电路基础3第4章 正弦交流电路共119页
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三相正弦交流电路
三相电压相量表达式为：
& U U = U U ∠0° & U V = U V ∠ 120° & U = U ∠120°
W W
（4-2）
由于三相电压对称，任一瞬间对称三相电源三个电压瞬 时值或相量之和为零。则 uu + uv + uw = 0 （4-3） & & & Uu +Uv +Uw = 0 （4-4） 这是对称三相电压的一个重要特点。 三相电源出现振幅值（或相应零值）的先后次序称为相 序。上述三相电源相位的次序为uU超前uV120o，uV超前 uW120o，称为顺序（或正序）。与此相反，若uU超前 uW120o，uW超前uV120o，这样的相序称为反序（或负序）。 本章着重讨论顺序的情况。
(a)三相发电机示意图
(b)三相交流电压波形图 图4-1三相交流电压
(c)三相交流电压相量图
三个交流电压为：
uU = U pm sin ωt uV = U Pm sin(ωt 120°) uW = U pm sin(ωt + 120°)
（4-1）
由式可以看出，交流发电机产生的三相电压具有以下三 个特点：频率相同、振幅相等、相位彼此间相差120o。满足 上述三个条件的三相电压称为对称三相电压。能产生这种三 相电压的电源称为对称三相电源。对称三相电压波形如图41（b）所示，相量图如图4-1(c)所示。
[例4.2] 图4-6（a）所示对称三相电路中, 负载每相阻抗 例 Z=6+j8 , 端线阻抗Zl=1+j1 , 电源线电压有效值为380V。 求负载各相电流、每条端线中的电流、负载各相电压。
（4-9）
IW
U W U U ∠120° = = = I U ∠120° ZW Z
第4章 大学电工学 正弦交流电路
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《电工学》课程
正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦
规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦
的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算；
有利于电器设备的运行；
. . . . .
i
t
T
2. 频率 f： 每秒变化的次数
单位：赫兹，千赫兹 ... 单位：弧度/秒
3. 角频率 ω ： 每秒变化的弧度
1 f T
2π 2π f T
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小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
I m 为正弦电流的最大值
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指
示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准
电压220V，也是指供电电压的有效值。
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《电工学》课程
热效应相当 有 效 值 概 念
有效值 电量必须大写 如：U、I
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由向量表示法知
y
(z)
z 2 z1 — 点z1与z 2 之间的距离
由此得 : z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 (三角不等式 )
z1
z2 x
o 4. 指数表示法
3. 三角表示法
x r cos 由 得 y r sin
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电工基础-第4章 正弦交流电路(修改)
例4.3
三个正弦电压uA(t)=311sin314t V，
uB(t)=311sin(314t － 2π/3)V，uC(t)=311sin(314t＋2π/3) V， 若以uB为参考正弦量， 写出三个正弦电压的解析式。 解：先求出三个正弦量的相位差， 由已知得
ϕ ϕ
AB
= 0 − (− = (−
2π = − 4π + 2π 3 3 2π − = 2π = ϕ 0 3 3
•
sin( + 2U 1 sin(ωt+φ1 )=380 U 2 sin(ωt+φ2 )=220
2
sin(314t+π/6) V V 2 sin(314t -π/3) V
2
U 2 ←→
•
u 2=
4.2.2 两个同频率正弦量之和 两个同频率正弦量之和 1. 两个同频率正弦量的相量之和 设有两个同频率正弦量：
i i
(4—1)
I m ：振幅值； ω：角频率；
Φ ：初相。
Im
ϕ ω
ϕ 0
π
ωt
t
Τ
2
T
图 4.1 正弦量的波形图
1. 瞬时值和振幅值 交流量任一时刻的值称瞬时值。瞬时值中的最大值 (指绝对值)称为正弦量的振幅值，又称峰值。 Im、Um分别 表示正弦电流、 电压的振幅值。 2. 周期和频率 表示正弦量变化的快慢程度
BC
2π 3
2π 3
)−
)=
2π 3
=
2π 3
CA
以uB为参考正弦量， 它们的解析式为
u
B
(t ) = 311sin 314tV
2π u A (t ) = 311sin(314t + 3 )V 2π － 4π/3） uC (t ) = 311sin(314t − 3 )V
《电路基础》教材目录
《电路基础》目录第1章电路的基本概念、基本定律1.1 电路和电路模型1.1.1电路的组成及功能1.1.2 电路模型1.2 电路的基本物理量1.2.1 电流1.2.2 电压、电位和电动势1.2.3 电功和电功率1.2.4 参考方向1.3 基尔霍夫定律1.3.1 几个常用的电路名词1.3.2 结点电流定律（KCL）1.3.3 回路电压定律（KVL）1.4 电压源和电流源1.4.1 理想电压源1.4.2 理想电流源1.4.3 实际电源的两种电路模型1.5 电路的等效变换1.5.1 电阻之间的等效变换1.5.2 电源之间的等效变换1.6 直流电路中的几个问题1.6.1电路中各点电位的计算1.6.2 电桥电路1.6.3 负载获得最大功率的条件1.6.4 受控源小结习题技能训练项目一：电路测量预备知识及技能的训练技能训练项目二：实验一：基尔霍夫定律的验证第2章电路的基本分析方法2.1 支路电流法2.2 回路电流法2.3 结点电压法2.3.1 结点电压法2.3.2 弥尔曼定理2.4 叠加定理2.5 戴维南定理小结习题实验二：叠加定理和戴维南定理的验证第3章单相正弦交流电路3.1 正弦交流电路的基本概念3.1.1正弦量的三要素3.1.2 相位差3.2 单一参数的正弦交流电路3.2.1 电阻元件3.2.2 电感元件3.2.3 电容元件小结习题实验三：三表法测量电路参数第4章相量分析法4.1 复数及其运算4.1.1复数及其表示方法4.1.2 复数运算法则4.2 相量和复阻抗4.2.1 相量4.2.2 复阻抗4.3 相量分析法4.3.1 RLC串联电路的相量模型分析4.3.2 RLC并联电路的相量模型分析4.3.3 应用实例4. 4 复功率小结习题实验四：日光灯电路的连接及功率因数的提高第5章谐振电路5.1 串联谐振5.1.1 RLC串联电路的基本关系5.1.2 串联谐振的条件5.1.3 串联谐振电路的基本特性*5.1.4 串联谐振回路的能量特性5.1.5 串联谐振电路的频率特性5.2 并联谐振5.2.1 并联谐振电路的谐振条件5.2.2 并联谐振电路的基本特性5.2.3 并联电路的频率特性5.2.4 并联谐振电路的一般分析方法5.2.5 电源内阻对并联谐振电路的影响5.3 正弦交流电路的最大功率传输5.4 谐振电路的应用小结习题实验五：串联谐振的研究第6章互感耦合电路与变压器6.1 互感的概念6.1.1互感现象6.1.2 互感电压6.1.3 耦合系数和同名端6.2 互感电路的分析方法6.2.1 互感线圈的串联6.2.2 互感线圈的并联6.2.3 互感线圈的T型等效6.3 空心变压器6.4 理想变压器6.4.1 理想变压器的条件6.4.2 理想变压器的主要性能6.5 全耦合变压器6.5.1 全耦合变压器的定义6.5.2 全耦合变压器的等效电路6.5.3 全耦合变压器的变换系数小结习题实验六：变压器参数测定及绕组极性判别第7章三相电路7.1 三相交流电的基本概念7.2 三相电源的连接7.2.1 三相电源的Y形连接7.2.2 三相电源的Δ形连接7.3 三相负载的连接7.3.1 三相负载的Y形连接7.3.2 三相负载的Δ形连接7.4 三相电路的功率小结习题实验七：三相电路电压、电流的测量第8章电路的暂态分析8.1 换路定律8.1.1基本概念8.1.2 基本定律8.2 一阶电路的暂态分析8.2.1 一阶电路的零输入响应8.2.2 一阶电路的零状态响应8.2.3 一阶电路的全响应8.2.4 一阶电路暂态分析的三要素法8.3 一阶电路的阶跃响应8.3.1 单位阶跃函数8.3.2 单位阶跃响应8.4 二阶电路的零输入响应小结习题实验八：一阶电路的响应测试第9章非正弦周期电流电路9.1 非正弦周期信号9.1.1非正弦周期信号的产生9.1.2 非正弦周期信号9.2 谐波分析和频谱9.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式9.2.2 非正弦周期信号的频谱9.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系9.2.4 波形的平滑性与谐波成分的关系9.3 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率9.3.1 非正弦周期量的有效值和平均值9.3.2 非正弦周期量的平均功率9.4 非正弦周期信号作用下的线性电路分析小结习题实验九：非正弦周期电流电路研究第10章二端口网络10.1 二端口网络的一般概念10.2 二端口网络的基本方程和参数10.2.1阻抗方程和Z参数10.2.2 导纳方程和Y参数10.2.3 传输方程和A参数10.2.4 混合方程和h参数势10.2.5 二端口网络参数之间的关系10.2.6 实验参数10.3 二端口网络的输入阻抗、输出阻抗和传输函数10.3.1 输入阻抗和输出阻抗10.3.2 传输函数10.4 线性二端口网络的等效电路10.4.1 无源线性二端口网络的T形等效电路10.4.2 无源线性二端口网络的Π形等效电路10.4.3 T形网络和Π形网络的等效变换10.4.4 多个简单二端口网络的连接10.5 二端口网络的特性阻抗和传输常数10.5.1 二端口网络的特性阻抗10.5.2 二端口网络的传输常数10.6 二端口网络的应用简介10.6.1相移器10.6.2 衰减器10.6.3 滤波器小结习题实验十：线性无源二端口网络的研究第11章均匀传输线11.1 分布参数电路的概念11.1.1分布参数电路11.1.2 分布参数电路的分析方法11.2 均匀传输线的正弦稳态响应方程式11.2.1 均匀传输线的微分方程11.2.2 均匀传输线方程的稳态解11.3 均匀传输线上的波和传播特性11.3.1 行波11.3.2 特性阻抗11.3.3 传播常数11.4 终端有负载的传输线11.4.1 反射系数11.4.2 终端阻抗匹配的均匀传输线11.4.3 终端不匹配的均匀传输线小结习题第12章拉普拉斯变换12.1 拉普拉斯变换的定义12.2 拉普拉斯变换的基本性质12.3 拉普拉斯反变换12.4 应用拉氏变换分析线性电路12.4.1 单一参数的运算电路12.4.2 耦合电感的运算电路12.4.3 应用拉氏变换分析线性电路小结习题实训项目二：常用元器件的识别、测试及焊接技术练习实训项目三：常用电工工具的使用及配盘练习。
第4章正弦交流电路第2讲
I U XC
1
C
1
2π fC
135 . 5
+
u _ C
1 . 62 A
i I m sin( t 90 ) 2 .3 sin( 314 t 90 ) A
P 0
Q UI 356 . 4 var
额定电压 ≥ 311 V
6/53
单一参数交流电路主要结论列表
u 220 2 sin ( 314 t 20 )V
求: (1)电流的有效值 I与瞬时值 i ; (2) 各部分电压的有 效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功 率Q。 解：X L ω L 314 127 10 3 40 Ω
XC 1 ωC
2
电阻的标称值 = 标称值10n
9/53
电阻器的色环表示法
四环 五环
有效 数字
倍 率 10n
误 差
有效 数字
倍 率 10n
误 差
黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
5% 10%
误差: 1% 2%
0.5% 0.2% 0.1%
2/53
U
1
定义：
容抗 X C 则
1 ωC 1 2 π fC
XC
()
O
XC
1 2 fC
UI
1
1 ωC
IX C
f
XC 与 f 的关系
，电容C视为开路 XC 2π f C 交流：f XC I 超前U 90 所以电容C具有隔直通交的作用。 I 相量式 1
所以电容C是 储能元件。
1
C
1
2π fC
135 . 5
+
u _ C
1 . 62 A
i I m sin( t 90 ) 2 .3 sin( 314 t 90 ) A
P 0
Q UI 356 . 4 var
额定电压 ≥ 311 V
6/53
单一参数交流电路主要结论列表
u 220 2 sin ( 314 t 20 )V
求: (1)电流的有效值 I与瞬时值 i ; (2) 各部分电压的有 效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功 率Q。 解：X L ω L 314 127 10 3 40 Ω
XC 1 ωC
2
电阻的标称值 = 标称值10n
9/53
电阻器的色环表示法
四环 五环
有效 数字
倍 率 10n
误 差
有效 数字
倍 率 10n
误 差
黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
5% 10%
误差: 1% 2%
0.5% 0.2% 0.1%
2/53
U
1
定义：
容抗 X C 则
1 ωC 1 2 π fC
XC
()
O
XC
1 2 fC
UI
1
1 ωC
IX C
f
XC 与 f 的关系
，电容C视为开路 XC 2π f C 交流：f XC I 超前U 90 所以电容C具有隔直通交的作用。 I 相量式 1
所以电容C是 储能元件。
电工学课件(收藏版)-正弦交流电路
频率 f 的单位为1/s，称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频率为 50Hz→工频。
3)初相(位)φi (initial phase angle)
正弦量在 t = 0 时刻的相位，称为正弦量的初相位，简称初
相。即
( t i ) t0 i
初相的单位用弧度或度表示，通常取| φi |≤1800。它与计时零
若 0，则称 u 超前 i ( 或称 i 滞后 u )。 若 0，则称 u 滞后 i ( 或称 i 超前 u )。 若 0，则称 u 和 i 同相。 若 | | ，则称 u 和 i 反相。 若 | | / 2，则称 u 和 i 正交。
同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定，在同一个周期内 两个波形的极大值(或极小值)之间的角度值(≤1800)，即为两者 的相位差。超前者先达到极值点。初相位与计时零点的选取有关， 而相位差与计时零点的选取、变动无关。
面上把该复数逆（顺）时针旋转π。
二、正弦量的相量表示
在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压 和电流的稳态响应将是同频率的正弦量。如果电路有多个激励 且都是同一频率的正弦量，则根据线性电路的叠加性质可知， 电路全部稳态响应都将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状 态的电路称为正弦稳态电路，又称正弦电流电路。
则必须有
F1 F2
Re[F1] Re[F2 ] ，Im[ F1] Im[ F2 ]
或必须有 | F1 || F2 | ，arg( F1 ) arg( F2 )
例1. 547 10 25 ? 解: 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
3/2； i滞后（落后） u于/2, 不说 i 领先（超前） u于
3/2。
第4章正弦交流电路new
幅值：决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
4.1.1 频率与周期
周期T：变化一周所需的时间 （s）
频率f：
f1 T
（Hz）
角频率： ω 2π 2πf （rad/s）
T
i
O
T
t
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
4.1 正弦交流电的基本概念
正弦量：
随时间按正弦规律做周期变化的量。
ui
+ _
i
t
_
+
_u
R
i
+
_u R
_
正弦交流电的优越性：
正半周
便于传输；易于变换
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.....
负半周
设正弦交流电流：
i
Im
i Im sin t
O
2
t
T
初相角：决定正弦量起始位置
角频率：决定正弦量变化快慢
I U
XL
u i 90o
I
U jX L
电感元件上电流滞后于电压90o
感抗 X L L()
电感具有通低频阻高频的特征
目录
2. 瞬时功率:
p u i UI sin 2(t i )
P 0
无功功率
Q UI X LI 2 U 2 / X L (var)
p0, i 减小,磁场能减小
p0, i 增大,磁场能增加
XK RK
二. 阻抗的并联
I
电路基础3第4章 正弦交流电路
u3s 1i3 1 nt1 (1 4 2 )V0
2020/8/20
例 4-3 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差 12=- 90°-150°= -240° 由于 12 180 ，故 12=-240 °+360 °=120°
2020/8/20
2020/8/20
相位差举例
：
i
u
t
u i
如： uUmsintu iImsinti
t u t i u i
2020/8/20
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 超前 i 角；
u u,i
▪ 若ui 0,
称 u 滞后 i 角；
u,i i uiotot
2020/8/20
1 T i2dt
T0
交流
直流
当 iImsint 时，可得
I
Im 2
0.707Im
最大值与有效值关系
2020/8/20
▪平均值：正弦量的平均值是绝对平均值而不是数学 平均值，由数学推导可以得到
Iav 2Im0.63 Im 7 0.9I
平均值与最大值和有效值的关系
同理，对于正弦交流电压
UUm 2
0.70U 7m
第4章 正弦交流电路
2020/8/20
章前絮语
麦金西：时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。
高尔基：必须记住我们学习的时间是有限 的。时间有限，不只是由于人生短促，更由 于人事纷繁。我们应该力求把我们所有的时 间用去做最有益的事情。
2020/8/20
例 4-3 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差 12=- 90°-150°= -240° 由于 12 180 ，故 12=-240 °+360 °=120°
2020/8/20
2020/8/20
相位差举例
：
i
u
t
u i
如： uUmsintu iImsinti
t u t i u i
2020/8/20
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 超前 i 角；
u u,i
▪ 若ui 0,
称 u 滞后 i 角；
u,i i uiotot
2020/8/20
1 T i2dt
T0
交流
直流
当 iImsint 时，可得
I
Im 2
0.707Im
最大值与有效值关系
2020/8/20
▪平均值：正弦量的平均值是绝对平均值而不是数学 平均值，由数学推导可以得到
Iav 2Im0.63 Im 7 0.9I
平均值与最大值和有效值的关系
同理，对于正弦交流电压
UUm 2
0.70U 7m
第4章 正弦交流电路
2020/8/20
章前絮语
麦金西：时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。
高尔基：必须记住我们学习的时间是有限 的。时间有限，不只是由于人生短促，更由 于人事纷繁。我们应该力求把我们所有的时 间用去做最有益的事情。
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4．2．1复数 ． ． 复数
A = re jϕ 复数的极坐标形式 ： A = r∠ϕ
复数的指数形式 ： 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。用A*表示A的共 共轭复数 轭复数，则有 A=a+jb A*=a-jb 例4.5 写出下列复数的直角坐标形式。
（1）5∠48°
1 （2） ∠90°
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除 ．
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
如： A1=a1+jb1= r1∠ϕ1 A2=a2+jb2 =r2 ∠ϕ 2
A1 r1∠ϕ1 r1 = = ∠(ϕ1 − ϕ 2 ) A2 r2 ∠ϕ 2 r2
如将复数 A1 = re jϕ 乘以另一个复数 e jα ，则得
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素 ． ． 正弦交流电的基本特征和三要素
例4.4 已知某正弦电压在 t = 0时 为110 2 V，初相角为 30°，求其 有效值。 解：此正弦电压表达式为
u = U m sin(ωt + 30°)
则
u (0) = U m sin 30°
图4.4 正弦量的同相与反相 u ( 0) 110 2 Um = = V = 220 2V sin 30° 0.5
图4.12 交流异步电动机的等效电路模型
4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.3 在照明电路中使用的白 案例 炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于 感性负载，家用风扇为单相交流电 动机，它的等效电路如图4.13所示。 图中U1、U2为工作绕组，V1、V2 为起动绕组，它们实际上是纯电阻 与纯电感相串联。由图中可知，风 扇是一种电阻、电感和电容混联的 负载。
第4章 正弦交流电路
（2）平均功率
（3）无功功率
电容元件上尽管平均功率为零， 但瞬时功率并不为零。将电容 元件上瞬时功率的最大值定义 为无功功率。它表示电源能量 与电场能量交换的最大数值， 用符号QC表示，单位为Var， 既：QC=pCmax
4.5电容元件的伏安特性 2 .电容元件上的功率
（2）平均功率
（3）无功功率
容抗表示电容元件在交流电路中对电流的 一种阻碍作用。在一定的电压下，容抗越 大，电路电流越小。容抗的大小取决于电 容C和频率f，并与它们成反比关系。
4.5电容元件的伏安特性
1.电容元件上相量形式伏安关系
（2）相量形式的伏安关系
4.5电容元件的伏安特性 2 .电容元件上的功率
（1）瞬时功率
瞬时功率为正 弦函数，最大 值为UC·IC， 频率为电压频 率的两倍。
P Q (UI cos ) (UI sin ) =(UI)2=S2
4.6.2多种元件串联电路的分析
[例4-9] 在RLC串联电路中，已知R为40Ω， L为223mH，C为80µF，电路两端电压 u=311sin314tV。 求（1）电流有效值 （2）各元件两端电压有效值 （3）P、Q与S （4）确定电路的性质。
4.4电感元件的伏安特性
1．电感元件上相量形式的伏安关系 （1）电压与电流关系
XL称为感抗，单位为欧姆（Ω）。 表示电感元件在交流电路中对电流 的阻碍作用。在电压一定的条件下， XL越大，电路中电流越小。并且 感抗与电源频率成正比。
4.4电感元件的伏安特性
1．电感元件上相量形式的伏安关系
电容元件上尽管平均功率为零， 但瞬时功率并不为零。将电容 元件上瞬时功率的最大值定义 为无功功率。它表示电源能量 与电场能量交换的最大数值， 用符号QC表示，单位为Var， 既：QC=pCmax
（3）无功功率
电容元件上尽管平均功率为零， 但瞬时功率并不为零。将电容 元件上瞬时功率的最大值定义 为无功功率。它表示电源能量 与电场能量交换的最大数值， 用符号QC表示，单位为Var， 既：QC=pCmax
4.5电容元件的伏安特性 2 .电容元件上的功率
（2）平均功率
（3）无功功率
容抗表示电容元件在交流电路中对电流的 一种阻碍作用。在一定的电压下，容抗越 大，电路电流越小。容抗的大小取决于电 容C和频率f，并与它们成反比关系。
4.5电容元件的伏安特性
1.电容元件上相量形式伏安关系
（2）相量形式的伏安关系
4.5电容元件的伏安特性 2 .电容元件上的功率
（1）瞬时功率
瞬时功率为正 弦函数，最大 值为UC·IC， 频率为电压频 率的两倍。
P Q (UI cos ) (UI sin ) =(UI)2=S2
4.6.2多种元件串联电路的分析
[例4-9] 在RLC串联电路中，已知R为40Ω， L为223mH，C为80µF，电路两端电压 u=311sin314tV。 求（1）电流有效值 （2）各元件两端电压有效值 （3）P、Q与S （4）确定电路的性质。
4.4电感元件的伏安特性
1．电感元件上相量形式的伏安关系 （1）电压与电流关系
XL称为感抗，单位为欧姆（Ω）。 表示电感元件在交流电路中对电流 的阻碍作用。在电压一定的条件下， XL越大，电路中电流越小。并且 感抗与电源频率成正比。
4.4电感元件的伏安特性
1．电感元件上相量形式的伏安关系
电容元件上尽管平均功率为零， 但瞬时功率并不为零。将电容 元件上瞬时功率的最大值定义 为无功功率。它表示电源能量 与电场能量交换的最大数值， 用符号QC表示，单位为Var， 既：QC=pCmax
第四章 正弦交流电路
i
u
设 i =Imsinωt u = L di/dt = ωLImcosωt =Umsin(ωt+90°) Um= ωLIm
U=XLI
返回
XL= ωL 感抗
单位：欧姆（Ω）
相量图
.
U
电感中的电流滞后电压90° （电压超前电流90°）。 .
I
因此: U U 90o
I 0o I
U U 90 jX L I I .
o
相量图为:
I1
I
I2
返回
三、基尔霍夫定律的相量形式
KCL KVL
○
∑i = 0 ∑u = 0
∑İ= 0 ∑U= 0
i i1 i2
i=i1+i2
I I1 I 2
○
返回
下列表达式书写正确的是：
u ＝u1＋u2
U U1 U 2
i I m (cos sin )
ui
i
O
u
ωt
相量图
I
U
φ＝０
返回
2．功率关系 ui u
i
O
⑴瞬时功率
p= ui =UmImsin2ωt
=UI(1-cos2ωt)
ωt (2)平均功率
P 1 T
T
p
UI
O
pdt
0
= UI = I2R = U2/R
可见:P≥0 电阻是 一个耗能元件。 ωt 返回
二、电感电路
1.电压与电流关系
r a
2
b
2
φ =arctan(b/a) 2. 有关复数的计算 加减运算用代数式, 实部与实部, 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，辐角相加或相减。
第4章正弦交流电路-精品
i
u
+
R_
R
u
+
_L
L
u
+
C_
C
u CIm C sitn 90 U Csm itn 90
10c0o4s5j10s0in45 60co3s060sin30
70.7j70.752j30
12.27j40.712e9j1820A
（2）用相量图求解 画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。
+j
I1 m
70.7
40.7
30
45° 18° 20′
2.幅值和有效值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 、i u、e 等。
瞬时值中的最大的值称为幅值或最大值，用带下标m的大写字母表示， 如Im、Um、Em等。
有效值
在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的正 弦交流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有效值。
当 1 时，2比 u超前i角，比 滞后i 角u。
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。
反相:相位相反，相位差为180°。
下面图中是三个正弦电流波形。 与i1 同i2 相， 与i1 反相i3 。
i
i1
i2
O
ωt
i3
总 描述正弦量的三个特征量： 结 幅值、频率、初相位
返回
4.2 正弦量的相量表示法
2.平均功率（有功功率）
电容的平均功率（有功功率）：
P1T pd 1 t T UsIi2n tdt0 T0 T0
P=0表明电容元件不消耗能量。只有电源与电容元件 间的能量互换。
电路基础03
压有效值的乘积为该端口的视在功率，用S表示。
即 S=UI
电路基础
5.功率三角形
P、Q、S可以构成一个直角三角形，称之为功
率三角形。
电路基础
二、功率因数的提高
根据有功功率的计算公式可知，发电机、变
压器等电气设备输出的有功功率（即负载消耗的 有功功率），与负载的功率因数有关。
电路基础
三、最大功率传输
i=Imsin（ω t+ψ i），u=Umsin（ω t+ψ u） 则电压u与电流i的相位差 φ
ui
=ψ u -ψ i
电路基础
3.2 正弦量的表示法
一、复数的实部、虚部和模
有向线段A可用下面的复数表示为A=a+jb。r表示复 数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方 向间的夹角，称为复数的幅角，用φ表示，规定幅 角的绝对值小于180°。
电路基础
三、正弦量的向量表达式
表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“·” 表示。于是表示正弦电压u=Umsin（ω t+φ ）的相量为： U =U （cosφ +jsinφ ）=U ejφ =Um∠φ
m
m
m
或
U m=U（cosφ +jsinφ ）=Uejφ =U∠φ
电路基础
3.3 正弦电路定律的相量形式和相量图
电路基础
三、电路的相量图
正弦量的相 量可以用复平面 上的有向线段来 表示，把相量在 复平面上用有向 线段表示的图形 称为正弦量的相 量图。
电路基础
3.4 阻抗串并联的计算
一、阻抗和导纳 R、L、C单个元件的复阻抗分别为： ZR=R ZL=jω L 1 1 j ZC= jC =- C R、L、C单个元件的复导纳分别为 1 Y R= R Y L=
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U m = 2 ×220=311V
动力电的最大值为
U m = 2 ×380=537V
例4-2 一正弦交流电，最大值为311V，t=0时的瞬 时值为269V，频率为50Hz，写出其解析式。
解: 设正弦电压的解析式为 uUmsi nt ()
因为 ω=2πf =2π×50=314 rad/s 又已知t =0时， u（0）=269V 和Um=311V 即 269=311sinψ， sinψ=0.866 所以 ψ=60°或ψ=120°
则 A 1 A 2 r 1 r 2 12
A1 A2
r1 r2
1 2
相量表示法：用复数表示正弦交流电的方法。
相量的表达：
模用有效值时, I I
相量图
模用最大值时, Im Im
相量
如: i1 I1 m sitn 1 ( ) I12 sitn 1 ( )
I1m 或 I1
i2 I2 m sitn 2 ( ) I22 sitn 2 ( ) u U m sitn u ( ) U 12 sitn u ( )
所以u 1 比u 2 超前120°。 注意：当两个同频率正弦量的计时起点改变时， 它们的初相跟着改变，初始值也改变，但是两者 的相位差保持不变。即相位差与计时起点的选择 无关。习惯上，相位差的绝对值规定不超过π。
二、正弦量的相量表示法
▪ 解析式 iIm sin ti
i
▪ 波形图
t
▪ 相量
重点
因前两种不便于运算，所以引出相量表示法。
相位差举例：
i
u
t
u i
如： uUmsintu iImsinti
t u t i u i
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 超前 i 角；
u u,i
▪ 若ui 0,
称 u 滞后 i 角；
u,i i u
i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 与 i 同相；
u u,i
3.初相位与相位差
t
▪相位：正弦波的相位（t ）
▪初相位：t = 0 时的相位，称为初相位
▪相位差 ：两个同频率 正弦量间的初相位之差。
说明：Im反映了正弦量变化的幅度，ω反映了正弦 量变化的快慢,ψ反映了正弦量在t =0时的状态，要
完整的确定一个正弦量，必须知道它的Im 、ω、ψ
，称这三个量为正弦量的三要素。
教学重点和难点: 重点：正弦量的三要素、相位差和有效值概念；
角频率与频率的关系、有效值与最大值的关系。 难点：有效值、相量概念的理解。
4-1 正弦交流电的表示方法
一、正弦交流电的瞬时值表示
iImsi nt
i Im
波形图
t
特征量:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒） ： 初相
1.幅值、有效值与平均值 I m
章前絮语
麦金西：时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。
高尔基：必须记住我们学习的时间是有限 的。时间有限，不只是由于人生短促，更由 于人事纷繁。我们应该力求把我们所有的时 间用去做最有益的事情。
老师说：珍惜时间可以使 生命变得更有价值。 这里要讲的是正弦交流电路。尼亚加拉水力发电站
一、复数及其运算
1.复数的四种表示形式 实部
概念复习
虚部
▪ 代数形式 Aajb
▪ 三角形式Arco sjrsin
▪ 指数形式 Arej
模
幅角
▪ 极坐标形式Ar
在电路分析时常用代数形式、极坐标形式
a 表示实部，b 表示虚部，r 表示复数的模， 表
示复数的幅角，它们之间的关系如下：
Aajb
r a2 b2
Iav 2Im0.63 Im 7 0.9I
平均值与最大值和有效值的关系
同理，对于正弦交流电压
UUm 2
0.70U 7m
2
UavUm0.63Um 70.9U
i
2.周期与频率
t
T
几种描述：
▪周期 T：变化一周所需的时间 单位：秒(s)…
▪频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz) ...
▪角频率ω：每秒变化的弧度 单位：弧度/秒(rad/s)
三者间的关系: f 1 T
2 2 f
T
关于单位：
★国际单位制（SI）中，周期的单位为秒（s）； 频率的单位为1／秒，又称为赫兹（Hz）； 角频率的单位为弧度/秒(rad/s)。
★单位换算：
1s103ms,1s106s, 1s109ns
1GH 1z90Hz1, M H 16 z0Hz1, kH 1z30Hz
t
▪幅值：交流电的最大瞬时值称为最大值或幅值，如
Im
▪有效值：定义:
热效应相等 推出:
T i2R dt I2RT 0
I 1 T i2dt
T0
交流
直流
当 iImsint 时，可得
I
Im 2
0.707Im
最大值与有效值关系
▪平均值：正弦量的平均值是绝对平均值而不是数学 平均值，由数学推导可以得到
故解析式为 u 3s 1i3 1 nt1 (6 4 )0 V
或 u3s 1i3 1 nt1 (1 4 2 )V0
例 4-3 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差 12=- 90°-150°= -240° 由于 12 180 ，故 12=-240 °+360 °=120°
arctanb
a
arcos
Ar
brsin
代数形式和极坐标形式间的互换公式
பைடு நூலகம்
2.复数的运算
运算复习
（1）复数的加减运算
设: A 1a 1j1 br11 A 2a2jb 2r22
则 A 1 A 2 ( a 1 a 2 ) j( b 1 b 2 )
（2）复数的乘除运算
设: A1 r11 A2 r22
i
▪ 若ui 18,0
称 u 与 i 反相；
u,i u i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
▪ 若u i 2，称 u 与 i 正交。
u,i
u i
o
t
波形图
例4-1 照明电源的额定电压为220V,动力电源的额 定电压为380V,问它们的最大值各为多少?
解: 额定电压均为有效值,据 Um 2U
故照明电的最大值为
本章教学内容
正弦交流电的表示方法，纯电阻、纯 电感、纯电容上的电压、电流关系，用相 量法分析正弦交流电路及功率因数的提高。
4-1 正弦交流电的表示方法
教学内容: 正弦量的振幅和有效值、频率和周期、初相
位和相位差等基本概念。正弦量的相量表示及 复数运算。 教学要求:
1.掌握正弦量的三要素等基本概念。 2.理解正弦量的相量表示的意义。 3.熟练掌握复数运算的基本规则，并对相量 进行计算。
动力电的最大值为
U m = 2 ×380=537V
例4-2 一正弦交流电，最大值为311V，t=0时的瞬 时值为269V，频率为50Hz，写出其解析式。
解: 设正弦电压的解析式为 uUmsi nt ()
因为 ω=2πf =2π×50=314 rad/s 又已知t =0时， u（0）=269V 和Um=311V 即 269=311sinψ， sinψ=0.866 所以 ψ=60°或ψ=120°
则 A 1 A 2 r 1 r 2 12
A1 A2
r1 r2
1 2
相量表示法：用复数表示正弦交流电的方法。
相量的表达：
模用有效值时, I I
相量图
模用最大值时, Im Im
相量
如: i1 I1 m sitn 1 ( ) I12 sitn 1 ( )
I1m 或 I1
i2 I2 m sitn 2 ( ) I22 sitn 2 ( ) u U m sitn u ( ) U 12 sitn u ( )
所以u 1 比u 2 超前120°。 注意：当两个同频率正弦量的计时起点改变时， 它们的初相跟着改变，初始值也改变，但是两者 的相位差保持不变。即相位差与计时起点的选择 无关。习惯上，相位差的绝对值规定不超过π。
二、正弦量的相量表示法
▪ 解析式 iIm sin ti
i
▪ 波形图
t
▪ 相量
重点
因前两种不便于运算，所以引出相量表示法。
相位差举例：
i
u
t
u i
如： uUmsintu iImsinti
t u t i u i
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 超前 i 角；
u u,i
▪ 若ui 0,
称 u 滞后 i 角；
u,i i u
i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
▪ 若ui 0,
称 u 与 i 同相；
u u,i
3.初相位与相位差
t
▪相位：正弦波的相位（t ）
▪初相位：t = 0 时的相位，称为初相位
▪相位差 ：两个同频率 正弦量间的初相位之差。
说明：Im反映了正弦量变化的幅度，ω反映了正弦 量变化的快慢,ψ反映了正弦量在t =0时的状态，要
完整的确定一个正弦量，必须知道它的Im 、ω、ψ
，称这三个量为正弦量的三要素。
教学重点和难点: 重点：正弦量的三要素、相位差和有效值概念；
角频率与频率的关系、有效值与最大值的关系。 难点：有效值、相量概念的理解。
4-1 正弦交流电的表示方法
一、正弦交流电的瞬时值表示
iImsi nt
i Im
波形图
t
特征量:
I m ： 电流幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒） ： 初相
1.幅值、有效值与平均值 I m
章前絮语
麦金西：时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。
高尔基：必须记住我们学习的时间是有限 的。时间有限，不只是由于人生短促，更由 于人事纷繁。我们应该力求把我们所有的时 间用去做最有益的事情。
老师说：珍惜时间可以使 生命变得更有价值。 这里要讲的是正弦交流电路。尼亚加拉水力发电站
一、复数及其运算
1.复数的四种表示形式 实部
概念复习
虚部
▪ 代数形式 Aajb
▪ 三角形式Arco sjrsin
▪ 指数形式 Arej
模
幅角
▪ 极坐标形式Ar
在电路分析时常用代数形式、极坐标形式
a 表示实部，b 表示虚部，r 表示复数的模， 表
示复数的幅角，它们之间的关系如下：
Aajb
r a2 b2
Iav 2Im0.63 Im 7 0.9I
平均值与最大值和有效值的关系
同理，对于正弦交流电压
UUm 2
0.70U 7m
2
UavUm0.63Um 70.9U
i
2.周期与频率
t
T
几种描述：
▪周期 T：变化一周所需的时间 单位：秒(s)…
▪频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz) ...
▪角频率ω：每秒变化的弧度 单位：弧度/秒(rad/s)
三者间的关系: f 1 T
2 2 f
T
关于单位：
★国际单位制（SI）中，周期的单位为秒（s）； 频率的单位为1／秒，又称为赫兹（Hz）； 角频率的单位为弧度/秒(rad/s)。
★单位换算：
1s103ms,1s106s, 1s109ns
1GH 1z90Hz1, M H 16 z0Hz1, kH 1z30Hz
t
▪幅值：交流电的最大瞬时值称为最大值或幅值，如
Im
▪有效值：定义:
热效应相等 推出:
T i2R dt I2RT 0
I 1 T i2dt
T0
交流
直流
当 iImsint 时，可得
I
Im 2
0.707Im
最大值与有效值关系
▪平均值：正弦量的平均值是绝对平均值而不是数学 平均值，由数学推导可以得到
故解析式为 u 3s 1i3 1 nt1 (6 4 )0 V
或 u3s 1i3 1 nt1 (1 4 2 )V0
例 4-3 已知二正弦电压 u 1 1s 4i3 1 nt1 (94 )0 V u 2 3s 1i3 1 nt1 (14 5 )V 0
求二者的相位差，并指出二者的关系。
解: 相位差 12=- 90°-150°= -240° 由于 12 180 ，故 12=-240 °+360 °=120°
arctanb
a
arcos
Ar
brsin
代数形式和极坐标形式间的互换公式
பைடு நூலகம்
2.复数的运算
运算复习
（1）复数的加减运算
设: A 1a 1j1 br11 A 2a2jb 2r22
则 A 1 A 2 ( a 1 a 2 ) j( b 1 b 2 )
（2）复数的乘除运算
设: A1 r11 A2 r22
i
▪ 若ui 18,0
称 u 与 i 反相；
u,i u i
o
t
o
t
波形图
两个正弦信号的相位关系
▪ 若u i 2，称 u 与 i 正交。
u,i
u i
o
t
波形图
例4-1 照明电源的额定电压为220V,动力电源的额 定电压为380V,问它们的最大值各为多少?
解: 额定电压均为有效值,据 Um 2U
故照明电的最大值为
本章教学内容
正弦交流电的表示方法，纯电阻、纯 电感、纯电容上的电压、电流关系，用相 量法分析正弦交流电路及功率因数的提高。
4-1 正弦交流电的表示方法
教学内容: 正弦量的振幅和有效值、频率和周期、初相
位和相位差等基本概念。正弦量的相量表示及 复数运算。 教学要求:
1.掌握正弦量的三要素等基本概念。 2.理解正弦量的相量表示的意义。 3.熟练掌握复数运算的基本规则，并对相量 进行计算。