北京五中上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)

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北京市高二上学期期中数学试卷(理科)

北京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：任意 ,都有，则“非 ”：存在，使；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题：存在，使命题：△ABC 中，其中正确的个数是（）A.B.C.D.；，那么命题“‘非 ’且 ”为真命题．2. （2 分） (2018 高二上·南宁月考) 设 p:,q:的必要不充分条件,则实数的取值范围是（）,若 q 是 pA.B.C.D.第 1 页共 14 页3. （2 分）设 a、b 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（） A . 若 a⊥b，a⊥α，b⊄α，则 b∥α B . 若 a⊥b，a⊥α，b⊥β，则 α⊥β C . 若 a⊥β，α⊥β，则 a∥α 或 a⊊α D . 若 a∥α，α⊥β，则 a⊥β 4. （2 分）在△ABC 中，sinA=sinB 是△ABC 为等腰三角形的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件5. （2 分）已知命题：函数为偶函数，则的图象关于直线的图象恒过定点；命题：若函数对称．下列命题为真命题的是（）A.B.C.D.6. （2 分）已知 m,n 是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的是（）A.若,则B.若 C.若,则 ,则D.若,则第 2 页共 14 页7. （2 分）下列语句中，是命题的个数是（） ①|x+2| ②－5∈Z ③π R ④{0}∈N A.1 B.2 C.3 D.4 8. （2 分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A . 45 B . 36 C . 30 D.6 9. （2 分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（） A . 圆锥 B . 圆柱 C . 球体 D . 以上都有可能 10. （2 分） (2017·安徽模拟) 如图，正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 BC 和 AD 的中点，则直线 AE 和 CF 所成的角的余弦值为（）第 3 页共 14 页A.B.C.D.11. （2 分） (2017·浙江) 如图，已知正四面体 D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为 AB、BC、CA 上的点，AP=PB，==2，分别记二面角 D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为 α、β、γ，则（）A . γ＜α＜β B . α＜γ＜β C . α＜β＜γ D . β＜γ＜α 12. （2 分）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为 9，高为 3，则其外接球的表面积为（） A . 9πB.第 4 页共 14 页C . 16πD.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分）设向量 =（1，3m﹣1，n﹣2）， =（2，3m+1，3n﹣4），若 ∥ ，则 =________14. （1 分） (2016 高二上·临川期中) 已知 c＞0，设命题 p：函数 y=cx 为减函数．命题 q：当 x∈[ ， 2]时，函数 f（x）=x+ ＞恒成立．如果“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，则 c 的取值范围是________．15. （1 分） (2018·杨浦模拟) 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 3、3、2 的三角形，则该圆锥的体积是________16. （1 分）在棱长为 2 的正方体 A1B1C1D1﹣ABCD 中，则点 B 到平面 A1B1CD 的距离是________三、解答题 (共 6 题；共 35 分)17. （5 分）已知 c＞0，设 p：函数 y=cx 在 R 上单调递减；q：函数 g（x）=lg（2cx2+2x+1）的定义域为 R，若“p 且 q”为假命题，“p 或 q”为真命题，求 c 的取值范围．18. （5 分） (2016 高二下·日喀则期末) 已知 p：|m﹣ 必要不充分条件．求实数 m 的取值范围．|≤2；q：|x﹣2|+|x﹣3|＞3．若￢p 是￢q 的19. （5 分） (2017 高三·三元月考) 如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面 SAB；（Ⅱ）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小．第 5 页共 14 页20. （5 分） (2017·昌平模拟) 在四棱锥 P﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．（Ⅰ）求证：平面 PCD⊥平面 PAD；（Ⅱ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱 CD 上是否存在点 M，使得 AM⊥平面 PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21. （10 分） (2019 高二上·长治期中) 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，（1）证明：平面；（2）若的面积为，求点到平面的距离．22. （5 分） (2017 高二下·惠来期中) 如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为第 6 页共 14 页PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC；（Ⅱ）设二面角 D﹣AE﹣C 为 60°，AP=1，AD= ，求三棱锥 E﹣ACD 的体积．第 7 页共 14 页一、选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页共 14 页16-1、三、解答题 (共 6 题；共 35 分)17-1、18-1、19-1、第 9 页共 14 页第 10 页共 14 页21-1、21-2、22-1、。

北京市高二上学期期中数学试卷(理科)

北京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（）A . 外离B . 外切C . 相交D . 内切2. （2分）如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2分） (2017高二下·株洲期中) f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣ x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④4. （2分）若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . +πB . +2πC . 2 +2πD . 2 +π6. （2分） (2017高一上·武邑月考) 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线成,那么B 点轨迹是（）.A . 双曲线B . 椭圆C . 抛物线D . 两直线8. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是（）A . 4C .D .10. （2分） (2016高二上·合川期中) （理）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ，1]C . [ ， ]D . [ ，1]11. （2分） (2016高一下·钦州期末) 圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A . （﹣2，3），4B . （﹣2，3），16C . （2，﹣3），4D . （4，﹣6），1612. （2分）直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A .C .D .二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________14. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．15. （1分）长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，则它的全面积为________．16. （10分）(2018·郑州模拟) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且， .（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2015高二上·和平期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E为PC的中点，EF⊥PB，垂足为F点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求异面直线BE与PA所成角的大小．18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．19. （5分）(2017·漳州模拟) 如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ，如图2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）若二面角A﹣DE﹣C1的大小为，求三棱锥C1﹣AB1D的体积．20. （15分） (2015高二下·广安期中) 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD= ，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（1）求证：AD⊥PB；（2）若Q是PC中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；（3）若，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．21. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．22. （10分） (2016高二上·德州期中) 已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

北京市五中高三数学上学期期中考试试题理

北京市五中2022届高三数学上学期期中考试试题理班级姓名学号成绩一.选择题〔每题5分，共40分〕1.设全集,R I =假设集合}.02{},2{2>--=>=x x x N x x M 那么以下结论正确的选项是 ( )2.非零实数a 、b 满足,b a >那么以下不等式中成立的是( )3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，21,632==S a 那么公比q 等于( ).A 2.B 21.C 2或21.D 2-或21- 4.假设点),(y x P 是︒300角终边上异于原点的一点,那么xy的值为( ) 5.点)0,1(),0,1(B A -,C 为平面内一动点,且满足,2BC AC =那么点C 的轨迹方程为( )6.对函数,sin )(x x x f ⋅=现有以下命题:①函数)(x f 是偶函数; ②函数)(x f 的最小正周期是;2π ③点)0,(π是函数)(x f 的图像的一个对称中心; ④函数)(x f 在区间]2,0[π上单调递增,在区间]0,2[π-上单调递减.其中是真命题的是( ) .A ①③.B ①④.C ②③.D ②④7.设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 那么15152211,,,a S a S a S 中最大的项为( )8.假设关于b a ,的代数式),(b a f 满足:①;),(a a a f =②);,(),(b a kf kb ka f = ③);,(),(),(22112121b a f b a f b b a a f +=++④).2,(),(ba b f b a f += 那么=),(y x f ( )二.填空题〔每题5分，共30分〕9.,53sin =α且),,2(ππα∈那么αα2cos 2sin 的值等于.________,32==a 、b 的夹角为,60︒那么._____2=-a11.函数),52sin(2)(ππ+=xx f 对任意的,R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，那么21x x -的最小值为.________12.AC BD 、为⊙O :922=+y x 的两条相互垂直的弦，垂足为),3,2(M 那么四边形ABCD 的面积的最大值为. 13.函数)1(121)1(2>-=+-+-a y abx x a 的定义域为,R 那么a b 3-的取值范围是14.在平面直角坐标系中,定义2121),(y y x x Q P d -+-=为两点),,(11y x P),(22y x Q 之间的“折线距离〞.那么坐标原点O 与直线0522=-+y x 上一点的“折线距离〞的最小值为_______;圆122=+y x 上一点与直线0522=-+y x 上一点的“折线距离〞的最小值为.________ 三.解答题(此题总分值80分) 15.(此题总分值13分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为),1,sin (),2,(,,,A n b a m c b a ==且n m //. ⑴求B 的值；⑵求C A sin cos +的取值范围. 16.(此题总分值13分):以点)0,()2,(≠∈m R m mm C 为圆心的圆与x 轴交于点O 、,A 与y 轴交于点O 、,B 其中O 为原点.(1)求证:OAB ∆的面积为定值;(2)设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、,N 假设,ON OM =求⊙C 的方程. 17. (此题总分值13分)四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为2的正方形,⊥PD 底面ABCD , E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点. (1)求证://DE 平面;PFB (2)二面角C BF P --的余弦值为,66 求四棱锥ABCD P -的体积. 18. (此题总分值13分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,54第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为),(,q p q p >且不同课程是否取得PFED CBA优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望.ξE19.(此题总分值14分)函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数．(1)设函数)(x f 的图象与x 轴交点为,A 曲线)(x f y =在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值；(2)假设函数()'()ax g x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间． 20.(此题总分值14分)设等差数列}{n a 的公差,0≠d 且),(0*∈≥N n a n 记n S 为数列}{n a 的前n 项和. (1)假设2a 、3a 、5a 成等比数列,且5a 、6a 的等差中项为,36求数列}{n a 的通项公式;(2)假设m 、n 、,*∈N p 且,2p n m =+证明：;211pn m S S S ≥+ (3)假设,10051503≤a 证明:.2008111200721>+++S S S答案一.选择题1.D2.A3.C4.D5.B6.B7.C8.A 二.填空题9.23-10.13 11.2 12.11 13.)3,(--∞ 14.255(第一空2分,第二空3分)三.解答题15.解: 16.解:(1)由可设⊙C 的方程为:2,4)2()(2222 m m m y m x +=-+-分分别令,0,0==x y 易知4),4,0(),0,2( m B m A 分,4422121=⋅=⋅=∴∆mm OB OA S AOB 故OAB ∆的面积为定值64 分. (2)C ON OM ,= 为圆心,8 MN CO ⊥∴分,1-=⋅∴MN CO k k 而直线MN 的方程为,42+-=x y102,21222 ±=∴===∴m m m m k CO 分当2-=m 时,⊙C 与直线MN 相离,不合题意舍去……11分所以⊙C 的方程为13.5)1()2(:22 =-+-y x 分 17.解:(2)以D 为原点,直线DP DC DA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系.设,a PD =可得如下点的坐标:).0,2,2(),0,0,1(),,0,0(B F a P那么有7).0,2,1(),,0,1( =-=FB a PF 分因为⊥PD 底面,ABCD 所以平面ABCD 的一个法向量为8).1,0,0( =m 分设平面PFB 的一个法向量为),,,(z y x n =那么可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n FB n PF 即⎩⎨⎧=+=-020y x az x令,1=x 得,21,1-==y a z 所以10).1,21,1( an -=分由,二面角C BF P --的余弦值为,66所以得,661451,cos 2=+>=<aa n m 122 =∴a 分13.384231 =⨯⨯=∴-ABCD P V 分18.解：事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩〞，i =1,2,3，由题意知14()5P A =，2()P A p =，3()P A q =2 分(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩〞与事件“0ξ=〞是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是61191(0)1125125P ξ-==-=，4 分答: 该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是.125119(2)由题意知整理得 6125pq =，1p q += 由p q >，可得35p =，25q =.8 分19.解:(1)∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，∴2'()1f x x ax =++． ∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-，∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩，即1=a ，611-=b . ……5分 (2)'()()ax f x g x e=21axx ax e ++=()x R ∈． '()g x =22(2)(1)()ax ax ax x a e a x ax e e +-++2[(2)]axx ax a e -=-+-.……7分 ①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．②当0a >时，令'()0g x =，得0x =或2x a a=- 〔ⅰ〕当20a a->，即0a <<时， ()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a-+∞；〔ⅱ〕当20a a-=，即a ='()g x =2220x x e -=-≤，故()g x 在(,)-∞+∞单调递减；〔ⅲ〕当20a a-<，即a >()g x 在22(,0)a a -上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a--∞上单调递综上所述，当0a =时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <<时，()g x 的单调递增区间为22(0,)a a-，单调递减区间为(,0)-∞，当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >时，()g x 的单调递增区间为22(,0)a a -，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a--∞．……14分20.解:(1)由得,5223a a a ⋅=即),4)(()2(1121d a d a d a ++=+化简得:,01=⋅d a ,0≠d .01=∴a 而,7265=+a a 即.8,72921=∴=+d d a 故4.88 -=n a n 分(3).2007221)11(21110042007110042008200712007S S S S S n n n n a n n=≥+=∑∑∑=-== 而,100510041004)502(10042100310041004503111004≤=+≤⨯+=a d a d a S .1004100511004≥∴S14.200810042007100520071100420071 >⨯≥≥∴∑=S S n n分。

2017-2018学年北京市平谷五中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2017-2018学年北京市平谷五中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每题5分，共60分）1．（5分）某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶3．（5分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）A．∀x∈R，x2+2x+1＞0 B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数5．（5分）如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15，20]内的频数（）A．20 B．30 C．40 D．506．（5分）已知A（﹣1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣10 B．17 C．5 D．27．（5分）经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（）A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=08．（5分）设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．109．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x12．（5分）已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（）A．x2=2y﹣1 B．x2=2y﹣C．x2=y﹣ D．x2=2y﹣2二、填空题（共8小题，每题5分，共40分）13．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．14．（5分）椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于．15．（5分）已知双曲线上的一点P到双曲线一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离等于．16．（5分）双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于．17．（5分）已知抛物线经过点M（3，﹣2），则抛物线的标准方程为．18．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是．19．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为．20．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．三、解答题（共5题，每题10分，共50分）21．（10分）△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE的方程．22．（10分）k代表实数，方程kx2+2y2﹣8=0（1）讨论k为何值时表示椭圆；（2）讨论k为何值时表示双曲线．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．24．（10分）已知椭圆的左焦点为F1，直线l：y=x﹣2与椭圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求△F1AB的面积．25．（10分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B 关于点M对称，求直线L的方程．2017-2018学年北京市平谷五中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每题5分，共60分）1．（5分）某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：所有的基本事件的个数为=6 个，有中国人的基本事件有=3个，故选出的两人中有中国人的概率为=，故选：C．2．（5分）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（）A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选：C．3．（5分）设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）A．∀x∈R，x2+2x+1＞0 B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【解答】解：对A，是全称命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是真命题，但不是全称命题，故B不正确；对C，是全称命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称命题，故D不正确，故选：C．5．（5分）如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15，20]内的频数（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：如图，第一个小矩形的面积为0.04×5=0.2，第二个小矩形的面积为0.1×5=0.5，故[15，20]对应的小矩形的面积为1﹣0.2﹣0.5=0.3样本落在[15，20]内的频率为0.3，样本落在[15，20]内的频数为0.3×100=30，故选：B．6．（5分）已知A（﹣1，a）、B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣10 B．17 C．5 D．2【解答】解：由平行直线斜率相等得：，∴a=2故选：D．7．（5分）经过圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心且斜率为1的直线方程为（）A．x﹣y+3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+3=0【解答】解：由题意知，直线过点（﹣1，2），斜率为1，代入点斜式得，y﹣2=x+1，即直线方程为x﹣y+3=0．故选：A．8．（5分）设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．10【解答】解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，故选：D．9．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选：A．10．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选：B．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．12．（5分）已知F是抛物线y=x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（）A．x2=2y﹣1 B．x2=2y﹣C．x2=y﹣ D．x2=2y﹣2【解答】解：抛物线y=x2的焦点为F（0，1），设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，设Q（x，y）是PF中点，则：x=，y=，即p=2x，q=2y﹣1，代入p2=4q得：（2x）2=4（2y﹣1），即为x2=2y﹣1．故选：A．二、填空题（共8小题，每题5分，共40分）13．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于．【解答】解：由题意，∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b∴∴=故答案为：14．（5分）椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于﹣1．【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程+=1，则c2=﹣1=4，解得k=﹣1，满足＞1，故k=﹣1．故答案为﹣1．15．（5分）已知双曲线上的一点P到双曲线一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离等于13．【解答】解：根据题意，双曲线中上，有a==5，若P在双曲线上，设双曲线的两个焦点为M、N，且|PM|=3，则有||PM|﹣|PN||=2a=10，则|PN|=13或﹣7（舍），故|PN|=13，故答案为：1316．（5分）双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（2，0），其渐近线方程为y=±x，所以所求的距离为=．故答案为：．17．（5分）已知抛物线经过点M（3，﹣2），则抛物线的标准方程为y2=x或x2=﹣y．【解答】解：根据题意，抛物线经过点M（3，﹣2），则抛物线开口向右或向下，若抛物线开口向右，设抛物线的方程为y2=mx（m＞0），代入M（3，﹣2），可得4=3m，解可得m=，则其标准方程为y2=x，若抛物线开口向下，或设抛物线的方程为x2=ny（n＜0），代入M（3，﹣2），可得9=﹣2n，解可得n=﹣，则抛物线的方程为x2=﹣y，综上可得，抛物线的标准方程为y2=x或x2=﹣y，故答案为：y2=x或x2=﹣y．18．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是6．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，∴其准线l的方程为：x=﹣2，设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2∵点P到y轴的距离是4，∴x0=4∴|PF|=4+2=6．故答案为：6．19．（5分）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（2，2）．【解答】解：由题意得F（，0），准线方程为x=﹣，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3﹣（﹣）=．把y=2代入抛物线y2=2x 得x=2，故点M的坐标是（2，2），故答案为：（2，2）．20．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故答案为：x=﹣1．三、解答题（共5题，每题10分，共50分）21．（10分）△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE的方程．【解答】解：（1）BC边所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为：x+2y﹣4=0．（2）线段BC的中点D（0，2），可得BC边上中线AD所在直线的方程：=1，化为：2x﹣3y+6=0．（3）k DE=﹣=2．∴BC边的垂直平分线DE的方程为：y=2x+2．22．（10分）k代表实数，方程kx2+2y2﹣8=0（1）讨论k为何值时表示椭圆；（2）讨论k为何值时表示双曲线．【解答】解：根据题意，方程kx2+2y2﹣8=0变形可得+=1，（1）若方程表示椭圆，则有＞0且≠4，解可得k＞0且k≠2，则当k＞0且k≠2时，方程表示椭圆；（2）若方程表示双曲线，则有＜0，解可得k＜0，则当k＜0时，方程表示双曲线．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．【解答】解：由已知可得A（2，0），B（0，2），C（1，1），解得抛物线方程为y2=x于是焦点∴点F到直线AB的距离为24．（10分）已知椭圆的左焦点为F1，直线l：y=x﹣2与椭圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求△F1AB的面积．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为+=1和y=x﹣2相交，把两个方程联立，得代入得到x2+2（x﹣2）2﹣8=0，即3x2﹣8x=0，解得x1=0，x2=所以y1=﹣2，y2=，所以|AB|==；（Ⅱ）法一：因为点F1（﹣2，0）到直线y=x﹣2的距离为d==2，所以=|AB|•d=××2=法二：直线y=x﹣2通过椭圆的右焦点F2（2，0），的面积为=|F1F2|•|y1﹣y2|=×4×=．则△ABF25．（10分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，（1）求椭圆的方程（2）若直线L过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B 关于点M对称，求直线L的方程．【解答】解（1）∵PF1⊥PF2，|PF1|=，|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=+=6，即a=3，且4c2═|PF1|2+|PF2|2=（）2+（）2=解得c2=，∴b2=9﹣=，故椭圆的方程为，（2）设A（m，n），B（x，y），圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，圆心M（﹣2，1），∵A，B关于M对称，∴，即，∵A，B都在椭圆上，∴，两式相减得，即，即直线AB的斜率k=，∴直线方程为y﹣1=（x+2），即56x﹣81y+193=0．。

北京市平谷区第五中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析

因为椭圆C与双曲线的焦点相同，，即
所以
故选：C
【点睛】本题考查的是椭圆和双曲线的基本知识，较简单.
【点睛】本题主要考查知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
11. ，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：直线的斜率，直线的斜率，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．
18.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设关于对称点为 , ，选B.
19.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
【分析】
根据题意可得三个立体几何图形：
图一
可得侧面ABC,ADC与底面均垂直，
图二
可得面ACE垂直底面，
图三
观察可知无侧面与底面垂直故选B
点睛：根据题意可根据俯视图特征将立体几何图像一一画出，然后观察证明得结论，在画立体几何图形时最好将其放在长方体中描绘，这样线面的关系会一目了然
2.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（）
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.

北京市五中高三数学上学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（）A． B． C． D．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位5．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]7．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣8．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1二、填空题9．写出命题P：∃x∈（﹣∞，0），x2+x+1≤0的否定￢P：．10．函数f（x）=ln（﹣x2+2x+3）的单调减区间为．11．已知正数x，y满足x+2y=2，则+的最小值为．12．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t 的取值范围为．13．已知tan（α﹣β）=，tanβ=﹣，且α，β∈（0，π），则2α﹣β的大小为．14．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f （x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共80分）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．16．已知向量=（sin（x+），cos（x+）），=（sin（x+），cos（x﹣）），函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g （x）的解析式并作出它在[﹣，]上的图象．17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．18．（14分）（2015秋•北京校级期中）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，G是EF的中点，AG=1（1）证明：AG⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面ACE所成角的正弦值；（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知函数f（x）=x2﹣（a2﹣a）lnx﹣x（a≤）．（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=a2lnx2﹣x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立，求a的取值范围．20．设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．2015-2016学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．故选D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式．【专题】常规题型．【分析】我们分别判断“a＞2”⇒“a2＞2a”与“a2＞2a”⇒“a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0∴“a2＞2a”成立即“a＞2”⇒“a2＞2a”为真命题；而当“a2＞2a”成立时，a2﹣2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0∴a＞2不一定成立即“a2＞2a”⇒“a＞2”为假命题；故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件故选A【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，即若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．3．已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】|+|2═22+2，整体求解2=6，运用|﹣|2=22，得出|﹣| 【解答】解：∵ |=2，||=3，|+|=，∴2=6，∵|﹣|2=22=4+9﹣6=7，∴|﹣|=，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的运算，关键是运用好向量的平方和向量模的平方的关系，属于容易题．4．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．5．若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．【解答】解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣∵C是三角形内角，得C∈（0，π），∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角因此，△ABC是钝角三角形故选：C【点评】本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，目标函数z=几何意义为区域内的点与D（2，0）的斜率，过（﹣1，2）与（2，0）时斜率最小，过（﹣1，﹣2）与（2，0）时斜率最大，∴Z最小值==﹣，Z最大值==，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法．7．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，则•=（﹣）•=﹣=（）2﹣1×=﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．8．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx+1，x∈（0，+∞）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．【解答】解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．【点评】本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．二、填空题9．写出命题P：∃x∈（﹣∞，0），x2+x+1≤0的否定￢P：∀x∈（﹣∞，0），x2+x+1＞0 ．【考点】命题的否定．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定为：∀x∈（﹣∞，0），x2+x+1＞0，故答案为：∀x∈（﹣∞，0），x2+x+1＞0【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．10．函数f（x）=ln（﹣x2+2x+3）的单调减区间为（1，3）．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由二次函数和对数函数的单调性，结合函数的定义域可得．【解答】解：由﹣x2+2x+3＞0可得﹣1＜x＜3，由二次函数单调性可得t=﹣x2+2x+3在（1，+∞）单调递减，由复合函数单调性可得f（x）=ln（﹣x2+2x+3）的单调减区间为（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查对数函数和二次函数的单调性，属基础题．11．已知正数x，y满足x+2y=2，则+的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式．【分析】整体代入可得+=（x+2y）（+）=（10++），由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴+=（x+2y）（+）=（10++）≥（10+2）=9当且仅当=即x=且y=时取等号．故答案为：9【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．12．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t 的取值范围为t≥5．【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．【专题】导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．【解答】解：∵ =（x2，x+1），=（1﹣x，t），∴f（x）=•=x2（1﹣x）+t（x+1）=﹣x3+x2+tx+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t，∵函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t≥0在（﹣1，1）上恒成立，∴t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，而函数y=3x2﹣2x，x∈（﹣1，1）的值域为[，5）∴t≥5故答案为：t≥5【点评】本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．13．已知tan（α﹣β）=，tanβ=﹣，且α，β∈（0，π），则2α﹣β的大小为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】函数思想；整体思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由已知条件和正切公式可得所求角的正切值，缩小角的范围可得．【解答】解：∵tan（α﹣β）=，∴tan（2α﹣2β）==，又∵tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）=tan[（2α﹣2β）+β]==1，∵α，β∈（0，π），tanβ=﹣∈（﹣，0），∴β∈（，π），再由tan（α﹣β）=∈（0，）可得（α﹣β）∈（0，）或（﹣π，﹣）∴2（α﹣β）∈（0，）或（﹣2π，﹣），∴2α﹣β=2（α﹣β）+β∈（，）或（﹣，﹣），结合tan（2α﹣β）=1可知2α﹣β=﹣故答案为：﹣【点评】本题考查两角和与差的正切公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．14．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f （x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是①②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x∈[0，π]），f（x）+f（π﹣x）=4，因此对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4，故正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共80分）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵，所以（2c﹣b）•cosA=a•cosB由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）•cosA=sinA•cosB．整理得2sinC•cosA﹣sinB•cosA=sinA•cosB．∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．在△ABC中，sinC≠0．∴，．（Ⅱ）由余弦定理，．∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．16．已知向量=（sin（x+），cos（x+）），=（sin（x+），cos（x﹣）），函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g （x）的解析式并作出它在[﹣，]上的图象．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积的坐标运算可求得y=f（x）的解析式，利用正弦函数的性质可求得其对称中心坐标；（Ⅱ）依题意，可求得g（x）=sin（2x+），通过列表，描点可作出它在[﹣，]上的图象【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=﹣cos（x+）cos（x﹣）=（1+sin2x）﹣cos2x=sin（2x﹣）+，…（4分）由sin（2x﹣）=0得：2x﹣=kπ，k∈Z，∴x=kπ+，k∈Z．∴f（x）的图象的对称中心坐标为（kπ+，），k∈Z．…（6分）（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣，则h（x）=sin（2x﹣），∴g（x）=h（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），列表：，描点、连线得函数y=g（x）在[﹣，]上的图象如图所示：…（12分）【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查平面向量的数量积的坐标运算，考查列表作图能力，属于中档题．17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有种，基本事件的个数为1+++，然后代入等可能事件的概率公式可求（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X 的分布列及期望【解答】（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则共有基本事件：1+++=16个，则A事件包含基本事件的个数为=6个，则 P（A）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X的分布列为：X 0 5 10 15 20P．【点评】本题主要考查了随机变量的概率分布列及期望值的求解，解题的关键是每种情况下的概率求解18．（14分）（2015秋•北京校级期中）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，G是EF的中点，AG=1（1）证明：AG⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面ACE所成角的正弦值；（3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）根据等腰三角形AG⊥EF．推证AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，线面的转化AG⊥CD．（2）以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可求平面ACE的法向量为=（1，﹣1，1）．即可求解BF与平面ACE所成角的正弦值为|cos＜，＞|==．（3）根据中点推证GF∥MN，GF=MN．四边形GFNM是平行四边形．由直线平面平行的判定定理推证GM∥平面ABF；【解答】解：（1）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．（1分）又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．（2分）因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．（4分）（2）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），由于AG=1，则E（0，1，1），F（0，﹣1，1），所以=（﹣4，﹣1，1），=（4，4，0），=（0，1，1）．…（8分）设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由=0， =0，得，令z=1，得=（1，﹣1，1）．因为BF与平面ACE所成角的正弦值为|cos＜，＞|==，所以直线BF与平面ACE所成角的正弦值为．…（10分）（3）存在点M在线段AC上，且，使得：GM∥平面ABF．证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，因为，所以，因为 BC=2EF，点G是EF的中点，所以 BC=4GF，又因为EF∥AD，四边形ABCD为正方形，所以GF∥MN，GF=MN．所以四边形GFNM是平行四边形．所以GM∥FN．又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM∥平面ABF．【点评】本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，掌握好定理，转化直线的为关系判断即可，属于中档题．19．已知函数f（x）=x2﹣（a2﹣a）lnx﹣x（a≤）．（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=a2lnx2﹣x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）首先通过f（x）在2处取得极值求出a，然后对f（x）求导，得到x=1处的导数，从而得到切线斜率；（2）令f′（x）=0，讨论a的范围；（3）整理f（x）＞g（x），分离a与x，构造h（x）=，通过求导求h（x）的最小值，只要3a2﹣a ＜h（x）min即可．【解答】解：（1）由f′（x）=x﹣﹣1，f′（2）=0，得a=﹣1或a=2（舍去）．经检验当a=﹣1时，函数f（x）在2处取得极值．a=﹣1时，f（x）=﹣2lnx﹣x，f′（x）=x﹣﹣1，f（1）=，f′（1）=﹣2，∴所求的切线方程为y+=﹣2（x﹣1），整理得4x+2y﹣3=0．（2）f′（x）=x﹣﹣1=，令f′（x）=0，得x=a，或x=1﹣a．a≤时，a≤1﹣a，且1﹣a＞0．①当a=时，a=1﹣a=＞0，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，+∞）上递增；②当a≤0时，f（x）在（0，1﹣a）是单调递减；在（1﹣a，+∞）上单调递增；③当0＜a＜时，f（x）在（0，a）（1﹣a，+∞）上单调递增，在（a，1﹣a）上单调递减．（3）由题意，，即，即对任意∀x＞1恒成立，令h（x）=，则h′（x）=．令h′（x）=0，得x=，当x∈（1，）时，h（x）单调递减．当x∈（，+∞）时，h（x）单调递增，∴当x=时，h（x）取得最小值h（）=e，∴3a2﹣a＜e，解得，又∵a≤，∴．【点评】本题考查了导数的运用，利用导数求切线方程，求函数的单调区间以及恒成立问题．20．设集合S={1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2，P3的值；（2）求P n的表达式．【考点】二项式定理的应用；子集与真子集．【专题】综合题；二项式定理．【分析】（1）当n=2时，即S={1，2}，由此能求出P2=1；当n=3时，即S={1，2，3}，分类讨论，可得P3=5．（2）设集合A中的最大元素为“k”，确定集合A、B的情况，可得集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n ﹣1﹣2k﹣1对．由此能求出P．n【解答】解：（1）当n=2时，即S={1，2}，此时A={1}，B={2}，所以P2=1，…2分当n=3时，即S={1，2，3}，若A={1}，则B={2}，或B={3}，或B={2，3}；若A={2}或A={1，2}，则B={3}；所以P3=5．…4分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1对，…8分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分【点评】本题考查二项式定理的运用，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

北师大版高中数学必修五高二年级期中联考数学试卷(理科).doc

高二年级期中联考数学试卷（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各卷答案填写在试卷后面的答题卷上。

3．本试卷主要考试内容：必修5和选修2-1（第一章常用逻辑用语）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．命题“22x y >，则x y >”的逆否命题是（） A ．“若x y <，则22x y <” B ．“若x y >，则22x y >” C ．“若x y ≤，则22x y ≤” D ．“若x y ≥，则22x y ≥” 2．等差数列{n a }中，32a =，则该数列的前5项的和为 A ．32 B ．20 C ．16 D ．103．“0a b >>”是“222a b ab +<”的A ．充分而不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{n a }的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于 A ．- 4 B ．- 6 C ．- 8 D ．-10 5．已知a ，b ，c ，d ，均为实数，有下列命题： ①若0,0,ab bc ad >->则0c da b->； ②若0,0,c dab a b>->则0bc ad ->；③若0,0c dbc ad a b->->则0ab >；其中正确的命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若不等式组0024x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数不清s 的取值范围是A ．024s s <≤≥或B ．02s <≤C ．24s ≤≤D ．4s ≥7．在△ABC 中，若22tan tan A b B a=，则△ABC 的形状是 A ．等腰或直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．不能确定8．数列11111,3,5,7,...24816，前n 项和为A ．2112n n -+B ．211122n n +-+C ．2112n n n --+D ．21122n n n --+9．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式（a+b-c ）(a+b+c)=ab ，则角C 的大小为A ．600B ．900C ．1200D ．1500 10．若二次不等式20ax bx c ++>的解集是11{|}54x x <<，那么不等式2220cx bx a --<的解集是A ．{|101}x x x <->或B ．11{|}45x x -<< C ．{|45}x x << D ．{|54}x x -<<- 11．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=1:1:2,且12ABCS =，则A BB C B CC A C AA B ++的值是A ．2B ．2C ．-2D ．2-12．将n 个连续自然数按规律排成下表：0 3 → 4 7 → 8 11 → … ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ … 1 → 2 5 → 6 9 → 10 …根据规律，从2007到2009的箭头方向依次为A ．↓ →B ．→ ↑C ．↑ →D ．→ ↓ 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本小题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卷中的横线上。

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2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案时间：120分钟总分：120分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在答卷的表格中．1、在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（）项A ．60B ．61C 62D ．632、在100和500之间能被9整除的所有数之和为（）A ．12699B ．13266C ．13833D ．144003、等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2—11x+9=0的两个根，则a 6=（）A ．3B ．611C ． 3D ．以上皆非4、四个不相等的正数a,b,c,d 成等差数列，则（）A ．bcda 2B ．bcda 2C ．bcda 2D ．bcda 25、在ABC 中，已知30A ，45C ，2a，则ABC 的面积等于（）A ．2B ．13C ．22D ．)13(216、在ABC 中，a,b,c 分别是C B A ,,所对应的边，90C ，则cb a 的取值范围是（）A ．（1,2）B ．)2,1(C ．]2,1(D ．]2,1[7、不等式1213xx 的解集是（）A ．243|xx B ．243|x x C ．432|xxx 或D ．2|x x 8、关于x 的方程ax2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共２8分．请将答案填写在横线上．9、若命题p3是奇数，q3是最小的素数，则p 且q,p 或q,非p ，非q 中真命题的个数为.10、已知点P （x ，y ）在不等式组22,01,02yxy x表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是11、数列n a 的前n 项的和S n =2n 2-n+1，则a n =12、已知_______,41,4x xxyx 当函数时，函数有最_______值最值为.13、不等式0)3)(2(2x x 的解集是_______________________________14、在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tanB=3ac ,则角B 的值为------------- 15、在下列函数中，①|1|xxy ；②1222xxy；③1)x,0(2log log 2且xx y x ；④x xyxcot tan ,2；⑤xxy33；⑥24xx y ；⑦24xxy ；⑧2log 22xy；其中最小值为2的函数是（填入正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每题10分满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、在△ABC 中，10b a ，cosC 是方程02322x x的一个根，求①角C 的度数②△ABC 周长的最小值。

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