区域角的集合
弧度制1-3-1、2
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[温馨提示]角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如 α＝ k·360°＋6π(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为 α＝k·360°＋30°(k∈Z)， β＝2kπ＋π3(k∈Z)．
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课前自主预习
01
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新知梳理
1．角度制、弧度位进行度量，1 度的角等于周角的 360 .这种用度作为单位来度量
角的单位制叫做角度制．
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角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80rad 和 1 rad＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 αrad＝α·18π0°；n°＝n·1π80rad. (3)注意：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，通常把 弧度数写成多少 π 的形式，如无特别要求，不必把 π 写成小数．
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2．α＝－3，它是第___三_____象限角．
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[解析] 根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝1π80°，则 α＝－3＝－5π40°≈－171.9°. 分析可得，α 是第三象限角．
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终边落在一三象限角平分线上的角的集合-概述说明以及解释
终边落在一三象限角平分线上的角的集合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述本文探讨的主题是终边落在一三象限角平分线上的角的集合。
在平面几何学中，我们知道一条角平分线将一个角分为两个相等的角。
而本文专注于分析那些终边落在一三象限的角的情况。
在引言部分，我们首先对文章的背景和目的进行简要的概述。
我们知道角是由两条射线共同形成的部分，其中一条射线称为始边，一条射线称为终边。
而角的位置可以通过终边所在的象限进行确定。
在这篇文章中，我们着重研究那些终边落在一三象限的角。
然后，我们将介绍文章的结构，以使读者对接下来的内容有一个清晰的了解。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
其中，引言部分将给出本文的背景和目的，正文部分将详细阐述终边在一三象限角平分线上的角的特点和性质，结论部分将对本文的主要观点进行总结并对未来的研究方向进行展望。
最后，我们将总结引言部分的内容，并提供一个简短的概括。
通过本文的研究，我们将增进对终边在一三象限角平分线上角的集合的理解，并探索其在几何学中的应用价值。
1.2文章结构文章结构：本篇文章将按照以下结构进行展开。
首先，在引言部分概述了本文的主题和目的，并对文章的内容进行了总结。
接着，正文部分将包括三个要点，分别介绍了终边落在一三象限角平分线上的角的定义、性质以及相关证明。
最后，在结论部分对全文进行总结，并给出了一些展望。
在第一要点中，我们将详细介绍终边落在一三象限角平分线上的角的定义以及其性质。
我们将解释什么是一三象限角，以及如何确定角是否在平分线上。
同时，我们将讨论这些角的共同特点，例如它们的度数范围、相对位置等。
此外，我们还将介绍一些基本的角度计算方法，以帮助读者更好地理解和应用相关知识。
在第二要点中，我们将探讨终边落在一三象限角平分线上的角的性质。
我们将进一步研究这些角的特点，如它们之间的关系、它们和其他角的关系等。
我们将给出一些例子进行说明，以帮助读者更好地理解这些性质。
在第三要点中，我们将介绍关于终边落在一三象限角平分线上角的证明方法。
1.2角的概念推广基础练习题
1.2角的概念推广基础练习题一、单选题1．1000︒是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒B ．153︒C ．207︒D ．387︒3．若角α为第二象限角，则角2α为（ ）象限角A ．第一B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三 4．下列说法正确的是（ ） A ．第一象限角一定小于90︒ B ．终边在x 轴正半轴的角是零角C ．若360k αβ+=⋅︒（k Z ∈），则α与β终边相同D ．钝角一定是第二象限角5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则必有（ ） A ．90αβ︒+=B ．36090()k k Z αβ︒︒+=⋅+∈C ．360()k k Z αβ︒+=⋅∈D ．(21)180()k k Z αβ︒+=+⋅∈6．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对8．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221°B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒9．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角二、填空题 10．若角2θ的终边与4π的终边重合，且3θ∈[0,2)π，则4θ=_______________.11．2020是第______象限角.12．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.13．终边在x 轴上的角α的集合是______.14．已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号).15．在0°到360°范围内与角380°终边相同的角α为________．三、解答题16．若角α是第二象限角，试确定2,2αα的终边所在位置．17．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．18．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．参考答案1．D 【分析】首先写出终边相同的角的集合，再判断 【详解】10002360280=⨯+，280角的终边在第四象限，所以1000角的终边也是第四象限.故选：D 2．D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题. 3．D 【分析】根据α的范围，求出2α的范围即可. 【详解】因为角α为第二象限角， 所以()22,2k x k k Z ππππ+<<+∈， 所以(),422x k k k Z ππππ+<<+∈，当2k n =()n Z ∈时，()22,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第一象限角；当21k n =+()n Z ∈时，()5322,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第三象限角； 所以2α是第一或第三象限角，【点睛】本题主要考查了象限角的范围，属于基础题. 4．D 【分析】分别由钝角、终边相同的角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案． 【详解】A.第一象限角范围是2k πx 2k π,2k z π<<+,所以不一定小于90°.所以A 错误.B. 终边在x 轴正半轴的角α2k π,k z =.不一定是零角 . .所以B 错误C.若360,k αβ+=⋅︒则360,?k k z αβ=⋅︒-. 则α应与β-终边相同. .所以C 错误D.因为钝角的取值范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以钝角一定是第二象限角. .所以D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查了任意角的概念，象限角，是基础的概念题． 5．D 【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，有12129036090360,,k k k k Z αβ，即可得解.【详解】角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以12129036090360,,k k k k Z αβ，21129036090360360180k k k k αβ，12,k k Z ∈即360180(21)180,kkkZ αβ，故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数6．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 7．D 【分析】先根据题意得出A ∩B ，再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【详解】解：∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°； 对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ． 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念，交集及其运算，熟练掌握基本概念是解本题的关键． 8．A 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 9．B 【分析】通过α是第四象限角，写出其对应角的集合，然后求出180°+α对应角的集合即可得到答案． 【详解】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限， 故选B. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角，基本知识的考查，深刻理解基本概念是解题的关键． 10．24π或38π 【分析】由终边相同角的关系得出4,363k k Z θππ=+∈，再由3θ的范围确定θ，进而得出4θ.【详解】 由题意可知，2,24k k Z θππ=+∈，则4,363k k Z θππ=+∈ 3θ∈[0,2)π，6πθ=或32πθ=则348θπ=或424θπ= 故答案为：24π或38π【点睛】本题主要考查了终边相同的角性质的应用，属于基础题. 11．三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三． 【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题． 12．{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【分析】 首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】 在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题. 13．{}|,k k Z ααπ=∈ 【分析】直接利用终边相同角的概念得到答案. 【详解】解：终边在x 轴上的角α的集合是{}|,k k Z ααπ=∈，故答案为：{}|,k k Z ααπ=∈ 【点睛】本题考查了角的终边，属于简单题. 14．②③④ 【分析】利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒，30036060-︒=-︒+︒，42036060︒=︒+︒，1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④ 【点睛】本题主要考查象限角以及终边相同的角的应用，属于基础题 15．20° 【详解】与角380°终边相同的角α为380360,()k k Z α=+⋅∈， 又α在0°到360°，所以1,20.k α=-= 【点睛】1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为)22()(0k k Z πααπ+≤<∈的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 16．角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【分析】写出第二象限角的集合，然后利用不等式的基本性质得到2α，2α．【详解】 ∵角是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2）,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2,k n n Z =∈时， ∴ 22,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限． 当21,k n n Z =+∈时， ∴5322,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限． 综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【点睛】本题考查了象限角和轴线角，关键是写出第二象限角的集合，是基础题 17．{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°. 【点睛】该题考查的是有关角的概念的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，终边确定，落在某个范围内的角的大小的确定，属于简单题目.18．（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈ {}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.答案第9页，总9页。
角的概念的推广
角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法:类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
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课标要求
素养要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体
弧度和角度进行正确的转换.
会引入弧度制的必要性，重点提升学
2.体会引入弧度制的必要性，建立角 生的数学抽象素养.
的集合与实数集的一一对应关系. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面
8
课前预习
课堂互动
核心素养
4.扇形的弧长及面积 公式
牢记公式是解决数学问题的关键
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 扇形的弧长
α为角度制
απr l＝__1_8_0__
α为弧度制 l＝__α_·_r__
扇形的面积
απr2 S＝ 360 _______________
易知：度数×1π80 rad＝弧度数，弧度数×18π0°＝度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意
角的单位取弧度.
31
课前预习
课堂互动
核心素养
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二、素养训练
1.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.－π4－8π C.π4－10π
18
课前预习
课堂互动
核心素养
【训练1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－51π2化成度. 解 (1)112°30′＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)－51π2＝－51π2×18π0°＝－75°.
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课前预习
课堂互动
核心素养
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人教版高中数学-特殊角(或区域角)的表示
特殊角(或区域角)的表示在角的概念推广的题形中,对于特殊角及区域集合表示问题,学生往往感到很难动笔.下面就这个问题进行分析、归纳、整理，供参与.一、终边相同角的集合的表示1.终边落在以原点为端点的射线OA 上的角的集合可表示为(如图1.1){β|β=k·360︒+α,k ∈Z }；其中，α为射线OA 与x 轴的非负半轴所成的最小正角.2.终边落在过原点的直线l 上的角的集合可表示为(如图1.2)：{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }；其中，α为直线l 与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.事实上，因为终边落在直线l 上的角可看成是终边落在直线l 的两条射线上的角的集合的并集，即{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·360︒+180︒+α,k ∈Z }={β|β=2k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·180︒+α,k ∈Z }={β|β=k·180︒+α,k ∈Z }. 3.如图1.3，终边落在以原点为端点的三条两两所成角相等的射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合可表示为：{β|β=k·120︒+α,k ∈Z }；α为三射线与x 轴的非负半轴所成角的最小正角. 事实上，终边落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角可看成是终边分别落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合的并集，即{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+240︒+α,k ∈Z }={β|β=3k·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+1)·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+2)·120︒+α,k ∈Z } ={β|β=k·120︒+α,k ∈Z }4.如图1.4，终边落在过原点的两条相互垂直的直线l 1,l 2上的角的集合可表示为：{β|β=k·90︒+α,k ∈Z }；α可规定为直线l 1与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.事实上，因为终边落在二直线l 1,l 2上的角可看成是终边分别落在两直线l 1,l 2上的角的集合的并集，即{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·180︒+90︒+α,k ∈Z } ={β|β=2k·90︒α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·90︒+α,k ∈Z }={β|β=k ·90︒+α,k ∈Z }推广：一般地,终边落在以原点为端点的等分圆周角的射线上的角的集合可表示为:{β|β=k·360︒n+α,k ∈Z } 二、特殊区域角的集合表示1.任意两条射线所形成区域角的表示如图2.1,阴影部分的角的集合可看成是射线OA 绕原点O 逆时针方向旋转到射线OB 所成区域角.设α1是射线OA 上的最小正角,α2是射线OB 的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,360︒)，则射线OA 和射线OB 所成区域的角的集合为{β|k ·360︒+α1<β<k·360︒+α2,k ∈Z }.图1.1 图1.2图1.3图1.4 图2.12.对顶角区域的角的集合的表示如图2.2，阴影部分的角的集合可看成是直线l1绕原点O逆时针方向旋转到直线l2所成区域角,设α1是直线l1上的最小正角,α2是直线l2的角,α2>α1且α2-α1(0︒,180︒)，则终边落在直线l1上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α1,k∈Z},终边落在直线l2上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α2,k∈Z},故阴影部分的角可表示为： {β|k·180︒+α1<β<k·180︒+α2,k∈Z}.3.如图2.3,两组三等分圆周角的三条射线所成区域角的表示因为射线OA1,OA2,OA3和射线OB1,OB2,OB3两两所成角相等,则阴影部分的角可看成是一组三等分圆周角三射线OA1,OA2,OA3同时绕原点O逆时针方向旋转到三射线OB1,OB2,OB3所成区域角,设α1是三射线OA1,OA2,OA3与x轴非负半轴所成角中最小的正角，α2是三射线OB1,OB2,OB3角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,120︒)，则终边落在三射线OA1,OA2,OA3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α1,k∈Z}；终边落在三射线OB1,OB2,OB3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α2,k∈Z}；故终边落在阴影部分的角可表示为：{β|k·120︒+α1<β<k·120︒+α2,k∈Z}.4.如图2.4,两组相互垂直的直线所成区域角的表示因为l1和l2相互垂直,直线m1和m2相互垂直,则阴影部分的角可看成是相互垂直的两条直线l1,l2同时绕原点逆时针方向旋转到直线m1，m2所成区域角,设α1是直线l1,l2上角中最小的正角,α2是直线m1,m2上的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,90︒)，则终边落在直线l1,l2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α1,k∈Z}；终边落在直线m1，m2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α2,k∈Z}；故终边落在阴影部分的角可表示为: {β|k·90︒+α1<β<k·90︒+α2,k∈Z}.图2.2图2.3图2.4。
三角函数与三角恒等变换例题与习题
三角函数与三角恒等变换专题复习高考动态 (3)复习建议 (3)专题一：任意角及其三角函数 (4)考点一：终边相同的角的集合 (4)考点二：弧长及面积公式 (6)考点三：任意角的三角函数的定义 (8)考点四：三角函数值的符号及其取值范围 (9)考点五：同角三角函数的基本关系 (11)考点六：诱导公式及其应用 (13)专题二：三角函数的图象与性质 (14)考点一：三角函数的定义域、值域 (14)考点二：三角函数的单调性、周期性 (17)考点三：三角函数的奇偶性、对称性 (20)考点四：三角函数的最值 (22)考点五：三角函数的图象和性质的综合 (24)附1：高考真题回放与示例 (27)附2：高考经典题组训练 (28)专题三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质 (29)考点一：y＝A sin(ωx＋φ)的图象及平移伸缩变换 (30)考点二：求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式 (32)考点三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 (35)考点四：三角函数模型的应用 (38)考点五：三角函数的综合 (40)附1：高考真题回放与示例 (42)附2：高考经典题组训练 (44)专题四：和差角和二倍角的三角函数 (46)概述： (46)公式汇总 (46)考点一：给角求值 (48)考点二：给值求值 (52)考点三：给值求角 (55)考点四：型 (57)考点五：型 (59)熟悉考查内容与形式，从而有效地复习。
①小题，重在基础：三角函数小题考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．②大题，重在本质：有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法．③应用，融入三角形之中：这种考点既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能．主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换．专题一：任意角及其三角函数任意角的三角函数主要包括，任意角的概念、角度值和弧度制的转换、弧长面积公式、任意角的三角函数的概念、单位圆及其三角函数线、同角三角函数的关系、诱导公式。
高一数学必修第一册 第5章 第一节 课时1 角的概念的推广(解析版)
第5章 第一节 课时1 角的概念的推广一、单选题1．如图，圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈，24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ）A ．864-B ．432C ．504D ．864【答案】D【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈， 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为3603610=， 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=， 故选：D ．2．下列各角中与60终边相同的角是（ ）A ．300-B ．240-C ．120D ．390【答案】A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】30060360-=-，24060300-=-，0106602=+，39060330=+， 因此，只有A 选项中的角与60终边相同. 故选：A.3．下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是A ．37-B ．143C ．379D ．143-【答案】D【分析】根据与37角的终边在同一直线上的角可表示为()37180k k Z +⋅∈，然后对k 赋值可得出正确选项.【详解】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-，所以，143-角的终边与37角的终边在同一直线上. 故选D ．【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系，熟悉结论：与角α的终边在同一直线上的角为()180k k Z α+⋅∈，属于基础题. 4．若角2α与240角的终边相同，则α= A ．120360,k k Z +⋅∈ B ．120180,k k Z +⋅∈ C ．240360,k k Z +⋅∈ D ．240180,k k Z +⋅∈【答案】B【分析】由题意得出()2240360k k Z α=+⋅∈，由此可计算出角α的表达式. 【详解】因为角2α与240角的终边相同，所以()2240360k k Z α=+⋅∈， 则120180k α=+⋅，k Z ∈. 故选B.【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在． A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【分析】可用终边相同的公式表示,αβ，再作差根据范围判断即可【详解】设122,2,αa k πβa k πk Z =+=+∈，则()122,k k k Z -=-∈αβπ，终边在x 轴的非负半轴上 故选A【点睛】本题考查任意角的概念，终边相同的角的表示方法，属于基础题 6．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α A ．是第三象限角 B ．是第四象限角 C ．是第三或第四象限角 D ．不是象限角 【答案】D【分析】根据点P 的位置，可判断出角α终边的位置.【详解】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选D.【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置，考查对任意角概念的理解，属于基础题.7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若α是第一象限角，则：90α︒-位于第一象限， 90α︒+位于第二象限， 360α︒-位于第四象限， 180α︒+位于第三象限，本题选择C 选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 8．已知角2α是第一象限角，则α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第一或第二象限或y 轴的非负半轴上【答案】D【分析】由象限角可得到角2α的范围,进而可求得α的范围,即可得出α的终边所在位置. 【详解】∵由角2α是第一象限角,∴可得π2π2π,22k k k α<<+∈Z ,∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上. 故选:D.【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.9．集合(){}180190,nA x x n n Z ==⋅+-⋅∈与{}36090,B x x m m Z ==⋅+∈之间的关系是 A ．ABB ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】C【分析】对集合A 中的整数n 分偶数和奇数两种情况讨论，并将集合A 中的等式化简，由此可判断出集合A 与集合B 之间的关系.【详解】对于集合A ，当n 为偶数时，设()2n k k Z =∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+；当n 为奇数时，设()21n k k Z =+∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+.所以，集合{}36090,A x x k k Z ==⋅+∈，因此，A B =. 故选C.【点睛】本题考查角的两个集合之间包含关系的判断，解题的关键就是对整数n 进行分类讨论，并将集合A 中的等式化简，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 10．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分k 为偶数和奇数讨论，即可容易判断选择. 【详解】当k 取偶数时，2,k n n Z =∈，2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈，故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时，21,k n n Z =+∈，532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈， 故角的终边在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查图形中阴影部分对应角度的集合，属简单题.二、多选题11．（多选）下列四个选项中正确的是（ ） A ．-75°角是第三象限角 B ．225°角是第二象限角 C ．475°角是第二象限角 D ．-315°是第一象限角【答案】CD【分析】根据象限角的定义结合图像逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，如图1所示，-75°角是第四象限角，故A 错误；对于B ，如图2所示，225°角是第三象限角，故B 错误；对于C ，如图3所示，475°角是第二象限角，故C 正确；对于D ，如图4所示，-315°角是第一象限角，故D 正确．12．下列命题中，假命题的是（ ） A ．终边在x 轴的非正半轴上的角是零角 B ．第二象限角一定是钝角 C ．第四象限角一定是负角D ．若()360k k βα=+⋅︒∈Ζ，则α与β终边相同 【答案】ABC【解析】角的概念和辨析，按照概率逐一进行判断即可.【详解】终边在x 轴负半轴上的角是2,k k αππ=+∈Z ，零角是没有旋转的角，所以A 为假命题；第二象限角应表示为2,2,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，是由无数多个区间的并集构成，所以B为假命题；第四象限角表示为32,22,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k ≥时，就是正角，所以C 为假命题；若()360k k βα=+⋅︒∈Z ，则α与β终边相同，所以D 为真命题. 故选：ABC.13．（多选）已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】AC【分析】由角2α的终边的位置，可得角2α的范围：3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，即得角α的范围：18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，再对k 分奇数和偶数讨论可得解. 【详解】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，则有18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈.故当2k n =，n Z ∈时，36036090n n α⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第一象限角； 当21k n =+，n Z ∈时，360180360270n n α⋅+⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第三象限角.【点睛】本题考查角2α和角α的终边的位置关系，关键在于由角的终边的位置得角的范围，再分k 为奇数和偶数讨论，属于基础题.14．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）． A ．540αβ+=︒ B ．360αβ+=︒ C ．180αβ+=︒ D ．90αβ+=︒【答案】AC【解析】假设α，β为0180内的角，可得180αβ+=，再由终边相同角的表示即可求解.【详解】假设α，β为0180内的角，如图所示：由α和β的终边关于y 轴对称，所以180αβ+= 根据终边相同角的概念，可得()36018021180,k k k Z αβ+=+=+∈， 所以满足条件的为A 、C 故选：AC三、填空题15．将90︒角的终边按顺时针方向旋转30︒所得的角等于________． 【答案】60︒【分析】顺时针旋转所得角为负角，即903060︒︒︒-=．【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90(30)60︒︒︒+-=． 【点睛】此题考查角定义逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，属于简单题目． 16．已知角α为钝角，角4α与角α有相同的始边与终边，则角α=______．【答案】120【分析】由题意得出()4360k k Z αα=⋅+∈，可得出120k α=⋅，再由90120180k <⋅<求出整数k 的值，即可得出角α的值.【详解】若角4α与角α有相同的始边与终边，则()4360k k Z αα=⋅+∈，即()120k k Z α=⋅∈．又角α为钝角，则90120180k <⋅<，所以1k =，所以120α=． 故答案为120.【点睛】本题考查利用终边相同求角的值，解题的关键就是利用两角终边相同这一条件得出角的表达式，根据题中条件列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.四、双空题17．如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是______，逆时针旋转两圈半所得角的度数是______．【答案】 900-︒ 900°【分析】根据正角和负角及任意角的定义即可得出答案.【详解】解：顺时针旋转两圈半所得角的度数是236018()0900-⨯︒+︒=-︒，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°． 故答案为：900-︒；900°五、解答题18．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角β． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)720360β-︒≤<-︒． 【答案】(1)190β=-︒ (2)170β=︒(3)550β=-︒【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，再根据3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒，即可的解；（2）根据0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒，即可的解； （3）根据720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒，即可的解.【详解】(1)解：与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，由3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得2k =-，故所求的最大负角190β=-︒； (2)解：由0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得1k =-，故所求的最小正角170β=︒； (3)解：由720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒且k ∈Z ，可得3k =-，故所求的角550β=-︒． 19．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Zαα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Zαα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈{}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.20．如图，半径为1的圆的圆周上一点A 从点()1,0出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A 在1min 内转过的角度为1(080)θθ︒<<︒，2min 到达第三象限，15min 回到起始位置，求θ．【答案】96θ=︒或120°．【分析】由题意列出关于θ的关系式，直接求解即可【详解】由题意，得()0180180227015360k k θθθ⎧︒<<︒⎪︒<<︒⎨⎪=⋅︒∈⎩Z ，即()9013524k k θθ︒<<︒⎧⎨=⋅︒∈⎩Z ，解得96θ=︒或120°．。
高中数学 第7章 三角函数 7.1.2 弧度制教学案(含解析)高一第一册数学教学案
7.1.2 弧度制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．2．角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示] 利用1°＝π180rad≈0．017 45 rad 和 1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈57．30°进行弧度与角度的换算． 3．扇形的弧长公式及面积公式 (1)弧度制下的弧长公式：如图，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r ．特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|．(2)扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr ．4．引入弧度制的意义角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大． ( ) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等． ( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× 2．将下列弧度与角度互化． (1)－2π9＝ ；(2)2 rad≈ ； (3)72°＝ ； (4)－300°＝ ．(1)－40° (2)114．6° (3)2π5 rad (4)－5π3 rad[(1)－2π9 rad ＝－29×180°＝－40°．(2)2 rad ＝2×180°π≈114．6°．(3)72°＝72×π180 rad ＝2π5rad ．(4)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3 rad ．]3．(一题两空)半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为 ，面积为 ．2π3 π3 [∵α＝2π3，r ＝1，∴弧长l ＝α·r ＝2π3， 面积＝12lr ＝12×2π3×1＝π3．]角度制与弧度制的互化(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′．[思路点拨] 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化． [解] (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ．(2)π10 rad ＝π10×180°π＝18°．(3)－4π3 rad ＝－4π3×180°π＝－240°．(4)112°30′＝112．5°＝112．5×π180 rad ＝5π8rad ．角度制与弧度制换算的要点提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度．[跟进训练]1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5．[解] (1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad ．(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad ．(3)7π12 rad ＝7π12×180°π＝105°．(4)－11π5 rad ＝－11π5×180°π＝－396°．用弧度制表示角的集合半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．[思路点拨] 先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．[解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z．(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z ． (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z． 表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k πk ∈Z ”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°k ∈Z”中，α必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.[跟进训练]2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．(1) (2)[解] (1)由题图(1)，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )， 所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z． (2)由题图(2)，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ．所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ．扇形的弧长及面积问题1．公式l ＝|α|r 中，“α”可以为角度制角吗？ [提示] 公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．2．在扇形的弧长l ，半径r ，圆心角α，面积S 中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．[提示] 已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ，进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r ． 【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？[思路点拨][解] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2r r．由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10，∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25． 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大． 1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20 cm”，求扇形的面积．[解] 设扇形弧长为l ，因为72°＝72×π180 rad ＝2π5(rad)，所以l ＝αr ＝2π5×20＝8π(cm)，所以S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．2．(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．”[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4. ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4． 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad ．灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.提醒：1在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.2看清角的度量制，选用相应的公式. 3扇形的周长等于弧长加两个半径长.[跟进训练]3．地球赤道的半径约是6 370 km ，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是 km(精确到0．01 km)．1.85[因为1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°＝160×π180，所以l ＝α·R ＝160×π180×6 370≈1.85(km)．]1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad (3)1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°．3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析； (2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用． 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用． 1．(多选题)下列转化结果正确的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°ABD [对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°．故ABD 正确．] 2．若扇形的周长为4 cm ，面积为1 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 ．2 [设扇形所在圆的半径为r cm ，扇形弧长为l cm ． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝4，12lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2，r ＝1.所以α＝l r ＝2． 因此扇形的圆心角的弧度数是2．]3．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为 ． {}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z [若角α的终边落在x 轴的上方，则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z ．]4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3． (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．[解] (1)∵180°＝π rad，∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6， α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6． ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝3π5＝3π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝108°， 设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k ·360°＜0°，得k ＝－2，或k ＝－1．故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°．β2＝－π3＝－60°， 设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0． 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°．。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第22讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．(2)象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度制的相关概念(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． (2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：弧度单位用符号rad 表示，读作弧度．如图，在单位圆O 中，AB ︵的长等于1，∠AOB 就是1弧度的角． (3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°．(4)扇形的弧长公式：l ＝α·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12α·r 2.其中r 是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．3．三角函数的概念三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，α∈R ，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α➢考点1 角的概念与表示1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一､二象限的C．不相等的角终边一定不相同D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关【答案】D【解析】解：对于A，第一象限的角不一定是锐角，所以A错误；对于B ，三角形内角的取值范围是(0,)π，所以三角形内角的终边也可以在y 轴的非负半轴上，所以B 错误；对于C ，不相等的角也可能终边相同，如2π与52π，所以C 错误；对于D ，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以D 正确． 故选：D ．2．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．245k π+，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈ C ．360315k ⋅-，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误； 又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈， 所以C 正确． 故选：C ．3．（2022·全国·高三专题练习）角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】∵角α的终边在第一象限， ∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限， 当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限， 综上，角α的终边不可能落在第四象限， 故选：D. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（ ） A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈，则α的终边在（ ） A ．第一、三象限B ．第一、二象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限 【答案】A【解析】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈，其终边在第三象限； 当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈，其终边在第一象限. 综上，α的终边在第一、三象限. 故选：A.3．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列与角23π的终边不相同的角是（ ）A ．113πB ．2kπ－23π(k ∈Z )C ．2kπ＋23π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )【答案】ABD 【解析】与角23π的终边相同的角为22()3k k Z ππ+∈，其余三个角的终边与角23π的终边不同． 故选：ABD.4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（ ） A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒ 【答案】AC【解析】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈， 故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确， 令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误. 故选：AC.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD【解析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知， 选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意； 选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称. 故选：BD.6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】BD【解析】解：由已知得2222k k ππθπ-<<，k Z ∈，所以4k k ππθπ-<<，k Z ∈，当k 为偶数时，θ在第四象限，当k 为奇数时，θ在第二象限，即θ在第二或第四象限． 故选：BD ．➢考点2 弧度制及其应用(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． [典例]1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A 、B 、C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是______．【答案】223π-【解析】由条件可知，弧长23BC A AB C π===，等边三角形的边长2323AB BC AC ππ====，则以点A 、B 、C 为圆心，圆弧,,AB BC AC 所对的扇形面积为1222233ππ⨯⨯=，中间等边ABC 的面积12332S =⨯⨯=所以莱洛三角形的面积是23232233ππ⨯-=-. 故答案为：223π-2．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =. 由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=， 当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=， 所以()3152BD cm π=， 故()10BD cm π=. 故答案为：10π [举一反三]1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4B ．8C ．10D ．16【答案】A【解析】如图，AD 弧长为6π，BC 弧长为8π，因为圆心角为2π，6122OA ππ==，8162OB ππ==，则母线16124AB =-=. 故选：A.2．（2022·山东济南·二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin 2b θθB ．2cos 2bθθC ．sin 2b θθD ．2cos 2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==，在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sin sin 22AD AC b θθ=⋅=，cos cos 22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==， 所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）2，母线长为2其侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．4πB ．34πC ．2πD ．π 【答案】C【解析】由题设，底面周长2l π=，而母线长为2 根据扇形周长公式知：圆心角2222ππθ=. 故选：C.4．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A ，B 两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A ，前轮上与点A 接触的地方标记为点C ，然后推着自行车沿AB 直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C 与地面接触了10次，当前轮与点B 接触时，标记点C 在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m ，则A ，B 两点之间的距离约为（ ）（参考数值： 3.14π≈）A ．20.10mB ．19.94mC ．19.63mD ．19.47m 【答案】D【解析】解：由题意，前轮转动了1103⎛⎫+ ⎪⎝⎭圈， 所以A ，B 两点之间的距离约为11020.3 6.2 6.2 3.1419.47m 3ππ⎛⎫+⨯⨯=≈⨯≈ ⎪⎝⎭，故选：D.5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地：径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面4⨯=径周．现有一宛田的面积为1，周为2，则径是__________．【答案】2【解析】根据题意，因为扇形面4⨯=径周，且宛田的面积为1，周为2，所以14径2⨯=，解得径是：2. 故答案为：2.6．（2022·湖南·雅礼中学二模）坐标平面上有一环状区域由圆223x y +=的外部与圆224x y +=的内部交集而成.某同学欲用一支长度为1的笔直扫描棒来扫描此环状区域的x轴上方的某区域R .他设计扫描棒黑､白两端分别在半圆()22130C x y y +=≥：､()22240C x y y +=≥：上移动.开始时扫描棒黑端在点()3,0A，白端在2C 的点B . 接着黑､白两端各沿着1C ､2C 逆时针移动，直至白端碰到2C 的点()2,0B '-便停止扫描，则B 坐标___________；扫描棒扫过的区域R 的面积为___________.【答案】 ()3,1B512π 【解析】由题意)3,0A ，1AB =，设(),B x y ，则点B 在()22240C x y y +=≥：上.则()()22224031x y y x y ⎧+=≥-+=，解得3,1x y == 所以()3,1B当白端B 在2C 上移动，碰到2C 的点()2,0B '-时，黑端在点A 在1C 上移动，设移动到点A '位置.则扫描棒扫过的区域R 为如图所示的阴影部分.设()00,A x y '则()()220022003021x y y A B x y ⎧+=≥⎪⎨=++=''⎪⎩，解得0033,22x y =-=，即332A ⎛'- ⎝⎭ 连接,A O OB ',在OA B ''△中，1,3,2A B OA OB ''''==满足222A B OA OB ''''+=，则2OA B π''∠=,所以11313222OA B SA B OA '''''=⨯=⨯⨯=由()()3,0,3,1AB,则OAB 为直角三角形，则11331222OABSOA AB =⨯⨯=⨯⨯=则30BOA ∠=︒,扇形OAC 与扇形OA C ''的面积为()23033604ππ⨯=区域R 的面积为OA B OABBB CC OA C OAC S SS SS ''''''--++-扇环扇形扇形()2215033523360422412ππππ︒⎡⎤=⨯-+-+-=⎢⎥⎣⎦︒故答案为：()3,1B ；512π➢考点3 三角函数的定义[名师点睛]1．利用三角函数的定义求三角函数值时，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．2．已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．1．（2022·山东潍坊·二模）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，且121x x -=，则tan α=（ ） A ．2B ．12C ．2-D ．12- 【答案】C【解析】由已知得，因为点()1,2A x ，()2,4B x 在角α的终边上，所以直线AB 的斜率为12242k x x -==--，所以，明显可见，α在第二象限，tan 2α.故选：C2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若角α的终边过点P （8m ，3-），且3tan 4α=，则m 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．【答案】A 【解析】∵33tan 84m α-==，∴12m =-，故选：A.3．（2022·山东枣庄·高三期末）θ为第三或第四象限角的充要条件是（ ）． A ．sin 0<θB ．cos 0<θC ．sin tan 0θθ<D ．cos tan 0θθ< 【答案】D【解析】对于A ：第三或第四象限角，以及终边在y 轴负半轴，故A 错误；对于B ：第二或第三象限角，以及终边在x 轴负半轴，故B 错误； 对于C ：第二或第三象限角，故C 错误； 对于D ：第三或第四象限角，故D 正确. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A【解析】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知α是第四象限角，(3,)P y 是角α终边上的一个点，若3cos 5α=，则y =（ ） A ．4B ．-4C ．4±D ．不确定 【答案】B【解析】依题意α是第四象限角，所以0y <，3cos 540y y α⎧==⎪⇒=-⎨⎪<⎩. 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -，(),2B b ，且cos 3sin 0θθ+=，则3a b -=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．7 【答案】D【解析】由cos 3sin 0θθ+=得：sin 1tan cos 3θθθ==-， 由三角函数定义知：21tan 3a bθ=-==-，解得：13a =，6b =-，3167a b -=+=∴. 故选：D.4．（2022·江苏·高三专题练习）点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知1r =，根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，sin 3y r π==所以点Q 的坐标是12⎛ ⎝⎭.故选：A5．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（ ）A ．．【答案】A【解析】因为α是第二象限角， 所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=. 故选：A.6．（2022·浙江·高三专题练习）若02πα-<<，则()sin ,cos Q αα所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】∵02πα-<<，∴cos 0,sin 0αα><，∴点()sin ,cos Q αα在第二象限． 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且coscos22αα=-，则角2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】C【解析】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈， 所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角； 当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.； 综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．8．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知角θ的终边过点(3,)A y ，且()4sin 5πθ+=，则tan θ=____________． 【答案】43-【解析】角θ的终边过点(3,)A ysin θ∴=cos θ=()4sin 5πθ+=4sin 5θ∴-= 即4sin 05θ=-<∴点A 在第四象限， 22453yy ∴=-+ 解得：4y =（舍去）或4y =- 4tan 3y x θ∴==-. 故答案为：43-.9．（2022·福建·莆田二中模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分∠AOC ，B （35，45），则点C 的横坐标为___________. 【答案】725-【解析】由题意可知圆O 2234155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设AOB BOC α∠=∠= ，由题意可知43sin ,cos 55αα== ，∴点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=- ； 故答案为：725-. 10．（2022·全国·高三专题练习）设点P 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置0(0,1)P 出发，沿单位圆顺时针方向旋转角(0)2πθθ<<后到达点1P ，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角3π到达点2P ，若点2P 的纵坐标是12-，则点1P 的坐标是___________. 【答案】31()2【解析】解：初始位置0(0,1)P 在2π的终边上，1P 所在射线对应的角为2θπ-， 2P 所在射线对应的角为6πθ-，由题意可知，1sin()62πθ-=-， 又(,)636πππθ-∈-， 则66ππθ-=-，解得3πθ=，1P 所在的射线对应的角为26ππθ-=，由任意角的三角函数的定义可知，点1P 的坐标是(cos ,sin )66ππ，即1)2．故答案为：1)2。
(新教材)【人教A版】必修一5.1.2(数学)
【思维·引】设扇形的半径为r cm,圆心角的弧度数为 θ ,由已知列方程组,解方程组即可.
【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长
为l
cm,半径为r
cm,依题意有
l 2r 8,①
由①②,得r=2,所以l=8-2r=4,θ 12=l
r 4,②
l =2.
故所求扇形的半径为2 cm、圆心角的r 弧度数为2 rad.
10 10
【内化·悟】
1.角度弧度互化原则是什么?
提示:牢记180°=π rad,充分利用1°= rad和
1 rad=
进行换算.
180 (180 )
2.角度弧度互化有哪些方法?
提示:设一个角的弧度数为α ,角度数为n,则α rad=
α·
;n°=n· .
(180 )
180
【类题·通】
又因为S= lr= (30-2r)r=-r2+15r
= 所以当r= 1 时,l=130-2× =15, 所以α= 2=2,此2时扇形面积最大,最大面积为 .
－(r 15 )2＋225 ( 15 r 15)，
2 4 1
15
15
2
2
l
225
r
4
【类题·通】 1.扇形问题的计算技巧 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键 是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长 公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
【解析】设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角 为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为 l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4. 故扇形的面积S= lr= ×4×2=4 (cm2). 答案:4
写出终边在区域内的角的集合
写出终边在区域内的角的集合终边在区域内的角的集合是指以某个边作为起始边，从起始边开始不断顺时针或逆时针旋转，遍历整个区域内所形成的所有角的集合。
接下来，我将为大家生动、全面、有指导意义地介绍终边在区域内的角的集合。
首先，我们来了解一下终边是指什么。
在平面几何中，终边是指以某一边为起点，沿着一定角度顺时针或逆时针旋转后，形成的另一条边。
终边可以是线段或射线。
在讨论终边角的集合时，我们通常考虑的是射线。
在一个给定的区域内，可以存在无数个不同的终边角。
这些终边角的大小和位置取决于起始边的选择以及旋转方向。
因此，终边在区域内的角的集合是多样且丰富的。
让我们通过一些例子来更好地理解这个概念。
假设我们有一个简单的矩形区域，其边长分别为a和b。
我们取其中一条边作为起始边，例如a边，然后以逆时针方向进行旋转。
依次遍历整个矩形区域，我们可以获得一系列的终边角。
这些角的度数会随着旋转的增加而增加，直到360度（一周）为止。
因此，矩形区域内的终边角的集合是一个从0度到360度的连续区域。
接下来，我们考虑一个更加复杂的例子。
假设我们有一个不规则的多边形区域。
同样地，我们可以选择其中一条边作为起始边，然后以顺时针或逆时针方向进行旋转。
由于不规则多边形的形状和边数不定，终边角的集合会更加多样化。
可以存在不同的尖角、钝角、直角等等。
这种情况下，我们可以通过绘制图形、测量度数等方法来完整地描述和表示终边角的集合。
除了简单的几何形状，终边角的集合还可以应用在更复杂的问题中。
例如，考虑一个球体的表面。
将球体剖开后，我们可以选择边界上的一条曲线作为起始边，并进行旋转。
这样，我们可以获得球体表面上的终边角的集合。
这种集合可以用于研究地理、物理等领域中的问题，例如天文学中的星球运动、地质学中的岩层分析等。
终边在区域内的角的集合有着重要的指导意义。
通过观察和分析这些集合，我们可以揭示区域内的角度分布、形状特征等信息。
这对于地图绘制、图像处理、形状识别等领域有着广泛的应用。
第7章-7.1.1 任意角高中数学必修第一册苏教版
【学会了吗丨变式题】
4.已知角 是第二象限角，则180∘ − 是( A
A.第一象限角
B.第二象限角
)
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】由角 是第二象限角，可得90∘ + ⋅ 360∘ < < 180∘ + ⋅ 360∘ ， ∈ ，
所以180∘ − 90∘ + ⋅ 360∘ > 180∘ − > 180∘ − 180∘ + ⋅ 360∘ ， ∈ ，即
又263∘ = −457∘ + 360∘ × 2,所以263∘ 角与−457∘ 角的终边相同,所以与−457∘ 角终
边相同的角也可写作 = ⋅ 360∘ + 263∘ , ∈ .
例2-3 下列说法正确的是( A
)
A.钝角一定大于锐角
B.射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是0∘
C.小于90∘ 的角都是锐角
D.第二象限角一定大于第一象限角
【解析】钝角 的取值范围为90∘ < < 180∘ ，锐角 的取值范围为0∘ < < 90∘ ，
因此钝角一定大于锐角，所以A正确．射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角
是360∘ ，所以B不正确．锐角 的取值范围是0∘ < < 90∘ ,小于90∘ 的角也可以是
<
3
<⋅
360∘
3
<⋅
当 = 3 + 1 ∈ 时, ⋅ 360∘ + 150∘ <
∈ ,此时, 是第一象限角;
3
360∘ + 180∘ ∈ ,此时 是第二象
18-19 第1章 §3 弧度制
∵2π－5∈0，π2，
重
课 时 分 层 作 业
难
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．]
返 首 页
自
4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度 当
主
堂
预 习
数是(
)
达 标
•
•
探 新
A．1
B．4
固 双
知
基
C．1或4
D．2或4
合
作
课
探 究
C [设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
究
• 攻
思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
重
课 时 分 层 作 业
难
提示：设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝12lr，l＝αr.
返
首
页
自
主 预
[基础自测]
习
•
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
探
新 知
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．
合 作
(2)1度的角是周角的3160，1弧度的角是周角的21π.
双 基
合
∴阴影部分内的角的集合为
作
探 究 • 攻
α－23π＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z
.
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
(2)如图②，以OA为终边的角为
π 3
＋2kπ(k∈Z)；以
自 主 预
OB为终边的角为
2π 3
＋2kπ(k∈Z)；不妨设右边阴影部
当 堂 达
习 •
分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合
探 究
考点04 角度制与弧度制(解析版)
考点04 角度制与弧度制一、单选题1．给出下列四个命题： ①34π-是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误. 【详解】 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 故答案为C 【点睛】本题主要考查象限角的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．已知扇形的周长为3cm ，扇形的圆心角的弧度数是1rad ，则半径是（ ） A ．4 B ．1C ．1或4D ．2【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，列出方程组求出r 的值. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则周长为23r l +=， 又扇形的圆心角弧度数是1lr=，即r l =； 由23r l r l+=⎧⎨=⎩，解得1r =，1l =；所以半径是1. 故选：B.【点睛】本题主要考查扇形的周长及弧长公式，根据条件列出方程组是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 3．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221° B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A. 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 4．已知角α是第三象限角，则2α终边落在（ ） A ．第一象限或第二象限 B ．第二象限或第三象限 C ．第二象限或第四象限 D ．第一象限或第三象限【答案】C 【解析】 【分析】 求出3,224k k k Z παπππ+<<+∈，即得解. 【详解】由题得322,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以3,224k k k Z παπππ+<<+∈， 当0k =时，2α终边落在第二象限， 当1k =时，2α终边落在第四象限，当2k =时，2α终边落在第二象限，当3k =时，2α终边落在第四象限，所以2α终边落在第二象限或第四象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查角的象限，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5．终边落在直线y x =上的角α的集合为（ ）A ．2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．2,4k k Z πααπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．,4k k Z πααπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】 【分析】分别写出终边落在直线y x =上且在第一象限和终边落在直线y x =上且在第三象限的角的集合，取并集得答案． 【详解】解：当角的终边落在直线y x =上且在第一象限时，角的集合为{|24k πααπ=+，}k Z ∈；当角的终边落在直线y x =上且在第三象限时，角的集合为{|24k πααππ=++，}k Z ∈．取并集可得，终边落在直线y x =上的角的集合为{|}4k πααπ=+． 故选：B ． 【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．6．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【答案】B 【解析】 【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B 【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息. 7．设集合M ＝{x|x ＝2k ×180°＋45°，k∈Z}，N ＝{x|x ＝4k×180°＋45°，k∈Z}，那么( ) A ．M ＝N B ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M∩N＝∅【答案】C 【解析】 【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得． 【详解】由题意可{|18045}{|2145}2kM x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈得，（），， 即M 为45︒的奇数倍构成的集合， 又{|18045}{|145}4kN x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈，（），，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆，故选C ． 【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．8．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．415B ．158C ．154D ．120【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式列出方程，即可求解. 【详解】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4， 再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角301584l r α===（弧度），故选C. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、多选题9．（多选）下列说法正确的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π C ．1rad 的角比1的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的； 对于B 中，周角为360，所以1的角是周角的1360，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的12π是正确的；对于C 中，根据弧度制与角度制的互化，可得1801rad 1π=>，所以是正确；对于D 中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D 项是错误的. 故选ABC. 【点睛】本题主要考查了角度制与弧度制的概念，以及角度制与弧度制的互化，其中解中熟记角度制和弧度制的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=B ．180αβ+=C ．()36090k k Z αβ︒︒+=⋅+∈D ．()360k k Z αβ︒+=⋅∈E.()()21180k k Z αβ+=+⋅∈ 【答案】BE 【解析】 【分析】 假设α、β都是0180内的角，可得出180αβ+=，然后再结合终边相同的角的概念可得出结论.【详解】假设α、β为0180内的角，如图所示，因为α、β的终边关于y 轴对称，所以180αβ︒+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k αβ+=⋅+=+⋅∈，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件． 故选：BE.【点睛】本题考查利用两角终边的对称性推出两角的关系，考查理解能力，表达能力． 11．（多选）下列转化结果正确的是（ ） A ．6730'化成弧度是38πB ．103π-化成角度是600-C ．150-化成弧度是76π- D ．12π化成角度是5【答案】ABD 【解析】 【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项. 【详解】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确; 对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误;对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD 【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位,属于基础题.12．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B A C =⋂ B ．C C =B ∪C ．BA B = D ．A B C ==【答案】BC 【解析】【分析】根据集合,,A B C 中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】 对于A 选项，AC 除了锐角，还包括其它角，比如330-，所以A 选项错误.对于B 选项，锐角是小于90的角，故B 选项正确. 对于C 选项，锐角是第一象限角，故C 选项正确.对于D 选项，,,A B C 中角的范围不一样，所以D 选项错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.【答案】{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【解析】 【分析】 首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围.【详解】 在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题. 14．设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为___________. 【答案】3,,5102πππ【解析】 【分析】根据三角形内角和为π以及比例的性质求解即可. 【详解】因为三角形内角和为π，故各内角弧度分别为22355ππ=++，3323510ππ=++，52352ππ=++.故答案为：3,,5102πππ【点睛】本题主要考查了弧度制及其运算，属于基础题.15．在半径为6的圆中，长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形的面积是______________【答案】6π-【解析】 【分析】由题意可知所求弓形的面积等于圆心角为60度的扇形面积减去等边三角形面积即可 【详解】解：设圆心为O ，弦为AB ，AB 的中点为C ，则AB OC ⊥， 由题可知6AB OA OB ===，则60AOB ∠=︒， 则在Rt OCB 中，30BOC AOC ∠=∠=︒，所以所求弓形的面积为221666234ππ⨯⨯-=-故答案为：6π-【点睛】此题考查求弓形的面积，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题 16．若角2θ的终边与4π的终边重合，且3θ∈[0,2)π，则4θ=_______________. 【答案】24π或38π【解析】 【分析】由终边相同角的关系得出4,363k k Z θππ=+∈，再由3θ的范围确定θ，进而得出4θ.【详解】 由题意可知，2,24k k Z θππ=+∈，则4,363k k Z θππ=+∈3θ∈[0,2)π，6πθ=或32πθ= 则348θπ=或424θπ= 故答案为：24π或38π 【点睛】 本题主要考查了终边相同的角性质的应用，属于基础题.四、解答题 17．已知集合22,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，{|04}B y y π=<<，求A B . 【答案】79150,,,44444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππ 【解析】【分析】 两个集合交集分布情况为当0,1,2k =时，分别讨论即可得解.【详解】由题{|04}B y y π=<<，22,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭当1k ≤-时，集合A 中的元素全为负数，与集合B 交集为空集，当0,1,2k =时，791517,,,444444A ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当3k ≥时，集合A 中的元素全都大于等于234π，与集合B 交集为空集， 所以A B =79150,,,44444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππ. 【点睛】此题考查求集合的交集运算，分别考k 取整数的情况讨论求解，可以结合角的终边所在象限求解.18．试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．【答案】222,34k k k Z ππβπβπ⎧⎫-++∈⎨⎬⎭⎩． 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念以及图形直接写出区域角的集合. 【详解】因为42233πππ+=，所以43π的终边与23π-的终边相同， 则终边在题图所示阴影区域内的角的集合为222,34k k k Z ππβπβπ⎧⎫-++∈⎨⎬⎭⎩． 【点睛】本题考查区域角的求法，考查观察能力，属基础题.19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m ，所在圆的半径为r ，扇形的圆心角的弧度数为θ，()0,2θπ∈.（1）求绿化区域面积S 关于r 的函数关系式，并指出r 的取值范围；（2）所在圆的半径为r 取何值时，才能使绿化区域的面积S 最大，并求出此最大值.【答案】（1）2200S r r =-+，200,2001r π⎛⎫∈⎪+⎝⎭（2）当100m r =时，S 最大为210000m 【解析】【分析】（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出S .根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数θ,并结合()0,2θπ∈即可求得半径的取值范围.（2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径.【详解】（1）当半径为r ,所以弧长为4002r - 所以()2140022002S r r r r =-=-+ 由弧度定义可知4002r rθ-=,而()0,2θπ∈ 所以400202r r π-<<,解得2002001r π<<+ 综上可知2200S r r =-+,200,2001r π⎛⎫∈⎪+⎝⎭（2）因为2200S r r =-+ ()210010000r =--+由二次函数的性质可知,当100m r =时,S 最大为210000m【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题.20．如图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A 在1min 内转过的角度为()0180θθ︒︒<<，2min 到达第三象限，15min 回到原来位置，求θ.【答案】θ为96°或120°【解析】【分析】由题意结合任意角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念可转化条件为0180180227015360()k k Zθθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，即可得解.【详解】由题意得0180180227015360()k k Zθθθ︒︒︒︒︒⎧<<⎪<<⎨⎪=⨯∈⎩，解得24,︒=⋅∈k k Zθ，且90135︒︒<<θ，所以满足题意的θ为96°或120°.【点睛】本题考查了任意角、象限角及终边相同的角的概念的应用，考查了运算求解能力，关键是合理转化题目条件，属于基础题.21．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)94π-(2m)；(2)少1.522m．【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．22，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【答案】(()96l dm π+=， ()274S dm π=． 【解析】【分析】 用2个圆心角为直角,一个圆心角为3π的扇形的弧长相加即可得点A 走过的路程,用3个扇形的面积相加即可得扇形的总面积.【详解】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==， 面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=， 面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长)32dm 33l A D ππ=⨯==，面积()232112dm 22S A D π===．综上，点A 走过的路程(()1239dm 236l l l l πππ+=++=++=，点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424S S S S ππππ=++=++=． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式.。
高中数学人教B版必修第三册 第七章 7.1.1
7．1任意角的概念与弧度制7．1.1角的推广学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．知识点一角的相关概念1．角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．2．角的分类：名称定义图示正角按照逆时针方向旋转而成的角负角按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有旋转而成的角由于角是旋转生成的，所以也常称为转角．知识点二角的加法与减法(β>0°)1．α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β.2．α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β.知识点三象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．思考“锐角”，“第一象限角”，“小于90°的角”三者有何不同？答案锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．1．第二象限角是钝角．(×)2．经过6个小时，时针旋转180°.(×)3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(√)4．始边与终边重合的角是零角．(×)一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③角α与－α的终边关于x轴对称；④第一象限的角一定不是负角．其中正确的结论为________(填序号)．答案②③解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③角α与－α，旋转的绝对量相同，只是旋转方向不同，故③正确；④－300°是第一象限角，故④不正确．反思感悟理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A.120°B．－120°C．－60°D．60°答案 B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.解(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．反思感悟首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可．跟踪训练2(1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B(2)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z答案 C解析因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.三、区域角的表示例3如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．解(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝105°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)及图知，阴影部分的角的集合为{θ|30°＋k·360°≤θ<105°＋k·360°，k∈Z}．延伸探究把本例中的图改为写出终边落在阴影部分的角的集合．解方法一(并集法)在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以α∈{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．方法二(旋转法)终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}，同理终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}．故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}．反思感悟表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°(或0°～360°)范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边落在x 轴的正半轴，终边落在阴影部分的角的集合．解 如题图(1)所示，以OB 为终边的角有225°角，可看成是－135°， ∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|－135°＋k ·360°≤θ≤135°＋k ·360°，k ∈Z }． 如题图(2)所示，以OB 为终边的角有330°角， 可看成是－30°，∴以OA ，OB 所在直线为终边的角的集合分别是： S 1＝{θ|θ＝75°＋k ·180°，k ∈Z }， S 2＝{θ|θ＝－30°＋k ·180°，k ∈Z }． ∴终边落在阴影部分的角的集合为 {θ|k ·180°－30°<θ<k ·180°＋75°，k ∈Z }．确定nα及αn所在的象限典例 已知α是第二象限角，求角α2，2α所在的象限．解 方法一 ∵α是第二象限角， ∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 方法二 如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．又因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．[素养提升] 分类讨论时要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．1．下列说法正确的是( ) A ．不相等的角终边必不同 B ．终边与始边均相同的角一定相等 C ．第三象限的角不一定大于第二象限的角 D ．第四象限的角一定是负角 答案 C解析30°与390°角不相等，但终边与始边均相同，故A，B说法错误；460°是第二象限角，200°是第三象限角，200°小于460°，故C说法正确；300°是第四象限角，也是正角，故D说法错误．2．与－30°终边相同的角是()A．－330°B．150°C．30°D．330°答案 D解析因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.3．－2 020°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 B解析－2 020°＝－6×360°＋140°，因为140°角的终边落在第二象限，故选B.4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}答案 D解析终边落在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.5.已知角α的终边落在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是___________．答案{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．1．知识清单：(1)任意角的概念．(2)终边相同的角与象限角．(3)区域角的表示．2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.1．－870°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C.2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案 C3．下列说法正确的个数为()①第二象限角大于第一象限角；②终边在x轴正半轴上的角是零角；③钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴正半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．4．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°答案 B解析 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， 所以－330°与750°终边相同．5．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．6．50°角的始边与x 轴的正半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________． 答案 －1 030°解析 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°. 又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.7．终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合为______________________． 答案 {α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }解析 第一、三象限的角平分线可以看成把x 轴逆时针旋转45°得到，故所求的角的集合为{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }．8．若时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________． 答案 －480°解析 时针走了1小时20分，则分针顺时针走了113圈，即转过的角度为－360°×43＝－480°.9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是()A．第一或第三象限角B．第一或第二象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角答案 A解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α在第一或第三象限．12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α答案 C解析特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．13．已知角α的终边落在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是________．答案{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}解析方法一(并集法)在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.所以α∈{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋150°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°<α<k ·360°＋330°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°<α<2k ·180°＋150°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)·180°＋30°<α<(2k ＋1)·180°＋150°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．方法二 (旋转法)观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n ·180°＋30°<α<n ·180°＋150°，n ∈Z }．14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________. 答案 270°解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z ，得4α＝k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z ，又180°<α<360°，∴当k ＝3时，α＝270°.15．已知α是第三象限角，则α2是第________象限角． 答案 二或四解析 ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，k ∈Z ， 当k ＝2n 时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，n ∈Z ， ∴α2为第二象限角； 当k ＝2n ＋1时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，n ∈Z ， ∴α2为第四象限角． 综上，α2为第二或第四象限角． 16.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 ∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ，则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )，∴θ＝n ·180°7，从而90°<n ·180°7<135°，n ∈Z ， ∴72<n <214，n ∈Z ，∴n ＝4或5. 当n ＝4时，θ＝720°7； 当n ＝5时，θ＝900°7.。