第二章 基本图形分析法(1)

第二章基本图形分析法第一节基本图形分析法概述教育要追求思维过程的培养、训练和形成，而要讲清楚每一个问题的思维过程，最重要的前提就是要以具有科学的、能揭示规律性的思维方法作为基础理论。

对平面几何这门学科而言，基本图形分析法就是这样一种能揭示思维方法规律性的分析方法。

长期以来，平面几何是一门教师感到难教，学生感到难学的学科，至今仍是制约着教育质量提高和学生成才的“瓶颈”。

现在社会上流行“不能输在起跑线上”，但没有输在起跑线上而倒在几何线上的学生何止成千上万。

那么，几何教和学之难到底难在哪里？实际上就难在三个字，即“规律性”上。

在教学中，老师们为什么不断地讲：“怎样想的？主要是多做题目，积累经验，到时候自然会想”。

“添辅助线有常法而无定法”，“添辅助线就是拿到一道题目，先添一条试试看，不行再添一套试试看，多试几次总会成功的”，根本的原因就是没有办法掌握几何问题分析方法的规律性和添加辅助线的规律性。

事实上，老师所作的这样一种回答，根本无法解决学生在学习过程中出现的困惑。

学生在学习几何的过程中，最迫切地想要知道的就是几何问题思考方法、分析方法的规律性，最迫切地想要知道的就是几何问题中添加的每一条辅助线是怎样想出来的。

由于传统的几何教学无法对学生的这些期待给出直接的、明确的、准确的、科学的回答，所以笼罩在学生几何学习过程中的畏惧心理难以得到根本上的消除，这也就是几何难教、难学之根本所在。

平面几何是研究平面图形的性质的数学学科领域，图形是几何研究的对象，所以任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，要揭示几何问题思考方法、分析方法的规律性都是十分困难的，在教学中要取得成功也是十分困难的，当然这里所指的成功是对大多数学生来说的成功，而不是仅对少数、对特别优秀的学生来说的成功。

任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，都不可能在几何教学中取得成功，这实际上包含着对传统几何分析方法的否定。

现在我们许多老师在教学中实际采用的分析方法大多还是传统的证题术，这种方法的经典语言就是“我们怎么证明两条线段相等呢？要证明两条线段相等，可以应用全等三角形；可以证明这两条线段都和第三条线段相等；可以应用等腰三角形；可以应用平行四边形；可以应用正方形；可以应用比例性质等等，等等。

”然而，在实际教学中，没有一位老师是能够列举完的，一般都是列举了几条就结束了，那为什么列举到这里就刹车了呢？显然老师无法讲清楚。

从思维的角度来看，这里应用的是列举的方法，就是属于扩散思维的范畴，于是首先出现的问题就是在具体教学活动中，尤其是在课堂教学过程中，无论哪一位老师都不可能进行完美的、毫无遗漏的列举，所以这样的方法在理论上是存在缺陷的。

另外，即使有老师进行了完美的、毫无遗漏的列举，将所有的可能性都列举了出来，但由于其中的相当一部分可能性对这个具体问题的解决来说，又是毫无价值的，所以许多老师也会感到没有必要去作这样详尽的列举，因为这也确实会包含许多无效的思维和努力。

然而实质性的问题还不仅是在这里，关键的问题是当你列举出了这样许多方法或可能性以后，对这道具体的题目来说，你是怎样作出选择的？是根据什么来作出这样的选择的？从思维形式上讲，前面的列举是属于扩散思维，而后面的比较和作出选择是属于集中思维。

当列举出这么多的可能性以后，进行集中思维就需要对这些可能性进行逐一的比较，才能最后作出选择，但在实际教学工作中，这几乎是不可能做到的。

而在没有进行充分的、完整的比较之前，就作出的选择，显然就会面临讲不清楚道理的困惑，或者也就是只能用“经验”来作出选择。

从上述讨论中，我们可以发现传统的几何分析方法也是在对几何问题进行分类讨论，然而，分类也有科学的分类和经验性的分类。

分类，就是将一个集合分成若干个真子集，那么，科学的分类必须满足两个条件，就是：所有的真子集的并集应该是全集；所有真子集的两两的交集应该是空集。

在传统的几何证明方法进行的分类中，就以证明两条线段相等的问题为例，首先所有的几何问题就是一个集合，就是一个全集，而全等三角形、两条线段都和第三条线段相等、等腰三角形、平行四边形、正方形、比例性质等等，就是进行分类后得到的一个一个真子集。

那么，首先要满足的就是所有的真子集的并集应该是全集，显然由于我们无法进行完美的、毫无遗漏的列举，所以这些真子集的并集就不可能达到全集，总是会出现遗漏，我们能够做到的就是尽可能地逼近全集，在经验的层面上我们也总是努力通过尽可能多的列举来逼近全集，符合这一条，那么只要对所有的真子集都进行了讨论并使问题得到解决以后，全集中的问题也就得到了解决。

然而，严重的问题是出现在所有的真子集的两两的交集应该是空集这一条上，实际上证明两条线段相等的问题，是所有这些真子集的公共的交集，由于交集不是空集，所以在这个公共的交集中的证明两条线段相等的问题，就不知道应该属于哪一个真子集，就不知道应该用哪一个真子集的方法来进行讨论和论证，一旦选用某一个真子集的方法来进行讨论和论证就会说不清楚道理。

这就是同样是一道具体的证明两条线段相等的问题，为什么这道题目选择的是用全等三角形来进行证明，而另一道也是证明两条线段相等的问题，却不用全等三角形，甚至连想都没想过，这其中的道理，常常是无法自圆其说。

由于采用传统的证题术的方法来进行教学有时很难讲清楚分析方法，很难在理论上讲得通，所以有的老师又转而采用传统的证题法的方法来进行教学。

为此我们可以先看如下的一道例题；已知：△ABC中，D是BC的中点，∠BAD=∠CAD，求证：AB=AC这是一道非常基础、而且几乎所有的几何教材都选用为教材例题、也是几乎所有的几何老师都必定要讲授的一道例题，但用传统的方法来讲却会遇到很大的困难。

一般老师们都是这样讲的：“同学们，这是一道证明两条线段相等的问题，所以我们可以想办法把这两条线段AB和AC放到两个三角形中，然后证明这两个三角形全等（这段话本身是有问题的，为什么要证明两条线段相等，你就会想到要将这两条线段放到两个三角形中，然后证明这两个三角形全等呢？不是还有许多方法吗，为什么偏偏就选了这种方法，这两者之间有什么因果联系呢？）。

现在这两条线段可以看作是△ABD和△ACD的对应边，所以我们可以想办法证明这两个三角形全等。

由于条件给出了D是BC的中点，BD=CD，∠BAD=∠CAD和AD=AD,但出现的是两边和其中一边的对角对应相等，所以还不能证明这两个三角形全等。

那怎么办呢？我们就可以想办法造一对全等三角形（这段话本身实际上也是有问题的，问题还不能证明这两个三角形全等，那怎么就想到要造一对全等三角形呢？以后也还会遇到尚不能证明这两个三角形全等的问题，怎么就不想到要造一对全等三角形呢？），那么怎么来造这对全等三角形呢？”实际上问题就到了关键点上，这时许多老师接下去都是这样讲：“同学们，这道题目的条件中还给出AD是△ABC的中线，在几何问题中，出现了三角形的中线，通常是将中线延长一倍，于是延长AD到E，使DE=AD，……”接下来问题看上去也就可以解决了，然而关键的问题是什么？实际上就是这个“通常”，什么是“通常”？没有一位老师能讲清楚这个“通常”的准确意义是什么，学生当然无法在实际问题中去领会这个“通常”是什么意思，应该怎么应用。

深入的研究可以发现被称作“通常”的恰恰是“不通常”，上面这道例题出现了三角形的中线，将中线延长一倍后问题是可以解决的，但接下来一道题目，也是出现了三角形的中线，但却不延长了，而且恰恰延长了以后发现是没有用的，那为什么前述那道题目出现了三角形的中线后要将中线延长一倍，而后面一道题目，也是出现了三角形的中线，但却不延长了，这里的道理是什么？说得清楚吗？进一步的研究可以发现，在几何众多出现三角形中线的问题中，要通过延长中线一倍来解决问题的是一部分，而且是很少的一部分，大部分的问题都不是通过延长中线一倍来解决问题的，这就说明我们在教学中经常说的“通常”恰恰是“不通常”。

从科学性的角度来分析，我们的教学出了一个问题，就是我们在将特殊的方法作为一般的、普遍的方法来介绍，那我们的教学当然就会出现问题。

事实上，我们许多老师在学生的心目中的地位还是很高的，是具有相当高的权威性的，老师讲的话在学生的心目中常常就是“真理”，现在我们老师讲了“在几何问题中，出现了三角形的中线，通常是将中线延长一倍”，学生听了，记住了，同时也完全毫无疑义地接受了，但回去做习题时，今天一道题目出现了三角形的中线，而将中线延长一倍以后没能解决问题，明天一道题目也出现了三角形的中线，将中线延长一倍以后也没能解决问题，后天一道题目又出现了三角形的中线，将中线延长一倍以后还是没能解决问题，三次下来，学生对老师的信任、信心和信念就会逐渐淡化，甚至消失。

所以教学中最关键的问题，也就是在这道例题中，你怎么会想到将中线延长一倍实际上并没有解决，那要学生理解、掌握到“懂”的境界当然也就有困难了。

实际上，将中线延长一倍实际上并反映这个问题的本质，而仅仅是一种展现的现象，是一种解题的结果，所以也仅仅是一种经验而不是科学。

现在，再回顾以上的讨论过程，还不难发现所有的讨论都是离开了图形而进行的。

这实际上也就是传统的几何分析方法存在的最根本、最严重的缺陷，尽管对每一道具体的几何问题来说，是有图形的，但就分析方法的整体而言，却是离开了图形来进行的。

就以证明两条线段相等的问题来说，尽管我们可以列举种种方法，但却能发现每一种方法的列举都是离开了图形来进行的，既不解决每一种方法应在怎样的图形中来应用，也不解决出现了什么样的图形时应该选用哪一种方法，这也就是为什么传统的几何分析方法，无法揭示几何问题思考方法、分析方法的规律性的道理。

图形，是几何学科的研究对象，平面图形，是平面几何的研究对象。

一道几何问题，都会以一个图形以及这个图形所具有的各种性质为研究对象。

而出现在几何问题中的每一个几何图形，无论是怎样的简单还是怎样的复杂，经过观察和分析，都一定可以发现这样一个事实；即它是由一个或者若干个最简单、最基本也是最重要的图形组合而成的。

为了说明问题，我们先剖析一个例题：已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足是D，BE是∠ABC的角平分线，过E作EF⊥BE交BC于F，EG⊥BC垂足是G，求证：DG= BF分析：本题的条件中出现了BE是∠ABC的角平分线和EF⊥BE，EF是角平分线BE的垂线，就出现了角平分线和向角平分线所作的垂线，所以可应用等腰三角形中重要线段的基本图形进行证明，这个等腰三角形是由角平分线的垂线和角的两边相交得到的，而现在角平分线BE的垂线EF与角的一边BC已经相交，而与另一边BA尚未相交，所以就应将它们延长到相交，也就是延长FE交BA的延长线于H，就可得△BEH≌△BEF，BH=BF，EH= EF，这里应用的等腰三角形中的重要线段就是这个问题的第一个基本图形。