12 冲激响应和二阶电路的零输入响应及正弦量
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第11章二阶电路-1零状态响应和全响应、冲激响应
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
R iL L + uL - + C uC –
uC(0+)=0, iL(0+)=1/L
uC A1e p1t A2e p2t
uC ( A1 A2t )e pt
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
(t 0)
iR (t)
50 uL (t) 50
1
2e 100t
sin100t
A
(t 0)
小结
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(t>0)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量； (5) 将初值r(0+)和r (0+)代入全解，定积分常数； (6) 讨论物理过程，画出波形等。
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
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t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
电路原理课件 二阶电路的冲激响应讲解
冲激响应电流为
i(t) ?
C duC (t) ? dt
s1
I0 ? s2
( s1e s1t
?
s2e s2t )ε(t )
s1 ? ? α ?
uc(t) ? 2C
I0
( e s1t ? e s2t ) ε ( t )
α2
?
ω
2 0
s2 ? ? α ?
α 2 ? ω02 α 2 ? ω02
i (t ) ? C du C ? dt 2
解：将R、L、C的值代入计算出固有频率
R s1，2 ? ? 2L ?
则
??
R
2
?? ?
1
? ?3?
? 2L ? LC
32 ? 52 ? ? 3 ? j4
uC(t) ? e?3t[ K1 cos(4t) ? K2 sin(4t)]
(t ? 0? )
uC (t )
?
e? 3t [
K1 cos4t
?
K2 sin(4t) ]
初始条件为
uC (0? ) ? uC (0? ) ? 0
uC?(0? ) ?
i(0? ) ? C
I0 C
A1 ? 0
? ?
? αA1 ?
A2
?
I0 ? C ??
A1 ? 0
A2 ?
I0 C
uC (t ) ?
I0t e?? t?(t)
C
i(t) ?
C
du dt
?
(1 ?
?
t)I0e?? t?(t)
非振荡放电（临界阻尼放电）
R s1,2 ? ? 2L ?
?
R
2
?
?? 2L ??
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
U0
A1 U 0，A2 U 0
uC U 0 (1 t )e
t
i
uc
duC U 0 t i C te dt L diL uL L U 0e t (1 t ) dt
o tm
uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C
场和磁场之间往返转移，这
U0 i(t) Im I m
o
种周而复始的过程称为“振
t
荡”。 若元件为理想的，称等幅 振荡；若电路中存在电阻， 幅度逐渐衰减为零，称衰减 振荡，也称阻尼振荡。
i + uC L
C
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应 (t=0) R L + uL C i 已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0， 求uC(t), i(t), uL(t), t 0
2L
1 0 — 谐振角频率 LC
ω0
δ
ω
2 0
2
— 固有振荡角频率
关系： 0 sin
0 cos
j
p1 j 0 cos j0 sin 0e
p2 j 0 cos j0 sin 0e j
激励的频率决定各响应的频率 自由振荡：电路自身决定 0 1 二阶以上电路存在
LC
谐 振： s 0
Hale Waihona Puke 13L L 临界电阻 3） R 2 两个相等负实根 R 2 C C R p1 p2 uC ( A1 A2t )e t 2L
A1 U 0，A2 U 0
uC U 0 (1 t )e
t
i
uc
duC U 0 t i C te dt L diL uL L U 0e t (1 t ) dt
o tm
uL
t
非振荡放电 临界阻尼现象
14
L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C
场和磁场之间往返转移，这
U0 i(t) Im I m
o
种周而复始的过程称为“振
t
荡”。 若元件为理想的，称等幅 振荡；若电路中存在电阻， 幅度逐渐衰减为零，称衰减 振荡，也称阻尼振荡。
i + uC L
C
若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼 情况（无振荡）。
3
2.RLC串联电路的零输入响应 (t=0) R L + uL C i 已知uC(0–) = U0, i(0–) = 0， 求uC(t), i(t), uL(t), t 0
2L
1 0 — 谐振角频率 LC
ω0
δ
ω
2 0
2
— 固有振荡角频率
关系： 0 sin
0 cos
j
p1 j 0 cos j0 sin 0e
p2 j 0 cos j0 sin 0e j
激励的频率决定各响应的频率 自由振荡：电路自身决定 0 1 二阶以上电路存在
LC
谐 振： s 0
Hale Waihona Puke 13L L 临界电阻 3） R 2 两个相等负实根 R 2 C C R p1 p2 uC ( A1 A2t )e t 2L
§12-3 二阶电路的阶跃响应和冲激响应
δ (t)V
s(t ) = (1 + K1e p1t + K 2 e p2t ) ε (t )
代入零初始条件：
1 + K 1 + K 2 = 0 K 1 p1 + K 2 p 2 = 0
p2 K1 = p p 2 1 p1 K 2 = p 2 p1
西南交通大学
p2 p1 p1t e p2t )ε (t ) s (t ) = (1 + e + p 2 p1 p 2 p1
ds(t ) p2 p1 p1t uc (t ) = h(t ) = = (e e p2t )ε (t ) dt p2 p1
而
1 p1 p 2 = LC
1 LC (e p1t e p2t )ε (t ) u c (t ) = h(t ) = p 2 p1
∴
西南交通大学
du c LC dt du c t =0+ dt t = 0 + RC [u c ( 0 + ) u c (0 )] +
∫
0+
0
u c dt = 1
∫
0+
0
uc dt :
uc不可能为冲激函数
∴
∫
0+
0
u c dt = 0
u c (0 + ) : uc也不可能在t=0时跳变（阶跃）
du c dt 1 t =0+ = LC
西南交通大学
LCp 2 + RCp + 1 = 0
以特征根为不等实根为例
p1 ≠ p 2
u c = K 1e
p1t
+ K 2e
p2t
du c = K 1 p1e p1t + K 2 p 2 e p2t dt
电路理论第11章二阶电路
R2
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
响应性质
等幅振荡 (无 阻尼 ) 衰减振荡 (欠阻尼 )
自由分量形式
K sin( 0t )
Ke t sin(t )
L t 相 等 的 实 根 非振荡放电 (临界阻尼 ) e ( A1 A2 t ) C
R2
L 不 等 的 实 根 非振荡放电 ( 过阻尼 ) C
u ,i uC O i
临界状 态
电流
12
电压:
U 0 t te L uL U 0e t (1 t ) i
2019年5月7日
uL
t
小结
第11章 11.1
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程。 2. 二阶电路用特征根来表示动态响应。 特征根
R 0 共轭虚根
L R2 共轭复根 C
A1e p1t A2e p2t
13
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结 构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
2019年5月7日
第11章 11.2
§11-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
零状态响应: 与一阶电路相同
阶跃响应: 二阶电路在阶跃激励下的零状态响应.
零状态响应 =强制分量+自由分量
duC U 0 t e sin t dt L
uL L
di 0 U 0e t sin( t ) dt
i C
C
+
-
L
t
11
2019年5月7日
第11章 11.1
L 3. R 2 C
临界情况
1 2
U0 ( p2e p t p1e p t ) 此时,p1,p2为两个相等的实根 uC p2 p1
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
2L
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
二阶电路的零状态响应
二阶电路的零状态响应
电路的响应指的是电路在不同输入下的输出情况，分为零状态响
应和零输入响应。
所谓零状态响应，指的是电路从某一时刻开始，经过一段时间后
的输出情况，而这段时间内电路的电容和电感等元件是没有存储能量的。
这种响应与电路的初始状态有关，在输入信号改变前电路中的电
势和电流已经存在了一些初值，这些初值会对电路的响应产生影响。
对于二阶电路而言，其响应可以用二阶微分方程来表示。
二阶微
分方程的通解形式为：
y(t) = C1 e^(αt) + C2 e^(βt)
其中，C1和C2为待定常数，α和β分别为根号下b^2-4ac得到
的两个实数或者共轭复数。
根据初值条件和输入信号，可以解得C1和
C2的值，然后带入通解中即可得到响应的具体表达式。
二阶电路的响应除了受到初值的影响外，还受到电路的频率特性
的影响。
根据电路的传输函数，可以得到电路的幅频特性和相频特性。
在实际应用中，需要调节电路的参数以满足特定的频率响应要求。
总之，二阶电路的零状态响应是电路在一定的初值状态下对输入
信号的响应，需要通过求解微分方程和考虑频率特性，来得到电路的
具体响应情况。
二阶电路的响应汇总
当 t 时, 电流有最大值, 即 : t
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
P
3
866
1.2ms
电流最大值为:
imax 11.5e
500*12*103
sin 866 *1.2 *103 5.44mA
变化曲线为:
u i
u (t )
0
t
i (t )
4、无阻尼等幅震荡
例题4： 右图电路中，已知 C 3800F ,U 0 14.14k 若线圈用很粗的导线绕制， 则在近似估 算中可以把它的电阻忽略不计。
代入公式：
U0 P2t 268t 3732t uc ( P2e P1t P e ) ( 10 . 77 e 0 . 773 e ) 1 P2 P 1 U0 i (e P1t e P2t ) 2.89(e 268t e 3732t )ma L( P2 P uc u L i 1)
可见，放电电流的峰值可达16.9kA 电容电压为:
uc u L U 0 sin( 0t ) 10 2 *10 sin( 314t ) 2 2
3
则：
A1 0 1
103 A1 A2 0
A1 1; A2 103
uc iL ic
变化曲线:
uc
故阶跃响应为：
iL
t ms
diL 6 103 t u L (t ) L 10 te e(t ) dt
0
ic
duc 3 103 t ic c (1 10 t )e e(t ) dt
解： 换路后电路微分方程为：
d 2 iL di LC 2 GL L iL is dt dt
uc iL ic
L25-2 二阶电路的零输入响应-过阻尼和欠阻尼
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
uC (t ) et ( A1 cos ωd t A2sinωd t )
uC(t)
i
+
uC_
i(t)
S (t =0) C
+ uL-
L
-
R uR
+
uC (0+ ) = A1
d uC dt
t 0
i(0+ ) C
A1 + ωd A2
uC_ C + uL-
L
R s1,2 = - 2L
( R )2 1 2L LC
jd
无阻尼，其响应为等幅振荡
主讲老师 : 唐 莺
第二十五讲 动态电路的暂态分析—— 二阶电路的零输入响应(二)
二阶电路的零输入响应（二）
例1
S (t =0)
+ U_ 1V 4Ω
R
+ 1F
uC_ C
L 1H
s2 + R s + 1 = 0 L LC
s1 2 + 3 = -0.268
s2 2 3 -3.732
s1,2
=
K 2e
jωd )t
et ( K1e jωd t K2e jωd t ) et [(K1 K2 )cos ωd t j(K1 K2 )sinωd t]
cos ωd t jsinωd t cos ωd t jsinωd t
二阶电路的零输入响应（二）
2. 欠阻尼
R<2 L C
ω0 )
R L
d uC dt
1 LC
uC
0
d2 uC dt2
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
第6章 二阶电路时域分析
当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小， 电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电 磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以 形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零； 另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次 转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已 经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、 电流将直接衰减到零。
e
t
sin t cos t 0 0
U 00
e t sin t
波形如图6.4所示。
uC , u L , i
U0 uC
iL
图6.4
在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，见表6-1。
y Ae t sin( t )
然后用初始值确定其中的待定系数 A与 。
（4）无阻尼的情况 无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
欠阻尼的情况 R 0, 0 时, p1 p2 为一对共轭虚数。
p1 j0
p2 j0
当 0时 ， 0
1 ， 2 LC
A1 U S 代入上述初始条件，解得： A2 PU S U S
uC (t ) ( A1 A2t )e P t U S
uL L
duC U0 (e p1t e p2t ) dt L( p2 p1 )
di U 0 ( p1e p1t p2e p2t ) dt ( p2 p1 )
波形
uC , u L , i
U0 uC
i
t max
o
2t max
t
uL
图6.2
uC (t ), iC (t ), uL (t ) 均为随着时间衰减的函数，电路的响应
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应
§12-2 二阶电路的零状态响应和全响应一、零状态响应：零状态网络[]0)0(,0)0(==−−L c i u 对外加激励产生的响应。
例3：t <0时电路处于稳态，求t ≥0时的电感电流。
LL t=0i s)()()(t i t i t i Lh Lp L +=sL LL i i dt di R L dt i d LC =++22解：)(t i Lp 取决于激励的形式)(t i Lh 其形式与零输入响应相同1) 21p p ≠（不相等实根）tp t p Lh e K e K t i 2121)(+=设ωαj p +−=1)cos sin ()sin()(21t K t K e t Ke t i t tLh ωωϕωαα+=+=−−或2) （共轭）21∗=p p ptLh e t K K t i )()(21+=3) p p p ==21（重根）注意：零初值代入i L 而非i Lh例4：图示电路，t<0时电路处于稳态。
t=0时开关K 由位置b 换到位置a 。
求t ≥0的u C 和i L 。
已知4,1,1,2s U V L H C F R ====Ω。
i L+-u c K (t =0)R U s0)0()0(==−+c c u u 0)0()0(==−+L L i i 解：0122=++p p 12,1−=p tch e t K K t u −+=)()(21Vt u cp 4)(=4)()(21++=−tc e t K K t u 代入初值0)0(=+c u 0)0(0==++C i dt du L csc ccU u dt du RC dt u d LC =++22401+=K 120K K −=41−=K 42−=K ()(44) 4 0tc u t t e V t −=−−+≥()()4 0tc L du t i t C te A t dt −==≥二、全响应两种求法：(1) 全响应= 零输入响应+ 零状态响应(2) 与零状态响应求法相同例5：图示电路t<0时电路处于稳态，t=0时开关K 由位置1换到位置2，求换位后电容电压的变化规律。
一二阶电路阶跃、冲激响应
稳态时，电感相当于短路，因 此电路中的电压为零，电流等 于输入电压除以电阻。
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
二阶电路
t=2 tm时 uL 最大
di U0 p t p t uL L ( P1e 1 P2e 2 ) dt ( P2 P1 )
iC=i为极值时的tm即uL=0时的 t,计算如下:
( P1 e
p1t
P2 e
p2 t
)0
P2 e P1t m Pt P1 e 2 m
p2 n p1 tm p1 p2
i
uc(0－)=0 ,iL(0－)=0
微分方程为： +
L R
L
Ee( ) t
C -
u C
d uc duc LC RC uc E dt dt
求通解的特征方程为；
2
LCP 2 RCP 1 0
uc u u
' c
" c
特解: 特解
u E
" c
通解
uc解答形式为：
uc E A1e
t
小结：
L R2 过阻尼， 非振荡放电 C
uc A1e
p1t
A2 e
p 2t
L uc A1e t A2 te t R2 临界阻尼， 非振荡放电 C L uc Ae t sin(t ) R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uc ( 0 ) 由初始条件 duc (0 ) dt
t=0+ ic=0 , t= i c=0
ic>0 t = tm 时ic 最大 0< t < tm i增加, uL>0
di U0 p1t p2 t uL L ( P1e P2e ) t > t i 减小, u <0 m L dt ( P2 P1 )
第七章 二阶电路
p1.2 R 1 R 2L 2 L LC
2
S（t=0） + uC(t) _ i
R + uR (t) -
iL ( t ) + uL(t) _
R、L、C 串联的二阶电路
一、过阻尼情况——非振荡放电过程
过阻尼的条件 当 R2 L C 率) 。
uC (0 ) U 0
uc uc max
i L i Lmax
iL(t )
t K
振荡放电过程的响应曲线
欠阻尼时的响应曲线
U0 uC(t )
U 0 0 t e
O
-
2
t
iL(t )
振荡放电过程的响应曲线
四、无阻尼的情况
R=0
p1.2
R 1 R 2L 2 L LC
1 p tm ln 2 p1 p2 p1
iL(t ) O tm 非振荡放电过程的响应曲线 t
过阻尼时的响应曲线
+
S（t=0）
R + uR (t) -
iL ( t ) + uL(t) _
uC(t)
U0
_ i R、L、C 串联的二阶电路
uC(t ) I0
能量分析
O tm
iL(t ) t
uC (t )
e j e j cos 2
7-1 二阶电路的零输入响应
一、问题的提出
一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应 二阶电将将出现动态元件之间的能量交换 RLC串联电路的简单物理过程分析
S（t=0） + uC(t) _ i R、L、C 串联的二阶电路 R + uR (t) iL ( t ) + uL(t) _
2
S（t=0） + uC(t) _ i
R + uR (t) -
iL ( t ) + uL(t) _
R、L、C 串联的二阶电路
一、过阻尼情况——非振荡放电过程
过阻尼的条件 当 R2 L C 率) 。
uC (0 ) U 0
uc uc max
i L i Lmax
iL(t )
t K
振荡放电过程的响应曲线
欠阻尼时的响应曲线
U0 uC(t )
U 0 0 t e
O
-
2
t
iL(t )
振荡放电过程的响应曲线
四、无阻尼的情况
R=0
p1.2
R 1 R 2L 2 L LC
1 p tm ln 2 p1 p2 p1
iL(t ) O tm 非振荡放电过程的响应曲线 t
过阻尼时的响应曲线
+
S（t=0）
R + uR (t) -
iL ( t ) + uL(t) _
uC(t)
U0
_ i R、L、C 串联的二阶电路
uC(t ) I0
能量分析
O tm
iL(t ) t
uC (t )
e j e j cos 2
7-1 二阶电路的零输入响应
一、问题的提出
一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应 二阶电将将出现动态元件之间的能量交换 RLC串联电路的简单物理过程分析
S（t=0） + uC(t) _ i R、L、C 串联的二阶电路 R + uR (t) iL ( t ) + uL(t) _
8-10 二阶电路的冲激响应
uL1(0+)= US =12V uL2(0+)= - 12V
di1 u1 (0+ ) = 12 ( A / s ) (0+ ) = dt L1
di2 u2 (0+ ) = −12 ( A / s ) (0+ ) = dt L2
di1 L1 + ( R1 + R3 ) i1 − R3i2 = U S dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 + ( R1 + R3 ) − R3 =0 dt dt dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 (0+ ) + ( R1 + R3 ) (0+ ) − R3 (0+ ) = 0 dt dt dt d 2 i1 2 (0 + ) = − 48 ( A / s ) 2 dt
t>0
duC 1 t R C + ∫ uC dt + uC = e(t ) = 0 L 0+ dt d 2 uC duC +8 + 12uC = 0 2 dt dt uC (t ) = uCp (t ) + uCh (t ) = A1e −2 t + A2 e −6t duC (t ) iC (t ) = C = −2 A1e −2 t − 6 A2 e −6 t dt A1 + A2 = 8 A1 = −4 − 2 A − 8 A = − 64 1 2 A2 = 12
i
R iL
iC
画出 t=0 时刻的等效电路 iL(0-)=0 uC(0-)=0
e (t) δ (t)
L
C
iC (0) =
1 uC (0+ ) = uC (0− ) + C
di1 u1 (0+ ) = 12 ( A / s ) (0+ ) = dt L1
di2 u2 (0+ ) = −12 ( A / s ) (0+ ) = dt L2
di1 L1 + ( R1 + R3 ) i1 − R3i2 = U S dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 + ( R1 + R3 ) − R3 =0 dt dt dt d 2 i1 di1 di2 L1 2 (0+ ) + ( R1 + R3 ) (0+ ) − R3 (0+ ) = 0 dt dt dt d 2 i1 2 (0 + ) = − 48 ( A / s ) 2 dt
t>0
duC 1 t R C + ∫ uC dt + uC = e(t ) = 0 L 0+ dt d 2 uC duC +8 + 12uC = 0 2 dt dt uC (t ) = uCp (t ) + uCh (t ) = A1e −2 t + A2 e −6t duC (t ) iC (t ) = C = −2 A1e −2 t − 6 A2 e −6 t dt A1 + A2 = 8 A1 = −4 − 2 A − 8 A = − 64 1 2 A2 = 12
i
R iL
iC
画出 t=0 时刻的等效电路 iL(0-)=0 uC(0-)=0
e (t) δ (t)
L
C
iC (0) =
1 uC (0+ ) = uC (0− ) + C
电路原理第8章 二阶电路
31
图8.10 R，L，C电路的冲激响应
图8.11 ｔ＞0时图8.10的等效电路
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
8.4 卷积积分
前面分析研究了线性电路的零状态响应，其外加电源激励都是一 些规则的波形。如果外加电源激励是一些不规则的波形，即它们是一 些任意波形，则可以用卷积积分来计算它的零状态响应。 8.4.1 卷积积分的定义
30
8.3 二阶电路的冲激响应 当冲激电源作用于零状态电路，其响应称为冲激响应。要计算二 阶电路的冲激响应，可以采用与计算一阶电路的冲激响应相同的方法， 即从冲激电源的定义出发，直接计算冲激响应；也可以利用已经学习过 的一阶电路的冲激响应与阶跃响应的关系，即一阶线性电路的单位阶 跃响应对时间ｔ的微分就是该电路的单位冲激响应。对于二阶电路，这 个结论仍然适用。在此以计算图8.10所示电路的冲激响应uC为例。
图8.16 8.3 确定图8.17所示电路中电容电压、电感电流，其初始值分别 为uC(0＋)，iL(0＋)，设电路激励分别为
①iS＝ε(ｔ)Ａ，uS＝10ε(ｔ)V；
②iS＝δ(ｔ)Ａ，uS＝10δ(ｔ)V。
51
图8.17
52
8.4 图8.18所示电路已知ＵS＝δ(ｔ)V，R＝1Ω，L＝1Ｈ，C＝1Ｆ， 试求电路的冲激响应uC，iL。
设有两个时间函数：f1(t)和f2(t)［在t<0时，f1(t)=f2(t)=0］，则
42
43
8.4.2 用卷积积分计算任意激励的零状态响应 图8.13所示激励函数ｅ(ｔ)作用于一个线性电路，假定此电路的 单位冲激响应ｈ(ｔ)已知，则可按下述方法计算电路在ｅ(ｔ)作
二阶电路的零输入响应基础知识讲解
uc E A1e t A2te t ( P1 P2 )
uc E Ae t sin(t ) (P1、2 j )
uc E
由初值
uc (0 ) duc (0 ) dt
确定二个常数
t
例
k 2A
0.5 u1
+
u-1
2W 2W
i1
1/6F
1H
2-i
2W
i
求所示电路 i 的
零状态响应。
(1) R 2 L C
uc A1e p1t A2e p2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
i(0 ) C duc (0 ) dt
P1 A1 P2 A2 0
uc
U0 P2 P1
( P2e P1t
P1e P2t )
A1
P2
P2
P1
U
0
A2
P1 P2 P1
U0
uc
解
第一步列写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL：
2(2
i
)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得：
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
二阶非齐次常微分方程
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
解答形式为： i i' i"
第二步求通解i ‘
t
0 < t <
+
R
-C
L
< t < -
+
R
-C
L
uc E Ae t sin(t ) (P1、2 j )
uc E
由初值
uc (0 ) duc (0 ) dt
确定二个常数
t
例
k 2A
0.5 u1
+
u-1
2W 2W
i1
1/6F
1H
2-i
2W
i
求所示电路 i 的
零状态响应。
(1) R 2 L C
uc A1e p1t A2e p2t
uc (0 ) U0 A1 A2 U0
i(0 ) C duc (0 ) dt
P1 A1 P2 A2 0
uc
U0 P2 P1
( P2e P1t
P1e P2t )
A1
P2
P2
P1
U
0
A2
P1 P2 P1
U0
uc
解
第一步列写微分方程
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)2 = 2i －2
由KVL：
2(2
i
)
2i1
6
i1dt
di dt
2i
整理得：
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
二阶非齐次常微分方程
d 2i dt 2
8
di dt
12i
12
解答形式为： i i' i"
第二步求通解i ‘
t
0 < t <
+
R
-C
L
< t < -
+
R
-C
L
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e
1t
1U 0 2 1
e
2t
(t 0 )
uC
2U 0 2
. U.
1
0
uC
0
t
1U 0 2 1
.
南京理工大学
电路
6.12 二阶电路的零输入响应
曲线
iL (t ) U0 L ( 2 1 ) e
2t
U0 L ( 2 1 )
加性求得任意阶跃函数作用下的总零状态响应。
2. 求初始储能作用下一阶电路的零输入响应. 3. 任意阶跃函数作用下一阶电路的全响应.
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
电路 南京理工大学
第6章 一阶电路和二阶电路
目 录
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13
+ + uC(t) _ 6V _
1A
1H
.
电路
.
i1(t)
i2(t)
.
.
iL(t)
南京理工大学
一阶电路例题
t > 0, 独立源置零后:
.
1Ω
.
4Ω 4Ω
+ uC(t) _
1F
2Ω
1H
电路
南京理工大学
6.9 一阶电路的阶跃响应
*步骤
1. 先求任意阶跃函数作用下一阶电路的零状态响应. 首先求电路的单位阶跃响应，其次利用延时性、齐次 性求出各阶跃分量激励下的电路零状态响应，最后根据叠
3. 筛分性质
二、 单位冲激响应
三、单位阶跃函数和单位冲激响应的关系
电路
南京理工大学
6.10 一阶电路的冲激响应
一、冲激函数δ(t) （Impulse Function） 1、定义 单位冲激函数δ(t)的定义为
t 0 0 0 (t ) (t ) d t = 0 (t ) d t 1
R 2L
(
R 2L
)
2
1 LC
0
p2
R 2L
(
R 2L
1 LC
)
2
1 LC
@ 2
2
R 2L
(
R 2L
)
2
1 LC
0
1 2
电路
, 2 1
u C ( t ) K 1e
1t
K 2e
2t
南京理工大学
6.12 二阶电路的零输入响应
6.8 一阶电路的三要素法
t > 0, 独立源置零后:
3Ω 10kΩ 10μF
+ uC _ iL 0.1H 3Ω
电路
南京理工大学
一阶电路例题
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时打开S， 求： 0 时的i1(t)和i2(t) t
.
1Ω
. .
1F
2Ω
S (t=0)
. .
. .
.
4Ω 2A 4Ω
0 ( ) d 1
t
t 0 t 0
(t )
(t )
d (t ) dt
电路
南京理工大学
6.10 一阶电路的冲激响应
3、δ(t) 的筛分性质
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) ( t t0 ) f (t0 ) ( t t0 )
p 1,2 RC ( RC ) 4 LC
2
2 LC
电路
南京理工大学
6.12 二阶电路的零输入响应
p 1,2
RC
( RC ) 4 LC
2
2 LC
2 L C
1. p1, p2为一对不相等的负实根 ( R
u C ( t ) K 1e
p1 t
)
K 2e
p2t
— 过阻尼非振荡工作状态
e
2t
(t 0 )
iL ( t ) C
d u C (t ) dt
1 2 C U 0
2 1
1 )
1t
e
1t
1 2 C U 0 2 1
e
2t
(因 1 2＝
U 0
LC
e U0 L ( 2 1 )
1t
(t )
强度为1
1
0
电路
t
南京理工大学
6.10 一阶电路的冲激响应
单位冲激函数δ(t)可以看成是一个单位矩形脉冲的极限.
( t ) lim p ( t )
0
p ( t )
1
(t )
1 t t
0
0
电路
南京理工大学
6.10 一阶电路的冲激响应
2、δ(t)与ε(t)的关系
.
uL
0
-U0.
t
2U 0 2 1
.
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电路
6.12 二阶电路的零输入响应
三条曲线在同一个坐标
U0 uC(t) uL(t) 0 t1 t2 iL(t) -U0
u L ( t1 ) 0 t1 d u L (t ) dt
从图中可以看出，uC和iL始终 不改变方向，即电容在整个 过程中一直在释放储能，故 称非振荡性放电，又称过阻 尼放电。
R＝ 2 L C
2. p1, p2为一对相等的负实根 (
u C ( t ) K 1e
p1 t
)
K 2te
p1 t
— 临界阻尼非振荡工作状态
2 L C
3. p1, p2为一对共轭复根 ( R
p1, 2 j u C (t ) e
电路
t
)
( K 1 co s t K 2 sin t )
6.10 一阶电路的冲激响应
三、单位冲激响应与单位阶跃响应的关系
线性电路又一个性质：
(t ) h(t )
d (t ) dt ds(t ) dt
电路
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6.10 一阶电路的冲激响应
例：求uC(t)的单位阶跃响应和单位冲激响应。
6Ω + _ (t ) 3Ω 0.5F
电路
南京理工大学
6.12 二阶电路的零输入响应
2 d uC duC RC u C 0 (t 0 ) LC 2 dt dt I0 i L (0 ) u (0 ) U , d u C 0 C 0 dt t0 C C
特征方程：L C p 2 R C p 1 0
作业
6-35
电路
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6.8 一阶电路的三要素法
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时合上Q， 求： 0 时的iL(t)和uC(t) t
3Ω 10kΩ 10μF
+ uC _ Q(t=0) + _ 6V iL 0.1H 3Ω
1A
可利用独立源置零，判断是否为一阶电路:
电路
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— 欠阻尼振荡工作状态
6.12 二阶电路的零输入响应
p 1, 2
RC
(RC ) 4LC
2
R 2L
2 LC
L C
1 R LC 2L
2
1.
p1 R 2L
R 2
— 过阻尼非振荡工作状态
1 LC @ 1
(
R 2L
)
2
1
1U 0
, K2
2 1
e
2t
u C (t )
2U 0 2 1
1U 0 2 1
(t 0 )
电路
南京理工大学
6.12 二阶电路的零输入响应
u C (t )
2U 0 2 1
e
1t
1U 0 2 1
( t )A
R C
+ uC(t)=h(t) _
分析
uC ( 0 - ) 0 uC ( 0 ) 0 , uC ( 0 ) ? 由C d uC dt d uC dt uC ( t ) R dt
0 0
( t )得 uC ( t ) R dt
电路
0 0
C
+ uC(t) _
s(t ) h( t )
电路
1 3
(1 e
t
) ( t )V
ds(t ) dt 1 3 1 3 e
t
e
t
(t ) (t ) V
1 3
(1 e
t
) (t)
南京理工大学
6.12 二阶电路的零输入响应
一阶电路：用一阶微分方程描述的电路.
. .
S (t=0)
+ uR(t) _
R L
iL(t)
C
+
KVL：u L
u R uC 0
+ uL(t) _
(t 0 )
2 d uC duC RC u C 0 (t 0 ) LC 2 dt dt I0 i L (0 ) u (0 ) U , d u C 0 C 0 dt t0 C C
电路
电容元件 电感元件 一阶电路 电路的初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 一阶电路的三要素法 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应 卷积积分 二阶电路的零输入响应 二阶电路的零状态响应和阶跃响应