A D 杆 受 压
2EI
1 2EI
NAD 2P1
2
2a
P1 22
a2
图 （ b ） 中 ， A B 杆 受 压
2EI
NABP2 a 2
2EI
P2 a2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果 将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的 多少倍？
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M (x)P v
M (x)P v E Iv M (x ) P v即 v Pv0
EI 令k2 P ， 则vk2v0
EI 特 征 方 程 为 r2 k2 0
CL13TU11
解：
2E Ib
Pcr b ( l ) 2 Pcr a 2 E I a
( l)2
h4
Ib Ia
12 hb 3
12
h b
3
8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
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线性非齐次微分方程 的通解等于对应的齐次方 程的通解再加上一个满足 非齐次方程的特解。
2. 一端固支一端铰支的压杆
F EI L
考虑右半部的平衡
M Fw R(L x)
EI d2w Fw R(L x) dx 2
k2 F EI
d2w k 2w R (L x)
dx 2
EI
w Acoskx B sinkx R (L x) EIk 2
F
0
coskL
A、B、R 有非零解的必要条件
0 EI (kL)3 sinkL
y
L3 A 0
L3
B
0
0 R 0
EI (kL)2 0
coskL
0 EI (kL)3 sinkL
L3 L3 0
0
4.493
kL
tankL kL 特征方程 kL 4.493 π
0.7
Fcr
EI π2 (0.7L)2
压杆中局部的孔、槽 对强度和稳定性各有什么 影响？
注意 压杆中局部的孔、槽
对强度有重要的影响。对杆件 进行稳定性校核时，必须同时 对孔、槽部位进行强度校核。
分析和讨论
n1
sinkL 0
F
kL nπ
k 2 F nπ 2 EI L
F
EI
nπ 2
L
n 2
F
式中 n 应取最小的整数 1。
临界荷载
3. Euler 公式
F EI
L
1
F EI L
2
F
F
EI L
EI L
0.5
0.7
重要公式
Fcr
2 EI
( L)2
Euler 公式中的长度比拟
L
弯 曲矩率为零
曲率为零
— 长度转因角数为零
L 2L
L — 有效长度
0.5L
曲率为零
L
F
曲弯率矩为零
1
F
2
曲率为零
曲率为零F
0.5
理解柔度、临界应力和临界应力总图的概念， 熟悉各类柔度压杆的失效形式。
13.1 失稳的一般概念
13.1.1 失稳 ( lost stability )
平衡形态比拟
平衡路径图
F
稳定平衡 不稳定平衡
屈曲 ( buckling )
u
临界荷载 Fcr
13.1.2 失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 结构失稳的例子
13.2 理想压杆 ( idealized column )
无横向荷载，无初始曲率，轴向力作用在轴线上的 压杆称为理想压杆 。
前提：压杆屈曲时仍处于弹性阶段； 屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
EI L
FF
M EI
d2w dx 2
13.2.1 理想压杆的 Euler 公式
多y 大的轴向压力才会使压杆失稳？
2. 一端固支一端铰支的压杆
x
M w
FF
F
EI L R
R
考虑右半部的平衡
M Fw R(L x)
EI d2w Fw R(L x) dx 2
k2 F EI
d2w k 2w R (L x)
dx 2
EI
数学工具箱
w k 2w 0 线性齐次微分方程
w k 2w (L x) R EI 线性非齐次微分方程
y
M F
F
ExI
w L
Fx
kL nπ
k 2 F nπ 2 EI L
F
EI
nπ
2
L
考虑 边界条件
式中 n 应取最小的整数 1。
w(0) 0 A 0 w(L) 0 BsinkL 0 sinkL 0 特征方程
Fcr
E I 2 L2
临界荷载 ( critical load )
屈曲曲线 w(x) Bsinkx
w(x) Bsinkx 屈曲曲线
n 3 F
式中 n 取 2、3… 时屈曲
曲线是怎样的？
在何种情况下一定会出现这种屈曲曲线？
与这种屈曲曲线相对应的临界荷载有什么变化？
增加中间约束提高抗失稳能力
例 求图示的结构的临界荷载。
A EI B
EI C F
a
1.5a
Fcr1
EI π 2 (1.5a)2
EI π 2 2.25a 2
Fcr2
EI π 2 (2a)2
EI π 2 4a2
临界荷载
பைடு நூலகம்
Fcr
EI π 2 4a2
动脑又动笔 将下面四种梁
的临界荷载从大到小地排列起来。
Fcr
π 2 EI
( L)2
3 EI
0.8L
Fcr
π 2 EI 0.64L2
4 2EI L
Fcr
π 2 EI 2L2
2 EI
L
Fcr
π 2 EI 0.49L2
EI (kL)2
0
L3 A 0
F
0
EI (kL)3
L3
B
0
coskL sinkL 0 R 0
数学工具箱
线性方程组有唯一解的充要条件是系数行列式不为零。 线性齐次方程组恒有解，因为它至少有零解。 线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
2. 一端固支一端铰支的压杆
EI L
EI (kL)2
13.1.2 失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 ◆ 有时杆件失稳的应力远小于屈服极限或强度极限 ◆ 突发性
2005 年 9 月 5 日晚 10 点 10 分，北京西单“西西 工程 4 号地”综合楼工地的模板支撑体系失稳， 导致 脚手架坍塌 ，47 名工人坠落，造成 6 人死亡、28 人 受伤的严重后果 。
第十三章 压杆稳定
Chapter Thirteen
Stability of Columns
背景材料 本章基本要求 13.1 失稳的一般概念 13.2 理想压杆 本章内容小结
背景材料
背景材料
本章基本要求
掌握失稳的概念，了解构件失稳的特征。 能熟练计算理想压杆在四种常见的约束形式下 的临界荷载。
M
F
F
ExI
w L
1. 两端铰支压杆
FF x
记 k2 F EI
d2w dx 2
k
2
w
0
弯矩与挠度 左段矩平衡
M EI
d2w dx 2
M (x) Fw 0
两端铰支压杆平衡微分方程 方程的通解
w Acoskx Bsinkx
EI
d2w dx2
Fw
0
A、B 不全为零。
通解 w Acoskx Bsinkx
曲率为零
0.7L L
F
曲率为零
0.7
分析和讨论
h b
对于图示的横截 面，Euler 公式中的 I 应取何值？
对于图示的情况， 压杆往哪一方向失稳？
注意 如果压杆的约束情况在各
个方向上相同，那么 Euler 公式中 的 I 应取截面形心主惯性矩中较 小的一个。
分析和讨论
孔所在截面的 应力集中现象
A、B 、R 不全为零。
w(0) 0
(0) 0
A L R 0 EIk 2
kB 1 R 0 EIk 2
w(L) 0 AcoskL BsinkL 0
EI (kL)2
0
coskL
0 EI (kL)3 sinkL
L3 A 0
L3
B
0
0 R 0
2. 一端固支一端铰支的压杆
EI L
2. 一端固支一端铰支的压杆
F EI L
考虑右半部的平衡
M Fw R(L x)
EI d2w Fw R(L x) dx 2
k2 F EI
d2w k 2w R (L x)
dx 2
EI
w Acoskx B sinkx R (L x) EIk 2
F
0
coskL
A、B、R 有非零解的必要条件
0 EI (kL)3 sinkL
y
L3 A 0
L3
B
0
0 R 0
EI (kL)2 0
coskL
0 EI (kL)3 sinkL
L3 L3 0
0
4.493
kL
tankL kL 特征方程 kL 4.493 π
0.7
Fcr
EI π2 (0.7L)2
压杆中局部的孔、槽 对强度和稳定性各有什么 影响？
注意 压杆中局部的孔、槽
对强度有重要的影响。对杆件 进行稳定性校核时，必须同时 对孔、槽部位进行强度校核。
分析和讨论
n1
sinkL 0
F
kL nπ
k 2 F nπ 2 EI L
F
EI
nπ 2
L
n 2
F
式中 n 应取最小的整数 1。
临界荷载
3. Euler 公式
F EI
L
1
F EI L
2
F
F
EI L
EI L
0.5
0.7
重要公式
Fcr
2 EI
( L)2
Euler 公式中的长度比拟
L
弯 曲矩率为零
曲率为零
— 长度转因角数为零
L 2L
L — 有效长度
0.5L
曲率为零
L
F
曲弯率矩为零
1
F
2
曲率为零
曲率为零F
0.5
理解柔度、临界应力和临界应力总图的概念， 熟悉各类柔度压杆的失效形式。
13.1 失稳的一般概念
13.1.1 失稳 ( lost stability )
平衡形态比拟
平衡路径图
F
稳定平衡 不稳定平衡
屈曲 ( buckling )
u
临界荷载 Fcr
13.1.2 失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 结构失稳的例子
13.2 理想压杆 ( idealized column )
无横向荷载，无初始曲率，轴向力作用在轴线上的 压杆称为理想压杆 。
前提：压杆屈曲时仍处于弹性阶段； 屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
EI L
FF
M EI
d2w dx 2
13.2.1 理想压杆的 Euler 公式
多y 大的轴向压力才会使压杆失稳？
2. 一端固支一端铰支的压杆
x
M w
FF
F
EI L R
R
考虑右半部的平衡
M Fw R(L x)
EI d2w Fw R(L x) dx 2
k2 F EI
d2w k 2w R (L x)
dx 2
EI
数学工具箱
w k 2w 0 线性齐次微分方程
w k 2w (L x) R EI 线性非齐次微分方程
y
M F
F
ExI
w L
Fx
kL nπ
k 2 F nπ 2 EI L
F
EI
nπ
2
L
考虑 边界条件
式中 n 应取最小的整数 1。
w(0) 0 A 0 w(L) 0 BsinkL 0 sinkL 0 特征方程
Fcr
E I 2 L2
临界荷载 ( critical load )
屈曲曲线 w(x) Bsinkx
w(x) Bsinkx 屈曲曲线
n 3 F
式中 n 取 2、3… 时屈曲
曲线是怎样的？
在何种情况下一定会出现这种屈曲曲线？
与这种屈曲曲线相对应的临界荷载有什么变化？
增加中间约束提高抗失稳能力
例 求图示的结构的临界荷载。
A EI B
EI C F
a
1.5a
Fcr1
EI π 2 (1.5a)2
EI π 2 2.25a 2
Fcr2
EI π 2 (2a)2
EI π 2 4a2
临界荷载
பைடு நூலகம்
Fcr
EI π 2 4a2
动脑又动笔 将下面四种梁
的临界荷载从大到小地排列起来。
Fcr
π 2 EI
( L)2
3 EI
0.8L
Fcr
π 2 EI 0.64L2
4 2EI L
Fcr
π 2 EI 2L2
2 EI
L
Fcr
π 2 EI 0.49L2
EI (kL)2
0
L3 A 0
F
0
EI (kL)3
L3
B
0
coskL sinkL 0 R 0
数学工具箱
线性方程组有唯一解的充要条件是系数行列式不为零。 线性齐次方程组恒有解，因为它至少有零解。 线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零。
2. 一端固支一端铰支的压杆
EI L
EI (kL)2
13.1.2 失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 ◆ 有时杆件失稳的应力远小于屈服极限或强度极限 ◆ 突发性
2005 年 9 月 5 日晚 10 点 10 分，北京西单“西西 工程 4 号地”综合楼工地的模板支撑体系失稳， 导致 脚手架坍塌 ，47 名工人坠落，造成 6 人死亡、28 人 受伤的严重后果 。
第十三章 压杆稳定
Chapter Thirteen
Stability of Columns
背景材料 本章基本要求 13.1 失稳的一般概念 13.2 理想压杆 本章内容小结
背景材料
背景材料
本章基本要求
掌握失稳的概念，了解构件失稳的特征。 能熟练计算理想压杆在四种常见的约束形式下 的临界荷载。
M
F
F
ExI
w L
1. 两端铰支压杆
FF x
记 k2 F EI
d2w dx 2
k
2
w
0
弯矩与挠度 左段矩平衡
M EI
d2w dx 2
M (x) Fw 0
两端铰支压杆平衡微分方程 方程的通解
w Acoskx Bsinkx
EI
d2w dx2
Fw
0
A、B 不全为零。
通解 w Acoskx Bsinkx
曲率为零
0.7L L
F
曲率为零
0.7
分析和讨论
h b
对于图示的横截 面，Euler 公式中的 I 应取何值？
对于图示的情况， 压杆往哪一方向失稳？
注意 如果压杆的约束情况在各
个方向上相同，那么 Euler 公式中 的 I 应取截面形心主惯性矩中较 小的一个。
分析和讨论
孔所在截面的 应力集中现象
A、B 、R 不全为零。
w(0) 0
(0) 0
A L R 0 EIk 2
kB 1 R 0 EIk 2
w(L) 0 AcoskL BsinkL 0
EI (kL)2
0
coskL
0 EI (kL)3 sinkL
L3 A 0
L3
B
0
0 R 0
2. 一端固支一端铰支的压杆
EI L