专题11 隐圆问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(原卷版)
浙江省2019年高考数学压轴卷(含解析)
18.设函数 ，其中 ，已知 .
(1)求 ；
(2)将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值．
19.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ．
A.4B.-4C.6D.-6
8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是 .现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望 和方差 分别是（ ）.
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得R=2.
故答案为：2;2.
14.【答案】4
【解析】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，
，则：
，
令 ，则 ，
据此可得： ，
即 的最小值是4，最大值是 ．
15.【答案】
【解析】原问题等价于 有三个不同的实根，即 与 有三个不同的交点，当 时， 为增函数，在 处取得最小值为 ，与 只有一个交点.当 时， ，根据复合函数的单调性，其在 上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需 ，解得 .
设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ①.
设 ，则 .
∵
即 ，得： ，
∴ ，即 或 ，
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为： 或 .
∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.
22.【答案】(1) ；(2) .
2019中考-“隐形圆”问题(共22张PPT)全面.ppt
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会出现。
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对应练
1、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若 ∠CAD=76∘，则∠CBD=______度。
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真题演练
1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若 ∠ CAD=76°，则∠ CBD= 度。
简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点
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班主任的专业发展一如治学之道，它 不是遥不可及的事情，而是我们正在
谢 谢！ 实践的工作；但也不是一蹴而就的，
而是一个不断发展，持续提高的过程 。只要我们留守心中那盏信念的灯， 拥有一颗热爱教育，热爱学生的心， 再加上善于观察和反思教育生活的习 惯，必然会收获内心的幸福，获得丰
满的教育人生。
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真题演练
1.如图 ，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑
直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为 （）
简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P
到定点O的距离始终等于1， 满足圆的定义（到定点的距离
等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆
简答：如图 2，因为 AP⊥BP，
∠P=90°（定角），AB=6（定弦），
故 P 在以 AB 为直径的⊙H 上 ， 当
H 、 P 、 C 三 点 共 线 时 CP 最
短 ，HB=3，BC=4 则 HC=5， 故
CP=5-3=2 。
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小结
以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到
动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的方案1或方
(最新)2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(第一篇)专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题学案
专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招”带参讨论【例1】【湖南省澧县一中2018届一轮第一次检测】已知函数f(x)=,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据与-2，0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论．若，则在上有2个零点0，在上无零点，符合题意；∴或．故答案为：．【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．【举一反三】【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2﹣4（m2﹣m+1）=4（m﹣1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招”数形结合【例2】【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．交点的横坐标即零点.【举一反三】【2019届同步单元双基双测AB卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，范围是.故答案为：.类型三“第三招”分离参数【例3】【广东省惠州市2019届10月调研】已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有 6 个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m ＜0时，当x≥0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 故当﹣＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 故选D. 【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以解决；2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ． 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ． 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ． 70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D类型四 “三招五法”一题多解【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a.当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈（0，2a），f′(x)<0；x∈（2a，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞上单调递增，在（0，2a）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x∈（－∞，2a），f′(x)<0；x∈（2a，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞，2a）和(0，＋∞)上单调递减，在（2a，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x0且x0>0，只需f（2a）>0，即a2>4，解得a<－2.法三数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3的图象与h(x)＝3x2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a＝0时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个的交点；当a>0时，如图(1)所示，不合题意；当a<0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3与h(x)＝3x2－1的图象有公切线时a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图形可知当a<－2时，满足题意．法四分离参数法：参变分离，化繁为简.易知x≠0，令f(x)＝0，则331ax x＝－，记331()g xx x＝－，2'234333(1)()xg xx x x--=-+=，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.【指点迷津】1.本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【举一反三】【2017课标3，理11】已知函数211()2()x xf x x x a e e--+=-++有唯一零点，则a=A．12-B．13C．12D．1【答案】C【解析】方法一：函数的零点满足()2112x xx x a e e--+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a ee －－＋－＋＋＝有解，即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解，令1t x ＝－，则上式可化为2(10)ttt a e e －－＋＋＝，即21t tt a e e--+＝. 令21t tt e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，故选C. 方法三：由()112()02.x x f x a ee x x ⇔－－＋＝＋＝－＋112x x e e ≥－－＋＋，当且仅当1x =时取“＝”．2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝”．若a >0，则112()x x a ee a ≥－－＋＋，要使f (x )有唯一零点，则必有21a ＝，即12a ＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．综上所述，12a＝.三．强化训练1．【2018年新课标I卷理】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A． [–1，0） B． [0，+∞） C． [–1，+∞） D． [1，+∞）【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.4．【2019届同步单元双基双测AB卷】函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故选：5.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的a取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为当时，，所以时，所以，此时，故．所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是．故选：B．6.【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如图所示，7.【安徽省六安市舒城中学2018届仿真（三）】函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，即则大致图象如图所示设，①当有一个根为时，，解得，此时另一个根为，满足条件②根不是时，则满足即综上所述，故实数的取值范围为故选8.【四川省双流中学2018届一模】对于函数和，设，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】9．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.10.【安徽省定远重点中学2019届第一次月考】函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如下图：故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．。
高考培优微专题《隐零点问题》解析版
高考数学培优微专题《隐零点问题》【考点辨析】隐零点主要指在研究导数问题中遇到的对于导函数f ′(x )=0时,不能够直接运算出来或是不能够估算出来,导致自己知道方程有根存在,但是又不能够找到具体的根是多少,通常都是设x =x 0,使得f ′(x )=0成立,这样的x 0就称为“隐零点”.【知识储备】针对隐零点问题的解决步骤:(1)求导判定是不是隐零点问题;(2)设x =x 0,使得f ′(x 0)=0成立;(3)得到单调性,并找到最值,将x 0代入f (x ),得到f (x 0);(4)再将x 0的等式代换,再求解(注意:x 0的取值范围).【例题讲解】类型一：确定函数的隐零点问题1.已知函数f (x )=axe x -x -ln x(2)当a =1时，求f (x )的最小值．【解析】【答案】(1)当a =0时，g (x )=-x -ln x x ，定义域为0,+∞ ，则g ′(x )=-1+ln x x 2，由g ′(x )>0⇒x >e ；g ′(x )<0⇒0<x <e ，故函数g (x )的增区间为e ,+∞ ，减区间为0,e ．(2)当a =1时，f (x )=xe x -x -ln x ，定义域为0,+∞ ，则f ′(x )=x +1 e x -1-1x =x +1 e x -1+x x =x +1 e x -1x 令h (x )=e x -1x (x >0)，则h ′(x )=e x +1x2>0，所以h (x )在0,+∞ 单调递增，又h (1)=e -1>0，h 12 =e -2<0，∴h (x )存在唯一零点x 0，x 0∈12,1 ，即e x 0=1x 0，且x 0为也是f ′(x )的唯一零点，则0,x 0 x 0,+∞f ′(x )-+f (x )单调递减单调递增∴f (x )≥f (x 0)=x 0e x 0-x 0-ln x 0，由e x 0=1x 0，有x 0=-ln x 0，则f (x 0)=x 0⋅1x 0+ln x 0-ln x 0=1，从而f (x )≥f (x 0)=1，即证2.已知函数f x =ae x +b ln x ，且曲线y =f x 在点(1,f (1))处的切线方程为y =e -1 x +1．⑴求f x 的解析式；⑵证明：f x >136．【解析】【答案】解：(1)f ′(x )=ae x +b x，k =f ′(1)=ae +b =e -1，又f (1)=ae =e ，解得：a =1，b =-1，∴f (x )=e x -ln x ，(2)由(1)知f ′(x )=e x -1x ，∴f (x )=e x +1x 2>0在(0,+∞)上恒成立，∴f ′(x )在(0,+∞)上为增函数，又f ′12 =e 12-2<0，f ′23 =e 23-32>0，故存在x 0∈12,23 使f ′(x 0)=e x 0-1x 0，当x 0∈(0,x 0)，f ′(x 0)<0，当x 0∈(x 0,+∞)，f ′(x 0)>0，f (x )min =f (x 0)=e x 0-ln x 0=x 0+1x 0，又函数g (x )=x +1x 在12,23 上单调递减，故x 0+1x 0>23+32=136，即f (x )>136．3.已知函数f (x )=ax +x ln x (a ∈R )(2)当a =1且k ∈Z 时，不等式k (x -1)<f (x )在x ∈(1，+∞)上恒成立，求k 的最大值．【解析】【解答】解：(2)a =1时，f (x )=x +ln x ，k ∈Z 时，不等式k (x -1)<f (x )在x ∈(1，+∞)上恒成立，∴k <(x +xlnx x -1)min，令g (x )=x +xlnx x -1，则g ′(x )=x -lnx -2(x -1)2，令h (x )=x -ln x -2(x >1)．则h ′(x )=1-1x =x -1x>0，∴h (x )在(1，+∞)上单增，∵h (3)=1-ln3<0，h (4)=2-2ln2>0，存在x 0∈(3，4)，使h (x 0)=0．即当1<x <x 0时h (x )<0即g ′(x )<0x >x 0时h (x )>0即g ′(x )>0g (x )在(1，x 0)上单减，在(x 0+∞)上单增．令h (x 0)=x 0-ln x 0-2=0，即ln x 0=x 0-2，g (x )min =g (x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0-1=x 0(1+x 0-2)x 0-1=x 0∈(3，4)．k <g (x )min =x 0∈(3，4)，且k ∈Z ，∴k max =3．类型二：含参函数的隐零点4.已知函数f (x )=e x +(a -e )x -ax 2.(2)若函数f (x )在区间(0，1)内存在零点，求实数a 的取值范围.【解析】【解析】(2)由题意得f ′(x )=e x -2ax +a -e ，设g (x )=e x -2ax +a -e ，则g ′(x )=e x -2a .若a =0，则f (x )的最大值f (1)=0，故由(1)得f (x )在区间(0，1)内没有零点.若a <0，则g ′(x )=e x -2a >0，故函数g (x )在区间(0，1)内单调递增.又g (0)=1+a -e <0，g (1)=-a >0，所以存在x 0∈(0，1)，使g (x 0)=0.故当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.因为f (0)=1，f (1)=0，所以当a <0时，f (x )在区间(0，1)内存在零点.若a >0，由(1)得当x ∈(0，1)时，e x >ex .则f (x )=e x +(a -e )x -ax 2>ex +(a -e )x -ax 2=a (x -x 2)>0，此时函数f (x )在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a 的取值范围为(-∞，0).5.已知函数f (x )=e x -a -ln (x +a )(a >0).(2)若函数f (x )在区间(0,+∞)上的最小值为1,求实数a 的值.【解析】(1)证明:因为f (x )=e x -a -ln (x +a )(a >0),所以f ′(x )=e x -a -1x +a .因为y =e x -a 在区间(0,+∞)上单调递增,y =1x +a在区间(0,+∞)上单调递减,所以函数f ′(x )在(0,+∞)上单调递增.又f ′(0)=e -a -1a =a -e a aea ,令g (a )=a -e a (a >0),g ′(a )=1-e a <0,则g (a )在(0,+∞)上单调递减,g (a )<g (0)=-1,故f ′(0)<0.令m =a +1,则f ′(m )=f ′(a +1)=e -12a +1>0,所以函数f ′(x )在(0,+∞)上存在唯一的零点.(2)解:由(1)可知存在唯一的x 0∈(0,+∞),使得f ′(x 0)=e x 0-a -1x 0+a =0,即e x 0-a =1x 0+a.(*)函数f ′(x )=e x -a -1x +a在(0,+∞)上单调递增,所以当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.所以f (x )min =f (x 0)=e x 0-a-ln (x 0+a ),由(*)式得f (x )min =f (x 0)=1x 0+a-ln (x 0+a ).所以1x 0+a-ln (x 0+a )=1,显然x 0+a =1是方程的解.又因为y =1x -ln x 在定义域上单调递减,方程1x 0+a-ln (x 0+a )=1有且仅有唯一的解x 0+a =1,把x 0=1-a 代入(*)式,得e 1-2a =1,所以a =12,即所求实数a 的值为12.6.已知函数f (x )=a ln x -1x ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若关于x 的不等式f (x )≤x -2e 在(0，+∞)上恒成立，求a 的取值范围．【解析】解 (1)因为f (x )=a ln x -1x 的定义域为(0，+∞)，且f ′(x )=a x +1x 2=ax +1x 2.①若a ≥0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，+∞)上单调递增．②若a <0，令f ′(x )=0，得x =-1a .当x ∈0，-1a 时，f ′(x )>0；当x ∈-1a ，+∞ 时，f ′(x )<0.所以f (x )在0，-1a 上单调递增，在-1a ，+∞ 上单调递减．(2)不等式f (x )≤x -2e 在(0，+∞)上恒成立等价于a ln x -x -1x +2e ≤0在(0，+∞)上恒成立，令g (x )=a ln x -x -1x +2e，则g ′(x )=a x -1+1x 2=-x 2-ax -1x 2.对于函数y =x 2-ax -1，Δ=a 2+4>0，所以其必有两个零点．又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x 0∈(0，+∞)，则x 20-ax 0-1=0，即a =x 0-1x 0.此时g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，+∞)上单调递减，故g (x 0)≤0，即x 0-1x 0 ln x 0-x 0-1x 0+2e≤0.设函数h (x )=x -1x ln x -x -1x +2e，则h ′(x )=1+1x 2 ln x +1-1x 2-1+1x 2=1+1x2 ln x ．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0；当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增．又h 1e =h (e )=0，所以x 0∈1e ，e .由a =x 0-1x 0在1e ，e 上单调递增，得a ∈1e -e ，e -1e.【解题策略】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【教考衔接】1.函数f(x)=xe x-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1．(1)求a和b的值；(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)≥ln x-x+m，求实数m的取值范围．【解析】【解答】解：(1)∵f(x)=xe x-ax+b，∴f′(x)=(x+1)e x-a，由函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1，知：f(0)=b=1f'(0)=1-a=-1，解得a=2，b=1．(2)∵f(x)满足：当x>0时，f(x)≥ln x-x+m，∴m≤xe x-x-ln x+1，令g(x)=xe x-x-ln x+1，x>0，则g'(x)=(x+1)e x-1-1x=(x+1)(xe x-1)x，设g′(x0)=0，x0>0，则e x0=1x0，从而ln x0=-x0，g′(12)=3(e2-1)<0，g′(1)=2(e-1)>0，由g′(12)-g′(1)<0，知：x0∈(12,1)，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．∴g(x)min=g(x0)=x0e x0-x0-ln x0=x0e x0-x0-ln x0=x0•1x-x0+x0=1．m≤xe x-x-ln x+1恒成立⇔m≤g(x)min，∴实数m的取值范围是：(-∞，1]．2.已知函数f(x)=e x-(k+1)ln x+2sinα.(1)若函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，求实数k的取值范围；(2)当k=0时，证明：函数f(x)无零点．【解析】(1)解 f′(x)=e x-k+1x，x>0，∵函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴e x-k+1x≥0在(0，+∞)上恒成立，即k+1≤xe x在(0，+∞)上恒成立，设h(x)=xe x，则h′(x)=(x+1)e x>0在(0，+∞)上恒成立．∴函数h(x)=xe x在(0，+∞)上单调递增，则h(x)>h(0)=0，∴k+1≤0，即k≤-1，故实数k的取值范围是(-∞，-1]．(2)证明 当k=0时，f′(x)=e x-1x，x>0，令g(x)=e x-1x，x>0，则g′(x)=e x+1x2>0，∴f′(x)在(0，+∞)上单调递增，且f′12 =e-2<0，f′(1)=e-1>0，∴存在m∈12，1，使得f′(m)=0，得e m=1m，故m=-ln m，当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(m，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min=f(m)=e m-ln m+2sinα=1m+m+2sinα>2+2sinα≥0，∴函数f(x)无零点．3.设函数f(x)=e x-ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.【解析】解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=e x-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于k<x+1e x-1+x(x>0).①令g(x)=x+1e x-1+x,则g′(x)=e x(e x-x-2)(e x-1)2.由(1)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0, +∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.4.已知函数f(x)=e x+1-2x+1，g(x)=ln x x+2.(1)求函数g(x)的极值；(2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)．【解析】(1)解 g(x)=ln xx+2定义域为(0，+∞)，g′(x)=1-ln xx2，则当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，+∞)时，g′(x)<0，g(x)在(e，+∞)上单调递减，故函数g(x)的极大值为g(e)=1e+2，无极小值．(2)证明 f(x)≥g(x)等价于证明xe x+1-2≥ln x+x(x>0)，即xe x+1-ln x-x-2≥0.令h (x )=xe x +1-ln x -x -2(x >0)，h ′(x )=(x +1)e x +1-1+x x =(x +1)e x +1-1x ，令φ(x )=e x +1-1x，则φ(x )在(0，+∞)上单调递增，而φ110 =e 1110-10<e 2-10<0，φ(1)=e 2-1>0，故φ(x )在(0，+∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈110，1，当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，h ′(x )<0，h (x )在(0，x 0)上单调递减；当x ∈(x 0，+∞)时，φ(x )>0，h ′(x )>0，h (x )在(x 0，+∞)上单调递增，故h (x )min =h (x 0)=x 0e x 0+1-ln x 0-x 0-2，又因为φ(x 0)=0，即e x 0+1=1x 0，所以h (x 0)=-ln x 0-x 0-1=(x 0+1)-x 0-1=0，从而h (x )≥h (x 0)=0，即f (x )≥g (x )．5.已知函数f (x )=a cos x +be x (a ，b ∈R )，曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y =-x .(1)求实数a ，b 的值；(2)当x ∈-π2，+∞ 时，f (x )≤c (c ∈Z )恒成立，求c 的最小值．【解析】解 (1)因为f ′(x )=-a sin x +be x ，所以f ′(0)=b =-1，f (0)=a +b =0，解得a =1，b =-1.(2)由(1)知f (x )=cos x -e x ，x ∈-π2，+∞ ，所以f ′(x )=-sin x -e x ，设g (x )=-sin x -e xg ′(x )=-cos x -e x =-(cos x +e x )．当x ∈-π2，0 时，cos x ≥0，e x >0，所以g ′(x )<0；当x ∈0，+∞ 时，-1≤cos x ≤1，e x >1，所以g ′(x )<0.所以当x ∈-π2，+∞ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，即f ′(x )单调递减．因为f ′(0)=-1<0，f ′-π4 =22-e -π4=12 12-1e π2 12,因为e π2>e >2，所以1e π2 12<12 12,所以f ′-π4>0，所以∃x 0∈-π4，0，使得f ′(x 0)=-sin x 0-e x 0=0,即e x 0=-sin x 0.所以当x ∈-π2，x 0 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(x 0，+∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )max =f (x 0)=cos x 0-e x 0=cos x 0+sin x 0=2sin x 0+π4 .因为x 0∈-π4，0 ，所以x 0+π4∈0，π4 ，所以sin x 0+π4 ∈0，22 ，所以f (x 0)∈(0,1)．由题意知，c ≥f (x 0)，所以整数c 的最小值为1.。
专题08 隐零点问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)
专题08 隐零点问题有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题.类型一 根据隐零点化简求范围典例1. 已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =(其中e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； 【答案】3【解析】解析：（1）()'1ln f x a x =++，由()3f e =解得1a =； （2）()ln f x x x x =+，()ln ()11f x x x xk g x x x +<=--，22ln '()(1)x xg x x --=-，令()2ln h x x x =--，有1'()10h x x=->，那么()(1)1h x h >=-. 不妨设0()0h x =，由(3)0h <，(4)0h <，则可知0(3,4)x ∈，且00ln 2x x =-. 因此，当()0h x >时，()'0g x >，0x x >；当()0h x <时，()'0g x <，0x x <； 即可知[]000000min 00(ln 1)(1)()()11x x x x g x g x x x x +-====--，所以0k x ≤，得到满足条件的k 的最大正整数为3.类型二 根据隐零点分区间讨论典例2 已知函数2()2ln (0)f x x t x t =->，t 为何值时，方程()2f x tx =有唯一解. 【答案】(,0){1}-∞ 【解析】222ln 22(ln )x t x tx t x x x -=⇔+=， 当ln 0x x +=时，有t R ∈； 设()ln u x x x =+，1'()10u x x =+>；又(1)10u =>，11()10u e e=-<，不妨设00ln 0x x +=， 则可知01(,1)x e∈. 当ln 0x x +≠时，得到22()ln x t g x x x=+； 2222ln (12ln )'()(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x -+-+==++， 令()12ln g x x x =-+，易知(1)0g =，且1x >时，()0g x >；1x <时，()0g x <；综上可知()g x 在区间00(0,),(,1)x x 上为减函数，在区间(1,)+∞上为增函数；画图函数图像：因此，可知所求t 的范围为(,0){1}-∞.类型三 根据隐零点构造新函数典例3 已知函数()21x f x e x ax =---，当0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】1(,]2-∞【解析】()'12x f x e ax =--，首先，当0a ≤时，在[0,)+∞上()'0f x ≥恒成立，则有()()00f x f ≥=． 其次，当0a >时，令()x g x e =，()21h x ax =+，由题1可知，当021a <≤，即102a <≤时，()()g x h x ≥．此时()'0f x ≥,同样有()0f x ≥．再者，当12a >时，函数()y g x =与()y h x =相交于点()0,1和()00,x y ．同时，当()00,x x ∈时，()'0f x <；当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >. 即可知()()02000min1x f x f x e x ax ⎡⎤==---⎣⎦，将0012x e ax =+代入得到：()00000112x x e f x e x x -=---⋅ ()00x >，令()112x xe F x e x x -=---⋅()0x >，则()()11'2x e x F x --=． 又由变式2可知()1xx e-+-≤，那么()1'02x x e e F x -⋅-≤≤，即()F x 在区间()0,+∞上递减，因此有()()000f x f <=，与()0f x ≥矛盾，故12a >不合题意． 综上可知，满足题意的实数a 的取值范围为1(,]2-∞．1．已知函数 ， .（ 且为常数， 为自然对数的底） （1）讨论函数 的极值点个数；（2）当 时， 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）当 时，无极值点；当 时，有且仅有1个极值点；（2） 【解析】（1） 的定义域为 ，，因为函数 在 上恒成立， 所以函数 在区间 上单调递增，且值域为 ， ①当 时， 在区间 上恒成立， 即 ，故 在 上单调递增， 所以无极值点； ②当 时，方程 有唯一解，设为 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以 是函数 的极小值点， 即函数 只有1个极值点.（2）当 时，不等式 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立，即对任意的恒成立，记，，记，因为在恒成立，所以在上单调递增，且，，所以存在使得，且时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增；. 所以，即，又因为，，，所以，因此，所以，解得.综上，实数的取值范围是.2．已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.【答案】(1) (2) 三个零点【解析】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，，时，递减，时，，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，，一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点. 另一方面，，设，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得，令，则，①当时，递减，则，而，故；②当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有：，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.3．已知函数，.（Ⅰ）令①当时，求函数在点处的切线方程；②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.【答案】（1）①；②见解析；（2）2【解析】（1）①由题意，可得，则，所以，所以在处的切线方程为②由，即则，，因为在上单调递减，所以，存在，使得，函数在上单调递增，在上单调递减，，由得，，∴，所以的所有取值集合包含于集合.（Ⅱ）令，（1），，由于，，，，，由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点.（2），，，，，同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.（3）假设存在，使得，则，消，得.令，，所以单调递增.∵，，∴，此时，所以满足条件的最小正整数.4．已知函数（为自然对数的底数）．（1）记，求函数在区间上的最大值与最小值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵，∴，令，则，所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，∴，．（2）∵对任意恒成立，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立．令，则．由于，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．即在单调递减，在上单调递增．∴．又，即，∴．∴．∵，∴．又∵对任意恒成立，∴，又，∴．5．己知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）解：因为，函数的定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，由，得（负根舍去），当时，，当时，，所以函数在上单调递减；在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得．因为，且，下面证明．设，则．因为，所以．所以在上单调递增，所以．所以的取值范围是．方法2:由，得到．设，则．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以由．因为时，，且，要使函数有两个零点，必有．所以的取值范围是．再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，即证．即证，即证．因为，所以即证，或证．设，．即，．所以．所以在上单调递减，所以．所以．方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，需证．即证，即证．因为，所以即证．设，则，．所以在上单调递减，所以．所以．方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．要证，需证．只需证．即证，即证．即证．因为，所以，即．所以．而，所以成立．所以．方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．由已知得即．先证明，即证明．设，则．所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．所以有．即．因为（），所以，即．所以．方法5:要证，其中，，即证．利用函数的单调性，只需证明．因为，所以只要证明，其中．构造函数，，则．因为（利用均值不等式），所以在上单调递减．所以．所以在上恒成立．所以要证的不等式成立．6．已知函数．（无理数）（1）若在单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，证明：当时，．（参考数据）【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）在单调递增，在（1，＋∞）恒成立，设h（x）＝（x＋x2）e x－1－，由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝e x－1（x2＋3x＋1），当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0，≤2，综上∈（－∞，2]．（2）当＝0时，f（x）＝xe x－1，g（x）＝e x－x2－x，g'（x）＝e x－2x－1，设m（x）＝e x－2x－1，则m'（x）＝e x－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．因此m（x）≥m（ln2）＝e ln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，又g'（0）＝0，，故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，即，．当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，，由于x0∈（ln2，），函数单调递减，故所以，当x＞0时，．7．已知函数（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若，在区间上是否存在，使，若存在求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为极小值为3，无极大值(2)见解析【解析】（1）当时，，且时，时，有极小值故函数的单调递减区间为，单调递增区间为极小值为3，无极大值.（2）时，，时为函数的唯一极小值点又，当时在区间上若存在，使，则，解得当时，在为单调减函数，，不存在，使综上所述，在区间上存在，使，此时8．已知函数(1)若=1时，求函数的最小值；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0 （2）0【解析】解：（1）,,则，当时，，函数单调递减，当时，为增，在处取最小值0.（2）由，得2，∴当时，2函数在0，上单调递减，∴当时，在0，上最多有一个零点.∵有两个零点，∴ .令2，，显然有一正根和一负根，∴在0，上只有一个零点，设这个零点为，当时，；当x，时，；∴函数在上单调递减，在x，上单调递增，要使函数在0，上有两个零点，只需要函数的极小值，即,22，2可得在0，上是增函数，且 ，∴ 0由，得∴0 2 2,即0 .9．设函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的单调区间；（2）若，，求证：无零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）若，则，.当时，，单调递减，当时，，单调递增.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由可知，，当时，，显然没有零点；当时，设，，在单调递增，又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，∴h（x）在（0，2）上存在唯一一个零点，不妨设为x0，则x0a，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x）的最小值为g（x0）alnx0，∵x0a，∴﹣1，两边取对数可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（当且仅当x0＝1时取等号），令m（a）＝a﹣alna，则m′（a）＝﹣lna，∴当a∈（0，1）时，m′（a）＞0，当a∈（1，e]时，m′（a）＜0，∴m（a）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减．∴当0＜a≤e时，m（a）≥0，当且仅当a＝e时取等号，由x0a可知当a＝1时，x0＝1，故当a＝e时，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，∴g（x0）＞0．∴当0≤a≤e时，g（x）没有零点．10．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是.（I）求函数的单调区间；（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）递减区间为，单调递增区间为；（II）【解析】（I）由条件可知，对函数求导得，于是，解得.所以，，令得，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故函数的单调递减区间为，单调递增区间为（II）由（I）知，解法1：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可..令，则，所以在上单调递增，又，，所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增，因，两边同时取自然对数，则有，即，构造函数，则，所以函数在上单调递增，因，所以，即，所以，即，于是实数的取值范围是.解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.先证明，令，则.于是当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.所以当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数的取值范围是.。
2019年浙江省高考冲刺压轴数学试卷及答案解析 (1)
2019浙江省高考压轴卷数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积V =Sh h 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高1.若集合P={y|y ≥0}，P ∩Q=Q ，则集合Q 不可能是（ ）A ．{y|y=x 2，x ∈R}B ．{y|y=2x，x ∈R}C ．{y|y=lgx ，x ＞0}D ．∅2.抛物线y=﹣2x 2的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．4.若存在实数x ，y 使不等式组与不等式x ﹣2y+m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3 5.不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-1x 21|xB ．{x|x ＞1}C ．{x|x ＜1或x ＞2}D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<1x 21x |x 或6.在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则S n 等于（ ） A ．2n+1﹣2B ．3nC ．2nD ．3n ﹣17.定义在R 上的奇函数f （x ）满足在（﹣∞，0）上为增函数且f （﹣1）=0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8.随机变量X 的分布列如下表，且E （X ）=2，则D （2X ﹣3）=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.已知平面α∩平面β=直线l ，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，且A ，B ，C ，D ∉l ，点M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．（ ）A ．当|CD|=2|AB|时，M ，N 不可能重合B ．M ，N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB ，CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB ，CD 异面时，MN 可能与l 平行10.设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版
导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版本文介绍了导数压轴题中的隐零点问题，共有13道题目。
1.对于已知函数$f(x)=(aex-a-x)ex$，若$f(x)\geq 0$对于$x\in R$恒成立，求实数$a$的值，并证明$f(x)$存在唯一极大值点$x$，且$f(x)<f(x_0)$，其中$x_0$为$f(x)$的零点。
解答：1) 对于$f(x)=ex(aex-a-x)\geq 0$，因为$ex>0$，所以$aex-a-x\geq 0$恒成立，即$a(ex-1)\geq x$恒成立。
当$x=0$时，显然成立。
当$x>0$时，$ex-1>0$，故只需$a\geq 1$。
令$h(x)=aex-a-x$，则$h'(x)=aex-1$，在$(0,+\infty)$恒成立，故$h(x)$在$(0,+\infty)$递减。
又因为$h(0)=0$，故$a\geq1$。
当$x<0$时，$ex-1<0$，故只需$a\leq 1$。
令$g(x)=aex-a-x$，则$g'(x)=aex-1$，在$(-\infty,0)$恒成立，故$g(x)$在$(-\infty,0)$递增。
又因为$g(0)=0$，故$a\leq 1$。
综上，$a=1$。
2) 由(1)得$f(x)=ex(ex-x-1)$，故$f'(x)=ex(2ex-x-2)$。
令$h(x)=2ex-x-2$，则$h'(x)=2ex-1$，所以$h(x)$在$(-\infty,\ln)$单调递减，在$(\ln,+\infty)$单调递增，$h(0)=0$，$h(\ln)=2e^{\ln}-\ln-2=\ln2-10$，故$h(x)$在$(-2,\ln)$有唯一零点$x_0$。
设$x_0$为$f(x)$的零点，则$2ex_0-x_0-2=0$，从而$h(x)$有两个零点$x_0$和$-x_0-2$，所以$f(x)$在$(-\infty,x_0)$单调递增，在$(x_0,+\infty)$单调递减，在$(-2,x_0)$上单调递增，在$(-\infty,-2)$上单调递减，从而$f(x)$存在唯一的极大值点$x_0$。
(全国卷Ⅱ)2019年高考数学压轴卷文(含解析)
（1）求 a 的值及函数 f x 的单调区间； （2）设 g x x2 3x 1，证明：当 x 0 时， f x g x 恒成立．
22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
A． 30
B． 60
C． 90
D． 150
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个
1
面包分给 5 个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的7等于较小的两份之
和，问最小的一份为（ ）
5
A.
6
11
B.
6
5
C.
3
10
D.
3
5.若 n 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2 y2 1的离心率是（ ） n
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小满分题 12 分）
设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 10, an1 9Sn 10 .
（1）求证：{lg an} 是等差数列；
（2）设 Tn
是数列 {
3
} 的前
(lg an )(lg an1)
n
项和，求使 Tn
S 2 1 2 (2 2 2) 6 4 2 ，故选：B．．
7．【答案】B
【解析】
因为
sinB
1
b
，所以由正弦定理，得
1
，即 c
2b ，
sinC 2
c2
由
2019年浙江省高考数学压轴试卷(解析版)
2019年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. B. C. D.2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A.B. 2C.D.4.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B.C. 6D.8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则c=______；三角形外接圆的半径为______．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，，且∈．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足∈，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数f（x）=-x2+ax-ln x（a∈R）．（1）若函数f（x）是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，3）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC-A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.【答案】B【解析】解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z 的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=y=2x2-e|x|，∴f（-x）=2（-x）2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8-e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2-e x，∴f′（x）=4x-e x=0有解，故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．6.【答案】A【解析】解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X的分布列为均值，方差．故选：B．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】D【解析】解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cosA==-，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．12.【答案】7 53【解析】解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.【答案】2 2【解析】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故答案为：2；2由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】（-∞，-2]【解析】解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，0）上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.【答案】【解析】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2…（2分）由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4…（6分）（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴ ．设数列{（a n+b）b n}的前n项和为T n∴ ①②①②，得==∴∈…（12分）【解析】（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，，，，，，，则，，，，，，，，，设AC的中点为E，则，，，故就是面PAC的法向量，，，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．⇒⇒，，，，，．＜，＞，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）【解析】（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.【答案】解：（1）＞，∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，（3分）∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对，恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴（7分）（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，（9分），则△＞＜＜＞＞，得＜或＞＜＜＜，即＜＜．（12分）【解析】（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．说明导函数由两个零点，列出不等式组求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
2019高考数学压轴小题及答案解析
2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。
11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。
12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。
下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。
其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。
15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。
16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。
2019届山西省高考冲刺压轴卷数学(理)试题Word版含答案
2019届山西省高考冲刺压轴卷数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}04,322≥-=<<-=x x B x x A ，则=B A I （ ） A ．)1,2[- B ．]2,1(- C ．)3,2[ D ．)3,2[- 2.已知复数21,z z 在复平面内的对应点的分别为)1,2(),1,1(--，则=12z z （ ） A ．i 2123+-B ．i 2123--C ．i 2123+D ．i 2123- 3.设向量),2(),1,1(t b a =-=，且1-=⋅，则实数=t （ ） A ．0 B ．1- C ．2- D ．14.已知命题p ：在ABC ∆中，若BC AB <，则A C sin sin <；命题q ：已知R a ∈，则“1>a ”是“11<a”的必要不充分条件.在命题q p q p q p q p ∧⌝∨⌝∨∧)(,)(,,中，真命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.设函数ax x x f a+=)(的导函数22)(+='x x f ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前9项和是（ ） A ．3629 B ．4431 C ．5536 D ．6643 6.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且2)1(=-f ，则)2017(f 的值是（ ） A ．2 B ．0 C ．1- D ．2- 7.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A ．80 B ．90 C ．100 D ．1208.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤--,01232,42,063y x x y y x 则y x z -=的最小值是（ ）A ．4-B ．6-C ．52-D ．0. 9.某校高三学生有3000名，在一次模拟考试中数学成绩X 服从正态分布),100(2σN ，已知6.0)12080(=<<X P ，若学校按分层抽样的方式从中抽取50份试卷进行分析研究，则应从成绩不低于120分的试卷中抽（ ）A ．10份B ．20份C ．30份D ．40份 10.直线a y x 3=+与圆2222)1(-+=+a a y x 相交于点B A ,，点O 是坐标原点，若AOB ∆是正三角形，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．21 D ．21- 11.在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ） A ．]33,32[B ．]21,31[C ．]33,43[D ．]31,41[ 12.过点)1,2(-P 引抛物线x y 42=的两条切线，切点分别为B A ,，F 是抛物线x y 42=的焦点，则直线PF 与直线AB 的斜率之和为（ ） A ．31 B ．32 C ．34 D ．35 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5)2(a x -的展开式中，4x 的系数为80-，则=a _______.14.给出一个如下图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是______.15.已知函数)3()(+=x x x f ，若b x x f y +-=)(有四个零点，则实数b 的取值范围是______.16.在等比数列{}n a 中，687105102⨯=+a a a a ，则=+⋅⋅⋅++1421lg lg lg a a a ______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且锐角A 满足3,2,1)(===c b A f ，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11ACC A 底面ABC ，且31π=∠AC A ，点O 为AC的中点.（Ⅰ）求证：平面⊥ABC 平面OB A 1； （Ⅱ）求二面角B AC B --1的大小.19.（本小题满分12分）某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为5.06.04.0、、.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为4.05.05.0、、. （Ⅰ）求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；（Ⅱ）设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过)22,2(-与)23,1(两点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设直线)0,0(:>≠+=m k m kx y l 与E 交于Q P ,两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为)0,1(-，求OPQ ∆面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln 2)(>-+=a x a xx f . （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间； （Ⅱ）若对),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记)()()(R b b x x f x g ∈-+=，当1=a 时，函数)(x g 在区间],[1e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=为参数）t t y t x (32,1. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 21,得到曲线C '，设),(y x M 为曲线C '上任一点，求2223y xy x +-的最小值，并求相应点M 的坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(12)(R a a a x x f ∈+--=.（Ⅰ）若1=a ，解不等式1)(+<x x f ；（Ⅱ）若对任意0)(],2,1[≥∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.2019届山西省高考冲刺压轴卷数学（理）试题参考答案1.C2.B232)1)(2(1212i i i i i z z --=++-=-+-=. 3.D ∵12-=+-=⋅t b a ，∴=t 1. 4.A p 真，q 假，只有q p ∨正确. 5.C )211(21)2(1)(1,2)(2+-=+=+=n n n n n f x x x f , )2111211(21)21151314121311(21+-+-+=+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n n n S n ,5536)111101211(219=--+=S .6.D 2)1()1()2017(,4),()2()4(-=--====+-=+f f f T x f x f x f .7.C 由几何体的三视图，知该几何体是上下底面为梯形的直棱柱，体积为100520=⨯. 8.A 不等式组表示的平面区域如下图，由图可知，点)4,0(D 满足y x z -=有最小值4-.9.A 学生成绩服从正态分布，其图象关于直线100=x 对称，成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的53，所以成绩不低于120分的人数约为总人数的51)531(21=-，应抽取105150=⨯（份）10.C 弦长r a r =-222，得21,)1(336,3422222=-+==a a a a r d .11.A 分别以1,,DD DC DA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则)1,21,21(--=x x OP ，平面BD A 1的法向量)1,1,1(1-=AC 1)21(231sin 2+-⋅=x θ.12.D 求点)0,1(),4,4(),2,1(F B A -，从而35=+AB PF k k . 13.114.2 当2≤x 时，由x x =-22得1-=x 或2，满足条件； 当52≤<x 时，由x x =-12得1=x 不满足条件； 当5>x 时，由x x=1得1±=x ，不满足条件. 故这样的x 值有2个. 15.(-4,-3)16.42 42142168*********,10=⋅⋅⋅===a a a a a a a a a ，∴42lg lg lg 1421=+⋅⋅⋅++a a a .17.解：（Ⅰ）)42sin(22cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2π-=-=+-=x x x x x x x f ，所以)(x f 的最小正周期为π. 由)(224222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ得)(838Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， 所以)(x f 的单调增区间为)](83,8[Z k k k ∈+-ππππ. （Ⅱ）由题意知22)42sin(,1)42sin(2)(=-=-=ππA A A f ，又∵A 是锐角，∴4,442πππ=∴=-A A ，因为O BO O A =I 1，所以⊥AC 平面OB A 1，又因为⊂AC 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面OB A 1. （Ⅱ）解：因为侧面⊥11ACC A 底面ABC ，所以⊥O A 1BO .以O 为坐标原点，分别以1A O C O OB 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)3,1,3(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(11B A C B A -， 所以)0,2,0(),3,2,3(),3,1,0(11===AB ， 设平面C AB 1的一个法向量为),,(111z y x =， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,01AC n AB 即⎩⎨⎧==++02,03231111y z y x 所以可取)1,0,1(-=n .因为平面ABC 的一个法向量为)3,0,0(1=，所以22323,cos 1=⋅>=<. 由图知二面角B AC B --1为锐角，所以二面角B AC B --1的大小为4π. 19.解：（Ⅰ）设甲、乙经第一次考核后合格为事件11B A 、，设事件E 表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则36.06.06.0)()(11=⨯=⋅=B A P E P . 即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为36.0.（Ⅱ）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件C B A 、、，则,2.05.04.0)(,3.05.06.0)(,2.05.04.0)(=⨯==⨯==⨯=C P B P A P经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，则X 可能取3,2,1,0，448.08.07.08.0)0(=⨯⨯==X P ，416.02.07.08.08.03.08.08.07.02.0)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==X P ，012.02.03.02.0)3(=⨯⨯==X P ，124.0012.0416.0448.01)2(=---==X P .X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.4480.4160.1240.012数学期望为7.0012.03124.02416.01448.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .20.解：（Ⅰ）设E 方程为122=+ny mx ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+143,1212n m n m ∴⎪⎩⎪⎨⎧==1,41n m ∴E 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）设PQ y x Q y x P ),,(),,(2211的中点坐标为),(00y x ，将直线m kx y +=与1422=+y x 联立，得0448)41(222=-+++m kmx x k ， 0)14(1622>-+=∆m k ，即2214m k >+.①又22102210412,4142kmy y y k km x x x +=+=+-=+=， 依题意有kx y 1)1(000-=---，整理得1432+=k km .②由①②可得512>k . 因为0>m ，所以0>k ，所以55>k . 设O 到直线l 的距离为d ，则21km d +=，故2222241)41(161121km k k k mS OPQ+-++⋅+⋅=∆ 422221120929)15)(14(2kk k k k -+=-+=，当2112=k 时，OPQ ∆的面积取最大值1，此时223,2==m k ， 所以直线l 的方程为2232+=x y . 21.解：（Ⅰ）直线2+=x y 的斜率为1， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x f +-='32)(， 所以1112)1(3-=+-='af ，解得1=a ， 所以2ln 2)(-+=x x x f ，32)(xx x f -='，由0)(>'x f 得2>x ，由0)(<'x f 得20<<x ，所以)(x f 的单调递增区间为),2(+∞，单调递减区间为)2,0(.（Ⅱ）0,22)(33>-=+-='a x ax x a x x f Θ， 由0)(>'x f 得a x 2>，由0)(<'x f 得ax 20<<，所以)(x f 的单调递增区间为),2(+∞a ，单调递减区间为)2,0(a，当a x 2=时，)(x f 取极小值，也就是最小值)2()(min af x f =.∵对),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，∴)1(222ln 22),1(2)2(->-+->a a a aa a f ，∴e a a a a a 20,12ln ,2ln <<>>，∴实数a 的取值范围为)2,0(e.（Ⅲ）当1=a 时，)0(2ln 2)(>--++=x b x x xx g ，222)(x x x x g -+='，由0)(>'x g 得1>x ，由0)(<'x g 得10<<x .所以)(x g 的单调递增区间是),1(+∞，单调递减区间为)1,0(，1=x 时，)(x g 取得极小值)1(g .因为函数)(x g 在区间],[1e e -上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-,0)1(,0)(,0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b .所以b 的取值范围是]12,1(-+e e. 22.解：（Ⅰ）4,023322=+=+--y x y x .（Ⅱ）设14:22=+'y x C ，设M 为θθsin ,cos 2==y x ， )32cos(232322πθ++=+-y xy x .所以当M 为)23,1(或)23,1(--， 2223y xy x +-的最小值为1.23.解：（Ⅰ）因为1=a ，所以不等式为111+<--x x ， 当1≥x 时，111+<--x x 成立，所以1≥x ； 当11<<-x 时，111+<--x x ，解得21->x ，所以121<<-x ； 当1-≤x 时，111--<--x x ，不等式无解， 所以不等式1)(+<x x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x .（Ⅱ）由0)(≥x f 得012≥+--a a x ，因为对任意0)(],2,1[≥∈x f x 恒成立， 当1≤a 时，0121≥+--a a ，解得32≤a ； 当2≥a 时，0122≥+--a a 无解； 当21<<a 时，012≥+--a a a 无解， 所以a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤32a a .。
向量中的隐圆问题(四大题型)(解析版)
向量中的隐圆问题目录题型一：数量积隐圆⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯01题型二：平方和隐圆⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯06题型三：定幂方和隐圆⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯08题型四：与向量模相关构成隐圆⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13方法技巧总结技巧一.向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：PA ⋅PB=λ定理：平面内，若A ,B 为定点，且PA ⋅PB=λ,则P 的轨迹是以M 为圆心λ+14AB 2为半径的圆证明：由PA ⋅PB =λ，根据极化恒等式可知，PM 2−14AB 2=λ，所以PM =14AB 2+λ，P 的轨迹是以M为圆心λ+14AB 2为半径的圆．技巧二.极化恒等式和型：PA 2+PB 2=λ定理：若A ，B 为定点，P 满足PA 2+PB 2=λ,则P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，λ−12AB 22为半径的圆。
λ−12AB 2>0 证明：PA 2+PB 2=2PM 2+12AB 2=λ，所以PM =λ−12AB 22，即P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，λ−12AB 22为半径的圆．技巧三.定幂方和型若A ，B 为定点，mPA 2+PB 2=nPA 2+mPB 2=n mPA 2+nPB 2=λ，则P 的轨迹为圆．证明：mPA 2+PB 2=n ⇒m x +c 2+y 2 +x −c 2+y 2 =n ⇒(m +1)(x 2+y 2)+2c (m −1)x +(m +1)c 2−n =0⇒x 2+y 2+2(m −1)c m +1⋅x +c 2(m +1)−nm +1=0．技巧四.与向量模相关构成隐圆坐标法妙解必考题型归纳题型一：数量积隐圆1(2023·上海松江·校考模拟预测)在△ABC 中，AC =3,BC =4,∠C =90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =2，若CP =λCA +μCB，则给出下面四个结论：①λ+μ的最小值为-45；②PA ⋅PB 的最小值为-6；③λ+μ的最大值为34；④PA ⋅PB 的最大值为8.其中，正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】如图，以C 为原点，CA ,CB 所在的直线分别为x ,y 轴，建立平面直角坐标系，则C (0,0),A (3,0),B (0,4)，因为PC =2，所以设P (2cos θ,2sin θ)，则CP =(2cos θ,2sin θ)，CA =(3,0),CB =(0,4)，所以CP =λCA +μCB=(3λ,4μ)，所以2cos θ=3λ2sin θ=4μ ，即23cos θ=λ12sin θ=μ(θ为任意角)，所以λ+μ=23cos θ+12sin θ=5645cos θ+35sin θ =56sin θ+φ (其中sin φ=45,cos φ=35)，所以λ+μ的最大值为56，最小值为-56，所以①③错误，因为PA =(3-2cos θ,-2sin θ),PB=(-2cos θ,4-2sin θ)，所以PA ⋅PB=-2cos θ(3-2cos θ)-2sin θ(4-2sin θ)=4-(8sin θ+6cos θ)=4-10sin (θ+α)(其中sin α=35,cos α=45)因为-10≤-10sin (θ+α)≤10，所以-6≤4-10sin (θ+α)≤14，所以PA ⋅PB∈[-6,14]，所以PA ⋅PB的最小值为-6，最大值为14，所以②正确，④错误，故选：A2(2023·全国·高三专题练习)若正△ABC 的边长为4，P 为△ABC 所在平面内的动点，且PA =1，则PB⋅PC的取值范围是()A.3,15B.[9-23,9+23]C.[9-33,9+33]D.[9-43,9+43]【答案】D 【解析】由题知，以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则B 4,0 ，C 2,23 ，由题意设P cos θ,sin θ 0≤θ<2π ，则PB=4-cos θ,-sin θ ，PC=2-cos θ,23-sin θ ，∴PB ⋅PC=4-cos θ 2-cos θ -sin θ23-sin θ=9-6cos θ-23sin θ=9-2×2332cos θ+12sin θ =9-43sin θ+π3，∵0≤θ<2π，∴π3≤θ+π3<7π3，可得9-43sin θ+π3∈9-43,9+43 .故选：D 3(2023·山东菏泽·高一统考期中)在△ABC 中，AC =5，BC =12，∠C =90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC =2，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-22,26B.-26,22C.-30,22D.-22,30【答案】D【解析】在Rt △ABC 中，以直角顶点C 为原点，射线CB ,CA 分别为x ,y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，令角α(α∈R )的始边为射线CB ，终边经过点P ，由PC =2，得P (2cos α,2sin α)，而B (12,0),A (0,5)，于是AP =(2cos α,2sin α-5),BP=(2cos α-12,2sin α)，因此AP ⋅BP=2cos α(2cos α-12)+2sin α(2sin α-5)=4-2(5sin α+12cos α)=4-26sin (α+φ)，其中锐角φ由tan φ=125确定，显然-1≤sin (α+φ)≤1，则-22≤4-26sin (α+φ)≤30，所以PA ⋅PB的取值范围是-22,30 .故选：D1.(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC 是边长为43的等边三角形，其中心为O ，P 为平面内一点，若OP =1，则PA ⋅PB的最小值是A.-11 B.-6C.-3D.-15【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取AB 的中点为D ，则OD =43×32×13=2，因为OP =1，则P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，则PA ⋅PB =PA +PB 2-PA -PB 24=2PD 2-AB 24=PD 2-12.又PD 为圆O 上的点P 到D 的距离，则PD min =2-1=1，∴PA ⋅PB的最小值为-11.故选：A .2.(2023·北京·高三专题练习)△ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC的夹角大小为120°，若BD =1，CE =EA ，则AD ⋅BE的最小值为.【答案】-3-3【解析】因为△ABC 是边长为2的等边三角形，且CE =EA ，则E 为AC 的中点，故BE ⊥AC ，以点B 为坐标原点，BE 、EA分别为x 、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则A 3,1 、E 3,0 、B 0,0 ，设点D cos θ,sin θ ，BE =3,0 ，AD =cos θ-3,sin θ-1 ，所以，AD ⋅BE =3cos θ-3 ≥-3-3，当且仅当cos θ=-1时，等号成立，因此，AD ⋅BE 的最小值为-3-3.故答案为：-3-3.3.(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM ⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ 的最小值为.【答案】33-5/-5+33【解析】解法1：如图，因为PM ⋅PN=0，所以PM ⊥PN ，故四边形PMQN 为矩形，设MN 的中点为S ，连接OS ，则OS ⊥MN ，所以OS 2=OM 2-MS 2=16-MS 2，又△PMN 为直角三角形，所以MS =PS ，故OS 2=16-PS 2①，设S x ,y ，则由①可得x 2+y 2=16-x -1 2+y -2 2 ，整理得：x -12 2+y -1 2=274，从而点S 的轨迹为以T 12,1 为圆心，332为半径的圆，显然点P 在该圆内部，所以PS min =332-PT =332-52，因为PQ =2PS ，所以PQ min =33-5；解法2：如图，因为PM ⋅PN=0,所以PM ⊥PN ，故四边形PMQN 为矩形，由矩形性质，OM 2+ON 2=OP 2+OQ 2，所以16+16=5+OQ 2，从而OQ =33，故Q 点的轨迹是以O 为圆心，33为半径的圆，显然点P 在该圆内，所以PQmin =33-OP =33-5.故答案为：33-5.题型二：平方和隐圆4(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b ,c ,d 是单位向量，满足a ⊥b ,m =a +2b ,|m -c |2+|m -d|2=20，则|c -d|的最大值为．【答案】255【解析】依题意，a ,b 可为与x 轴、y 轴同向的单位向量，设a =1,0 ,b =0,1 ,c=cos x ,sin x ,d =cos y ,sin y∴m =1,2 ,∴|m -c |2+|m -d|2=20=cos x -1 2+sin x -2 2+cos y -1 2+sin y -2 2化简得：4=cos x +2sin x +cos y +2sin y运用辅助角公式得：4=5sin x +φ +5sin y +φ ,tan φ=12,φ∈0,π245=sin x +φ +sin y +φ =2sin x +y 2+φ cos x -y 2，即得：cos x -y 2=25sin x +y 2+φ，故cos 2x -y 2=45sin 2x +y 2+φ≥45；c-d=cos x -cos y2+sin x -sin y 2=2-2cos x -y =4-4cos 2x -y2≤4-4×45=255.故答案为：2555(2023·上海·高三专题练习)已知平面向量PA 、PB 满足PA |2+ PB |2=4，|AB |2=2，设PC =2PA+PB ，则PC ∈.【答案】36-22,36+22【解析】因为AB 2=AP +PB 2=PA 2+PB 2-2PA ⋅PB =2且PA 2+PB 2=4，所以PA ⋅PB=1；又因为PA +PB 2=PA 2+PB 2+2PA ⋅PB =6，所以PA +PB =6；由AB 2=PB -PA 2=PA -PB 2=2，所以PA -PB =2；根据PC =2PA +PB =32PA +PB +12PA -PB 可知：32PA +PB -12PA -PB ≤PC ≤32PA +PB +12PA -PB ，左端取等号时：P ,A ,B 三点共线且P 在线段AB 外且P 靠近B 点；右端取等号时，P ,A ,B 三点共线且P 在线段AB 外且P 靠近A 点，所以36-22≤PC≤36+22，所以PC∈36-22,36+22.故答案为：36-22,36+22.6(2023·江苏·高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知点A2,0，B0,2，圆C:x-a2+y2=1，若圆C 上存在点M，使得MA2+MB2=12，则实数a的取值范围为()A.1,1+22B.1-22,1+22C.1,1+22D.1-2,1+2【答案】B【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设M(x, y)，则(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12，所以(x-1)2+(y-1)2=4，所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切，所以1≤(1-a)2+12≤3，所以1-22≤a≤1+22.故选：B1.(2023·江苏·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x+y+a=0与点A(0，2)，若直线l上存在点M满足MA2+MO2=10(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是()A.-5-1,5-1B.[-5-1,5-1]C.-22-1,22-1D.[-22-1,22-1]【答案】D【解析】设M x,-x-a，∵直线l:x+y+a=0与点A0，2，直线l上存在点M满足MA2+MO2=10，∴x2+x+a2+x2+-x-a-22=10，整理,得4x2+22a+2x+a2+a+22-10=0 ①，∵直线l上存在点M,满足MA2+MO2=10，∴方程①有解，∴Δ≥0，解得：-22-1≤a≤22-1，故选D.2.(2023·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习)设A-2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA|2+PB|2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO=π6，则实数k的取值范围为()A.-42，42B.-∞，-42∪ 42，+∞C.-∞，-52∪52，+∞ D.-52，52【答案】C【解析】设P x ，y ，∵PA |2+ PB |2≤16，∴x +2 2+y 2+x -2 2+y 2≤16，即x 2+y 2≤4．∴点P 的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线kx -y +6=0上存在点Q 使得∠PQO =π6，则PQ 为圆x 2+y 2=4的切线时∠PQO 最大，∴sin ∠PQO =OP OQ =2OQ≥12，即OQ ≤4．∴圆心到直线kx -y +6=0的距离d =61+k 2≤4，∴k ≤-52或k ≥52．故选：C ．3.(2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x +12+y 2=2，点A 2,0 ，若圆C 上存在点M ，满足MA 2+MO 2<10，则点M 的纵坐标的取值范围是.【答案】-72,72【解析】解析：设M x ,y ，因为MA 2+MO 2≤10，所以x -2 2+y 2+x 2+y 2≤10，化简得x 2+y 2-2x -3≤0，则圆C ：x 2+y 2+2x -1=0与圆C ：x 2+y 2-2x -3=0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x =-12代入x 2+y 2-2x -3≤0可得-72≤y ≤72，故答案为：-72,72 .题型三：定幂方和隐圆7(2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末)已知点A -1,0 ，B 2,0 ，直线l ：kx -y -5k =0上存在点P ，使得PA 2+2PB 2=9成立，则实数k 的取值范围是.【答案】-1515,1515【解析】由题意得：直线l :y =k (x -5)，因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为(x 0，y 0)；∵PA 2+2PB 2=9，∴y 02+(x 0+1)2+2y 02+2(x 0+2)2=9化简得：x 02+y 02-2x 0=0，因此点p 为x 2+y 2-2x =0与直线l :y =k (x -5)的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴|-4k |k 2+1≤1解得：k ∈-1515,1515 故答案为k ∈-1515,15158(2023·浙江·高三期末)已如平面向量a 、b 、c ，满足a =33，b =2，c =2，b ⋅c =2，则a -b 2⋅a -c 2-a -b ⋅a -c 2的最大值为()A.1923B.192C.48D.43【答案】B【解析】如下图所示，作OA =a ，OB =b ，OC =c，取BC 的中点D ，连接OD ，以点O 为圆心，a为半径作圆O ，cos ∠BOC =cos <b ,c >=b ⋅cb ⋅c =12，∵0≤∠BOC ≤π，∴∠BOC =π3，所以，△BOC 为等边三角形，∵D 为BC 的中点，OD ⊥BC ，所以，△BOC 的底边BC 上的高为OD =2sin π3=3，a -b =OA -OB =BA ，a -c=OA -OC =CA ，所以，a -b ⋅a -c=BA ⋅CA =AB ⋅AC =AB ⋅AC cos ∠BAC ，所以，a -b 2⋅a -c 2-a -b ⋅a -c 2=AB 2⋅AC 2-AB ⋅AC cos ∠BAC2=AB ⋅ACsin ∠BAC 2=2S △ABC 2，由圆的几何性质可知，当A 、O 、D 三点共线且O 为线段AD 上的点时，△ABC 的面积取得最大值，此时，△ABC 的底边BC 上的高h 取最大值，即h max =AO +OD =43，则S △ABC max =12×2×43=43，因此，a -b 2⋅a -c 2-a -b ⋅a -c 2的最大值为4×43 2=192.故选：B .9(2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中)已知平面单位向量e 1 ，e 2 的夹角为60°，向量c 满足c 2-2e 1+e 2 ⋅c +32=0，若对任意的t ∈R ，记|c-t e 1 |的最小值为M ，则M 的最大值为A.12+34B.1+32C.1+334D.1+3【答案】A【解析】由c 2-2e 1+e 2 ⋅c +32=0推出c -2e 1 +e 22 2=-32+2e 1 +e 2 24=14，所以c -2e 1 +e 2 2=12，如图，c 终点的轨迹是以12为半径的圆，设OA =e 1，OB =e 2，OC =c ，OD =te 1 ，所以|c -te 1|表示CD 的距离，显然当CD ⊥OA 时|c -te 1|最小，M 的最大值为圆心到OA 的距离加半径，即M max =12⋅sin60°+12=2+34，故选：A1.(2023·江苏·高三专题练习)已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b 共面的向量c 满足c 2-(a +b)⋅c +a ⋅b =0，则c 的最大值为()A.22 B.2C.2D.1【答案】C【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得(c -a )⊥(c -b )，设DA =a ,DC =b ,DC =c ，则c -a =AC ,c -b=BC ，则点C 在以AB 为直径的圆O 周上运动，由图知：当DC ⊥AB 时，|DC |≥|DC ′|，设∠ADC =θ，利用三角函数求c 的最值．由c 2-(a +b )⋅c +a ⋅b =0得：(c -a )⋅(c -b )=0，即(c-a )⊥(c -b )，设DA =a ,DC =b ,DC =c ，则c -a =AC,c -b =BC ，则点C 在以AB 为直径的圆O 上运动，由图知：当DC ⊥AB 时，|DC |≥|DC ′|，设∠ADC =θ，则DC =|DO |+|AO |=sin θ+cos θ=2sin θ+π4，所以当θ=π4时，|DC |取最大值2，故选：C ．2.(2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习)已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若a 2-4a ⋅e +2e 2=0，b 2-3b ⋅e +2e 2=0，则a 2-2a ⋅b+2b 2的最大值为．【答案】7【解析】因为a 2-4a ⋅e +2e 2=0，则a -2e 2=2，即a -2e =2，因为b 2-3b ⋅e +2e 2=0，即b -e ⋅b -2e =0，作OA =a ，OB =b ，OE =e ，OC =2e ，则a -2e =CA =2，b -e ⋅b -2e=EB ⋅CB =0，则EB ⊥CB ，固定点E ，则E 为OC 的中点，则点B 在以线段CE 为直径的圆D 上，点A 在以点C 为圆心，2为半径的圆C 上，如下图所示：a 2-2a ⋅b +2b 2=a -b 2+b 2=BA 2+OB 2≤BC +2 2+OB 2，设∠BCE =θ，则BC=cos θ，因为OC =2，OB 2=CB -CO 2=CB 2-2CB ⋅CO cos θ+CO 2=4-3cos 2θ，故a 2-2a ⋅b +2b 2≤BC +2 2+OB 2=cos θ+2 2+4-3cos 2θ=-2cos 2θ+22cos θ+6=-2cos θ-222+7≤7，当cos θ=22时，等号成立，即a 2-2a ⋅b +2b 2的最大值为7.故答案为：7.3.(2023·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中)已知a ，b ，e 是平面向量，e是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2-5e ⋅b +4=0，则a -b 的最小值是．【答案】53-64【解析】由b 2-5e ⋅b +4=0得，(b -4e )⋅(b -e)=0，故(b -4e )⊥(b -e )，或b =e 或b =4e ，设OA =e ，OB =b ，以O 为原点，OA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示坐标系，则A (1,0)，令C (4,0)，则b -e =AB ，b -4e =CB ，由(b -4e )⊥(b -e )，或b =e 或b =4e ，得B 点在以52,0 为圆心，32为半径的圆上，又非零向量a 与e 的夹角为π3，则设a 的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线y =±3x ，(x >0)上，则a -b 的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，则其最小值为圆心52,0 到直线的距离减去半径，不妨以y =3x 为例，则a -b的最小值为3×522-32=53-64故答案为：53-644.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a 、b 、c 、e ，满足a ⊥b ，a=2b ，c =a +b ，e =1，若a 2-6a ⋅e +8=0，则c ⋅e -13c 2的最大值是.【答案】310-76【解析】因为a 2-6a ⋅e +8=0，即a 2-6a ⋅e +9e 2=1，可得a -3e=1，设e =1,0 ，a =x ,y ，则a -3e =x -3,y ，则x -3 2+y 2=1，设x =3+cos θy =sin θ，则a=3+cos θ,sin θ ，因为a ⊥b ，a =2b ，则b =-sin θ2,3+cos θ2 或b =sin θ2,-3+cos θ2，因为c =a +b ，则c =3+cos θ-sin θ2,32+sin θ+cos θ2或c =3+cos θ+sin θ2,-32+sin θ-cos θ2，令c =m ,n ，则m -3 2+n -32 2=54或m -3 2+n +32 2=54，根据对称性，可只考虑m -3 2+n -32 2=54，由c ⋅e -13c 2=m -13m 2+n 2 =-13m -32 2+n 2 +34，记点A 3,32 、B 32,0 、P m ,n ，则AB =3-32 2+32 2=322，PA =1，所以，PB =PA +AB ≥PA -AB =32-52，当且仅当点M 为线段AB 与圆x -3 2+y -32 2=54的交点时，等号成立，所以，c ⋅e -13c 2=-13m -32 2+n 2 +34=-13PB 2+34≤-13×32-52 2+34=310-76.故答案为：310-76.5.(2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测)已知a 、b 、e 是平面向量，e =1，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2-4b ⋅e +3=0，则a -b 的最小值是.【答案】3-1/-1+3【解析】设a =x ,y ,e =1,0 ,b =m ,n ，则由a ,e =π3得a ⋅e =a e cos π3,x =12x 2+y 2，可得y =±3x ，由b 2-4e ⋅b+3=0得m 2+n 2-4m +3=0,(m -2)2+n 2=1，因此，a -b =x -m 2+y -n 2表示圆(m -2)2+n 2=1上的点m ,n 到直线y =±3x 上的点x ,y 的距离；故其最小值为圆心2,0 到直线y =±3x 的距离d =232=3减去半径1，即3-1.故答案为：3-1题型四：与向量模相关构成隐圆10(2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测)已知a ,b ,c 是平面内的三个单位向量，若a⊥b ，则a +2c +3a +2b -2c的最小值是．【答案】25【解析】∵a ,b ,c 均为单位向量且a ⊥b ，∴不妨设a =1,0 ，b =0,1 ，c=x ,y 且x 2+y 2=1，∴a +2c =2x +1,2y ，3a +2b -2c=3-2x ,2-2y ，∴a +2c +3a +2b -2c=2x +1 2+4y 2+3-2x 2+2-2y 2=2x +12 2+y 2+x -32 2+y -12，∴a +2c +3a +2b -2c 的几何意义表示的是点x ,y 到-12,0 和32,1 两点的距离之和的2倍，点-12,0 在单位圆内，点32,1 在单位圆外，则点x ,y 到-12,0 和32,1 两点的距离之和的最小值即为-12,0 和32,1 两点间距离，∴所求最小值为2-12-322+0-1 2=25.故答案为：25.11(2023·上海·高三专题练习)已知a 、b 、c 、d 都是平面向量，且|a |=|2a -b |=|5a -c |=1，若a ,d=π4，则|b -d |+|c -d |的最小值为．【答案】29-2【解析】作图，a =OA ，则2a =OB，5a =OC ，因为2a -b=1，所以b 起点在原点，终点在以B 为圆心，1为半径的圆上；同理，5a -c =1，所以c起点在原点，终点在以C 为圆心，1为半径的圆上，所以|b -d |+|c -d|的最小值则为BD +CD min -2，因为a ,d =π4，BD =B D ，当B ，D ，C 三点共线时，BD +CD min =B C =52+22=29，所以BD +CD min -2=29-2.故答案为：29-2.12(2023·上海金山·统考二模)已知a 、b 、c 、d 都是平面向量，且a =2a -b =5a -c =1，若a ,d=π4，则b -d +c -d 的最小值为.【答案】29-2/-2+29【解析】如图，设OA =2a ，OM =5a ，OB=b ，OC =c ，OD =d ，则点B 在以A 为圆心，以1为半径的圆上，点C 在以M 为圆心，以1为半径的圆上，∠NOM =π4，所以点D 在射线ON 上，所以b -d +c -d=DB +DC ≥DA -1+DM -1=DA +DM -2，作点A 关于射线ON 对称的点G ，则DG =DA ，且∠GOA =π2，所以DA +DM ≥GM=4+25=29(当且仅当点G ,D ,M 三点共线时取等号)所以b -d +c -d的最小值为29-2，故答案为：29-2.1.(2023·全国·高三专题练习)已知线段MN 是圆C :(x -1)2+y 2=8的一条动弦，且MN =23，若点P 为直线2x +y +8=0上的任意一点，则PM +PN的最小值为.【答案】25【解析】如图，P 为直线2x +y +8=0上的任意一点，过圆心C 作CD ⊥MN ，连接PD ，由MN =23，可得CD =CN 2-MN 22=5，由PM +PN =2PD≥2PC -CD ，当C ,P ,D 共线时取等号，又D 是MN 的中点，所以CP ⊥MN ，所以|PD |min =2-0+822+1-5=5.则此时PM +PN =2PD=25，∴PM +PN的最小值为25.故答案为：252.(2023·全国·高三专题练习)已知O 为坐标原点，A ，B 在直线x -y -4=0上，AB =22，动点M 满足MA =2MB ，则OM 的最小值为.【答案】223/232【解析】设M x ,y ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为AB =22，所以AB 2=x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=8，因为MAMB=2，所以MA 2=4MB 2，x -x 12+y -y 1 2=4x -x 2 2+4y -y 2 2，整理得x -4x 2-x 13 2+y -4y 2-y 13 2=4y 1-y 1 2+4x 1-x 2 29=329，可得M 点在以D 4x 2-x 13,4y 2-y 13 为圆心，半径为423的圆上，MA =x 1-x ,y 1-y ,BM =x -x 2,y -y 2 ，当BM =-14MA 时，可得x -x 2=-14x 1-x ,y -y 2=-14y 1-y ，即x =4x 2-x 13,y =4y 2-y 13圆心在D 4x 2-x 13,4y 2-y 13在直线x -y -4=0上，过O 做x -y -4=0的垂线，当垂足为圆心D 点时，OD 长度最小，OM 的长度也最小，且OD 长度最小值为0-0-4 2=22，此时OM 的最小值为22-423=223.故答案为：223.3.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b 是单位向量，a ⋅b =0.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c|的最大值是.【答案】2+1/1+2【解析】法一 由a ⋅b =0，得a ⊥b.如图所示，分别作OA =a ,OB =b ,作,OC =a +b，由于a ,b是单位向量,则四边形OACB 是边长为1的正方形，所以|OC |=2,作OP =c ，则|c -a -b |=|OP -OC |=|CP |=1,所以点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O ，C ，P 三点共线且点P 在点P 1处时，|OP |取得最大值2+1,故|c|的最大值是2+1,故答案为：2+1法二 由a ⋅b =0，得a ⊥b，建立如图所示的平面直角坐标系，则OA =a =(1,0),OB =b =(0,1)，设c =OC =(x ,y )，由|c -a -b|=1，得(x -1)2+(y -1)2=1，所以点C 在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.所以|c|max =2+1故答案为：2+14.(2023·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习)已知是a 、b 是单位向量，a ⋅b =0，若向量c 满足|c -a +b |=2，则|c|的最大值为【答案】2+2/2+2【解析】由a 、b 是单位向量，且a ⋅b =0，则可设a =(1,0)，b =(0,1)，c=(x ,y )，所以c -a +b=x -1,y +1 ，∵向量c 满足c -a +b=2，∴(x -1)2+(y +1)2=2，即(x -1)2+(y +1)2=4，它表示圆心为C (1,-1)，半径为r =2的圆，又|c|=x 2+y 2表示圆上的点x ,y 到坐标原点O 0,0 的距离，因为OC =12+-1 2=2，所以cmax =OC +r =2+2．故答案为：2+2．5.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足a -c ⋅b -2c =0，则c的最大值是．【答案】52【解析】因为a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设a =(1,0),b =(0,1)，设c=(x ,y )，由a -c ⋅b -2c=0得：(1-x ,-y )⋅(-2x ,1-2y )=0，即-2x (1-x )-y (1-2y )=0，即x -122+y -142=516，则c 的终点在以12,14 为圆心，半径为54的圆上，故c 的最大值为12 2+14 2+54=52，故答案为：526.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a 、b 、c 满足：a 与b 的夹角为2π3,c -a ⋅c -b =0,a + b =2，记M 是c -a-b 的最大值，则M 的最小值是．【答案】3+12【解析】如图，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,E 为AB 中点，令|a |=x ,|b |=y ,|AB |=2r ,|OE |=t ，则∠AOB =2π3,x +y =2 ①，因为OE =12(OA +OB ),AB =OB -OA ，故有OA ⋅OB =|OE |2-14|AB |2⇒-12xy =t 2-r 2，cos ∠AOB =x 2+y 2-4r22xy ⇒-xy =x 2+y 2-4r 2⇒4r 2=(x +y )2-xy ②，由①②得r 2=1-xy 4，从而t 2=r 2-12xy =1-34xy ,xy ∈(0,1]，因为c -a ⋅c-b =0，所以AC ⊥BC ，即点C 在以AB 为直径的圆E 上.∵|c -a -b |=|c -(a +b)|=|OE +EC -2OE |=|EO +EC |≤|EO |+|EC |，∴M =|c -a -b |max =|EO |+|EC |=t +r =1-34xy +1-14xy ≥1+32，当且仅当|a|=|b |=1时，即xy =1时等号成立.故答案为：3+127.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b =3，b =1，则a +2a +b的最大值为.【答案】5【解析】令2a +b =3cos α,3sin α ,b =cos β,sin β ，∴2(a +b)=(3cos α+cos β,3sin α+sin β)2a=(3cos α-cos β,3sin α-sin β)，∴2|a +b|=(3cos α+cos β)2+(3sin α+sin β)2=10+6cos (α-β)，2|a|=(3cos α-cos β)2+(3sin α-sin β)2=10-6cos (α-β)，令S =|a |+2|a +b |=12⋅10-6cos (α-β)+10+6cos (α-β)，设t =cos (α-β)(-1≤t ≤1)，则S =1210-6t +10+6t ，S =12⋅-62⋅10-6t +6210+6t ，令S =0⇒4(10-6t )=10+6t ⇒t =1，若函数S 存在极值点，则t =1是函数S 的唯一极值点，显然，函数S 在t =1取得最值，∴S max =S (1)=12⋅4+16=5，故答案为：5.8.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足a =4,b =22,<a ,b >=π4,c -a⋅c -b =-1，则c -a 的最大值为．【答案】2+1【解析】设OA =a ,OB =b ,OC =c，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，∵a =4,b =22,<a ,b >=π4,则A (4,0)，B (2,2)，设C (x ,y )，∵c -a ⋅c -b=-1，∴x 2+y 2-6x -2y +9=0，即x -3 2+y -1 2=1，∴点C 在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，c -a表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A (4,0)的距离，∵圆心到A 的距离为2，∴c -a的最大值为2+1.故答案为：2+1.9.(2023·全国·高三专题练习)设a ，b 为单位向量，则a +b +a-3b 的最大值是【答案】833【解析】依题意a ，b 为单位向量，设a=cos α,sin α ,b =cos β,sin β ，-1≤cos α-β ≤1则a +b +a-3b =cos α+cos β2+sin α+sin β 2+cos α-3cos β2+sin α-3sin β 2=2+2cos α-β +10-6cos α-β=2⋅1+cos α-β +6⋅53-cos α-β≤2+6 ⋅1+cos α-β +53-cos α-β =8×83=833，当且仅当2⋅53-cos α-β =6⋅1+cos α-β ，即cos α-β =-13时等号成立.故答案为：833。
冲刺高考最后一个月之2019高考数学(文)名师押题高端精品卷(含答案)
专题1 集合与简易逻辑小题（文）一.集合小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年8考，每年1题，多数与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法结合考查集合交并运算与集合间的关系、集合的意义，位置多为第1题，难度为容易题，2019年高考中，仍将与不等式解法、函数定义域值域结合考查集合运算与集合间关系、集合意义，难度仍为送分题．（二）历年试题比较：，，则BA）设集合，则B=(（D，则集合B中的元，则N=（C.)|N则P,【解析与点睛】（2018年）【解析】由题知，故选A. （2017年）【解析】由32x ->得32x <，所以，选A ．（2016年）【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故，故选B.（2015年）【解析】由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A∩B={8,14},故选D.（2014年）【解析】根据集合的运算法则可得：，即选B ．（2013年）【解析】：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}． （2012年）【解析】A=（－1,2），故B ⊂≠A ，故选B. （20111年）【解析】因为中有两个元素，所以其子集个个数为22=4个，选B.（三）命题专家押题 设集合，，则D 已知集合，集合，则集合设集合，则（．已知全集．．已知全集，，．设集合，则．．已知集合，，若则已知集合，，若，则．设集合，，则集合【详细解析】1.【答案】B【解析】；∴；∴中元素的个数为2，故选B．2.【答案】B【解析】，，，。
当时，，当时，，当时，即，即共有个元素，故选.3.【答案】D【解析】∵，，则，故选D.4.【答案】C【解析】由题知，，∴，由文氏图可得题中表示的集合为，故，故选C.5.【答案】D【解析】由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；又，故B错误；，故C错误；，故D正确，故选D.6.【答案】C【解析】由题知，，∴，故选C.7.【答案】B【解析】因为，所以因此，选B.8.【答案】B【解析】因为，所以因此，选B.9.【答案】D【解析】集合，，若，则a>2，故选D.10.【答案】C【解析】因为集合，∴集合＝{1，，}，∴真子集个数为23﹣1＝7个，故选C．二.简易逻辑小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年1考，考题为与不等式、方程结合，判定全称命题与特称命题的真假及含有逻辑联结词命题的判断，难度为中档题，在19年的高考中，将会回归对简易逻辑的考查，与不等式、复数等数学知识结合考查命题的判断、特称命题与全称命题的否定、含有逻辑联结词命题的判断、充要条件的判断与应用，难度仍为基础题或中档题．（二）历年试题比较：；命题【解析与点睛】（2013年）【解析】由题意知p为假命题，q为真命题，∴p⌝∧为真⌝数真命题，∴p q命题，故选B.（三）命题专家押题设命题：，则为（．．命题存在实数的否定是．对任意的实数．对任意的实数，都有，使．存在实数已知．．，则”，则且，则或且，则或，则““D：若为锐角三角形，则；命题，若，则．则下列命题为真命题的是．下面几个命题中，假命题，则“，函数在定义域内单调递增对““，；命题，若的充分不必要条件，则实数【详细解析】1.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题得到命题p的否定¬p：，故选D．2.【答案】B【解析】特称命题的否定是全称命题，将特称量词改变后还要对结论否定，故选B.3.【答案】D【解析】A不一定成立，如a＝1，b＝10，c＝－1，不成立；B也不一定成立，如a＝9.5，b＝10，c＝－1，不成立；C不成立，因为，，所以，恒成立，因此D必正确，故选D4.【答案】D【解析】命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”，故选D．5.【答案】A【解析】由对数函数的性质可得“”的充要条件是“”，当时，则是成立的，例如：，此时也成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．6.【答案】B【解析】命题p：若△ABC为锐角三角形，则0<C<∴＞A+B，因此＞A B＞0，则sin A＞sin（B）＝cos B，可知p是假命题；命题q：∀x，y∈R，若x+y≠5，则x≠﹣1或y≠6，其逆否命题：若x＝﹣1且y＝6，则x+y＝5，是真命题，因此是真命题，则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，故选B．7.【答案】C【解析】对于选项A, “若，则”的否命题是“若，则”，因为，所以，所以该选项是真命题；对于选项B, “，函数在定义域内单调递增”是假命题，所以其否定是真命题；对于选项C，当时，成立，所以选项C错误.对于选项D, “”是“，不都是2”的充分条件，因为其逆否命题“，都是2”是“x+y=4”的充分条件是真命题，所以该命题是真命题，故选C8.【答案】【解析】当a=1时，的解为x=1,与已知不相符；当a＞1时，1≤x≤a,因为是的充分不必要条件，所以a≥2，当a＜1时，a≤x≤1,与已知不相符，故答案为：9.【答案】B【解析】因为q是p 的必要而不充分条件所以，所以，即，故选B。
导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版
导数压轴题之隐零点问题导数压轴题之隐零点问题(共13题)1．已知函数f（x）=（ae x﹣a﹣x）e x（a≥0，e=2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立．（1）求实数a的值；（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且．【解答】（1）解：f（x）=e x（ae x﹣a﹣x）≥0，因为e x＞0，所以ae x﹣a﹣x≥0恒成立，即a（e x﹣1）≥x恒成立，x=0时，显然成立，x＞0时，e x﹣1＞0，故只需a≥在（0，+∞）恒成立，令h（x）=，（x＞0），h′（x）=＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，而==1，故a≥1，x＜0时，e x﹣1＜0，故只需a≤在（﹣∞，0）恒成立，令g（x）=，（x＜0），g′（x）=＞0，故h（x）在（﹣∞，0）递增，而==1，故a≤1，综上：a=1；（2）证明：由（1）f（x）=e x（e x﹣x﹣1），故f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1，所以h（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增，h（0）=0，h（ln）=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1＜0，h（﹣2）=2e﹣2﹣（﹣2）﹣2=＞0，∵h（﹣2）h（ln）＜0由零点存在定理及h（x）的单调性知，方程h（x）=0在（﹣2，ln）有唯一根，设为x0且2e x0﹣x0﹣2=0，从而h（x）有两个零点x0和0，所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，由2e x0﹣x0﹣2=0得e x0=，x0≠﹣1，∴f（x0）=e x0（e x0﹣x0﹣1）=（﹣x0﹣1）=（﹣x0）（2+x0）≤（）2=，取等不成立，所以f（x0）＜得证，又∵﹣2＜x0＜ln，f（x）在（﹣∞，x0）单调递增所以f（x0）＞f（﹣2）=e﹣2[e﹣2﹣（﹣2）﹣1]=e﹣4+e﹣2＞e﹣2＞0得证，从而0＜f（x0）＜成立．2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴f′（x）=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx﹣1）max=﹣2．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）a=1时，f（x）=x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，∴k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）．则h′（x）=1﹣=＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单增，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，存在x0∈（3，4），使h（x0）=0．即当1＜x＜x0时h（x）＜0 即g′（x）＜0x＞x0时h（x）＞0 即g′（x）＞0g（x）在（1，x0）上单减，在（x0+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4）．k＜g（x）min=x0∈（3，4），且k∈Z，∴k max=3．3．函数f（x）=alnx﹣x2+x，g（x）=（x﹣2）e x﹣x2+m（其中e=2.71828…）．（1）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=﹣1，x∈（0，1]时，f（x）＞g（x）恒成立，求正整数m的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）定义域是（0，+∞），，（i）当时，1+8a≤0，当x∈（0，+∞）时f'（x）≤0，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；（ⅱ）当，﹣2x2+x+a=0的两根分别是：，，当x∈（0，x1）时f'（x）＜0．函数f（x）的单调递减．当x∈（x1，x2）时f'（x）＞0，函数f（x）的单调速递增，当x∈（x2，+∞）时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递减；综上所述，（i）当时f（x）的单调递减区间是（0，+∞），（ⅱ）当时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是和（2）当a=﹣1，x∈（0，1]时，f（x）＞g（x），即m＜（﹣x+2）e x﹣lnx+x，设h（x）=（﹣x+2）e x﹣lnx+x，x∈（0，1]，∴，∴当0＜x≤1时，1﹣x≥0，设，则，∴u（x）在（0，1）递增，又∵u（x）在区间（0，1]上的图象是一条不间断的曲线，且，∴使得u（x0）=0，即，当x∈（0，x0）时，u（x）＜0，h'（x）＜0；当x∈（x0，1）时，u（x）＞0，h'（x）＞0；∴函数h（x）在（0，x0]单调递减，在[x0，1）单调递增，∴=，∵在x∈（0，1）递减，∵，∴，∴当m≤3时，不等式m＜（﹣x+2）e x﹣lnx+x对任意x∈（0，1]恒成立，∴正整数m的最大值是3．4．已知函数f（x）=e x+a﹣lnx（其中e=2.71828…，是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数a=0的图象在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，f（x）＞e+1．【解答】（Ⅰ）解：∵a=0时，∴，∴f（1）=e，f′（1）=e﹣1，∴函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程：y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即（e﹣1）x﹣y+1=0；（Ⅱ）证明：∵，设g（x）=f′（x），则，∴g（x）是增函数，∵e x+a＞e a，∴由，∴当x＞e﹣a时，f′（x）＞0；若0＜x＜1?e x+a＜e a+1，由，∴当0＜x＜min{1，e﹣a﹣1}时，f′（x）＜0，故f′（x）=0仅有一解，记为x0，则当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；∴，而，记h（x）=lnx+x，则，?﹣a＜?h（x0）＜h（），而h（x）显然是增函数，∴，∴．综上，当时，f（x）＞e+1．本资料分享自千人教师QQ群323031380 高中数学资源大全5．已知函数f（x）=axe x﹣（a+1）（2x﹣1）．（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，则f（x）=xe x﹣2（2x﹣1），当x=0时，f（0）=2，f'（x）=xe x+e x﹣4，当x=0时，f'（0）=﹣3，所以所求切线方程为y=﹣3x+2．……（3分）（2）由条件可得，首先f（1）≥0，得，而f'（x）=a（x+1）e x﹣2（a+1），令其为h（x），h'（x）=a（x+2）e x恒为正数，所以h（x）即f'（x）单调递增，而f'（0）=﹣2﹣a＜0，f'（1）=2ea﹣2a﹣2≥0，所以f'（x）存在唯一根x0∈（0，1]，且函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0+∞）上单调递增，所以函数f（x）的最小值为，只需f（x0）≥0即可，又x0满足，代入上式可得，∵x0∈（0，1]，∴，即：f（x0）≥0恒成立，所以．……（13分）6．函数f（x）=xe x﹣ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=﹣x+1．（1）求a和b的值；（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=xe x﹣ax+b，∴f′（x）=（x+1）e x﹣a，由函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为：y=﹣x+1，知：，解得a=2，b=1．（2）∵f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，∴m≤xe x﹣x﹣lnx+1，①令g（x）=xe x﹣x﹣lnx+1，x＞0，则=，设g′（x0）=0，x0＞0，则=，从而lnx0=﹣x0，g′（）=3（）＜0，g′（1）=2（e﹣1）＞0，由g′（）﹣g′（1）＜0，知：，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=﹣x0﹣lnx0=﹣x0﹣lnx0=x0?﹣x0+x0=1．m≤xe x﹣x﹣lnx+1恒成立?m≤g（x）min，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，1]．本资料分享自千人教师QQ群323031380 高中数学资源大全7．已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1．（1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间；（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明．【解答】解：（1）φ＇（x）=（x﹣2）（e x﹣2），令φ＇（x）=0，得x1=ln2，x2=2；令φ＇（x）＞0，得x＜ln2或x＞2；令φ＇（x）＜0，得ln2＜x＜2．故φ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递增，在（ln2，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．（2）f（x）＞g（x）．证明如下：设h（x）=f（x）﹣g（x）=3e x+x2﹣9x+1，∵h'（x）=3e x+2x﹣9为增函数，∴可设h'（x0）=0，∵h'（0）=﹣6＜0，h'（1）=3e﹣7＞0，∴x0∈（0，1）．当x＞x0时，h'（x）＞0；当x＜x0时，h'（x）＜0．∴h（x）min=h（x0）=，又，∴，∴==（x0﹣1）（x0﹣10），∵x0∈（0，1），∴（x0﹣1）（x0﹣10）＞0，∴h（x）min＞0，∴f（x）＞g（x）．8．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．【解答】解：（1），①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞2时，设2ax2﹣2ax+1=0的两个根为，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在（x1，x2）单调递减．（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，由（1）可知a＞2，且．于是：①②由①②得，设，则，因此g（x）在上单调递减，又，根据零点存在定理，故．9．已知函数f（x）=，其中a为常数．（1）若a=0，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a=﹣1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，求证：f（x0）＜﹣2．【解答】解：（1）f（x）=的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，则f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）极大值=f（）=，无极小值；（2）函数f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠﹣a}．=，要使函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，则a＜0，又x∈（0，﹣a）时，a＜x+a＜0，只需1+﹣2lnx≤0在（0，﹣a）上恒成立，即a≥2xlnx﹣x在（0，﹣a）上恒成立，由y=2xlnx﹣x的导数为y′=2（1+lnx）﹣1=1+2lnx，当x＞时，函数y递增，0＜x＜时，函数y递减，当﹣a≤即﹣＜a＜0时，函数递减，可得a≥0，矛盾不成立；当﹣a＞即a＜﹣时，函数y在（0，）递减，在（，﹣a）递增，可得y＜﹣2aln（﹣a）+a，可得a≥﹣2aln（﹣a）+a，解得﹣1≤a＜0，则a的范围是[﹣1，0）；（3）证明：a=﹣1，则f（x）=导数为f′（x）=，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，可得1﹣2lnx0﹣=0，即有2lnx0=1﹣，要证f（x0）＜﹣2，即+2＜0，由于+2=+2==，由于x0∈（0，1），且x0=，2lnx0=1﹣不成立，则+2＜0，故f（x0）＜﹣2成立．10．已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?e x﹣4x，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．（2分）【解答】解：（Ⅰ）…………………………………x∈（0，1）时，f'（x）＞0，y=f（x）单增；．（4分）x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，y=f（x）单减………………………（Ⅱ）证明：令h（x）=axe x﹣4x﹣2lnx+2x﹣2=axe x﹣2x﹣2lnx﹣2（a＞0，x＞．（5分）0）…………………故……………………………．（7分）令h'（x）=0即，两边求对数得：lna+x0=ln2﹣lnx0即lnx0+x0=ln2﹣lna………………．（9分）∴，（12分）∴h（x）≥2lna﹣2ln2……………………………11．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=…（2分）当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，要证明f（x）+e x＞x2+x+2，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，令g′（x）=e x﹣=0，得e x=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e x0=，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表x（0，x0）x0（x0，∞）g′（x）﹣0+g（x）递减递增g（x）min=g（x0）=e x0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，第11页（共14页）。
2019年江苏省高考冲刺压轴卷 数学试题及解析(Word版,解析版)
2019江苏省高考压轴卷数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、KS5U 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且AB ＝点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.KS5U 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把KS5U 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞），短轴长为． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为3，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值； （3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．KS5U 解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． （2）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2019年江苏省高考压轴卷 数学1．【答案】{1，2，4，5} 【解析】解：A ∩B ＝{3}， 则∁U （A ∩B ）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}， 2．【答案】1．【解析】解：∵（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ＝2， ∴1210a a +=⎧⎨-=⎩，即a ＝1．故答案为：1． 3．【答案】60．【解析】解：由题意可知，抽样比为500181009000540045=++．故北乡应抽8100×145＝180，南乡应抽5400×145＝120， 所以180﹣120＝60， 即北乡比南乡多抽60人， 故答案为：604．【答案】31]． 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量123030x x x y xx ⎧+->⎪=⎨⎪≤⎩的值， 由于当x ＞0时，123y x x+≥＝﹣3， 当x ≤0时，y ＝3x∈（0，1]，则输出y的取值范围是31]．故答案为：31]． 5．【答案】-4．【解析】解：∵函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，f （m ）＝﹣6，∴当m ＜3时，f （m ）＝3m ﹣2﹣5＝﹣6，无解；当m ≥3时，f （m ）＝﹣log 2（m +1）＝﹣6， 解得m ＝63，∴f （m ﹣61）＝f （2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4． 6．【答案】34． 【解析】解：∵f （x ）＝sin （x ﹣1），p ∈{1，3，5，7}，f （1）＝sin0＝0， f （3）＝sin2＞0， f （5）＝sin4＜0， f （7）＝sin6＜0，∴f （p ）≤0的概率为p ＝34． 故答案为：34． 7．【答案】1．【解析】解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象，可得12521212πππω⋅=+，∴ω＝2， 再根据五点法作图可得2012πφ⋅+=，求得6πφ=-，∴函数f （x ）＝2sin （26x π-），∴f （76π）＝2sin （736ππ-）＝2sin 136π＝2sin 6π＝1， 故答案为：1．8．【答案】x 2+（y ﹣3）2＝10． 【解析】解：P （3，4）为C 上的一点， 所以91612m -＝，解得m ＝1， 所以A （﹣1，0）B （1，0）， 设△PAB 的外接圆的圆心（0，b ）， 则1+b 2＝32+（b ﹣4）2，解得b ＝3，则△PAB 的外接圆的标准方程为x 2+（y ﹣3）2＝10． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝10．9．【答案】{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤x ≤﹣4}． 【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |， 此时若有f （x ）≤2，即20|3|2x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解可得0≤x ≤1或2≤x≤32，即此时f （x ）≤2的解集为{x |0≤x ≤1或2≤x≤32+}， 又由f （x ）为偶函数，则当x ≤0时，f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤0≤x ≤﹣2}，综合可得：f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤1或2≤xx ≤﹣2}； 则不等式f （x ﹣2）≤2的解集{x |﹣3≤x ≤1或0≤x或﹣72≤x ≤﹣4}； 故答案为：{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤12或﹣72≤x ≤﹣4}． 10．【答案】2e． 【解析】解：函数f （x ）＝alnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝ax ，g ′（x， 设曲线f （x ）＝alnx 与曲线g （x公共点为（x 0，y 0），由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，a ＞0． 由f （x 0）＝g （x 0），可得0alnx联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．11．【答案】5．【解析】解：取AB 的中点M ，连OM ，则OM ⊥AB ，∴|OM |1===，即点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．∴|PA PB |2||PM +=，设点O 到直线3x +4y ﹣15＝0的距离为3d ==，所以2|PM |≥2d ﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP ⊥l ，M 为线段OP 与圆x 2+y 2＝1的交点时取等） 故答案为：5．12．【答案】4． 【解析】解：由题意得1211232323acsin asin csin πππ+＝， 即ac ＝a +c ， 得+＝1，得a +c ＝（a +c ）（1a +1c）＝22224c a a c ++≥+=+=， 当且仅当a ＝c 时，取等号， 故答案为：413．【答案】13342n n+--．【解析】解：点D 为△ABC 的边BC 上一点，2,2()n n n n BD DC E D E B E C E D =-=- ∴3122n n n E C E D E B =-又322n n n n E A E C E D E B λλλ==-， 1141345n n a a +-=-⨯-，∴134541n n a a +--=-，14434414141n n n n a a a a +--=-=--，11141131,441111n n n n n n n a a a a a a a ++---===+----，，∴11123(2)11n n a a ++=+--， ∴1123,3 2.11n n n n a a +==---，13(13)3342132n n n n S n +⨯---=-=-．故答案为：13342n n+--．14．已知函数f （x ）＝，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ． 【答案】34．【解析】解：∵x ＝0∈A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出f （x ）的图象如下图：当x ＞0时，f （x ）≥m ；当x ＜0时，m ≥f （x ）．即y 轴左侧的图象在y ＝m 下面，y 轴右侧的图象在y ＝m 上面， ∵f （3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f （4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4， f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意；a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．15．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．16．【答案】（1）49．（2）14． 【解析】解：（1）∵已知12(,),(0,cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),，∴sinαβ=（﹣∴22249sinsin cos αβαβαβ（﹣）＝（﹣）（﹣）＝． （2）[]2cos cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ++++＝（）（﹣）＝（）（﹣）-（）（﹣2111321272714cos α-⋅-=-=﹣，求得14cos α，或14cos α＝-（舍去），综上，cos α 17．【答案】（1）S ＝12a 2tan θ，θ∈（0，2π）；22(sin )(sin cos 1)a T θθθ=+，θ∈（0，2π）；（2）49． 【解析】解：（1）由题意知，AC ＝a tan θ， 所以△ABC 的面积为：S ＝12AC •BC ＝12a 2tan θ，其中θ∈（0，2π）； 又DG ＝GF ＝BG sin θ＝cos cos CG a BGθθ-=， 所以BG ＝sin cos 1aθθ=+，DG sin sin cos 1a θθθ=+，所以正方形DEFG 的面积为：2T DG ＝=22(sin )(sin cos 1)a θθθ+，其中θ∈（0，2π）； （2）由题意知22sin cos (sin cos 1)f θθθθθ+（）＝，其中θ∈（0，2π）， 所以21sin cos 2sin cos f θθθθθ++（）＝；由sin θcos θ＝12sin2θ∈（0，12]，所以15sin cos sin cos 2θθθθ+≥，即f （θ）≤49，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝4π时“＝”成立；所以f （θ）的最大值P 为49．18.【答案】（Ⅰ）22142x y +＝；（Ⅱ）2k =±.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b，c，∴椭圆C 的方程为22142x y +＝. （Ⅱ）易知椭圆左顶点A （﹣2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x +2），则E （0，2k ），H （0，﹣2k ），由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨⎪⎩+＝消y 可得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， ∴△＝64k 4﹣4（8k 2﹣4）（1+2k 2）＝16则有x 1+x 2＝22812k k -+，x 1x 2＝228412k k -+，∴x 0＝12（x 1+x 2）＝﹣22412k k +，y 0＝k （x 0+2）＝2212kk+， ∴0012OP y k x k=-＝， ∴直线EM 的斜率k EM ＝2k ，∴直线EM 的方程为y ＝2kx +2k ，直线AH 的方程为y ＝﹣k （x +2）， ∴点M （43-，23k ）， ∴点M 到直线l ：kx ﹣y +2k ＝0的距离4||k d ，∴|AB |=，∴12AP AB ＝，∴2244|k ||k |113•2212123APM S AP d k k ∆⋅==++＝＝解得k =19.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-；（2）0x =（3）见解析【解析】（1） 当3a =时，函数()212ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，. 则()22x 3x 2f x x 3x x-+=+-='，令()f x 0'=得，1x =或2x =．列表：所以函数的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-． （2）依题意，切线方程为()()()0000y f x x x f x (x 0)=-+>'， 从而()()()0000g(x)f x x x f x (x 0)+'=->， 记()()()p x f x g x =-，则()()()()()000p x f x f x f x x x =---'在()0+∞，上为单调增函数， 所以()()()0p x f x f x 0=-''≥'在()0+∞，上恒成立， 即()022p x xx 0x x +-'=-≥在()0+∞，上恒成立．变形得0022x x x x +≥+在()0+∞，上恒成立 ，因为2xx +≥=x =， 所以002x x +，从而(20x 0≤，所以0x（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点()111T x y ，，()222T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：()()()111y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：()()()222y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以()()()()()()12111222f x f x {x x f x x x f x .f f ''''=-=-，即121222111111222221222x x x x { 12122x x x x x a2x x x x x a .2x 2x a a ln a ln a +-=+-⎛⎫⎛⎫+--+-=+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，12221122x x 2{ 112x x 2x x .22ln ln =-=-，消去2x 得，221121x x 22ln02x 2+-=．令21x t 2=，由120x x <<与12x x 2=，得()01t ∈，，记()1p t 2lnt t t =+-，则()()222t 121p t 10t t t -=--=-<'， 所以()p t 为()01，上的单调减函数，所以()()p t p 10>=． 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．20．【答案】（Ⅰ）l （P ）＝5． l （Q ）＝6；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l （P ）＝5．由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l （Q ）＝6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -≤． 又集合A ＝2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j ＝2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j ＝l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i +a j ＝a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=．（9分） （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n ﹣1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n ﹣3个不同的数，即l （A ）≥2n ﹣3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列， 考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j ＝a 1+a i +j ﹣1； 当i +j ＞n 时，a i +a j ＝a i +j ﹣n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n ﹣1）中的一个．所以对这样的A ，l （A ）＝2n ﹣3，所以l （A ）的最小值为2n ﹣3． 21．A ．选修4—1：几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为CD 为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC ∠，所以 BCD BAC ∠=∠． ① 又因为为半圆的直径，所以90ACB ∠=︒．又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠． ② 由①②得ABC CBD ∆∆∽， 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换 【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则110=02N -⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以矩阵401040=1020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C ．选修4—4：坐标系与参数方程【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t ==--化为方程：240x y ++=圆的方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线l 被圆C 截得的弦长为5= D ．选修4—5：不等式选讲 【答案】3 【解析】因3x y z xyz ++=，所以1113xy yz xz++=， 又2111()()(111)9xy yz xz xy yz xz++++≥++=， 3xyyz xz ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz xz ++的最小值为3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．KS5U解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.【答案】（1）5；（2）5． 【解析】解：（1）因为AD ∥BC ，所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角， 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD⊥PD ， 在Rt △PDA 中，AP ==cos ∠DAP ＝AD AP= 所以，异面直线AP 与BC（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∵AD ⊥PD ，AD ∥BC ，∴PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， ∴PD ⊥平面PBC ，∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC ﹣BF ＝2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF中，可得DF =在Rt △DPF 中，sin ∠DFP＝5PD DF =． 所以，直线AB 与平面PBC23. 【答案】（1）0，-2；（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．．【解析】（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++，奇子集的个数1133()C C C C C C m m m n nn n n n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn n n n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，1220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)n x -中m x 的系数为22(1)C m m n-， 故()F m =22(1)C m mn -． 综上，22(1)C ,()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。
2020年中考数学解题技巧专题训练：隐圆问题训练(含答案)
图 F10-4 方法技巧专题： 隐圆问题训练巴Q 有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系 .解题时，需要我们 通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆，再利用和圆有关的一些知识进行求解 .常见的隐圆模型有：定弦对 定角；动点到定点的距离为定长；四点共圆等.1 .[2019徐州一模]在矩形ABCD 中，已知AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为2 cm 的木棒EF 紧贴着矩形的边（即 两个端点始终落在矩形的边上，按逆时针方向滑动一周，则木棒的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为A.6 cm 2C.(2+ 兀)crm 2 .如图 F10-1，已知 AB=AC=AD ，/CBD= 2/BDC, / BAC= 44〉贝U/CAD 的度数为图 F10-13 .如图 F10-2 所示，四边形 ABCD 中,DC//AB,BC=1,AB=AC=AD= 2,则 BD 的长为4 .如图F10-3，在矩形ABCD 中,AB=4,AD=6,E 是AB 边的中点，F 是线段CB 边上的动点，将△ EBF 沿EF 所在直线折叠彳#到^ EB'F,连ZB'D,则B'D 的最小值是 .图 F10-35 .如图F10-4，矩形ABCD 中,AB=2,AD=3,点E,F 分别为AD,DC 边上的点，且EF=2,点G 为EF 的中点，点P 为BC 边上一动点，则PA+PG 的最小值为 .B .3 cm 2D.(6-% )crm 图 F10-2图 F10-78.如图F10-7，点A 与点B 的坐标分别是(1,0),(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点 ⑴使/APB=30°的点P 有 个；(2)若点P 在y 轴上，且/ APB= 30 °,求满足条件的点 P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，/APB 是否有最大值？请说明理由.9.[2018 广州]如图 F10-8,在四边形 ABCD 中,/ B= 60 , / D= 30 ,AB=BC.(1)求/ A+/C 的度数； (2)连结BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由；⑶若AB=1,点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE 2=BE 2+CE 2,求点E 运动路径的长度. 图 F10-86 .如图F10-5,正方形ABCD 中,AB=2,动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E,F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF,BE 相交于点 为. P,则线段DP 的最小值7 .如图F10-6，在边长为v3的等边三角形 ABC 中，动点D,E 分别在BC,AC 边上,且保持AE=CD ,连结BE,AD,相交于点P,则CP 的最小值为 图 F10-5图 F10-6 一10.如图F10-9，已知抛物线y=ax2+bx+c(aw即x轴交于A(1,0),B(4,0)两点，与y轴交于C(0,2)，连结AC,BC.(1)求抛物线解析式；(2)线段BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点，求直线DE的解析式;.(3)若点P在抛物线的对称轴上，且/ CPB= / CAB,求出所有满足条件的P点坐标图F10-9【参考答案】1.D ［解析］如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出P到B点距离始终为1 cm, 则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A,B,C,D为圆心，1 cm为半径的弧.故所围成的图形的面积为：矩形面积-4个扇形面积=6-4X丝需=(6-兀)(cm).2.88° ［解析］如图，•「AB=AC=AD，，点B,C,D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上，・ ./ BAC=2/BDC.•••/ CBD= 2/ BDC,. .Z BAC= /CBD,/ CAD= 2/BAC,而/ BAC= 44°,，/ CAD= 88°.3.vl5 ［解析］以A为圆心，AB长为半彳5作圆，延长BA交。
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专题11 隐圆问题
直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题
类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，
当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．
类型三 两定点A 、B ，动点P 满足(0,1)PA PB
λλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数
据： sin17 5.7446︒≈≈ ）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
1．已知ABC ∆中， ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点， 点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_______
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且
1a >，
若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ： ()()22
234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____．
5．已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式•PA PB λ=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____．
6.已知圆O ：x2＋y2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为____________．
7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x2＋y2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为____________．
8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T ，与圆(x －a)2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．
9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________．
10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12
为半径的圆内，则实数λ的最大值是__________．
11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x2＋y2＝r2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点
C ，满足OC →＝54OA →＋34
OB →，则r 的值为________． 12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．
13.已知点A(0，2)为圆M ：x2＋y2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________________．
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O1，圆O2均与x 轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．
15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x2＋y2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x2＋(y －1)2＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．
17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C2：(x －17)2＋(y －30)2＝r2.若圆C2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．
18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________． 19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA2＋MO2＝10，则实数a 的取值范围是________．
20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．。