多面体截面的画法

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多面体截面 的画法
合肥 二 中 魏克服
多 面体 的截 面问题 是立 体 几何 的常见 问题 之 一 , 要正 确计 算多 面 体的截面 面积 , 必 须首 先 掌握 多面 体 截 面 的作 图 。 立 体几 何教 学 的一 个很 重 要 的 目的就是 培 养学 生 具 有较 强 的 空 间 想象能 力 , 而 对 学生 进行 截面 作 图训练 正是 培 养和发展 学生 的空 间 想象力 , 正是 加 强综合运用 立 儿 各方 面 知识 的有益 课 题 。 鉴 于 目前立 体几 何教 学 中 , 截 面 作 图 问题 重 视得 不 够 , 本文 提
截面 。 解 连 E 尸 , 由题 意知 E F 是 截面 与底 面 的交线 。 两 方延 长E F 成 直线 x 叭 则 x y 土 B D , 在
平 面 B D D : B : 上 作乙 D G S = 30 。 交 D D : 于 S , 作 乙 B G H 二 30 “ 交 B 刀 , 于 H , 由三 垂 线定 理 知 刀F一 H G , E F 上 G S 。 根据 平 面 角的定 义 , 所要 求 作 的截 面 过 H G 、 S G 。
首 先定 出截 平面 与 已 知平 面的交 线 , 然后 确定截面多边 形的其 余 各顶点 的方法是 作截 面 的 一般方法 , 我们 称之 为迹 线法 。
浅谈求异面 直 线之 间 的距 离
江 苏兴化 徐 扬中学 江 西 丰城第二 中学
解正 己 邱冬根
求异 面直 线的距 离 , 是立 体几 何教 学中
挤
过棱 锥 的 P 、 Q 、 R 作截 面。
解 根 据不 在 一条直 线上 的三 点 确定一 个平 面 , 连 p Q 且延 长交 A B 的延 长线 于 E , 连 R Q 且
延 长交C B 的延 长 线于 F , 于是截 面在尸E 、 R F 确 定的平 面上 。 为
确 定截面 多边 形在 V D 棱上 的 顶 点 , 过 E F 作 直线 x 夕得 截平 面 与 底 平面 的一 条交 线 , 它 交 D C 的延 长线 于 G , 连 G R 且 延 长交 V D 于 S , 再连 P S得 四边形截面 P QR S。
出截面的 一些 画法 , 以供 参考 。 一、 作平行 于 某一 直线 (或 平 面 ) 的截 面 。
例
过正 方体A B C D
一
A
,B
,C
:
D
上 ;
、
下底 面上 对 角线 A
C I
:、
.滋C 的四 等分 点 k , 、 k ( 如 图 C , K , = 十 C , A , , A K = 十 A C ) 作 平 行
的一 个难 点。 常 见教 材 和 资料 对此 介绍 得 不
边形 截面 图形 R
QF
Q
,
R
五 ,
。
二 、 作 垂直 于 某直 线 (或 平面 ) 的截面 。
例 正 四 棱锥 底 面 边 长 为 a , 侧棱 和 高的 夹 角 为 3 0 。 , 试 画过 底面 一 个 顶 点且垂 直 于 这个
顶点 的相 对棱 的截面。
解 在 平 面 V A C 中 , 作 A E 一 V C , 在 底 面上过 A 作x y 了B D ,
份二
综上 所述 , 画多 面体 的截面 , 主 要根据确定 平 面的条 件 , 有 限次运 用下 面三种 方 法 :
( 1 ) 过不在 一 条直 线上 的三 点作 一个平 面 , ( 2 ) 求两 已 知平 面 的交 线 ,
`
~
7
( 3 ) 在 已知空 间 的一个 平面 上 , 可 以完 成平 面几何 中所能 完成 的一 切作 图。
延 长C B 交xy 于 M , 延 长 C D 交 x y 于 N , 分 别在 平 面 V B C 、 V D C 上 连 接E M交 V B 于G , 连 接E N 交 V D 交 H , 连 A H 、 A G则 得四 边形
截面 A
G
E
。
H
本题 作 图 的关 键 在 于 完成 V C 与 截面 上 两 条相交 直线 都 垂直 。
以 上讲 的是 一 些 特殊 要求 的截 面 作 图 , 实 际上 许 多截面 的作
法在 于转 化成 不在 一直线上三 点 作截 面 , 而关 键 又在 于寻找 截面
— 多边形 的顶 点
截 面 与多面 体棱 的交 点 。
例 在正 四棱锥V 一 A BC D 中, P 〔 VA, Q 〔 VB , R 〔 V C ,
连H 、 H F得 三 角形 截面H F , 延 长 D A交刊 于 M , 延 长 D C 交粉 于 N , 连 S M 交 A A ` 于R , 连 S N 交 C C : 于 尸, 连 E R 、 F P 得五 边 形截 面 E R S尸F 。
四 、 作 过 多 面体上 已 知 三点 的截 面
州
刀 : Q , , 交 A D 于 R , A B 于 Q , 交C D 的延 长线 于 M , C B 的延 长 线 于 N , 显 然xy 是截 平面 与底 面的交 线 。 在右 侧 面上 连 接 Q : N 交 B B ; 于 F , 在 背 面上连 接 R : M 交 D D : 于五 , 再 连 石 R 、 Q F , 得 到六
于 召 , D : 的截 面 。 解 根 据 “ 线线 平行 , 线面 平行 ” 定理 , 首 先 过 K : 作
了 交 R , Q ,
B;D ,
于 C : D ,
R ,,
交 B : C ; 于 Q : 。 连: K 两 条相 交 直 线 所 确定 的平 面 上 过 。 k 作直 线 x y 了
这 里 截 平面 与底 面 的交 线 x y 土 且 C , 粉 一 V D , ’. 粉 土 平 面 V A C ,
则 VC上x , , 又作出A E 上VC , 故VC工截面A GE H 。
三、 作 与 已知 工线 (或平 面 ) 成 一 定倾角 的截 面 。 例 过 正 方 体五 B C D 一 A : B : C , D : 下 底 面 上棱 A B 、 B C 的 中点 E 、 尸 作 与底 面成 30 “ 角 的