2018年高三限时规范训练9 三角恒等变换与解三角形
高三数学《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案
《三角恒等变换与解三角形》专题复习题含答案一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．2552．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3，则sin2α－cos 2α＝( ) A ．35 B ．－25 C ．－1 D ．33．已知3sin x ＋cos x ＝22，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．12 B ．24 C ．23 D ．34答案 B4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A ．518B ．34C ．32D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( ) A ．32 B ．233 C ．33D ． 3 8．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(0．4)B ．(2．23)C ．(22，23)D ．(22，4) 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4，则B ＝( )A ．B ＝30°或B ＝150° B ．B ＝150°C ．B ＝30°D ．B ＝60°或B ＝150°10．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．711．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，已知C ＝45°，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A ．2<x <1B ．2<x <2C ．1<x <2D ．1<x < 2 12．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A ．7π4 B ．9π4 C ．5π4或7π4 D ．5π4或9π4二、填空题13．已知sin10°＋m cos10°＝－2cos40°，则m ＝________.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m ＋nsin63°＝________.15．已知点(3，a )和(2a ．4)分别在角β和角β－45°的终边上，则实数a 的值是________． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________. 三、解答题17．已知△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝35，AC ＝8.(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 边上的中线CD 的长．18．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝3，AD 为△ABC 的内角平分线，AD ＝2.(1)求BDDC的值；(2)求角A 的大小．19．在△ABC 中，3sin A ＝2sin B ，tan C ＝2 2.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为22，D 为AC 边上一点，且BD ＝3CD ，求线段CD 的长．20．如图所示，锐角△ABC 中，AC ＝52，点D 在线段BC 上，且CD ＝32，△ACD 的面积为66，延长BA 至E ，使得EC ⊥BC .(1)求AD 的值；(2)若sin ∠BEC ＝23，求AE 的值．三角恒等变换与解三角形专题复习题含答案参考答案： 一、选择题 1、答案 B解析 由2sin2α＝cos2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝12，∴sin α＝55.故选B. 2、答案 A解析 因为tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－3⇒tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝－3⇒tan α＝2，所以sin2α－cos 2α＝sin2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－11＋tan 2α＝35，故选A.3、答案 B解析 由3sin x ＋cos x ＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝22，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24，故选B. 4、答案 A解析 由2cos B ＝ac 得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，即c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选A.5、答案 C解析 因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log5⎝⎛⎭⎫tan αtan β2＝log552＝4.故选C.6、答案 D解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为2t ．2t ，t ，由余弦定理得它的顶角的余弦值为222(2)(2)(2)(2)t t t t t t+-⨯⨯＝78. 7、答案 B解析 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ， sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233. 8、答案 C解析 ∵a ＝2，B ＝2A ，∴0<2A <π2，A ＋B ＝3A ，∴π2<3A <π，∴π6<A <π3，又0<A <π4，∴22<cos A <32，由正弦定理得b a ＝12b ＝2cos A ，即b ＝4cos A ，∴22<4cos A <23，则b 的取值范围为(22，23)，故选C. 9、答案 C解析 ∵A ＝60°，a ＝43，b ＝4，∴sin B ＝b sin A a ＝4×sin60°43＝12，∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝30°，故选C. 10、答案 A解析 因为ab sin C ＝20sin B ，所以由正弦定理得abc ＝20b ，所以ac ＝20，又因为a 2＋c 2＝41，cos B ＝18，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝41－2×20×18＝36，所以b ＝6. 11、答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即x sin A ＝2sin45°，可得sin A ＝12x ，由题意得当A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2，则a 的取值范围是(2，2)，故选B. 12、答案 A解析 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 所以cos2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010， 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4，选A. 二、填空题 13、答案 － 3解析 由sin10°＋m cos10°＝－2cos40°得sin10°＋m cos10°＝－2cos(10°＋30°)＝－2⎣⎡⎦⎤32cos10°－12sin10°，所以m ＝－ 3.14、答案 2 2解析 因为m ＝2sin18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，所以m ＋n sin63°＝2sin18°＋2cos18°sin63°＝sin(1845)sin 63+＝2 2.15、答案 6解析 由题得tan β＝a 3，tan(β－45°)＝tan β－11＋tan β＝a3－11＋a 3＝42a ，所以a 2－5a －6＝0，解得a ＝6或－1，当a ＝－1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a ＝6. 16、答案 －32解析 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .又因为a ＋c ＝3，cos B ＝34.根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以ac ＝32－2ac －32ac ，解得ac ＝2，所以AB →·BC →＝c ·a cos(π－B )＝－ac cos B ＝－2×34＝－32.三、解答题17、解 (1)∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C ，即845＝AB7210，解得AB ＝7 2.∴△ABC 的面积为S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×72×8×22＝28.(2)解法一：在△ACD 中，AD ＝722，∴由余弦定理得CD 2＝82＋⎝⎛⎭⎫7222－2×8×722×22＝652，∴CD ＝1302.解法二：∵cos B ＝35<22，∴B >π4，∵A ＝π4，∴C 为锐角，故cos C ＝1－sin 2C ＝210∵CA →＋CB →＝2CD →，∴4|CD →|2＝(CA →＋CB →)2＝|CA →|2＋2CA →·CB →＋|CB →|2＝64＋2×8×52×210＋50＝130，∴CD ＝1302. 18、解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin A 2＝ABsin ∠ADB ，在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin A 2＝ACsin ∠ADC ，∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，AC ＝3，AB ＝23，∴BD DC ＝ABAC＝2. (2)在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A 2＝16－83×cos A2，在△ACD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos A 2＝7－43cos A2，所以16－83cosA27－43cosA2＝4，解得cos A 2＝32，又A 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A 2＝π6，即A ＝π3. 19、解 (1)证明：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ，∵tan C ＝22，∴cos C ＝13，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2a ×3a2cos C ＝b 2，即b ＝c ，则△ABC 为等腰三角形．(2)∵tan C ＝22，∴sin C ＝223，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32a 2×223＝22，解得a ＝2.设CD ＝x ，则BD ＝3x ，由余弦定理可得(3x )2＝x 2＋22－4x ×13，解得x ＝－1＋7312(负根舍去)，从而线段CD 的长为－1＋7312.20、解 (1)在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12×52×32×sin ∠ACD ＝66，所以sin ∠ACD ＝265，因为0°<∠ACD <90°，所以cos ∠ACD ＝1－⎝⎛⎭⎫2652＝15. 由余弦定理得，AD 2＝CD 2＋CA 2－2·CD ·CA ·cos ∠ACD ＝56，得AD ＝214. (2)因为EC ⊥BC ，所以sin ∠ACE ＝sin(90°－∠ACD )＝cos ∠ACD ＝15.在△AEC 中，由正弦定理得，AE sin ∠ACE ＝AC sin ∠AEC，即AE 15＝5223，所以AE ＝322。
高中数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习及答案(76页)
高中数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习(76页)1．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若()()(),a c a c b b +-=+则cos A = A．2-B．2 C ．12D．3- 2．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )3．已知角α的终边上一点的坐标为(12，则角α的正弦值为( )A．－2B.2 C ．－12 D.124．在ABC ∆中，若20sin A sin BcosC -=，则ABC ∆必定是 （ ）A 、钝角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、锐角三角形 5．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 6．=ο2010sin （ ）A.21 B.21- C. 23- D.2377．．已知m =αtan 化简αα22sin 2cos 1+得结果为：（ ） A. 22211mm ++ B.m m 211++ C.m 211+ D. 211m +xxA ．B ．C ．D ．8． 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A ．3π B ．3π- C ．6π D ．6π- 9．在ABC ∆中，若sinA ︰sinB ︰sinC=1:2:3，则::a b c 等于（ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:3:1 D.1:3:2 10．要得到一个偶函数，只需将函数)3sin()(π-=x x f 的图象A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 11．设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）A ．52 B ．85 C ．58 D ．25 12．函数1sin 6cos 22++=x x y 的最大值为（ ） A ． 10 B ．9 C ．8 D ． 713．半径为5cm ，面积为252cm 的扇形中，弧所对的圆心角为 A ． ︒2 B.π2弧度 C ．2弧度 D ．4弧度 14．化简sin()2απ+等于（ ）. A.cos α B.sin α C.cos α- D.sin α-15．函数y ＝sin(ωx ＋ϕ)(x ∈R,ω＞0,0≤ϕ＜2π)的部分图象如右图，则 （ ） A.ω＝π2,ϕ＝π4 B.ω＝π3,ϕ＝π6C.ω＝π4,ϕ＝π4D.ω＝π4,ϕ＝π5416．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数cos 2y x =的图像A 、向右平移6π个单位 B 、 向左平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移3π个单位17．在ABC ∆中，120A =︒5AB =，7BC =，则sin sin BC的值为 A ．85 B ．58 C ．53 D ．3518． △ABC 中，若030C =，8a =，b =S ABC V 等于（ ）A.19．已知tan x =x 的集合为（ ）A ．4{|2,}3x x k k Z ππ=+∈B ．{|2,}3x x k k Z ππ=+∈C ．4,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{|,}3x x k k Z ππ=+∈20．已知α为锐角，2cos sin m=αα，则ααcos sin +的值是 （ ） A ．1-m B ．1+m C ．1-±m D ．1+±m21．若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞) 22．求0sin 600的值是 （ ）A 、12 B、D 、12-23．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11cos10sin168︒<︒<︒B ．sin168sin11cos10︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒ 24．若2π-≤x ≤2π，则()cos f x x x =+的取值范围是 （ ） A ．[1,2]- B ．[1,1]- C．[2] D．[ 25．已知x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
(完整word)2018年高考数学总复习三角恒等变换
tan 22 tan 1 tan降次（幕）公式12sin cos sin 2 ;sin2 半角公式 1 cos 2 2 ------------ ;cos1 cos 2---1 cos sin ;cos一 2. 221 cos------ ;第三节三角包等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式 .能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦， 余弦，正切公式，导出二倍角的正 弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.能利用上述公式进行简单的包等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式, 但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具 分值与题型稳定，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，包等变换（化同角同函） . 知识点精讲常用三角包等变形公式 和角公式sin( ) sin cos cos sin差角公式cos( ) cos cos sin sin倍角公式 sin 2 2sin cos2. 222cos2 cos sin 2cos 1 1 2sincos(cos cos sin sin tan(tan tan 1 tan tansin()sin cos cos sintan(tan tan 1 tan tan1 cos . sin aJa 2 b 2 sin( ),tan b(ab 0),角 的终边过点(a,b),特殊a地,若 a sin bcos . a 2 b 2 或.a 2 b 2 , 则 tan —. a 常用的几个公式 sin cos 、. 2 sin( sin .32 cos 2sin( 3' \ 3 sin cos 2sin(—); 6题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式， 通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路 . 例4.33 证明⑴ C : cos( ) cos cos sin sin ;⑵用C 证明 S : sin( ) sin cos cos sin解析(1)证法一：如图4 — 32 (a)所示，设角 P(cos .sin ), P 2(cos(),sin(__ 2 __________2________ 2____ ________PP 2OP 1 OP 22OP 1 OP 2cos()r/、■12 r.■ ,、r2 八 八 ,、[cos cos( )] [sin sin( )] 2 2cos( )2 2(cos cos sin sin ) 2 2cos( ) C : cos( ) cos cos sin sin . 证法二：利用两点间的距离公式.如图 4 —32 (b)所示 A(1,0), P 1(cos ,sin ), P 2(cos(),sin( ),x sin tan- ------- 2 1 cos辅助角公式 a sin bcos⑶用(1)(2)证明T ：tan(tan tan 1 tan tan的终边交单位圆于)),,由余弦定理得P 3(cos( ),sin()),由 OAP 2OP 3用得,AP 2.故sin cos cos sincos cos cos cos T:tan( )tan tan cos cos sin sin1 tan tancos cos coscos发式1证明：⑴C :cos( )cos cos sin sin ⑵S:sin()sin coscos sin(3)T : tan( tan tan题型66化简求值 思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等 .(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先 将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件， 或将所求函数式变形为 可使用条件的形式.. ,(1 cos( ))2 (0 sin( ))2 [1 cos( )]2 sin 2() cos 2化简得 cos( ) cos cos sin.[cos()cos ]2[sin( ) 12 sin ],即2 cos2cos cos sin 2二一 2sin 2sin ) 2] cos 1( 2)]cos cos( —) sin sin( cos sin sin cos 7)S : sin((3) tan(\ sin( sin cos cos sin )cos()coscossin sinsinsin(2)sin( )cos[( )sin cos cos sin(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将 待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是 解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互 关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数D.竺25解析解法一：化简所求式所以2sin xcosx 2.故选A .25解法二：化简所求式2sin 2x 2sin x 八. .八---- 2sin xcosx sin 2x .— . _ 一 2. . 7 sin[2(一 x) —] cos2(一 x) 1 2cos (一 x)—.故选A.4 2 4 4 25评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了 化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构 造法较为简单.1 、 3 … 变式 1 右 cos( ) 一 ,cos( )一,则 tan tan . 5 51 tan —是第三象限角，则 1 2(51 tan —1B. C.2 D. 22值，再确定“所求角” 一、化同角同函 的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角 例4.34 已知cos(— 4x) 9则5 2sin 2x 2sin x 1 tan x A.— 25B.” 252sin 2x 2sin x2sin xcosx 22sin x1 tan x( sin x 1 --------cosx 2sin x(cosx、 cos xsin x) ---------------- 2sin xcosx.cosx sin x由 cos(— x)43得立cosx 匹sinx 5 2 23,即 cos x5sinx 32,两边平方得5 ___ 22cos x sin x 1852sin xcosx ——,即 1252sin xcosx 18 251 tan x变式2 若cos2、建立已知角与未知角的联系(通过凑配角建立)将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解分析 建立未知角与已知角的联系， ()故选C .评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系,常利用以下技巧:( )； ( )； ( )( )等.解题时，要注意根据已 知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号3变式 2 右 (一，一),(0, —),cos( 4 44sin( ) . 、辅助角公式变换变式1 已知sinA.5-12J 5一,sin( 5B.. 3)叁0,,(0,-)则().10 2C.-D.一 46 变式31(2012江西理4)若tan — 1 B.— 4 tan1 C.- 3 4 ,贝tj sin2 (). 1 D.—2 题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系, 并根据这种关系来选择公 工】.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角, 1.和、差角变换降幕，诱导等如可变为( );2可变为()()；2 可变为( 例4.35 若0A. 1B. 21或工25,cos C. 3一,sin(5 24253-,则cos 的值为( 5 D.马25解析解法一：cos cos[()]cos()cos sin( )sin .因为 cos(2,3所以，则cos(4) -,(0,-),sin八. 4 0, sin一 5,5) 3 (5) 524 25解法二：因为 (-,),所示 cos ( 1,0). 23 3 )一,sin (一45 4)也，则 132.5B. -----5分析将已知式化简,找到与未知式的联系. (4)一、，(9] sin( 丁 5 .故选 C .B.a b分析 利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解 .解析解法一：；因为 sin cos ■所以（sin cos ）23… 2 2得2sin cos -,即sin 2'.又因为 为弟一象限角且解析由题意，cos cos — sin sin — sin 6 64.35..3 ——cos23 — sin 2、.3sin(-)4」3-- ,4寸sin( 5 变式1设sin14o cos14o ,bsin16o cos16o ,c 亚，则a,b,c 的大小关系为2A.a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c变式2设sin15o cos15o ,b sin17o cos17o ,则下列各式中正确的是（Cb2,2a b 2Db a2,2a b 2降幕（次）变换例 4.37 （2012大纲全国理7) 已知为第二象限角, sin coscos2 ().A. 3B.9C .- 9D- 3例4.36 已知cos(4 3 sin5 ,则 sin(）的值为（C. D.- 5所以sin （7、 - r—)sin[A. asin cos.3T °.E 3则(2k-,2k -)(k Z). (4k ,4k33")(k Z).故2为第三象限角,cos 2 (3)2 正.故选A.3解法二：由为第二象限角，得cos 0,sin 0 cos sin 0,且(cos sin )2 1 2sin cos cos ,3 32(sin cos ) 2sin cos 2sin cos ,得(cos sin )2所以cos sincos2 2cos sin2 (cos sin )(cos sin变式1(J 3,59.故选A.3若sin( 一6A. 79 B.变式2 (2012江苏变式3已知sin(2 变式4若sin1 (2)-则cos(—3 3C.3).D.7911)设为锐角，若cos(一)64 …一，则sin(2577)的值省、3 .)-,sin57 ),tan(A 24 A.—7 B.72412 上且13)2Ca7 贝(Jtan(变式5已知sin cos (0.9, 4.诱导变换例4.38 若 f (sin x) 3 f (cosx)A.3 cos2xB.3 sin 2x(—,0),求sin 值. 22)().D.— 24cos2则^sin(-)( ).C.3 cos2xD.3 sin2x分析 化同函f (cosX) f(sin(L ))以便利用已知条件. 解析解法一：f (cos x) f[sin(x —)] 3 cos2(x —) 3 cos(2x ) 3 cos2x. 故选C .解法二：f(sinx) 3 cos2x 3 (1 2sin 2 x) 2sin 2 x 2 贝^ f (x) 2x 2 2, x [ 1,1]故 f(cosx) 2cos 2x 2 2cos 2x 1 3 cos2x 3.故选C .4变式1 是第二象限角,tan( 2 ),，则tan .cos25 一 ---------变式 2 右 sin (一 ) 一, (0,1)，则 / 、4 13 2 cos( )4最有效训练题19 (限时45分钟)A, B 是图像与x 轴的交点，则tan APB ().、一- -84 A.10 B .8 C.-D.-7 76 .函数y sin x 3的最大值是().cosx 4 八 1 「12 2.6 八4 「12 2.6 A. -B. ---------------C.- D. -------------- 2153 151 .已知函数 f (x) sin x 3cos x,设 a f (—),b f (—),cf (-)，则a,b,c 的大小 3关系为(A. a<b<c 2 .若sin( 一 3A 」 4 B. c<a<b1一,则 cos (一 4 3 B. 14 C.C. b<a<cD. b<c<a3 .若 tan 则 cos(2 ). ). D.7 84 A.- 54 .已知tan(A.—44 B.一5 、1 )-,tan 2 B.24 1 C.- 2(0, ),D.).5.函数 y sin(x )(C.UD.0)的部分图像如图 4- 33所示，设P 是图像的最高点,7 .已知 tan(— ) 3 .贝［J sin 2 2cos 3 4 54… … 1 sin x sin y 一8 .已知x, y 满足 6,贝ij cos(x1cosx cosy 一51 tan tan9 J3tan10o 1 .(4cos 210o 2)sin10o4 13 .10.已知 cos 一,cos( ) 一，且 0 7 1411.已知函数 f(x) 2cos2 - V3sin x.5(1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若 是第二象限角，且f(-)］，求—— ---------------- 的值. 631 cos2 sin 23 12.已知二点 A(3,0), B(0,3), C(cos ,sin ),(-,一).2 2 uuir uuir(1)若AC BC ,求角 ；c • 2. c2sin sin 21 ,求 --------------- 的值.y)贝(J tan 2.lur uuir(2)若 AC BC1 tan。
2018年高考理科数学通用版三维二轮专题复习专题检测：(十二)三角恒等变换与解三角形Word版含解析
所以
sin
θ＋cos
θ＝
3
4
2 .
所以
2cos2θ－ 1
cos
π＋θ 4
＝
cos2θ－ sin2θ 2 2 cos θ－ sin θ
＝
2(cos
θ＋ sin
θ)＝
3 2.
4．(2017 ·全国卷Ⅰ )△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋ sin A(sin
C－ cos C)＝ 0， a＝ 2， c＝ 2，则 C＝ ( )
专题检测（十二） 三角恒等变换与解三角形
A 卷—— 夯基保分专练
一、选择题
1．(2018
届高三 ·合肥调研
)已知
x∈ (0，π），且
cos
2x
－
π 2
＝
sin
2
x，则
tan
x－π4 等于 (
)
1 A. 3
B．－ 1 3
C．3
D．－ 3
解析： 选 A 由 cos 2x－ π2 ＝ sin2x 得 sin 2 x＝ sin 2x，∵ x∈ (0， π，）∴ tan x＝ 2，
)
A ．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D ．等边三角形
解析： 选 A
根据正弦定理得
bc＝
sin sin
C B<cos
A，
即 sin C<sin Bcos A.
∵ A＋ B＋ C＝ π，∴ sin C＝ sin(A＋ B)<sin Bcos A，
整理得 sin Acos B<0.
又三角形中
sin
A>0，∴
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数。
(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)把的图像向右平移个单位后，在是增函数，当最小时，求的值【答案】（I)…………………4分∴…………………6分(II) …………………8分单调递增区间为周期为，则，，…………………10分当最小时，。
【解析】略2.若函数的图像向右平移个单位后所的图像关于轴对称，则的值可以是（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】化简后得，向右平移个单位后得到的函数是，关于轴对称，所以当时，函数取得最值，所以，那么，所以时，．【考点】1．三角函数的化简；2．三角函数的性质；3三角函数的图像变换．3.已知函数的图象与y轴交于P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω＝________．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】三角函数性质4.把函数图象上各点向右平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为．【答案】【解析】，平移后的解析式为，所以，故有的最小值为．【考点】函数图像的平移，倍角公式，辅助角公式．5.已知，，且，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据，可知，所以，结合，从而求得，根据和角公式，可知，所以有，从而有，从而得到只有符合题意，故选C．【考点】已知函数值求角．6.若函数f（x）＝sin（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f（x）是偶函数，所以f（0）=1或-1，所以．又因φ∈[0，2π]，所以，k=0时，．故选C．【考点】由函数的奇偶性求参数值．7.若，，则的值为．【解析】把已知条件的等式两边都乘以，得到关于的方程，求出方程的解，根据的范围即可得到满足题意的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以，变为关于的关系式，把求出的的值，然后根据条件计算即可．或，，．【考点】两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角8.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．9.在△ABC中，内角的对边分别为，已知，且，角为锐角．（1）求角的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先运用正弦定理即可将已知等式转化为只函数角的正弦和余弦的形式，然后运用两角和或差的正弦和余弦公式即可得到，再结合三角形的内角和为即可得出，最后结合已知即可得出角的大小；（2）由（1）并结合三角形的面积公式可得出的值，再由余弦定理的计算公式即可得出的值．试题解析：（1）由正弦定理得，即，即有，即, 又，所以，因为角为锐角，所以．（2）由（1）得，所以，所以，又，由余弦定理可得：，所以．【考点】1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用．【方法点睛】本题以三角形为背景，主要考查三角恒等变形、正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．对于第一问的解题的关键是能够熟练运用正弦定理将已知的边角等式关系转化为角角关系或边边关系；对于第二问的解题的关键是应注意三角形的面积公式的正确使用．10.已知，则＝_______________．【答案】【解析】由余弦函数的周期性知函数的周期为4，且，所以…＝．【考点】周期函数．11.对于函数，现有下列命题：①函数是奇函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，其中是真命题的为（）A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】B【解析】因为，所以函数是奇函数，故①正确；因为，，，故②错；因为，，，故③错；因为，当时，，，所以，所以函数在区间上单调递增，故④正确，故选B．【考点】1、命题真假的判定；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性；4、函数的图象与性质．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.已知函数f（x）＝sin＋sin－2cos2x．（1）求函数f（x）的值域及最小正周期；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据两角和差的正弦公式及二倍角公式的变形可得：，再根据辅助角公式得：，所以可得函数值域及周期；（2）根据正弦型函数的性质，令，可解得函数单增区间．试题解析：（1）f（x）＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x－（cos2x＋1）＝2－1＝2sin－1．由－1≤sin≤1得，－3≤2sin－1≤1．可知函数f（x）的值域为[－3，1]．且函数f（x）的最小正周期为π．（2）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）解得，kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．所以y＝f（x）的单调增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式．14.（2014•朝阳区校级一模）函数是（）A．非奇非偶函数B．仅有最小值的奇函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的偶函数【答案】D【解析】利用函数的奇偶性的定义判断后，再利用升幂公式，将f（x）化为f（x）=2﹣，利用余弦函数的性质与二次函数的性质即可求得答案．解：∵f（x）=cos2x+cosx，f（﹣x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x）=cos2x+cosx=f（x），∴f（x）=cos2x+cosx是偶函数；又f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2﹣，当cosx=1时，f（x）取得最大值2；当cosx=﹣时，f（x）取得最小值﹣；故选：D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．15.（2015秋•锦州校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角C的值为（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解：∵△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，则C=，故选：A．【考点】余弦定理．16.已知函数的最小正周期为，且，则的一个对称中心坐标是A．B．C．D．【答案】A【解析】由的最小正周期为，得．因为，所以，由，得，故．令，得，故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选A．【考点】三角函数的图像与性质．17.已知直线与圆相交于，两点，设，分别是以，为终边的角，则（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】作直线的中垂线，交圆于，两点，再将轴关于直线对称，交圆于点，则，如图所示，，而，故，故选D．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．三角恒等变形．18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，解得：，从而．故选C．【考点】1．三角函数的和角公式；2．倍角公式；3．同角三角函数的基本关系式．19.的内角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理，将条件转化为边的关系，又，有，再利用余弦定理得的值（2）首先由同角三角函数关系得，再利用二倍角公式得，，最后根据两角差的余弦公式得的值.试题解析：解：（1）在三角形中，由及，可得，又，有，所以.（2）在三角形中，由，可得，于是，，所以.【考点】正余弦定理，同角三角函数关系，二倍角公式20.已知函数的最小正周期为，把的图象向左平移个单位，得到函数的图象．则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为最小正周期，，把的图象向左平移个单位，得到函数，故选C.【考点】三角函数的图象与性质.21.如图，在梯形中，已知，，，，.求：（1）的长；（2）的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）在三角形ADC中，已知两角和一边，求一边，应用正弦定理求解：先利用三角形内角和为，以及两角和正弦公式求CD对应角的正弦值，再根据正弦定理解出CD（2）在三角形BDC中，已知BD，CD，以及由平行条件得的正切值，进而可求其余弦值，再由余弦定理得BC，最后根据三角形面积公式得试题解析：（1）因为，所以．所以，在△中，由正弦定理得．（2）因为，所以．在△中，由余弦定理，得，解得，所以.【考点】正余弦定理22.在中，角所对的边分别为.若，且，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，又，由，得，所以，，所以当时，取得最大值，且为.【考点】正弦定理、诱导公式、二倍角公式、二次函数最值．【思路点睛】本题主要考查正弦定理、三角函数恒等变换及二次函数的应用，综合性较强.通过边角互化，将转化为，可得，由诱导公式，结合，可进而得出，故，由知，当时，取得最大值，且为.23.已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当函数在是单调函数时有最小值，当函数在不是单调函数时有最大值，所以的取值范围为.故选A.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的最值.24.选修4-1：几何证明选讲中，，，，，点在上，且．求证：（I）；（II）．【答案】（I）详见解析（II）详见解析【解析】（I）条件为比例关系时，多往三角形相似上化简：易得，因此，从而．（II）同（I）条件为比例关系时，多往三角形相似上化简：易得，因此，从而试题解析：证明：设，则，．（I），．又为公共角，故，由，，．（II）由（I）得，故，，．，，．【考点】三角形相似25.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距100米，，在地听到弹射声音的时间比地晚秒，在地测得该仪器至最高点处的仰角为.（1）求两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为340米/秒）.【答案】（1）420米；（2）米．【解析】（1）先利用在地听到弹射声音的时间比地晚秒设出和AC，再利用余弦定理进行求解；（2）利用是直角三角形和正弦定理进行求解．试题解析：（Ⅰ）设，由条件可知在中，由余弦定理，可得，即，解得所以（米）故两地的距离为420米．（Ⅱ）在中，米，由正弦定理，可得，即所以（米），故这种仪器的垂直弹射高度为米．【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.解直角三角形．26.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.（1）求角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用三角形内角和为可将化为只有角与角的式子，进而利用两角和的正弦公式化简得到角；（2）利用成等差数列及正弦定理可得三角形三边的关系，再利用第一问中的角和余弦定理即可得到的值.试题解析：（1）由可得，由可得，又，所以，所以；（6分）（2）由成等差数列及正弦定理可得，所以①由余弦定理可得，所以②把①代入②并整理可得，又,∴，即.（12分）【考点】两角和与差三角恒等变换公式、正余弦定理的应用、等差数列的概念．27.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得，再将所得函数图象向右平移个单位，得，，，得，，所以符合．故应选B．【考点】1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性.28.如图,在四边形中,.（1）求；（2）求及的长.【答案】（1）（2），【解析】（1）因为，所以利用二倍角余弦公式得，解得（2）在等腰中，由余弦定理得,或利用直角三角形为与交点.在中，利用正弦定理得,而，利用两角和正弦公式可得试题解析：（1）.（2）,由正弦定理得：,在等腰中,,由余弦定理得：,即（负根舍去）,（或由亦可求得）.【考点】二倍角公式，正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．30.将函数的图象向左平移个单位,再将所有点的横坐标伸长到原来的倍,得到函数的图象,则函数的图象与直线轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【解析】的图象向左平移个单位得到的图象，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）=2sinx的图象，所以函数g（x）=2sinx与直线,x轴所围成的图形面积为S=.【考点】三角函数的图象变换，微积分基本定理．31.若，，则角的终边在______象限.【答案】第四【解析】，所以为第四象限角.【考点】三角恒等变换．【思路点晴】要判断一个角终边所在象限，需要我们判断其正弦值和余弦值的正负.本题中，知道了半角的三角函数值，我们就利用半角的函数值求出单倍角的函数值，由单倍角的函数值我们就可以判断出角的终边所在的象限了.在利用二倍角公式的过程中，有，也可以有，只要角的倍数是两倍的关系就可以.32.若函数的最小正周期为，则的值是 .【答案】【解析】【考点】三角函数周期【方法点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.33.若函数的部分图象如图所示，则关于描述中正确的是（）A．在上是减函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在上是增函数【答案】C.【解析】由题意得，，，又∵过最高点，∴，，不妨取，∴，∴，从而可知C正确，故选C.【考点】三角函数的图象和性质.34.的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，化简得，即.【考点】三角恒等变换．35.已知中，分别是角所对的边，若，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知和正弦定理得展开化简得，由于为三角形内角，所以,所以，，选C.【考点】1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.36.已知函数的三个零点成等比数列，则．【答案】【解析】设函数在区间上的三个零点从小到大位次为，又因为三个零点成等比数列，则，解之得，，，所以，．【考点】三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．37.（原创）已知，其导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是（）A．最大值为4且关于直线对称B．最大值为4且在上单调递增C．最大值为2且关于点中心对称D．最大值为2且在上单调递减【答案】A【解析】由，得，由图可得，，即，得，，将点代入得，得，故最大值为，故关于直线对称，故选A．【考点】（1）三角函数的图象；（2）三角函数的性质．38.已知中，分别为内角所对的边长，且，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设可得,则,所以．由余弦定理可得,即,解之得,所以,故应选C．【考点】1．三角变换公式；2．余弦定理的应用；3．三角形的面积公式．【方法点晴】本题设置的目的是考查三角变换中两角和的正切公式,余弦定理,三角形的面积公式等基础知识和基本方法．解答时先依据题设中的求出,继而求出和,再运用余弦定理求出边,最后应用三角形的面积公式求该三角形的面积为．39.在中，内角对应的边分别为，若，则角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】C【解析】由于，故为.【考点】解三角形．40.已知顶点在单位圆上的△，角，，所对的边分别是，，，且．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理可得：；（2）由，由，．试题解析：（1）因为，由正弦得，，所以．因为，且，所以．（2）由，得，由，得，，所以．因为，所以，即，所以．【考点】1、解三角形；2、三角恒等变换．41.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，是角终边上的一点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是角终边上的一点，所以，所以＝，故选C.【考点】1、任意角的三角函数的定义；2、两角和的正切函数.42.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，故，故选C.【考点】（1）诱导公式；（2）两角差的正弦.43.在中，，，，则的角平分线的长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理得，再由角平分线定理得,最后根据余弦定理得,选C.【考点】余弦定理44.在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心. （1）若，求的面积；（2）若点为边上的任意一点，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据三角形面积公式，只需由求，这只需根据同角三角函数关系及三角形内角范围可求，（2）根据向量减法由得，再根据向量投影得，因此由得，即，最后根据正弦定理得试题解析：(1)由得，∴．(2)由，可得，于是，即，①又O为△ABC的的外接圆圆心，则，=，②将①代入②得到解得．由正弦定理得，可解得．【考点】向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.45.的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:由题设所提供的图象信息可得，即，将代入可得，即，则，所以，向右平移后可得，由可得，即,故函数的单调递增区间是，应选C.【考点】正弦函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以函数的解析式所对应的图象为背景,考查的是正弦函数的图象和性质及数形结合的数学思想等有关知识和方法的综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的条件信息和图形信息,求出,进而确定函数解析式,然后借助平移求出,然后确定其单调递增区间,从而使得问题获解.46.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．47.已知为锐角，若，则．【答案】【解析】试题分析:由于,因为锐角，若,故,所以,故应填答案.【考点】诱导公式及正弦二倍角公式的综合运用．【易错点晴】三角变换是高中数学的重要内容之一,也是高考必考的重要考点.本题以锐角满足的等式为背景,考查的是诱导公式和三角变换中的变角的技巧.变角是三角变换的精髓,也解决问题的难点,本题先用诱导公式将化为,进而运用倍角公式化为,从而使得问题巧妙获解,体现了角变换的要义.48.已知中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围是.【解析】（1）由正弦定理化简已知，整理可得：，由余弦定理可得，结合范围即可得解的值.（2）由正弦定理可得，，又，则求得的范围即可得解的取值范围试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理可得，即，即，根据余弦定理得，所以.（Ⅱ）根据正弦定理，所以，,又,所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围是.【考点】正弦定理，余弦定理49.已知，且，则．【答案】【解析】由题可知，因为所以，则，故，则，故答案为.【考点】1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正切公式及二倍角的正切公式.50.在△中，角，，的对边分别为，，，且满足条件，，则△的周长为．【答案】【解析】中，即又，解得，其中为外接圆半径；，解得，，，的周长为，故答案为.【考点】1、正弦定理和余弦定理；2、诱导公式及两角和的余弦公式.【方法点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式及两角和的余弦公式，属于难题.以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．51.函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【答案】【解析】,故应至少向右平移个单位.【考点】1、三角恒等变换；2、图象的平移.52.在中，角所对边分别为，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）；（2）由（1）及的周长的最大值．试题解析：（1）因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）及，得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分故的周长的最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】1、解三角形；2、基本不等式.53.在中，分别为角的对边，已知且，则__________．【答案】1【解析】由射影定理,可得a=2b=2,解得b=1【点睛】对于解三角形问题，一般利用正余弦定理，统一边或统一角做，同时要注意使用身影定理。
高考三轮复习专题训练2---三角恒等变换与解三角形综合问题
三角恒等变换与解三角形综合问题1.三角恒等变换与解三角形的综合问题是高考的热门考点，涉及的公式多、性质繁，知识点较为综合，主要涉及三角恒等变换、解三角形及三角函数与解三角形的开放、探究问题。
2.三角恒等变换与解三角形综合问题的答题模板第一步 利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步 由三角方程或条件式求角第三步 利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步 检验易错易混、规范解题步骤得出结论3.常用的几个二级结论（1）降幂扩角公式()()221cos =1+cos2,21sin =1cos2.2ααα−α⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）升幂缩角公式221+cos2=2cos ,1cos2=2sin .αα−αα⎧⎨⎩（3）正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．（4）射影定理在ABC 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+．【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A ＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简] (2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系] 思路引导母题呈现三角恒等变换与解三角形综合问题的一般步骤方法总结1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．模拟训练5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233ab 的值．6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________. (1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得πsin 6A ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值，进而求得A ；（2）利用三角形面积公式求得bc 的值进而根据余弦定理求得22b c +的值，最后联立方程求得b 和c ．【详解】（1）解：因为3sin cos c a C c A =−，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：sin 3sin sin sin cos C A C C A =−，∴3sin cos 1A A −=，π2sin 16A ⎛⎫∴−= ⎪⎝⎭，π1sin 62A ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫∴−∈− ⎪⎝⎭，ππ66A ∴−=， π3A ∴=. （2）解：113sin 3222ABC S bc A bc ==⋅=，4bc ∴=， 由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +−==，2244b c ∴+−=， 联立2284b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得2,2b c ==. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，π3A =，则πsin sin 3sin 6B C B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭π3sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.模拟训练【详解】（1）由正弦定理可得()()b c b c a a bc −−=⋅−，即222b c a bc +−=，由余弦定理的变形得2221cos 22b c a A bc +−==， 又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由πA B C ++=得2π3C B =−，且2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2πππsin sin sin πsin 333C B B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以π33πsin sin sin sin sin cos 3sin 3226B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为20,π3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而ππ5,π666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而3sin sin ,32B C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦. 即sin sin B C +的取值范围为3,32⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角A 的三角函数值，再结合角A 的取值范围即可求得角A 的大小；（2）先利用余弦定理建立关于,b c 的方程，再利用向量的线性运算将2BD DC =转化为AD 与AB ，AC 的关系，两边同时平方即可将2AD 用,b c 表示，最后利用ABC 是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求AD 长的最大值即可．【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得()sin si 33sin 3sin s s i n n co C A A B B B A =+=+，∴3cos sin sin sin A B B A =，∵sin 0B >，∴sin 3cos A A =，即tan 3A =，∵02A π<<，∴3A π=．方案二：选条件②．由正弦定理得()()()b a b a c b c +−=−，即222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．方案三：选条件③．由余弦定理得22222122a c b a b ac bc ac +−−=⋅−，∴222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+−，得2236b c bc =+−，∵2BD DC =，∴22AD AB AC AD −=−，即32AD AB AC =+，两边同时平方得2222294442AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++，2236b c bc =+−∴()22222221424249b c bcAD b c bc b c bc ++=++=⨯+−．令b t c =，则0t >，()()2222424121411t t t AD t t t t +++==+−+−+，令1t u +=，则1u >，221212443333AD u u u u =+=+−++−，在锐角ABC 中2222222222222222222222222a b c b c bc b c b bca cb bc bc c b c bc b c a b c b c bc ⎧⎧+>+−+>⎧>⎪⎪+>⇒+−+>⇒⎨⎨⎨>⎩⎪⎪+>+>+−⎩⎩，∴122bc <<，∴31,32u b c ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴21241683233AD ≤+=+−，∴223AD ≤+，当且仅当3u =时取等号，∴线段AD 长的最大值为223+．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答. （2）由（1）可得π(0,)3B ∈，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及A B C π+=−，得πsin cossin sin 2C B C B −=， 即有sin sin2sin cos sin 222C C C B B =，而(),0,A B π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin 0B ≠，sin 02C ≠， 因此1cos 22C =，π23C =，所以2π3C =． （2）令ABC 边BC 上的高为h ，由11sin 22ABC S ah ac B ==，得3sin h B =， 由（1）知，π(0,)3B ∈，即3sin (0,)2B ∈，则33sin (0,)2h B =∈， 所以BC 边上的高的取值范围是3(0,)2. 5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233a b的值． 【分析】（1）根据正弦定理化角为边，将2c 表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角函数的性质及基本不等式即可得出答案；（2）直接利用（1）中的结论即可得解.【详解】（1）因为222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=，所以2226363sin a b c ab C ++=，则22223sin 23a c ab C b =−−， 又222224323sin 233cos 3sin 2232a b ab C a b c a b C C ab ab b a +−+−===+−， 所以233sin cos 32a b C C b a+=+，因为2323223232a b a b b a b a+≥⋅=，当且仅当2332a b b a =，即23a b =时，取等号， π3sin cos 2sin 26C C C ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ62C +=，即π3C =时，取等号， 所以233sin cos 232a b C C b a +=+=，所以π3C =； （2）由（1）可得23a b =，所以2333a b=. 6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.(1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案. （2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有两解，即1sin 12C <<，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若选①：整理得()1tan tan 3tan tan A C A C −=−+，因为A B C π++=， 所以()tan tan 3tan tan 1tan tan 3A CB AC A C +=−+=−=−，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选②：因为()23cos 3cos c a B b A −=，由正弦定理得()2sin 3sin cos 3sin cos C A B B A −=，所以()2sin cos 3sin 3sin ,sin 0C B A B C C =+=>，所以3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选③：由正弦定理整理得2223a c b ac +−=，所以222322a cb ac +−=， 即3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b +=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos 0B C A C +−=，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，再利用两角和的正弦公式即可求解；方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出3cos sin C C =，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得3b a =，然后代入即可求解.【详解】（1）方案一：选条选①．由()cos 2cos 0c B b a C +−=，得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +−=，得()sin 2sin cos 0B C A C +−=，即sin 2sin cos 0A A C −=．∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，又0πC <<，∴π3C =． 方案二：选条件②．由cos 3sin +=+a b c B c B ，得sin sin sin cos 3sin sin +=+A B C B C B ，即()sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ++=+，于是sin cos cos sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+，因此sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ∵()0,πC ∈，∴ππ5π,666C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，∴ππ66C −=，故π3C =． 方案三：选条件③．由正弦定理，得()23cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()23cos sin sin C A B C +=，∴23sin cos sin C C C =，又0πC <<，∴sin 0C ≠，∴3cos sin C C =，即tan 3C =，∴π3C =． （2）在ABC 中，π3C =，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−， 又()223189sin 122S b c ab C =−=，∴()2223389124b a b ab ab ⎡⎤−+−=⎣⎦， 整理得22960a ab b −+=，得3b a =，此时227c a b ab a =+−=，∴2227cos 214a cb B ac +−==−，∴B 为钝角，故ABC 是钝角三角形． 【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭， 因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=， 解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得224312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+−⋅，即223123232c c c −=+−⋅， 整理，得22390c c −−=，由0c >得3c =，所以11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△． 9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin2A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值； （2）由已知ABC ABD ACD S S S =+结合三角形的面积公式可得出111b c+=，将2b c +与11b c +相乘，展开后利用基本不等式可求得2b c +的最小值.【详解】（1）解：选①：因为1cos 2a B c b =+，由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B C B =+， 即()11sin cos sin sin sin cos cos sin sin 22A B A B B A B A B B =++=++， 所以1cos sin sin 2A B B =−， 而()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，故1cos 2A =−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选②：因为sin sin sin sin A C B C b a c −+=+，由正弦定理a c b c b a c −+=+， 即222b c a bc +−=−，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−， 因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选③：因为3sin sin 2B C b a B +=， 正弦定理及三角形内角和定理可得π3sin sinsin sin 2A B A B −=， 即3sin cos 2sin cos sin 222A A A B B =，因为A 、()0,πB ∈，则π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，sin 0B ≠，cos 02A ≠， 所以3sin 22A =，所以π23A =，即2π3A =. （2）解：由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+，由角平分线性质和三角形面积公式得12π1π1πsin 1sin 1sin 232323bc b c =⨯⨯+⨯⨯， 化简得bc b c =+，即111b c+=， 因此()112222332322c b c b b c b c b c b c b c ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当221c b ==+时取等号，所以2b c +的最小值为322+．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =， 所以π3C =． （2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+−得：221a b ab =+−，因此12ab ab ≥−，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11333sin (0,]22244ABC S ab C ab ab ==⨯=∈△， 所以ABC 面积的取值范围是3(0,]4．。
三角函数、三角恒等变换、解三角形(含答案)
三角函数、三角恒等变换、解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知1sin 2α=，则cos()2πα-=（ ）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 2．200︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．已知()1cos 03ϕϕπ=-<<，则sin 2ϕ=（ ）A.9B.9-C.9D.9-4．函数 )321sin(π+=x y 的图像可由函数x y 21sin =的图像（ ） A ．向左平移32π个单位得到 B ．向右平移3π个单位得到C ．向左平移6π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到5．函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（ ） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．45π=x6．函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且βα>，且βαsin sin >；②若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3cos 2πax y 的最小正周期是π4，则21=a ； ③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π； ⑤函数||sin sin x x y +=的值域是]2,0[. 其中正确命题的个数为（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0 8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，则将()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为（ ）A ．x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9．函数()sin 2f x x =的最小正周期是 ．10．300tan 480sin +的值为________.11．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为 ．12．比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接).13．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点(1,,则cos ____.α=14．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.15．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=.（1）求()f x 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求()f x 在[0,]2x π∈时的值域；（3）在给出的直角坐标系中，请画出()f x 在区间[,]22ππ-上的图像（要求列表，描点）．16．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.17．（1）化简：︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）已知α为第二象限角，化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-.18．函数（其中）的图象如图所示，把函数)(x f 的图像向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.（1）若直线m y =与函数)(x g 图像在]2,0[π∈x 时有两个公共点，其横坐标分别为21,x x ，求)(21x x g +的值；（2）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,3==C g c .若向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．19．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.参考答案1．C 【解析】 试题分析：由1cos()sin 22παα-==，故选C. 考点：诱导公式. 2．C 【解析】试题分析：因为第一象限角α的范围为36036090,k k k z α⋅<<⋅+∈ ; 第二象限角α的范围为36090360180,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第三象限角α的范围为360180360270,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第四象限角α的范围为360270360360,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ；200∴︒是第三象限角，故选C.考点：象限角的概念. 3．D 【解析】试题分析：0ϕπ<< ，sin 0ϕ∴>，故sin ϕ===，因此sin 2ϕ=12sin cos 2339ϕϕ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.二倍角公式4．A 【解析】试题分析：因为1sin()23y x π=+可化为12sin ()23y x π=+.所以将x y 21sin =向左平移32π.可得到12sin ()23y x π=+.故选 A.本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比.即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位.考点：1.三角函数的平移.2.类比的思想. 5．A 【解析】试题分析：5sin(2)sin(22)sin(2)cos 2222y x x x x ππππ=+=++=+= ，由c o s y x =的对称轴()x k k Z π=∈可知，所求函数图像的对称轴满足2()x k k Z π=∈即()2k x k Z π=∈，当1k =-时，2x π=-，故选A. 考点：1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性；2.诱导公式. 6．C 【解析】 试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如sin(),cos()y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2||T πω=，而t a n ()y A x k ωϕ=++的最小正周期为||T πω=，故函数()tan()24x f x π=-的最小正周期为212T ππ==，故选C.考点：三角函数的图像与性质. 7．D 【解析】试题分析：对于①来说，取390,60αβ=︒=︒，均为第一象限，而1sin 60390sin 3022=︒=︒=，故s i n s i n αβ<；对于②，由三角函数的最小正周期公式214||2T a a ππ==⇒=±；对于③，该函数的定义域为{}|s i n 10|2,2x x x x k k Zππ⎧⎫-≠=≠+∈⎨⎬⎩⎭，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；对于④，记1()|sin |2f x x =-，若T π=，则有()()22f f ππ-=，而1()|1| 1.522f π-=--=，1()|1|0.522f π=-=，显然不相等；对于⑤，0sin sin ||2sin y x x x ⎧=+=⎨⎩(0)(0)x x <≥，而当()2sin (0)f x x x =≥时，22sin 2x -≤≤，故函数sin sin ||y x x =+的值域为[2,2]-；综上可知①②③④⑤均错误，故选D.考点：1.命题真假的判断；2.三角函数的单调性与最小正周期；3.函数的奇偶性；4.函数的值域. 8．D 【解析】试题分析：通过观察图像可得1A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以222T ππωπ===，又因为函数()f x 过点(,1)6π，所以s i n ()12()332k k Z πππϕϕπ+=⇒+=+∈，而||2πϕ<，所以当0k =时，6πϕ=满足要求，所以函数()sin(2)6f x x π=+，将函数向右平移6π个单位，可得()s i n [2()]s i n (2)666f x x x πππ=-+=-，故选D.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数图像的平移.3.待定系数确定函数的解析式. 9．π 【解析】试题分析：直接利用求周期公式2T πω=求得.考点：周期公式.10． 【解析】 试题分析：sin 480tan 300sin(120360)tan(36060)sin120tan 60sin 60tan 60+=︒+︒+︒-︒=︒-︒=︒-︒，故sin 480tan 300+==考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.11．【解析】试题分析：∵2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc =+-，∵222b c bc +≥，∴122b c b c +≥，∴12bc ≤，∴1sin 2S bc A ∆==≤ 考点：1.余弦定理；2.基本不等式；3.三角形面积.12．＞. 【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0. 考点：三角函数线．13．-12. 【解析】试题分析：由题意可得 x=-1，r 2=x 2+y 2=4,r=2,故cos =x r =-12. 考点：任意角的三角函数的定义．14．（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.15．（1）当1-，},12|{Z k k x x ∈-=ππ；（2）[1,3]；（3）详见解析. 【解析】试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数()2sin(2)13f x x π=-+.（1）将23x π-看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,]33ππ-，从而sin(2)13x π≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）根据正弦函数的五点作图法进行列表、描点、连线完成作图.试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x =-++++22cos )2sin cos 1x x x x =-++sin 221x x =+2sin(2)13x π=-+ 4分（1）当sin(2)13x π-=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时22,32x k k Z πππ-=-+∈即,12x k k Zππ=-∈，故此时x 的集合为},12|{Z k k x x ∈-=ππ 6分（2）当]2,0[π∈x 时，所以]32,3[32πππ-∈-x ，所以sin(2)13x π≤-≤，从而12sin(2)133x π+≤-+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分（3）由()2sin(2)1f x x π=-+知故()f x 在区间[,]22ππ-上的图象如图所示：13分.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.16．（1）45；（2）.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 17．（1）1-；（2）0. 【解析】试题分析：本题主要考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.（1）将分子中的1变形为22sin 20cos 20︒+︒，从而分子进一步化简为cos20sin 20︒-︒，分母s i n 16n 20︒︒利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式转化为s i n 20c o s 2︒-︒，最后不难得到答案；（2）1sin |cos |αα-=，1cos |sin |αα-=，然后根据三角函数在第二象限的符号去绝对值进行运算即可.试题解析：（1）原式=cos 20sin 201sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒==-︒-︒︒-︒6分（2）解：原式cos sin 1sin 1cos cos |sin |cos |sin |αααααα--=⨯+⨯ 1cos 1cos cos sin 0cos sin αααααα--=⨯+⨯=- 6分. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角恒等变换；3.诱导公式.18．（1）123()2g x x +=-；（2）a b ⎧=⎨=⎩【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图像和性质，向量共线的充要条件以及解三角形中正弦定理余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想.第一问，先由函数图像确定函数解析式，再通过函数图像的平移变换得到()g x 的解析式，由于y m =与()g x 在[0,]2π上有2个公共点，根据函数图像的对称性得到2个交点的横坐标的中点为3π，所以122()()3g x x g π+=得出函数值；第二问，先用()0g c =在ABC ∆中解出角C 的值，再利用两向量共线的充要条件得到sin 2sin B A =，从而利用正弦定理得出2b a =，最后利用余弦定理列出方程解出边,a b 的长.试题解析：（1）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f 2分 由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=ππx x f x g 4分由函数图像的对称性，有23)32()(21-==+πg x x g 6分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<， ∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． 7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=， 得2,b a = ① 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ② 11分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ 12分 考点：1.函数图像的平移变换；2.函数图像的对称性；3.正弦定理和余弦定理；4.函数的周期性；5.两向量共线的充要条件.19．（1）T =π；（2）最大值2；最小值-1.【解析】试题分析：（1）本小题首先需要对函数的解析式进行化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ，然后根据周期公式可求得函数的周期T =π；（2）本小题首先根据.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以，然后结合正弦曲线的图像分别求得函数的最大值和最小值.试题解析：（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1． 考点：三角函数的图像与性质.。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.命题P：实数x满足其中a<0，命题q：实数x满足或且是的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】或【解析】本试题主要是考查了充分条件的判定和运用。
由于不等式的解集的关系可知q是P的必要不充分条件，然后利用集合的包含关系得到参数a的范围。
2.已知的图象与直线的两个交点的最短距离是，要得到的图象，只需要把的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于的图象与直线的两个交点的最短距离是，，，即，将的图象向左平移个单位得到，故答案为A．【考点】函数图象的平移．3.在中，若，则此三角形形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由得则原式可化为，整理得即此三角形为直角三角形【考点】解三角形4.在中，角的对边分别为，，，，则_______．【答案】【解析】由正弦定理得：即，∴，∵，∴．【考点】正弦定理．5.已知，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设函数，所以．显然，时，，即此时函数为增函数．易知函数为偶函数，所以在时，函数单调递减．又因，所以即，所以，故．选D．【考点】构造函数法并利用单调性解不等式．【方法点睛】题目中条件，启发我们构造函数，而选项从整体上看，是比较与的大小关系的．以上两点结合考虑，应判断函数的单调性，而函数是偶函数，由及单调性直接判断变量与的大小比较难，应利用偶函数的性质得到，从而得到．这样显然答案选D．本题综合性较强、难度较大，要有构造函数的意识，同时要灵活运用函数性质．6.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和最大值；（2）求函数单调递增区间【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）【解析】三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．试题解析：（1）函数的最小正周期为，函数的最大值为（2）由得函数的单调递增区间为【考点】三角函数的周期、最值、单调区间．7.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意有，即，整理得：，构造函数，因为，，且函数在定义域内为增函数，所以函数有唯一零点在区间上，即方程的解在区间上，所以的值所在区间为，故选C．【考点】1．诱导公式；2．函数与方程；3．零点存在定理．【名师】本题主要考查零点存在定理、函数与方程思想以用诱导公式，属难题．求方程解所在区间通常转化为求函数零点所在区间问题求解，解决函数零点所在区间是通过零点存在定理来实现的，需要注意的是零点存在定理只能解决变号零点的问题．本题由求一个数的了以值区间问题转化为求一个方程的近似解的问题，进一步转化为求函数零点所在区间，体现数学中的转化转化思想．8.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在△中，角的对边分别是，若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）观察图像可知函数的一条对称轴为，进而求出其最小正周期，于是运用公式可求出的值，再将点代入的解析式即可求出，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）运用正弦定理并结合已知，可得，再由三角形的内角和为可得出角的值，进而得出的大小，即可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由的一条对称轴为，从而的最小正周期，故.将点代入的解析式得，又，故，将点代入的解析式得，所以.（Ⅱ）由得，所以，因为，所以，，，，.【考点】1、由函数的图像求函数的解析式；2、正弦定理的应用；3、三角函数的图像及其性质.【易错点睛】本题主要考查了由函数的图像求函数的解析式、正弦定理的应用和三角函数的图像及其性质，属中档题.其解题过程中容易出现以下两处错误：其一是不能仔细观察函数图像，并结合已知条件求出函数的解析式，尤其是求的时候不知道怎么合理取点代值计算，不知道怎么舍去增根，导致出现增根；其二是未能将正弦定理与三角恒等变换结合起来综合运用并准确地进行化简求值.9.设函数，则该函数的最小正周期为，在的最小值为．【答案】，【解析】由题意可知，；，所以，所以在的最小值为．【考点】函数的性质．10.在锐角中，角的对边分别为，已知依次成等差数列，且求的取值范围．【答案】．【解析】由三角形内角和定理和等差中项易求，，根据正弦定理把边，用角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换构造正弦型函数，把问题转化为求正弦型函数在给定区间上的值域问题，求角的取值范围时，不要忽略为锐角三角形．试题解析：解：角成等差数列根据正弦定理的又为锐角三角形，则【考点】等差中项、正弦定理、三角恒等变换及正弦型函数值域．11.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，，从C，D两点测得A点仰角分别是，则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，即，即．故选A．【考点】解三角形．12.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位得，又是一个偶函数，所以，根据选项可知的一个可能取值为，故选B.【考点】三角函数的图像.13.在中，内角的对边分别为，且，则的面积最大值为．【答案】【解析】由余弦定理得：，代入得解得，那么根据三角形面积公式所以当时，面积取得最大值．【考点】1．余弦定理；2．三角形面积公式．【方法点睛】考察到了解三角形的最值问题，属于中档题型，解决此问题的关键是面积的表达公式，，将这样的三个量用一个量表示，尤其是，但不可用正弦定理，而要用余弦定理，用表示出，再转化为，最后代入面积公式，将面积表示为的函数关系求最值．14.同时具有性质“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故A不正确．对于选项B，如果为对称轴．则但在上是减函数不满足题意，对于选项C，因为为对称轴．所以，在上是增函数满足题意，故选C．【考点】正弦函数的图像15.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，从而，因此，选B.【考点】同角三角函数关系16.若点在角的终边上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．【考点】任意角的三角函数值．17.中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是【答案】B【解析】，而，∴．，故为钝角．【考点】平面向量的运算及余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算和数量积运算及利用余弦定理判断三角形的形状问题,属于中档题.解答本题的关键是:选择三角形的两边表示的向量作为平面的基底，通过向量的线性运算把转化为基底的关系，结合平面向量数量积的运算律得到，进而利用余弦定理得到问题的答案.18.若点在直线上，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，所以，故选B．【考点】三角函数的化简求值．19.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.【考点】函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.20.若、，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数，，，所以函数是偶函数，，当时，，所以在上是增函数，由知，所以，即，故选D．【考点】1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性．21.已知中，，，分别是角，，的对边，且，是关于的一元二次方程的两根.（1）求角的大小；（2）若，设，的周长为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据韦达定理得到三边所满足的一个关系式，进而利用余弦定理的变式求解；（2）利用正弦定理得到的解析式，再利用三角恒等变形将其化简，利用三角函数的性质求其最值.试题解析：（1）在中，依题意有：，∴，又∵，∴；（2）由，及正弦定理得：，∴，，故，即，由得：，∴当，即时，. .【考点】1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.韦达定理；4.三角函数的性质．22.已知函数f(x)=（sin x+ cos x）cos x一（x R，>0）．若f(x)）的最小止周期为4．( I)求函数f(x)的单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)．【解析】( I)先利用二倍角公式和配角公式化简函数解析式，再利用三角函数的周期公式确定参数值和函数的解析式，进而利用整体思想求其单调递增区间； (II)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式进行求解．（I）．，．由，得．∴的单调递增区间为（Ⅱ）由正弦定理得，，∴．∵，∴或：，，∴．又，．．【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理．23.已知函数，．（1）求函数的图像的对称轴方程；（2）求函数的最小正周期和值域．【答案】（1）;（2），值域.【解析】（1）用二倍角公式将函数降幂,根据余弦函数的对称轴公式可求得此函数的对称轴方程. （2）根据（1）中所得函数的解析式与相加,用化一公式将其化简变形可得,根据周期公式可得其周期,根据正弦的值域可得其值域.试题解析：（1）由题设知．令，所以函数图像对称轴的方程为．（2）．所以最小正周期是，值域．【考点】1三角函数的化简;2三角函数的周期,对称轴,值域.24.已知是锐角三角形，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】是锐角三角形,则，，同理可得,故选B.【考点】诱导公式.25.关于函数（），下列命题正确是（）A．由可得是的整数倍；B．的表达式可改写成；C．的图象关于点对称；D．的图象关于直线对称.【答案】C【解析】，，，因此，A错；，但时，，B错，事实上；，，时，，因此是其对称中心，C正确；，，不含，D错．故选C．【考点】函数的性质．26.已知函数, 先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得，则，，，因为，最小值为．故选A．【考点】三角函数图象变换，三角函数的对称轴．27.已知函数对称，现将的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点与上点关于对称，则有，，，，，现将的图象向左平移个单位后，得到再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，故选B.【考点】三角函数图象的变换.28.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．29.在中，内角的对边边长分别为，且．若，则的面积最大值为________.【答案】【解析】设三角形面积为，所以，又，两式相除得，同理，因为，所以，化简得，故，，，，故．【考点】解三角形.【思路点晴】本题属于一个综合性的题目背景是解三角形，设计三角形面积公式、余弦定理，同脚三角函数关系，基本不等式的知识.已知条件中关键的突破口在，我们由同角三角函数关系，结合余弦定理，就可以求出，然后代入三角形的面积公式，最后利用基本不等式来求面积的最大值.注意运算不要出错.30.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，，所以由正弦定理知，所以（2）在中，，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.31.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．32.如图，平面四边形中，，则的面积为_____________．【答案】【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理得：，所以．因为，所以．因为．所以．故答案为.【考点】1、正弦定理、余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及三角形面积公式.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，此外，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式能简化计算过程，.33.函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式为__________________．【答案】【解析】由图象可知：A=1，…可得：T=2×（﹣）=π=，∴解得：ω=2，…∵函数的图象经过（，1），∴1=sin（2×+φ），∵φ=2kπ+，|φ|＜，∴φ=…∴函数的解析式y=sin（2x+）．34.设的内角的对边分别为，且，则____．【答案】【解析】，.【考点】解三角形、正余弦定理.35.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D.【考点】两角和的余弦公式及运用.36.已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．左平移个单位【答案】B【解析】函数，所以函数，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，故选B．【考点】函数的图象变换．37.已知，则 .【答案】【解析】.【考点】三角恒等变换．38.函数的部分图象如图所示，则 .【答案】【解析】,，，即，，又，∴.【考点】函数的图象与性质.39.设当时，函数取得最大值，则__________．【答案】【解析】,其中，故当函数取得最大值时，【考点】辅助角公式，三角函数的最值和值域【名师】本题考查三角函数的辅助角公式以及取得最大值时的值，属中档题．解题时正确确定函数在取得最大值时的值是解题的关键40.如图，在凸四边形中，，，，．设．（1）若，求的长；（2）当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理可得，解得．从而，解得；（2）设，，由余弦定理得，再由正弦定理得．从而．再由得：当，时取到最大值．试题解析：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴．（2）设，，在中，，．∵，∴．在中，．∵，∴，当，时取到最大值．【考点】解三角形．41.已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B【解析】依题, ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．【考点】三角函数的图象与性质．42.海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设由余弦定理可得,，故选B．【考点】解三角形．43.已知角为第四象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,,又,得出．因为角为第四象限角, ,;．故选A．【考点】同角三角函数的运算．44.如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当时，总路径最短.【解析】借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求.试题解析：连接, 过作垂足为 , 过作垂足为设，…………………2分若，在中，若则若则…………………………4分在中，…………………………6分所以总路径长……………………10分………………12分令，当时，当时，…………………………14分所以当时，总路径最短.答：当时，总路径最短. ……16分【考点】解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先,然后建立以为变量的函数关系式从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.45.已知，则__________．【答案】【解析】试题分析: ,故应填答案.【考点】诱导公式及同角关系的综合运用．46.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以，故选C.【考点】1、诱导公式的应用；2、同角三角函数之间的关系.47.方程在区间内的解是．【答案】【解析】因为，所以，，即或，，，故答案为.【考点】1、特殊角的三角函数；2、简单的三角方程.【思路点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、简单的三角方程，属于中档题.由于近年来高考对三角函数考查难度的降低，对三角方程的考查也以容易题和中档题为主，该题型往往根据特殊角的三角函数解答.本题首先将原方程变形为，然后根据的余弦值为，确定或，再根据确定方程的解．48.若，则的值为______．【答案】【解析】由，解得，又．【考点】三角函数的化简求值．49.在中，角的对边分别是，若，，则面积是_______.【答案】1【解析】在中，，,当且仅当时取等号, ,又，故,则面积是1【考点】正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.50.已知函数（，，）的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）A．2468B．3501C．4032D．5739【答案】C【解析】∵已知函数的最大值为，故．的图象与轴的交点坐标为，∵，∴，，即．再根据其相邻两条对称轴间的距离为，可得，，故函数的周期为．∵，∴，故选C．【考点】（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）余弦函数的图象.51.在△中，，，所对的边分别是，，，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即．又∵，∴，∴，即，解得，故选B．【考点】余弦定理.52.若，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】.【考点】三角恒等变换.53.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简题设条件得，求得，即可求解角的值；(2)由余弦定理得，得到，再由条件，可化简求得，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）∵，由，得，∴，整理得，解得，∵，∴．（2）由余弦定理得，即，∴，由条件，得，解得，∴．【考点】余弦定理及三角恒等变换．54.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】∵函数的最小正周期为，∴，得，，故将的图象向左平移个单位长度可得，故选C.【考点】三角函数图象的变换.55.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分将，代入，解得：．…………………6分（2）由正弦定理，，化简得：，则，…………………8分因为，，所以，，所以或（舍去），则．………………10分由正弦定理可得，，将，代入解得．……………………14分【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.56.已知函数．⑴求的最小正周期和单调递增区间;⑵求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，增区间为；(2) 最大值为，最小值为．【解析】(1)借助题设条件余弦二倍角公式及余弦函数单调性求解；(2)依据题设运用余弦函数的有界性进行探求．试题解析：⑴由已知，有,所以的最小正周期,当时，单调递增，解得：，所以的单调递增区间为,⑵由⑴可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，，所以在区间上的最大值为，最小值为．【考点】余弦二倍角公式及余弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．57.已知，，分别为的三个内角，，所对边的边长，且满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由正弦定理将条件中的边换为角的正弦，利用三角变换公式，化简可得，从而可求得角的值；（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式列出关于的方程组，解之即可.试题解析：（Ⅰ），由正弦定理得：，…（2分），，…………（3分），，…（5分），…（6分）（Ⅱ），所以，……（7分），，则（或），……（8分）解得：．………（10分）【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换.【名师】本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.58.已知函数与函数的部分图像如右图所示，则____________．【答案】【解析】令.【考点】1、三角函数的图象与性质；2、一次函数.59.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C.60.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为.（I）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）已知分别为中角的对边，且满足，，求的面积.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）利用降幂公式将函数化为，再由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求出，结合三角函数的单调性可得其单调区间；（Ⅱ）将代入函数解析式，结合的范围可求出的值，由正弦定理和余弦定理可求出边，故而可得三角形的面积.试题解析：解：（Ⅰ）.因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.所以.令，解得.所以的单调递减区间为.（Ⅱ）由得，因为.所以,.已知及正弦定理得.由余弦定理得，代入得，解得，所以.61. (江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半。
高考数学专题复习《三角恒等变换与解三角形》测试卷含答案
高考数学专题复习《三角恒等变换与解三角形》测试卷含答案考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知π3sin 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α的值为( )A ．725B ．2425C ．2425-D ．725-2.已知5ππ10,,sin 12123αα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )3.sin373cos767sin77sin227-︒︒︒︒=( )A.12C. D. 4.()tan 751cos 240sin 30sin 60sin1201tan 75︒︒︒︒︒︒---+=+（ ）A.12+B. 12-C. 12-+D. 12--5.已知ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且sin 2(1sin )cos (1cos2)αββα+=-,则下列结论正确的是( )A.π22αβ-=B.π22αβ+=C.π2αβ+=D.π2αβ-=6.已知2sin 1αα=+,则πsin(2)6α-=( )A.34 B.34-C.78-D.787.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知60,C b c =︒==sin A =( )A.B.C.D.128.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知1sin sin 4csin ,cos 4a A b B C A -==-,则bc=( )。
A.6B.5C.4D.3二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
）9.下列各式中，值为2的是( ) A.sin 15cos 15︒︒ B.22ππcossin 66-C.2tan 301tan 30-︒︒10.在ABC △中,5sin 13A =,3cos 5B =,则下列结论正确的是( ) A.12cos 13A =± B.4sin 5B = C.5616cos 6565C =-或 D.63sin 65C =11.下列说法正确的有( )A.在ABC 中，::sin :sin :sin a b c A B C =B.在ABC 中，若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰三角形C.ABC 中，sin sin A B >是A B >的充要条件D.在ABC 中，若1sin 2A =，则π6A = 12.在ABC △中，角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，下列结论中正确的选项有( ) A.若A B >，则sin sin A B >B.若sin2sin2A B =，则ABC △可能为等腰三角形或直角三角形C.若cos cosA a B b c -=，则ABC △定为直角三角形D.若π,23B a ==且该三角形有两解，则b 的取值范围是第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考数学二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形习题
9．在△ ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b，c，且满足 bsin A＝ acos B，则角 B 的大小
为 ________．
解析：∵ bsin A＝ acos B，由正弦定理，得 sin Bsin A＝ sin AcosB.
∵ sin
A≠0，∴ sin
B＝ cos
B，∵ B为△ ABC内角，∴
x＋ 3
≤
. 5
6 ∴ f ( x) ＝ max 5. 故选 A.
答案： A
8．(2017 ·高考全国卷Ⅰ ) △ ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a，b，c. 已知 sin B＋ sin A(sin C
－ cos C) ＝ 0， a＝ 2， c＝ 2，则 C＝ ( )
π A. 12
π B. 6
π C. 4
π D. 3
2
2
解析：因为 a＝ 2， c＝ 2，所以由正弦定理可知， sin A＝ sin C，
故 sin A＝ 2sin C. 又 B＝ π － ( A＋ C) ， 故 sin B＋ sin A(sin C－cos C) ＝ sin( A＋ C) ＋ sin Asin C－ sin Acos C ＝ sin Acos C＋cos Asin C＋ sin Asin C－ sin Acos C ＝ (sin A＋ cos A)sin C ＝ 0.
x＝π ＋ 2kπ( k∈ Z) 时， f
( x) 取得最大值
6 .
故选
A.
Hale Waihona Puke 65法二：∵
π x＋ 3
＋
π 6 －x
π ＝ 2，
1
∴
f
(
x)
＝
2018年高考数学(理科)专题突破——三角函数与平面向量 三角恒等变换与解三角形 Word版 含答案
三角恒等变换与解三角形【考点梳理】1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .【题型突破】题型一、三角恒等变换及应用【例1】(1)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2²cos α2－32的值为________.【答案】(1)C (2)513【解析】(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3. (2)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， 又因为3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32 ＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513. 【类题通法】1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【对点训练】(1)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.【答案】(1)－79 (2)π3【解析】(1)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2³19＝－79. (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114³17＋5314³437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.题型二、利用正(余)弦定理进行边角计算【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1.(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积.【解析】(1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，即cos(A ＋C )＝－12，∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12³54³32＝5316.【变式1】若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝332”，试求a ＋c 的值.【解析】由已知S △ABC ＝12ac sin B ＝332，∴12ac ³32＝332，则ac ＝6.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝21，所以a ＋c ＝21.【变式2】在本例条件下，若b ＝3，求△ABC 面积的最大值.【解析】由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝3时取等号).所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12³3³sin π3＝334.。
2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分 专题三 三角函数及解三角形 1-3-2
限时规范训练九 三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4B.14 C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12， 所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝ABπ－2B＝ABsin 2B＝AB2sin B cos B＝AB233sin B，所以AB＝4.。
2018届高中数学新人教b版(理科数学)三角函数图象与性质、三角恒等变换单元测试版含答案
专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数关系式、诱导公式1,7三角恒等变换2,6,9三角函数图象与性质3,5,8,11综合应用4,10一、选择题1.(2017·河南天一大联考)若cos(-α)=,则cos(π-2α)等于( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos(π-2α)=2cos2(-α)-1=-.故选B.2.(2017·云南民族中学三模)已知sin 2α=,则tan α+等于( A )(A)(B) (C) (D)4解析:由sin 2α=2sin αcos α=,可得sin αcos α=,所以tan α+=+==.故选A.3.(2017·成都实验外国语学校二诊)已知函数f(x)=sin2x+cos2x-,若将其图象向左平移(>0)个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为( C )(A) (B) (C) (D)解析:函数f(x)=sin 2x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),将其图象向左平移(>0)个单位后,可得y=sin(2x+2+)的图象,若该函数图象关于原点对称,则2+=kπ,k∈Z,故的最小值为.故选C.4.(2017·云南昆明一模)已知常数ω>0,f(x)=-1+2sin ωx cos ωx+2cos2ωx图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为,若f(x0)=,≤x0≤,则cos 2x0等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=-1+2sin ωxcos ωx+2cos2ωx,sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx+)因为对称中心到对称轴的距离的最小值为,所以T=π.由T==π,可得ω=1.f(x0)=,即2sin(2x0+)=,因为≤x0≤,所以≤2x0+≤,又sin(2x0+)=>0,所以cos(2x0+)=-.那么cos 2x0=cos(2x0+-)=cos(2x0+)cos+sin(2x0+)sin=. 故选D.5. (2017·青海西宁二模)函数y=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)为奇函数,其部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2,则该函数图象的一条对称轴方程为( D )(A)x= (B)x=。
三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题09三角恒等变换与求值理含解析57
专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向★★★分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．2．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
通用2018高考数学二轮复习练酷专题小题押题16_9三角恒等变换与解三角形课件文
解析：因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理 得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0， 所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1， 3π 因为A∈(0，π)，所以A＝ ， 4 2 2× 2 1 c· sin A 由正弦定理得sin C＝ a ＝ ＝ ， 2 2 π π 又0＜C＜ ，所以C＝ . 4 6
a2＋c2－b2 a2＋4a2－2a2 3 得b＝ 2a，∵cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 4a2 4 ∴sin B＝
3 1－42＝
7 . 4
答案：A
2．(2017· 南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( 1 A． 2 C．1 1 B． 4 D．2 )
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； 正弦 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； 定理 asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； a＋b＋c ＝2R sin A＋sin B＋sin C b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 cos B＝ 2ac ； 余弦 cos A＝ 2bc ； 定理 a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
答案：B
6．(2016· 全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， 2 c，已知a＝ 5，c＝2，cos A＝ ，则b＝ 3 A. 2 C．2
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限时规范训练九 三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时________ 分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34B ．－14C.34D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.3．在△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( ) A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sin B ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin Aa＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2.所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan x tan x ＋1＝－3. 答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c . 由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·s in π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)， 所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12， 所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin ∠ACB， 所以23sin B ＝AB sin π－2B ＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ，所以AB＝4.。