基于参数斜矩阵的多进制多小波的构造与应用

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小波变换在图像处理中的应用毕业论文

3.4.2实现融合的算法流程.............................................13
结论.......................................................................15
参考文献...................................................................16
cl是x的小波分解结构则perf0100小波分解系数里值为0的系数个数全部小波分解系数个数perfl2100cxc向量的范数c向量的范数华侨大学厦门工学院毕业设计论文首先对图像进行2层小波分解并通过ddencmp函数获取全局阈值对阈值进行处理而后用wdencmp函数压缩处理对所有的高频系数进行同样的阈值量化处理最后显示压缩后的图像并与原始图像比较同时在显示相关的压缩参数
3.2.2实现增强的算法流程............................................10
3.3小波包图像去噪......................................................10
3.3.1实现去噪的主要函数............................................11
指导教师签名：
日期：
华侨大学厦门工学院毕业设计（论文）
小波变换在图像处理中的应用
摘要
近年来小波变换技术已广泛地应用于图像处理中。小波分析的基本理论包括小波包分析、连续小波变换、离散小波变换。小波变换是一种新的多分辨分析的方法，具有多分辨率和时频局部化的特性，
可以同时进行时域和频域分析。
因此不但能对图像提供较精确的时域定位,也能提供较精确的频域定

基于小波变换在图像处理中的应用

基于小波变换在图像处理中的应用余娜【摘要】小波变换被广泛接受的图像处理作为一种有效的和有前途的方法。

本文根据遥感图像的多分辨率和多尺度特点，利用边缘提取对不同图像进行处理，并对上述结果对比分析认为：利用小波变换进行遥感图像边缘提取，须先对图像进行小波变换，然后用二进小波变换模的部分极大值来完成信号突变点位置及其异性大小，实现图像的边缘特征提取。

本文中用多维度上二进小波变换图像边缘特征提取方法应用于遥感图像样本的仿真实验，获得了比较好的结果。

%Wavelet transform is used as an effective and promising method in the widely accepted image processing. Based on the multi resolution and multi scale features of remote sensing image, edge extraction is used to deal with the different images. The comparative analysis of the above results shows that the wavelet transform must be carried out for the image to carry out the remote sensing image edge extraction by wavelet transform. Then, the position of the signal mutation point and the size of the opposite sex are completed by using the partial maximum of the two wavelet transform modulus to achieve the image edge feature extraction. This paper uses the method of multi dimension two wavelet transform to image edge feature extraction, which is applied to the simulation experiment of remote sensing images, and obtains good results.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2016(035)021【总页数】4页(P226-229)【关键词】小波变换;图像处理;多方向二进小波;边缘提取【作者】余娜【作者单位】湖北省测绘地理信息局，武汉430070【正文语种】中文【中图分类】TP391.4小波变换属于时频分析的一种，指的是信号的一种时间和频率的剖析法，不仅具备多分辨率分析的特征，而且在两个时频域范围内都有表达信号局部特点的能力，是一种外形、时间窗和频率窗能够改变，窗口大小不变的时频部分分析方式；较高的频率分辨率和较低的时间分辨率则出现在低频部分，反之相反。

小波变换与多分辨率分析课件

有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对较低，容易实现，而多分辨率分析的算法复杂度较高，实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、图像处理、数据压缩等领域已经得到广泛应用，未来随着技术的不断发展，它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的分析方法。
定义目的多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。

精品课件-基于MATLAB的小波分析应用-第5章

第5章小波变换与信号处理
其中，COEFS为连续小波变换后的返回系数CWTx(a, b)矩阵，系数以行方式存储在矩阵中。矩阵的行数为小波变换中尺度的个数，列数为信号采样点的个数，即矩阵的第一行对应第一个尺度变换后的系数，第二行对应第二个尺度变换后的系数，依此类推。
第5章小波变换与信号处理
第5章小波变换与信号处理
2. 信号的连续小波分解实例下面以信号noissin为例说明如何对一个信号进行连续小波分解，信号noissin是一个含噪声的周期性信号。程序代码如下：
%装载noissin信号 load noissin; x = noissin; figure(1); plot(x); figure(2);
第5章小波变换与信号处理
plot(cA2); title('尺度2的低频系数'); %提取尺度1的高频系数 cD1 = detcoef(C,L,1); %提取尺度2的高频系数 cD2 = detcoef(C,L,2); figure(3); subplot(2,1,1); plot(cD1);
第5章小波变换与信号处理
第5章小波变换与信号处理
2) 多尺度一维离散小波变换 MATLAB中实现多尺度离散小波变换的函数为wavedec，其调用格式有以下两种： (1) [C, L] = wavedec(X, N, 'wname') (2) [C, L] = wavedec(X, N, Lo_D, Hi_D) 其中，N为尺度，且必须为正整数，'wname'为小波名称， Lo_D和Hi_D分别为分解低通和高通滤波器。输出参数C由[cAj, cDj, cDj-1,…, cD1]组成，L由[cAj的长度，cDj的长度， cDj-1的长度，…，cD1的长度，X的长度]组成。例如，一个三尺度的分解结构的组织形式如图5.4所示。

小波和多尺度简介

在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。

传统的信号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。

例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函数有效地表示。

在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里，但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。

所以，人们希望寻找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。

在图像和视频处理方面，常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦变换、小波变换等。

离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。

小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。

因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻变革。

最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。

新的信号表示理论的基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。

从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。

从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。

利用贪婪算法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。

小波分析中的二维二分法与多尺度分析

小波分析中的二维二分法与多尺度分析小波分析是一种局部函数分析的工具，可以分解复杂信号为不同频率的简单波。

这种工具已经应用于许多领域，如信号处理、图像处理、语音识别、金融分析等。

其中二维离散小波变换在图像处理中得到广泛应用。

本文将讨论其中的二维二分法与多尺度分析。

1.二维二分法二维离散小波变换的核心是分解。

分解可通过将图像分成四个子图，每个子图都是原图的四分之一大小，然后对每个子图重复此过程，直到达到所需的层数。

这种方法被称为分治法。

而二分法是一种更高效的方法，它可以将图像矩阵分成两个大致相等的部分。

在二维二分法中，图像矩阵首先被水平和垂直地分成两个子矩阵。

然后每个子矩阵被分解，得到四个更小的子矩阵，这四个子矩阵组成了下一个分解层。

此过程可以持续到达到所需的分解层数。

二维二分法的优点是时间和空间复杂度低。

它可以用于大型图像的快速处理，并且可以轻松地实现并行计算。

2.多尺度分析除了分解外，小波分析的另一个核心是多尺度分析。

多尺度分析由一个高分辨率的信号和一组具有不同尺度的低分辨率信号组成。

低分辨率信号表示原始信号的整体特征，而高分辨率信号表示信号的局部特征。

这些低分辨率信号可以通过分解来获取。

在二维离散小波变换中，可以使用二维小波基函数来构建多尺度分析。

小波基函数是一个小波函数从低到高频率的集合。

在每个尺度上，基函数使用缩放功能进行处理。

缩放及旋转参数可以调整小波基函数来适应不同尺度和方向的信号特征。

多尺度分析可用于图像去噪、图像增强、边缘检测、纹理分析等应用。

3.应用案例二维离散小波变换、二维二分法和多尺度分析已广泛应用于图像处理领域。

以下是一些应用案例：3.1 去除图像噪声小波分析可以将图像分解成不同尺度的低频和高频信息。

对于每个尺度，低频产生平滑的图像，高频能够捕捉图像中的细节信息。

通过对高频信息进行滤波可以实现去噪。

离散小波变换和二维二分法的高效计算使得图像去噪可以在实时应用中快速完成。

3.2 提高图像质量图像增强是通过提高图像质量以使其更加容易观察或分析的过程。

自适应多小波基函数构造与机械故障诊断应用研究

d 和 e 均为非零常数。式（ 10 ）中，参数 c ，某炼油厂重油催化裂化装置由烟机、风机、齿轮箱、电机组成，结构如图 1 所示。机组转速为 5 850 r / min （转频为 97． 656 Hz ）；齿轮箱传动比为 5 745 /1 484 ，低速轴转频为 25． 22 Hz。监测系统采用电涡流传感器对烟机 1 # 瓦、烟机 2 # 瓦、风机 3 # 瓦、风机4#瓦和齿轮箱 5#瓦的垂直和水平方向共 10 个测点进行实时监测。采样频率为 2 kHz。采集齿轮箱 5#瓦的振动信号，利用两尺度相似变换自适应构造多小波基函数，分析结果如图 2 所示。图 2 中，每两个冲击 I2 和一个幅值较大冲击的 I1 交替出现。冲击 I2 之间的平均间隔约为 0． 01 s，与机组高速轴转频接近。而冲击 I1 的时间间隔约刚好对应于高速轴转频的 1 /3 。等于冲击 I2 的 3 倍，该 1 /3 次谐波成分说明机组存在碰摩故障。经现场验证，该碰摩是由于压缩机与齿轮箱之间的膜片式［7 ］离合器因补偿对中不良而引起的错动所致。
们的内积定义为
〈x（ t）， y（ t）〉 =
∫
∞ －∞
x（ t） y * （ t） dt
（ 1）
y * （ t）是 y（ t）的共轭。设一个 Ψ 域中的式（ 1 ）中，信号 x 可以表示为以下展开形式： x =
Σ n
an ψn
（ 2）
其中，{ ψ n }n∈Z 是 Ψ 域中的基本函数集。如果
{ψ }
n n∈ Z
{
Φ j －1， n = Ψ j －1， n =
〈Φ j －1， Φ j， Φ j， Σ n， k〉 k k Z

小波分析及其应用

现代数字信号处理作业小波分析及其应用电研111梁帅小波分析及其应用1.小波分析的概念和特点1.1小波理论的发展概况20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。

小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。

它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。

而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。

它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。

另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。

小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。

在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。

在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。

然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。

首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。

小波变换和多分辨率处理

例如，N=4时，
k
p
q
k,p,q的值如右：
0
0
0
1
0
1
2
1
1
3
1
2
则，4×4变换矩阵H4
1 1 1 1
H4
1
2
4 2
1 2
1 0
10ຫໍສະໝຸດ 002 2
2×2变换矩阵H2
H2
1 1 2 1
1 1
离散小波变换的哈尔函数
64×64
128×128
图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数
T=HFHT
F是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果
哈尔基函数
h0zh00 z
1 N
z0,1
2p/2 q1/2pzq0.5/2p
hkzhpq z1 N 2 0p/2
q0.5/2pzq/2p
其它 z 0,1 ，
(3) 哈尔变换
N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z = 0/N, 1/N, …, (N-1)/N。
主要内容
背景图象金字塔子带编码哈尔变换
多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包
1.背景
物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。
物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。
物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用不同的分辨率对其进行研究。
12G1(z)[H1(z)X(z)H1(z)X(z)]
滤波h0(n)的输出
h 0 n * x n h 0 n k x k H 0 z X z

基于斜投影算子的混合信号DOA估计算法

收稿日期:２０２２－０６－０６基金项目:辽宁省教育厅高等学校基本科研项目(ＬＪＫＺ００１１).作者简介:佘黎煌(１９８０－)ꎬ男ꎬ福建莆田人ꎬ东北大学讲师ꎬ博士ꎻ张㊀石(１９６３－)ꎬ男ꎬ辽宁抚顺人ꎬ东北大学教授ꎬ博士生导师.第４４卷第１０期２０２３年１０月东北大学学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ)Ｖｏｌ.４４ꎬＮｏ.１０Ｏｃｔ.２０２３㊀ｄｏｉ:１０.１２０６８/ｊ.ｉｓｓｎ.１００５－３０２６.２０２３.１０.００５基于斜投影算子的混合信号ＤＯＡ估计算法佘黎煌ꎬ张剑宇ꎬ张㊀石(东北大学计算机科学与工程学院ꎬ辽宁沈阳㊀１１０１６９)摘㊀㊀㊀要:为了提高混合信号的波达方向(ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｒｒｉｖａｌꎬＤＯＡ)估计精度并降低其阵列孔径损失ꎬ提出一种基于斜投影算子的高精度ＤＯＡ估计算法.所提算法将混合信号中独立信号与相干信号分两个阶段进行估计ꎬ首先利用ＥＳＰＲＩＴ(ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｓｉｇｎａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｖｉａｒｏｔａｔｉｏｎａｌｉｎｖａｒｉａｎｃｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ)算法处理阵元接收数据的协方差矩阵ꎬ得到混合信号中独立信号的ＤＯＡ估计值ꎻ而后利用斜投影算子去除混合信号中独立信号的信息ꎬ得到新的协方差矩阵ꎻ利用新得到的协方差矩阵的信号子空间进行去相干处理ꎻ最后结合ＥＳＰＲＩＴ算法计算得到相干信号的ＤＯＡ估计值.仿真结果表明ꎬ相较传统的混合信号ＤＯＡ估计算法ꎬ所提算法在低信噪比情况下以及信号入射间隔较小的情况下有较高精度ꎬ有效地降低了阵列孔径的损失.在不同的采样快拍数下ꎬ本文算法也表现出更强的鲁棒性.关㊀键㊀词:混合信号ꎻ波达方向估计ꎻ斜投影算子ꎻ信号子空间ꎻＥＳＰＲＩＴ算法中图分类号:ＴＮ９１１７㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００５－３０２６(２０２３)１０－１４０１－０７ＤＯＡＥｓｔｉｍａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆＭｉｘｅｄＳｉｇｎａｌｓＢａｓｅｄｏｎＯｂｌｉｑｕｅＰｒｏｊｅｃｔｉｏｎＯｐｅｒａｔｏｒＳＨＥＬｉ￣ｈｕａｎｇꎬＺＨＡＮＧＪｉａｎ￣ｙｕꎬＺＨＡＮＧＳｈｉ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ＆ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＳｈｅｎｙａｎｇ１１０１６９ꎬＣｈｉｎａ.Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ:ＳＨＥＬｉ￣ｈｕａｎｇꎬＥ￣ｍａｉｌ:ｓｈｅｌｉｈｕａｎｇ＠ｉｓｅ.ｎｅｕ.ｅｄｕ.ｃｎ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌｓａｎｄｒｅｄｕｃｅａｒｒａｙａｐｅｒｔｕｒｅｌｏｓｓꎬａｈｉｇｈ￣ｐｒｅｃｉｓｉｏｎＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｏｂｌｉｑｕｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ.Ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｅｓｔｉｍａｔｅｓｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｎｄｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓｏｆｔｈｅｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌｓｉｎｔｗｏｓｔａｇｅｓ.Ｆｉｒｓｔｌｙꎬｔｈｅｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘｏｆｔｈｅｄａｔａｒｅｃｅｉｖｅｄｂｙｔｈｅａｒｒａｙｅｌｅｍｅｎｔｉｓｐｒｏｃｅｓｓｅｄｂｙｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｓｉｇｎａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｖｉａｒｏｔａｔｉｏｎａｌｉｎｖａｒｉａｎｃｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ(ＥＳＰＲＩＴ)ꎬａｎｄｔｈｅＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｅｓｏｆｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｓｉｇｎａｌｓｉｎｔｈｅｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌｓａｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄ.Ｔｈｅｎꎬｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｕｓｅｓｔｈｅｏｂｌｉｑｕｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒｔｏｒｅｍｏｖｅｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｓｉｇｎａｌｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌｓｔｏｏｂｔａｉｎａｎｅｗｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘ.Ｔｈｅｓｉｇｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅｏｆｔｈｅｎｅｗｌｙｏｂｔａｉｎｅｄｃｏｖａｒｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘｉｓｕｓｅｄｆｏｒｄｅｃｏｈｅｒｅｎｃｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ.ＦｉｎａｌｌｙꎬｔｈｅＥＳＰＲＩＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｕｓｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｅｓｏｆｔｈｅｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓ.ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｈｉｇｈｅｒａｃｃｕｒａｃｙｔｈａｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎｔｈｅｃａｓｅｏｆｌｏｗｓｉｇｎａｌ￣ｔｏ￣ｎｏｉｓｅｒａｔｉｏａｎｄｓｍａｌｌｓｉｇｎａｌｉｎｃｉｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒｖａｌꎬａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｒｅｄｕｃｅｓａｒｒａｙａｐｅｒｔｕｒｅｌｏｓｓ.Ｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓａｍｐｌｉｎｇｓｎａｐｓｈｏｔｎｕｍｂｅｒｓꎬｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍａｌｓｏｓｈｏｗｓｓｔｒｏｎｇｅｒｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌｓꎻＤＯＡ(ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｒｒｉｖａｌ)ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎꎻｏｂｌｉｑｕｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒꎻｓｉｇｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅꎻＥＳＰＲＩＴａｌｇｏｒｉｔｈｍ㊀㊀阵列信号处理是信号处理的一个重要分支ꎬ它在水声信号探测㊁地震勘测和医疗等领域获得了广泛应用和迅速发展.而波达方向(ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｒｒｉｖａｌꎬＤＯＡ)估计是阵列信号处理的一个主要研究方向[１－２].由于通信环境中的同频干扰以及多径传输的存在ꎬ导致入射到阵列的信号中往往会混杂有相干信号.混合信号中的相干信号会使传统的高分辨率算法性能急剧下降ꎬ制约了子空间类算法[３]的发展.因此对混合信号ＤＯＡ估计的研究具有重要的研究价值与实际意义.混合信号中的相干信号会导致子空间类算法中协方差矩阵秩的亏损ꎬ从而导致子空间类算法的失效.解相干的经典方法主要有两类:一类是降维处理ꎬ比如前后向空间平滑算法[４]ꎬ通过划分子阵的方式来恢复协方差矩阵的秩[５]ꎬ有良好的解相干性能ꎬ但存在阵列孔径损失和在低信噪比情况下解相干性能降低等问题ꎻ另一类则是不进行降维处理ꎬ通过重构Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵来实现解相干[６]ꎬ虽然不会损失阵列孔径ꎬ但会增加计算复杂度并且性能降低.针对前后向空间平滑算法无法充分利用协方差矩阵信息的问题ꎬ文献[７]提出了改进的空间平滑算法ꎬ不仅利用了单个子阵的协方差矩阵ꎬ而且利用了不同子阵列的交叉协方差矩阵ꎬ但仍存在对噪声的鲁棒性低ꎬ在低信噪比情况下对小间隔的入射信号估计误差较大等问题.文献[８]对此作出改进ꎬ提出了ＥＳＳ－ＳＳ算法ꎬ该算法在全相干信号的情况下表现出非常优异的性能ꎬ但在混合信号的情况下并无明显改进.文献[９]中针对混合信号提出了一种两阶段的ＤＯＡ估计算法ꎬ首先估计混合信号中的独立信号ꎬ然后利用空间差分的方法去除混合信号中独立信号的信息ꎬ最后通过空间平滑算法来得到相干信号方位角.该算法在低信噪比时对独立信号估计较为准确ꎬ提高了阵列孔径ꎬ但空间差分法会导致相干信号信息的不完整ꎬ并且该算法在小信号间隔下表现一般.本文提出一种两阶段的ＤＯＡ估计算法ꎬ首先利用ＥＳＰＲＩＴ算法[３]估计混合信号中的独立信号信息ꎬ而后利用斜投影算子构造仅包含相干信号信息的协方差矩阵ꎬ最后利用新构造的协方差矩阵的信号子空间进行去相干处理ꎬ从而得到相干信号的ＤＯＡ估计信息.仿真结果证明本文所提算法在低信噪比㊁小快拍数以及入射角度间隔较小时波达方向估计有更加优越的性能.１㊀混合信源信号模型假设存在Ｍ个满足远场条件的各向同性的阵元组成的均匀线阵模型.同时有Ｋ个独立信号与相干信号组成的远场窄带混合信号作用在均匀线阵上ꎬ入射角度为θｋ(ｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬＫ).均匀线阵的阵元间隔为入射目标信号的半波长ꎬ即ｄ＝λ/２.以第一个阵元为参考阵元ꎬ可以得到阵列的方向向量为ａ(θｋ)＝[１ꎬｅ－ｊ２πλｄｓｉｎ(θｋ)ꎬ ꎬｅ－ｊ２πλｄ(Ｍ－１)ｓｉｎ(θｋ)]Ｔ.(１)此时ꎬ第ｍ个阵元的输出为ｘｍ(ｔ)＝ðＫｋ＝１ｓｋ(ｔ)ｅ－ｊ２πλｄ(ｍ－１)ｓｉｎθｋ＋ｎｍ(ｔ).(２)式中:ｓｋ(ｔ)为由天线阵列接收到第ｋ个信源信号ꎻｎｍ(ｔ)表示第ｍ个阵元上的高斯白噪声ꎬ方差为σ２.假设Ｋ个信号中包含Ｋｕ个独立信号和Ｋｃ个相干信号ꎬ而Ｋｃ个相干信号分为Ｌ组ꎬ每组相干信号相互独立ꎬ数目设置为Ｐｋ(ｋ＝１ꎬ ꎬＬ).由以上的假设可以得到均匀线阵在ｔ时刻接收到的数据矢量为Ｘ(ｔ)＝[ｘ１(ｔ)ꎬｘ２(ｔ)ꎬ ꎬｘＭ(ｔ)]Ｔ＝ðＬｉ＝１ðＰｉｋ＝１ａ(θｉｋ)γｉｋｓｉ(ｔ)＋ðＫｉ＝Ｋｃ＋１ａ(θｉ)ｓｉ(ｔ)＋Ｎ(ｔ)＝ＡｃΓＳｃ(ｔ)＋ＡｕＳｕ(ｔ)＋Ｎ(ｔ)＝ＡＳ(ｔ)＋Ｎ(ｔ).(３)式中:Ｘ(ｔ)为阵列接收数据矢量ꎻａ(θｉｋ)为第ｉ组相干信号中第ｋ个信号的方向向量ꎻγｉｋ为第ｉ组相干信号中第ｋ个多径信号的衰减系数ꎻｓｉ(ｔ)为第ｉ组信号的生成信号源ꎻＮ(ｔ)为噪声矢量ꎬ均值为零ꎬ方差为σ２ｎꎬＮ(ｔ)＝Ｎ１(ｔ)＋Ｎ２(ｔ)ꎻΓ为各组相干信号源的相干系数组成的对角矩阵ꎻＳｃ(ｔ)＝[ｓ１(ｔ)ꎬｓ２(ｔ)ꎬ ꎬｓＬ(ｔ)]Ｔ为相干信号的生成信号ꎻＳｕ(ｔ)＝[ｓＫｃ＋１(ｔ)ꎬ ꎬｓＫ(ｔ)]Ｔ为独立信号ꎻＡｃ＝[ａ(θ１１)ꎬ ꎬａ(θ１Ｐ１)ꎬ ꎬａ(θＬ１)ꎬ ꎬａ(θＬＰＬ)]是相干信号流型矩阵ꎻＡｕ＝[ａ(θＫｃ＋１)ꎬ ꎬａ(θＫ)]表示独立信号的流型矩阵ꎻＡ＝[ＡｃΓ㊀Ａｕ]表示阵列的流型矩阵.通过式(３)可以得到理想观测数据的协方差矩为Ｒ＝Ｅ[Ｘ(ｔ)ＸＨ(ｔ)]＝ＡＲｓＡＨ＋σ２ｎＩＭ＝ＡｕＲｕＡＨｕ＋ＡｃＲｃＡＨｃ＋σ２ｎＩＭ.(４)式中:Ｒｓ为目标信号源的协方差矩阵ꎻＲｕ为独立信号源的协方差矩阵ꎻＲｃ为相干信号源的协方差矩阵ꎻＩＭ为ＭˑＭ维的单位矩阵.２㊀本文方法描述２１㊀ＥＳＰＲＩＴ算法解决非相干信号的ＤＯＡ估计ꎬＥＳＰＲＩＴ算法可以达到高分辨率估计的效果.假设信号模型中Ｋ个入射信号均为独立信号ꎬ将前Ｍ－１个阵元组成第１个子阵ꎬ后Ｍ－１个阵元组成第２个子２０４１东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４４卷㊀㊀㊀㊀阵ꎬＸ１表示第１个子阵接收到的来波信号ꎬＸ２表示第２个子阵接收到的来波信号ꎬ将阵列的流型矩阵分块:Ａ＝Ａ１ｅ１éëêêùûúú＝ｅ２Ａ２éëêêùûúú.(５)式中:Ａ１是第１个子阵的流型矩阵ꎬ由Ａ的前Ｍ－１行构成ꎻＡ２是第２个子阵的流型矩阵ꎬ由Ａ的后Ｍ－１行构成ꎻｅ１是Ａ的第１行ꎻｅ２是Ａ的最后１行.此时有Ｘ１＝Ａ１Ｓ(ｔ)＋Ｎ１(ｔ)ꎬ(６)㊀Ｘ２＝Ａ２Ｓ(ｔ)＋Ｎ２(ｔ)＝Ａ１ΦＳ(ｔ)＋Ｎ２(ｔ).(７)式中ꎬΦ＝ｄｉａｇ[ｅ－ｊ２πｄλｓｉｎθ１ꎬｅ－ｊ２πｄλｓｉｎθ２ꎬ ꎬｅ－ｊ２πｄλｓｉｎθＫ]ꎬ表示两阵列的延迟相位.将两个子阵联立得到新的模型为Ｘｅ＝Ｘ１Ｘ２éëêêùûúú＝Ａ１Ａ１ΦéëêêùûúúＳ(ｔ)＋Ｎ１(ｔ)Ｎ２(ｔ)éëêêùûúú＝ＡＳ(ｔ)＋Ｎｅ(ｔ).(８)其协方差矩阵为Ｒｅ＝Ｅ[ＸｅＸＨｅ]＝ＡＲｓＡＨ＋ＲＮ.(９)对Ｒｅ进行特征分解得到Ｒｅ＝ＵｓｅΣＳＵＨｓｅ＋ＵＮΣＮＵＨＮ.(１０)由于信号子空间Ｕｓｅ与流型矩阵Ａ张成相同的子空间ꎬ所以对Ｕｓｅ与Ａ存在唯一可逆矩阵ξ使得Ｕｓｅ＝Ａξ＝ＵＳ１ＵＳ２éëêêùûúú＝Ａ１Ａ１Φéëêêùûúúξ.(１１)由此可以得到ＵＳ２＝ＵＳ１ξ－１Φξ＝ＵＳ１Ψꎬ(１２)Ψ＝Ｕ＋Ｓ１ＵＳ２＝ξ－１Φξ.(１３)因此有Φ＝ξΨξ－１＝㊀ｄｉａｇ[ｅ－ｊ２πｄλｓｉｎθ１ꎬｅ－ｊ２πｄλｓｉｎθ２ꎬ ꎬｅ－ｊ２πｄλｓｉｎθＫ].(１４)对角阵Φ包含所有的方位角信息.由式(１４)可知Φ由Ψ的特征值构成ꎬ将Ψ特征分解即可求得Φꎬ通过Φ可得到独立信号源的方位角.２２㊀斜投影算子在ＤＯＡ估计中ꎬ斜投影算子可以提取期望信号ꎬ滤除干扰信号的影响[１０－１１].从文献[１０]中得知斜投影算子的定义ꎬ对于线性子空间Ｈ与零空间Ｑꎬ斜投影算子ＥＨ/Ｑ是一个非正交投影ꎬ可表示为ＥＨ｜Ｑ＝Ｈ(ＨＨＰʅＱＨ)－１ＨＨＰʅＱ.(１５)式中ꎬＰʅＱ表示由Ｑ张成的零空间的正交补集ꎬ即ＰʅＱ与Ｑ的乘积为零.由式(１５)可推导出斜投影算子的两个主要性质:第一ꎬ斜投影算子ＥＨ/Ｑ与线性子空间Ｈ的乘积仍为Ｈꎻ第二ꎬ斜投影算子ＥＨ/Ｑ与零空间Ｑ的乘积为零.利用这两个性质可以滤除混合信号中的独立信号信息.在ＤＯＡ估计中ꎬ假设有Ｋ１个入射角度已知的信号ꎬ流型矩阵为ＡｙꎬＫ２个期望信号ꎬ即入射角度未知的信号ꎬ流型矩阵为Ａｎꎬ则此时斜投影算子为ＥＡｙ｜Ａｎ＝Ａｙ(ＡＨｙＰʅＡｎＡｙ)－１ＡＨｙＰʅＡｎ.(１６)式中ꎬＰʅＡｎ＝Ｉ－Ａｎ(ＡＨｎＡｎ)－１ＡＨｎꎬ即Ａｎ的正交补.但在实际运算中ꎬ由于Ａｎ是未知的ꎬ所以无法直接得到ＥＡｙ｜Ａｎ.根据文献[１０]可知ꎬ可以使用Ｒ＃来代替ＰʅＡｎ从而计算ＥＡｙ｜Ａｎ:ＥＡｙ｜Ａｎ＝Ａｙ(ＡＨｙＲ＃１Ａｙ)－１ＡＨｙＲ＃１.(１７)式中ꎬＲ＃１＝(ＲＨ１Ｒ１)－１ＲＨ１ꎬＲ１表示去除噪声后的协方差矩阵.２３㊀基于斜投影的混合信号ＤＯＡ估计算法ＥＳＰＲＩＴ算法是一种极具代表性的子空间分解类算法ꎬ对于不相关信号的估计具有极佳的性能.但混合信号中的相干信号会造成矩阵秩的亏损ꎬ从而导致此算法失效[１２].ＥＳＰＲＩＴ算法虽然无法直接用于估计混合信号中的所有信号ꎬ但是可以首先用于估计混合信号中的独立信号[１３－１４].因此ꎬ为了解决混合信号的ＤＯＡ估计问题ꎬ本文提出了一种基于斜投影算子的ＤＯＡ分段估计算法.算法分为两个阶段ꎬ第一阶段是对独立信号的角度估计ꎬ第二阶段是对相干信号的角度估计.２３１㊀独立信号的波达方向估计以第１节中的混合信号模型为研究基础ꎬ第一阶段首先是对混合信号中的Ｋｕ个独立信号进行估计.对协方差矩阵Ｒ进行特征值分解ꎬ得到Ｒ＝ＵｓΛｓＵＨｓ＋ＵｎΛｎＵＨｎ.(１８)式中:Λｓ为Ｒ的Ｋ个大特征值组成的对角阵ꎻＵｓ的列向量张成信号子空间ꎬ与Λｓ中的特征值相对应ꎻΛｎ为Ｒ的Ｍ－Ｋ个较小的特征值组成的对角阵ꎻＵｎ的列向量张成噪声子空间ꎬ与Λｎ中的特征值相对应.根据ＥＳＰＲＩＴ算法的原理可知ꎬ存在唯一非奇异矩阵Ξ使得Ｕｓ＝ＡΞꎬ将Ｕｓ分割成(Ｍ－１)ˑＫ的两个重叠的子阵:Ｕｓ＝Ｕ１ｕ１éëêêùûúú＝ｕ２Ｕ２éëêêùûúú.(１９)式中:ｕ１和ｕ２分别为信号子空间的最后一行与第一行ꎻＵ１＝Ａ１ΞꎬＵ２＝Ａ１ΦΞ.由式(１３)可知ꎬ此处ꎬΨ＝Ｕ＋１Ｕ２＝Ξ－１ΦΞ.(２０)３０４１第１０期㊀㊀㊀佘黎煌等:基于斜投影算子的混合信号ＤＯＡ估计算法对Ψ进行特征分解即可得到对角矩阵Ф.Ф由Ψ的特征值组成ꎬ包含混合信号的所有信息.其中不相关信号源的特征值的模等于１ꎬ而相干信号源的特征值的模均小于１.利用此特性可以首先完成混合信号中独立信号的估计.在实际的测向环境中ꎬ由于噪声㊁快拍数据不理想等因素的影响ꎬ不相关信号的特征值不会严格等于１.此时ꎬ选取Ｋｕ个模值最接近１的特征值.令δｉ＝μｉ－１ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬＫ.(２１)式中ꎬμｉ为Ψ的特征值ꎬ即Ф中的对角元素.将μｉ依次代入式(２１)中ꎬ得到使δｉ最小的Ｋｕ个特征值ꎬ即为独立信号的特征值.假设求得的特征值为{μ１ꎬ ꎬμＫｕ}ꎬＫｕ个特征值对应的角度分别为{θμ１ꎬ ꎬθμＫｕ}ꎬ则可以得到独立信号的ＤＯＡ估计值为㊀θｉ＝ａｒｃｓｉｎλ－ｊ２πｄθμｉæèçöø÷ꎬ㊀ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬＫｕ.(２２)２３２㊀相干信号的波达方向估计在得到独立信号的ＤＯＡ估计值后ꎬ进入算法的第二阶段ꎬ即估计混合信号中的相干信号.此时ꎬ相干信号为期望信号ꎬ独立信号为干扰信号ꎬ通过斜投影算子去除干扰信号的信息从而得到只包含相干信号信息的矩阵.首先ꎬ根据独立信号的ＤＯＡ估计值ꎬ可以得到独立信号的流型矩阵为Ａｕ＝[α(θ１)㊀α(θ２)㊀㊀α(θＫｕ)].(２３)由式(１７)可知ꎬ斜投影算子ＥＡｕ｜Ａｃ为ＥＡｕ｜Ａｃ＝Ａｕ(ＡＨｕＲ＃１Ａｕ)－１ＡＨｕＲ＃１.(２４)利用斜投影算子可以去除Ｒ中独立信号的信息.为了去除噪声的影响ꎬ重新构造协方差矩阵:Ｒｓ＝ＵｓΛｓＵＨｓ.(２５)利用协方差矩阵Ｒｓ以及斜投影算子ＥＡｕ｜Ａｃ可以计算得到协方差矩阵Ｒｃ:Ｒｃ＝(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｒｓ(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｈ.(２６)新的协方差矩阵Ｒｃ中仅包含相干信号信息ꎬ下面将对其进行证明:Ｒｃ＝(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｒｓ(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｈ＝(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)ＵｓΛｓＵＨｓ(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｈ＝(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)ＡΞΛｓΞＨＡＨ(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｈ＝(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)[ＡｃΓ㊀Ａｕ]ΞΛｓΞＨ[ＡｃΓ㊀Ａｕ]Ｈˑ(ＩＭ－ＥＡｕ｜Ａｃ)Ｈ＝[ＡｃΓ㊀０ＭˑＫｕ]ˑΞΛｓΞＨ[ＡｃΓ㊀０ＭˑＫｕ]Ｈ.(２７)令Λ＝ΞΛｓΞＨꎬ取Λ的前Ｋｃ行ꎬ前Ｋｃ列的子阵为Λ１ꎬ则有Ｒｃ＝ＡｃΓΛ１ΓＨＡＨｃ.(２８)由式(２８)可知ꎬ式(２６)中Ｒｃ仅包含相干信号的信息.因此ꎬ通过去相干恢复协方差矩阵Ｒｃ的秩ꎬ即可应用常规子空间算法得到相干信号的ＤＯＡ估计值.在去相干过程中ꎬ传统算法多使用空间平滑的方法对Ｒｃ直接进行平滑处理ꎬ此方法存在无法估计小间隔信号以及低信噪比条件下性能不佳等缺陷.为了解决这些问题ꎬ本文算法借鉴了文献[８]中ＥＳＳ－ＳＳ算法恢复协方差矩阵秩的思想ꎬ对协方差矩阵的信号子空间进行平滑处理ꎬ重构新的恢复秩的协方差矩阵.将Ｒｃ进行特征分解ꎬ得到Ｒｃ＝ＵｓｃΛｃＵＨｓｃ＋ＵｎｃΛｎｃＵＨｎｃ.(２９)式中:Λｃ为Ｒｃ的Ｌ个大特征值组成的对角阵ꎻＵｓｃ为Ｍ行Ｌ列的矩阵ꎬ其列向量张成信号子空间ꎬ与Λｃ中的特征值相对应ꎻΛｎｃ为Ｒｃ的Ｍ－Ｌ个较小的特征值组成的对角阵ꎻＵｎｃ的列向量张成噪声子空间ꎬ与Λｎｃ中的特征值相对应.将Ｕｓｃ纵向依次划分为Ｎ个重叠的Ｐ(Ｐ>Ｌ)行Ｌ列的子矩阵ꎬＮ与Ｐ满足Ｎ＋Ｐ－１＝Ｍꎬ则第ｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬＮ)个子矩阵由Ｕｓｃ的第ｉ行到第ｉ＋Ｐ－１行构成ꎬ假设其为Ｖｉꎬ定义Ｖｉｉ＝ＶｉΛｃＶＨｉꎬ利用Ｖｉｉ构造新的协方差矩阵来恢复原协方差矩阵Ｒｃ的秩:Ｒｆ＝１２ＮðＮｉ＝１ðＮｊ＝１{ＶｉｉＶｊｊ＋ＶｉｉＶｊｊ}.(３０)式中ꎬ Ｖｉｉ＝ＪＶ∗ｉｉＪꎬＶ∗ｉｉ为Ｖｉｉ的复共轭矩阵ꎬＪ为反向单位矩阵.将Ｒｆ代入ＥＳＰＲＩＴ算法中ꎬ即可实现对混合信号中相干目标信号的ＤＯＡ估计.本文算法的整体实现过程如下:１)㊀根据式(４)构造数据观测矩阵的协方差矩阵Ｒꎬ并对Ｒ进行特征分解ꎬ得到信号子空间Ｕｓꎻ２)㊀根据式(１９)将信号子空间分块ꎬ并利用式(２０)计算Ψ并对其进行特征分解ꎻ３)㊀选取Ψ特征值的模值最接近１的Ｋｕ个特征值ꎬ根据式(２２)计算得到独立信号的ＤＯＡ估计值ꎻ４)㊀根据式(１)和式(２３)计算独立信号的流型矩阵ꎻ５)㊀根据式(２４)计算斜投影算子并根据式(２６)计算得到去除独立信号信息的协方差矩阵Ｒｃꎻ６)㊀通过式(３０)对Ｒｃ进行去相干处理ꎬ得到秩恢复的协方差矩阵Ｒｆꎻ７)㊀将Ｒｆ进行特征分解ꎬ利用ＥＳＰＲＩＴ算法４０４１东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４４卷㊀㊀得到混合信号中相干信号的ＤＯＡ估计角度.３㊀实验验证与比较针对提出的基于斜投影算子的混合信源的ＤＯＡ分段估计算法的性能进行测试.为了验证本文算法的各项性能ꎬ仿真实验中对比了文献[７]中的ＩＳＳ算法㊁文献[８]中的ＥＳＳ－ＳＳ算法以及文献[９]中的基于空间差分技术的ＤＯＡ估计算法.其中ꎬＩＳＳ算法与ＥＳＳ－ＳＳ算法为空间平滑算法的改进算法ꎬ直接对全部的混合信号进行ＤＯＡ估计.文献[９]中算法与本文算法同为两阶段的ＤＯＡ估计算法ꎬ将独立信号与相干信号分别进行ＤＯＡ估计.３１㊀验证算法的有效性为了验证本文算法的有效性ꎬ以成功检测概率为指标.成功检测概率即全部蒙特卡洛实验中成功估计入射信号的概率ꎬ通过ＤＯＡ估计成功的实验次数与全部的实验次数之比得到.实验１㊀阵列设置为８阵元的均匀线阵ꎬ阵元间距为信号半波长ꎬ假设有３个入射信号ꎬ其中前２个信号为一组相干信号ꎬ分别为－１５ʎ和５ʎꎬ两个相干目标信号对应的衰减系数设置为[１ꎬ０９]ꎬ第３个信号为独立信号ꎬ设为５０ʎ.采样快拍数为５００ꎬ信噪比以３ｄＢ为间隔从－１５ｄＢ增加到１５ｄＢꎬ进行５００次蒙特卡洛实验.由图１可知ꎬ４种算法对混合信号源ＤＯＡ估计的成功概率均随信噪比的增加而增大ꎬ在信噪比大于０ｄＢ时ꎬ４种算法均能有效地对混合信号源进行ＤＯＡ估计.图１㊀不同信噪比环境下４种算法的成功检测概率Ｆｉｇ１㊀ＳｕｃｃｅｓｓｆｕｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔＳＮＲｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ３２㊀本文算法的精度实验为了验证本文算法的ＤＯＡ估计精度ꎬ以估计角度的均方根误差(ＲＭＳＥ)作为衡量算法准确性的标准.ＲＭＳＥ＝１ＫˑＷðＷｗ＝１ðＫｋ＝１[θ＾ｋ(ｗ)－θｋ]２.(３１)式中:Ｗ为蒙特卡洛实验的总次数ꎻＫ为入射信号源的数量ꎻθｋ为实际的入射角度ꎻθ＾ｋ(ｗ)为第ｗ次实验中第ｋ个入射角度的ＤＯＡ估计值.下面将在不同的入射信源个数㊁不同的信噪比以及不同的快拍数条件下分别实验.实验２㊀阵列设置为８阵元的均匀线阵ꎬ阵元间距为信号半波长ꎻ假设入射信号源为３个ꎬ前２个入射信号是相干的ꎬ设为１０ʎ和１５ʎꎬ对应的衰减系数设置为[１ꎬ０９]ꎬ第３个入射信号为独立信号ꎬ设为５０ʎ.采样快拍数为５００ꎬ信噪比以３ｄＢ的间隔从－１５ｄＢ增加到１５ｄＢꎬ分别进行５００次蒙特卡洛实验计算估计角度的均方根误差.由图２可知ꎬ在入射角度相隔较小的条件下ꎬ４种算法的均方根误差均随信噪比的增加呈下降趋势ꎬ在信噪比低于－３ｄＢ时ꎬ本文算法的均方根误差明显低于其他３种算法.同时ꎬ本文算法更加接近算法的无偏估计量下界(ＣＲＢ)[１５]ꎬ相较其他算法拥有更高的ＤＯＡ估计精度.图２㊀不同信噪比环境下４种算法ＤＯＡ估计精度对比(实验２)Ｆｉｇ２㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔＳＮＲｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ(Ｎｏ.２ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ)实验３㊀阵列模型以及入射信源角度同实验２ꎬ信噪比固定为０ｄＢ不变ꎬ采样快拍数以５０为间隔从１００增加至６００ꎬ每种快拍数条件下进行５００次蒙特卡洛实验ꎬ计算估计角度的均方根误差ꎬ实验结果如图３所示.５０４１第１０期㊀㊀㊀佘黎煌等:基于斜投影算子的混合信号ＤＯＡ估计算法㊀㊀㊀㊀图３㊀４种算法的均方根误差与快拍数之间的关系Ｆｉｇ３㊀ＲｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＲＭＳＥｏｆｔｈｅｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｎｄｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｓｎａｐｓｈｏｔｓ由图３可知ꎬ在其他条件固定时ꎬ４种算法的ＤＯＡ估计精度总体会随着快拍数的增加而提高.在快拍数较小时ꎬ文献[９]中算法ＤＯＡ估计精度较低.而本文提出的算法与ＩＳＳ算法以及ＥＳＳ－ＳＳ算法的曲线随快拍数的变化相对较为平稳并且更加接近无偏估计量下界ＣＲＢꎬ拥有更高的ＤＯＡ估计精度及更强的鲁棒性.实验４㊀阵列设置为９个阵元的均匀线阵ꎬ阵元间距为信号半波长.入射信源的数量增加为６个.混合信源中独立信源的数量设为２个ꎬ入射角度分别为－１０ʎ和６０ʎꎬ相干信源设为两组ꎬ第１组为－６０ʎ和－４０ʎꎬ衰减系数设置为[１ꎬ０９]ꎬ第２组为２０ʎ和５０ʎꎬ衰减系数设置为[１ꎬ０８].采样数及信噪比变化同实验１ꎬ进行５００次蒙特卡洛实验来计算估计角度的均方根误差ꎬ实验结果如图４所示.图４㊀不同信噪比环境下４种算法ＤＯＡ估计精度对比(实验４)Ｆｉｇ４㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔＳＮＲｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ(Ｎｏ.４ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ)由图４可知ꎬ在存在多个独立信源与多组相干信源时ꎬ随着信噪比的增加ꎬ４种算法的精度均得到了有效提升.在信噪比低于－６ｄＢ时ꎬ其余的３种算法失效ꎬ在信噪比较高的条件下４种算法均能得到有效的估计角度.本文算法的精度在不同的信噪比环境下较其他３种算法均有明显的提升.实验５㊀均匀线阵设置同实验４.继续增加入射信源的数量ꎬ总信源数设置为８个.混合信源中独立信源设为３个ꎬ入射角度分别为－１０ʎꎬ４０ʎ和６０ʎ.相干信号源设置为两组ꎬ第１组包含３个相干信源ꎬ分别为－１０ʎꎬ－４０ʎ和－６０ʎꎬ衰减系数设置为[１ꎬ０９３ꎬ０８４]ꎬ第２组包含２个相干信源ꎬ分别为２０ʎ和５０ʎꎬ衰减系数设置为[１ꎬ０９].采样快拍数固定为５００ꎬ信噪比变化同实验３ꎬ进行５００次蒙特卡洛实验.由图５可知ꎬ在信源数目增加到８个时ꎬＩＳＳ算法和ＥＳＳ－ＳＳ算法已经失效ꎬ而本文算法与文献[９]中算法仍有较为良好的估计效果并且本文算法的最终结果更优.前两种算法是对混合信源的所有信号直接估计ꎬ并且因为划分子阵而导致阵列孔径变小ꎬ所以可估计的总信源数相对较少.本文所提算法与文献[９]中算法为分段式ＤＯＡ估计ꎬ相较传统的ＤＯＡ估计算法可以突破阵列规模的限制从而估计更多的入射角度.在本实验中ꎬ来自独立信号源中的－１０ʎ与第１组相干信号源中的－１０ʎ被成功地检测出来ꎬ这是因为独立信源与相干信源是分两个步骤进行估计的ꎬ这也是本文所提算法的优势.图５㊀不同信噪比环境下４种算法ＤＯＡ估计精度对比(实验５)Ｆｉｇ５㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｆｏｕｒａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔＳＮＲｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｓ(Ｎｏ.５ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ)４㊀结㊀㊀论针对混合信号的ＤＯＡ估计中精度损失与阵６０４１东北大学学报(自然科学版)㊀㊀㊀第４４卷列孔径损失的问题ꎬ本文提出了一种基于斜投影算子的高精度ＤＯＡ分段估计算法.本文算法将混合信号的ＤＯＡ估计分为两个阶段ꎬ第一阶段是对独立信号的估计ꎬ通过ＥＳＰＲＩＴ算法完成ꎬ第二阶段则是对相干信号的估计.在第二阶段中ꎬ首先利用斜投影算子去除独立信号的信息ꎬ得到仅包含相干信号信息的协方差矩阵ꎬ而后利用新得到的协方差矩阵的信号子空间进行去相干处理ꎬ最后结合ＥＳＰＲＩＴ算法估计相干信号的波达方向.仿真实验结果表明ꎬ相较传统算法ꎬ本文提出的算法有效地提升了阵列的孔径ꎬ能够有效地区分小间隔的入射信号ꎬ在快拍数少以及信噪比较低的情况下仍有较好的ＤＯＡ估计性能.参考文献:[１]㊀ＪａａｆｅｒＺꎬＧｏｌｉＳꎬＥｌａｍｅｅｒＡＳ.ＢｅｓｔｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ[Ｃ]//２０１８１ｓｔＡｎｎｕａｌＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ(ＡｉＣＩＳ).Ｆａｌｌｕｊａｈꎬ２０１８:２３５－２３９.[２]㊀ＪｉａｎｇＸＱꎬＱｉａｎＳＳ.ＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓｂａｓｅｄｏｎｍｏｄｉｆｉｅｄＭＵＳＩＣａｌｇｏｒｉｔｈｍ[Ｃ]//２０２１ＩＥＥＥ３ｒｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＣｉｖｉｌＡｖｉａｔｉｏｎＳａｆｅｔｙａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ(ＩＣＣＡＳＩＴ).Ｃｈａｎｇｓｈａꎬ２０２１:９１８－９２１.[３]㊀ＲｏｙＲꎬＰａｕｌｒａｊＡꎬＫａｉｌａｔｈＴ.ＥｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｓｉｇｎａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｖｉａｒｏｔａｔｉｏｎａｌｉｎｖａｒｉａｎｃｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓＥＳＲＲＩＴ[Ｊ].ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＡｃｏｕｓｔｉｃｓꎬＳｐｅｅｃｈꎬａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇꎬ１９８９ꎬ３７(７):９８４－９９５.[４]㊀ＰｉｌｌａｉＳＵꎬＫｗｏｎＢＨ.Ｆｏｒｗａｒｄ/ｂａｃｋｗａｒｄｓｐａｔｉａｌｓｍｏｏｔｈｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｆｏｒｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ[Ｊ].ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＡｃｏｕｓｔｉｃｓꎬＳｐｅｅｃｈꎬａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇꎬ１９８９ꎬ３７(１):８－１５.[５]㊀ＫａｒｍｏｕｓＮꎬＥｌＨａｓｓａｎＭＯꎬＣｈｏｕｂｅｎｉＦ.ＡｎｉｍｐｒｏｖｅｄＥＳＰＲＩＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓ[Ｃ]//２０１８ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＳｍａｒｔＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄＮｅｔｗｏｒｋｉｎｇ(ＳｍａｒｔＮｅｔｓ).ＹａｓｍｉｎｅＨａｍｍａｍｅｔꎬ２０１８:１－４.[６]㊀ＺｈａｎｇＷꎬＨａｎＹꎬＪｉｎＭꎬｅｔａｌ.ＡｎｉｍｐｒｏｖｅｄＥＳＰＲＩＴ￣ｌｉｋｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ[Ｊ].ＩＥＥＥＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＬｅｔｔｅｒｓꎬ２０２０ꎬ２４(２):３３９－３４３. [７]㊀ＤｏｎｇＭꎬＺｈａｎｇＳＨꎬＷｕＸＤꎬｅｔａｌ.Ａｈｉｇｈｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｐａｔｉａｌｓｍｏｏｔｈｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ[Ｃ]//２００７ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＳｙｍｐｏｓｉｕｍｏｎＭｉｃｒｏｗａｖｅꎬＡｎｔｅｎｎａꎬＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎａｎｄＥＭＣＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓｆｏｒＷｉｒｅｌｅｓｓＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ.Ｈａｎｇｚｈｏｕꎬ２００７:１０３１－１０３４. [８]㊀ＰａｎＪＪꎬＳｕｎＭꎬＷａｎｇＹＤꎬｅｔａｌ.ＡｎｅｎｈａｎｃｅｄｓｐａｔｉａｌｓｍｏｏｔｈｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｗｉｔｈＥＳＰＲＩＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｒｒｉｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔｓｃｅｎａｒｉｏｓ[Ｊ].ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇꎬ２０２０ꎬ６８:３６３５－３６４３. [９]㊀ＳｈｉＨＰꎬＬｅｎｇＷꎬＷａｎｇＡＧꎬｅｔａｌ.ＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｏｒｍｉｘｅｄｕｎｃｏｒｒｅｌａｔｅｄａｎｄｃｏｈｅｒｅｎｔｓｏｕｒｃｅｓｉｎｍｕｌｔｉｐａｔｈｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ[Ｊ].ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｔｅｎｎａｓａｎｄＰｒｏｐａｇａｔｉｏｎꎬ２０１５ꎬ２０１５:１－８.[１０]ＸｕＸꎬＹｅＺꎬＰｅｎｇＪ.Ｍｅｔｈｏｄｏｆｄｉｒｅｃｔｉｏｎ￣ｏｆ￣ａｒｒｉｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｏｒｕｎｃｏｒｒｅｌａｔｅｄꎬｐａｒｔｉａｌｌｙｃｏｒｒｅｌａｔｅｄａｎｄｃｏｈｅｒｅｎｔｓｏｕｒｃｅｓ[Ｊ].ＩＥＴＭｉｃｒｏｗａｖｅｓꎬＡｎｔｅｎｎａｓ＆Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎꎬ２００７ꎬ１(４):９４９－９５４.[１１]ＺｕｏＷＬꎬＸｉｎＪＭꎬＺｈｅｎｇＮＮꎬｅｔａｌ.Ｓｕｂｓｐａｃｅ￣ｂａｓｅｄｎｅａｒ￣ｆｉｅｌｄｓｏｕｒｃｅｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎｉｎｕｎｋｎｏｗｎｓｐａｔｉａｌｌｙｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍｎｏｉｓｅｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ[Ｊ].ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇꎬ２０２０ꎬ６８:４７１３－４７２６.[１２]张石ꎬ许方晗ꎬ佘黎煌ꎬ等.基于重构噪声子空间的相干信号ＤＯＡ估计[Ｊ].东北大学学报(自然科学版)ꎬ２０２１ꎬ４２(１２):１６９６－１７００.(ＺｈａｎｇＳｈｉꎬＸｕＦａｎｇ￣ｈａｎꎬＳｈｅＬｉ￣ｈａｕｎｇꎬｅｔａｌ.ＤＯＡｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓｂａｓｅｄｏｎｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｎｏｉｓｅｓｕｂｓｐａｃｅ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔｅｒｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ)ꎬ２０２１ꎬ４２(１２):１６９６－１７００.)[１３]ＧａｎＬꎬＬｕｏＸＹ.Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ￣ｏｆ￣ａｒｒｉｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｏｒｕｎｃｏｒｒｅｌａｔｅｄａｎｄｃｏｈｅｒｅｎｔｓｉｇｎａｌｓｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｃｅｏｆｍｕｌｔｉｐａｔｈｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ[Ｊ].ＩＥＴＭｉｃｒｏｗａｖｅｓＡｎｔｅｎｎａｓ＆Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎꎬ２０１３ꎬ７(９):７４６－７５３.[１４]胡盈绮ꎬ邓科ꎬ殷勤业.采用前向空间平滑分组的混合信号波达方向估计算法[Ｊ].西安交通大学学报ꎬ２０２０ꎬ５４(９):１６４－１７２.(ＨｕＹｉｎｇ￣ｑｉꎬＤｅｎｇＫｅꎬＹｉｎＱｉｎ￣ｙｅ.Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｏｆａｒｒｉｖａｌｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｍｉｘｅｄｓｉｇｎａｌｓｂｙｆｏｒｗａｒｄｓｐａｔｉａｌｓｍｏｏｔｈｇｒｏｕｐｉｎｇ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉａｎＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬ２０２０ꎬ５４(９):１６４－１７２.)[１５]ＳｔｏｉｃａＰꎬＬａｒｓｓｏｎＥＧꎬＧｅｒｓｈｍａｎＡＢ.ＴｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃＣＲＢｆｏｒａｒｒａｙｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ:ａｔｅｘｔｂｏｏｋｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ[Ｊ].ＩＥＥＥＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＬｅｔｔｅｒｓꎬ２００１ꎬ８(５):１４８－１５０.７０４１第１０期㊀㊀㊀佘黎煌等:基于斜投影算子的混合信号ＤＯＡ估计算法㊀㊀。

Matlab中的小波变换与多尺度分析技术详解

Matlab中的小波变换与多尺度分析技术详解引言随着数字信号处理的发展，小波变换和多尺度分析技术在信号处理领域中得到了广泛应用。

Matlab作为一款强大的数学软件，提供了丰富的信号处理工具箱，其中就包括小波变换和多尺度分析工具。

本文将详细介绍Matlab中的小波变换与多尺度分析技术，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。

一、小波变换的概念与原理1.1 小波变换的概念小波变换是一种时频分析方法，通过将信号分解为不同频率的小波基函数来分析信号的频域和时域特性。

与傅里叶变换相比，小波变换具有时域局部性的特点，可以更好地捕捉信号的瞬态特征。

1.2 小波变换的原理小波变换的原理是将信号与一组小波基函数进行内积运算，得到小波系数，从而表示信号在不同尺度和位置上的频谱特征。

常用的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。

二、Matlab中的小波变换函数在Matlab中，有多种函数可用于进行小波变换。

下面介绍几种常用的小波变换函数。

2.1 cwt函数cwt函数是Matlab中用于进行连续小波变换的函数。

通过调用该函数，可以计算信号在不同尺度上的小波系数。

例如，可以使用如下代码进行连续小波变换：[cfs, frequencies] = cwt(signal, scales, wavelet);其中，signal表示输入信号，scales表示尺度参数，wavelet表示小波基函数。

函数会返回小波系数矩阵cfs和相应的尺度frequencies。

2.2 dwt函数dwt函数是Matlab中用于进行离散小波变换的函数。

与连续小波变换不同，离散小波变换是对信号进行离散采样后的变换。

使用dwt函数进行离散小波变换的示例如下：[cA, cD] = dwt(signal, wavelet);其中，signal表示输入信号，wavelet表示小波基函数。

函数会返回近似系数cA和细节系数cD。

三、多尺度分析技术多尺度分析技术是基于小波变换的信号处理方法，它利用小波变换的尺度分解特性，对信号进行局部分析。

基于小波系数矩阵二阶矩和多尺度小波分析的图像融合算法

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第 27 卷第 3 期 2011 年 6 月
哈尔滨商业大学学报（自然科学版）
Journal of Harbin University of Commerce （ Natural Sciences Edition）
Vol． 27 No． 3 Jun． 2011
利用 DGHM 多小波滤波器构造 α 带多小波
Abstract ： Using DGHM multiwavelet filter，this paper obtained a new matrix （ CQF） by a method that increase its length towith supplementing the zeromatrix． A novel transformation of matrix filter was introduced． In comparison with the traditional methods，the order of some polynomial matrices need not be decreased row by row and the polyphase matrix need not be factorized into a special form． Furthermore，this method was not restricted by the length of the filter． Therefore，an algorithm was presented in this paper for constructingband orthogonal multiwavelets from the associated multiscaling function． Key words： conjugate quadrature filter； unitary transform； multiwavelet； compactly supported 多小波的研究，首先是由 Goodman 于 1993 年［1 ］提出来的．从那以后，在理论和应用上，多小波

一类多尺度矩阵小波函数的存在性及构建算法

ｔｏｉｎ；ｐｌ－ｃｌｏｙｓａｅ
近年来，多小波理论已被应用在信号分析、图像
处理、求解积分方程［］１等方面．矩阵小波是一类广。
２７ｒ１用（）一｛： —Ｃ）示向量值序列空，，≥ ．／Ｚｃｚ表间，用。（）它的子空间，赋以如下范数ｚ记
义多小波．．ａｃｅｉ［引进矩阵小波函数的概ＳＢｃｈｌ等４ｌ］念，论二尺度正交的矩阵小波函数的存在性．讨文献
Ｉ： ∑ ∑ ｌ（Ｉ专＋。．。ｚＩｌ一（ｃｌ。＜。用跨（）ｃ））
∈Ｚ：１
ｐｏｏｅ．ｒｐｓｄ
Ｋｅｒｓ：ｖｃｏｕｄｖｓｏｃｅ；ｂｏｔｏｏａｉｙｏｖｌｔｎ；ｍａｒｘｗａｅｅｓｅｉｅｎｑａｙｗｏｄｅｔｒｓｂｉｉｉｎｓｈｍｅｉｒｈｇｎｌ；ｃｎｏｕｉｔｏｔｉｖｌｔ；ｒｆｍｅｔｅｕ — ｎ
摘要：讨论多尺度矩阵小波函数的存在性．运用向量细分格式和矩阵理论，明一对给定的多尺度双正交矩阵尺证度函数决定对应的多尺度双正交矩阵小波函数的存在性．出一类紧支撑双正交矩阵小波的构建算法．给
关键词：向量细分格式；正交；卷积；矩阵小波；双加细方程；多尺度中图分类号：Ｏ１４２７．文献标识码：Ａ
．
ＡｂｔａｔＥｘｓｅｃｆｍａｒｘｖｌｅｏｙｓａｅｗａｅｅｕｃｉｎｓｄｓｕｓｄＶｅｔｒｓｂｉｉｉｎｓｒｃ：ｉｔｎｅｏｔｉ－ａｕｄｐｌ－ｃｌｖｌｔｆｎｔｏｓｗａｉｃｓｅｃｏｕｄｖｓｏ

基于斜变换的小波设计及其应用

证明该方法的去噪效果和压缩效果要优于传统的Ｄ，且去噪效果还要优于文献［】实ＷＴ并６中提出的多进制多
小波。
关键词：１Ｗａｓｈ变换；变换；斜多进制多小波；图像去噪；图像压缩
Ａｐｉｔｎ，０７４（０：７３．ｐｌａｉｓ２０，３１）２ — ０ｃｏ
ｎａｄ
ＡｂｔａｔＩＩａｅ，ｅｃｎｔｃｉｄｏｂｎｈｗｖｌｔｂｓｎｓａｔｔｎｆｒａｄｔｅｒｌｔｎｈｐｂｔｅａｓｓｒｃ：ｎｔｅｐｐｒｗｏｓｒｔａｋｎｆＭ— ｏｄｍｕｉａｅｅａｅｏｌｎｒｓｏｍｎｈｅａｉｓｉｅｗｅｎＷｌｈｌｕａｏ
维普资讯
ＣｍｕｒＥｇｎｅｉｎｐｌａｏｓ计算机工程与应用ｏｐｔｎｉｒｇａｄＡｐｉｔｎｅｅｎｃｉ
２０，３１）０７４（Ｏ
２７
◎学术探讨 ◎
基于斜变换的小波设计及其应用
荣伏梅，施保昌
ＲＯＮＧｕｍｅ，ＨＩＢｏｃａｇＦ－ｉＳａ－ｈｎ华中科技大学数学系。武汉４０７３０４
Ｍａｓｈｔ．Ｄｅａｔｎ，ａｈｎｉｅｓｔｆＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ，ｕａ３０４，ｈｎｐｒｍｅｔＨｕｚｏｇＵｎｖｒｉｏｃｅｃｎｅｈｏｏｙＷｈｎ４０７Ｃｉａｙ

CL多小波预处理方法在故障数据压缩中的应用电子学.doc

CL多小波预处理方法在故障数据压缩中的应用电子学1 引言多小波分析是一种基于小波理论的近几年发展起来的新理论，多小波可同时具有对称性、正交性、短支撑性、高阶消失矩等属性，而这些属性是传统实系数小波不能同时具有的[1]。

多小波有许多构造方法，如Geronimo等人[2]应用分形插值方法构造了具有短支撑、正交性、对称性和二阶消失矩属性的GHM多小波，Chui等人[3]利用多小波的正交性、紧支撑性、对称性和插值性构造了CL(Chui-Lian)多小波，Jiang[4]利用时频分析中的窗函数性质构造了具有最优时频分辨率的Jiang系列多小波，Mariantonia Cotronei等人[5]利用Hurwitz块矩阵和Gram矩阵构造了半正交多小波。

本文在介绍CL多小波理论的基础上，深入探讨了CL多小波的预处理方法，并将其应用于电力系统正弦信号数据和故障暂态数据的压缩，还比较了GHM多小波与CL多小波的数据压缩效果。

2 CL多小波的基本理论小波分析中的多分辨率即是将平方可积信号f L2(R) 的逐级逼近视为采用低通平滑函数(t) 对f(t) 作平滑滤波的结果，且逐级逼近时平滑函数(t)也作逐级伸缩。

一个多分辨率分析由一个尺度函数生成，且包含一个经平移与伸缩构成L2(R) 空间基的小波函数。

类似地，多小波分析中也存在多分辨率分析，一个多分辨率分析由多个尺度函数生成，且包含多个经平移与伸缩构成L2(R) 空间基的小波函数，这些小波函数即称为多小波[6]。

多小波的多尺度函数(t)和多小波函数(t)满足以下二尺度矩阵方程[3]式中0 k L ，Hk 和Gk 为r r维系数矩阵;L为多小波滤波器长度;r为多小波维数。

根据多小波的多分辨率分析，有如下快速多小波分解与重构公式[7]式中为多小波分解和重构的低频系数;为多小波分解和重构的高频系数;分别为Hk 和Gk 的复共矩阵。

位于区间[0,2]上的CL多小波的两个尺度函数1(t)、2(t)和两个小波函数1(t)、2(t)的支撑区间均为[0,2];位于区间[0,3]上的CL多小波的两个尺度函数1(t)、2(t)和两个小波函数1(t)、2(t)的支撑区间均为[0,3]。

多贝西小波定义

多贝西小波定义
多贝西小波（Daubechies wavelets）是由比利时数学家Ingrid Daubechies 在1988年提出的一种正交小波基。

它是一种用于信号处理和数据压缩的数学工具，能够将信号在时频域上进行有效的分析和表示。

多贝西小波是一类紧支撑正交小波基，它具有非常好的时域局部化以及频域局部化特性。

多贝西小波的基函数是通过特定的滤波器系数来构造的，这些滤波器系数可以控制小波基函数在时域和频域的特性。

多贝西小波具有一系列重要的性质，如紧支撑性、正交性、可逆性和多分辨率性等。

这些性质使得多贝西小波在信号处理领域中得到了广泛应用，包括图像压缩、图像去噪、图像增强、数据压缩、信号分析等。

多贝西小波的定义是通过一组滤波器系数来实现的，这些滤波器系数决定了多贝西小波的基函数的形状和特性。

根据滤波器系数的不同选择，可以得到不同类型的多贝西小波，如db1、db2、db3等。

每一种多贝西小波都具有特定的频域和时域特性，可以根据具体应用的需求选择合适的多贝西小波。

总而言之，多贝西小波是一种用于信号处理的数学工具，具有良好的时频局部化特性，被广泛应用于图像压缩、信号分析、数据压缩等领域。